第04讲 充分条件与必要条件（培优讲义）新高一数学人教A版

第04讲 充分条件与必要条件（培优讲义） 2 知识点01 充分条件与必要条件 2 知识点02 四类条件关系 3 知识点03 条件与集合的等价转化（培优核心） 5 5 题型1 判断命题的充分不必要条件 5 题型2 判断命题的必要不充分条件 7 题型3 判断充要条件 9 题型4 判断既不充分也不必要条件 10 11 题型1 已知充分不必要条件求参数 11 题型2 已知必要不充分条件求参数 14 题型3 已知充要条件求参数 18 19 20 课标要点 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义，掌握命题间推出关系的判断方法。 2.能准确区分充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四种逻辑关系。 3.掌握利用条件关系求解参数取值范围的思路，学会转化为集合包含关系解题。 4.会证明、探求命题的充要条件，解决综合逻辑题型，对接课内考点与高考考法。 知识点01 充分条件与必要条件 1.一般地，设两个命题p,q： 若由p成立可以推出q成立，记作：； 若p推不出q，记作： 2. 充分条件 若，则称p是q的充分条件。 含义：有p就足够推出 q，p为q成立提供充分依据。 3. 必要条件 若，则称q是p的必要条件。 含义：q是p成立必不可少的前提，p成立则 q一定成立 练习 1．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由， 因当且仅当，即时取等， 显然不能全都为0，故，则由可得； 反之，当时，必有成立. 故得“”是“”的充要条件. 2．已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】对于A，若，满足，而， 则“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，若，满足，而， 则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由，当时，， 则“”不是“”的充分条件，故C错误； 对于D，由，则且，即， 所以“”是“”的必要条件，故D正确. 3．设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：对不等式移项通分得，已知，即， 要使分式大于0，分母必须也为负，因此可得，充分性成立； 必要性：若，说明异号，结合条件，可知为正数，为负数. 因此，，必然有，必要性成立. 综上，是的充要条件。 知识点02 四类条件关系 设命题p、q： 充分不必要条件： 必要不充分条件： 充要条件（充分且必要条件）： 既不充分也不必要条件： 练习 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】分别判断充分性与必要性即可得. 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件， 若，则，故“”是“”的必要条件， 综上可得：“”是“”的充要条件. 2．设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【答案】C 【分析】求出方程的解，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由可得或， 命题不一定推出命题，命题不是命题的充分条件； 命题可推出命题，命题是命题的必要条件， 是的必要不充分条件． 故选：C. 3．“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判定即可. 【详解】当时，为整数，故不一定是整数，而当是整数时，一定是整数，所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件. 故选：A. 知识点03 条件与集合的等价转化（培优核心） 设集合，则： 是q的充分不必要条件 是q的必要不充分条件 是q的充要条件 是q的既不充分也不必要条件 练习 1．设是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】由“”不能得出“”， 如当时，满足，不满足； 因为 所以由“”能得出“”. 所以“”是“”的必要不充分条件. 题型1 判断命题的充分不必要条件 1．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解绝对值不等式，结合充分、必要性定义判断条件间的关系即可. 【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由或或. 所以时，必成立； 当时，可以不成立，如时，但不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 4．已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 【答案】A 【分析】通过分别判断条件间的充分性与必要性，结合等腰三角形和等边三角形的定义，确定两个条件间的逻辑关系. 【详解】若三角形的三个内角都相等，则该三角形为等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形， 故”三角形的三个内角都相等”可推出”三角形是等腰三角形”，充分性成立. 等腰三角形只需至少两个内角相等，不一定三个内角都相等， 故”三角形是等腰三角形”不能推出”三角形的三个内角都相等”，必要性不成立. 因此，”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的充分不必要条件. 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 方法技巧 考查考点：根据命题推出关系，判定 p 是 q 的充分不必要条件。 解题技巧 分别判断是否成立； 满足，即为充分不必要条件。 题型2 判断命题的必要不充分条件 1．已知，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，且，可得； 反之，由不一定得到，且，比如，时，， 所以“”是“，且”的必要不充分条件． 2．已知实数，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】借助特殊值法否定充分性，结合基本不等式推导必要性，进而判定两个条件间的逻辑关系. 【详解】若，取，，满足，，此时，而， 因此，由无法推出，充分性不成立. 若，由，，得， 因此，，即，必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3．若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”，因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即“”，可知必要性成立． 因此“”是“”的必要不充分条件，故选B． 方法技巧 考查考点：判定p是q的必要不充分条件。 解题技巧 验证推出关系：； 可结合举反例证明 “推不出”。 题型3 判断充要条件 1．设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【详解】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 2．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 若，则，所以，解得， 当时，，此时， 所以是的充要条件， 故“”的一个必要不充分条件是. 3．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 方法技巧 考查考点：判定两个命题互为充要条件。 解题技巧 需同时证明，双向推出即为充要条件。 题型4 判断既不充分也不必要条件 1．已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件及必要条件的定义，结合特殊值法求解判断即可. 【详解】当，时，满足，但，故推不出， 当，时，满足，但，故不能推出， 所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 2．已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，满足，而，充分性不成立； 当时，满足，而，必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】取，满足，而； 当时，，，满足，而， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4．设，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合特殊值法，分析即可得答案. 【详解】若，取，满足，但，不满足，充分性不成立； 若，取，满足，但不满足，必要性不成立， 所以是的既不是充分条件，也不是必要条件. 故选：D 方法技巧 考查考点：区分第四类逻辑关系。 解题技巧 证明，两边均举反例即可。 题型1 已知充分不必要条件求参数 1．已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． 2．已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集； 则或，解得. 故实数的取值范围是. 3．已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 4．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件列出不等式组，求解即得的取值范围. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 综上，的取值范围为． 5．已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数的取值范围为. 6．设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将充分条件转化为子集关系，再结合集合的子集关系，进行分类讨论即可求解. 【详解】因为是成立的充分条件，所以； 当时，，解得，此时满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 方法技巧 考查考点：给出p是q的充分不必要条件，求参数取值范围。 解题技巧 转化为集合关系：； 借助数轴分析区间包含，列式求解； 端点值单独检验，防止范围出错。 题型2 已知必要不充分条件求参数 1．已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先将“q是p的必要不充分条件”转化为集合是集合的真子集，再根据集合真包含关系列不等式组，求解实数的取值范围. 【详解】∵q是p的必要不充分条件，∴⫋， 则或，解得， 故实数的取值范围为. 2．已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 3．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 4．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由集合的并集与补集运算求解即可； （2）由于“”是“”的必要条件，所以，分与求解a的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，所以， 所以或. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，则，即，符合题意 ； 当时，则，即； 综上所述：a的取值范围. 5．已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集运算即可； （2）把必要不充分条件转化为真子集关系，利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可. 【详解】（1）当时，， 则； （2）因为， 由是的必要不充分条件，得⫋， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 方法技巧 考查考点：给出 p 是 q 的必要不充分条件，求参数。 解题技巧 等价转化：； 含参集合优先讨论空集情况，分类求解； 最后整合所有情况，写出最终范围。 题型3 已知充要条件求参数 1．已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 2．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 3．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 方法技巧 考查考点：利用充要条件建立等式 / 不等式求参数。 解题技巧 转化为集合相等：A=B； 根据集合元素、区间完全一致列方程； 求出参数后检验集合合理性。 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 1．设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于两个集合来说，根据充分条件是找子集，必要条件是找集合，即可得到答案. 【详解】若集合是集合的必要条件，则， 所以在选项中使得成立的一个必要条件只有， 故选：A 2．下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先解得到，则的必要条件的是：成立能推出对应的选项也成立即为它的必要条件，故依次分析选项即可. 【详解】由得到； 当时，成立，但是推不出成立，选项A错误； 成立必定可以推出成立，选项B正确； 成立必定可以推出成立，选项C正确； 当时，成立，但是推不出成立，选项D错误； 故选：BC 3．的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 4．设，则“且”是“”的________条件． 【答案】充分不必要 【详解】且， ， 且是“”的充分条件； 而不一定得出且， 即“且”不是“”的必要条件， “且”是“”的充分不必要条件． 5．命题“”是命题“”的____________条件． 【答案】必要不充分 【分析】按充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】设命题，命题， 由推不出，如时，满足，但， 所以充分性不满足； 由能推出， 因为，即， 所以且， 所以是的必要不充分条件. 即命题“”是命题“”的必要不充分条件. 6．已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 7．已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)存在， 【分析】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可. 【详解】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 8．已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先根据必要不充分条件得到Ü，然后根据集合间的关系求解的取值范围 【详解】或，. 又是的必要不充分条件，. ①当时，则，得， ②当时，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． 9．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为集合的子集关系，再结合集合的子集关系，分类讨论，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合是集合的真子集，需使，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 充分条件与必要条件（培优讲义） 2 知识点01 充分条件与必要条件 2 知识点02 四类条件关系 3 知识点03 条件与集合的等价转化（培优核心） 3 4 题型1 判断命题的充分不必要条件 4 题型2 判断命题的必要不充分条件 4 题型3 判断充要条件 5 题型4 判断既不充分也不必要条件 6 6 题型1 已知充分不必要条件求参数 6 题型2 已知必要不充分条件求参数 7 题型3 已知充要条件求参数 8 9 9 课标要点 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义，掌握命题间推出关系的判断方法。 2.能准确区分充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四种逻辑关系。 3.掌握利用条件关系求解参数取值范围的思路，学会转化为集合包含关系解题。 4.会证明、探求命题的充要条件，解决综合逻辑题型，对接课内考点与高考考法。 知识点01 充分条件与必要条件 1.一般地，设两个命题p,q： 若由p成立可以推出q成立，记作： 若p推不出q，记作： 2. 充分条件 若，则称p是q的 。 含义：有p就足够推出 q，p为q成立提供充分依据。 3. 必要条件 若，则称q是p的 。 含义：q是p成立必不可少的前提，p成立则 q一定成立 练习 1．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 3．设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点02 四类条件关系 设命题p、q： 充分不必要条件： 必要不充分条件： 充要条件（充分且必要条件）： 既不充分也不必要条件： 练习 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 3．“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点03 条件与集合的等价转化（培优核心） 设集合，则： 是q的 是q的 是q的 是q的 练习 1．设是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型1 判断命题的充分不必要条件 1．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 方法技巧 考查考点：根据命题推出关系，判定 p 是 q 的充分不必要条件。 解题技巧 分别判断是否成立； 满足，即为充分不必要条件。 题型2 判断命题的必要不充分条件 1．已知，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知实数，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 考查考点：判定p是q的必要不充分条件。 解题技巧 验证推出关系：； 可结合举反例证明 “推不出”。 题型3 判断充要条件 1．设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 考查考点：判定两个命题互为充要条件。 解题技巧 需同时证明，双向推出即为充要条件。 题型4 判断既不充分也不必要条件 1．已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 方法技巧 考查考点：区分第四类逻辑关系。 解题技巧 证明，两边均举反例即可。 题型1 已知充分不必要条件求参数 1．已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 2．已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 3．已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 4．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 5．已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 6．设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 方法技巧 考查考点：给出p是q的充分不必要条件，求参数取值范围。 解题技巧 转化为集合关系：； 借助数轴分析区间包含，列式求解； 端点值单独检验，防止范围出错。 题型2 已知必要不充分条件求参数 1．已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 2．已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 3．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 4．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 5．已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 方法技巧 考查考点：给出 p 是 q 的必要不充分条件，求参数。 解题技巧 等价转化：； 含参集合优先讨论空集情况，分类求解； 最后整合所有情况，写出最终范围。 题型3 已知充要条件求参数 1．已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 2．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 3．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 方法技巧 考查考点：利用充要条件建立等式 / 不等式求参数。 解题技巧 转化为集合相等：A=B； 根据集合元素、区间完全一致列方程； 求出参数后检验集合合理性。 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 3．的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．设，则“且”是“”的________条件． 5．命题“”是命题“”的____________条件． 6．已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 7．已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 8．已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 9．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $