专项1第七章幂的运算压轴题型 2025-2026学年苏科版七年级下册数学期末复习专项｜易错题型 +压轴题型+ 期末满分讲义

专项1 第七章 幂的运算压轴题型 目录 题型1 同底数幂乘法及其逆用 1 题型2 幂的乘方及其逆用 2 题型3 积的乘方及其逆用 4 题型4 同底数幂除法及其逆用 5 题型5 幂的混合运算 7 题型6 零指数幂和整数指数幂 9 题型1 同底数幂乘法及其逆用 1．规定一种新运算：，例如，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 2．规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____________，_____________； (2)若，，，试探究，，之间存在的数量关系． 3．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)___________； (2)求___________； (3)求的和．（请写出计算过程） 4．若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 5．有一张菱形纸片，其一个内角为，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数） 观察以上图形，解答下列问题： (1)填空：_______，________（用含n的式子表示） (2)试说明能被6整除． 题型2 幂的乘方及其逆用 6．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求y的值． 7．尝试使用幂的基本性质，解决下列问题： (1)将下列习题的过程补充完整： 题目：若，，用含x，y的代数式表示． 解：________， ，， 原式_________________． (2)根据（1）的过程，已知（其中a，b都是正整数），求的值． 8．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结1：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结2：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)比较与的大小． 9．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 10．规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：___________． (2)①若，请你尝试证明：； ②若，则___________（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设 ， ，即． ． (3)结合①，②探索的结论，求的值． 题型3 积的乘方及其逆用 11．阅读下列各式：，，．⋯⋯ (1)根据积的乘方得出规律：_____________，________； (2)应用规律： ①填空：____________，________________； ②计算：． 12．阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 13．材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． (1)【计算】； (2)【拓展】若，求的值． 14．阅读下面例题的解题过程．例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为，，所以． (1)一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案：______； (2)解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示． 15．【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 题型4 同底数幂除法及其逆用 16．阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么；例如；记作． (1)根据以上规定求出：________；________； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ，． 根据以上证明，请计算：； (3)猜想，并说明理由． 17．小明在学习同底数幂的乘法时，根据算式：，做了如下推导：，因此得到． 类比探究： (1)求的值； (2)求证：； 拓展探究： (3)若，求的值． 18．小明在计算时，采用了如下的解法． ． 请你借鉴小明的解题思路，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)已知满足，求的值． 19．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)_______； (2)已知，，，请把，，用“”连接起来：_______； (3)若，，求的值； 20．将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． 例：． 解决问题： (1)______． (2)已知，求x的值． (3)若，． ①求的值． ②求的值． 题型5 幂的混合运算 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 23．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． …… (1)展开式中所有项的系数和是___________ (2)求展开后的结果 24．已知． (1)由上述计算，我们发现：_______（填“”“”或“”）； (2)请你通过计算，比较与的大小； (3)我们可以发现：_______（，填“”“”或“”）； (4)计算：． 25．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a， b）：如果那么（a，b）=c． 例如：因为所以（2，8）=3 (1)根据上述规定，填空：（3，9）=_______， （4，1）=_______，=_______． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，=（3，4），小明给出了如下的证明： 设，=x，则=，即=，所以，即（3， 4）=x， 所以，=（3，4）． 请你用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）． 题型6 零指数幂和整数指数幂 26．已知 ． (1)求 的值； (2)求的值． 27．已知，求整数x的值． 小红与小明交流如下： 小红说：因为， 所以且，所以． 小明说：你的解法只考虑一种情况，还有其他情况，我们再想想吧． 从他们的对话中，你认为小红同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值． 28．如果，则我们规定．如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知，，，若，求y的值． 29．规定两正数a，b之间的一种运算记作，如果，那么． 例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设， 由规定，得， ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： (1)填空： ，； (2)证明：； (3)如果正数、m、n，满足，求x． 30．如果，那么规定．例如：如果，那么． (1)根据规定填空：___________，___________； (2)记，，，若，求的值； (3)若，，比较，的大小关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项1 第七章 幂的运算压轴题型 目录 题型1 同底数幂乘法及其逆用 1 题型2 幂的乘方及其逆用 5 题型3 积的乘方及其逆用 10 题型4 同底数幂除法及其逆用 15 题型5 幂的混合运算 20 题型6 零指数幂和整数指数幂 25 题型1 同底数幂乘法及其逆用 1．规定一种新运算：，例如，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)32 (2)1.5 【分析】根据新运算的定义，将新运算转换为通常的代数式计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ， ∴， ， ． 2．规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____________，_____________； (2)若，，，试探究，，之间存在的数量关系． 【答案】(1)3，5 (2)，见解析 【分析】（1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据新定义运算，对式子进行变形，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ，； （2）解：，理由如下： ，， ，， ，即 ． 3．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)___________； (2)求___________； (3)求的和．（请写出计算过程） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设和为，给等式两边同时乘以，再将新等式与原等式相减，消去中间项，直接得到结果； （2）设和为，给等式两边同时乘以​，再将原等式与新等式相减，消去中间项，解出； （3）设和为，给等式两边同时乘以，再将原等式与新等式相减，消去中间项，解出． 【详解】（1）解：设，则， 故． （2）解：设，则， 则， 即， 故． （3）解：设，则， 可得， 故． 4．若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂运算的法则是关键． （1）根据题意，得到关于的方程，求解即可； （2）先根据同底数幂的运算法则，将转化为，化简并解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．有一张菱形纸片，其一个内角为，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数） 观察以上图形，解答下列问题： (1)填空：_______，________（用含n的式子表示） (2)试说明能被6整除． 【答案】(1)， (2)说明见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，同底数幂乘法的逆运算，正确找到规律是解题的关键． （1）先观察图形找到规律即可求出答案； （2）根据（1）可得，，然后代入式子变形进行求解即可． 【详解】（1）解：第一个图形有个“沙漏型”， 第二个图形有个“沙漏型”， 第三个图形有个“沙漏型”， 第四个图形有个“沙漏型”， …．． 由此可得到规律，第n个图形有个图形，即； （2）解：∵，则， ∴ ． ∴能被6整除． 题型2 幂的乘方及其逆用 6．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求y的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先将底数4转化为2的幂，利用幂的乘方法则把等式两边化为同底数幂的形式，因为题目给出同底数幂相等时指数相等的结论，所以列方程求解x． （2）先利用同底数幂的乘法性质，提取公因式化简等式左边，再通过计算将等式两边化为同底数幂的形式，最后利用同底数幂相等时指数相等的结论列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 原等式变为， 已知时，若，则，这里底数符合条件， 因此， 解得． （2）解：∵，， ∴， 原等式转化为：， ， 又∵， 即， ∴． 7．尝试使用幂的基本性质，解决下列问题： (1)将下列习题的过程补充完整： 题目：若，，用含x，y的代数式表示． 解：________， ，， 原式_________________． (2)根据（1）的过程，已知（其中a，b都是正整数），求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算得到，再由，，可得原式； （2）把可变形为，进一步可变形为，再根据已知条件可得答案． 【详解】（1）解： ， ， ，， ∴原式； （2）解：， ， ， 原式． 8．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结1：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结2：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料1的方法，化为指数相同的幂的形式，再比较底数的大小，即可求解； （2）根据材料2的方法，化为底数相同的幂的形式，再比较指数的大小，即可求解； （3）分别化为，，即可求解． 【详解】（1）解： 因为， 所以 即 （2） 因为， 所以 即 （3） 因为， 所以 即 9．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据积的乘方的逆运算法则，同底数幂的乘法的逆运算法则，即可解答； （2）根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则，进行计算即可； （3）先将，，转化为同指数幂，再比较底数的大小，即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：，且， ， ， ． （3）解：，，，且， ， 即． 10．规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：___________． (2)①若，请你尝试证明：； ②若，则___________（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设 ， ，即． ． (3)结合①，②探索的结论，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②； (3) 【分析】（1）由新定义运算法则直接求解即可得到答案； （2）①由新定义运算法则及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方证明即可；②按照①的证明思路求解即可得到答案； （3）按照材料中的探究过程，结合新定义运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴ （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴，即 ∴ ②由题意可知，，，， ， ，即， 则， 故答案为：； （3）解： ； 设，，则， ， ， ， ， 即． 题型3 积的乘方及其逆用 11．阅读下列各式：，，．⋯⋯ (1)根据积的乘方得出规律：_____________，________； (2)应用规律： ①填空：____________，________________； ②计算：． 【答案】(1)； (2)①1；1；② 【分析】（1）分析所给各等式，得到规律即可解答； （2）①逆用根据（1）的结论求解即可； ②将式子化为，再运用①的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， …… 由此可得，． （2）解：①， ； ② ． 12．阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【答案】(1)， (2)①1，1② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用积的乘方法则计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 故答案为：，； （2）解：①， ， 故答案为：1，1； ② ． 13．材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． (1)【计算】； (2)【拓展】若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 解得． 14．阅读下面例题的解题过程．例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为，，所以． (1)一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案：______； (2)解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则，将和用、表示，代入即可得到结果． （2）先将转化为，再根据积的乘方变形为，最后结合幂的乘方将其转化为含、的代数式． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 15．【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可；②根据得到，进一步得到，则，解方程即可得到答案； （2）①根据题意可得，，据此可得答案；②根据题意可得，则可证明，据此可得答案． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型4 同底数幂除法及其逆用 16．阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么；例如；记作． (1)根据以上规定求出：________；________； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ，． 根据以上证明，请计算：； (3)猜想，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题为新定义运算题，依据规定等价于， （1）根据定义直接找到满足等式的指数即可得到结果； （2）仿照题干给出的证明思路，设两个运算的结果，利用同底数幂乘法法则推导得到结果； （3）设出两个运算的值，利用同底数幂除法法则推导验证猜想，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， （2）解：设， ∴， ∴ ∴ ∴ （3）解：猜想， 理由如下：设， ∴， ∴ ∴ ∴． 17．小明在学习同底数幂的乘法时，根据算式：，做了如下推导：，因此得到． 类比探究： (1)求的值； (2)求证：； 拓展探究： (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）逆用同底数幂的乘法得到，又，可得，可知； （3）根据同底数幂的除法法则得到，，进而逆用幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）证明： （3）解：， ， 18．小明在计算时，采用了如下的解法． ． 请你借鉴小明的解题思路，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)已知满足，求的值． 【答案】(1)27 (2) 【分析】（1）先将原式变形为，然后根据幂的乘方运算法则将其变形为，再根据同底数幂的乘除法运算法则求解； （2）运用同底数幂的乘法逆运算将其变形为，再往后继续求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 原式； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴的值为． 19．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)_______； (2)已知，，，请把，，用“”连接起来：_______； (3)若，，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用积的乘方，进行求解即可； （2）将化为同指数幂的形式，比较底数的大小即可； （3）逆用同底数幂的乘除法，幂的乘方逆运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴ ∴； （3）解：∵， ∴， ∴. 20．将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． 例：． 解决问题： (1)______． (2)已知，求x的值． (3)若，． ①求的值． ②求的值． 【答案】(1)0.2 (2) (3)①，② 【分析】（1）根据计算即可； （2）由题可得，即，则，再 解方程即可； （3）①根据求解；②根据进行计算． 【详解】（1）解：； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 解得． （3）解：①． ②． 题型5 幂的混合运算 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算； （2）根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则、绝对值的性质计算； （3）根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计算； （4）根据同底数幂的乘除法运算法则计算. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 22．如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 23．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． …… (1)展开式中所有项的系数和是___________ (2)求展开后的结果 【答案】(1)1024 (2) 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类， （1）根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可； （2）先求出，再把上式中的所有的b替换成即可． 【详解】（1）解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 … 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故答案为：1024． （2）由已知得 把上式中的所有的b替换成得， 故答案为：． 24．已知． (1)由上述计算，我们发现：_______（填“”“”或“”）； (2)请你通过计算，比较与的大小； (3)我们可以发现：_______（，填“”“”或“”）； (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【分析】本题考查负整数指数幂，幂的运算： （1）直接根据题干即可得出结论； （2）利用负整数幂的法则进行计算后即可得出结果； （3）结合（1）（2）结论作答即可； （4）利用负整数幂的法则，乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解：由已知可知：； 故答案为：； （2）， 所以． （3）由（1）（2）知：； 故答案为： （4）原式． 25．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a， b）：如果那么（a，b）=c． 例如：因为所以（2，8）=3 (1)根据上述规定，填空：（3，9）=_______， （4，1）=_______，=_______． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，=（3，4），小明给出了如下的证明： 设，=x，则=，即=，所以，即（3， 4）=x， 所以，=（3，4）． 请你用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）． 【答案】(1)2，0，-3 (2)见解析 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义结合幂的运算进行证明即可． 【详解】（1），，， ∴（3，9）=2，（4，1）=0，=-3． 故答案为：2，0，-3 ． （2）设（3，4）=x，（3，5）=y 则=4，=5 所以， 所以（3，20）=x+y， 所以（3，4）+（3，5）=（3，20）． 【点睛】本题考查了幂的运算，掌握同底数幂的乘法，与幂的乘方运算，以及有理数的乘方，负整数指数幂的运算，掌握幂的运算并理解新定义是解题的关键． 题型6 零指数幂和整数指数幂 26．已知 ． (1)求 的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵． ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，且，即， ∴， ∴． 27．已知，求整数x的值． 小红与小明交流如下： 小红说：因为， 所以且，所以． 小明说：你的解法只考虑一种情况，还有其他情况，我们再想想吧． 从他们的对话中，你认为小红同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值． 【答案】解答不完整，的值可以为：， 【分析】分三种情况求解即可． 【详解】解：解答不完整，                                           因为， 所以且，所以，                                     因为，所以，所以，                                    因为的偶次幂是1，当时， 解得：，此时指数为偶数， 或其结果都为1，                                     其他所有整数的值为，． 28．如果，则我们规定．如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知，，，若，求y的值． 【答案】(1)4， (2)20 【分析】（1）根据新定义运算的含义可得答案； （2）由新定义可得：，，，再结合，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．规定两正数a，b之间的一种运算记作，如果，那么． 例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设， 由规定，得， ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： (1)填空： ，； (2)证明：； (3)如果正数、m、n，满足，求x． 【答案】(1)4， (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据，则计算求解即可； （2）根据的证明过程证明即可； （3）根据新定义结合同底数幂的运算列出方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）证明：设， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴， 解得：． 30．如果，那么规定．例如：如果，那么． (1)根据规定填空：___________，___________； (2)记，，，若，求的值； (3)若，，比较，的大小关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，找满足和的指数即可； （2）先根据定义把、转化为、，再利用同底数幂乘法，结合求出； （3）先根据定义把、表示为和，再逆用幂的乘方将二者统一指数为，转化为和，最后通过比较底数大小得出，的大小关系． 【详解】（1）解：，则， ，则． （2）解：，则，，则， ， 若，则，可得， ，故． （3）解：，则，即， ，则，即， ，故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $