第07讲 二次函数几何综合（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

第07讲 二次函数几何综合 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型一、线段周长问题(二次函数综合) 题型二、面积问题(二次函数综合) 题型三、角度问题(二次函数综合) 题型四、特殊三角形问题(二次函数综合) 题型五、特殊四边形(二次函数综合) 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数、待定系数法、抛物线对称性、将军饮马、铅垂高面积法、等角转化、等腰三角形存在性、直角三角形存在性、平行四边形中点公式、数形结合、分类讨论、坐标建模 1. 熟练使用一般式、顶点式、交点式，结合待定系数法求解抛物线解析式，掌握抛物线对称轴、顶点、与坐标轴交点的求法。 2. 掌握线段最值、图形面积、等角构造、特殊三角形、特殊四边形五类几何综合题型的坐标建模思路。 3. 会运用对称转化、铅垂高、两圆一线、中点坐标公式等方法，规范分类讨论，解决抛物线上动点存在性问题。 4. 建立函数与几何的转化思维，能把线段、角度、图形条件转化为含未知数的方程求解。 学习重点：1. 用待定系数法求抛物线解析式，灵活运用抛物线对称性简化计算。 2. 线段最值：将军饮马最短路径、铅垂线段最值的建模计算。 3. 图形面积：水平宽铅垂高法、割补法求静态与动点图形面积。 4. 存在性问题：等腰/直角三角形、平行四边形、矩形的分类讨论与坐标列式。 5. 等角、特殊角的几何转化方法，结合一次函数联立方程求交点。 学习难点：1. 复杂动点场景下，准确用横坐标表示动点坐标，建立线段、面积的二次函数。 2. 等腰、直角三角形、平行四边形存在性的完整分类，避免漏解、重复解。 3. 等角、45°特殊角的辅助线构造，完成几何条件到坐标方程的转化。 4. 联立一次、二次函数后验根，结合图象舍去不符合题意的解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数综合题 1. 二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． 2.二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． 3. 二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型一、线段周长问题(二次函数综合) 【典例1】【将军饮马模型】如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 此类题型核心为线段最值与最短路径问题. 将军饮马模型需利用对称转化线段和，单线段最值优先采用铅垂高法表示长度，结合二次函数顶点式求解. 易错点为忽略自变量取值范围对最值的影响. 【变式1-1】如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【变式1-2】如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 【变式1-3】已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 题型二、面积问题(二次函数综合) 【典例1】如图，在中，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．若两点分别从两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是____________ 【典例2】如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，求的面积． 此类题型需灵活选择面积计算方法. 共边三角形优先采用水平宽铅垂高公式，四边形面积可采用割补法拆分求解. 面积最值问题需先将面积表示为二次函数，结合顶点式求最值. 易错点为坐标符号处理失误. 【变式2-1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积． 【变式2-2】如图，已知抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，点的坐标为， (1)求的值及点的坐标； (2)求的面积． 【变式2-3】如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【变式2-4】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求点A、点B和点C的坐标； (2)若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 题型三、角度问题(二次函数综合) 【典例1】已知：如图，二次函数与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上有一点D，连接，若，求点D坐标． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 此类题型核心为角度关系的代数转化. 等角问题可通过平行线、对称或三角函数转化为坐标关系，特殊角（如）可构造等腰直角三角形求解. 易错点为分类讨论不全，出现漏解. 【变式3-1】抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 【变式3-2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【变式3-3】已知关于的二次函数．图象与轴交于，两点，点在点左边，图象与轴负半轴交于点． (1)求点坐标； (2)若面积为8，求的值； (3)若中有一个内角为，求的值． 【变式3-4】如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 【变式3-5】已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．抛物线上有一点P，以点P为顶点的抛物线经过点B（点P与点B不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反． 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数． (1)当抛物线经过点A时，求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴； (3)当时，设抛物线C1的顶点为Q，抛物线的对称轴与x轴的交点为F，连接，求证：平分． 题型四、特殊三角形问题(二次函数综合) 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【典例2】如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 此类题型需分类讨论三角形的特殊形态. 直角三角形用“两线一圆”模型，等腰三角形用“两圆一线”模型，设点坐标后借助两点间距离公式列方程求解. 易错点为分类不全、验根不彻底. 【变式4-1】如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 【变式4-3】如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-4】在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________． 【变式4-5】在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 题型五、特殊四边形(二次函数综合) 【典例1】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【典例2】综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 此类题型核心为利用四边形性质转化为坐标关系. 平行四边形采用中点坐标公式分类讨论，矩形、菱形需结合直角、邻边相等的性质延伸求解. 易错点为分类讨论不全，忽略动点的取值范围. 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则________． 【变式5-3】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 【变式5-4】如图抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线和直线的表达式； (2)根据图象，直接写出满足时的取值范围； (3)设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上是否存在一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，使点是平行四边形的四个顶点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式5-5】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知点，． (1)求出抛物线的解析式； (2)若关于的方程（为实数）无解，求的取值范围； (3)点是抛物线上的任意一点（不与点重合），过点作轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形． ①当点与点重合时，求的值； ②当在矩形内的抛物线所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 1．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点P在该函数图象上，且满足，则点P的横坐标的所有可能值的和为（    ） A．2 B．0 C．4 D．6 2．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 3．如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 4．如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：抛物线的图象的对称轴一定是轴；当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；直线中，如果发生变化，的长度可以等于；随着的值变化，有可能成为等边三角形；当时，．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．点C、D为线段AB的三等分点，分别过点C、D作x轴的垂线，交抛物线于点E、F，连接EF．若CE=16，则线段EF的长为________________． 7．如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是__________． 8．如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为______． 9．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，以为边的正方形的顶点在抛物线上，则点的坐标是_______．    10．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标； 11．如图，抛物线 过点和点，与y轴交于点 C，过点C作轴交抛物线于点 D，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若过点A 的直线交于点E，直线将四边形分成两部分，且这两部分的面积之比为，请直接写出点E的坐标． 12．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 二次函数几何综合 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型一、线段周长问题(二次函数综合) 题型二、面积问题(二次函数综合) 题型三、角度问题(二次函数综合) 题型四、特殊三角形问题(二次函数综合) 题型五、特殊四边形(二次函数综合) 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数、待定系数法、抛物线对称性、将军饮马、铅垂高面积法、等角转化、等腰三角形存在性、直角三角形存在性、平行四边形中点公式、数形结合、分类讨论、坐标建模 1. 熟练使用一般式、顶点式、交点式，结合待定系数法求解抛物线解析式，掌握抛物线对称轴、顶点、与坐标轴交点的求法。 2. 掌握线段最值、图形面积、等角构造、特殊三角形、特殊四边形五类几何综合题型的坐标建模思路。 3. 会运用对称转化、铅垂高、两圆一线、中点坐标公式等方法，规范分类讨论，解决抛物线上动点存在性问题。 4. 建立函数与几何的转化思维，能把线段、角度、图形条件转化为含未知数的方程求解。 学习重点：1. 用待定系数法求抛物线解析式，灵活运用抛物线对称性简化计算。 2. 线段最值：将军饮马最短路径、铅垂线段最值的建模计算。 3. 图形面积：水平宽铅垂高法、割补法求静态与动点图形面积。 4. 存在性问题：等腰/直角三角形、平行四边形、矩形的分类讨论与坐标列式。 5. 等角、特殊角的几何转化方法，结合一次函数联立方程求交点。 学习难点：1. 复杂动点场景下，准确用横坐标表示动点坐标，建立线段、面积的二次函数。 2. 等腰、直角三角形、平行四边形存在性的完整分类，避免漏解、重复解。 3. 等角、45°特殊角的辅助线构造，完成几何条件到坐标方程的转化。 4. 联立一次、二次函数后验根，结合图象舍去不符合题意的解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数综合题 1. 二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． 2.二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． 3. 二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型一、线段周长问题(二次函数综合) 【典例1】【将军饮马模型】如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． （1）根据题意得，利用待定系数法即可求得n的值，继而求得抛物线的解析式； （2）首先连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点的坐标为， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 令，则， 解得或， ∴点， 设直线的解析式为：， ∵点，点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴当的值最小时，点的坐标为． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度取得最大值 【分析】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解，即可作答； （2）正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ， ∵． 当时，线段的长度取得最大值； 此类题型核心为线段最值与最短路径问题. 将军饮马模型需利用对称转化线段和，单线段最值优先采用铅垂高法表示长度，结合二次函数顶点式求解. 易错点为忽略自变量取值范围对最值的影响. 【变式1-1】如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． （3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ①当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ②当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 【变式1-2】如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)存在， 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积的计算，点的对称性，有一定的综合性，难度不大． （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与y轴的交点为点H，求出直线，抛物线与y轴的交点坐标，再由三角形的面积公式，即可求解； （3）由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小，进而求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴点， 把点代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为点H， 对于， 当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为， 联立得：， 解得：或， ∴点， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在， 由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴的对称点为点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点E的坐标为． 【变式1-3】已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解析式以及二次函数图象的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解析式是解题关键． （1）将点与点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，由此求出的值，从而进一步得出解析式即可； （2）由得出开口方向向下，对称轴为直线，再根据越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小，以及结合进行分析，即可作答． （3）根据垂线段最短可知当时，最小，据此进一步利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，有最大值，且，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵， ∴把代入，得， ∴观察图象，当时，y的取值范围为． （3）解：当是边上的高时，的值最小， 由（2）得对称轴为直线，有最大值，且 ∵点是的顶点， 即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴的最小值是． 题型二、面积问题(二次函数综合) 【典例1】如图，在中，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．若两点分别从两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是____________ 【答案】/平方厘米 【分析】本题考查了正切值的计算，动点与线段，二次函数图象的性质，理解点的运用，掌握二次函数图象的性质是关键． 根据正切值的计算得到，设运动时间为，用含的式子表示出线段的长，由面积公式得到，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 解得，， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，设运动时间为， ∴点运动的时间为，点运动时间为， ∴，，则， ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积为， 故答案为： ． 【典例2】如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，求的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点坐标求解及三角形面积的计算，熟练掌握二次函数与坐标轴交点的求法是解题的关键． 先求出二次函数与轴的交点、的坐标，得到的长度；再求出与轴交点的坐标，得到点到轴的距离；最后利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴，点到轴的距离为． ∴． 此类题型需灵活选择面积计算方法. 共边三角形优先采用水平宽铅垂高公式，四边形面积可采用割补法拆分求解. 面积最值问题需先将面积表示为二次函数，结合顶点式求最值. 易错点为坐标符号处理失误. 【变式2-1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点，点代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可； （2）根据对称性求出点A的坐标，进一步求出的长，再求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为， ∴点A坐标为：，即， ∴， ∴的面积为：． 【变式2-2】如图，已知抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，点的坐标为， (1)求的值及点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，求二次函数和坐标轴的交点坐标，求三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． （1）把代入解析式求出，得到抛物线的解析式为，然后令求解即可； （2）首先求出，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入解析式，得 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴当时， 解得， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴ 当时， ∴ ∴ ∴的面积． 【变式2-3】如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)坐标为或 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解：、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 【变式2-4】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求点A、点B和点C的坐标； (2)若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线与图形面积问题，解题的关键是正确求出抛物线与坐标轴的交点． （1）分别令，即可求解抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）先求出顶点，设抛物线对称轴与轴交于点，则，，，，，再由求解． 【详解】（1）解：当时，则， 解得或， ∴，； 当， ∴； （2）解：， ∴顶点， 设抛物线对称轴与轴交于点， ∴，，，，， ∴ 题型三、角度问题(二次函数综合) 【典例1】已知：如图，二次函数与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上有一点D，连接，若，求点D坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点D作于点E，可证明是等腰直角三角形，得到；求出设，则，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数与y轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点D作于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在中，当时，， 解得或， ∴ 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点和点坐标代入求解即可； （2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得 抛物线， 顶点； （2）解：如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：舍或， ． 此类题型核心为角度关系的代数转化. 等角问题可通过平行线、对称或三角函数转化为坐标关系，特殊角（如）可构造等腰直角三角形求解. 易错点为分类讨论不全，出现漏解. 【变式3-1】抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点B作交延长线于点E，可证，则可求点E坐标，然后求直线的解析式，联立方程组，解方程组即可求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 对称轴为直线， ∴对称轴与x 轴的交点D坐标为． （2）解：过点B作交延长线于点E， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E坐标为， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 联立方程组， 解得， ∴点P坐标为． 【变式3-2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点和点坐标代入求解即可； （2）分两种情况讨论，当点E在上方的抛物线上，当点E在下方的抛物线上，画出图形，根据∠分情况求解即可． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得， 抛物线； （2）解：当点E在上方的抛物线上，如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去）或， ∴点的坐标为； 当点E在下方的抛物线上，如图，设交于点G， 由条件可知， 设，则， 解得， 则， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为，联立， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【变式3-3】已知关于的二次函数．图象与轴交于，两点，点在点左边，图象与轴负半轴交于点． (1)求点坐标； (2)若面积为8，求的值； (3)若中有一个内角为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，求三角形的面积，等腰三角形的性质与判定． （1）令，进而解方程，即可求解； （2）令得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解； （3）分两种情况讨论，，，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积公式，建立方程解方程即可求解． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴ 解得： ∴， （2）解：∵图象与轴负半轴交于点 当时， ∴，则 ∵， ∴ ∵面积为8， ∴ 解得： （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为轴， 当时，则 ∴ 解得： 当时，如图，过点，作于点 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 又∵ ∴, ∵ ∴ 解得：（负值舍去） 综上所述，或 【变式3-4】如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据对称轴求出b的值，再由C点坐标求出c的值即可求解； （2）设对称轴与直线的交点为M，连接，推导出，求出，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵与y轴相交于点， ∴， ∴； （2）解：设对称轴与直线的交点为M，连接，则， 当时，解得或， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， ∴． 【变式3-5】已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．抛物线上有一点P，以点P为顶点的抛物线经过点B（点P与点B不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反． 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数． (1)当抛物线经过点A时，求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴； (3)当时，设抛物线C1的顶点为Q，抛物线的对称轴与x轴的交点为F，连接，求证：平分． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数顶点的坐标，全等三角形的性质与判定等知识点． （1）将点A的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值； （2）通过题意求出抛物线的解析式，假设点P的坐标，代入抛物线求出m的值，从而得到抛物线的对称轴； （3）过点Q作轴，轴，垂足分别为点N，M，交y轴于点E，利用a表示点P、点Q的坐标，得到各边的数量关系，通过证明，得到平分． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由抛物线和形状相同，开口方向相反，设抛物线的表达式为， 把代入抛物线：，得， 则抛物线的表达式为， 由点P在抛物线上，设点P的坐标为， 由点P是抛物线的顶点，得， 解得， 得点P的坐标为， 即抛物线的对称轴为直线； （3）证明：由点Q是抛物线的顶点，得， 过点Q作轴，轴，垂足分别为点N，M，交y轴于点E，如下图所示， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即 设直线表达式为， 代入，，得， ∴直线表达式为， 把代入，得， 得点E的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 题型四、特殊三角形问题(二次函数综合) 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，，， 【分析】（1）根据待定系数法和题目所给的条件即可求出抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况考虑：①当时，②当时，③当时，分别求出P的坐标即可． 【详解】（1）解： 直线与轴交于点A， ， 抛物线过点和， ， 解方程组得， ． （2）存在 ，且过原点， ， 点在上， 设点 ，，， 以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形 ①当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ②当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ③当时，是直角三角形，则， ，， ， ， 即， 或，此时或； 综上所述，，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待 【典例2】如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或， 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标； （2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标． 【详解】（1）解：将点坐标代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点坐标为； （2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或， 或时，； （3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接， 由垂直平分线性质得，，， ，， ，， 设，， 在中，， ，解得， ， 设， ，， ，解得， ， 综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标． 此类题型需分类讨论三角形的特殊形态. 直角三角形用“两线一圆”模型，等腰三角形用“两圆一线”模型，设点坐标后借助两点间距离公式列方程求解. 易错点为分类不全、验根不彻底. 【变式4-1】如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键． （1）先求点A坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可； （2）先根据二次函数的性质求得，点的坐标为，进而可得；当时，则，可得，设点的坐标为，然后解方程求得t值即可；求直线的函数表达式，然后平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，可得，再利用待定系数法求得直线的函数表达式，然后联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，，点在点左侧， ∴点的坐标为， 将，代入． ，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下：由得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为，则， ∴ 当时，则，过点作于点，如图． 则是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得：，（舍）， 当时，， 点的坐标为； 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． 将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，， 则，可设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． ∴，解得：或． ∴点的坐标为或． 综上可得，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 【变式4-2】如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据题意求出点，将点和点代入即可求解； （2）过点作轴，设点，则，根据即可求解； （3）分类讨论时、时、时即可求解； 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴ ∴点 将点和点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：过点作轴，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大； （3）解：设点， 时， 解得： ∴； 时， 解得：或 ∴或； 时， 解得： ∴； 综上所述，或或或 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角形问题，掌握二次函数的函数与性质是解题关键． 【变式4-3】如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 【变式4-4】在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________． 【答案】2 【分析】先求得，接着过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，，那么，结合点坐标得到，然后解方程算得答案即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， 两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∴， 如图所示：过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，通过构造“型全等”三角形，结合点在抛物线上的坐标关系建立方程求解是关键． 【变式4-5】在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 题型五、特殊四边形(二次函数综合) 【典例1】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数与平行四边形的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据抛物线与轴交于两点，则，，即可得出； （2）理解题意，结合点为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，运用中点公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； （2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 【典例2】综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)存在点或或或 【分析】（1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把B，C点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或， 使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． 此类题型核心为利用四边形性质转化为坐标关系. 平行四边形采用中点坐标公式分类讨论，矩形、菱形需结合直角、邻边相等的性质延伸求解. 易错点为分类讨论不全，忽略动点的取值范围. 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，根据二次函数的表达式求出点B的坐标为，根据正方形的性质可以求出点A的坐标，进而求出点A的坐标，进而求解． 【详解】解：当时，，故B点坐标为， 过点A作于D， ∵四边形是正方形， ∴上等腰直角三角形， ∴， ∴A点坐标为， ∵二次函数的图象经过正方形的顶点A， ∴， 解得， ∴A点坐标为， ∵平移后的抛物线顶点为点， ∴平移后抛物线的表达式为． 故选：B． 【变式5-2】如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解； 【详解】解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1 【变式5-3】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质求出点坐标是解题的关键． 根据题意可得到点为抛物线顶点，根据抛物线解析式得出顶点坐标，再根据菱形的性质，得到点的纵坐标为，求出点的坐标分别为，即可求解． 【详解】解：由题意得，点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式可知，抛物线， 即的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵为菱形的对角线且点在第三象限，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故答案为： ． 【变式5-4】如图抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线和直线的表达式； (2)根据图象，直接写出满足时的取值范围； (3)设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上是否存在一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，使点是平行四边形的四个顶点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，直线的表达式为 (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）将，分别代入抛物线和直线的表达式中求解，得出完整表达式即可； （2）根据图象即可求解； （3）分“点在轴的上方”和“点在轴的下方”两种情况讨论，根据题意画出符合题意的图形，设出点的坐标，依据解析式得出点的坐标，利用的坐标表示出线段，求出的长度，利用平行四边形的对边相等得到，得出方程求解，得出的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． ∵直线经过两点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：∵， ∴根据图象可得，当时，； （3）解：存在， ∵， ∴抛物线的顶点的坐标为． ∵轴，在直线上， ∴，点的坐标为． ∴． 情况一：如图1，若点在轴的上方，连接， ∴四边形为平行四边形，． 设，则． ， ， 解得：或（舍去）． ， ； 情况二：如图2，若点在轴的下方，连接， ∴四边形为平行四边形，． 设，则． ， ， 解得：或（舍去）． ， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，求二次函数、一次函数的解析式，解一元二次方程，利用点的坐标的特征表示相应线段的长度、平行四边形的性质，分类讨论、画出图形、数形结合是解题的关键． 【变式5-5】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知点，． (1)求出抛物线的解析式； (2)若关于的方程（为实数）无解，求的取值范围； (3)点是抛物线上的任意一点（不与点重合），过点作轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形． ①当点与点重合时，求的值； ②当在矩形内的抛物线所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用数形结合的思想，分类讨论，熟练掌握二次函数的图象与性质，矩形的性质是解题的关键． （1）先出点C的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据题意可得抛物线开口线下，且抛物线有最大值，最大值为9，再由方程（为实数）无解，可得抛物线与直线无交点，即可求解； （3）①根据轴，可得，即可求解；②分两种情况：当时，点Q在点E的上方；当时，点Q在点E的下方，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点C的坐标为， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得：， ∴抛物线开口线下，且抛物线有最大值，最大值为9， ∵方程（为实数）无解， ∴抛物线与直线无交点， ∴； （3）解：①∵点与点重合，， ∴点， ∵轴， ∴点P的纵坐标为， ∵点， ∴， 解得：； ②根据题意得：点， ∵轴， ∴点， 当时，点Q在点E的上方， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴； 当时，点Q在点E的下方， ∵， ∴，解得：或， ∵， ∴； 综上所述，m的取值范围为或 1．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点P在该函数图象上，且满足，则点P的横坐标的所有可能值的和为（    ） A．2 B．0 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与面积综合．先求出二次函数与x轴交点A、B的距离，再根据三角形面积公式得到点P的纵坐标，分两种情况代入二次函数解析式求出点P的横坐标，最后计算所有可能横坐标的和. 【详解】解：依题意，∵令，则， ∵ ∴两边同除以得 ∴， 解得， ∴ ∵ ∴， 解得 ∴或 ①当时，代入函数得：， ∵ 两边同除以得， 整理得 设该方程两根为， 由一元二次方程根与系数的关系得 ②当时，代入函数得： ， 两边同除以得， 整理得 解得，， 则 ∴点P横坐标的所有可能值的和为， 故选：C． 2．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数，勾股定理等知识，先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求出，根据垂线段最短得出：当时，最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解∶当时，， ∴， ∵轴，轴轴， ∴的纵坐标为3，轴， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为2.4， 故选：B． 3．如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，根据二次函数的图象的性质得出阴影部分的面积等于三角形的面积，进而根据求得的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示， 解得：或， 则两抛物线的交点分别为原点和 设的顶点坐标为，与轴的另一个交点为， 又，则， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴ ∴三角形是等腰直角三角形 根据二次函数的性质，阴影部分的面积等于等腰三角形的面积， ∴阴影部分面积为， 故选：C． 4．如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：抛物线的图象的对称轴一定是轴；当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；直线中，如果发生变化，的长度可以等于；随着的值变化，有可能成为等边三角形；当时，．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线，得顶点坐标为，对称轴一定是轴，本结论正确； 根据图象得：直线中随着的增大而增大；抛物线，当时随着的增大而增大， ∴当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大，本结论正确； 点的横坐标是，点的横坐标是，若， ∴直线与轴平行，即， ∴与已知矛盾， ∴不可能为，本结论错误； ∵， ∴直线与轴平行，即， ∴与已知矛盾， ∴，即不可能为等边三角形，本结论错误； 直线与关于轴对称，如图所示： 设直线与抛物线交点横坐标分别为，， 由图象可得：当时，，即，本结论正确； 综上可得正确的结论有． 故选：B． 5．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．点C、D为线段AB的三等分点，分别过点C、D作x轴的垂线，交抛物线于点E、F，连接EF．若CE=16，则线段EF的长为________________． 【答案】 【分析】设 ， 与 轴的交点为H，根据C，D为三等分点可得所以 即 进而求出C的纵坐标为 ，则 解得 这样就可以求出、 的坐标，从而求得． 【详解】解：设， 与 轴的交点为H， 根据题意可得， C的纵坐标为 则，解得 故答案为 ． 【点睛】本题考查二次函数对称性、直角坐标系中点的坐标与线段长度的关系的知识点，熟练掌握点的坐标与线段长度计算是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，先求出点B和点C的坐标，进而求出的长，再由等腰直角三角形的定义得到的长，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：在中，当时，或， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、图形平移的性质，连接，，根据图形平移的性质可知． 【详解】如图所示，连接，， 根据图形平移的性质可知， 设抛物线的表达式为， 抛物线经过点和原点，则抛物线的对称轴为， 将代入，得， 所以，点的坐标为， 将代入抛物线，得， 所以，点的坐标为， ， 所以，， 故答案为：． 9．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，以为边的正方形的顶点在抛物线上，则点的坐标是_______．    【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据正方形的性质，求出，进而求出对称轴，根据对称性求出点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴关于对称轴对称， ∴对称轴为直线， ∵抛物线交轴于点， ∴； 故答案为：． 10．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的综合应用，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键： （1）分别令，进行求解即可； （2）作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交点即为点． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，； ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 作点关于对称轴的对称点，连接，则：与对称轴的交点即为点， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：； ∴， ∴当时，； ∴． 11．如图，抛物线 过点和点，与y轴交于点 C，过点C作轴交抛物线于点 D，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若过点A 的直线交于点E，直线将四边形分成两部分，且这两部分的面积之比为，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)点E的坐标是或 【分析】本题考查了二次函数的解析式以及与面积的综合问题，正确求出解析式是解题关键． （1）由题意得抛物线的解析式为：； （2）根据轴，推出是抛物线上的对称点，求出；求出直线的解析式，分类讨论若，若两种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线 过点和点， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令，则 ∴； ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵轴， ∴是抛物线上的对称点， ∴； 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 四边形的面积， ∵过点A 的直线交于点E， ∴， 若，则，解得：； ∴（符合题意）； ∴ 若，则，解得：； ∴（符合题意）； ∴ 综上所述，点E的坐标为或 12．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， 顶点C的坐标为 (2)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由对称轴为直线，可得抛物线解析式为，据此代入A、B坐标求解即可； （2）设点M的坐标为，则，，，再分当时， 当时， 当时，三种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线解析式为 把点，点代入得 中得， 解得 ∴抛物线解析式为， ∴顶点C的坐标为； （2）解：设点M的坐标为， ∴，，， 当时，则，解得， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或（舍去）， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或， ∴点M的坐标为或； 综上所述，点M的坐标为或或或． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $