第03讲 整式的除法（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新七年级数学衔接讲义（沪教版2024）

第03讲 整式的除法（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用科学记数法表示数的除法 典型例题二 同底数幂的除法运算 典型例题三 同底数幂除法的逆用 典型例题四 计算单项式除以单项式 典型例题五 多项式除以单项式 典型例题六 幂的混合运算 典型例题七 整式四则混合运算 典型例题八 幂的新定义计算 知识点01 单项式除以单项式 定义和计算法则：单项式除以单项式时，需要将系数相除，同底数的幂相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例：(8a^3b^2)÷(2a^2b) 的计算过程如下：首先，系数8除以2得4；其次，a的三次方除以二次方得a的一次方，b的二次方除以一次方得b的一次方；最后，由于没有额外字母，结果为 4ab。 知识点02 多项式除以单项式 定义和计算法则：多项式除以单项式的运算可以视为多项式的每一项分别除以单项式。具体方法是先将被除式的每一项单独除以除式，然后将所得的结果累加。 【典型例题一 用科学记数法表示数的除法】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）纳米是非常小的长度单位，，把的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，的空间可以放（    ）个的物体（物体之间的空隙忽略不计）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，求出1立方米立方纳米，即可求解． 【详解】解：1纳米米， 1立方米立方纳米， 的空间可以放个的物体， 故选：D． 【点睛】本题考查了单位之间的转化，解题的关键是：要掌握纳米与米之间的转化． 【例2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍． 【答案】8 【分析】根据整式除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法法则是解题关键． 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算（结果用科学记数法表示）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算，用科学记数法表示数的乘法和学记数法表示数的除法． （1）首先根据整式的乘法定义化简，然后根据同底数幂的乘法计算出结果，最后同科学计算法表示即可． （2）首先根据整式的除法定义化简，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后同科学计算法表示即可． 【详解】（1）解： （2） 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用各选项的数分别除以，根据商结合数轴上AO、OB间的距离进行判断即可. 【详解】A. （）÷（）=2，观察数轴，可知A选项不符合题意； B. ÷（）=4，观察数轴，可知B选项不符合题意； C. ÷（）=20，观察数轴，可知C选项不符合题意； D. ÷（）=40，从数轴看比较接近，可知D选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了数轴，用科学记数法表示的数的除法，正确进行运算，结合数轴恰当地进行估算是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期末）去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）． 1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克． 【答案】 【分析】运用科学记数法的运算法则解答即可． 【详解】一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克 故答案为． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示的数的除法运算，解题的关键是掌握用科学计数法表示数的运算方法． 3．（24-25七年级上·上海静安·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算， （1）根据同底数幂乘法和除法法则计算即可； （2）根据单项式除法法则计算即可； （3）根据完全平方公式计算再合并即可； （4）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【典型例题二 同底数幂的除法运算】 【例1】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）若，，则的值是（　　） A．4 B．6 C．10 D．16 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆用，逆用同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 【例2】（2025·上海松江·模拟预测）计算，则“”表示的数是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可． 本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解：， “？”表示的数是2， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据幂的乘方，同底数幂的除法，将变形得到，再将变形为求解，即可解题． 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）填空题． 运算名称 法则（文字叙述） 公式（用字母表示） 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 依次填 ， ， ， ， ， ， ， ． 【答案】 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 （n为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘 （n为正整数） 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 （n为正整数） 同底数幂相除，底数不变，指数相减 （n为正整数） 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法运算法则求解即可． 【详解】解： 运算名称 法则（文字叙述） 公式（用字母表示） 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 （n为正整数） 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘 （n为正整数） 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 （n为正整数） 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减 （n为正整数） 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（n为正整数）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；（n为正整数）；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；（n为正整数）；同底数幂相除，底数不变，指数相减；（n为正整数）． 【例5】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握整式的运算顺序和运算法则． （1）根据同底数幂的乘除法则和幂的乘方法则计算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．（2025·上海金山·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，平方差公式，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，平方差公式计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：A. ，选项计算错误，不符合题意； B. ，选项计算错误，不符合题意； C. ，选项计算错误，不符合题意； D. ，选项计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法、积的乘方等运算，据此解答即可． 【详解】解：，故A选项正确，符合题意； 不能合并，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试） ， ， ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 直接运用同底数幂乘法、同底数幂除法法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：，或，． 4．（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方以及同底数幂的除法进行计算即可求解； （2）先利用多项式乘以多项式，完全平方公式进行计算，再加减求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25七年级上·上海静安·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂幂的乘法和除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是关键． （1）根据新定义可得到答案； （2）根据新定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据题意得到则，即可得到,整理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，若，∵， 则； 若，∵，则； （2）由题意可得，， ∵， ∴ ∴ （3）∵，，m，n为正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴, ∴ ∴ 【典型例题三 同底数幂除法的逆用】 【例1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）若，，则的值是（    ） A．40 B．24 C．256 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【例2】（2025·上海松江·模拟预测）如果，，则（　　） A．10 B．3 C．20 D．75 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，逆用同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）若，，则的值是 ，的值是 ． 【答案】 15 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运用，幂的乘方的逆用，同底数幂相除的逆运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 将化为，即可求解；将化为，即可求解 【详解】解：， ， 故答案为：15；． 【例4】（24-25七年级上·上海松江·期中）若，，，为正整数，则 （用含、的代数式来表示）． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的除法、幂的乘方等知识，根据同底数幂的除法、幂的乘方变形为再整体代入即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 【例5】（24-25七年级上·上海闵行·期中）当，时，试说明． 小明做如下尝试： ∵，， ∴， ∴… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴________，________， ∴ ∴… (1)阅读上述材料并填空； (2)继续完成小明与小丽的说理． 【答案】(1)；；5；3； (2)见解析 【分析】本题考查幂的运算及逆用，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）小明的做法利用幂的乘法的逆运算即可求解，小丽的做法利用同底数幂的除法的逆用求解即可； （2）利用底数相同，幂相同，则指数相同求解即可． 【详解】（1）小明做如下尝试： ∵，， ∴， 小丽做如下尝试： ∵，， ∴，， ∴ 故答案为：；；5；3；； （2）证明：小明： 两式的左边与左边相乘，右边与右边相乘，得 ∴ ∴． 小丽： ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（2025·上海普陀·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方的法则，多项式乘多项式的法则对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C不符合题意； ， 选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，多项式乘多项式，掌握同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方的法则，多项式乘多项式的法则是解决问题的关键． 2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴， 那么正确的有②③④． 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海长宁埠·期中）我们知道下面的结论：若，则．利用这个结论解决下列问题：设，，．现给出关于之间的关系式：；；；．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】 【分析】根据同底数幂的除法的逆运算法则可以判断；根据同底数幂的乘法的逆运算法则及幂的乘方的逆运算法则可以判断；根据根据同底数幂的乘法的逆运算法则、同底数幂的除法的逆运算法则及幂的乘方的逆运算法则可以判断；根据根据同底数幂的乘法的逆运算法则及幂的乘方的逆运算法则可以判断可以判断． 【详解】解：，， ， ，故正确，符合题意； ， ， ，故正确，符合题意； ，， ， ，故正确，符合题意； ，， ， ，故错误，不符合题意； 正确的有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算及幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（24-25七年级上·上海静安·期中）已知计算： (1)的值； (2)的值； (3)之间的数量关系． 【答案】(1)243 (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，同底数幂除法的逆用，幂的乘方的逆用，熟练运用以上法则是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法的逆用计算即可； （2）根据同底数幂除法的逆用计算即可； （3）根据幂的乘方的逆用计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：因为， 所以 因为， 所以 所以． 5．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值． (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了积的乘方逆运算，同底数幂的乘法，幂的乘方运算，解题的关键在于对运算法则的熟练掌握与灵活运用． （1）根据，计算求解即可； （2）先根据幂的乘方运算化简得到，再根据同底数幂的乘法得到，再解方程即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ ∴， ∴ ∴， 解得：． 【典型例题四 计算单项式除以单项式】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海崇明·模拟预测）下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·四川成都·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式除法计算，掌握好计算规律即可．根据单项式除法法则，便可求解， 【详解】解： 故答案为： 【例4】（2025·江苏宿迁·模拟预测）科技馆“数理世界”展厅的的密码被设计成如表所示的数学问题．小聪在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ． 账号∶ shuǐ ishì jie 密码 【答案】2043 【分析】本题考查单项式乘以单项式及单项式除以单项式，熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题关键．利用幂的乘方运算，以及单项式除以单项式运算法则先化简，得出密码与指数的关系即可得答案． 【详解】解：∵  ， ∴密码为x、y、z的指数， ∴ ， ∴密码为：2043， 故答案为：2043． 【例5】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式除以单项式，积的乘方，单项式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用单项式除以单项式的法则计算即可； （2）利用单项式除以单项式的法则计算即可； （3）利用单项式除以单项式的法则计算即可； （4）先算积的乘方，再利用单项式的乘除法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1．（2025·上海长宁·模拟预测）若，则括号内应填的代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式，设括号里的代数式是，则，根据单项式除单项式的运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：设括号里的代数式是，则 ， 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）一个长方形的面积是，长是，则这个长方形的宽是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据长方形的宽等于面积除以长列出式子，再根据单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方法则计算即可得． 【详解】解：由题意得：这个长方形的宽是 ， 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是先求出纸盒底部长方形的宽. 根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出宽，再计算纸盒底部长方形的周长即可. 【详解】解：根据题意，得该纸盒的容积为， ∴纸盒底部长方形的宽为， ∴纸盒底部长方形的周长为， 故答案为：. 4．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据乘法公式进行计算即可； （2）根据单项式乘以多项式法则计算即可； （3）根据单项式乘除法计算即可； （4）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （5）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （6）根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） 【点睛】此题考查了乘法公式、单项式乘以多项式、整式的混合运算、多项式乘以多项式、单项式除以单项式等知识，熟练掌握相关法则是解题的关键． 5．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心污染了这道习题，只看见被除式的其中一项“”和中间的符号“”，污染后的习题形式如下：．小明翻看了书后的答案是“ ”，请你帮忙复原这道习题． 【答案】或 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，单项式除以单项式，单项式乘以多项式，由于除以一个单项式的结果一定是个单项式，那么除以这个单项式的结果可以为或，据此分两种情况求出除数，进而确定被除数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，有两种情况： ①除式是 此时被除式是 ∴这道习题为 ； ②除式是， 此时被除式是 ， ∴这道习题为 ； 综上所述，这道习题为 或． 【典型例题五 多项式除以单项式】 【例1】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）对任意不为0的整数，按下图所示程序计算，则输出答案为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式除以单项式，根据流程图可知，输出的结果为，据此计算求解即可． 【详解】解： ∴输出答案为， 故选： B． 【例2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知长方形的面积为，一边长为，则另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式除以单项式的应用，计算．即可求解． 【详解】解：长方形的另一边， 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意可得：被除式，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：被除式， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）填空题： （1） ； （2） ； （3），括号里应填 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式以及多项式除以单项式计算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． （1）由单项式乘以多项式法则计算； （2）由单项式乘以多项式法则计算； （3）由多项式除以单项式法则计算． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）化简并求值：，其中．下面是小明化简的过程，请你仔细阅读，并完成下列问题： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 (1)小明化简的过程从第_______步开始出现了错误． (2)请你完成此题的化简与求值． 【答案】(1)一 (2)；． 【分析】本题考查整式混合运算，平方差公式和完全平方公式化简求值，熟记运算法则及平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式判断即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式及多项式除以单项式运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：小明化简的过程从第一步开始出现了错误，原因是完全平方公式运用错误； （2）解：原式 ； 当，原式． 1．（24-25七年级上·宝山·阶段练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，多项式除以单项式，单项式乘以多项式，单项式乘以单项式等，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据平方差公式，多项式除以单项式，单项式乘以多项式，单项式乘以单项式判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，故原写法错误，符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了多项式乘法，正确利用图形面积关系是解题关键．首先求出大正方形面积，进而利用图形总面积不变得出等式求出答案． 【详解】解：∵，拼成的长方形一边长为m， ∴． 故另一边长为：． 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ； ； ． 【答案】 /0.5 【分析】本题考查了积的乘方，运用完全平方公式，多项式与单项式的除法运算，将变形为，计算即可；将变形为，进行计算即可；先算括号内积的乘方，再根据多项式与单项式的除法法则可计算．熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ； ； ． 故答案为：；；． 4．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)利用乘法公式计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）先算同底数幂的乘法和积的乘方，再算同底数幂的除法； （2）根据多形式与单项式的除法法则计算即可； （3）先根据多形式与多项式的乘法法则和单形式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项； （4）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． （3）原式 ； （4）原式 . 5．（24-25七年级上·上海金山·期中）学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当余式的次数低于除式的次数 (2) (3)3 (4)能，另一边长为 【分析】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式． （1）结合列竖式计算整数的除法即可得到结论； （2）列竖式进行计算即可得到答案； （3）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （4）根据题意，得到18张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案． 【详解】（1）解：余式的次数满足：当余式的次数低于除式的次数， 故答案为：当余式的次数低于除式的次数； （2）解：列竖式如下： 多项式除以多项式，所得的商式为， 故答案为：； （3）解：列竖式如下： 能被整除， ， 解得：， 故答案为：； （4）解：能，理由如下： 根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是， 张卡片，9张卡片，8张卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为， 能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 【典型例题六 幂的混合运算】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的混合运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据幂的混合运算法则及合并同类项法则计算，即可判断答案． 【详解】A、因为与不是同类项，不能合并同类项，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 【例2】（2025·上海普陀·模拟预测）小虎学习了“整式的乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了整式幂的运算，完全平方公式，多项式乘单项式，熟记这些计算公式是解题的关键．根据单项式乘单项式法则对①进行判断；根据同底数幂的除法对②进行判断；根据积的乘方和幂的乘方对③进行判断；根据多项式乘单项式乘法对④进行判断；根据完全平方公式对⑤进行判断； 【详解】解：①中，故①正确； ②中，故②错误； ③中，故③错误； ④中，故④错误； ⑤中，故⑤错误； 故做对的有1个， 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·上海静安·期中） ． 【答案】 【分析】根据幂的混合运算法则计算即可． 【详解】 【点睛】本题考查幂的混合运算．掌握幂的混合运算法则是解题关键． 【例4】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法是解题的关键． 【例5】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知． (1)由上述计算，我们发现：_______（填“”“”或“”）； (2)请你通过计算，比较与的大小； (3)我们可以发现：_______（，填“”“”或“”）； (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【分析】本题考查负整数指数幂，幂的运算： （1）直接根据题干即可得出结论； （2）利用负整数幂的法则进行计算后即可得出结果； （3）结合（1）（2）结论作答即可； （4）利用负整数幂的法则，乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解：由已知可知：； 故答案为：； （2）， 所以． （3）由（1）（2）知：； 故答案为： （4）原式． 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）下面是某同学在作业中的计算摘录：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中计算正确的是（    ） A．①②③④ B．①③⑤⑦ C．②③④⑥ D．②④⑤⑦ 【答案】D 【分析】根据零指数幂的运算法则判断①，根据同底数幂的乘法运算法则判断②，根据负整数指数幂的运算法则判断③，根据幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的运算法则判断④，根据合并同类项的运算法则判断⑤，根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断⑥，根据积的乘方，同底数幂的除法运算法则判断⑦． 【详解】解：①，原计算错误； ②，原计算正确； ③，原计算错误； ④，原计算正确； ⑤，原计算正确； ⑥，原计算错误； ⑦，原计算正确； 其中计算正确的是：②④⑤⑦． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， ． 选项的结论正确，不符合题意； 若， ， ， ， 选项的结论正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，符合题意； ，， 则， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：B 3．（24-25七年级上·嘉定·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简， ． 【答案】 【分析】先具体计算出S1，S2，S3，S4的值，得出面积规律，表示S2021，再设①，两边都乘以，得到②，利用①−②，求解S，从而可得答案． 【详解】解：∵ 设① ② ①-②得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查幂的混合运算： （1 ）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2 ）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3 ）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 【典型例题七 整式四则混合运算】 【例1】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）对任意整数，若按下列程序计算，则输出的答案为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据程序正确列式是解题的关键． 根据程序正确列式计算即可． 【详解】解：根据程序得 ， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，根据新定义代入，然后根据完全平方公式以及平方差公式展开，最后合并同类项即可． 【详解】解：根据题意可知： ， 故选：C 【例3】（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知一个长方形的面积是，其中一边的长为，则另一边的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的除法运算的应用，直接利用长方形面积求法结合整式的除法运算法则计算得出答案，熟练掌握整式的除法运算是解决此题的关键． 【详解】解：∵一个长方形的面积是，其中一边的长为， ， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·全国·单元测试）任意给一个非零数，按下列程序进行计算，则输出结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，理解程序图列出算式是解题的关键．根据程序图列出算式，再计算即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：m． 【例5】（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设，当时，有，将代入，得，解得． 仿照上例解法，解答下列的问题： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若可化为整式，求化简后的整式； (3)若和是多项式的两个因式，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据材料提示，把代入即可求解； （2）根据题意得到分子中一定有一个因式，根据材料提示，当时，，，代入求值即可； （3）设（A为整式），当时，得，当时，得，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴把代入得：， 解得：； （2）解：由题意可知：分子中一定有一个因式， 当时，，即，， ∴． （3）解：设（A为整式）， ∴当时，得， 当时，得， 即：， 解得：， ． 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．由，，推出，结合，即可求解． 【详解】解：，， 当时，则， 当时，则， ， ， 始终成立， ， ， ， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含的式子表示出，，，，进而求出，，最后代入计算即可求解，正确识图是解题的关键 【详解】解：由图可得，， ， 由图得，， ， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵, ∴， 故选：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列等式：第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；其中为常数，按照上面的规律，则 ； ；若，则 ． 【答案】 2022 【分析】本题主要考查了数字规律，涉及整式运算和有理数混合运算，熟练发现数字规律进行计算是解答本题的关键．根据示例得出规律，进而可求解． 【详解】解：∵第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； ∴； ； 当时， = = = = =2022， 故答案为：；；2022． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算、幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用幂的乘方化简，然后再根据整式的四则混合运算法则计算即可； （2）先运用积的乘方化简，然后再根据整式的四则混合运算法则计算即可； （3）先运用积的乘方、积的乘方化简，然后再根据整式的四则混合运算法则计算即可； （4）先运用积的乘方、积的乘方化简，然后再根据整式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 5．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）某数学兴趣小组的小林和小颖两位同学将连续的正整数1，2，3，…排成如图1所示的数表，从中框出某些数，做了如下探索： (1)小林在数表中框出“”字形，并将相对的两数相乘，再作差，请你帮忙完成研究过程． ①计算： ， ． ②化简：图2是从图1中取出的一部分，在选中的七个数中，若设中心数为，则所对应的数分别为，，，，请你利用整式的运算，对进行化简． (2)小颖在数表中框出“”字形，并将顶端左右两数相乘，再与底端数平方作差，即图3中，则在框出的“”字形中，的值能否等于？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①36，36；②36 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）①直接计算即可；②先设未知数，再代入计算即可； （2）先表示出，再代入计算，然后根据数的位置得出结论． 【详解】（1）解：①，， 故答案为：36，36； ② ． （2）解：∵图3中，， ， 若， 则， 解得， 由图可知，， ∴在框出的“”字形中，的值不能等于． 【典型例题八 幂的新定义计算】 【例1】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）我们知道：．现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值． 【例2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如果，那么称为的“助力数”，记为，由定义可知：．例如，，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键．根据“助力数”的定义，将转化为，，进而求解出，在计算出的值，最后求出“助力数”． 【详解】解：， ，， ， ， ， 故答案为：． 【例3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）在复习第7章《幂的运算》过程中，小东进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，、是正整数，）． (2)当、是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了同底数幂相除，负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合幂的定义证明同底数幂的除法法则，即可作答． （2）运用负整数指数幂运算法则验证，即可作答． 【详解】（1）证明：，、是正整数， ， 即（，、是正整数，）； （2）解：，、是正整数 ∴， ， 故． 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则（ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 则， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）定义一种新运算：规定．若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了定义新运算，同底数幂的乘法，读懂题意是解题的关键．根据题意可知，，然后解方程即可． 【详解】解： 故答案为：1． 3．（24-25七年级上·上海青浦·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而可得：，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算可得原式． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）定义一种新运算“*”：，如：． (1)求的值； (2)，请根据上述运算，求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂相乘，解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义的运算计算得，再由同底数幂相乘运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算得，再由同底数幂相乘运算法则计算得，则可得方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵ ∴ ∴ 解得：． ∴x的值为． 5．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）定义一种新运算（其中），例如，依据上面的公式解决下列问题： (1)求的结果； (2)若，求k的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）根据新定义运算计算即可； （2）根据新定义运算即可列方程，进而可求出值． 【详解】（1）根据新定义运算可得：， （2）由题意可得：， ． ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查新定义运算及整数指数幂，解题关键是理解新定义运算并进行运用． 1．（2025·上海松江·模拟预测）小病毒粒（），是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为米的二十面体．数据“”用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：数据“”用科学记数法可表示为． 故选：B 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）幂的运算中：运算的依据是（　　） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方法则、幂的运算法则等知识点，掌握积的乘方法则是给积的每一个因式分别乘方成为解题的关键． 根据积的乘方的运算法则即可解答． 【详解】解：幂的运算中：运算的依据是积的乘方法则． 故选D． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）小颖同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出原题正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，多项式除以单项式，计算出的结果，再把这个结果加上即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个多项式为， ， 故选：D． 4．（24-25七年级上·上海阶段·期中）观察下列各式： ， ， ， ， 根据上述规律计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据上面的式子得到：，然后根据规律计算即可． 【详解】解：根据上面的式子可得： ∴， ∴ ． 故选A． 【点睛】本题考查了整式的除法，关键是通过观察找出规律，再根据规律进行计算． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算的实际应用； 设，，可得，，，，然后分别求出和，结合已知列式，求出，进而计算即可． 【详解】解：设，，则，， ∴， ， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴长方形的周长为：， 故选：C． 6．（24-25七年级上·上海松江·期中）若，则 ， ． 【答案】 8 2 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法的逆用，掌握计算公式是解题的关键． 根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ， 故答案为：8；2． 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）一种液体，每升含有个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了试验，发现1滴杀菌剂可以杀死个此种细菌．若要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂 滴． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的除法的应用，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：（滴） 故答案为： 8．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成知图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺科地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号： 密码：前四位：       后四位：？ ？ 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，单项式乘以单项式及单项式除以单项式，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案．熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴密码为、、的指数， ∵， ∴密码是， 故答案为：． 9．（2025·上海宝山·模拟预测）已知两个正数a，b，可按规则扩充为一个新数C．在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依此继续扩充下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作， （1）若，，按上述规则操作三次，扩充所得的数是 ； （2）若，按上述规则操作五次后扩充所得的数为（m，n为正整数），则 ． 【答案】 255 13 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据，根据新定义重复进行计算，找到规律即可求解． 【详解】解：（1）依题意，第一次扩充得到， 第二次扩充：，， 第三次扩充：，， 故答案为：． （2）依题意，第一次扩充得到： ∵ ∴第二次扩充得到： 第三次扩充得到，， 第四次扩充得到， 第五次扩充得到， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，整式的混合运算，找到整式的变化规律是解题的关键． 10．（24-25七年级上·上海静安·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为 ，余式为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了整式的除法运算，仿照条件中的方法，列出竖式，进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 的商式为，余式为3， 故答案为：，3． 11．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方和幂的乘方，合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）先算幂的乘方，再算同底数幂的除法； （3）先算积的乘方，再合并同类项． 【详解】（1） （2） （3） 12．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算幂的乘方和积的乘方，再利用同底数幂乘法法则计算即可； （2）利用多项式除单项式的法则计算即可求解； （3）按照整式的混合运算法则计算即可求解； （4）利用乘法公式展开，再合并即可求解． 【详解】（1）解； ； （2）解； ； （3）解； ； （4）解； ． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，涉及的知识点有积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、平方差公式，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）大麦哲伦云和小麦哲伦云是银河系外离地球最近的星系．大麦哲伦云的质量为太阳质量的倍，即，小麦哲伦云的质量为太阳质量的倍，两者相距光年，求它们之间的引力．其中，引力的大小（单位：N）与物体的质量和（单位：kg）的乘积成正比、与它们之间距离r（单位：m）的二次方成反比，即引力，G叫作引力常量，；1光年指光在真空中穿行1年的距离，光速约为． 【答案】约 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式的应用，解题的关键是理解题意；由引力可代入题中所给数据，进而求解即可． 【详解】解：由题意得： ； 答：它们之间的引力约为． 14．（24-25七年级上·上海闵行·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2025年1月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现结果都是7． (1)请你按上述方法在题目的日历中再框选4个数，并写出算式（直接写出算式即可）； (2)按上面的规律归纳出一个一般性的结论（用含的等式表示，为正整数）； (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，读懂题意并熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意框选4个数，然后将4个位置上的数交叉相乘，再相减即可，本题答案不唯一； （2）设方框中左上角的数为，其他三个分别为，，，然后将4个位置上的数交叉相乘，再相减即可； （3）根据整式的乘法可以将（2）中结论式子的左边展开，然后合并同类项，即可证明等式成立． 【详解】（1）解：；（答案不唯一，正确即可） （2）解：设方框中左上角的数为，则 （3）解：左边， 右边， 所以左边右边． 即． 15．（24-25七年级上·上海松江·期中）阅读与思考 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式． 项目实施： 任务一  搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按的指数从大到小排列：________． 任务二  竖式计算： 如下边竖式中，13579除以112，商为121，余数为27，而如下边竖式中，多项式除以，商式为，余式为． （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是________． A．数形结合      B．类比    C．方程 任务三  学以致用 （3）请计算的商式与余式． 【答案】（1）；（2）B；（3）商式是，余式是． 【分析】本题考查多项式、单项式的次数及多项式的除法： （1）根据单项式的次数按照从大到小排列即可得到答案； （2）根据（1）中的图形归纳即可得到答案； （3）利用（1）的规律计算即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意可得， ， ∴按x的指数从大到小排列是：； （2）由题意可得， “刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，运用了类比的思想， 故选B； （3）由题意可得， ∴的商式是，余式是． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 整式的除法（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用科学记数法表示数的除法 典型例题二 同底数幂的除法运算 典型例题三 同底数幂除法的逆用 典型例题四 计算单项式除以单项式 典型例题五 多项式除以单项式 典型例题六 幂的混合运算 典型例题七 整式四则混合运算 典型例题八 幂的新定义计算 知识点01 单项式除以单项式 定义和计算法则：单项式除以单项式时，需要将系数相除，同底数的幂相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例：(8a^3b^2)÷(2a^2b) 的计算过程如下：首先，系数8除以2得4；其次，a的三次方除以二次方得a的一次方，b的二次方除以一次方得b的一次方；最后，由于没有额外字母，结果为 4ab。 知识点02 多项式除以单项式 定义和计算法则：多项式除以单项式的运算可以视为多项式的每一项分别除以单项式。具体方法是先将被除式的每一项单独除以除式，然后将所得的结果累加。 【典型例题一 用科学记数法表示数的除法】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）纳米是非常小的长度单位，，把的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，的空间可以放（    ）个的物体（物体之间的空隙忽略不计）． A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍． 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算（结果用科学记数法表示）： (1)； (2)． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期末）去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）． 1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克． 3．（24-25七年级上·上海静安·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【典型例题二 同底数幂的除法运算】 【例1】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）若，，则的值是（　　） A．4 B．6 C．10 D．16 【例2】（2025·上海松江·模拟预测）计算，则“”表示的数是（    ） A．2 B． C．1 D． 【例3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，则的值为 ． 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）填空题． 运算名称 法则（文字叙述） 公式（用字母表示） 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 依次填 ， ， ， ， ， ， ， ． 【例5】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）计算： (1)； (2)． 1．（2025·上海金山·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试） ， ， ． 4．（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： (1) (2) 5．（24-25七年级上·上海静安·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【典型例题三 同底数幂除法的逆用】 【例1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）若，，则的值是（    ） A．40 B．24 C．256 D．4 【例2】（2025·上海松江·模拟预测）如果，，则（　　） A．10 B．3 C．20 D．75 【例3】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）若，，则的值是 ，的值是 ． 【例4】（24-25七年级上·上海松江·期中）若，，，为正整数，则 （用含、的代数式来表示）． 【例5】（24-25七年级上·上海闵行·期中）当，时，试说明． 小明做如下尝试： ∵，， ∴， ∴… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴________，________， ∴ ∴… (1)阅读上述材料并填空； (2)继续完成小明与小丽的说理． 1．（2025·上海普陀·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 3．（24-25七年级上·上海长宁埠·期中）我们知道下面的结论：若，则．利用这个结论解决下列问题：设，，．现给出关于之间的关系式：；；；．其中正确的有 ．（填序号） 4．（24-25七年级上·上海静安·期中）已知计算： (1)的值； (2)的值； (3)之间的数量关系． 5．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值． (2)若，求m的值． 【典型例题四 计算单项式除以单项式】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海崇明·模拟预测）下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·四川成都·期中）计算： ． 【例4】（2025·江苏宿迁·模拟预测）科技馆“数理世界”展厅的的密码被设计成如表所示的数学问题．小聪在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ． 账号∶ shuǐ ishì jie 密码 【例5】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（2025·上海长宁·模拟预测）若，则括号内应填的代数式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）一个长方形的面积是，长是，则这个长方形的宽是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为 ． 4．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 5．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心污染了这道习题，只看见被除式的其中一项“”和中间的符号“”，污染后的习题形式如下：．小明翻看了书后的答案是“ ”，请你帮忙复原这道习题． 【典型例题五 多项式除以单项式】 【例1】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）对任意不为0的整数，按下图所示程序计算，则输出答案为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知长方形的面积为，一边长为，则另一边长为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为 ． 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）填空题： （1） ； （2） ； （3），括号里应填 ． 【例5】（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）化简并求值：，其中．下面是小明化简的过程，请你仔细阅读，并完成下列问题： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 (1)小明化简的过程从第_______步开始出现了错误． (2)请你完成此题的化简与求值． 1．（24-25七年级上·宝山·阶段练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ； ； ． 4．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)利用乘法公式计算：． 5．（24-25七年级上·上海金山·期中）学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【典型例题六 幂的混合运算】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【例2】（2025·上海普陀·模拟预测）小虎学习了“整式的乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例3】（24-25七年级上·上海静安·期中） ． 【例4】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）若，则的值是 ． 【例5】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知． (1)由上述计算，我们发现：_______（填“”“”或“”）； (2)请你通过计算，比较与的大小； (3)我们可以发现：_______（，填“”“”或“”）； (4)计算：． 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）下面是某同学在作业中的计算摘录：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中计算正确的是（    ） A．①②③④ B．①③⑤⑦ C．②③④⑥ D．②④⑤⑦ 2．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·嘉定·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简， ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【典型例题七 整式四则混合运算】 【例1】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）对任意整数，若按下列程序计算，则输出的答案为（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知一个长方形的面积是，其中一边的长为，则另一边的长为 ． 【例4】（24-25七年级上·全国·单元测试）任意给一个非零数，按下列程序进行计算，则输出结果为 ． 【例5】（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设，当时，有，将代入，得，解得． 仿照上例解法，解答下列的问题： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若可化为整式，求化简后的整式； (3)若和是多项式的两个因式，求的值． 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列等式：第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；其中为常数，按照上面的规律，则 ； ；若，则 ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）某数学兴趣小组的小林和小颖两位同学将连续的正整数1，2，3，…排成如图1所示的数表，从中框出某些数，做了如下探索： (1)小林在数表中框出“”字形，并将相对的两数相乘，再作差，请你帮忙完成研究过程． ①计算： ， ． ②化简：图2是从图1中取出的一部分，在选中的七个数中，若设中心数为，则所对应的数分别为，，，，请你利用整式的运算，对进行化简． (2)小颖在数表中框出“”字形，并将顶端左右两数相乘，再与底端数平方作差，即图3中，则在框出的“”字形中，的值能否等于？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【典型例题八 幂的新定义计算】 【例1】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）我们知道：．现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如果，那么称为的“助力数”，记为，由定义可知：．例如，，．若，则 ． 【例3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）在复习第7章《幂的运算》过程中，小东进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，、是正整数，）． (2)当、是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则（ A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）定义一种新运算：规定．若，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·上海青浦·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 24-25七年级上·全国·课后作业）定义一种新运算“*”：，如：． (1)求的值； (2)，请根据上述运算，求x的值． 5．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）定义一种新运算（其中），例如，依据上面的公式解决下列问题： (1)求的结果； (2)若，求k的值． 1．（2025·上海松江·模拟预测）小病毒粒（），是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为米的二十面体．数据“”用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）幂的运算中：运算的依据是（　　） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则 3．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）小颖同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出原题正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海阶段·期中）观察下列各式： ， ， ， ， 根据上述规律计算的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 6．（24-25七年级上·上海松江·期中）若，则 ， ． 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）一种液体，每升含有个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了试验，发现1滴杀菌剂可以杀死个此种细菌．若要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂 滴． 8．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成知图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺科地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号： 密码：前四位：       后四位：？ ？ 9．（2025·上海宝山·模拟预测）已知两个正数a，b，可按规则扩充为一个新数C．在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依此继续扩充下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作， （1）若，，按上述规则操作三次，扩充所得的数是 ； （2）若，按上述规则操作五次后扩充所得的数为（m，n为正整数），则 ． 10．（24-25七年级上·上海静安·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为 ，余式为 ． 11．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）大麦哲伦云和小麦哲伦云是银河系外离地球最近的星系．大麦哲伦云的质量为太阳质量的倍，即，小麦哲伦云的质量为太阳质量的倍，两者相距光年，求它们之间的引力．其中，引力的大小（单位：N）与物体的质量和（单位：kg）的乘积成正比、与它们之间距离r（单位：m）的二次方成反比，即引力，G叫作引力常量，；1光年指光在真空中穿行1年的距离，光速约为． 14．（24-25七年级上·上海闵行·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2025年1月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现结果都是7． (1)请你按上述方法在题目的日历中再框选4个数，并写出算式（直接写出算式即可）； (2)按上面的规律归纳出一个一般性的结论（用含的等式表示，为正整数）； (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 15．（24-25七年级上·上海松江·期中）阅读与思考 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式． 项目实施： 任务一  搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按的指数从大到小排列：________． 任务二  竖式计算： 如下边竖式中，13579除以112，商为121，余数为27，而如下边竖式中，多项式除以，商式为，余式为． （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是________． A．数形结合      B．类比    C．方程 任务三  学以致用 （3）请计算的商式与余式． 学科网（北京）股份有限公司 $$