专题03 圆柱与圆锥（暑假复习讲义，8重难题型+综合通关）新七年级数学新教材沪教版五四制

专题03 圆柱与圆锥 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1圆柱、圆锥特征与展开图 题型2 圆柱表面积实际用料问题 题型3圆柱圆锥基础体积计算 题型4 等底等高圆柱圆锥体积互求 题型5 切割/截取圆柱、圆锥 题型6 等积变形 题型7 水中浸物 题型8 组合立体体积 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1 圆柱、圆锥基本概念 2 圆柱侧面积、表面积计算 3 圆柱、圆锥体积公式 4 体积、容积单位换算 5 圆柱切割、截取表面积变化 6 等积变形问题 7 排水法求不规则物体体积 8 圆柱圆锥比例综合 9 组合立体图形计算 1. 生活化情境常态化，贴合实际应用 命题紧密结合生活场景，高频考查烟囱、无盖水桶、粮食粮囤、冰淇淋、倒置矿泉水瓶、压路机滚筒、蒙古包等组合立体图形，摒弃纯公式套算，重点考查学生数学建模与实际应用能力，完全贴合沪教版教材例题、课后习题命题逻辑。 2. 公式逆向考查常态化 打破传统“已知半径、高求面积、体积”的简单考法，高频出现已知表面积、体积，反向求解底面半径、直径、高的题型，渗透方程解题思想，侧重考查学生公式灵活运用能力。 3. 平面图形旋转立体题型高频出现 聚焦空间想象能力考查，核心考法为长方形绕边旋转形成圆柱、直角三角形绕直角边旋转形成圆锥，要求学生根据平面图形推导立体图形的半径与高，是填空、选择高频考点。 4. 等积变形为期末压轴核心 熔铸物体、容器互换倒水、不规则瓶子倒置求容积、排水法测体积等题型，核心命题逻辑为体积恒定不变，是单元测、期末考压轴大题的主流题型。 5. 跨单元融合命题，综合性增强 本章知识点常与《比与比例》结合，考查圆柱、圆锥底面积比、高之比、体积比的互算；同时结合百分数、小数计算，题型综合性提升，不再单一考查几何计算。 6. 图形实操切割拓展题型增多 重点考查圆柱横切、竖切、截短后的表面积增减变化，同时延伸正方体挖圆柱孔洞、组合立体图形挖孔后的表面积、体积计算，侧重空间思维拓展。 7. 开放型最优用料命题创新 给定固定面积铁皮，制作圆柱容器，求最大容积、最优裁剪方案，侧重考查学生综合推理与几何优化思维，属于高阶拔高题型。 考情解码：基础层：选择题、填空题，侧重概念辨析、公式直接计算、体积容积单位换算 中档层：简单计算题、常规解答题，考查圆柱表面积、圆柱与圆锥体积常规运算，生活中容器用料、容积计算 拔高压轴层：等积变形问题、排水法测体积、图形切割拼接、圆柱圆锥比例关系、跨单元比例综合应用题 知识点一 圆柱的认识及特征 圆柱是由两个大小相等、相互平行的圆形底面以及连接两个底面的一个曲面（即圆柱的侧面）围成的几何体。 圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高。 知识点二 圆柱的侧面积、表面积和体积 圆柱的侧面积＝底面的周长×高，用字母表示： S侧＝Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧＝2πrh 圆柱的底面积＝πr2 圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积，用字母表示： S表＝2πr2+2πrh 圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示： V＝πr2h． 知识点三 圆锥的认识及特征 圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。底面是一个圆，侧面是一个曲面。 底面：圆锥的底面是一个圆形。 侧面：圆锥的侧面是一个曲面，展开后为扇形。 高：从圆锥的顶点到底面圆心的垂直距离称为高，圆锥只有一条高。 母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段，称为母线。圆锥有无数条母线，且所有母线长度相等 比较圆柱与圆锥的特征 图形 相同点 不同点 底面形状 侧面 底面个数 侧面展开 高 圆柱 圆形 曲面 2 长方形（或正方形） 无数条 圆锥 圆形 曲面 1 扇形 1条 知识点四 圆锥的侧面积、表面积和体积 侧面积公式：S侧= Cl=πrl（r为底面半径，l为母线长）。 表面积公式：S表＝S底+S侧＝πr2+πrl 体积公式：圆锥的体积，即等底等高的圆柱体积的三分之一 题型1圆柱、圆锥特征与展开图 【例1】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，这个圆锥的底面半径与母线长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 圆锥的认识及特征 【分析】利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形弧长、圆锥母线长等于扇形半径的关系列等式求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线长为， ∵圆锥的底面周长等于其侧面展开扇形的弧长， ∴ 化简等式得 ，即 ∴． 【例2】．（2026六年级下·上海·专题练习）把下面每块长方形铁板卷成一个空心圆柱，（    ）卷成的圆柱最粗． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 圆柱的展开图、圆柱的认识及特征 【分析】本题考查了圆柱的展开图、圆柱的认识及特征．圆柱的侧面展开图为一个长方形或正方形，这个长方形或正方形的一条边就是圆柱的底面周长，圆柱越粗，圆柱的底面面积就越大，同时底面圆的直径也最大，即周长就越长．将选项中的长方形铁板以长或者宽为底面周长，找出具有最长边的图形即可． 【详解】解：比较可知，四个图形中最长边是时， 所以卷成的圆柱底面面积最大，即圆柱最粗． 故选：C． 【例3】．（2026六年级下·上海·专题练习）一张长方形铁皮，从中剪下一个圆和一个长方形，正好可以做成一个无盖圆柱形铁桶，求这个铁桶的容积． 【答案】401.92立方厘米 【知识点】 圆柱的容积、 圆柱的展开图 【分析】由圆柱的展开图可知：侧面展开图的长等于圆的底面周长，圆的直径等于侧面展开图的宽，即圆柱的高．设圆的直径为厘米，则底面周长为厘米，由圆的底面周长圆的直径，可以求出圆的直径，进而利用圆柱的体积公式求出铁通的容积． 【详解】解：设圆的直径为厘米． ， ， ， 容积： （立方厘米）， 答：这个铁桶的容积是401.92立方厘米． 【技巧总结】看到“长方形/正方形围成圆柱侧面”：侧面积=围成图形的面积，无需计算底面圆面积； 看到“圆柱侧面展开是正方形”：可直接得出2πr=h，实现半径和高的互相推导。 【变式训练1-1】．（2026六年级下·上海·专题练习）如图所示，一个长方形绕其一边旋转一周得到圆柱，分为图1或图2两种情况．下面说法正确的是（ ） A．绕着长方形的边长旋转得到圆柱1． B．绕着长方形的边长旋转得到圆柱2． C．长方形的边长是图1圆柱的底面周长． D．长方形的边长是图2圆柱的高． 【答案】D 【知识点】圆柱的认识及特征 【分析】本题考查的圆柱的认识及特征，平面图形的旋转体，一个长方形绕其宽旋转一周得到圆柱，圆柱的高就是长方形的宽，圆柱的底面半径就是长方形的长；一个长方形绕其长旋转一周得到圆柱，圆柱的高就是长方形的长，圆柱的底面半径就是长方形的宽；据此分析解答即可． 【详解】解：∵长方形的长为a，宽为b； 长方形旋转成圆柱的过程为： 绕边长旋转得到图1圆柱：此时是圆柱的高，是底面半径． 绕边长旋转得到图2圆柱：此时是圆柱的高，是底面半径． A．绕边长旋转得到的是图2圆柱，不是图1，错误，故本选项不符合题意； B．绕边长旋转得到的是图1圆柱，不是图2，错误，故本选项不符合题意； C．图1圆柱的底面半径是，底面周长是，不是，错误，故本选项不符合题意； D．图2圆柱是绕边长b旋转得到的，因此b是它的高，正确，故本选项符合题意； 故答案为：D． 【变式训练1-2】．（24-25六年级下·上海·阶段检测）请根据如图提供的信息，寻找圆锥底面直径和母线长的变化引起侧面积变化的规律，按此规律．第个圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 圆锥的认识及特征、用代数式表示数、图形的规律 【分析】根据圆锥侧面积公式（为底面半径，为母线长），分别计算前几个圆锥的侧面积，观察底面直径、母线长与序号的关系，归纳出第个圆锥的参数特征即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 第1个圆锥：底面直径为，母线长为，侧面积为； 第2个圆锥：底面直径为，母线长为，侧面积为； 第3个圆锥：底面直径为，母线长为，侧面积为； 第4个圆锥：底面直径为，母线长为，侧面积为； 第个圆锥的底面直径为，母线长为， 第个圆锥的底面半径为， 第个圆锥的侧面积为． 【变式训练1-3】．（25-26六年级下·上海·期中）如图，把一个直径为，母线为的圆锥形斗笠沿虚线剪开，则其展开后扇形的圆心角是_____． 【答案】 【知识点】 圆锥的认识及特征 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用弧长公式求解即可； 【详解】解：设圆锥展开后扇形的圆心角为， 圆锥的底面直径为， 圆锥的底面周长为， 圆锥的母线长为， 展开后扇形的半径为， 根据弧长公式得，解得， 展开后扇形的圆心角是． 【变式训练1-4】．（25-26六年级下·上海青浦·阶段检测）如图所示，长方形纸片中，，把它分割成正方形纸片和长方形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，求圆锥的表面积．（保留） 【答案】 【知识点】 圆锥的认识及特征 【分析】设，则，当裁出的圆的直径与长方形的宽（长大于宽）相等时，圆的半径最大，据此结合圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形的弧长建立方程求出x的值，最后根据圆锥的表面积等于其侧面积加上底面积列式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵要在长方形中裁出半径最大的圆， ∴裁出的圆的直径与长方形的宽（长大于宽）相等，即为， ∵裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面， ∴， 解得， ∴， ∴圆锥的表面积为． 题型2 圆柱表面积实际用料问题 【例4】．（2026六年级下·上海·专题练习）为了保护环境、节约资源，张家村倡导使用新能源沼气．每家每户都砌一个圆柱形沼气池，底面直径6米，深2米，在池的内壁与池底抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ 【答案】65.94平方米 【详解】本题主要考查了圆柱表面积的算法和运用，首先分清抹水泥的部分是一个没有盖的圆柱形沼气池，需要计算侧面面积与一个底面圆的面积，由圆柱体侧面积和圆的面积计算方法列式解答即可． 先计算圆柱的侧面积和底面圆的面积，再相加即可． 【分析】解：（平方米）， （平方米）， （平方米）． 答：抹水泥部分的面积是65.94平方米． 【例5】．（2026六年级下·上海·专题练习）如图是一卷家用生活卫生纸，已知纸的宽度是10厘米，中间硬纸轴的直径是3.5厘米．你知道制作一个这样的卫生纸至少需要多少平方厘米的硬纸板来制作纸轴吗？（接缝处忽略不计） 【答案】109.9平方厘米 【详解】本题考查圆柱的侧面积，利用圆柱的侧面积公式求解即可． 【分析】解：由题意得， （平方厘米） 答：制作一个这样的卫生纸至少需要109.9平方厘米的硬纸板来制作纸轴． 【解题步骤】1. 审题判断圆柱底面数量；2. 提取题干半径、高关键数据；3. 代入对应表面积公式计算；4. 用料问题结果统一用进一法（实际用料需多预留，不可四舍五入）。 【变式训练2-1】．有一个零件，如下图，零件的下面是一个大圆柱体，底面直径是6厘米，高10厘米。上面是一个小圆柱体，直径是4厘米，高5厘米．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，你知道一共要涂多少平方厘米吗？（取3.14）    【答案】一共要涂平方厘米 【分析】大圆柱体的表面积加上小圆柱体的表面积，再减去二者接触的两个面的面积，其中接触的两个面的面积等于小圆柱体的两个底面的面积，即可作答． 【详解】大圆柱体的表面积为：（平方厘米）， 小圆柱体的表面积为：（平方厘米）， ∵接触的两个面的面积等于小圆柱体的两个底面的面积， ∴接触的面积为：（平方厘米）， 即零件的表面积为：（平方厘米） 答：涂上防锈漆，一共要涂平方厘米． 【点睛】本题主要考查了求解圆柱体表面积的知识，掌握相应的面积求解公式是解答本题的关键． 【变式训练2-2】．（24-25七年级上·江西抚州·期中）母亲节檬檬给妈妈买了一个圆柱形的茶杯，展开图的数据（单位：厘米）如图所示． (1)檬檬的妈妈想给茶杯做一个布套（包住侧面和底面），问至少用多少平方厘米的布料（不考虑接缝）？ (2)若不考虑杯子的厚度，问这个杯子最多可以盛多少立方厘米的水？（结果保留π） 【答案】(1)平方厘米 (2)立方厘米 【分析】本题考查了圆柱的体积和表面积公式的应用，熟练掌握公式是解此题的关键． （1）计算圆柱的表面积即可得解； （2）计算圆柱的体积即可得解． 【详解】（1）解：（平方厘米） 答：至少用平方厘米的布料； （2）解：（立方厘米） 答：这个杯子最多可以盛立方厘米的水． 【变式训练2-3】．（22-23六年级上·上海长宁·期末）生活中的易拉罐、电池、圆形的笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1），当把它的底面（包含上底面和下底面）和侧面展开后发现上底面和下底面是两个大小相同的圆，侧面是一个长方形（如图2）． (1)一个有盖的圆柱形易拉罐，底面半径为，高为，做这个易拉罐至少需要多少面积的材料？（不计接缝，结果保留） (2)如图3，把一张长的长方形纸板剪成一个长方形和两个圆，正好可以做成一个有盖的圆柱形笔筒，那么这个圆柱形笔筒的底面半径是　　　　．（不计接缝，取3.14） (3)有一批铝材和塑料板，它们都是边长为的正方形．现用于制作底面半径为，高为的有盖圆柱形盒子，铝材用于制作圆柱形盒子的侧面，塑料板用于制作圆柱形盒子的底面．如果最大限度利用这批材料，且全部裁剪完这批材料后剪成的侧面和底面正好配套，那么铝材张数与塑料板张数之比为　　　　． 【答案】(1)平方厘米 (2) (3) 【分析】本题考查圆柱的侧面积和表面积，理解底面、侧面之间的关系和计算方法是解决问题的关键． （1）根据表面积=侧面积+底面积×2，根据侧面积、底面积计算方法进行计算即可； （2）根据由底面圆的周长等于展开图长方形的长，列方程求解即可； （3）求出利用一张正方形的纸单独做底面的个数、单独做侧面的个数，然后做几套的比即可． 【详解】（1）解：侧面积+底面积×2得，， 答：制作这样一个易拉罐需要面积为平方厘米的材料； （2）由底面圆的周长等于展开图长方形的长可得： ， 所以， 解得：； 答：这个圆柱形笔筒的底面半径是． （3）因为底面半径为，高为的有盖圆柱形盒子的底面积为：， 侧面积为：， 用边长是正方形的塑料板，单独作半径为的底面圆时，一张可以做16个圆形，8套， 用边长是正方形的铝材，单独作底面半径为，高为圆柱的侧面时， 一张可以做9个侧面（8个横的，1个竖的）， 因此做侧面与底面张数的比为． 所以铝材张数与塑料板张数之比为． 题型3圆柱圆锥基础体积计算 【例6】．（2026六年级下·上海·专题练习）一个圆柱的底面周长是圆锥底面周长的，如果圆柱的体积和圆锥的体积相等，那么圆柱的高是圆锥高的（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】根据题意可设圆柱的底面半径为，则圆锥的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的高为，再根据圆柱的体积和圆锥的体积相等进行列式求解即可． 【详解】解：∵一个圆柱的底面周长是圆锥底面周长的， ∴设圆柱的底面半径为，则圆锥的底面半径为；圆柱的高为，圆锥的高为， ∵圆柱的体积和圆锥的体积相等， ∴， ∴， ∴圆柱的高是圆锥高的． 【例7】．（24-25七年级下·上海·期末）一个圆柱和一个圆锥，体积之比是，底面半径之比是，那么这个圆柱和圆锥的高之比是______． 【答案】 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系、 圆柱的体积 【分析】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积，分别表示出圆柱和圆锥的体积，再进行相比得到答案． 【详解】解：设圆柱的底面圆半径为，高为，圆锥底面圆半径为，高为， ∵圆柱和圆锥的体积之比是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例8】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）将一个棱长为10厘米的正方体削成最大的圆锥，则这个圆锥的体积为________立方厘米．（保留） 【答案】 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】正方体削成最大圆锥时，圆锥的底面直径等于正方体的棱长，圆锥的高等于正方体的棱长，代入圆锥体积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，最大圆锥的底面直径为厘米，高为厘米，则圆锥的底面半径（厘米）， 根据圆锥的体积公式得： （立方厘米）． 【技巧总结】 圆柱体积直接用底面积乘高；圆锥体积先计算同底等高圆柱体积，再乘；题干给出直径时，必须先除以2算出半径再代入公式。 【变式训练3-1】．（25-26六年级下·上海虹口·期末）一个圆柱和一个圆锥的底面积和高均相等，若圆柱的体积是，则圆锥的体积是__________． 【答案】 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】根据等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，结合已知圆柱体积即可计算得到圆锥体积． 【详解】解：由题意得，圆柱和圆锥底面积和高均相等，因此圆锥体积是圆柱体积的，圆锥体积为． 【变式训练3-2】．（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）陀螺在我国至少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一．小刚有一个底面直径是6厘米的木制陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少立方厘米？（结果保留） 【答案】立方厘米 【知识点】 组合体的体积、 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式计算即可求解． 【详解】解： ． 答：这个陀螺的体积是立方厘米． 【变式训练3-3】．2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．长征二号F型运载火箭顶部是逃逸塔发动机部分，为研究方便制作了一个模型（如图），它的下底面直径是，上底面直径是，高． (1)这个模型（圆台）的体积是多少立方分米？（π取3.14） (2)若某公司用有机玻璃来制作此模型，其密度为，则一个此模型的重量约为多少千克？（结果保留整数） 【答案】(1)175.84立方分米 (2)211千克 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】（1）先求出上、下底面的面积，再结合图形计算即可得出结果； （2）用（1）中的体积乘以密度，即可得出结果． 【详解】（1）解：下底面半径：， 上底面半径：， 下底面面积：， 上底面面积：， 结合图形可得：这个模型（圆台）的体积是 ； （2）解：． 题型4等底等高圆柱圆锥体积互求 【例9】．（2025六年级下·上海·专题练习）一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知它们的体积之和是24立方厘米，那么圆柱的体积是多少立方厘米．（    ） A．8 B．6 C．18 D．15 【答案】C 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题主要考查了圆锥和圆柱体积的关系，根据题意得出等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，求解即可． 【详解】解：等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，它们的体积和是24立方厘米， 圆锥的体积是：（立方厘米）， 圆柱的体积是：（立方厘米）． 故选：C． 【变式训练4-1】．（24-25六年级下·上海闵行·期末）一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知它们的体积之和是24立方厘米，那么圆柱的体积是________立方厘米． 【答案】18 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积关系，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，再结合二者的体积之和为24立方厘米即可得到答案． 【详解】解：∵一个圆柱和一个圆锥等底等高， ∴这个圆柱的体积是这个圆锥的体积的3倍， ∵它们的体积之和是24立方厘米， ∴圆柱的体积是立方厘米， 故答案为：18． 【变式训练4-2】．（24-25六年级下·上海·阶段检测）将一个直径是8厘米、高3分米的圆柱削成最大的圆锥．圆锥的体积是__________．（结果保留） 【答案】 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】将圆柱削成最大的圆锥时，圆锥与原圆柱等底等高，先统一长度单位，再根据圆锥的体积公式代入数据计算即可． 【详解】解：统一单位得 分米厘米， 圆锥底面半径为（厘米）， 则圆锥的体积为． 【变式训练4-3】．（24-25六年级下·上海宝山·阶段检测）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差16立方米，这个圆柱的体积是___________立方米． 【答案】24 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题考查了圆柱与圆锥体积的关系，熟练掌握等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍是解题的关键．根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，即圆柱的体积是3份，圆锥的体积是1份，那么它们的体积就相差2份，已知它们的体积相差16立方米，由此可求出圆锥的体积，进而求得圆柱的体积． 【详解】解：根据题意， 圆锥体积为：（立方米）； 所以圆柱体积为：（立方米）． 故答案为：24． 题型5 切割/截取圆柱、圆锥 【例10】．一根长的圆柱形木料，横截面的半径是，沿横截面的直径垂直锯开，分成相等的两块，每块的表面积是__________（保留π）． 【答案】/ 【知识点】 组合体的表面积 【分析】本题主要考查了组合体的表面积计算，根据题意可知所求表面积为一个长方形面积加上一个圆的面积加上圆柱侧面积的一半，据此列式求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式训练5-1】．（25-26六年级下·上海虹口·期末）如图，将一个底面直径为的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了，则这个圆锥的高是（     ） A．4 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【详解】解：设圆锥的高为，由图可知：从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加的面积即为两个三角形的面积， 所以根据三角形面积公式可知：， 解得：， 即圆锥的高为． 【变式训练5-2】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）如图，圆柱被截取后，表面积减少了（如图），则原来圆柱表面积为______．（结果保留π） 【答案】 【知识点】 圆柱的表面积 【详解】解：设圆柱的底面半径为 由题意得， 解得， 原圆柱高度， 原圆柱表面积． 【变式训练5-3】（22-23六年级上·上海杨浦·期末）在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想． (1)小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并量的这个长方形的长是厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？ (2)生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图），它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱体的高． 小明在学习了《圆的面积》后，也想用类似的方法研究圆柱体的体积，他将一个圆柱体等分成若干分，拼成了一个近似的长方体（如图），他发现把圆柱体等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱体的体积，故由长方体的体积推导出圆柱体的体积.如果设这个圆柱体底面的半径为，高为，体积为，那么这个长方体的长= ，宽= ，所以圆柱体的体积 ． (3)将一个底面周长是厘米的圆柱体斜着截去一段，截后的形体如图所示，求这个截后的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)平方厘米 (2)，， (3)立方厘米 【知识点】 圆的面积、 圆柱的体积、 不规则物体的体积算法 【分析】（1）求出圆的半径，再根据圆的面积公式求出结果即可； （2）由（1）可知拼成的长方体的长、宽，再根据长方体体积的计算公式进行计算即可； （3）求出圆柱的底面半径，再根据截后的体积底面半径为2，高为2的圆柱体体积的一半底面半径为2，高为3的圆柱体的体积进行计算即可． 【详解】（1）解：设圆的半径为厘米，由题意得， ， 解得， 圆的面积为（平方厘米）， 答：这个圆的面积是28.26平方厘米； （2）由（1）可知，所拼成的长方体的长为圆周长的一半，即，宽为圆的半径， 由于长方体的体积为长宽高， 所以圆柱的体积为， 故答案为：，，； （3）设圆柱底面半径为厘米，则， 解得， 所以截后的体积为 （立方厘米）， 答：截后的体积为50.24立方厘米． 【点睛】本题考查认识立体图形，截一个几何体，掌握圆面积、圆周长、长方体体积、圆柱体积的计算方法是正确解答的前提． 题型6等积变形 【例11】．（24-25六年级下·广东汕头·自主招生）如图所示，把底面直径是的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，那么长方体的体积是( )立方厘米． 【答案】502.4 【知识点】体积的等积变形 【分析】本题考查了等积变形问题，圆柱体切拼成近似的长方体要明确：高没变，体积没变；但长方体表面积比圆柱多了两个长方形的面积．将一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，高没变，体积没变；但拼成的长方体表面积比圆柱多了两个长方形的面积，这两个长方形的长都和圆柱的高相等，宽都和圆柱的底面半径相等；已知表面积增加了80平方厘米，就可求出圆柱的高是多少厘米，进而再求出圆柱的体积，即长方体的体积． 【详解】解：底面半径：（厘米） 圆柱的高：（厘米） 圆柱体积（长方体体积）： （立方厘米） 所以长方体的体积是502.4立方厘米． 故答案为：502.4． 【技巧总结】解题步骤 1. 计算原有立体图形体积；2. 设所求未知量；3. 根据体积相等列等式计算；4. 统一单位（重点：厚度厘米与米的换算）。 【变式训练6-1】．用压路机铺设路面（如下图），准备把一个底面周长是米，高米的圆锥形沙土堆，铺成宽5米、厚厘米的路基，能铺________米长．（结果保留） 【答案】 【知识点】体积的等积变形 【分析】先求出圆锥形沙土的体积，再用这个体积除以宽度和厚度求解即可． 【详解】解：圆锥底面半径：， 圆锥形沙土体积：， ， 能铺长． 【变式训练6-2】．一个瓶子的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），它的底面直径是，高是，瓶子里装有高的水，把瓶盖拧紧后倒放，水深，（如下图），这个瓶子的容积是多少？（瓶子的厚度忽略不计）（结果保留π） 【答案】 【知识点】体积的等积变形、 圆柱的体积 【分析】由于瓶子的容积不变，瓶中水的体积也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积，用右图上部分规则的空气体积来代替，进一步求解即可． 【详解】解：设瓶的底面积为，则左图，右图， ， ∴这个水瓶的容积是． 【变式训练6-3】．一个底面周长是厘米，高18厘米的圆柱形容器里面装有一些水，将一个底面积是平方厘米的圆锥形铁块放入容器内，完全浸没在水中，拿出铁块后水面下降了3厘米（π取）． (1)这个铁块的体积是多少？ (2)这个铁块的高是多少？ 【答案】(1)立方厘米 (2)12厘米 【知识点】体积的等积变形、 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】（1）先根据圆柱底面周长求底面半径，再求出圆柱容器的底面积，最后根据“水面下降高度”解答即可． （2）根据圆锥体积公式为求解即可； 【详解】（1）解：圆锥形铁块完全浸没，拿出后下降的水的体积等于铁块体积， 圆柱底面半径：（厘米）， 圆柱容器的底面积：（平方厘米）， 则下降水的体积（即铁块体积）：（立方厘米）， 答：这块铁块的体积是150.72立方厘米． （2）解：（厘米）， 答：这个铁块的高是12厘米． 题型7 水中浸物 【例12】．（24-25六年级下·上海·期末）如图1，有一圆柱形容器，该容器的底面半径为，高为．如图2，有一实心铁圆柱，实心铁圆柱的高为圆柱形容器高的，实心铁圆柱的底面半径与圆柱形容器的底面半径比是． (1)求该实心铁圆柱的体积．（结果保留π） (2)现有一底面半径为的注满水的圆锥容器，如图3，现将实心铁圆柱体放入圆柱形容器，将圆锥容器中的水全部注入圆柱形容器，注入的水刚好将实心铁圆柱体全部浸没，求该圆锥容器的高． 【答案】(1) (2) 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积计算，熟知圆柱与圆锥的体积计算公式是解题的关键． （1）根据题意可求出实心铁圆柱的底面半径和高，再根据圆柱体积计算公式求解即可； （2）圆柱中水的体积等于圆柱的底面积乘以水高减去实心铁圆柱的体积，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 答：该实心铁圆柱的体积为； （2）解：， ， 答：该圆锥容器的高为． 【变式训练7-1】．（25-26六年级下·上海虹口·期末）王老师家有一个圆柱形玻璃鱼缸（如图1），从里面量得底面直径是10分米，高是15分米．（取3） (1)她想要把鱼缸外部贴上透明的彩纸，至少需要这种彩纸多少平方分米（忽略拼接处）？ (2)她打开进水口向内注水，每分钟注水135升（如图2），若使鱼缸内水面高达到9分米，需要多少分钟? (3)在（2）的条件下，（如图3）把一块底面直径为8分米、高为12分米的圆锥铁块放入鱼缸（铁块底部和鱼缸底部完全接触），此时会有水溢出吗？若有，求溢出水多少升？若没有，请说明水面上升情况． 【答案】(1)至少需要这种彩纸450平方分米； (2)需要5分钟； (3)不会有水溢出，水面会上升2.56分米，最终水面高度为11.56分米． 【知识点】 圆柱的表面积、 圆柱与圆锥体积的关系 【详解】（1）解：（平方分米）， 答：至少需要这种彩纸450平方分米； （2）解：圆柱形玻璃鱼缸底面半径是（分米）， （立方分米），即升， （分钟）， 答：需要5分钟； （3）解：（立方分米）， （立方分米）， 比较体积：，故不会有水溢出； 水面上升高度满足：（分米）， 最终水面高度：分米分米，验证无溢出； 答：不会有水溢出，水面会上升2.56分米，最终水面高度为11.56分米． 【变式训练7-2】．如图，是一张长方形铁皮，把图中阴影部分剪下，刚好做成一个圆柱形无盖铁桶（接缝忽略不计）． (1)求铁桶的体积（结果保留）； (2)一个装满水的圆锥形容器，底面半径为3厘米，高为6厘米，将这些水全部倒入（1）问中的圆柱形铁桶中（圆柱形铁桶放在水平桌面上），求这个圆柱形铁桶中水的深度； (3)在（2）的条件下，如果把一个底面半径为厘米的圆柱形铁块垂直放入圆柱形铁桶中，当它的一个底面在水中与圆柱形铁桶底面完全接触时，如图2，则铁块高出水面的部分与水面下的部分高度之比为，求此时水深多少厘米？ 【答案】(1)铁桶体积是立方厘米 (2)水深2厘米 (3)此时水深厘米 【知识点】 圆锥的认识及特征、 圆柱的体积 【详解】（1）解：半径：，体积： 答：铁桶体积是立方厘米； （2）解：圆锥水体积：， 水深：， 答：水深2厘米； （3）解：设铁块水上高，水下高，水深． 铁块底面积：， 列方程：， 解得， 水深：， 答：此时水深厘米． 题型8组合立体体积 【例13】．（24-25六年级下·上海·期末）如图，分别绕这个直角梯形的上底和下底所在直线旋转一周，所得立体图形的最大体积为______（用含有a，b的代数式表示，结果保留π）． 【答案】 【知识点】 组合体的体积、平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了圆柱体和圆锥体体积的计算，解答本题的关键是空间想象力及如何确定圆柱和圆锥的高．由旋转后所得的立体图形的形状及进一步分别求出体积进行比较即可． 【详解】解：按上底b所在直线旋转的体积为：， 按下底所在直线旋转的体积为：， ∵， ∴所得立体图形的最大体积为：． 故答案为：． 【例14】．（24-25六年级下·上海·阶段检测）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，把它绕着其中一条直角边旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为______． 【答案】或 【知识点】 组合体的表面积、平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了圆锥的计算，点、线、面、体等知识点，分为两种情况绕着长度为的直角边旋转，绕着长度为的直角边旋转，求出底面圆的面积和扇形的面积和即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当绕着长度为的直角边旋转一周时，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为； 当绕着长度为的直角边旋转一周时，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为； ∴把它绕着其中一条直角边旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为或， 故答案为：或． 【例15】．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，一个立体图形是从高为，底面直径为的圆柱中挖掉一个圆锥得到的，圆锥的底面积就是圆柱的上底面，圆锥的母线为，求该立体图形的表面积．(结果保留) 【答案】 【知识点】 组合体的表面积 【分析】本题考查了圆锥和圆柱的表面积，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．利用扇形的面积公式即可求得内面的面积，利用圆面积公式求得底面的面积，然后利用矩形的面积公式求得外侧面的面积，三个的和就是表面积． 【详解】解： 【变式训练8-1】．（25-26六年级下·上海虹口·期末）如图，求组合图形的体积．（结果保留） 【答案】 【知识点】 组合体的体积 【详解】解：圆柱的体积：， 圆锥的体积：， 组合图形的体积． 【变式训练8-2】．（24-25六年级下·上海·期末）某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体．如图，圆柱底面的直径是8米，高是3米，圆锥的高是3米，母线长5米．如果每立方米小麦约重750千克； (1)为确保粮食的安全性，需为粮囤定制外部防护材料，一个粮囤，要定制多大面积的外部包裹材料？（不含粮囤底部面积，不考虑损耗，π取3） (2)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库需要多少个这样的粮囤存储这些小麦？（π取3） 【答案】(1)要定制的外部包裹材料 (2)粮库需要10个这样的粮囤存储这些小麦 【知识点】 组合体的表面积、 组合体的体积 【分析】本题考查圆锥和圆柱体的侧面积，圆锥和圆柱体的体积，熟练掌握相关计算公式是解题的关键： （1）求出圆锥和圆柱体的侧面积之和即可； （2）根据圆锥和圆柱体的体积公式，求出一个粮囤的体积，进而求出一个粮囤的囤粮的质量，再用总质量除以一个粮囤的囤粮的质量，即可得出结果． 【详解】（1）解：圆柱和圆锥的底面圆的半径为：， ∴圆柱和圆锥的侧面积之和为：； 故要定制的外部包裹材料； （2）， ， （个）； 答：粮库需要10个这样的粮囤存储这些小麦． 【变式训练8-3】．（25-26六年级下·上海·期中）如图，内蒙古游牧民族的屋舍是一种上面是圆锥形，下面是圆柱形的蒙古包．圆柱底面的半径是3米；高是2米，圆锥的高是1米． (1)求蒙古包的空间有多少立方米．（结果保留） (2)小呼用该蒙古包存放牧草共计3140公斤．现欲将这些牧草运往另一个牧场，甲、乙两个运输队承担此次运输任务，已知甲运输队每天比乙运输队多运送，在运送过程中，甲、乙两运输队合运7天后，甲运输队有其他任务，剩下由乙运输队单独运送6天，恰好运完．求乙运输队每天运送多少公斤牧草？ 【答案】(1)蒙古包的空间有立方米； (2)乙运输队每天运送150公斤牧草 【知识点】 组合体的体积、 圆柱与圆锥体积的关系、 求比一个数多/少几分之几的数是多少、工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）蒙古包由同底的圆柱和圆锥组成，底面半径均为，分别代入圆柱体积公式、圆锥体积公式，进而即可求解出蒙古包的空间； （2）设乙运输队每天运送公斤，由题意得甲每天运送公斤，根据“合运7天乙单运6天总3140公斤”列方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，圆柱底面半径，圆柱高；圆锥与圆柱底面相同，半径也为，圆锥高． ∴ ， ， ∴蒙古包总体积： ； （2）解：设乙运输队每天运送公斤牧草， ∵甲运输队每天比乙运输队多运送， ∴甲每天运送公斤， 根据题意得， 解得， ∴乙运输队每天运送150公斤牧草． 【变式训练8-4】．（24-25六年级下·上海浦东新·期末）（本题结果保留） 大家都知道圆柱和圆锥这两个立体图形可以看成由一个平面几何图形绕着某条直线旋转一定角度构造而成，学校“深度探索”小组在学完这一章后自然想到：如果改变平面几何图形或者改变直线的位置或者改变旋转的角度，会得到怎样有趣的立体图形呢？ (1)小张用一个平面几何图形绕着某条直线旋转一周发现了下面这个立体图形，请你把小张所用的平面几何图形和其所绕的直线画出来． (2)小查用下面的直角绕着所在的直线旋转，已知长，长，的长度为，求扫过所形成的立体图形的表面积． (3)小戚用下面的长方形绕着直线旋转一周，与直线平行且相距，已知长，长，求长方形扫过所形成的立体图形的表面积和体积． (4)请发挥你的想象力构造出一种不同于上面的立体图形，说出你的构造方法：是由什么平面图形绕着哪条直线（可画出示意图）旋转多少度所成，并求出你所构造的立体图形的体积或表面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 (4)见详解 【知识点】 组合体的表面积、 组合体的体积 【分析】本题考查的知识点有将一个图形旋转一定的度数、圆锥、圆柱的体积和表面积计算．记住圆锥、圆柱的体积公式和表面积公式是求解的关键． （1）根据题意画图即可； （2）根据题意得出直角绕着所在的直线旋转，形成的立体图形是底面半径为的一个半圆锥，再根据半圆锥的表面积半圆锥的侧面积竖面等腰三角形面积底面半圆面积，解答即可． （3）画出直线，分两种情况分别求解即可． （4）根据三角形与正方形的特征，以为轴，旋转一周，可得到一个圆锥与圆柱的组合体，根据圆锥的体积公式即可求出这个圆锥的体积；根据圆柱的体积公式即可求出这个圆柱的体积；二者相加就是几何体的体积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：直角绕着所在的直线旋转，形成的立体图形是底面半径为的一个半圆锥， 半圆锥的侧面积， 半圆锥的表面积． （3）解：如图，直线有图中两种位置， 图1中，长方形扫过所形成的立体图形的表面积， 长方形扫过所形成的立体图形的体积； 图2中，长方形扫过所形成的立体图形的表面积， 长方形扫过所形成的立体图形的体积； （4）解：如图，将如下图形绕所在直线旋转一周形成一个由底面相同的圆锥和圆柱组成的立体图形． 则该立体图形体积．（答案不唯一，合理即可） 一、单选题 1．（24-25六年级下·上海虹口·期末）图中瓶底的面积和圆锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入圆锥形杯子中，能倒满（    ）杯． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了圆柱和圆锥体积．因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱和圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥高的2倍时，圆柱的体积是圆锥体积的倍．据此解答即可． 【详解】解：， 答：能装满6杯． 故选． 2．（2026六年级下·上海·专题练习）如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径r与扇形半径R之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从图中可知，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，其中扇形的弧长是以半径为R的圆周长的，圆锥的底面周长是半径为r的圆的周长，根据圆的周长公式，代入数据，求出圆的半径r与扇形半径R之间的关系． 【详解】解：根据题意得，， ∴． 故选：C． 3．（2026六年级下·上海·专题练习）如图，一个直角三角形，两条直角边分别是和．以较短直角边所在的直线为轴旋转一周形成一个圆锥．这个圆锥的底面直径是（    ）． A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查圆锥的形成原理．直角三角形绕一条直角边旋转时，旋转轴所在的直角边成为圆锥的高，另一条直角边成为圆锥的底面半径，据此求解即可． 【详解】解：∵形成的圆锥的高是，底面半径是， ∴这个圆锥的底面直径是． 故答案为：A． 4．（24-25六年级下·上海宝山·阶段检测）有一圆柱形的储油罐，其底面直径与高相等，现在要储油罐表面均匀涂上一层油漆（不计损耗），则两个底面所需油漆与侧面所需油漆量之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的侧面积和底面积，设这个圆柱形的储油罐的底面直径为x，则它的高为x，先根据圆柱侧面积为长方形，底面积为圆，分别求出面积再作比即可． 【详解】解：设这个圆柱形的储油罐的底面直径为x，则它的高为x， 根据题意：这个圆柱形的储油罐的侧面积为：，底面积为：， 则两个底面所需油漆与侧面所需油漆量之比是：， 故选：C． 5．（2026六年级下·上海·专题练习）张师傅要在下面的几张铁皮中选两张，做一个无盖的圆柱形水桶，选择错误的是（ ） A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④ 【答案】A 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高．根据圆的周长公式：或，把数据代入公式求出两个圆的周长，然后把两个圆的周长与两个长方形的长和宽进行比较即可． 【详解】解：①号圆的周长：（分米） ②号圆的周长：（分米） 所以，可以选择①和④，②和③，②和④． 所以选择错误的是①和③． 二、填空题 6．（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径为5，则该圆锥底面圆的半径为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了圆锥底面圆的半径，弧长公式的计算，掌握弧长公式的计算，圆锥的基础知识是关键． 根据弧长公式得到圆心角为的扇形的弧长为，再根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：圆心角为的扇形，半径为5， ∴弧长为， ∴圆锥底面圆的周长为， 设圆锥底面圆的半径为， ∴， ∴， 故答案为：1 ． 7．（25-26六年级下·上海·期中）一个圆柱的高是，它的底面积是，那么它的侧面积是_____．（保留） 【答案】 【分析】先根据圆柱底面积即圆的面积求出底面半径，再根据圆柱侧面积公式计算即可． 【详解】解：设圆柱底面圆的半径为， 根据圆的面积公式可得， 解得， 圆柱的侧面积为． 8．（25-26六年级下·上海虹口·期末）你听说过木桶效应吗？组成木桶的木板如果长短不齐，那么这个木桶的盛水量不取决于最长的木板，而是取决于最短的木板．一个圆柱形木桶，底面内直径为，桶口距底面最小高度为，最大高度为．这个木桶如图放置时，最多能装__________升水（取3.14）． 【答案】62.8 【详解】解：（升）， 答：这个木桶如图放置时，最多能装62.8升水． 9．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）如图，一个容器的高与地面垂直，用的水刚好把这个容器装满，如果水深，那么这个容器里有______L水． 【答案】 【分析】观察图形可知，该容器由上面的圆柱和下面的圆锥组成，且圆柱与圆锥等底等高．根据容器的总容积为，利用圆柱和圆锥的体积公式建立方程求出底面积．当水深时，水的体积等于圆锥的体积加上高为的圆柱的体积，据此计算即可求解． 【详解】解：设容器的底面积是 圆锥的体积为： 水深时水的体积为： ． 10．（25-26六年级下·上海青浦·阶段检测）一个圆锥的底面半径是3厘米，其侧面展开图的圆心角是，则这一圆锥的侧面积是______平方厘米．（保留） 【答案】 【分析】根据底面周长与扇形的弧长相等，再利用扇形面积公式计算． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3， ∴展开的扇形弧长=底面周长=， ∴圆锥的母线长， 圆锥的侧面积=扇形面积=． 11．（2026六年级下·上海·专题练习）把底面直径为的圆锥沿高切开后，表面积增加了，则圆锥的体积为__．（取） 【答案】157 【分析】先根据把底面直径为的圆锥沿高切开后，表面积增加了，求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式进行计算即可． 【详解】解：（平方厘米）， （厘米）， （立方厘米）， 答：圆锥的体积是157立方厘米． 12．（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）将一个宽和长分别为2厘米和3厘米的长方形，绕着长方形的一条边旋转一周形成一个圆柱，这个圆柱的表面积是______．（结果保留） 【答案】 或 【分析】本题需分两种情况讨论，即分别绕长方形不同的边旋转得到圆柱，再根据圆柱表面积公式计算即可得到结果 【详解】解：分两种情况计算： ① 绕长度为厘米的边旋转时，圆柱的底面半径厘米，高厘米， 圆柱表面积 ② 绕长度为厘米的边旋转时，圆柱的底面半径厘米，高厘米， 圆柱表面积 ． 13．（2026六年级下·上海·专题练习）用一张圆心角是72度，面积是62.8平方厘米的扇形纸片卷成一个大的圆锥，这个圆锥底面面积是________平方厘米． 【答案】12.56 【分析】本题主要考查了扇形与圆锥的展开图之间的转化，计算比较复杂，需要先求出扇形的弧长也就是圆锥的底面周长这一个中间量，通过扇形面积和圆心角求出扇形半径，再求弧长，弧长等于圆锥底面周长，从而求出底面半径，最后计算底面面积． 【详解】解：由扇形面积公式 得 ，即 ， 所以 ，，， 扇形弧长 ．此弧长即为圆锥底面周长， 设底面半径为 ，则 ，即 ， 解得 ， 底面面积 ． 故答案为：12.56． 14．（2026六年级下·上海·专题练习）如图，将长方形的铁皮沿虚线剪开，正好可以焊接成一个无盖的水桶（接头处忽略不计），这个水桶的容积大约是( )升．（得数保留整数） 【答案】170 【分析】从图中可知，长方形的长等于圆柱的底面周长加上底面直径之和，水桶的高等于长方形的宽，即圆柱的底面直径；设圆柱的底面直径为d分米，根据等量关系：，列出方程，并求出圆柱的底面直径；然后根据圆柱的体积（容积）公式，代入数据计算，计算结果保留整数，并根据进率1立方分米＝1升换算单位． 【详解】解：设圆柱的底面直径为d分米． （立方分米） 立方分米升 15．（2026六年级下·上海·专题练习）请你制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮供选择． ①你选择的材料是( )号和( )号． ②你选择的材料制成的水桶的容积是( )升． 【答案】 （1）（答案不唯一） （2）（答案不唯一） 15700（答案不唯一） 【分析】①由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高，据此即可计算长方形的长与圆形的底面周长，若相等，则可以选择，否则不能选择； ②求水桶的容积可以利用圆柱的体积公式，即圆柱的体积＝底面积×高，将两组数据分别代入公式即可求其容积． 【详解】解：①因为（2）号的周长是：（分米）， 等于（1）号的长，所以可以选（1）号和（2）号搭配； ②（1）号和（2）号制作的水桶的容积是： （立方分米） （升）． 或①因为（3）号的周长是：（分米）， 等于（4）号的长，所以可以选（3）号和（4）号搭配； ②（3）号和（4）号制作的水桶的容积是： （立方分米） （升）． 三、解答题 16．（24-25六年级下·上海·期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面展开，得到一个扇形，若圆锥的底面半径，扇形的圆心角，求该圆锥母线的长． 【答案】该圆锥母线的长为 【分析】本题考查求圆锥的母线长，根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，进行计算即可． 【详解】解：； 答：该圆锥母线的长为． 17．（24-25七年级下·上海闵行·期末）水是生命之源，有研究表明初中生按体重每日需水量为毫升/千克．根据小明的实际体重，扣除食物水分，营养师建议他每日直接饮水量为升；如果他用圆柱形水杯喝水（底面圆的直径为6厘米，高为10厘米），且每次盛满水并喝完，那么他每日需用这样的杯子喝多少杯水？（1升立方厘米，π的值取3） 【答案】6杯 【分析】本题主要考查了圆柱的体积计算，先计算出圆柱底面圆半径，进而求出圆柱的体积，再用需要的水的体积除以圆柱的体积即可得到答案． 【详解】解：厘米， 立方厘米， 杯， 答：他每日需用这样的杯子喝6杯水． 18．（2026六年级下·上海·专题练习）用如下图所示的3块铁皮做成一个油桶，那么做好的油桶能装多少千克油？（每升油的质量是） 【答案】70.336千克 【分析】根据题图，可知一个底面圆直径加底面圆周长等于，即，用16.56除以，即可求出底面圆的直径；由图可知，圆柱的高是底面直径的2倍，用底面直径乘2即可求出圆柱的高；根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可求出油桶的容积；最后用油桶的容积乘0.7，即可求出油的质量，据此解答． 【详解】解：底面圆的直径：， 圆柱的高： 油桶的容积： （千克） 答：做好的油桶能装70.336千克油． 19．（24-25六年级下·上海·期末）请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择．（不考虑制作损耗，取3.14） (1)你选择的材料是__________号和________号． (2)你选择的材料做成的水桶最多能装水多少千克？（1立方分米水重1千克） 【答案】(1)（1），（4）（答案不唯一） (2)水桶最多能装水千克（答案不唯一） 【分析】本题考查圆柱的认识及圆柱的容积，确定圆柱的组成部分是解题关键． （1）依据圆柱的底面周长等于侧面展开图（长方形）的长，据此确定可围成圆柱的底面和侧面； （2）要求圆柱的容积，只要将相关数据代入圆柱的体积公式：圆柱的体积=底面积×高，进行计算即可． 【详解】（1）解：（4）号圆的周长为（分米），（1）号长方形的长为分米， 选择（1）号和（4）号 故答案为：（1），（4）；（答案不唯一） （2）解：选择选择（1）号和（4）号时，水桶最多能装水（千克）， 答：水桶最多能装水千克．（答案不唯一） 20．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个直角三角形，两条直角边分别为3和4，斜边为5． (1)如图1，如果以3的边所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥体积是多少？（结果保留π） (2)由面积相等可计算，三角形斜边上的高为多少？ (3)如图2，如果以斜边所在的直线为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是多少？（结果保留π） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）三角形绕着直角边所在直线旋转一周得到圆锥，结合圆锥体积公式计算即可得出答案； （2）等积法求出斜边的高即可； （3）直角三角形绕着斜边所在直线旋转一周，得到两个扣在一起的圆锥，结合圆锥体积公式计算即可得出答案； 【详解】（1）解：根据题意， 绕着长为的边所在直线旋转一周得到一个圆锥， 其底面半径为，高为， 圆锥体积 ． （2）直角三角形面积有两种计算方式： 两直角边乘积的一半： 斜边与斜边上高乘积的一半： 联立得：， 解得． （3）解：根据题意， 绕着长为的边所在的直线旋转一周时， 得到的是一个由两个底面半径相等，但高不相等的圆锥扣在一起组成的几何体； 体积为． 21．（2026六年级下·上海·专题练习）用一张长方形铁皮（如下图），裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶．（取） (1)请你在上图中画出这个水桶的底面和侧面展开图，并标出底面直径和高． (2)这个水桶的底面直径是（ ）分米，高是（ ）分米． (3)这个水桶实际用了多少平方分米的铁皮？（接头处忽略不计）． (4)这个水桶最多能盛水多少升？（铁皮厚度忽略不计） 【答案】(1)见详解 (2)2；2 (3)平方分米 (4)升 【分析】（1）用长方形铁皮做一个容积最大的圆柱形无盖水桶可知，以铁皮的长为圆柱的底面周长，以铁皮的宽为圆柱的高时做成的圆柱容积最大；因为这张铁皮宽是2分米，先根据圆的画法，画出直径是2分米的圆，铁皮的长减去2分米就是圆柱的底面周长；据此作图即可； （2）从图中可知，这个水桶的底面直径和高都是2分米； （3）这个水桶是无盖的圆柱形，少上面，实际用铁皮的面积是圆柱的侧面积和一个底面的面积之和；根据公式，，代入数据计算即可； （4）根据圆柱体积（容积）公式，代入数据计算，计算结果根据进率1立方分米升换算单位． 【详解】（1）解：如图： （2）解：这个水桶的底面直径是2分米，高是2分米． （3）解：（分米） （平方分米） 答：这个水桶实际用了平方分米的铁皮． （4）解： （立方分米） 立方分米升 答：这个水桶最多能盛水升． 22．（2026六年级下·上海·专题练习）如图，圆柱形容器的底面半径是10厘米，高是20厘米，里面盛有一部分水，其中盛水部分与空的部分高度的比是．（取） (1)这个容器还能盛多少升水？（得数保留一位小数） (2)给这个容器的整个侧面贴上一张保护膜，你认为这张保护膜可以是什么形状？尺寸是多少？（可以用文字或画图说明，接缝处忽略不计．） 【答案】(1)升 (2)长方形；长厘米，宽20厘米（答案不唯一） 【分析】（1）根据圆柱体积底面积高，求出容积，将容积看作单位“1”，容积空余部分对应分率还能盛水量； （2）圆柱侧面沿高展开是一个长方形，长方形的长圆柱底面周长，长方形的宽圆柱的高，据此分析． 【详解】（1）解： （立方厘米） 4396立方厘米升 答：这个容器还能盛升水． （2）解：（厘米） 答：这张保护膜可以是一张长厘米，高20厘米的长方形．（或底厘米，高20厘米的平行四边形，其他形状画图并标上数据也可，答案不唯一．） 23．（24-25六年级下·上海·阶段检测）网红竹筒冰淇淋是当下旅游打卡的热门美食，采用天然规整竹筒作为容器，竹筒内部可看成空心圆柱体，下部装奶茶，顶部放置同底面圆锥形冰淇淋．已知冰淇淋完全融化后体积减少；竹筒空心部分底面直径为，竹筒内部总高；先装入奶茶，奶茶高度为．顶部放置一个和竹筒同底面的圆锥形冰淇淋，圆锥高，母线长． (1)求竹筒冰淇淋的表面积（含竹筒，结果保留）； (2)若把冰淇淋完全融化倒入竹筒奶茶中，此时液面会不会溢出？请计算说明理由； (3)为推广这款竹筒冰淇淋，商家分装成迷你试吃装．试吃装均使用同款迷你纸杯，杯的底面半径与竹筒底面半径和高的比都是，试吃分为纯奶茶款和奶茶冰淇淋混合款，奶茶款装满，混合款奶茶和冰淇淋的体积占比（冰淇淋不融化，奶茶和冰淇淋体积和等于纸杯体积）．已知所有竹筒冰淇淋（奶茶冰淇淋）全部用完（无剩余），且纯奶茶试吃装的纸杯总数比混合试吃装少12个，求两款试吃纸杯各需要准备多少个？ 【答案】(1)表面积为； (2)液面不会溢出．理由： 奶茶体积：， 圆锥冰淇淋体积：， 融化后冰淇淋体积：， 竹筒总容积：， 融化后总体积：， 因此液面不会溢出． (3)纯奶茶款需要个，混合款需要个． 【分析】（1）表面积的组成部分：圆柱侧面积、圆柱下底面积、圆锥侧面积，三者无重叠且题目要求含竹筒，分别计算三部分面积后求和，用到圆柱侧面积公式、圆的面积公式、圆锥侧面积公式． （2）先计算竹筒内奶茶体积，圆锥冰淇淋的体积，融化后体积减少30%，可得融化后的冰淇淋体积；再计算竹筒内总容积，比较奶茶体积加融化后冰淇淋体积和总容积的大小即可判断是否溢出，用到圆锥体积公式 、圆柱体积公式． （3）先根据比值求出迷你纸杯的底面半径和高，计算单个迷你纸杯的容积；再计算一个竹筒冰淇淋中奶茶和未融化冰淇淋的总体积；接着设混合试吃装数量为未知数，因为纯奶茶款数量比混合款少12个，所以可表示出纯奶茶款数量，结合两款试吃装的体积占比关系，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵竹筒底面直径为， ∴半径， ∵竹筒总高，圆锥母线长， ∴竹筒冰淇淋的表面积为． （2）略 （3）解：设混合款需要x个．则纯奶茶款需要个， ∵杯的底面半径与竹筒底面半径和高的比都是， ∴试吃装底面半径、高均为原竹筒的​， ∴试吃装底面半径，高， ∴单个体积． ∵奶茶款装满，混合款奶茶和冰淇淋的体积占比（冰淇淋不融化，奶茶和冰淇淋体积和等于纸杯体积）， ∴混合款每个含奶茶、冰淇淋，纯奶茶每个含奶茶，且所有材料用完， ∴，即， 解得． ∴． 答：纯奶茶款需要个，混合款需要个 1. 圆锥体积计算忘记乘，已知圆锥体积逆向求高、底面积忘记乘3； 2. 题干给出直径，未换算半径直接代入公式计算； 3. 实际应用题底面数量判断错误（通风管算底面、无盖水桶算双底面）； 4. 单位不统一，厘米、分米、米、升、毫升混用，未提前换算； 5. 切割立体图形，表面积增减只算单面，忘记乘2； 6. 混淆圆锥母线与高，误用母线长度代入体积、表面积公式； 7. 容积与体积概念、单位混用，忘记的换算关系。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆柱与圆锥 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1圆柱、圆锥特征与展开图 题型2 圆柱表面积实际用料问题 题型3圆柱圆锥基础体积计算 题型4 等底等高圆柱圆锥体积互求 题型5 切割/截取圆柱、圆锥 题型6 等积变形 题型7 水中浸物 题型8 组合立体体积 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1 圆柱、圆锥基本概念 2 圆柱侧面积、表面积计算 3 圆柱、圆锥体积公式 4 体积、容积单位换算 5 圆柱切割、截取表面积变化 6 等积变形问题 7 排水法求不规则物体体积 8 圆柱圆锥比例综合 9 组合立体图形计算 1. 生活化情境常态化，贴合实际应用 命题紧密结合生活场景，高频考查烟囱、无盖水桶、粮食粮囤、冰淇淋、倒置矿泉水瓶、压路机滚筒、蒙古包等组合立体图形，摒弃纯公式套算，重点考查学生数学建模与实际应用能力，完全贴合沪教版教材例题、课后习题命题逻辑。 2. 公式逆向考查常态化 打破传统“已知半径、高求面积、体积”的简单考法，高频出现已知表面积、体积，反向求解底面半径、直径、高的题型，渗透方程解题思想，侧重考查学生公式灵活运用能力。 3. 平面图形旋转立体题型高频出现 聚焦空间想象能力考查，核心考法为长方形绕边旋转形成圆柱、直角三角形绕直角边旋转形成圆锥，要求学生根据平面图形推导立体图形的半径与高，是填空、选择高频考点。 4. 等积变形为期末压轴核心 熔铸物体、容器互换倒水、不规则瓶子倒置求容积、排水法测体积等题型，核心命题逻辑为体积恒定不变，是单元测、期末考压轴大题的主流题型。 5. 跨单元融合命题，综合性增强 本章知识点常与《比与比例》结合，考查圆柱、圆锥底面积比、高之比、体积比的互算；同时结合百分数、小数计算，题型综合性提升，不再单一考查几何计算。 6. 图形实操切割拓展题型增多 重点考查圆柱横切、竖切、截短后的表面积增减变化，同时延伸正方体挖圆柱孔洞、组合立体图形挖孔后的表面积、体积计算，侧重空间思维拓展。 7. 开放型最优用料命题创新 给定固定面积铁皮，制作圆柱容器，求最大容积、最优裁剪方案，侧重考查学生综合推理与几何优化思维，属于高阶拔高题型。 考情解码：基础层：选择题、填空题，侧重概念辨析、公式直接计算、体积容积单位换算 中档层：简单计算题、常规解答题，考查圆柱表面积、圆柱与圆锥体积常规运算，生活中容器用料、容积计算 拔高压轴层：等积变形问题、排水法测体积、图形切割拼接、圆柱圆锥比例关系、跨单元比例综合应用题 知识点一 圆柱的认识及特征 圆柱是由两个大小相等、相互平行的圆形底面以及连接两个底面的一个曲面（即圆柱的侧面）围成的几何体。 圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高。 知识点二 圆柱的侧面积、表面积和体积 圆柱的侧面积＝底面的周长×高，用字母表示： S侧＝Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧＝2πrh 圆柱的底面积＝πr2 圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积，用字母表示： S表＝2πr2+2πrh 圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示： V＝πr2h． 知识点三 圆锥的认识及特征 圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。底面是一个圆，侧面是一个曲面。 底面：圆锥的底面是一个圆形。 侧面：圆锥的侧面是一个曲面，展开后为扇形。 高：从圆锥的顶点到底面圆心的垂直距离称为高，圆锥只有一条高。 母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段，称为母线。圆锥有无数条母线，且所有母线长度相等 比较圆柱与圆锥的特征 图形 相同点 不同点 底面形状 侧面 底面个数 侧面展开 高 圆柱 圆形 曲面 2 长方形（或正方形） 无数条 圆锥 圆形 曲面 1 扇形 1条 知识点四 圆锥的侧面积、表面积和体积 侧面积公式：S侧= Cl=πrl（r为底面半径，l为母线长）。 表面积公式：S表＝S底+S侧＝πr2+πrl 体积公式：圆锥的体积，即等底等高的圆柱体积的三分之一 题型1圆柱、圆锥特征与展开图 【例1】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，这个圆锥的底面半径与母线长之比为（    ） A． B． C． D． 【例2】．（2026六年级下·上海·专题练习）把下面每块长方形铁板卷成一个空心圆柱，（    ）卷成的圆柱最粗． A． B． C． D． 【例3】．（2026六年级下·上海·专题练习）一张长方形铁皮，从中剪下一个圆和一个长方形，正好可以做成一个无盖圆柱形铁桶，求这个铁桶的容积． 【技巧总结】看到“长方形/正方形围成圆柱侧面”：侧面积=围成图形的面积，无需计算底面圆面积； 看到“圆柱侧面展开是正方形”：可直接得出2πr=h，实现半径和高的互相推导。 【变式训练1-1】．（2026六年级下·上海·专题练习）如图所示，一个长方形绕其一边旋转一周得到圆柱，分为图1或图2两种情况．下面说法正确的是（ ） A．绕着长方形的边长旋转得到圆柱1． B．绕着长方形的边长旋转得到圆柱2． C．长方形的边长是图1圆柱的底面周长． D．长方形的边长是图2圆柱的高． 【变式训练1-2】．（24-25六年级下·上海·阶段检测）请根据如图提供的信息，寻找圆锥底面直径和母线长的变化引起侧面积变化的规律，按此规律．第个圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】．（25-26六年级下·上海·期中）如图，把一个直径为，母线为的圆锥形斗笠沿虚线剪开，则其展开后扇形的圆心角是_____． 【变式训练1-4】．（25-26六年级下·上海青浦·阶段检测）如图所示，长方形纸片中，，把它分割成正方形纸片和长方形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，求圆锥的表面积．（保留） 题型2 圆柱表面积实际用料问题 【例4】．（2026六年级下·上海·专题练习）为了保护环境、节约资源，张家村倡导使用新能源沼气．每家每户都砌一个圆柱形沼气池，底面直径6米，深2米，在池的内壁与池底抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ 【例5】．（2026六年级下·上海·专题练习）如图是一卷家用生活卫生纸，已知纸的宽度是10厘米，中间硬纸轴的直径是3.5厘米．你知道制作一个这样的卫生纸至少需要多少平方厘米的硬纸板来制作纸轴吗？（接缝处忽略不计） 【解题步骤】1. 审题判断圆柱底面数量；2. 提取题干半径、高关键数据；3. 代入对应表面积公式计算；4. 用料问题结果统一用进一法（实际用料需多预留，不可四舍五入）。 【变式训练2-1】．有一个零件，如下图，零件的下面是一个大圆柱体，底面直径是6厘米，高10厘米。上面是一个小圆柱体，直径是4厘米，高5厘米．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，你知道一共要涂多少平方厘米吗？（取3.14）    【变式训练2-2】．（24-25七年级上·江西抚州·期中）母亲节檬檬给妈妈买了一个圆柱形的茶杯，展开图的数据（单位：厘米）如图所示． (1)檬檬的妈妈想给茶杯做一个布套（包住侧面和底面），问至少用多少平方厘米的布料（不考虑接缝）？ (2)若不考虑杯子的厚度，问这个杯子最多可以盛多少立方厘米的水？（结果保留π） 【变式训练2-3】．（22-23六年级上·上海长宁·期末）生活中的易拉罐、电池、圆形的笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1），当把它的底面（包含上底面和下底面）和侧面展开后发现上底面和下底面是两个大小相同的圆，侧面是一个长方形（如图2）． (1)一个有盖的圆柱形易拉罐，底面半径为，高为，做这个易拉罐至少需要多少面积的材料？（不计接缝，结果保留） (2)如图3，把一张长的长方形纸板剪成一个长方形和两个圆，正好可以做成一个有盖的圆柱形笔筒，那么这个圆柱形笔筒的底面半径是　　　　．（不计接缝，取3.14） (3)有一批铝材和塑料板，它们都是边长为的正方形．现用于制作底面半径为，高为的有盖圆柱形盒子，铝材用于制作圆柱形盒子的侧面，塑料板用于制作圆柱形盒子的底面．如果最大限度利用这批材料，且全部裁剪完这批材料后剪成的侧面和底面正好配套，那么铝材张数与塑料板张数之比为　　　　． 题型3圆柱圆锥基础体积计算 【例6】．（2026六年级下·上海·专题练习）一个圆柱的底面周长是圆锥底面周长的，如果圆柱的体积和圆锥的体积相等，那么圆柱的高是圆锥高的（） A． B． C． D． 【例7】．（24-25七年级下·上海·期末）一个圆柱和一个圆锥，体积之比是，底面半径之比是，那么这个圆柱和圆锥的高之比是______． 【例8】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）将一个棱长为10厘米的正方体削成最大的圆锥，则这个圆锥的体积为________立方厘米．（保留） 【技巧总结】 圆柱体积直接用底面积乘高；圆锥体积先计算同底等高圆柱体积，再乘；题干给出直径时，必须先除以2算出半径再代入公式。 【变式训练3-1】．（25-26六年级下·上海虹口·期末）一个圆柱和一个圆锥的底面积和高均相等，若圆柱的体积是，则圆锥的体积是__________． 【变式训练3-2】．（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）陀螺在我国至少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一．小刚有一个底面直径是6厘米的木制陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少立方厘米？（结果保留） 【变式训练3-3】．2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．长征二号F型运载火箭顶部是逃逸塔发动机部分，为研究方便制作了一个模型（如图），它的下底面直径是，上底面直径是，高． (1)这个模型（圆台）的体积是多少立方分米？（π取3.14） (2)若某公司用有机玻璃来制作此模型，其密度为，则一个此模型的重量约为多少千克？（结果保留整数） 题型4等底等高圆柱圆锥体积互求 【例9】．（2025六年级下·上海·专题练习）一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知它们的体积之和是24立方厘米，那么圆柱的体积是多少立方厘米．（    ） A．8 B．6 C．18 D．15 【变式训练4-1】．（24-25六年级下·上海闵行·期末）一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知它们的体积之和是24立方厘米，那么圆柱的体积是________立方厘米． 【变式训练4-2】．（24-25六年级下·上海·阶段检测）将一个直径是8厘米、高3分米的圆柱削成最大的圆锥．圆锥的体积是__________．（结果保留） 【变式训练4-3】．（24-25六年级下·上海宝山·阶段检测）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差16立方米，这个圆柱的体积是___________立方米． 题型5 切割/截取圆柱、圆锥 【例10】．一根长的圆柱形木料，横截面的半径是，沿横截面的直径垂直锯开，分成相等的两块，每块的表面积是__________（保留π）． 【变式训练5-1】．（25-26六年级下·上海虹口·期末）如图，将一个底面直径为的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了，则这个圆锥的高是（     ） A．4 B．8 C．10 D．16 【变式训练5-2】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）如图，圆柱被截取后，表面积减少了（如图），则原来圆柱表面积为______．（结果保留π） 【变式训练5-3】（22-23六年级上·上海杨浦·期末）在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想． (1)小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并量的这个长方形的长是厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？ (2)生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图），它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱体的高． 小明在学习了《圆的面积》后，也想用类似的方法研究圆柱体的体积，他将一个圆柱体等分成若干分，拼成了一个近似的长方体（如图），他发现把圆柱体等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱体的体积，故由长方体的体积推导出圆柱体的体积.如果设这个圆柱体底面的半径为，高为，体积为，那么这个长方体的长= ，宽= ，所以圆柱体的体积 ． (3)将一个底面周长是厘米的圆柱体斜着截去一段，截后的形体如图所示，求这个截后的体积是多少立方厘米？ 题型6等积变形 【例11】．（24-25六年级下·广东汕头·自主招生）如图所示，把底面直径是的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，那么长方体的体积是( )立方厘米． 【技巧总结】解题步骤 1. 计算原有立体图形体积；2. 设所求未知量；3. 根据体积相等列等式计算；4. 统一单位（重点：厚度厘米与米的换算）。 【变式训练6-1】．用压路机铺设路面（如下图），准备把一个底面周长是米，高米的圆锥形沙土堆，铺成宽5米、厚厘米的路基，能铺________米长．（结果保留） 【变式训练6-2】．一个瓶子的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），它的底面直径是，高是，瓶子里装有高的水，把瓶盖拧紧后倒放，水深，（如下图），这个瓶子的容积是多少？（瓶子的厚度忽略不计）（结果保留π） 【变式训练6-3】．一个底面周长是厘米，高18厘米的圆柱形容器里面装有一些水，将一个底面积是平方厘米的圆锥形铁块放入容器内，完全浸没在水中，拿出铁块后水面下降了3厘米（π取）． (1)这个铁块的体积是多少？ (2)这个铁块的高是多少？ 题型7 水中浸物 【例12】．（24-25六年级下·上海·期末）如图1，有一圆柱形容器，该容器的底面半径为，高为．如图2，有一实心铁圆柱，实心铁圆柱的高为圆柱形容器高的，实心铁圆柱的底面半径与圆柱形容器的底面半径比是． (1)求该实心铁圆柱的体积．（结果保留π） (2)现有一底面半径为的注满水的圆锥容器，如图3，现将实心铁圆柱体放入圆柱形容器，将圆锥容器中的水全部注入圆柱形容器，注入的水刚好将实心铁圆柱体全部浸没，求该圆锥容器的高． 【变式训练7-1】．（25-26六年级下·上海虹口·期末）王老师家有一个圆柱形玻璃鱼缸（如图1），从里面量得底面直径是10分米，高是15分米．（取3） (1)她想要把鱼缸外部贴上透明的彩纸，至少需要这种彩纸多少平方分米（忽略拼接处）？ (2)她打开进水口向内注水，每分钟注水135升（如图2），若使鱼缸内水面高达到9分米，需要多少分钟? (3)在（2）的条件下，（如图3）把一块底面直径为8分米、高为12分米的圆锥铁块放入鱼缸（铁块底部和鱼缸底部完全接触），此时会有水溢出吗？若有，求溢出水多少升？若没有，请说明水面上升情况． 【变式训练7-2】．如图，是一张长方形铁皮，把图中阴影部分剪下，刚好做成一个圆柱形无盖铁桶（接缝忽略不计）． (1)求铁桶的体积（结果保留）； (2)一个装满水的圆锥形容器，底面半径为3厘米，高为6厘米，将这些水全部倒入（1）问中的圆柱形铁桶中（圆柱形铁桶放在水平桌面上），求这个圆柱形铁桶中水的深度； (3)在（2）的条件下，如果把一个底面半径为厘米的圆柱形铁块垂直放入圆柱形铁桶中，当它的一个底面在水中与圆柱形铁桶底面完全接触时，如图2，则铁块高出水面的部分与水面下的部分高度之比为，求此时水深多少厘米？ 题型8组合立体体积 【例13】．（24-25六年级下·上海·期末）如图，分别绕这个直角梯形的上底和下底所在直线旋转一周，所得立体图形的最大体积为______（用含有a，b的代数式表示，结果保留π）． 【例14】．（24-25六年级下·上海·阶段检测）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，把它绕着其中一条直角边旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为______． 【例15】．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，一个立体图形是从高为，底面直径为的圆柱中挖掉一个圆锥得到的，圆锥的底面积就是圆柱的上底面，圆锥的母线为，求该立体图形的表面积．(结果保留) 【变式训练8-1】．（25-26六年级下·上海虹口·期末）如图，求组合图形的体积．（结果保留） 【变式训练8-2】．（24-25六年级下·上海·期末）某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体．如图，圆柱底面的直径是8米，高是3米，圆锥的高是3米，母线长5米．如果每立方米小麦约重750千克； (1)为确保粮食的安全性，需为粮囤定制外部防护材料，一个粮囤，要定制多大面积的外部包裹材料？（不含粮囤底部面积，不考虑损耗，π取3） (2)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库需要多少个这样的粮囤存储这些小麦？（π取3） 【变式训练8-3】．（25-26六年级下·上海·期中）如图，内蒙古游牧民族的屋舍是一种上面是圆锥形，下面是圆柱形的蒙古包．圆柱底面的半径是3米；高是2米，圆锥的高是1米． (1)求蒙古包的空间有多少立方米．（结果保留） (2)小呼用该蒙古包存放牧草共计3140公斤．现欲将这些牧草运往另一个牧场，甲、乙两个运输队承担此次运输任务，已知甲运输队每天比乙运输队多运送，在运送过程中，甲、乙两运输队合运7天后，甲运输队有其他任务，剩下由乙运输队单独运送6天，恰好运完．求乙运输队每天运送多少公斤牧草？ 【变式训练8-4】．（24-25六年级下·上海浦东新·期末）（本题结果保留） 大家都知道圆柱和圆锥这两个立体图形可以看成由一个平面几何图形绕着某条直线旋转一定角度构造而成，学校“深度探索”小组在学完这一章后自然想到：如果改变平面几何图形或者改变直线的位置或者改变旋转的角度，会得到怎样有趣的立体图形呢？ (1)小张用一个平面几何图形绕着某条直线旋转一周发现了下面这个立体图形，请你把小张所用的平面几何图形和其所绕的直线画出来． (2)小查用下面的直角绕着所在的直线旋转，已知长，长，的长度为，求扫过所形成的立体图形的表面积． (3)小戚用下面的长方形绕着直线旋转一周，与直线平行且相距，已知长，长，求长方形扫过所形成的立体图形的表面积和体积． (4)请发挥你的想象力构造出一种不同于上面的立体图形，说出你的构造方法：是由什么平面图形绕着哪条直线（可画出示意图）旋转多少度所成，并求出你所构造的立体图形的体积或表面积． 一、单选题 1．（24-25六年级下·上海虹口·期末）图中瓶底的面积和圆锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入圆锥形杯子中，能倒满（    ）杯． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026六年级下·上海·专题练习）如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径r与扇形半径R之间的关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2026六年级下·上海·专题练习）如图，一个直角三角形，两条直角边分别是和．以较短直角边所在的直线为轴旋转一周形成一个圆锥．这个圆锥的底面直径是（    ）． A．8 B．6 C．4 D．3 4．（24-25六年级下·上海宝山·阶段检测）有一圆柱形的储油罐，其底面直径与高相等，现在要储油罐表面均匀涂上一层油漆（不计损耗），则两个底面所需油漆与侧面所需油漆量之比是（　　） A． B． C． D． 5．（2026六年级下·上海·专题练习）张师傅要在下面的几张铁皮中选两张，做一个无盖的圆柱形水桶，选择错误的是（ ） A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④ 二、填空题 6．（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径为5，则该圆锥底面圆的半径为_____． 7．（25-26六年级下·上海·期中）一个圆柱的高是，它的底面积是，那么它的侧面积是_____．（保留） 8．（25-26六年级下·上海虹口·期末）你听说过木桶效应吗？组成木桶的木板如果长短不齐，那么这个木桶的盛水量不取决于最长的木板，而是取决于最短的木板．一个圆柱形木桶，底面内直径为，桶口距底面最小高度为，最大高度为．这个木桶如图放置时，最多能装__________升水（取3.14）． 9．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）如图，一个容器的高与地面垂直，用的水刚好把这个容器装满，如果水深，那么这个容器里有______L水． 10．（25-26六年级下·上海青浦·阶段检测）一个圆锥的底面半径是3厘米，其侧面展开图的圆心角是，则这一圆锥的侧面积是______平方厘米．（保留） 11．（2026六年级下·上海·专题练习）把底面直径为的圆锥沿高切开后，表面积增加了，则圆锥的体积为__．（取） 12．（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）将一个宽和长分别为2厘米和3厘米的长方形，绕着长方形的一条边旋转一周形成一个圆柱，这个圆柱的表面积是______．（结果保留） 13．（2026六年级下·上海·专题练习）用一张圆心角是72度，面积是62.8平方厘米的扇形纸片卷成一个大的圆锥，这个圆锥底面面积是________平方厘米． 14．（2026六年级下·上海·专题练习）如图，将长方形的铁皮沿虚线剪开，正好可以焊接成一个无盖的水桶（接头处忽略不计），这个水桶的容积大约是( )升．（得数保留整数） 15．（2026六年级下·上海·专题练习）请你制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮供选择． ①你选择的材料是( )号和( )号． ②你选择的材料制成的水桶的容积是( )升． 三、解答题 16．（24-25六年级下·上海·期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面展开，得到一个扇形，若圆锥的底面半径，扇形的圆心角，求该圆锥母线的长． 17．（24-25七年级下·上海闵行·期末）水是生命之源，有研究表明初中生按体重每日需水量为毫升/千克．根据小明的实际体重，扣除食物水分，营养师建议他每日直接饮水量为升；如果他用圆柱形水杯喝水（底面圆的直径为6厘米，高为10厘米），且每次盛满水并喝完，那么他每日需用这样的杯子喝多少杯水？（1升立方厘米，π的值取3） 18．（2026六年级下·上海·专题练习）用如下图所示的3块铁皮做成一个油桶，那么做好的油桶能装多少千克油？（每升油的质量是） 19．（24-25六年级下·上海·期末）请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择．（不考虑制作损耗，取3.14） (1)你选择的材料是__________号和________号． (2)你选择的材料做成的水桶最多能装水多少千克？（1立方分米水重1千克） 20．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个直角三角形，两条直角边分别为3和4，斜边为5． (1)如图1，如果以3的边所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥体积是多少？（结果保留π） (2)由面积相等可计算，三角形斜边上的高为多少？ (3)如图2，如果以斜边所在的直线为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是多少？（结果保留π） 21．（2026六年级下·上海·专题练习）用一张长方形铁皮（如下图），裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶．（取） (1)请你在上图中画出这个水桶的底面和侧面展开图，并标出底面直径和高． (2)这个水桶的底面直径是（ ）分米，高是（ ）分米． (3)这个水桶实际用了多少平方分米的铁皮？（接头处忽略不计）． (4)这个水桶最多能盛水多少升？（铁皮厚度忽略不计） 22．（2026六年级下·上海·专题练习）如图，圆柱形容器的底面半径是10厘米，高是20厘米，里面盛有一部分水，其中盛水部分与空的部分高度的比是．（取） (1)这个容器还能盛多少升水？（得数保留一位小数） (2)给这个容器的整个侧面贴上一张保护膜，你认为这张保护膜可以是什么形状？尺寸是多少？（可以用文字或画图说明，接缝处忽略不计．） 23．（24-25六年级下·上海·阶段检测）网红竹筒冰淇淋是当下旅游打卡的热门美食，采用天然规整竹筒作为容器，竹筒内部可看成空心圆柱体，下部装奶茶，顶部放置同底面圆锥形冰淇淋．已知冰淇淋完全融化后体积减少；竹筒空心部分底面直径为，竹筒内部总高；先装入奶茶，奶茶高度为．顶部放置一个和竹筒同底面的圆锥形冰淇淋，圆锥高，母线长． (1)求竹筒冰淇淋的表面积（含竹筒，结果保留）； (2)若把冰淇淋完全融化倒入竹筒奶茶中，此时液面会不会溢出？请计算说明理由； (3)为推广这款竹筒冰淇淋，商家分装成迷你试吃装．试吃装均使用同款迷你纸杯，杯的底面半径与竹筒底面半径和高的比都是，试吃分为纯奶茶款和奶茶冰淇淋混合款，奶茶款装满，混合款奶茶和冰淇淋的体积占比（冰淇淋不融化，奶茶和冰淇淋体积和等于纸杯体积）．已知所有竹筒冰淇淋（奶茶冰淇淋）全部用完（无剩余），且纯奶茶试吃装的纸杯总数比混合试吃装少12个，求两款试吃纸杯各需要准备多少个？ 1. 圆锥体积计算忘记乘，已知圆锥体积逆向求高、底面积忘记乘3； 2. 题干给出直径，未换算半径直接代入公式计算； 3. 实际应用题底面数量判断错误（通风管算底面、无盖水桶算双底面）； 4. 单位不统一，厘米、分米、米、升、毫升混用，未提前换算； 5. 切割立体图形，表面积增减只算单面，忘记乘2； 6. 混淆圆锥母线与高，误用母线长度代入体积、表面积公式； 7. 容积与体积概念、单位混用，忘记的换算关系。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $