第04讲 确定二次函数的表达式 暑假预习讲义 -2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第04讲 确定二次函数的表达式（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次函数三种标准表达式 知识点02：三种表达式互化技巧 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：已知三点坐标，设一般式求解 题型02：已知顶点+一点，设顶点式求解 题型03：已知x轴两交点+一点，设交点式求解 题型04：对称轴+两点（利用对称性转化） 题型05：结合几何条件求解析式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】二次函数三种标准表达式（必考） 所有二次函数表达式均满足核心限制条件：a≠0，三种形式适配不同解题场景，精准选式可大幅简化计算。 解析式名称 标准形式 关键参数 适用条件 一般式 （a、b、c为常数，a≠0） a：决定抛物线开口方向、宽窄；c：抛物线与y轴交点纵坐标，交点为(0,c) 已知抛物线上任意3个无特殊关联的点坐标 顶点式 （a、h、k为常数，a≠0） 顶点坐标(h，k)，抛物线对称轴为直线x=h 已知顶点、对称轴或函数最值，搭配1个普通点坐标 交点式 （a≠0） x₁、x₂：抛物线与x轴两个交点的横坐标，交点为(x₁,0)、(x₂,0)；对称轴为 已知抛物线与x轴两个不同交点，搭配1个普通点坐标（仅限Δ>0） 【知识点02】三种表达式互化技巧 1.顶点式转一般式：去括号、合并同类项； 2.交点式转一般式：展开因式、合并同类项； 3.一般式转顶点式：配方法，先提取二次项系数，再凑完全平方公式。 【题型01】已知三点坐标，设一般式求解 【典例1】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【变式1-1】已知二次函数的图像经过点，求该二次函数的解析式，并判断该函数图像的开口方向． 【变式1-2】已知二次函数的图像经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求x的取值范围． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别为，，． (1)求过点A，B，C的抛物线及其对称轴； (2)新定义：如果点的坐标满足，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离与C点到x轴的距离相同，求P点的坐标； (3)我们称横坐标和纵坐标为整数的点为格点，求的面积，并直接写出该值与其内部格点数量a和边上格点数量b的等式． 【题型02】已知顶点+一点，设顶点式求解 【典例2】已知二次函数图象的顶点坐标是，并经过点求： (1)二次函数表达式． (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【变式2-1】已知：抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)求此抛物线的开口方向______，对称轴______，与x轴的交点坐标______． 【变式2-2】（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像经过点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)点在二次函数的图像上，且点和点关于这个二次函数图像的对称轴对称，求的值和点的坐标． 【变式2-3】）如图，已知二次函数（）图象的顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求y的取值范围． (3)当时，请结合图象直接写出x的取值范围． 【题型03】已知x轴两交点+一点，设交点式求解 【典例3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知：二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标和对称轴． 【变式3-1】如图，抛物线分别经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 【变式3-2】已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求函数的最小值． 【变式3-3】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点(不与B、C重合)，过点P作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值； (3)点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 【题型04】对称轴+两点（利用对称性转化） 【典例4】已知图象经过点、，且对称轴为直线．求出二次函数的解析式． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． (1)求这个二次函数的表达式： (2)当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 【变式4-2】二次函数的图象经过点，，并且以为对称轴． (1)求此函数的解析式； (2)当x在什么范围内时，y随着x的增加而减小． 【变式4-3】已知二次函数图象经过点，，并以直线为对称轴． (1)求二次函数的表达式． (2)若轴上有一点，点向左平移个单位落在此二次函数图象上，或点向右平移个单位恰好也落在此二次函数图象上，求的值． 【题型05】结合几何条件求解析式 【典例5】（25-26九年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中（如图），已知：抛物线与轴交于点和，点在点的左侧，顶点为． (1)用含的代数式表示抛物线的顶点的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线经过点，且顶点在直线上． 请在简单推理的基础上，赋予一个合适的值，并写出对应的抛物线的表达式； (3)平移抛物线：将点的对应点记为，点的对应点记为．当点落在轴上，四边形是正方形，且平移后的新抛物线依然经过点时，求的值． 【变式5-1】（2026·上海奉贤·三模）在平面直角坐标系中（如图），直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过点，对称轴为直线，它与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求点、的坐标和抛物线的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位，使平移后的新抛物线与直线交于点，如果，求的值； (3)将抛物线沿射线的方向平移，设平移后新抛物线的顶点为，新抛物线的对称轴与原抛物线交于点，如果，求新抛物线的表达式． 【变式5-2】（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点，且点的横坐标与纵坐标相等． (1)求该抛物线的表达式； (2)直线与抛物线交于点，与线段交于点（不与点、重合），那么的值是否随的变化而变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，试说明如何变化； (3)上下平移该抛物线，如果新抛物线上存在点，轴上存在点，使得四边形是菱形，求新抛物线的表达式． 【变式5-3】（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． (1)求b的值和点D的坐标； (2)已知以点G为顶点的抛物线与抛物线相交． ①设抛物线、的交点为点E，在抛物线上，如果点E与点G之间的部分是上升的，求m的取值范围； ②连接，过点G作的平行线，交抛物线于点N，如果平分，求m的值． 本节课重点学习了确定二次函数表达式的方法，核心思想为待定系数法与数形结合思想。首先熟练掌握二次函数一般式、顶点式、交点式三种形式，能够根据题干条件灵活选择最简解析式，减少计算量；其次严格遵循“设—代—解—还原”四步解题流程，规范答题格式；同时明确三种解析式的适用场景，规避a≠0、顶点式符号、交点式使用范围等高频易错点。 通过本节课学习，需掌握将对称轴、最值、平移、几何面积等隐藏条件，转化为顶点、交点等基础条件的解题技巧，为后续二次函数图像性质、综合压轴题的学习奠定基础，核心逻辑始终是“图像上的点坐标满足解析式，点与式相互转化”。 一、单选题 1．已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·模拟预测）已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知，请设计一个二次函数，使得该函数的图像经过其中的三个点．那么该函数的解析式可以为：__________（写出一个答案即可） 5．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为___________． 6．（24-25九年级下·上海·阶段检测）二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是______． 7．（2025·上海黄浦·二模）定义：抛物线上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的倍后得到新的抛物线，叫的“倍衍生抛物线”．例如：求抛物线的“5倍衍生抛物线”．设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为点，因为点在抛物线上，所以，整理得到，即抛物线的表达式为．参考上述方法，抛物线的“倍衍生抛物线”的表达式为_______________． 8．（2026·上海虹口·二模）已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 三、解答题 9．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）二次函数中，函数值y与自变量x之间的部分对应关系如下表所示． x … 0 1 2 3 … y … 0 1 0 … (1)求该二次函数的解析式及其图像的对称轴； (2)设该二次函数图像与x轴相交于点A（点A在对称轴的右侧），与y轴相交于点B，顶点为C，求的面积． 10．（25-26九年级上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点为P． (1)用含a的代数式分别表示点B、点P的坐标； (2)作过点B和点P的直线交x轴于点C． ①当a取不同的数值时，点C是否会移动？如果不会，试求出点C的坐标；如果会，试用含a的代数式表示的长； ②当a取1时，抛物线与y轴的交点记作，顶点记作，当a取时，此时抛物线与y轴的交点和顶点分别记作和，如果的补角等于的两倍时，求m的值． 11．（25-26九年级上·上海·期中）已知抛物线过点、，与轴交于点，顶点为，过点作直线轴交抛物线于点． (1)如果点，求抛物线的表达式； (2)求线段的长； (3)如果抛物线的顶点为点，且经过，分别过点、作轴的平行线交于点、，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 确定二次函数的表达式（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次函数三种标准表达式 知识点02：三种表达式互化技巧 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：已知三点坐标，设一般式求解 题型02：已知顶点+一点，设顶点式求解 题型03：已知x轴两交点+一点，设交点式求解 题型04：对称轴+两点（利用对称性转化） 题型05：结合几何条件求解析式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】二次函数三种标准表达式（必考） 所有二次函数表达式均满足核心限制条件：a≠0，三种形式适配不同解题场景，精准选式可大幅简化计算。 解析式名称 标准形式 关键参数 适用条件 一般式 （a、b、c为常数，a≠0） a：决定抛物线开口方向、宽窄；c：抛物线与y轴交点纵坐标，交点为(0,c) 已知抛物线上任意3个无特殊关联的点坐标 顶点式 （a、h、k为常数，a≠0） 顶点坐标(h，k)，抛物线对称轴为直线x=h 已知顶点、对称轴或函数最值，搭配1个普通点坐标 交点式 （a≠0） x₁、x₂：抛物线与x轴两个交点的横坐标，交点为(x₁,0)、(x₂,0)；对称轴为 已知抛物线与x轴两个不同交点，搭配1个普通点坐标（仅限Δ>0） 【知识点02】三种表达式互化技巧 1.顶点式转一般式：去括号、合并同类项； 2.交点式转一般式：展开因式、合并同类项； 3.一般式转顶点式：配方法，先提取二次项系数，再凑完全平方公式。 【题型01】已知三点坐标，设一般式求解 【典例1】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点、和， ∴ 解得： ∴该函数解析式为：， ∵， ∴图像开口向下； ∵， ∴顶点为，对称轴为直线． 【变式1-1】已知二次函数的图像经过点，求该二次函数的解析式，并判断该函数图像的开口方向． 【答案】解析式；开口向下 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴该函数图像的开口向下． 【变式1-2】已知二次函数的图像经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求x的取值范围． 【详解】（1）解：将分别代入 得， 解得 ， 故抛物线的解析式：． （2）解：当时，根据题意，得， 解得， 由抛物线，得抛物线开口向下， 故时，x的取值范围是． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别为，，． (1)求过点A，B，C的抛物线及其对称轴； (2)新定义：如果点的坐标满足，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离与C点到x轴的距离相同，求P点的坐标； (3)我们称横坐标和纵坐标为整数的点为格点，求的面积，并直接写出该值与其内部格点数量a和边上格点数量b的等式． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把，，代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：， 即抛物线的对称轴为：； （2）解：∵C点到x轴的距离为， ∴点的纵坐标， 当时，则，解得， 当时，则，解得， ∴点的坐标为或； （3）解：， 设直线的解析式为，把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为，的解析式为， 当时，，所以边上的格点为； 当时，，，所以三角形内部格点为； 当时，，，所以三角形内部格点为，； 当时，，，所以三角形内部格点为，，，边上的格点为； 当时，，，所以三角形内部格点为，； 当时，，所以三角形边上的格点为； ∴，， 即． 【题型02】已知顶点+一点，设顶点式求解 【典例2】已知二次函数图象的顶点坐标是，并经过点求： (1)二次函数表达式． (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴设二次函数表达式为， ∵二次函数经过点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵中， ∴抛物线开口向下， 又∵抛物线的对称轴为， ∴当时，随的增大而减小． 【变式2-1】已知：抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)求此抛物线的开口方向______，对称轴______，与x轴的交点坐标______． 【详解】（1）解：设，把点代入得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由（1）可得：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 令时，则有，解得：， ∴抛物线与x轴的交点坐标为． 【变式2-2】（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像经过点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)点在二次函数的图像上，且点和点关于这个二次函数图像的对称轴对称，求的值和点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 二次函数的图像经过点， 把，代入得： ， 解得 ， 这个二次函数的解析式为． （2）解：点在二次函数的图像上， 把，代入得： ， 解得 ， 点坐标为， 二次函数的对称轴为直线，点和点关于这个二次函数的对称轴对称， 点的坐标是． 【变式2-3】）如图，已知二次函数（）图象的顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求y的取值范围． (3)当时，请结合图象直接写出x的取值范围． 【详解】（1）解：∵该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为， 将代入得：， 解得， 将代入得：； （2）解：当时，， 当时，， 结合函数图象可知，当时，求y的取值范围为； （3）解：∵二次函数的解析式， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵与x轴其中一个交点坐标为， ∴与x轴另一个交点坐标为． 由函数图象可得当时，x的取值范围为． 【题型03】已知x轴两交点+一点，设交点式求解 【典例3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知：二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标和对称轴． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，， 设二次函数的解析式为， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， 则， ∴图象的顶点坐标为，对称轴为直线． 【变式3-1】如图，抛物线分别经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 即； （2）由图像可得当时，自变量x的取值范围为或． 【变式3-2】已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求函数的最小值． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：∵，对称轴为直线，开口向下， ∴时，y的值最大为9， 当时，， 当时，， 当时，函数的最小值为． 【变式3-3】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点(不与B、C重合)，过点P作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值； (3)点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， 设抛物线解析式为， 代入得， 解得， ． （2）解：由（1）可知，， 令，则，即， ∴设直线的解析式为， ∵，则， 解得， ∴直线的解析式为． 设，则， ∴， ∴当时，最大，最大值为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， ∵、关于对称轴对称， ， ∴的周长． 当B、M、C三点共线时，最小，此时的周长最小，直线与对称轴的交点为M， 把代入得， ∴． 【题型04】对称轴+两点（利用对称性转化） 【典例4】已知图象经过点、，且对称轴为直线．求出二次函数的解析式． 【详解】解：设二次函数的解析式为． ∵对称轴为直线， ∴，． ∵图象经过点， ∴代入得：， ． ∵图象经过点， ∴代入得：， ． 将代入， ， ， ． 将和代入， ， ， ， ． 则，． 故二次函数的解析式为． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． (1)求这个二次函数的表达式： (2)当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，依题意得： ， 解得： ∴二次函数的表达式为。 （2）解：当时，， 解得：，， 如图， 当函数值小于3时，或. 【变式4-2】二次函数的图象经过点，，并且以为对称轴． (1)求此函数的解析式； (2)当x在什么范围内时，y随着x的增加而减小． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，并且以为对称轴， ∴ 解得， ∴； （2）解：由（1）得， ∵，对称轴是直线， ∴二次函数的开口方向向上，且在时，y随x的增大而减小． 【变式4-3】已知二次函数图象经过点，，并以直线为对称轴． (1)求二次函数的表达式． (2)若轴上有一点，点向左平移个单位落在此二次函数图象上，或点向右平移个单位恰好也落在此二次函数图象上，求的值． 【详解】（1）因为二次函数以直线为对称轴， 所以可设二次函数表达式为， 又函数过点，， 所以，解得， 则二次函数表达式为． （2）向左平移个单位坐标为， 点向右平移个单位为， 又平移后的点都在函数图象上， 所以两点关于对称轴对称， 则，解得， 当时，图象过点， 当时，， 所以的值为． 【题型05】结合几何条件求解析式 【典例5】（25-26九年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中（如图），已知：抛物线与轴交于点和，点在点的左侧，顶点为． (1)用含的代数式表示抛物线的顶点的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线经过点，且顶点在直线上． 请在简单推理的基础上，赋予一个合适的值，并写出对应的抛物线的表达式； (3)平移抛物线：将点的对应点记为，点的对应点记为．当点落在轴上，四边形是正方形，且平移后的新抛物线依然经过点时，求的值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ，对称轴为直线， ， ， 当时，， 抛物线的顶点的坐标为； （2）解：由（1）知：， 平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点在直线上， 设， 平移后的抛物线经过点， ， 取，则， 解得或， 若，则； 若，则； （3）解：四边形是正方形，设对角线的交点为， ，且， 点平移后的对应点落在轴上，， ，， ， ． 【变式5-1】（2026·上海奉贤·三模）在平面直角坐标系中（如图），直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过点，对称轴为直线，它与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求点、的坐标和抛物线的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位，使平移后的新抛物线与直线交于点，如果，求的值； (3)将抛物线沿射线的方向平移，设平移后新抛物线的顶点为，新抛物线的对称轴与原抛物线交于点，如果，求新抛物线的表达式． 【详解】（1）解：对于直线，当； 当时，则，解得 ∴，． 将代入中，得． 由抛物线的对称轴为直线，得． ，． ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点， ． 又， ． ， ． ， 边上的高为6． （i）当在轴上方时，把代入，则 解得， ∴． 将代入，得． ． （ii）当在轴下方时，把代入，则 解得， ∴． 把代入，得． ． 综上可得，． （3）解：抛物线，故顶点． ∵抛物线沿射线的方向平移， ∵ ∴， 将抛物线沿射线的方向平移， ∴抛物线向下平移的距离是向右平移的距离的2倍， ∴设平移后新抛物线的顶点， 则新抛物线的表达式为 ． 将代入，得， ∴． 过点作，垂足为，则． ， ，得， 解得（舍），． ∴新抛物线的表达式为． 【变式5-2】（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点，且点的横坐标与纵坐标相等． (1)求该抛物线的表达式； (2)直线与抛物线交于点，与线段交于点（不与点、重合），那么的值是否随的变化而变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，试说明如何变化； (3)上下平移该抛物线，如果新抛物线上存在点，轴上存在点，使得四边形是菱形，求新抛物线的表达式． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴， ∵点关于抛物线对称轴的对称点是点， ∴，又点的横坐标与纵坐标相等， ∴， ∴， 将代入得， 整理得， ∴或， 当时，，，此时和重合，不符合题意； ∴， ∵抛物线经过点， ∴，即， 解得， ∴，， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：的值不变，且，理由如下， 如图， ∵直线与与线段交于点（不与点、重合）， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：设平移后的解析式为， ∵点在上，点在轴上， ∴设，， ∵四边形是菱形， ∴其对角线和相互平分，且， ∵，， ∴的中点为， 的中点为， ∴，， 解得， 将代入， 并整理得， ∴， 由两点之间的距离公式得， ， ∵， ∴， ∴，即， 当时，， 则， ∴， ∴； 当时， ， 则， ∴， ∴； 综上，新抛物线的解析式为或． 【变式5-3】（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． (1)求b的值和点D的坐标； (2)已知以点G为顶点的抛物线与抛物线相交． ①设抛物线、的交点为点E，在抛物线上，如果点E与点G之间的部分是上升的，求m的取值范围； ②连接，过点G作的平行线，交抛物线于点N，如果平分，求m的值． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 令，则， ∴点在直线上运动， 令，解得， ∴直线与抛物线的交点为，即， 设点， ∵抛物线、的交点为点E，且在抛物线上，点E与点G之间的部分是上升的， ∴当点在点下方时，符合题意，即； ②∵，， ∴可以看作是平移得到， ∵为的顶点，为的顶点， ∴是由点平移得到， ∵， ∴点是由点平移得到，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得． 本节课重点学习了确定二次函数表达式的方法，核心思想为待定系数法与数形结合思想。首先熟练掌握二次函数一般式、顶点式、交点式三种形式，能够根据题干条件灵活选择最简解析式，减少计算量；其次严格遵循“设—代—解—还原”四步解题流程，规范答题格式；同时明确三种解析式的适用场景，规避a≠0、顶点式符号、交点式使用范围等高频易错点。 通过本节课学习，需掌握将对称轴、最值、平移、几何面积等隐藏条件，转化为顶点、交点等基础条件的解题技巧，为后续二次函数图像性质、综合压轴题的学习奠定基础，核心逻辑始终是“图像上的点坐标满足解析式，点与式相互转化”。 一、单选题 1．已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设 把，，分别代入得 ， 解得， ∴该函数的解析式是：， 故选：A 2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点， ∴设经过平移后的抛物线为， 其对称轴为直线， ， ， 平移后的抛物线为， 故选：C． 3．（2024·上海·模拟预测）已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，， ， 当时，， 即， 时，； 当时，，当时，， 即，， 解得：，， 对任意实数，恒有， 恒成立， 即， ， 即， 解得：， 故抛物线的表达式为：， 故选：B． 二、填空题 4．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知，请设计一个二次函数，使得该函数的图像经过其中的三个点．那么该函数的解析式可以为：__________（写出一个答案即可） 【答案】（或或） 【详解】解：组合：过、、， ∵、关于轴对称， ∴抛物线对称轴为，设解析式为． 代入得， ∴， 代入得 解得， ∴解析式为． 组合：过、、 ∵、关于轴对称， ∴抛物线对称轴为， ∴设解析式为． 代入得， 代入得， 联立得， 解得，； ∴解析式为． 组合：过、、， 设解析式为， 代入：， 代入：，即， 代入：，即， 联立得， 解得，， ∴解析式为． 组合：过、、 设解析式为， 代入：， 代入：，即， 代入：，即， 联立得 解得，， ∴解析式为一次函数，不符合二次函数要求，故此组合舍去． 故答案为：（或或）． 5．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为___________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图像经过点、， ∴代入点得：，即， 代入点得：，即， 解方程组：， 两式相加得：，解得， 把代入得：，解得， ∴二次函数的解析式为， 故答案为． 6．（24-25九年级下·上海·阶段检测）二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是______． 【答案】 【详解】解：∵二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”， ∴函数的“关联函数”的二次项系数为2， ∵， ∴它的顶点坐标为，则它的“关联函数”的顶点坐标为， ∴函数的“关联函数”的解析式是，即， 故答案为：． 7．（2025·上海黄浦·二模）定义：抛物线上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的倍后得到新的抛物线，叫的“倍衍生抛物线”．例如：求抛物线的“5倍衍生抛物线”．设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为点，因为点在抛物线上，所以，整理得到，即抛物线的表达式为．参考上述方法，抛物线的“倍衍生抛物线”的表达式为_______________． 【答案】 【详解】解：由题意，设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为， ∴， ∴， 故答案为：， 8．（2026·上海虹口·二模）已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 根据题意得，， 将代入解析式得， 解得或． 三、解答题 9．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）二次函数中，函数值y与自变量x之间的部分对应关系如下表所示． x … 0 1 2 3 … y … 0 1 0 … (1)求该二次函数的解析式及其图像的对称轴； (2)设该二次函数图像与x轴相交于点A（点A在对称轴的右侧），与y轴相交于点B，顶点为C，求的面积． 【详解】（1）解：由表格数据可知，该抛物线顶点为， ∴设，且其图像的对称轴为直线， 将代入，得， 解得， ∴该二次函数的解析式． （2）解：由表格数据可知，，，， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴． 10．（25-26九年级上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点为P． (1)用含a的代数式分别表示点B、点P的坐标； (2)作过点B和点P的直线交x轴于点C． ①当a取不同的数值时，点C是否会移动？如果不会，试求出点C的坐标；如果会，试用含a的代数式表示的长； ②当a取1时，抛物线与y轴的交点记作，顶点记作，当a取时，此时抛物线与y轴的交点和顶点分别记作和，如果的补角等于的两倍时，求m的值． 【详解】（1）解：把代入得： ， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， 把代入得：， ∴． （2）解：①设，将代入得： ， ∴， ∴， 令，则： ， 解得：， ∴， ∴点C不会移动，且； ②当时，， ∴，， 当时，， ∴，， ∴点，都在y轴上，，都在直线上， ∴， 如图，作，交于点H，过点作于点Q， 则，， ∵的补角等于的两倍， ∴， ∵，，，， ∴，，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得：， ∴， 解得：． 11．（25-26九年级上·上海·期中）已知抛物线过点、，与轴交于点，顶点为，过点作直线轴交抛物线于点． (1)如果点，求抛物线的表达式； (2)求线段的长； (3)如果抛物线的顶点为点，且经过，分别过点、作轴的平行线交于点、，求的值． 【详解】（1）抛物线过点、， 可设 ， 与轴交于点， 当时，， ， 抛物线表达式为； （2）抛物线过点、， 可设， 与轴交于点， ，其中， 过点作轴交抛物线于点， 则和纵坐标相同，均为， 代入抛物线方程：， ， ，即， ， 解得：或， 对应点， 对应点， ， ． （3）设原抛物线为 ， 则，顶点， 由（2）知， 抛物线顶点为，且过， 顶点在， 对称轴为轴，即 ，且， ， 代入，， ， ， 过点作轴平行线交于点， ， 直线为，代入， ， ， 过点作轴平行线交于点， ， 直线为， 代入， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $