专题02整式乘法期末复习讲义（19大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年苏科版数学七年级下学期

专题02整式乘法期末复习讲义 期末复习◆重点 熟练掌握整式乘法各类运算法则，规范运算步骤，规避漏乘、符号错误等基础运算问题。 熟练掌握平方差公式、完全平方公式，能正向运用、逆向变形、整体代入求值。 掌握化简求值、不含某项求参数、完全平方式求系数、几何面积应用等期末核心题型。 理清幂的运算与整式乘法混合运算顺序，梳理常见易错点，提升综合运算能力。 核心题型◆归纳 题型1.单项式乘单项式的计算 题型2.用单项式乘法求字母或代数式的值 题型3.单项式乘多项式的计算及化简求值 题型4.单项式乘多项式的实际应用 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 题型6.多项式乘多项式常规计算 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法计算 题型8.多项式乘多项式化简求值 题型9.已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型10.多项式乘多项式与图形面积问题 题型11.多项式乘法中的规律性问题 题型12 整式乘法混合运算 题型13.平方差公式的运算及几何图形应用 题型14.完全平方公式的运算、变形求值 题型15.完全平方公式在几何图形中的应用 题型16.求完全平方式中的字母系数 题型17.完全平方式在几何图形中的应用 题型18.整式的混合运算 题型19.整式乘法的新定义运算 重点知识◆梳理 【知识点一、基础知识回顾：幂的运算】 1.基本运算法则 同底数幂相乘： 幂的乘方：(= 积的乘方：= 2.符号运算规则：负数的偶次幂结果为正，负数的奇次幂结果为负。 3.拓展变形：幂的逆运算 ，=(，多用于整体代入类求值。 【知识点二、整式乘法核心知识点】 1.单项式乘单项式 运算法则：系数相乘，同底数幂分别运算，仅在单个单项式中出现的字母连同指数直接保留。 运算步骤：定符号→计算系数乘积→合并同底数幂→保留独有字母因式。 示例：(-2x2y). 3xy3=-6x3y4 2.单项式乘多项式 运算法则：依据乘法分配律，用单项式乘多项式每一项，再合并结果。 公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc 3.注意要点 (1)逐项相乘，不可漏乘任意一项； (2)各项自带符号，严格遵循同号得正、异号得负。 示例：-3x(2x2-4x+1)=-6x3+12x2-3x 3.多项式乘多项式 运算法则：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 运算要求：用第一个多项式每一项乘第二个多项式每一项，不重不漏，完成乘法后合并同类项化为最简整式。 示例：(x-2)(x+3)=+3x-2x-6=+x-6 拓展速算公式 :(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 适用：两个一次项系数为1的一次二项式相乘. 【知识点三、核心乘法公式】 公式1：平方差公式 标准形式：(a+b)(a-b)=a2-b2 结构特征：两二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数；结果为相同项平方减去相反项平方。 ✅平方差公式常见变式 位置变式：(a+b)(a-b)=(b+a)(a-b)=- 符号变式：(-a-b)(-a+b)=- 系数变式：(2x+3y)(2x-3y)=4x2-9y2 公式2：完全平方公式 和的完全平方：(a+b)^2=a2+2ab+b2 差的完全平方：(=a2-2ab+b2 规律：首平方，尾平方，首尾乘积二倍放中央，中间符号与原式一致。 ✅完全平方公式变形 1.a2+b2=(a+b)2-2ab 2.a2+b2=(a-b)2+2ab 3.(a+b)2-(a-b)2=4ab 【知识点四、整式乘法混合运算规范】 运算顺序：先乘方，再乘法，最后加减； 括号处理：有括号先算括号内，多层括号由内向外计算； 化简要求：全程规范判断符号，运算结束后合并全部同类项，结果化为最简整式。 题型解析◆精准备考 题型1.单项式乘单项式的计算 1．在代数式中，与的值各减少原来的，则该代数式的值变为原来的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是单项式乘单项式，列出与的值各减少原来的后的代数式是解题的关键． 和各减少到原来的，代入代数式计算新值即可. 【详解】解：在代数式中，与的值各减少原来的， ∴设 ，， ∴新值 ， ∴新代数式的值是原代数式值的. 故选：D． 2．若，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先利用单项式乘单项式法则和同底数幂的乘法法则化简所求代数式，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解： 当时，原式． 3．计算：． 【答案】 【分析】先计算幂的乘方、积的乘方，然后计算单项式乘以单项式，再合并即可． 【详解】解： ． 题型2.用单项式乘法求字母或代数式的值 1．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 2．，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 3．化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 【答案】(1)2022 (2)x2n，64 【分析】（1）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）解：原式= =2022； （2）解：原式= =； 当x＝－2，n＝3时，则 ； 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 题型3.单项式乘多项式的计算及化简求值 1．下列运算中，错误的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单项式乘多项式运算法则逐一计算各选项，即可找出错误的运算． 【详解】解：选项A： ，与选项A给出的结果不符，故选项A计算错误； 选项B， ，与选项B给出的结果符合，故选项B计算正确； 选项C， ，与选项C给出的结果符合，故选项C计算正确； 选项D， ，与选项D给出的结果符合，故选项D计算正确． 2．已知代数式的值是6，则代数式的值是______． 【答案】 6 【分析】由已知条件可得， 即，将所求三次多项式降次整理，再整体代入计算即可． 【详解】解：代数式的值为， ， 整理得，即， 对变形得：， 将代入得：， 将代入所求代数式得：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2） 解：原式. 题型4.单项式乘多项式的实际应用 1．边长分别为和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的运算的应用，关键是用代数式表示出阴影部分的面积．根据已知图形得出阴影部分的面积是：求出即可． 【详解】解：边长分别为和a的两个正方形，阴影部分的面积是： ， 故选：A． 2．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为__________ 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，根据图形进行面积计算是解题的关键．观察图形，阴影部分面积可以通过大正方形面积减去小正方形面积，再减去两个直角三角形的面积计算得出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴上式， 故答案为：． 3．麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米．这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸． (1)把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ (2)已知房屋的高度为米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱？（计算时不算门、窗所占的面积）． 【答案】(1)把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的砖，购买所需地砖至少需要元； (2)在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，购买所需壁纸至少需要元． 【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每地砖的价格是元钱，求出需要的钱数即可； （2）求出侧面积即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是元/平方米，求出需要的钱数即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， （元） 答：把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的砖，购买所需地砖至少需要元； （2）解：根据题意得：， （元） 答：在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，购买所需壁纸至少需要元． 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 1．设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 2．若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【答案】2 【分析】先把原式进行化简，再根据结果与x的取值无关列方程并解方程即可． 【详解】解： ∵多项式的结果与的取值无关， ∴含项的系数为0， 即， 解得：． 3．已知等式成立，求的值． 【答案】2 【分析】先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：， ∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴ ． 题型6.多项式乘多项式常规计算 1．设，则下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴，，，， ∴，，， ∴正确的是②③． 2．已知的展开式中不含的一次项，则_____． 【答案】 【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据不含的一次项，即的一次项的系数为，列方程求解即可． 【详解】解： ， 又 的展开式中不含的一次项， ， 解得，． 3．计算：． 【答案】 【详解】解：原式. 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法计算 1．若，则的值为（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用多项式乘多项式的运算法则展开左边，再根据等式两边对应项系数相等求出和的值，最后计算即可． 【详解】解：首先展开等式左边的多项式：， 等式右边为，等式两边对应项系数相等，可得 ， 解得，， ． 2．若，则__________． 【答案】 【分析】这道题是一个多项式乘法与等式的问题．需要通过展开左边的乘积，并将其与右边的表达式进行比较，从而确定和的值．然后利用这些值计算．本题主要考查了多项式乘法，熟练掌握多项式展开及系数比较方法是解题的关键． 【详解】解： ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 题型8.多项式乘多项式化简求值 1．已知，，则的值为（   ） A．13 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再将将，，整体代入求值即可． 本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，解题的关键是注意整体思想的应用． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：B． 2．若已知，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴原式． 3．计算： (1)； (2)先化简再求值：，其中． 【答案】(1) (2)；13． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 题型9.已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．若的结果中不含项，则a的值为（  ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据要求结果不含项，即展开后项的系数为0，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：先展开并整理原式： ∵结果中不含项， ∴项的系数为，即， 解得． 2．若关于x的多项式的结果中不含项，则m的值为_____． 【答案】 【分析】先计算，再根据“结果中不含项”列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含项， ∴， 解得：． 3．已知代数式，． (1)与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值； (2)先化简，再将（1）中的结果代入求值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 题型10.多项式乘多项式与图形面积问题 1．如图，正方形和正方形叠放在一起，点在边上，点在边上，是的中点．若已知图中阴影部分的面积，下列各式的值，一定能求出的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形边长为，正方形边长为，求出，，，进而得到阴影部分的面积，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：设正方形边长为，正方形边长为， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∵阴影部分的面积 ， A、，无法求出，不符合题意； B、，无法求出，不符合题意； C、，无法求出，不符合题意； D、，一定能求出，符合题意． 2．现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________． 【答案】19 【分析】根据一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为，计算出长为、宽为的长方形的面积，确定面积中的系数即可 【详解】解：根据题意，得一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为， 且， 故需要19张C类纸片 3．分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片． (1)用这些卡片拼一些新的长方形，并计算新长方形的面积； (2)从这些卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形． 【答案】(1)如图， 长方形的面积为； 如图， 长方形的面积为；（答案不唯一） (2)如图， 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则画图，然后计算面积即可； （2）首先得到选择2张卡片，3张卡片，然后画图即可． 【详解】（1）解：如图，标记卡片为、、三种， 用3张卡片、1张卡片、2张卡片，它们拼出一个长为，宽为的新长方形，如图所示； ∵，故符合题意； ∴长方形的面积为； 用4张卡片、3张卡片、1张卡片，它们拼出一个长为，宽为的新长方形，如图所示； ∵，故符合题意； ∴长方形的面积为；（答案不唯一） （2）解：∵ ∴选择2张卡片，3张卡片，拼成长为，宽为a的长方形，图略． 题型11.多项式乘法中的规律性问题 1．下面的图表是《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，过7天仍是星期一，那么再过天是（     ） A．星期日 B．星期一 C．星期三 D．星期五 【答案】D 【分析】根据题意可得，则可得到，一定是7的倍数，，故再过天是星期五． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴， ， ∵一定是7的倍数，， ∴再过天是星期五． 2．观察下列算式：，，，，…，发现其中规律并用代数式表示为_________；利用该规律计算_________． 【答案】 （n为非负整数） 【详解】解：∵， ， ， ， ∴，（n为非负整数） ∴． 3．观察下列各式： ； ； ；… (1)根据以上规律，则_____； (2)你能否由此归纳出一般性规律：____； (3)根据（2）求出：的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型12 整式乘法混合运算 1．一个长方体的长，宽，高分别是，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方体的得体积公式，整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据长方体的体积公式，列出算式，然后根据整式乘法法则计算即可； 【详解】解：长方体的体积长宽高； ∴长方体的体积 ； 故选：D． 2．已知，，．求的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则，整式的化简，将式子变形得是解题的关键． 根据整式的混合运算，整式的化简等方法，将式子变形得即可求解． 【详解】解：已知，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型13.平方差公式的运算及几何图形应用 1．计算 的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式求解，通过给原式补乘值为1的，不改变原式结果，再重复运用平方差公式计算得到最终结果． 【详解】解：∵，乘1不改变原式的值， ∴原式， ， ， ， ， ． 2．如图，60个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是________．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意，阴影部分面积可以表示为一系列圆环面积的和，利用平方差公式将面积差转化为半径和，最后利用求和公式计算即可． 【详解】解： ． 3．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． (3)请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得解； （2）根据图形，即可得到长方形的长和宽，利用长乘宽就可得到长方形的面积，根据阴影面积相等，列出等式即可； （3）①利用公式进行计算即可； ②利用（2）中公式，逐项展开，进行计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积是：； （2）解：由图可知：长方形的宽为，长为，面积为； 由题意，得：； （3）解：①由，可知： ②原式 ． 题型14.完全平方公式的运算、变形求值 1．已知，则m＋n的值为（     ） A． B．21 C．3 D． 【答案】A 【分析】先根据完全平方公式展开等式左边，再根据对应项系数相等求出和，最后计算的值． 【详解】解：∵利用完全平方公式展开左边得：， 又∵ ， ∴对比多项式对应项系数可得，， ∴． 2．如图，小冬以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形的面积为______． 【答案】6 【分析】设，，根据已知易得：，，从而可得：，，然后利用完全平方公式计算的值即可． 【详解】解：设，， ∵四个正方形的周长之和为40，面积之和为26， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴长方形的面积为6． 3．把整式通过配凑，得到完全平方式，再运用完全平方公式的逆运用 ，得到平方式：， 再利用平方的非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法． 例如：求的最小值． 解：， ， ， ∴当时， 的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1． 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)填空： （_______________）， (2)求 的最小值； (3) ，求的值． 【答案】(1)，3 (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式变形即可； （2）利用完全平方公式变形，再根据偶次方的性质即可解答； （3）利用完全平方公式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， 故当时，取最小值0，最小值为； （3）解： ， ， ， ， ， 当且仅当且时，等式成立， 解得， ∴ ． 题型15.完全平方公式在几何图形中的应用 1．如图，将小正方形纸片叠放在大正方形纸片上，使得点在边上，点在边上，连接，．当且两张正方形纸片的面积和为52时，则图中阴影部分的面积为（     ） A．20 B．16 C．12 D．10 【答案】D 【分析】延长交于点H，设大正方形纸片的边长为a，小正方形纸片的边长为b，得出，确定，再由完全平方公式得出，结合图形得出阴影部分的面积为：． 【详解】解：延长交于点H，如图所示： 设大正方形纸片的边长为a，小正方形纸片的边长为b， 根据题意得：， ∴即， 解得：， ∴， ∴（负值舍去）， 根据题意得：， ∴阴影部分的面积为：． 2．如图，现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为10；将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为8，则图1的阴影部分面积为___________________ ． 【答案】 【分析】设正方形甲的边长为a，正方形乙的边长为b，由题意得，，，根据，求出的值，再根据图1中阴影部分的面积为，变形后代入计算即可． 【详解】解：设正方形甲的边长为a，正方形乙的边长为b， 由题意得，，， ∵，即， ∴， 图1中阴影部分的面积为 ． 3．综合探究与应用 【教材原题】 (1)通过第一章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为________；如图②可以得到的公式为________； 【探索发现】 (2)现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为________； 【结论应用】 (3)①若，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①30；② 【分析】（1）图①根据“大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积的和”求解即可；图②根据“左下角正方形的面积等于大正方形的面积加上小正方形的面积，再减去两个长方形的面积”求解即可； （2）根据“大正方形的面积=小正方形的面积长方形的面积”即可解答； （3）①由题意可得，然后代入相关结论求解即可；②设，则，根据（1）的结论求得即可． 【详解】（1）解：∵图①中大正方形的边长为，两个小正方形的边长分别为a，b，两个长方形的长和宽分别都是a，b， ∴图①中大正方形的面积为，两个小正方形的面积分别为，每个长方形的面积为， 又∵图①中“大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个长方形的面积”， ； ∵图②中左下角正方形的边长为，大正方形的边长为a，右上角小正方形的边长为b，两个长方形的长和宽分别都是a，b， ∴图②中左下角正方形的面积为，大正方形的面积分别为，小正方形的面积分别为，每个长方形的面积为， 又∵图②中“左下角正方形的面积=大正方形的面积+小正方形的面积-两个长方形的面积”， ． （2）解：∵图③中大正方形的边长为，小正方形的边长为，两个长方形的长和宽分别都是a，b， ∴图③中大正方形的面积为小正方形的面积为每个长方形的面积为， 又∵图③中“大正方形的面积=小正方形的面积长方形的面积”， ， ∴、和之间的等量关系为． （3）解：①∵， ∴， ∵，， ∴，解得：． ②设，则， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 题型16.求完全平方式中的字母系数 1．如果是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】根据题意可确定两平方项为，则一次项为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴或． 2．若关于x的二次三项式．是完全平方式，则m的值为________． 【答案】7或 【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键，利用完全平方式的结构特征即可求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 故答案为7或． 3．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定：． (1)填空：对于有理数x，y，k，若是一个完全平方式，则______． (2)对于有理数x，y，已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由新定义可得，再根据完全平方公式确定k的值即可； （2）由新定义可得，再运用完全平方公式可得，然后将整体代入计算即可． 【详解】（1）解： 是一个完全平方式， ∴， ∴，解得：． （2）解： ∵ ∴ ∴，即，解得：． 题型17.完全平方式在几何图形中的应用 1．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据剩余部分面积等于长方形的面积即可求． 【详解】解：根据题意得剩余部分面积为： 则长方形的面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了图形剪拼问题中的列代数式，整式乘法的混合运算，完全平方公式，关键明确剩余部分面积等于长方形面积． 2．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，可得，设，则，即得，，进而得到，再利用可求得，据此即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．    （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ）见详解（2） 【分析】本题考查了利用图形面积证明不等式； （1）（ⅰ）根据图形即可求解； （ⅱ）由图②中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解； （ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解； （2）由（1）得，即可求解； 理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键． 【详解】解：（1）（ⅰ）由题意得 ①中两个三角形的面积分别为和，图②中长方形ABCD的面积为， 故答案：，，； （ⅱ）由图②得 当时，， 故答案：； （ⅲ）当时，， 甲同学：当时， ， ， 当时，； 乙同学：   当时，； （2） ， 由（1）得： ， ， ， 的最小值为． 题型18.整式的混合运算 1．已知，那么代数式值是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查整式混合运算，已知式子的值求代数式的值．由已知得到，运用整式的混合运算法则对代数式化简变形，代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B 2．已知，，则______． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式． 将代入得，求出，，求出． 【详解】解：将代入得： ， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 3．先化简，再求值： (1)，其中，； (2) ，其中，且． 【答案】(1)，12 (2)，96 【分析】（1）先利用多项式除以单项式，平方差公式进行计算，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）先利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 题型19.整式乘法的新定义运算 1．规定用表示有序数对，给出定义：将变为称为一次X变换：将变为称为一次Y变换．下列说法： ①将进行2次X变换后得到的结果为； ②将进行2次Y变换后得到的结果为； ③对随机进行2次变换（每次选X或Y），共有3种不同的结果； ④将对应的有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，若对任意实数恒成立，则． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】按新定义规则依次验证四个说法，最后利用整式恒成立条件求解参数即可． 【详解】解： ①将进行第1次X变换后得到的结果为，进行第2次X变换后得到的结果为；故①正确； ②将进行第1次Y变换得，进行第2次Y变换得，故②错误； ③两次X得； 先X后Y得：； 先Y后X得； 两次Y得，共4种不同结果，故③错误； ④有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得：， ∵有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，， ∴， ， ∴ ， ∵对任意实数x，恒成立， ∴对任意实数x，恒成立， ∴， 解得：，故④正确； 综上，正确的说法共2个． 2．定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“领先数”．例如，，那么11是领先数．若将领先数从小到大排列，则第4个领先数是______；第36个领先数是______． 【答案】 39 439 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，令，，，…，，…，是领先数，且，根据定义得，，，，是解题的关键． 【详解】解：令，，，…，，…，是领先数，且， 由题意可知，最小的领先数是11，即， 由定义可知，一个领先数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1， 设， 则， ∵， 要保证是领先数，则的十位数字比个位数字大1， 则只需保证，为100的倍数，则， 的十位和个位必定和的相同， ∴， 即是领先数，同理，，，…，是领先数， 现计算50以内的正整数的平方，根据定义可得： ，，，， ∴，，，， ∴，，，， 则， 故答案为：39，439． 3．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出，再利用完全平方公式的变形即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， 是一个完全平方式， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02整式乘法期末复习讲义 期末复习◆重点 熟练掌握整式乘法各类运算法则，规范运算步骤，规避漏乘、符号错误等基础运算问题。 熟练掌握平方差公式、完全平方公式，能正向运用、逆向变形、整体代入求值。 掌握化简求值、不含某项求参数、完全平方式求系数、几何面积应用等期末核心题型。 理清幂的运算与整式乘法混合运算顺序，梳理常见易错点，提升综合运算能力。 核心题型◆归纳 题型1.单项式乘单项式的计算 题型2.用单项式乘法求字母或代数式的值 题型3.单项式乘多项式的计算及化简求值 题型4.单项式乘多项式的实际应用 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 题型6.多项式乘多项式常规计算 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法计算 题型8.多项式乘多项式化简求值 题型9.已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型10.多项式乘多项式与图形面积问题 题型11.多项式乘法中的规律性问题 题型12 整式乘法混合运算 题型13.平方差公式的运算及几何图形应用 题型14.完全平方公式的运算、变形求值 题型15.完全平方公式在几何图形中的应用 题型16.求完全平方式中的字母系数 题型17.完全平方式在几何图形中的应用 题型18.整式的混合运算 题型19.整式乘法的新定义运算 重点知识◆梳理 【知识点一、基础知识回顾：幂的运算】 1.基本运算法则 同底数幂相乘： 幂的乘方：(= 积的乘方：= 2.符号运算规则：负数的偶次幂结果为正，负数的奇次幂结果为负。 3.拓展变形：幂的逆运算 ，=(，多用于整体代入类求值。 【知识点二、整式乘法核心知识点】 1.单项式乘单项式 运算法则：系数相乘，同底数幂分别运算，仅在单个单项式中出现的字母连同指数直接保留。 运算步骤：定符号→计算系数乘积→合并同底数幂→保留独有字母因式。 示例：(-2x2y). 3xy3=-6x3y4 2.单项式乘多项式 运算法则：依据乘法分配律，用单项式乘多项式每一项，再合并结果。 公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc 3.注意要点 (1)逐项相乘，不可漏乘任意一项； (2)各项自带符号，严格遵循同号得正、异号得负。 示例：-3x(2x2-4x+1)=-6x3+12x2-3x 3.多项式乘多项式 运算法则：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 运算要求：用第一个多项式每一项乘第二个多项式每一项，不重不漏，完成乘法后合并同类项化为最简整式。 示例：(x-2)(x+3)=+3x-2x-6=+x-6 拓展速算公式 :(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 适用：两个一次项系数为1的一次二项式相乘. 【知识点三、核心乘法公式】 公式1：平方差公式 标准形式：(a+b)(a-b)=a2-b2 结构特征：两二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数；结果为相同项平方减去相反项平方。 ✅平方差公式常见变式 位置变式：(a+b)(a-b)=(b+a)(a-b)=- 符号变式：(-a-b)(-a+b)=- 系数变式：(2x+3y)(2x-3y)=4x2-9y2 公式2：完全平方公式 和的完全平方：(a+b)^2=a2+2ab+b2 差的完全平方：(=a2-2ab+b2 规律：首平方，尾平方，首尾乘积二倍放中央，中间符号与原式一致。 ✅完全平方公式变形 1.a2+b2=(a+b)2-2ab 2.a2+b2=(a-b)2+2ab 3.(a+b)2-(a-b)2=4ab 【知识点四、整式乘法混合运算规范】 运算顺序：先乘方，再乘法，最后加减； 括号处理：有括号先算括号内，多层括号由内向外计算； 化简要求：全程规范判断符号，运算结束后合并全部同类项，结果化为最简整式。 题型解析◆精准备考 题型1.单项式乘单项式的计算 1．在代数式中，与的值各减少原来的，则该代数式的值变为原来的（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值为_____________． 3．计算：． 题型2.用单项式乘法求字母或代数式的值 1．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．，求的值_______． 3．化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 题型3.单项式乘多项式的计算及化简求值 1．下列运算中，错误的是(　　) A． B． C． D． 2．已知代数式的值是6，则代数式的值是______． 3．计算： (1)； (2)． 题型4.单项式乘多项式的实际应用 1．边长分别为和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为__________ 3．麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米．这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸． (1)把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ (2)已知房屋的高度为米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱？（计算时不算门、窗所占的面积）． 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 1．设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 2．若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 3．已知等式成立，求的值． 题型6.多项式乘多项式常规计算 1．设，则下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．已知的展开式中不含的一次项，则_____． 3．计算：． 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法计算 1．若，则的值为（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．若，则__________． 3．先化简，再求值：，其中． 题型8.多项式乘多项式化简求值 1．已知，，则的值为（   ） A．13 B．3 C． D． 2．若已知，则的值为_______． 3．计算： (1)； (2)先化简再求值：，其中． 题型9.已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．若的结果中不含项，则a的值为（  ） A．0 B．2 C． D． 2．若关于x的多项式的结果中不含项，则m的值为_____． 3．已知代数式，． (1)与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值； (2)先化简，再将（1）中的结果代入求值． 题型10.多项式乘多项式与图形面积问题 1．如图，正方形和正方形叠放在一起，点在边上，点在边上，是的中点．若已知图中阴影部分的面积，下列各式的值，一定能求出的是（     ） A． B． C． D． 2．现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________． 3．分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片． (1)用这些卡片拼一些新的长方形，并计算新长方形的面积； (2)从这些卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形． 题型11.多项式乘法中的规律性问题 1．下面的图表是《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，过7天仍是星期一，那么再过天是（     ） A．星期日 B．星期一 C．星期三 D．星期五 2．观察下列算式：，，，，…，发现其中规律并用代数式表示为_________；利用该规律计算_________． 3．观察下列各式： ； ； ；… (1)根据以上规律，则_____； (2)你能否由此归纳出一般性规律：____； (3)根据（2）求出：的结果． 题型12 整式乘法混合运算 1．一个长方体的长，宽，高分别是，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，．求的值为__________． 3．计算： (1)； (2)． 题型13.平方差公式的运算及几何图形应用 1．计算 的结果为（     ） A． B． C． D． 2．如图，60个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是________．（结果保留） 3．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． (3)请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 题型14.完全平方公式的运算、变形求值 1．已知，则m＋n的值为（     ） A． B．21 C．3 D． 2．如图，小冬以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形的面积为______． 3．把整式通过配凑，得到完全平方式，再运用完全平方公式的逆运用 ，得到平方式：， 再利用平方的非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法． 例如：求的最小值． 解：， ， ， ∴当时， 的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1． 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)填空： （_______________）， (2)求 的最小值； (3) ，求的值． 题型15.完全平方公式在几何图形中的应用 1．如图，将小正方形纸片叠放在大正方形纸片上，使得点在边上，点在边上，连接，．当且两张正方形纸片的面积和为52时，则图中阴影部分的面积为（     ） A．20 B．16 C．12 D．10 2．如图，现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为10；将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为8，则图1的阴影部分面积为___________________ ． 3．综合探究与应用 【教材原题】 (1)通过第一章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为________；如图②可以得到的公式为________； 【探索发现】 (2)现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为________； 【结论应用】 (3)①若，，求的值； ②已知，求的值． 题型16.求完全平方式中的字母系数 1．如果是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．1或 2．若关于x的二次三项式．是完全平方式，则m的值为________． 3．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定：． (1)填空：对于有理数x，y，k，若是一个完全平方式，则______． (2)对于有理数x，y，已知，，求的值． 题型17.完全平方式在几何图形中的应用 1．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则______． 3．【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．    （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ）见详解（2） 题型18.整式的混合运算 1．已知，那么代数式值是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．已知，，则______． 3．先化简，再求值： (1)，其中，； (2) ，其中，且． 题型19.整式乘法的新定义运算 1．规定用表示有序数对，给出定义：将变为称为一次X变换：将变为称为一次Y变换．下列说法： ①将进行2次X变换后得到的结果为； ②将进行2次Y变换后得到的结果为； ③对随机进行2次变换（每次选X或Y），共有3种不同的结果； ④将对应的有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，若对任意实数恒成立，则． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“领先数”．例如，，那么11是领先数．若将领先数从小到大排列，则第4个领先数是______；第36个领先数是______． 3．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $