专题05实数、近似值（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版数学八年级上册

专题05实数、近似值 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺知识框架： 实数知识板块：涵盖无理数与实数的定义、实数分类、实数与数轴的对应关系，以及实数的相反数、绝对值、大小比较、基础运算，包含常用无理数近似值，是初中代数运算的核心基础。 近似值知识板块：涵盖准确值与近似数的区分、精确度定义、四舍五入取值规则及实际问题取值原则，侧重数学知识的实际应用。 本章为后续二次根式运算、方程求解、函数数值计算奠定基础，是初中数学承上启下的关键章节。 ✺学习目标： 1.基础认知：区分有理数与无理数，掌握实数的定义与两种分类方式；明晰准确值、近似数的概念，理解精确度的数学意义。 2.能力运算：熟练求解实数的相反数、绝对值并规范化简；掌握四舍五入法，能按指定精确度求取近似数。 3.实际应用：能运用实数基础性质解决基础题型；结合生活情境合理选取近似数，规避常见解题误区。 ✺题型归纳： 题型1.无理数识别 题型2.无理数的大小估算 题型3.无理数整数部分的有关计算 题型4.实数概念理解 题型5.实数的分类 题型6.实数的性质 题型7.实数与数轴 题型8.实数的大小比较 题型9.程序设计与实数运算 题型10.计算器——平方根和立方根计算 题型11.求一个数的近似数 题型12.求近似数的精确度 题型13.近似数推断取值范围 题型14.巩固测试 ✺知识◆清单 一、实数核心知识点 1.无理数 无限不循环小数称为无理数，无理数无法化为分数形式。 初中常见无理数分为两类：一是开方开不尽的数，如、；二是特殊无限不循环常数，如π。 2.实数定义 有理数和无理数统称为实数，构成初中阶段完整数系。有限小数、无限循环小数都属于有理数，无限不循环小数属于无理数。 3.实数分类 （1）按定义分类：分为有理数（整数、分数）和无理数。 （2）按正负分类：分为正实数、0、负实数。 注意：0是有理数，既不是正数，也不是负数。 4.实数的相反数 任意实数a的相反数为-a，互为相反数的两个数之和为0。 无理数求相反数仅需改变符号，如的相反数为-。 5.实数的绝对值 正数和0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，实数的绝对值恒为非负数。 化简绝对值式子时，需先判断内部代数式的正负，再去掉绝对值符号， 例如：|-2|=2-。 二、实数性质、比较、新定义运算 1.实数的基本性质 （1）四则运算性质：有理数的运算法则与运算律（交换律、结合律、分配律）完全适用于实数，实数可进行加、减、乘、除（除数不为0）运算。 （2）有序性：任意两个实数都有唯一的大小关系，可正常比较大小。 （3）传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c。 （4）数轴对应性（必考）：实数与数轴上的点一一对应，任意实数对应数轴上唯一一点，数轴上任意一点对应唯一实数；数轴上右侧的数始终大于左侧的数。 （5）非负性：绝对值、实数平方、算术平方根均为非负数；若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 2. 实数大小比较 （1）数轴比较法（通用）：数轴上右侧的数大于左侧的数，基本大小关系：正数＞0＞负数。 （2）负数比较法：两个负实数比较大小，绝对值越大，数值越小，如-＜-。 （3）平方比较法（正实数专用）：两个正实数比较大小，平方后的数值越大，原数越大，多用于带根号无理数比较。 （4）估值比较法：借助常用无理数近似值，估算出实数取值范围，即可快速比较大小。 3. 实数新定义运算 ✦核心考点：解题核心是严格依据题干自定义运算规则，代入实数、无理数，结合课内四则运算、符号法则规范化简计算。 ✦解题步骤：①审题明确自定义运算规则；②代入对应数值；③依据实数运算法则化简计算；④得出最终结果。 ★易错提醒：运算规则以题干定义为准，不可混用常规运算定律；代入负数、无理数计算时，需规范添加括号，避免符号出错。 三、近似数核心知识点 1.准确值与近似数：无误差的精准数值为准确值，多用于计数统计；通过测量、估算得到的数值为近似数，所有测量类数据均为近似数。 2.精确度：用于刻画近似数的精确程度，常用标准为精确到个位、十分位（0.1）、百分位（0.01）等。 3.四舍五入规则：按指定精确度取值，观察精确位后一位数字，≥5进1，＜5舍去。例：≈1.4（精确到0.1），≈1.41（精确到0.01）。 4.实际取值原则：常规计算统一使用四舍五入法；实际问题可结合情境选用进一法、去尾法，人数、物品数等整数场景不可保留小数。 四、本章高频易错点汇总 1.无限小数不一定是无理数，仅无限不循环小数为无理数，无限循环小数属于有理数。 2.含根号的数不一定是无理数，能完全开方的数为有理数，如=2。 3.化简实数绝对值时，需先判断式子正负，负数去绝对值后必须变号。 4.求取近似数时，需精准定位精确数位，再对后一位数字取舍，避免数位判断错误。 5.计数结果为准确值，长度、质量、温度等所有测量结果均为近似数。 ✺题型◆精讲 题型1.无理数识别 1．下列是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D． 2．已知实数，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），0.23，，其中无理数有______个． 3．阅读材料，并完成下列问题： 寻找无理数：小明把两个面积为1的小正方形（图1①）分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形（图1②），从而找到无理数．问题再发现： (1)小刚受到小明的启发，把图2①剪拼成图2②后，找到无理数，请你在图2①中画出裁剪线（用虚线） (2)参考小明、小刚的做法，请你将图3中长为5，宽为2的长方形裁剪成若干块，拼成一个正方形； ①求该正方形的边长； ②请在图中画出一种满足条件的裁剪线（用虚线）并在图网格中画出拼成的正方形． 题型2.无理数的大小估算 1．估计的值在（     ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 2．化简：_____． 3．【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 题型3.无理数整数部分的有关计算 1．已知，则整数的值（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．某文创产品上印有迎客松图案，其图案高度对应的无理数为，它的整数部分是__________． 3．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 题型4.实数概念理解 1．下列实数中是无理数的是（   ） A．2 B． C． D．-2025 2．若实数满足，则代数式的值为______． 3．一组实数按如下规律排列：，___，_____． (1)两条横线上的实数分别____； (2)第11、12个实数分别是_____． 题型5.实数的分类 1．下列各数中，是有理数的是（    ） A． B． C．0 D． 2．在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 3．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 题型6.实数的性质 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．的相反数是______，的绝对值是______． 3．已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 题型7.实数与数轴 1．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 3．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 题型8.实数的大小比较 1．下列四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 2．比较大小：______2（填“＜”，“＝”或“＞”）． 3．广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．实际上，广播电视塔高（单位：）与广播电视节目信号的传播半径（单位：）之间存在近似关系，其中是地球半径，．其中甲、乙两个广播电视塔的高分别是，． (1)求甲、乙两个广播电视塔的传播半径之比，并化简； (2)若，，如图，两个广播电视塔距离城市都是，请结合计算说明城市能否同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 题型9.程序设计与实数运算 1．如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是（     ） 　 A． B．4 C． D．8 2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________． 3．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 题型10.计算器——平方根和立方根计算 1．如图所示的是用科学计算器进行计算的按键顺序，则输出的结果应为（    ） A． B．13 C．17 D．25 2．利用计算器计算：_________ （结果保留三位有效数字）． 3．利用计算器，求下列各式的值（结果精确到0.00001）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型11.求一个数的近似数 1．长江江豚是国家一级重点保护野生动物，有一头成年长江江豚体重为，将精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 2．2025年10月8日，苏超联赛四分之一决赛在盐城奥体中心体育场举行，本场比赛观众人数为34696人，用四舍五入法将数字34696精确到千位，所得的近似数为________． 3．将按要求取近似数：（） (1)精确到个位； (2)精确到百分位； (3)保留四位小数． 题型12.求近似数的精确度 1．自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 2．下列说法错误的是________． ①近似数3.5万精确到千位；②近似数3.5与3.50的精确度相同；③数495640精确到万位是 3．根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： (1) （精确到百分位）； (2) （精确到）． (3)近似数精确到 位，有 个有效数字． (4)所有绝对值小于4的整数的积是 ，和是 ． 题型13.近似数推断取值范围 1．某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．一个两位小数的近似值是9.0，这个小数最大的是( )，最小的是( ) 3．车工小王加工了两根轴．当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废!”小王不服气地说：“图纸要求长度精确到，我加工的轴一根为，另一根为，怎么不合格呢?” (1)图纸要求的长度精确到，若采用的是四舍五入法，则合格轴的长度范围是多少? (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难? ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各数中是无理数的是（     ） A．3 B． C． D． 2．已知点在数轴上的位置如图所示，则点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 3．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 4．高邮鸭蛋是闻名全国的特产．某鸭蛋加工厂的冷库温度设定为，实数的倒数为（   ） A． B．3 C． D． 5．在下列各数0.101001000100001、0、、、3.14、、中，无理数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 6．实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 7．若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为______．（填字母） 8．比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 9．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________ 10．用计算器计算：________，________，________．（结果精确到0.001） 三、解答题 11．用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到十分位）； (3)（精确到千分位）； (4)（精确到个位）； 12．用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 13．如图，把地球看成球形，地球赤道周长约．假如用一根比赤道仅长的铁丝将赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能放进一个拳头吗？（一个成人拳头宽度约为9厘米） 14．已知的立方根是2，的平方根是． (1)求、的值； (2)若是的整数部分，求的平方根． 15．如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05实数、近似值 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺知识框架： 实数知识板块：涵盖无理数与实数的定义、实数分类、实数与数轴的对应关系，以及实数的相反数、绝对值、大小比较、基础运算，包含常用无理数近似值，是初中代数运算的核心基础。 近似值知识板块：涵盖准确值与近似数的区分、精确度定义、四舍五入取值规则及实际问题取值原则，侧重数学知识的实际应用。 本章为后续二次根式运算、方程求解、函数数值计算奠定基础，是初中数学承上启下的关键章节。 ✺学习目标： 1.基础认知：区分有理数与无理数，掌握实数的定义与两种分类方式；明晰准确值、近似数的概念，理解精确度的数学意义。 2.能力运算：熟练求解实数的相反数、绝对值并规范化简；掌握四舍五入法，能按指定精确度求取近似数。 3.实际应用：能运用实数基础性质解决基础题型；结合生活情境合理选取近似数，规避常见解题误区。 ✺题型归纳： 题型1.无理数识别 题型2.无理数的大小估算 题型3.无理数整数部分的有关计算 题型4.实数概念理解 题型5.实数的分类 题型6.实数的性质 题型7.实数与数轴 题型8.实数的大小比较 题型9.程序设计与实数运算 题型10.计算器——平方根和立方根计算 题型11.求一个数的近似数 题型12.求近似数的精确度 题型13.近似数推断取值范围 题型14.巩固测试 ✺知识◆清单 一、实数核心知识点 1.无理数 无限不循环小数称为无理数，无理数无法化为分数形式。 初中常见无理数分为两类：一是开方开不尽的数，如、；二是特殊无限不循环常数，如π。 2.实数定义 有理数和无理数统称为实数，构成初中阶段完整数系。有限小数、无限循环小数都属于有理数，无限不循环小数属于无理数。 3.实数分类 （1）按定义分类：分为有理数（整数、分数）和无理数。 （2）按正负分类：分为正实数、0、负实数。 注意：0是有理数，既不是正数，也不是负数。 4.实数的相反数 任意实数a的相反数为-a，互为相反数的两个数之和为0。 无理数求相反数仅需改变符号，如的相反数为-。 5.实数的绝对值 正数和0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，实数的绝对值恒为非负数。 化简绝对值式子时，需先判断内部代数式的正负，再去掉绝对值符号， 例如：|-2|=2-。 二、实数性质、比较、新定义运算 1.实数的基本性质 （1）四则运算性质：有理数的运算法则与运算律（交换律、结合律、分配律）完全适用于实数，实数可进行加、减、乘、除（除数不为0）运算。 （2）有序性：任意两个实数都有唯一的大小关系，可正常比较大小。 （3）传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c。 （4）数轴对应性（必考）：实数与数轴上的点一一对应，任意实数对应数轴上唯一一点，数轴上任意一点对应唯一实数；数轴上右侧的数始终大于左侧的数。 （5）非负性：绝对值、实数平方、算术平方根均为非负数；若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 2. 实数大小比较 （1）数轴比较法（通用）：数轴上右侧的数大于左侧的数，基本大小关系：正数＞0＞负数。 （2）负数比较法：两个负实数比较大小，绝对值越大，数值越小，如-＜-。 （3）平方比较法（正实数专用）：两个正实数比较大小，平方后的数值越大，原数越大，多用于带根号无理数比较。 （4）估值比较法：借助常用无理数近似值，估算出实数取值范围，即可快速比较大小。 3. 实数新定义运算 ✦核心考点：解题核心是严格依据题干自定义运算规则，代入实数、无理数，结合课内四则运算、符号法则规范化简计算。 ✦解题步骤：①审题明确自定义运算规则；②代入对应数值；③依据实数运算法则化简计算；④得出最终结果。 ★易错提醒：运算规则以题干定义为准，不可混用常规运算定律；代入负数、无理数计算时，需规范添加括号，避免符号出错。 三、近似数核心知识点 1.准确值与近似数：无误差的精准数值为准确值，多用于计数统计；通过测量、估算得到的数值为近似数，所有测量类数据均为近似数。 2.精确度：用于刻画近似数的精确程度，常用标准为精确到个位、十分位（0.1）、百分位（0.01）等。 3.四舍五入规则：按指定精确度取值，观察精确位后一位数字，≥5进1，＜5舍去。例：≈1.4（精确到0.1），≈1.41（精确到0.01）。 4.实际取值原则：常规计算统一使用四舍五入法；实际问题可结合情境选用进一法、去尾法，人数、物品数等整数场景不可保留小数。 四、本章高频易错点汇总 1.无限小数不一定是无理数，仅无限不循环小数为无理数，无限循环小数属于有理数。 2.含根号的数不一定是无理数，能完全开方的数为有理数，如=2。 3.化简实数绝对值时，需先判断式子正负，负数去绝对值后必须变号。 4.求取近似数时，需精准定位精确数位，再对后一位数字取舍，避免数位判断错误。 5.计数结果为准确值，长度、质量、温度等所有测量结果均为近似数。 ✺题型◆精讲 题型1.无理数识别 1．下列是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数， ∴ 是整数，属于有理数，是有限小数，可化为分数，属于有理数，是分数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 2．已知实数，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），0.23，，其中无理数有______个． 【答案】2 【详解】解：， 是整数，属于有理数； ，是有限小数，属于有理数； 其中无理数为（相邻两个之间 的个数逐次加），，共 个． 3．阅读材料，并完成下列问题： 寻找无理数：小明把两个面积为1的小正方形（图1①）分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形（图1②），从而找到无理数．问题再发现： (1)小刚受到小明的启发，把图2①剪拼成图2②后，找到无理数，请你在图2①中画出裁剪线（用虚线） (2)参考小明、小刚的做法，请你将图3中长为5，宽为2的长方形裁剪成若干块，拼成一个正方形； ①求该正方形的边长； ②请在图中画出一种满足条件的裁剪线（用虚线）并在图网格中画出拼成的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查无理数的表示方法，算术平方根的应用，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． （1）根据面积不变，正方形面积求解即可； （2）①首先根据题意得到拼成的正方形的面积为10，进而求解即可； ②根据求解即可． 【详解】（1）解：依题意，如图所示， （2）解：①∵长为5，宽为2的长方形的面积为 ∴拼成的正方形的面积为10 ∴该正方形的边长为； ②依题意，如图所示： 如图所示： 题型2.无理数的大小估算 1．估计的值在（     ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】本题利用夹逼法估算无理数的大小，先确定的取值范围，再推导的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴即， ∴的值在3到4之间． 2．化简：_____． 【答案】 【分析】先判断绝对值内式子的正负性，再根据绝对值的性质化简，用到的知识点为负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解： ． 3．【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 【答案】(1) 方式一得出的近似值精确度更高 (2) 选择方式一：，选择方式二： 【分析】（1）比较与6、7的距离，再判断估算方法的误差大小，由此即可求解； （2）先确定的取值范围，再根据材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴更接近6， ∴在方式一中用6代替所产生的误差更小， ∴方式一得出的近似值精确度更高； （2）解：∵， ∴， 方式一：∵， ∴，即， ∴； 方式二：∵， ∴，即， ∴； ∴选择方式一：，选择方式二：． 题型3.无理数整数部分的有关计算 1．已知，则整数的值（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先找到与相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而得到整数的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ， 又∵ ，且为整数， ∴ ． 2．某文创产品上印有迎客松图案，其图案高度对应的无理数为，它的整数部分是__________． 【答案】6 【分析】找到与相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质确定的取值范围，即可得到它的整数部分． 【详解】解：， ， 即， 因此的整数部分是． 3．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干得到a、b的值，进而代入计算即可； （3）仿照题干得到x、y的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 题型4.实数概念理解 1．下列实数中是无理数的是（   ） A．2 B． C． D．-2025 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键；根据无理数的定义，无限不循环的小数是无理数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A.2是整数，属于有理数； B.是分数，属于有理数； C.是无理数； D.-2025是整数，属于有理数； 故选C． 2．若实数满足，则代数式的值为______． 【答案】7 【详解】解：∵， ， 将代入得． 3．一组实数按如下规律排列：，___，_____． (1)两条横线上的实数分别____； (2)第11、12个实数分别是_____． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解； （2）按照（1）中的方法即可求解． 【详解】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和， ∴横线上的实数，的系数为5+8=13，8+13=21， 所以横线上的实数分别为， （2）由（1）可知第8个数为， ∴第9个数为， 第10个数为， 第11个数为， 第12个数为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了实数的规律问题，观察数字中的系数，找到规律是解题的关键． 题型5.实数的分类 1．下列各数中，是有理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A中可能表示有理数，也可能表示无理数，∴A错误． ∵是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，∴B错误． ∵0是整数，整数属于有理数，∴C正确． 属于开方开不尽的无理数，∴D错误． 2．在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 【答案】 ，， ， ， 【分析】先化简题目中的算术平方根，再根据整数、分数、无理数的定义对各数进行分类即可. 【详解】解：， 整数是正整数、零、负整数的统称， 整数有：，，； 分数包括有限小数与无限循环小数， 分数有：，； 无理数是无限不循环小数， 无理数有：，. 3．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【答案】(1) (2)，，…（小数部分由相继的正整数组成）， (3) (4)（小数部分由相继的正整数组成），，， 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可． 【详解】（1）解：有理数集合：； （2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}； （3）解：正实数集合：； （4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}． 题型6.实数的性质 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是 2．的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 / / 【详解】解：的相反数为． ∵， ∴， ∴． 3．已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 题型7.实数与数轴 1．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，然后根据数轴与实数的关系即可求得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为，且， ∴， ∵点表示的数为，点在点的右侧， ∴点所表示的数为． 2．如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 【答案】/ 【详解】解：∵圆的周长为， ∴点B表示的数为． 3．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的性质、绝对值，实数的加减运算，实数与数轴等知识，掌握这些知识是关键； （1）由数轴知，且，结合实数的加法与减法法则即可完成； （2）利用（1）所得及平方根、立方根的性质、绝对值的意义化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：，且， 则， ∴，， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ． 题型8.实数的大小比较 1．下列四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“负数小于，小于正数”的比较规则，即可得出最小的数． 【详解】解：∵是负数，其余三个数都是非负数， ∴， ∴四个数中最小的数是． 2．比较大小：______2（填“＜”，“＝”或“＞”）． 【答案】＜ 【分析】将两个正数分别平方后，比较平方结果，即可得到原数的大小关系． 【详解】解：，， ，且，， ． 3．广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．实际上，广播电视塔高（单位：）与广播电视节目信号的传播半径（单位：）之间存在近似关系，其中是地球半径，．其中甲、乙两个广播电视塔的高分别是，． (1)求甲、乙两个广播电视塔的传播半径之比，并化简； (2)若，，如图，两个广播电视塔距离城市都是，请结合计算说明城市能否同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 【答案】(1)； (2)城市能同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 【分析】（）列出式子，然后化简即可； （）当，，时，分别代入求解，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：甲、乙两个广播电视塔的传播半径之比为：； （2）解：当，，时， ∴，， ∵，， ∴城市能同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 题型9.程序设计与实数运算 1．如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是（     ） 　 A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出即可． 【详解】解：当时，是有理数， 当时，是无理数， 故输出的y值为，选项C符合题意． 2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________． 【答案】 【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是81时，取算术平方根是9，9是有理数； 再把9输入，9的算术平方根是3，3是有理数； 再把3输入，3的算术平方根是，是无理数， 所以输出是． 3．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】(1) (2)输入的x不能是任何实数，理由见解析 (3)或时始终在进行循环计算而输不出y的值 (4)若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：、． 【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键． （1）把代入程序中计算即可确定出y的值； （2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答； （3）根据程序确定出x的值即可； （4）举反例即可解答； 【详解】（1）解：当时，， ，4不是无理数不能输出 ，2不是无理数不能输出 是无理数，输出． 所以输出y是． （2）解：输入的x不能是任何实数，理由如下： 当x是正数时，x与的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数． （3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值； ∵0和1的算术平方根是0和1 ∴当或，即或时始终在进行循环计算而输不出y的值． （4） 解：若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：，，3再次输出为；，，，3再次输出为；所以输入x值不唯一． 题型10.计算器——平方根和立方根计算 1．如图所示的是用科学计算器进行计算的按键顺序，则输出的结果应为（    ） A． B．13 C．17 D．25 【答案】C 【分析】本题考查科学计算器的使用、求有理数的平方和算术平方根，解题的关键是读懂计算器所表示的运算． 根据科学计算器的使用计算． 【详解】解：依题意得：， 故选：C． 2．利用计算器计算：_________ （结果保留三位有效数字）． 【答案】 【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器计算平方根，会用科学记算器进行计算． 利用计算器计算即可． 【详解】解：， ∴， 保留三位有效数字为． 故答案为：． 3．利用计算器，求下列各式的值（结果精确到0.00001）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)44.98889 (2)12.65149 (3)0.81854 (4) (5)9.08331 【分析】本题考查了用计算器进行实数的混合运算，解题的关键是按要求取近似值． （1）先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可； （2）先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可； （3）先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可； （4）先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可； （5）先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 题型11.求一个数的近似数 1．长江江豚是国家一级重点保护野生动物，有一头成年长江江豚体重为，将精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求近似数． 依据四舍五入规则，将数精确到（即十分位），通过观察百分位数字进行取舍即可． 【详解】解：∵的百分位数字为2，且， ∴根据四舍五入规则，舍去百分位及后续数位的数字，得到结果为． 故选：B． 2．2025年10月8日，苏超联赛四分之一决赛在盐城奥体中心体育场举行，本场比赛观众人数为34696人，用四舍五入法将数字34696精确到千位，所得的近似数为________． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，使用四舍五入法精确到千位，需看百位数字，百位为6大于5，故千位进1． 【详解】解：数字34696精确到千位，千位为4，百位为6，，因此向千位进1，，百位及以后各位变为0，故近似数为， 故答案为：． 3．将按要求取近似数：（） (1)精确到个位； (2)精确到百分位； (3)保留四位小数． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查近似数，解题的关键是正确理解近似数的定义，本题属于基础题型． （1）（2）（3）根据近似数的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：精确到个位是2； （2）精确到百分位是； （3）保留四位小数是． 题型12.求近似数的精确度 1．自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 【答案】C 【分析】判断带单位的近似数的精确位数，需先将数还原为原数，再确定末位有效数字所在的数位． 【详解】解：∵万 ∴原数中末位数字9位于千位 ∴万精确到千位． 2．下列说法错误的是________． ①近似数3.5万精确到千位；②近似数3.5与3.50的精确度相同；③数495640精确到万位是 【答案】② 【分析】本题考查近似数的精确度和科学记数法，需根据近似数的最后一位数字所在数位判断精确度，以及四舍五入规则和科学记数法表示． 根据科学记数法、近似数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：对于说法①，近似数3.5万表示35000，数字5在千位上，因此精确到千位，说法正确； 对于说法②，近似数3.5精确到十分位，而3.50精确到百分位，因此精确度不同，说法错误； 对于说法③，数495640精确到万位，千位数字是5，根据四舍五入规则，需进位，得到500000，用科学记数法表示为，说法正确． 故答案为：②． 3．根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： (1) （精确到百分位）； (2) （精确到）． (3)近似数精确到 位，有 个有效数字． (4)所有绝对值小于4的整数的积是 ，和是 ． 【答案】(1) (2) (3)千；3 (4)0，0 【分析】本题主要考查精确度、有效数字、绝对值的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）精确到百分位，就是对千分位进行四舍五入； （2）精确到，就是对位进行四舍五入； （3）易得整数数位1所在的数位是十万，看最后的有效数字3在哪一位即可； （4）先求出绝对值小于4的所有整数，再根据有理数的乘法法则求出它们的积，有理数的加法法则求出它们的和． 【详解】（1）精确到百分位，即精确到小数点后第二位，由四舍五入法可得； （2）精确到，即精确到小数点后第三位，由四舍五入法可得； （3）近似数精确到千位，有效数字是1，2，3，一共3个； （4）∵绝对值小于4的整数有：，，，， ∴所有绝对值小于4的整数的积是0，和是0． 题型13.近似数推断取值范围 1．某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数推断取值范围，身高近似1.68米是四舍五入到百分位的结果，据此即可得到的取值范围． 【详解】解：∵身高近似1.68米，是四舍五入到百分位的结果， ∴的取值范围为， 故选：C． 2．一个两位小数的近似值是9.0，这个小数最大的是( )，最小的是( ) 【答案】 9.04 8.95 【分析】本题考查了求一个数的近似数，取一个数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题目的要求灵活掌握解答方法． 【详解】解：“四舍”得到的9.0，最大是9.04，“五入”得到的9.0，最小是8.95． 故答案为：9.04，8.95． 3．车工小王加工了两根轴．当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废!”小王不服气地说：“图纸要求长度精确到，我加工的轴一根为，另一根为，怎么不合格呢?” (1)图纸要求的长度精确到，若采用的是四舍五入法，则合格轴的长度范围是多少? (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难? 【答案】(1) (2)是小王加工的产品不合格 【分析】本题考查了近似数及有效数字，小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． （1）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位， 应当看末位数字实际在哪一位； （2）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格． 【详解】（1）解：近似数的要求是精确到， 所以原轴的范围是； （2）解：原轴的范围是， 故轴长为与的产品不合格，即小王加工的轴不合格． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各数中是无理数的是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数都是有理数，根据定义判断各选项即可． 【详解】解：3是整数，属于有理数，是分数，属于有理数，是有限小数，属于有理数，是无限不循环小数，是无理数，故B正确． 2．已知点在数轴上的位置如图所示，则点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点表示的数为a，由数轴可知，，根据，，，即可得出答案， 【详解】解：设点表示的数为a， 由数轴可知，， ∵，，，， ∴点表示的数可能是． 3．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再通过估算无理数的大小得到，最后计算得到结果． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵y是的整数部分， ∴， ∴． 4．高邮鸭蛋是闻名全国的特产．某鸭蛋加工厂的冷库温度设定为，实数的倒数为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：实数的倒数为． 5．在下列各数0.101001000100001、0、、、3.14、、中，无理数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先明确无理数的定义，无理数是无限不循环小数，常见无理数有含的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类．逐个判断所给数的类型，统计无理数个数即可． 【详解】解：是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，因此是无理数； 综上所述，无理数共有个． 二、填空题 6．实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】③④ 【分析】先根据得到，结合绝对值性质和等式性质判断③④，再分类讨论的符号判断①②，即可得到正确结论． 【详解】解：已知，且， 因此．移项得， 两边取绝对值得，故④正确． 等式两边同时除以，得， 整理得，故③正确． 由得， 假设异号，则，可得或，则或，这与已知条件矛盾， 故假设不成立，必为同号． 又因为， 所以的符号与，的符号相反， 分两种情况讨论： 当时，，，此时，，同号； 当时，，，此时，，同号， 因此不一定成立，故①错误； ，一定同号，故②错误． 综上，正确结论的序号是③④． 7．若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为______．（填字母） 【答案】 【分析】通过平方法估算的范围即可求解． 【详解】解：，， ∵， ∴，即， ∵为正整数，且满足， ∴， ∴数轴上表示的数的点为． 8．比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【答案】 > < < 【分析】根据实数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴． 9．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________ 【答案】 【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是16时，取算术平方根是4，4是有理数； 再把4输入，4的算术平方根是2，2是有理数； 再把2输入，2的算术平方根是，是无理数， 所以输出y的值是． 10．用计算器计算：________，________，________．（结果精确到0.001） 【答案】 1.287 2.772 5.972 【分析】使用计算器计算每个立方根，并按照要求将结果精确到0.001； 本题考查了开立方，熟练使用计算器开立方是解题的关键． 【详解】解：使用计算器计算得： ， ， ， 故答案为1.287，2.772，5.972． 三、解答题 11．用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到十分位）； (3)（精确到千分位）； (4)（精确到个位）； 【答案】(1) (2) (3) (4)86 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到十分位）； （3）解：（精确到千分位）； （4）解：（精确到个位）． 12．用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先精确到万位为，再写成科学记数法的形式； （2）先还原并精确到千万位，再写成科学记数法的形式； （3）先精确到百位，再写成科学记数法的形式． 【详解】（1）解： （精确到万位）； （2）解：（精确到千万位）； （3）解： （精确到百位）． 13．如图，把地球看成球形，地球赤道周长约．假如用一根比赤道仅长的铁丝将赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能放进一个拳头吗？（一个成人拳头宽度约为9厘米） 【答案】能 【分析】本题考查了实数的运算、估算，比较大小等相关知识点，难度不大，掌握其基本知识点是解题关键. 根据题意得地球的直径，圆形铁圈的直径，计算即可求解. 【详解】解：地球的直径，圆形铁圈的直径 ∴间隙为 （也可以这样处理：） ∴能放进一个拳头. 14．已知的立方根是2，的平方根是． (1)求、的值； (2)若是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据立方根和平方根的定义求解； （2）首先利用无理数的估算求出，然后根据平方根的定义求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的平方根是， ∴，， ∴，； （2）解：∵ ∴ ∵是的整数部分 ∴ ∴，25的平方根为 ∴的平方根为． 15．如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 【答案】(1)，， (2)； 【分析】本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据数轴可得，根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答； （2）根据数轴可得，化简各式，再代入数据计算即可求解． 【详解】（1）根据数轴可得 ∵是的一个平方根， ∴ 根据数轴可得 ∴， 的立方根为，则， ∵是的相反数 ∴， 故答案是：，，； （2）∵ ∴， ∴ 当，时， 原式 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $