1.1 集合（精练）备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 集合同步精练以基础巩固、能力提升、创新拓展为分层逻辑，通过选择、填空、解答题的梯度设计，实现从单一集合运算到综合应用及新定义问题的知识进阶，适配一轮复习的夯实与拔高需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|集合概念、交并补运算|单选1-5题聚焦基础定义与简单运算，培养抽象能力与运算能力| |中档层|子集关系、参数问题、韦恩图应用|单选6-8题、多选、填空涉及分类讨论与实际情境，发展推理意识与模型意识| |拔高层|新定义问题、综合探究|解答题17-19题如三元子集性质T，强化创新意识与逻辑推理，体现数学思维的严谨性|

1.1 集合（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·四川成都·期中）集合，集合，下面说法正确的是（    ） A．两个集合的交集是 B．两个集合没有并集 C．B集合的元素无法用这种形式表示出来 D．集合A有6个子集 2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 4．（2026·河北·模拟预测）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知集合，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”）的个数是（    ） A．5 B．8 C．9 D．16 8．（25-26高三上·河南洛阳·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·全国·期末）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知集合，下列说法正确的有（    ） A．集合A中最大元素可以为3 B．若集合A为无限集，则 C．集合A中至少有8个元素 D．若集合A中恰有8个元素，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，或，则________， ____________. 13．（2026高三·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 14．（25-26高三·全国·暑假作业）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 16．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 17．（25-26高三上·四川成都·期中）在集合问题中，韦恩图（Venn图）是一种直观表示集合之间关系的工具．通常用矩形表示全集，用圆或封闭曲线表示集合，重叠部分表示交集．现在请用韦恩图解决以下问题： (1)（i）假设有两个集合和，用韦恩图表示和两个部分； （ii）某班50人中，喜欢数学的有30人，喜欢物理的有25人，两科都喜欢的有10人．请画出韦恩图并求出两科都不喜欢的人数； (2)用韦恩图说明这个结论成立：，并思考韦恩图能不能用于严格证明这个结论．如果能，说明理由；如果不能，请用其他方法严格证明，并说明韦恩图用于证明这个的局限性． 18．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 19．（2026·北京西城·二模）给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. (1)在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） (2)证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； (3)在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·四川成都·期中）集合，集合，下面说法正确的是（    ） A．两个集合的交集是 B．两个集合没有并集 C．B集合的元素无法用这种形式表示出来 D．集合A有6个子集 【答案】A 【详解】，故A正确； ，故B错误； 集合可以表示为，其中， 即集合可描述为形式，故C错误； 集合A有6个元素，子集总数为，故D错误． 2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解集合，再由集合的并集求解即可. 【详解】因为，或，所以或. 3．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，， 所以． 4．（2026·河北·模拟预测）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解绝对值不等式求得集合,再结合集合的运算即可求解. 【详解】解得或，即, 则，则. 5．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解绝对值不等式及一元二次不等式可得集合，再由交集的定义可得. 【详解】由得，即， 又因为，所以，即. 由，解得，所以. 因此，，所以的元素个数为. 6．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知集合，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合间的子集运算性质求解． 【详解】由，得或， 得或， 经检验，不合题意，故实数的取值集合为， 故选：C 7．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”）的个数是（    ） A．5 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】对集合中的每个元素，根据它是否属于、进行分类讨论. 元素1和3必须在中，元素2和4不能同时在中. 【详解】依题意，元素2和4不能在中，可分4类情况： ① 只在集合中，则集合为或或,,共有3种情况； ② 只在集合中，与①类似，共有3种情况； ③2和4分别在集合、中，则有或共2种情况； ④2和4均不在集合、中，则有共1种情况. 由分类加法计数原理，总数为种. 8．（25-26高三上·河南洛阳·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得，故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由图知集合是集合的真子集，结合图形由集合的交并补运算逐一判断即可. 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C:  因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 10．（25-26高三上·全国·期末）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合是否为空集分类讨论，结合列不等式，求得的取值范围逐一判断即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 故选：BC 11．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知集合，下列说法正确的有（    ） A．集合A中最大元素可以为3 B．若集合A为无限集，则 C．集合A中至少有8个元素 D．若集合A中恰有8个元素，则 【答案】ACD 【分析】根据k的不同取值情况，分类讨论集合A，结合基本不等式分别解出对应的一元二次不等式，即可判断选项. 【详解】当时，原不等式等价于为，解得， 此时，为无限集，集合A中最大的元素可以为3，故A正确； 当时，原不等式等价于为， 若，则， 当且仅当即时，等号成立， 此时或，为无限集； 综上，当或时，集合A为无限集，故B错误； 若，则， 当且仅当即时，等号成立， 此时，为有限集， 集合A的元素可能有. 综上，集合A至少有8个元素，故C正确； 若集合A恰有8个元素， 则，解得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，或，则________， ____________. 【答案】 R 或或 【详解】借助数轴如图1， 所以， 如图2，所以或， 或或． 13．（2026高三·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 14．（25-26高三·全国·暑假作业）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 【答案】 2 【分析】（1）根据交集的定义求解即可； （2）由，可得，再根据集合的包含关系求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时，，则． （2）因为，所以，因为，所以， 所以2是关于x的方程的解，即，解得． 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 16．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 17．（25-26高三上·四川成都·期中）在集合问题中，韦恩图（Venn图）是一种直观表示集合之间关系的工具．通常用矩形表示全集，用圆或封闭曲线表示集合，重叠部分表示交集．现在请用韦恩图解决以下问题： (1)（i）假设有两个集合和，用韦恩图表示和两个部分； （ii）某班50人中，喜欢数学的有30人，喜欢物理的有25人，两科都喜欢的有10人．请画出韦恩图并求出两科都不喜欢的人数； (2)用韦恩图说明这个结论成立：，并思考韦恩图能不能用于严格证明这个结论．如果能，说明理由；如果不能，请用其他方法严格证明，并说明韦恩图用于证明这个的局限性． 【答案】(1)（i）   （ii）   ，两科都不喜欢的人数为5人 (2)     显然，根据以上和的韦恩图可得到结论成立． 但韦恩图不能用于严格证明这个结论． 先证：， 任取，则，且， 由，得，或， 若，且，则，所以； 若，且，则，所以， 因此． 再证：， 任取，则，或， 若，则，且，所以，且，故； 若，则，且，所以，且，故， 因此． 综上，． 韦恩图用于证明这个的局限性：韦恩图只能展示有限集合位置的情况（比如以上和的韦恩图只是展示了，，两两相交的情况），无法覆盖所有可能的集合关系（比如，，或，，两两不相交的情况等情况），直接观察不能用于严格证明． 【解析】略 18．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)实数a的取值范围为 (2)实数a的取值范围为 【分析】（1）由题意可得有两个不等正根，由根与系数的关系求解即可； （2）由题意可得或或或；分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为. 19．（2026·北京西城·二模）给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. (1)在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） (2)证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； (3)在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 【答案】(1)故答案不唯一，如 (2) 由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集． 将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组， 第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于； 同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16. 假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素， 且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数． 故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为． 这与矛盾． 所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． (3)，理由： 记，其中为偶数．不妨假设时有意义． 当时，的三元子集只有一个，且具有性质， 所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 记中具有性质的三元子集为． 当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集． 因为的子集， 和 为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个）， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个， 同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集， 且对于，可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集， 即， ， ， . 又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解； （2）利用反证法，结合集合的新定义证明即可； （3）分别分析，，中满足条件的子集个数，类比得出结论即可. 【详解】（1）由题意，或且， 即， 则满足性质T的三元子集不唯一，如. （2）略 （3）略 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $