第九章 图形的变换【期末复习讲义】（基础版）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第九章 图形的变换【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 利用平移的性质求解 题型二 利用平移解决实际问题平移（作图） 题型三 作已知线段的垂直平分线 题型四 作垂线（尺规作图） 题型五 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型六 作角平分线（尺规作图） 题型七 台球桌面上的轴对称问题 题型八 轴对称中的光线反射问题 题型九 折叠问题 题型十 钟表的镜面对称 题型十一 电子钟示数的镜面对称 题型十二 旋转中的规律性问题 题型十三 根据旋转的性质求解 题型十四 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型十五 求旋转对称图形的旋转角度 题型十六 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型十七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型十八 中心对称图形规律问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平移 1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 2.性质： （1）平移不改变图形的形状和大小，即平移前后的两个图形全等. （2）对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等. （3）对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 3.作图步骤： （1）确定平移的方向和距离. （2）找出原图形的关键点. （3）按平移方向和距离，分别作出各关键点的对应点. （4）按原图形的连接顺序，连接各对应点，得到平移后的图形. 知识点二 轴对称 1.定义： （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图 形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. （2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 2.性质： （1）关于某条直线对称的两个图形全等; （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; （3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 3.作图步骤： （1）确定对称轴. （2）找出原图形的关键点. （3）作出各关键点关于对称轴的对称点. （4）按原图形的连接顺序，连接各对称点，得到轴对称后的图形. 知识点三 旋转 1.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。 2.性质: （1）旋转不改变图形的形状和大小，即旋转前后的两个图形全等； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 3.作图步骤: （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）找出原图形的关键点； （3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向和旋转角，分别作出各关键点的对应点； （4）按原图形的连接顺序，连接各对应点，得到旋转后的图形. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 利用平移的性质求解 【例1】（25-26七年级下·重庆永川·期中）如图，将直角梯形沿方向平移得到图形的位置，，，，则阴影部分的面积为______． 【变式】（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，将向右平移，得到． (1)若，，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 题型讲练二 利用平移解决实际问题平移（作图） 【例2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，广场上有一块长米，宽米的长方形的草坪，草坪上有一条弯曲等宽的小路，小路的左边线向右平移可以与右边线重合，小路宽为米． (1)求草坪的总面积；（用代数式表示并化简） (2)草坪每平方米一年的维护费用为元，若米，米，求草坪的一年的维护总费用． 【变式】（25-26七年级下·天津南开·月考）【教材溯源】 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．求这块草地青草覆盖的面积．（本题无需解答） (1)【初步解决】 数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上，设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，画出设计图并求出草坪的面积．图①是小明同学的设计图，以下是他的计算过程，请将该内容补充完整． 小明：我利用平移的性质，将图①中左边的草坪向右平移得到了如图②所示的图形，图②中空白部分的面积就是草坪的面积，所以草坪的面积为_______． (2)【类比应用】 若设计两条宽均为的小路呢？如图③，此时草坪的面积为_______． (3)【方法迁移】 某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图④所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积为，求小路的宽度， (4)【拓展延伸】 一个长为，宽为街心花园的设计图，如图⑤所示，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，花坛的总面积可以表示为__________．（用含a，b的代数式表示） (5)【深入探究】 某劳动公园一块长为，宽为的空地的设计方案如图⑥所示，空白部分为草地，阴影部分是宽为的小路．小丽沿着小路的中间从入口B处走到出口C处，求草地的面积和她所走路线（即图中虚线）的长． 题型讲练三 作已知线段的垂直平分线 【例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形的三个顶点都在小正方形的格点上，点A的坐标为，点的坐标为，点C的坐标为． (1)画出三角形先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的三角形； (2)分别写出平移后的三角形三个顶点、的坐标； (3)直接写出三角形的面积． 【变式】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，在网格中将先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到． (1)画出平移后的三角形． (2)在网格中找到一个格点，使的面积与的面积相等，请画出格点三角形．（只需要画出一个符合条件的三角形） 题型讲练四 作垂线（尺规作图） 【例4】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【变式】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，已知，请用尺规作图法，在内求作一点，使，且点到和的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 题型讲练五 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例5】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知点P和直线l，过点P作l的垂线，步骤如下： 第一步：以点P为圆心，a（）为半径作弧，交直线l于点A，B； 第二步：分别以点A，B为圆心，b为半径作弧，两弧交于点D； 第三步：作直线交于点O． 关于a，b，下列说法正确的是（    ） A．a的长有限制，b的长无限制 B．a的长无限制，b的长有限制 C．a，b的长均无限制 D．a，b的长均有限制 【变式】（25-26七年级下·山西晋中·期中）阅读与思考 请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 尺规作图 尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和没有刻度的直尺，来解决平面几何作图问题．还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关． 下面是用尺规过直线外一点作已知直线的平行线的方法． 已知：直线，直线外一点 求作：过点且平行于的直线 作法：①在直线上任取一点，连接；②以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点；③以点为圆心，的长为半径作弧；④以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点；⑤作直线，则． 任务： (1)写出一种上述作法中用到的你学过的基本尺规作图：___________； (2)这种作法判断直线的依据是___________ (3)你还有别的作平行线的方法吗？在下图中作出．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种即可） 题型讲练六 作角平分线（尺规作图） 【例6】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【变式】（25-26七年级下·山东淄博·期中）综合与实践： 【问题情境】 学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图中的①-④虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 (1)发现一：第一次折叠后，如图②所示，得到的折痕与直线之间的位置关系是______； 发现二：将正方形纸展开，再进行第二次折叠，如图③所示，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是______； 发现三：再将正方形纸展开，如图④所示，可得第二次折痕所在的直线即为过点所作的已知直线的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有______． ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行． 【联系拓展】 (2)将正方形纸片按以上图方式折叠，标记字母如图，若，求的度数．小亮经过思考，想到过点作．请你根据小亮的想法作出辅助线，并解答． 【迁移探究】 (3)将长方形纸带按如图折叠，和分别为折痕，若，，当时，直接写出与之间的数量关系． 题型讲练七 台球桌面上的轴对称问题 【例7】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺和圆规，按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． (1)将纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，在图1中作出折痕直线． (2)将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在边上的点处，在图2中作出点以及折痕直线． 【变式】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图①，若入射光线与平面镜的夹角为，则反射角的度数是____________； (2)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (3)如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 题型讲练八 轴对称中的光线反射问题 【例8】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【变式】公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 题型讲练九 折叠问题 【例9】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【变式】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型讲练十 钟表的镜面对称 【例10】（25-26七年级下·重庆·期中）如图所示，把一张长方形纸条折叠，折痕为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型讲练十一 电子钟示数的镜面对称 【例11】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·四川广元·期中）李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 题型讲练十二 旋转中的规律性问题 【例12】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【变式】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 题型讲练十三 根据旋转的性质求解 【例13】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图把按逆时针方向旋转得到． (1)旋转中心是点 ． (2)若，求的度数． 【变式】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，已知两个三角形按图①方式放置，中，，，中，，，如图②将绕点按顺时针方向，以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒（）． (1)图①中， °； (2)在绕点旋转的过程中，当与的一边平行时，求的值． 题型讲练十四 根据旋转的性质说明线段或角相等 【例14】（25-26七年级下·山东青岛·期中）青岛灯光秀，尤其是浮山湾灯光秀，是青岛城市夜景的核心品牌，被官方和媒体广泛认可为集科技、文化与生态于一体的高水平城市光影工程．青岛利用浮山湾180度扇面地理优势，以53栋连续高层建筑为舞台，打造世界最长的滨海曲面灯光影视屏幕，通过水墨崂山、“五月的风”雕塑、胶东机场、青岛港、海洋生物等元素，展现青岛的开放、宜居与海洋文化．灯光秀中，灯带作为建筑立面亮化的基础单元，与投影、激光等技术融合，共同构成“以城为景、以天为幕”的巨型视觉叙事载体，展现青岛历史、科技与生态等多元主题．如图1，灯A位于灯带上，灯B位于灯带上．灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒．假定两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯A射线经过多少秒，第一次照射到灯B； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的t； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，在灯B射线到达之前，若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C． ①用含t的代数式表示； ②若D是上一点，且，请直接写出与的数量关系． 【变式】（23-24七年级上·福建泉州·期末）在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 题型讲练十五 求旋转对称图形的旋转角度 【例15】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，和都是等腰直角三角形，点在上．绕着点逆时针旋转_____后能够与重合．将图①作为“基本图形”绕着点逆时针连续旋转_____可得到图②． 【变式】（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． (2)图1的风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4____的位置、（填入A、B、C、D） (3)图1所示风车绕中心逆时针最少旋转_____度，风叶①也能到达第（2）问中位置． (4)图1所示风车中风叶①最少翻折______次，也能到达第（2）问中位置．（对称轴可以自己选择） 题型讲练十六 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例16】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． (1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； (2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 【变式】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，E是的斜边上一点，作点E关于的对称点F，G，连接． （1）点F和点G的对称关系为___________． （2）若，则的最小值为______． 题型讲练十七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【例17】（2025·江西赣州·一模）如图在正方形网格中，已知顶点为格点的．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作一个四边形，使它是中心对称图形； (2)在图2中，作一个，使它是轴对称图形． 【变式】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 题型讲练十八 中心对称图形规律问题 【例18】（23-24九年级上·河北·单元测试）如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为________． 【变式】在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·重庆永川·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南·月考）如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 3．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，长方形中，，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，…，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形（）．若的长度为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）如图是五岛公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为_______ 米． 5．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置， ， ， ，则阴影部分的面积是__________． 6．（25-26七年级下·江苏常州·期中）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 7．（25-26七年级下·新疆阿克苏·期中）如图，将沿射线方向平移得到，点位于点和点之间． (1)如果，，求移动的距离的长． (2)与是否平行？并说明理由． 8．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图中，将沿方向平移，当点移动到点时，画出平移后的； (2)在图中，作关于直线对称的； (3)在图中，作关于点中心对称的． 9．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，点，，，都在网格图的格点上，按要求画图． (1)连接，将线段先向右平移格，再向下平移格，记两次平移后得到的线段为线段，在图中画出线段． (2)如图2，连结，记线段与的夹角为，请在图中画一个三角形，使得三角形中的一个角等于，且点在格点上． 10．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以作一对对应点连线段的垂直平分线得到． 【操作体验】如图1，在中，，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，交于点E；③连接． (1)根据上述步骤，用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)【拓展探究】在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题开展探究活动：如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点A的直线折叠纸片，使点B的对应点E落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点F，请用没有刻度的直尺和圆规作出折痕和（保留作图痕迹，不写作法） (3)【拓展探究】连接、、、，若，则______．若，则______． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第九章 图形的变换【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 利用平移的性质求解 题型二 利用平移解决实际问题平移（作图） 题型三 作已知线段的垂直平分线 题型四 作垂线（尺规作图） 题型五 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型六 作角平分线（尺规作图） 题型七 台球桌面上的轴对称问题 题型八 轴对称中的光线反射问题 题型九 折叠问题 题型十 钟表的镜面对称 题型十一 电子钟示数的镜面对称 题型十二 旋转中的规律性问题 题型十三 根据旋转的性质求解 题型十四 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型十五 求旋转对称图形的旋转角度 题型十六 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型十七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型十八 中心对称图形规律问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平移 1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 2.性质： （1）平移不改变图形的形状和大小，即平移前后的两个图形全等. （2）对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等. （3）对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 3.作图步骤： （1）确定平移的方向和距离. （2）找出原图形的关键点. （3）按平移方向和距离，分别作出各关键点的对应点. （4）按原图形的连接顺序，连接各对应点，得到平移后的图形. 知识点二 轴对称 1.定义： （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图 形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. （2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 2.性质： （1）关于某条直线对称的两个图形全等; （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; （3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 3.作图步骤： （1）确定对称轴. （2）找出原图形的关键点. （3）作出各关键点关于对称轴的对称点. （4）按原图形的连接顺序，连接各对称点，得到轴对称后的图形. 知识点三 旋转 1.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。 2.性质: （1）旋转不改变图形的形状和大小，即旋转前后的两个图形全等； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 3.作图步骤: （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）找出原图形的关键点； （3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向和旋转角，分别作出各关键点的对应点； （4）按原图形的连接顺序，连接各对应点，得到旋转后的图形. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 利用平移的性质求解 【例1】（25-26七年级下·重庆永川·期中）如图，将直角梯形沿方向平移得到图形的位置，，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】/68平方厘米 【思路引导】由平移的性质可得阴影部分的面积直角梯形的面积，再求出直角梯形的面积即可求解． 【规范解答】解：∵平移不改变图形的形状和大小， ∴直角梯形的面积直角梯形的面积，， ∴直角梯形的面积直角梯形的面积直角梯形的面积直角梯形的面积， 即阴影部分的面积直角梯形的面积， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积直角梯形的面积． 【变式】（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，将向右平移，得到． (1)若，，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【思路引导】（1）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，据此求解即可； （2）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，，据此可得． 【规范解答】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 由平移的性质可得， ∴，， ∴． 题型讲练二 利用平移解决实际问题平移（作图） 【例2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，广场上有一块长米，宽米的长方形的草坪，草坪上有一条弯曲等宽的小路，小路的左边线向右平移可以与右边线重合，小路宽为米． (1)求草坪的总面积；（用代数式表示并化简） (2)草坪每平方米一年的维护费用为元，若米，米，求草坪的一年的维护总费用． 【答案】(1)草坪的总面积为平方米； (2)草坪一年维护总费用为1155元． 【思路引导】（1）左侧草坪向右平移，两块草坪可以拼成一个长方形，即总面积为，化简即可； （2）将，代入求出总面积，再计算维护费即可． 【规范解答】（1）解：左侧草坪向右平移，两块草坪可以拼成一个长方形 平方米 答：草坪的总面积为平方米； （2）解：当，时， 原式 （平方米） （元） 答：草坪一年维护总费用为1155元． 【变式】（25-26七年级下·天津南开·月考）【教材溯源】 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．求这块草地青草覆盖的面积．（本题无需解答） (1)【初步解决】 数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上，设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，画出设计图并求出草坪的面积．图①是小明同学的设计图，以下是他的计算过程，请将该内容补充完整． 小明：我利用平移的性质，将图①中左边的草坪向右平移得到了如图②所示的图形，图②中空白部分的面积就是草坪的面积，所以草坪的面积为_______． (2)【类比应用】 若设计两条宽均为的小路呢？如图③，此时草坪的面积为_______． (3)【方法迁移】 某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图④所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积为，求小路的宽度， (4)【拓展延伸】 一个长为，宽为街心花园的设计图，如图⑤所示，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，花坛的总面积可以表示为__________．（用含a，b的代数式表示） (5)【深入探究】 某劳动公园一块长为，宽为的空地的设计方案如图⑥所示，空白部分为草地，阴影部分是宽为的小路．小丽沿着小路的中间从入口B处走到出口C处，求草地的面积和她所走路线（即图中虚线）的长． 【答案】(1)560 (2)504 (3)2米 (4) (5)68米 【思路引导】（1）根据长方形的面积公式求解即可； （2）同理根据小明的方法利用平移的性质求解即可； （3）设小路宽为，根据题意列出关于x的方程求解即可； （4）根据花坛的总面积等于长方形的面积减去阴影部分的小路面积列出代数式化简即可； （5）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【规范解答】（1）解：草坪的面积为：； （2）解：草坪的面积为：； （3）解：设小路宽为 根据题意得 解得： 则小路的宽为2米； （4）解：花坛的总面积为： ； （5）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 题型讲练三 作已知线段的垂直平分线 【例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形的三个顶点都在小正方形的格点上，点A的坐标为，点的坐标为，点C的坐标为． (1)画出三角形先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的三角形； (2)分别写出平移后的三角形三个顶点、的坐标； (3)直接写出三角形的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)，， (3) 【思路引导】（1）利用坐标平移规律“左减右加，上加下减”得出平移后的点坐标，并依次连接即可得出； （2）由（1）可得出点坐标； （3）结合网格图特征，利用割补法即可求得的面积． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：，，． （3）解：． 【变式】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，在网格中将先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到． (1)画出平移后的三角形． (2)在网格中找到一个格点，使的面积与的面积相等，请画出格点三角形．（只需要画出一个符合条件的三角形） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据平移的方式找到的各个顶点平移后的对应点，顺次连接即可； （2）根据网格的特点构造同底等高的三角形即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图，即为所求． 题型讲练四 作垂线（尺规作图） 【例4】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【答案】(1)38 (2)42 (3)见解析 (4)5 【思路引导】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【规范解答】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C于点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l于点E，再以点E为圆心，为半径画弧交于点，连接交l于点O，点O即为所求． （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 【变式】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，已知，请用尺规作图法，在内求作一点，使，且点到和的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了尺规作图，用尺规作图作的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知直线上的点到点、的距离相等；用尺规作图作的平分线，根据角平分线的性质可知上的任意一点到和的距离相等，与的交点即为点． 【规范解答】解：如下图所示， 分别以点、为圆心，大于为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接， 则直线上的点到点、的距离相等， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点， 作射线， 则射线是的平分线， 射线上的任意一点到和的距离相等， 射线交直线于点， 点即为所求． 题型讲练五 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例5】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知点P和直线l，过点P作l的垂线，步骤如下： 第一步：以点P为圆心，a（）为半径作弧，交直线l于点A，B； 第二步：分别以点A，B为圆心，b为半径作弧，两弧交于点D； 第三步：作直线交于点O． 关于a，b，下列说法正确的是（    ） A．a的长有限制，b的长无限制 B．a的长无限制，b的长有限制 C．a，b的长均无限制 D．a，b的长均有限制 【答案】D 【思路引导】根据“以点为圆心作弧要与直线交于两点”得到的取值限制，再根据“分别以，为圆心作弧要交于直线两侧的点”得到的取值限制，进而判断，的长度是否均有限制． 【规范解答】解：1、关于的限制：第一步以为圆心、为半径作弧，要与直线交于两点，，则必须大于点到直线的距离（若等于该距离，弧与直线只有一个交点；若小于该距离，无交点），题目中，且点在弧上、位于直线下方，说明已经满足“大于到的距离”，因此的长度有下限限制，不能任意小； 2、关于的限制第二步分别以，为圆心、为半径作弧，两弧要交于点（与分别在直线两侧），则必须大于的长度（若，两弧无交点或交于中点，无法形成垂线），因此的长度有下限限制，不能任意小，即，的长均有限制． 【变式】（25-26七年级下·山西晋中·期中）阅读与思考 请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 尺规作图 尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和没有刻度的直尺，来解决平面几何作图问题．还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关． 下面是用尺规过直线外一点作已知直线的平行线的方法． 已知：直线，直线外一点 求作：过点且平行于的直线 作法：①在直线上任取一点，连接；②以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点；③以点为圆心，的长为半径作弧；④以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点；⑤作直线，则． 任务： (1)写出一种上述作法中用到的你学过的基本尺规作图：___________； (2)这种作法判断直线的依据是___________ (3)你还有别的作平行线的方法吗？在下图中作出．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种即可） 【答案】(1)作一个角等于已知角 (2)内错角相等，两直线平行 (3)见解析 【思路引导】（1）根据作图进行求解即可； （2）根据平行线的判定，进行求解即可； （3）先过点A作，再过点A作，则根据在同一平面内，垂直同一条直线的两条直线互相平行，即可得出． 【规范解答】（1）解：根据作图可知：上述作法中用到的基本尺规作图是作一个角等于已知角； （2）解：根据作图可知：， ∴根据“内错角相等两直线平行”可得：； （3）解：如图，即为所求作的平行线． 题型讲练六 作角平分线（尺规作图） 【例6】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【规范解答】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 【变式】（25-26七年级下·山东淄博·期中）综合与实践： 【问题情境】 学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图中的①-④虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 (1)发现一：第一次折叠后，如图②所示，得到的折痕与直线之间的位置关系是______； 发现二：将正方形纸展开，再进行第二次折叠，如图③所示，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是______； 发现三：再将正方形纸展开，如图④所示，可得第二次折痕所在的直线即为过点所作的已知直线的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有______． ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行． 【联系拓展】 (2)将正方形纸片按以上图方式折叠，标记字母如图，若，求的度数．小亮经过思考，想到过点作．请你根据小亮的想法作出辅助线，并解答． 【迁移探究】 (3)将长方形纸带按如图折叠，和分别为折痕，若，，当时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)；；③④． (2)，图见解析． (3)． 【规范解答】（1）解：由题意知，第一次折叠后，得到的折痕与直线之间的位置关系是； 第二次折叠，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是； ，， ， （同位角相等，两直线平行）， ，， ， （内错角相等，两直线平行）， 小明画平行线的依据有③④； （2）解：如图，过点作， 由（1）可知，， ， ，， ，， ， ； （3）解：．理由如下： 将长方形纸带按如图折叠，和分别为折痕， ，， ，， ，， ， ， ， ，即． 题型讲练七 台球桌面上的轴对称问题 【例7】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺和圆规，按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． (1)将纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，在图1中作出折痕直线． (2)将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在边上的点处，在图2中作出点以及折痕直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）折叠后点与点重合，根据折叠性质，折痕是线段的垂直平分线，用尺规作出线段的垂直平分线，即为所求折痕直线； （2）根据折叠性质，点落在上的点处，满足，且过点的折痕平分． 用尺规作的平分线，即为所求折痕直线． 【规范解答】（1）如图1，直线m即为所求； （2）如图2，点N和直线n即为所求． 【变式】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图①，若入射光线与平面镜的夹角为，则反射角的度数是____________； (2)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (3)如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 【答案】(1)60 (2) 见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据法线与平面镜垂直求出入射角的度数即可得到答案； （2）根据入射角等于反射角可知，法线即为入射光线与反射光线组成的角的角平分线，据此作的角平分线即可； （3）过点A作平面镜所在直线的垂线，垂足为D，以D为圆心，的长为半径画弧交直线于点C，连接交平面镜所在直线于点O，则点O即为所求． 【规范解答】（1）解：∵入射光线与平面镜的夹角为， ∵法线与平面镜垂直， ∴入射角的度数为， ∴反射角的度数是； （2）解：如图所示，射线即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 题型讲练八 轴对称中的光线反射问题 【例8】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求； （2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求． 【规范解答】（1）解：如图1中，点，点即为所求；   ， 由勾股定可得：，，，，，， ，，， 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求．   ． 【变式】公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求． （2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【规范解答】（1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求， 原理：∵点和点P关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）如图3中， 作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【考点剖析】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 题型讲练九 折叠问题 【例9】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）①；② 【思路引导】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【规范解答】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【规范解答】解：A、 ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； D、∵， ∴， ∵，，， ∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型讲练十 钟表的镜面对称 【例10】（25-26七年级下·重庆·期中）如图所示，把一张长方形纸条折叠，折痕为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵把一张长方形纸条折叠，折痕为，， ∴， ∴． 【变式】（25-26七年级下·天津北辰·期中）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是______度． 【答案】 【思路引导】由平行线的性质知，再根据图b折叠计算出，依据图c折叠求出即可． 【规范解答】∵， ∴， ∵图b是将纸带沿折叠而成， ∴， ∵图c沿折叠而成， ∴． 【考点剖析】本题考查图形的翻折变换，解题过程中注意折叠前后的图形的形状和大小不变，角度也不变． 题型讲练十一 电子钟示数的镜面对称 【例11】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【规范解答】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 【变式】（25-26八年级上·四川广元·期中）李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了镜面对称的知识，画出草图，根据镜面对称的性质，分析可得答案． 【规范解答】解：如图， 根据对称性可得：与时的指针指向成轴对称，故实际时间是， 故选：C． 题型讲练十二 旋转中的规律性问题 【例12】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【规范解答】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 【变式】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【答案】(1)旋转，轴对称 (2)BC 【思路引导】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）三角形⑤可以看成由三角形④绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【规范解答】（1）解：如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次旋转得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次轴对称得到． 故答案为：旋转，轴对称； （2）三角形⑤可以看成由三角形④经过绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 故答案为：BC． 题型讲练十三 根据旋转的性质求解 【例13】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图把按逆时针方向旋转得到． (1)旋转中心是点 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1)A (2) 【思路引导】（1）根据旋转在旋转过程固定不变的点是旋转中心解答即可； （2）根据旋转的性质得，然后根据即可求解． 【规范解答】（1）解：∵把按逆时针方向旋转得到，点A固定不变， ∴旋转中心是点A； （2）解：因为按逆时针方向旋转得到 所以 因为， 所以 【变式】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，已知两个三角形按图①方式放置，中，，，中，，，如图②将绕点按顺时针方向，以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒（）． (1)图①中， °； (2)在绕点旋转的过程中，当与的一边平行时，求的值． 【答案】(1)15 (2)的值为9或15或27． 【思路引导】（1）根据三角板的特点，图形结合分析即可求解； （2）根据题意，分类讨论：第一种情况：；第二种情况： ；第三种情况：；图形结合，根据角度的计算方法即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意，； （2）解：第一种情况：如图所示，， ∴， ∴， 即点在上， ∵， ∴； 第二种情况：如图所示，， ∴， ∴， ∴； 第三种情况：如图所示，， ∴， ∴； 综上所述，的值为9或15或27． 题型讲练十四 根据旋转的性质说明线段或角相等 【例14】（25-26七年级下·山东青岛·期中）青岛灯光秀，尤其是浮山湾灯光秀，是青岛城市夜景的核心品牌，被官方和媒体广泛认可为集科技、文化与生态于一体的高水平城市光影工程．青岛利用浮山湾180度扇面地理优势，以53栋连续高层建筑为舞台，打造世界最长的滨海曲面灯光影视屏幕，通过水墨崂山、“五月的风”雕塑、胶东机场、青岛港、海洋生物等元素，展现青岛的开放、宜居与海洋文化．灯光秀中，灯带作为建筑立面亮化的基础单元，与投影、激光等技术融合，共同构成“以城为景、以天为幕”的巨型视觉叙事载体，展现青岛历史、科技与生态等多元主题．如图1，灯A位于灯带上，灯B位于灯带上．灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒．假定两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯A射线经过多少秒，第一次照射到灯B； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的t； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，在灯B射线到达之前，若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C． ①用含t的代数式表示； ②若D是上一点，且，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)灯A射线经过20秒，第一次照射到灯B (2) (3)①或；②或 【思路引导】（1）根据平行线的性质求出，据此可得答案； （2）设和为灯A和灯B发出的射线，再根据平行线的性质求解即可； （3）①分当时，当时，当时三种情况进行讨论求解即可；②根据①所求，分当时，当时，两种情况分别求出与即可得到答案． 【规范解答】（1）解：，， ， 灯A转动的速度是秒， 灯A射线经过秒，第一次照射到灯B； （2）解：如图所示，设和为灯A和灯B发出的射线，则， ，， ，， ， 解得； （3）解：①如图所示，当时，过点C作，则， ，， ； 当时，两条射线的交点C不在两灯带之间，不符合题意，舍去； 如图所示，当时， 同理可得 ； 综上所述，或； ②如图所示，当时， 由（3）①得，． ， ， ； 如图所示，当时， 由（3）①得， ， ， ； 综上所述，或． 【考点剖析】本题的关键是利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合光线的动态转动，分情况讨论角度变化，通过构造辅助线和用含t的代数式表示角度，再消元求解数量关系． 【变式】（23-24七年级上·福建泉州·期末）在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)画图见解析；或或 (3)；理由见解析 【思路引导】本题考查了作图旋转变换，余角的定义和性质以及角平分线，关键是明确同角的余角相等，灵活运用角的和差关系进行计算． （1）根据直角三角形的性质即可解决问题； （2）分三种情况画图，根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据角平分线定义与角的和差即可解决问题． 【规范解答】（1）解：如图，当与重合时， 三角形和三角形，，，，， ，； （2）解：①如图，， ， ②如图，， ， ③如图，延长交于点， ， ， ， ， ， 综上所述：度数为或或； （3），理由如下： 如图2，平分， ， 平分， ， ． 题型讲练十五 求旋转对称图形的旋转角度 【例15】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，和都是等腰直角三角形，点在上．绕着点逆时针旋转_____后能够与重合．将图①作为“基本图形”绕着点逆时针连续旋转_____可得到图②． 【答案】 【思路引导】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解旋转的性质，能找对旋转中心、旋转角． 观察图①可知旋转角是，再结合等腰直角三角形的性质求出的度数；图②中是把图①作为基本图形，分析可知旋转角就是，结合图①得到的度数，据此解答． 【规范解答】解：根据图①可知， ∵和都是等腰直角三角形， ， 即绕点逆时针旋转后能够与重合． 根据图①可知， ∵和都是等腰直角三角形， ， ， ∴将图①作为“基本图形”绕着点逆时针连续旋转可得到图②． 故答案为：、． 【变式】（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． (2)图1的风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4____的位置、（填入A、B、C、D） (3)图1所示风车绕中心逆时针最少旋转_____度，风叶①也能到达第（2）问中位置． (4)图1所示风车中风叶①最少翻折______次，也能到达第（2）问中位置．（对称轴可以自己选择） 【答案】(1)见解析； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用旋转变换的性质解决问题即可； （2）观察图形可知，旋转一次循环，由可得结论； （3）利用旋转变换的性质判断即可； （4）利用翻折变换作出图形判断即可． 【规范解答】（1）解：答案见图2，图3； （2）解：观察图形可知，旋转一次循环， ， 所以风叶①到达了图4位置． （3）解：图1所示风车绕中心逆时针旋转度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置． 故答案为：； （4）解：由如图5可知，最少翻折次，也能到达第（2）问中位置． 故答案为：． 题型讲练十六 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例16】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． (1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； (2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 【答案】(1)是中心对称，图见详解 (2) 【思路引导】本题考查作图旋转变换，中心对称图形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明四边形使得平行四边形可得结论； （2）利用中心对称图形的性质解决问题即可． 【规范解答】（1）解：是 ，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是中心对称图形， 如图，对角线的交点即为旋转中心． （2）因为平分四边形的面积， 所以点是的中点， 设，则有， ， ． 故答案为：． 【变式】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，E是的斜边上一点，作点E关于的对称点F，G，连接． （1）点F和点G的对称关系为___________． （2）若，则的最小值为______． 【答案】 关于点A成中心对称 【思路引导】本题考查了作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质、三角形的面积公式、勾股定理． （1）根据轴对称的性质和中心对称的定义求解； （2）根据勾股定理、三角形的面积公式求解. 【规范解答】（1）如图，连接． 由轴对称的性质可知，，， ，， 三点共线，点F和点G关于点A成中心对称． 故答案为：关于点A成中心对称. （2）在中，． 由（1）知，，当最小时，最小， ∴当时，最小，此时为中边上的高． 设中边上的高为h，则，解得， 的最小值为． 故答案为： 题型讲练十七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【例17】（2025·江西赣州·一模）如图在正方形网格中，已知顶点为格点的．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作一个四边形，使它是中心对称图形； (2)在图2中，作一个，使它是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了在正方形网格中利用无刻度的直尺作中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）根据中心对称图形的定义画图即可； （2）根据轴对称图形的定义画图即可． 【规范解答】（1）如图，四边形即为所求； （2）如图，即为所求． 【变式】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 【答案】 【思路引导】根据中心对称的定义，逐个验证剩余白色方格，填入后旋转可以使图形重合的即为所求． 【规范解答】解：如图，只有将方格涂黑可以使形成的图形成为中心对称图形， 故这样的小方格有个． 题型讲练十八 中心对称图形规律问题 【例18】（23-24九年级上·河北·单元测试）如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为________． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键． 根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答． 【规范解答】解：由题意可得：点，，，，，…… ∴可知6个点一个循环，， ∴点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 【变式】在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据中心对称的性质解答即可． 【规范解答】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·重庆永川·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】首先由平行线的性质得到，然后由折叠的性质得到，进而求解即可． 【规范解答】解：∵ ∴ 由折叠得， ∴． 2．（25-26八年级下·河南·月考）如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 【答案】D 【思路引导】根据平移的性质得出所走路程为即可． 【规范解答】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知， 从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）． 3．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，长方形中，，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，…，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形（）．若的长度为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据平移的性质得出，，，进而求出和的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出求出即可． 【规范解答】解： ，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，…， ，，， ； ， ， 解得， 故选：B． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）如图是五岛公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为_______ 米． 【答案】136 【思路引导】根据图形可得图中虚线长的横向距离等于，纵向距离等于，据此求解即可． 【规范解答】解：由图可得，图中虚线长的横向距离等于，纵向距离等于， 从出口到出口所走的路线长为（米）． 5．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置， ， ， ，则阴影部分的面积是__________． 【答案】 【思路引导】根据平移的性质可得梯形的面积等于梯形的面积，，从而推出阴影部分的面积等于梯形的面积，利用梯形面积公式计算即可． 【规范解答】解：由平移的性质可知，， ． ，， ． 梯形是直角梯形，平移后梯形也是直角梯形． ． ， ，即为梯形的高． ． 6．（25-26七年级下·江苏常州·期中）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 【答案】31 【思路引导】由折叠的性质可得，再由平行线的性质得到，设，则，根据平角的定义可得方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 7．（25-26七年级下·新疆阿克苏·期中）如图，将沿射线方向平移得到，点位于点和点之间． (1)如果，，求移动的距离的长． (2)与是否平行？并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路引导】（1）根据平移的性质可得，再由边长的关系求解即可． （2）根据平移的性质判断即可． 【规范解答】（1）解：∵将沿方向平移得到， ， ， 即， 又，， ， ． （2）解：，理由如下： 是将沿方向平移得到的， ． 8．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图中，将沿方向平移，当点移动到点时，画出平移后的； (2)在图中，作关于直线对称的； (3)在图中，作关于点中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据平移的性质，点的对应点为，再确定、即可； （2）根据轴对称的性质，作、、关于的对称点、、，顺次连接即可得到； （3）根据中心对称的性质，作、、关于的对称点、、，顺次连接即可得到． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 9．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，点，，，都在网格图的格点上，按要求画图． (1)连接，将线段先向右平移格，再向下平移格，记两次平移后得到的线段为线段，在图中画出线段． (2)如图2，连结，记线段与的夹角为，请在图中画一个三角形，使得三角形中的一个角等于，且点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据平移的性质，先分别确定点、向右平移格，再向下平移格后的对应点、的位置，再顺次连接即可． （2）取格点、，连接、，根据格线特征可得，从而得，进而得，即有，画出即可． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，为所求． 10．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以作一对对应点连线段的垂直平分线得到． 【操作体验】如图1，在中，，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，交于点E；③连接． (1)根据上述步骤，用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)【拓展探究】在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题开展探究活动：如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点A的直线折叠纸片，使点B的对应点E落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点F，请用没有刻度的直尺和圆规作出折痕和（保留作图痕迹，不写作法） (3)【拓展探究】连接、、、，若，则______．若，则______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5； 【思路引导】（1）根据题干中作图步骤进行作图即可； （2）先作的垂直平分线，即为折痕，以点A为圆心，为半径画弧，交于一点，该点即为点E，连接，作的垂直平分线，交于点F； （3）根据折叠得出，根据三角形内角和定理得出，根据平角得出，最后根据三角形内角和定理求出即可． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求作的直线； （2）解：如图，、即为所求； （3）解：根据折叠可得：，， ∴； 根据折叠可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $