第02讲 集合间的基本关系（培优讲义）新高一数学人教A版

第02讲 集合间的基本关系（培优讲义） 2 知识点01子集与真子集 2 知识点02集合的相等 3 知识点03全集与空集 4 5 题型1辨析集合间的基本关系 5 题型2 子集、真子集个数计算与列举 6 题型3 空集性质的简单应用 7 题型4 证明 / 判断集合相等 8 9 题型1 根据集合的包含关系求参数 9 题型2 根据两个集合是否相等求参数 12 13 14 课标要点 1.理解子集、真子集、集合相等、全集、空集的定义与符号表示，明晰集合间各类基本关系。 2.掌握判断集合包含关系、求解子集个数、证明 / 判断集合相等的基本方法。 3.学会结合集合间关系求解参数取值范围，重点掌握空集分类讨论的解题思路。 4能综合运用集合关系解决中档、培优类题型，对接高中常规考题与高考考点。 知识点01子集与真子集 知识点 1 子集与真子集 1. 子集 对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作。 规定：任何一个集合是它本身的子集，即。  或   2.真子集 若，且存在元素属于B但不属于A，则称A是B的真子集，记作：。 常用结论 若集合A中有n个元素，则： A的子集个数： A的真子集个数： A的非空真子集个数   练习 1．已知集合 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A， ，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足 且，故选项A正确； 对于选项B， ，这是存在性命题，因集合是集合的真子集，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 选项C， ，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 选项D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 3．设集合，则集合的子集个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】C 【分析】用列举法表示集合A，可得集合的子集个数. 【详解】，所以集合的子集个数是. 故选：C. 知识点02集合的相等 如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，即，则称集合A与集合B相等，记作：A=B。 本质：两个集合的元素完全相同。 练习 1．下列集合中，与集合相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的概念和性质逐项判断即可. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，只有当和时，，故，C正确； D选项，， D错误. 故选：C 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将集合内式子进行通分，列举法判断表示的数即可比较． 【详解】， ∵，∴表示所有奇数，也表示所有奇数， ∴， 故选：D． 知识点03全集与空集 1.空集 不含任何元素的集合叫做空集，记作：。 空集是任何集合的子集： 空集是任何非空集合的真子集： 2. 全集 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全集，通常记作U。 练习 1．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 题型1辨析集合间的基本关系 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 2．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两集合中的数字特征，即可得出两集合的关系. 【详解】由题意得, 显然仅表示奇数，而表示整数， 因此集合是集合的子集，即， 故选：B 3．集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 方法技巧 判断两个集合为子集、真子集、相等关系；正确使用符号。 逐一比对集合元素，若A中所有元素都在B中，则；若同时B中存在元素不在A中，则；双向包含则两集合相等 题型2 子集、真子集个数计算与列举 1．满足条件的所有集合的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【分析】根据已知所给的集合关系将问题转化求集合真子集即可. 【详解】由集合满足条件， 所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示， 则上述集合关系式变成：， 则此时集合为集合的真子集， 问题转化为求集合的真子集的个数即：， 故满足题意的集合有31个. 故选：B. 2．已知集合，，则满足的集合的个数为_____. 【答案】7 【分析】由，得中含有，再结合的真子集即可求解. 【详解】， 由，得中含有， 又，所以集合的个数即为的真子集个数， 故答案为：7 题型3 空集性质的简单应用 1．下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的性质和子集的概念得到答案. 【详解】由于是的一个子集，故，B正确，AD错误，C选项，空集不是的元素，故C错误. 故选：B 2．若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据子集、空集、元素的性质和概念，对各选项进行分析判断． 【详解】选项A：是任何集合的子集，故成立，故A正确； 选项B：符号用于表示元素与集合的从属关系，不是集合B的元素， 错误，故B错误； 选项C：，，故C正确； 选项D：中元素，故错误，故D错误． 故选：AC． 3．关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空集概念和集合间的关系求解即可. 【详解】是以空集为元素的集合有且只有一个元素就是空集，根据空集是任何集合的子集所以A，C正确. 故选：AC 方法技巧 利用空集是任意集合的子集、是任意非空集合的真子集两大性质解题。 看到集合包含问题，优先联想空集的核心性质，区分空集与非空集合的不同结论 题型4 证明 / 判断集合相等 1．已知集合，，则（    ） A．M与N的关系不确定 B． C． D． 【答案】C 【分析】将集合、中表达式化为、，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定、的包含关系. 【详解】集合中的元素，满足，， 集合 中的元素，满足，， 因为集合和都表示被除余数为的整数的集合； 所以， 所以 故选：C. 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，即可得到答案. 【详解】因为， ， 所以. 故选：D 方法技巧 依据集合相等的定义判定两集合是否相等。 证明；本质为两个集合元素完全一致。 题型1 根据集合的包含关系求参数 1．已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【分析】根据集合A是非空集合且⫋，得到中只有1个元素，即一元二次方程只有一个根，然后由求解. 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 2．设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】化简集合，分类讨论，根据求解. 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 3．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 4．已知集合，， （1）若A为空集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)根据给定条件，利用空集的意义列式作答； (2)利用集合的包含关系列出不等式组求解即得. 【详解】（1）因是空集，则，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）且B是A的真子集，则，解得， 显然，a-1=0与2a+1=1不同时成立，于是得， 所以实数a的取值范围. 方法技巧 当（空集）时，结合方程、不等式性质求解参数； 当（非空集合）时，结合元素范围、区间包含关系列不等式 / 等式求解； 最后综合两种情况，取参数取值范围。 题型2 根据两个集合是否相等求参数 1．已知集合，，若，则实数________. 【答案】 【分析】分别讨论当时，时和时，所对应的值，从而求出，即可求解. 【详解】由于，当时，无解； 当时，,此时，,不满足条件； 当时，,此时，,此时,满足条件； 故答案为： 2．设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 3．，则______． 【答案】0 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 方法技巧 由集合元素完全相同，建立方程（组）； 求出参数后，务必检验集合元素的互异性（集合元素不能重复），舍去增根。 1．（2023·新课标II高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【答案】 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 1．集合的真子集个数为_____. 【答案】7 【分析】解不等式得出集合中元素，由公式求真子集个数即可. 【详解】因为， 所以真子集的个数为， 故答案为：7 2．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【详解】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 3．已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 4．已知集合，，则（   ） A．集合与集合没有包含关系 B．集合是集合的真子集 C．集合是集合的真子集 D． 【答案】A 【分析】分别确定集合，再判断两集合的关系. 【详解】当时，；当时，； 当时，；时，. 所以，. 所以集合与集合没有包含关系. 故选：A 5．下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合关系依次判断选项即可. 【详解】对于A，空集表示一个元素也没有，表示有一个元素，所以A不正确； 对于B，由元素与集合关系可得：，故B正确； 对于C，由集合与集合关系可得：，故C错误； 对于D，，则，故D正确； 故选：AC 6．已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 【答案】3 【分析】确定集合，再结合子集、真子集的概念即可求解. 【详解】由题得，. 因为， 所以根据子集的定义，集合C必须含有元素2，5， 所以或或. 故答案为：3 7．已知集合，，若，则实数________. 【答案】 【分析】分别讨论当时，时和时，所对应的值，从而求出，即可求解. 【详解】由于，当时，无解； 当时，,此时，,不满足条件； 当时，,此时，,此时,满足条件； 故答案为： 8．已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项. 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 9．已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 10．已知，若，求的值 【答案】或或 【分析】求解方程，得.讨论和两种情况，即可求得的值. 【详解】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 集合间的基本关系（培优讲义） 2 知识点01子集与真子集 2 知识点02集合的相等 3 知识点03全集与空集 4 5 题型1辨析集合间的基本关系 5 题型2 子集、真子集个数计算与列举 6 题型3 空集性质的简单应用 7 题型4 证明 / 判断集合相等 8 9 题型1 根据集合的包含关系求参数 9 题型2 根据两个集合是否相等求参数 12 13 14 课标要点 1.理解子集、真子集、集合相等、全集、空集的定义与符号表示，明晰集合间各类基本关系。 2.掌握判断集合包含关系、求解子集个数、证明 / 判断集合相等的基本方法。 3.学会结合集合间关系求解参数取值范围，重点掌握空集分类讨论的解题思路。 4能综合运用集合关系解决中档、培优类题型，对接高中常规考题与高考考点。 知识点01子集与真子集 知识点 1 子集与真子集 1. 子集 对于两个集合A、B，如果集合A中 都是集合B中的元素，就称 ，记作。 规定：任何一个集合是它本身的 ，即。  或   2.真子集 若，且存在元素 ，则称A是B的真子集，记作：。 常用结论 若集合A中有n个元素，则： A的子集个数： A的真子集个数： A的非空真子集个数 练习 1．已知集合 ，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．设集合，则集合的子集个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 知识点02集合的相等 如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，即 ，则称集合A与集合B ，记作：A=B。 本质：两个集合的元素 。 练习 1．下列集合中，与集合相等的是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 知识点03全集与空集 1.空集 的集合叫做空集，记作：。 空集是任何集合的 ： 空集是任何非空集合的 ： 2. 全集 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全集，通常记作U。 练习 1．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型1辨析集合间的基本关系 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 2．设集合，则（   ） A． B． C． D． 3．集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 方法技巧 判断两个集合为子集、真子集、相等关系；正确使用符号。 逐一比对集合元素，若A中所有元素都在B中，则；若同时B中存在元素不在A中，则；双向包含则两集合相等 题型2 子集、真子集个数计算与列举 1．满足条件的所有集合的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 2．已知集合，，则满足的集合的个数为_____. 题型3 空集性质的简单应用 1．下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 3．关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 利用空集是任意集合的子集、是任意非空集合的真子集两大性质解题。 看到集合包含问题，优先联想空集的核心性质，区分空集与非空集合的不同结论 题型4 证明 / 判断集合相等 1．已知集合，，则（    ） A．M与N的关系不确定 B． C． D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 依据集合相等的定义判定两集合是否相等。 证明；本质为两个集合元素完全一致。 题型1 根据集合的包含关系求参数 1．已知非空集合，且⫋，则___________ 2．设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 3．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 4．已知集合，， （1）若A为空集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围. 方法技巧 当（空集）时，结合方程、不等式性质求解参数； 当（非空集合）时，结合元素范围、区间包含关系列不等式 / 等式求解； 最后综合两种情况，取参数取值范围。 题型2 根据两个集合是否相等求参数 1．已知集合，，若，则实数________. 2．设，集合，若，则______. 3．，则______． 方法技巧 由集合元素完全相同，建立方程（组）； 求出参数后，务必检验集合元素的互异性（集合元素不能重复），舍去增根。 1．（2023·新课标II高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 2．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 1．集合的真子集个数为_____. 2．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（   ） A．集合与集合没有包含关系 B．集合是集合的真子集 C．集合是集合的真子集 D． 5．下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 7．已知集合，，若，则实数________. 8．已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 9．已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 10．已知，若，求的值 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $