第04讲 充分条件与必要条件（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第04讲 充分条件与必要条件 预习目标 知识回顾 1．理解命题的定义、分类与“若p，则q”标准形式，能准确区分命题的条件和结论。 2．掌握充分条件、必要条件、充要条件的定义与符号表示，会判定四种条件关系。 3．掌握条件的传递性，能借助集合间的包含关系，判断命题间的条件类型。 1．三大基本运算：并集，交集，补集 常用运算性质：交、并运算满足交换律，同时牢记、、等常用结论。 3．会进行交、并、补混合运算；能结合韦恩图、参数求值类题目，规避元素互异性、区间端点等易错点。 新知导图 预习精讲 想一想 例1：废话文学 张三：“你饿了吗？” 李四：“饿了。” 张三：“为什么呀？” 李四：“因为我没吃饭。” 你觉得这个理由充分吗? 例2：要想在高考中取得好成绩，平时的努力学习是必要的？ 知识点01 命题及相关概念 定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 【即学即练】 1．能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 2．命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 知识点02 充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意 （1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 【即学即练】 3．下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 知识点03 充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 【即学即练】 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 知识点04 从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 注意 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【即学即练】 7．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型速练 题型01 命题的真假判断 【例1】请把命题“当两圆相切时，连心线过两圆的切点”改为“若，则”的形式:______. 【例2】下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 必记结论 先判断语句是否为可判断真假的陈述句，疑问句、感叹句等均不属于命题，复杂语句统一转化为“若，则”的标准形式，分清条件与结论。判定真假时，真命题依靠定义、定理严谨推理证明，假命题只需举出一个反例即可，切勿凭主观想法判断。 【小试牛刀】 【变式1-1】下列语句是命题的有__． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 【变式1-2】已知命题p：“若，则”．能够说明命题p是假命题的一组x，y的值为________． 【变式1-3】将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 题型02 充分条件、必要条件的判断（“是”结构） 【例3】“t不是整数”是“t不是奇数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4】命题是命题成立的（    ） 条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 必记结论 该题型句式为“是的什么条件”，核心是分析与的双向推出关系，根据、是否成立，区分充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四种类型。也可借助集合思路辅助判断，遵循“小范围推出大范围”的规律，解题时注意不颠倒条件与结论的顺序。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 【变式2-2】已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型03 充分条件、必要条件的判断（“的”结构） 【例5】（多选）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【例6】设集合，则B是A的真子集的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 必记结论 常见句式为“成立的什么条件是”，可直接等价转化为“是的什么条件”，再按照常规方法分析两者推出关系。解题重点是梳理语句主干，准确区分条件和结论，避免因语序变化混淆逻辑关系，判断规则与“是”结构题型完全一致。 【小试牛刀】 【变式3-1】“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】关于的一元二次方程有实数解的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 题型04 数学文化中的充分性和必要性 【例7】毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例8】《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 必记结论 先剔除题目中的文化、古文等背景描述，提炼出对应的数学条件p与结论q，将陌生情境转化为基础逻辑判断题。依托常规判定方法分析推出关系，判断充分、必要类型，解读文字时保证翻译准确，不被额外信息干扰核心逻辑。 【小试牛刀】 【变式4-1】在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型05 根据充分性，必要性求参数 【例9】（多选）若：是：的必要不充分条件，则实数的值可以为（     ） A．0 B． C． D． 【例10】已知集合， (1)当时，求. (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 必记结论 优先使用集合转化法，把命题对应成集合，利用集合包含关系转化条件：充分条件对应子集关系，充分不必要条件对应真子集关系，再据此列出不等式求解参数。解题需主动讨论空集情况，区间问题仔细验证端点取值，算出结果后代回原题检验，避免出现漏解、增根。 【小试牛刀】 【变式5-1】已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【变式5-3】已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 题型06 探索命题为真的充要条件 【例11】设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 【例12】已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件. 【变式6-1】设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【变式6-2】设，命题的充要条件是_________________． 【变式6-3】已知“”是“关于的方程至少有一个负根”的充要条件，求的值. 基础过关 1．小乐记录了自己两次跑步的运动数据，提出以下两个关于运动时间与配速的命题：（注：配速为每公里所用时间，单位：分钟/公里，数值越小表示速度越快） 命题①：若第一次跑步5公里用时25分钟，第二次跑步8公里用时40分钟，则两次跑步配速相等. 命题②：若两次跑步配速分别为和(，>0，且<)，则对于任意正数t，都有. 下列说法正确的是（ ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 2．已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 6．设，，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（多选）下列说法正确的是（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“存在”是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 8．（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 9．下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 10．“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 11．已知，，全集. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 12．已知，证明：“”是“”的充要条件. 能力提升 1．：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 3．已知命题：关于的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)记是真命题时，实数的取值集合为，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 4．已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 挑战一刻 1．已知，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 2．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，数学中三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件. (1)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件；数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件. (2)设均为正实数，证明：的充要条件是. 4．已知集合，，． (1)求，； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 充分条件与必要条件 预习目标 知识回顾 1．理解命题的定义、分类与“若p，则q”标准形式，能准确区分命题的条件和结论。 2．掌握充分条件、必要条件、充要条件的定义与符号表示，会判定四种条件关系。 3．掌握条件的传递性，能借助集合间的包含关系，判断命题间的条件类型。 1．三大基本运算：并集，交集，补集 常用运算性质：交、并运算满足交换律，同时牢记、、等常用结论。 3．会进行交、并、补混合运算；能结合韦恩图、参数求值类题目，规避元素互异性、区间端点等易错点。 新知导图 预习精讲 想一想 例1：废话文学 张三：“你饿了吗？” 李四：“饿了。” 张三：“为什么呀？” 李四：“因为我没吃饭。” 你觉得这个理由充分吗? 例2：要想在高考中取得好成绩，平时的努力学习是必要的？ 知识点01 命题及相关概念 定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 【即学即练】 1．能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 【答案】2，2，3（也可取3，4，5，答案不唯一） 【详解】若，，，满足a，b，c均为正实数，且，此时，不满足，故原命题为假命题； 若，，，满足a，b，c均为正实数，且，此时，不满足，故原命题为假命题. 2．命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【详解】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A 知识点02 充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意 （1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 【即学即练】 3．下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于（1），对角线相等的四边形不一定是正方形，例如长方形，所以； 对于（2），由全等三角形对应边相等，可知全等的直角三角形斜边一定相等，所以； 对于（3），时，，不是只有，所以； 对于（4），时，，不是只有，所以； 对于（5），根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，所以. 因此，只有（2）和（5）满足是的充分条件，共2个. 故选：B. 4．已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】对于A，若，满足，而， 则“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，若，满足，而， 则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由，当时，， 则“”不是“”的充分条件，故C错误； 对于D，由，则且，即， 所以“”是“”的必要条件，故D正确. 知识点03 充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 【即学即练】 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】等价于，所以， 所以是的充要条件. 故选：C. 6．设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【答案】2 【详解】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. 知识点04 从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 注意 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【即学即练】 7．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，故，则， 若，解得或， 故是的充分不必要条件. 8．已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，，成立； 当时，由集合元素的互异性可知， 又，所以的取值可以是. 因此由不能推出. 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 题型速练 题型01 命题的真假判断 【例1】请把命题“当两圆相切时，连心线过两圆的切点”改为“若，则”的形式:______. 【答案】若两圆相切，则这两圆的连心线过这两圆的切点（答案不唯一） 【详解】可改为：若两圆相切，则这两圆的连心线过这两圆的切点. （或“当两圆相切时，若一直线过两圆圆心，则该直线过两圆的切点”） 故答案为：若两圆相切，则这两圆的连心线过这两圆的切点.（答案不唯一） 【例2】下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【详解】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D 必记结论 先判断语句是否为可判断真假的陈述句，疑问句、感叹句等均不属于命题，复杂语句统一转化为“若，则”的标准形式，分清条件与结论。判定真假时，真命题依靠定义、定理严谨推理证明，假命题只需举出一个反例即可，切勿凭主观想法判断。 【小试牛刀】 【变式1-1】下列语句是命题的有__． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 【答案】①③④ 【详解】②是疑问句，不是命题；⑤中未知数的值未知，无法判断真假，故不是命题； ⑥是祈使句，不是命题，其他均为可以判断真假的陈述句，为命题. 故答案为：①③④ 【变式1-2】已知命题p：“若，则”．能够说明命题p是假命题的一组x，y的值为________． 【答案】，（答案不唯一，只需满足即可）. 【详解】若命题p：“若，则”是假命题， 则“存在，当时，但”是真命题． 由可知，，所以，又， 从而，． 故是能够说明命题p是假命题的一组x，y的值. 故答案为：，（答案不唯一，只需满足即可）. 【变式1-3】将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 【答案】(1)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等；假命题 (2)若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；真命题 (3)若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数；假命题 【分析】 【详解】（1）命题：绝对值相等的数也相等， 改写为：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等. 命题是假命题，比如和，两个数的绝对值都是，但是这两个数不相等. （2）命题：矩形的对角线相等， 改写为：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等. 命题是真命题，因为矩形的对角线是相等的. （3）命题：两个无理数的和是无理数， 改写为：若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数. 命题是假命题，如和都是无理数，但这两个数的和为是有理数. 题型02 充分条件、必要条件的判断（“是”结构） 【例3】“t不是整数”是“t不是奇数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若t不是整数，则一定t不是奇数； 若t不是奇数，则t可能是整数” 所以“t不是整数”是“t不是奇数”的充分不必要条件. 【例4】命题是命题成立的（    ） 条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】当时，且成立，即成立，则一定成立，充分性成立； 反之，取，满足且成立，但不满足，即成立时，不一定成立，必要性不成立， 所以命题是命题成立的充分不必要条件. 必记结论 该题型句式为“是的什么条件”，核心是分析与的双向推出关系，根据、是否成立，区分充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四种类型。也可借助集合思路辅助判断，遵循“小范围推出大范围”的规律，解题时注意不颠倒条件与结论的顺序。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 【答案】充分不必要 【详解】由已知得，，，. 但由于推不出，所以推不出， 故是的充分不必要条件. 【变式2-2】已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. 【变式2-3】现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入， 根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来， 所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立； 若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入，也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来）， 所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立． 综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件． 题型03 充分条件、必要条件的判断（“的”结构） 【例5】（多选）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由，得． 由必要不充分条件的定义知，需使表示的范围是选项范围的真子集， 由选项知，是的真子集，也是的真子集，故A,B正确； 不是的真子集，也不是的真子集，故C,D错误. 故选：AB． 【例6】设集合，则B是A的真子集的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， 由B是A的真子集，得或或，而， 当时，； 当时，； 当时，， 因此B是A的真子集的充要条件是， 而真包含， 所以B是A的真子集的一个必要不充分条件是. 故选：A 必记结论 常见句式为“成立的什么条件是”，可直接等价转化为“是的什么条件”，再按照常规方法分析两者推出关系。解题重点是梳理语句主干，准确区分条件和结论，避免因语序变化混淆逻辑关系，判断规则与“是”结构题型完全一致。 【小试牛刀】 【变式3-1】“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 故“”是“”的一个充分不必要条件. 故选：B. 【变式3-2】关于的一元二次方程有实数解的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若一元二次方程有实数解，则，解得：； 对于A，，，是一元二次方程有实数解的充分不必要条件，A正确； 对于B，是一元二次方程有实数解的充要条件，B错误； 对于C，，，是一元二次方程有实数解的必要不充分条件，C错误； 对于D，，，是一元二次方程有实数解的必要不充分条件，D错误. 故选：A. 【变式3-3】一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设两个不等负实数根分别为， 则需满足， 解得，即， 所以是方程有两个不相等负根的充要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是的真子集，所以是方程有两个不相等负根的必要不充分条件， 故选：B. 题型04 数学文化中的充分性和必要性 【例7】毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城， 但到过长城未必是好汉， 因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件． 故选：B. 【例8】《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由“小故，有之不必然，无之必不然”， 知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要不充分条件， 所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件. 故选：B. 必记结论 先剔除题目中的文化、古文等背景描述，提炼出对应的数学条件p与结论q，将陌生情境转化为基础逻辑判断题。依托常规判定方法分析推出关系，判断充分、必要类型，解读文字时保证翻译准确，不被额外信息干扰核心逻辑。 【小试牛刀】 【变式4-1】在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必属于六畜； 若甲的生肖属于六畜，则甲的生肖不一定是马. 故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【变式4-2】“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件； 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选：C． 【变式4-3】子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 题型05 根据充分性，必要性求参数 【例9】（多选）若：是：的必要不充分条件，则实数的值可以为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由或. 所以：或. 因为是的必要不充分条件，所以满足⫋满足， 即⫋. 所以可能为，，. 由； 由； 由. 故选：ABD 【例10】已知集合， (1)当时，求. (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）当时，，，则. 又，所以. （2）由“”是“”的充分不必要条件，可知是的真子集. 其中为非空集合，因此，且等号不同时成立，解得， 即实数的取值范围是. 必记结论 优先使用集合转化法，把命题对应成集合，利用集合包含关系转化条件：充分条件对应子集关系，充分不必要条件对应真子集关系，再据此列出不等式求解参数。解题需主动讨论空集情况，区间问题仔细验证端点取值，算出结果后代回原题检验，避免出现漏解、增根。 【小试牛刀】 【变式5-1】已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设集合，集合，若是的必要不充分条件， 所以是的真子集，可得. 故选：B. 【变式5-2】已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【答案】 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ， 解得：或. 故答案为： 【变式5-3】已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． 题型06 探索命题为真的充要条件 【例11】设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 【答案】A 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为2， 所以“”的充要条件为“至少有一个为2”，故A符合题意，BCD不符合题意. 故选：A. 【例12】已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】不存在 【详解】∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 【变式6-1】设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【详解】等价于，即且， 故选：C 【变式6-2】设，命题的充要条件是_________________． 【答案】 【详解】由，得， 两边同乘2，得， 拆分并组合得， 即. 因实数的平方非负，故，，， 解得. 故答案为：. 【变式6-3】已知“”是“关于的方程至少有一个负根”的充要条件，求的值. 【答案】 【详解】“关于的方程至少有一个负根”的情况有： 当时，方程，解得，符合题意． 当时，方程有实根的充要条件是判别式，解得且， 设方程的两根为分别为，，则，， ①当时，方程的两根均为零即，不合题意； ②当时，，即方程有两个异号根； ③当时，，，即方程有两个负根； 综上所述，“”是“方程至少有一个负根”的充要条件，所以. 基础过关 1．小乐记录了自己两次跑步的运动数据，提出以下两个关于运动时间与配速的命题：（注：配速为每公里所用时间，单位：分钟/公里，数值越小表示速度越快） 命题①：若第一次跑步5公里用时25分钟，第二次跑步8公里用时40分钟，则两次跑步配速相等. 命题②：若两次跑步配速分别为和(，>0，且<)，则对于任意正数t，都有. 下列说法正确的是（ ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】A 【详解】命题①的真假判断：配速公式：配速总时间总路程. 第一次配速：（分钟／公里）；第二次配速：（分钟／公里）. 结论：两次配速均为5分钟／公里，命题①为真. 命题②的真假判断：  作差法分析：.已知条件：且，则分子，分母，整体差值小于0.结论：成立，命题②为真. 故选A. 2．已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 【答案】A 【详解】若三角形的三个内角都相等，则该三角形为等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形， 故”三角形的三个内角都相等”可推出”三角形是等腰三角形”，充分性成立. 等腰三角形只需至少两个内角相等，不一定三个内角都相等， 故”三角形是等腰三角形”不能推出”三角形的三个内角都相等”，必要性不成立. 因此，”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的充分不必要条件. 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由或或. 所以时，必成立； 当时，可以不成立，如时，但不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 5．已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【详解】由，得或， 所以是的必要而不充分条件. 6．设，，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若且，则，，所以，但不能保证， 例如当，时，满足且，但，即充分性不成立； 若，则，，所以，，即必要性成立， 所以“且”是“”的必要不充分条件． 故选：B 7．（多选）下列说法正确的是（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“”是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，因为时，， 又因为当时，恒成立，故命题“”是假命题，故B错误； 对于C，由，即，解得或； 所以由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当且时，，即充分性成立， 当时，如，此时不满足且，即必要性不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故D正确． 故选：ACD 8．（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为集合和均是集合的真子集， 可知和均是的充分不必要条件，故BD正确； 又因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故A错误； 且集合与集合之间不存在包含关系， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 故选：BD. 9．下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 【答案】②④ 【详解】对于①，9是合数，但9不是偶数，故①错误； 对于②，由，可得，故②正确； 对于③，当时，方程无解，故③错误； 对于④，当时满足，但， 当时，可得，则“”是“”的必要非充分条件，故④正确. 10．“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 【答案】 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件为，解得． 故答案为： 11．已知，，全集. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若，则， 又或，所以； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 12．已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 能力提升 1．：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】首先，判断对的推出关系：若、至少一个是空集，则必为空集，即； 若为空集，未必有、至少一个是空集(如)，即. 所以：是的必要不充分条件. 故选：B. 2．（多选）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为集合只有个真子集，所以集合中有个元素， 因为，则有： 当时，， 当时，， 当时，， 因集合中只有个元素，则， 所给选项中：，， 所以只有C和D中的范围符合充分不必要条件， 故选：CD. 3．已知命题：关于的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)记是真命题时，实数的取值集合为，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当为真命题时，有实数解， 即， 解得， 即； （2）由（1）知，， 因为，“”是“”的必要不充分条件， 所以，因此，解得， 即实数的取值范围是. 4．已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】对于命题：“方程至少有一个解”， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得且； 综上所述：. 若的一个必要不充分条件为“”， 可知集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 挑战一刻 1．已知，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【详解】充分性：当时，此时，，等式不成立， 故不能保证成立，充分性不成立. 必要性：当时，两边同时平方得：， 即，即，故能推出，故必要性成立. 综上，是的必要非充分条件. 故选：B. 2．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，，则有，，，， 所以，所以是的充分条件； 反之，若，比如，，则有， 根据定义，，，，即不是必要条件． 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3．逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，数学中三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件. (1)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件；数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件. (2)设均为正实数，证明：的充要条件是. 【答案】(1)充分；必要 (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）因为由每一个判定定理的条件，都能推出结论成立， 即已知条件成立时，结论一定成立， 所以每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件； 每一个性质定理由结论推已知条件， 即结论成立，已知条件一定成立， 但使结论成立时的条件不仅只有已知条件这一个， 所以每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件； 故答案为：充分；必要. （2）证明：充分性： 因为，且均为正实数， 所以，， 所以； 必要性：因为均为正实数，且， 所以， 即， 所以， 所以. 4．已知集合，，． (1)求，； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 因为，所以. ，所以或， 所以或. （2）由（1）知，， 因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集. 当时，满足是，此时，解得； ② 当，即时，要使是，当且仅当等号不能同时成立， 解得，故． 综上所述，实数的取值范围为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $