期末综合强化练习2025-2026学年八年级下册数学人教版

**基本信息** 八下数学期末综合训练，以四边形、函数、勾股定理为核心，跨章节整合几何性质、函数应用及数据统计，通过多样化题型培养抽象能力、几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|20+/矩形折叠(34题)、和等梯形(36题)|图形性质与变换，动态问题|四边形判定与性质→勾股定理→图形折叠/动点综合| |函数应用|10+/函数图象与性质(32题)|实际情境建模，图象分析|一次函数概念→性质应用→分段函数与最值| |数据统计|5/成绩分析(35题)|统计量计算与应用|平均数/方差→数据比较与决策| |计算与推理|12+/海伦公式应用(5题)|基础运算与逻辑证明|二次根式化简→代数推理→几何计算|

八下数学期末终极练习 一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式，化简后能与合并的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：．，与不能合并，不是同类二次根式，故选项A不符合题意； B.，与能合并，是同类二次根式，故选项B符合题意； C.，与不能合并，不是同类二次根式，故选项C不符合题意； D.与不能合并，不是同类二次根式，故选项D不符合题意． 故选：． 把个选项中的二次根式，化简后，能与是同类二次根式，即可得出答案． 本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中下列各组数中是“勾股数”的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D  【解析】解：、，，不都是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、， 正整数，，不是勾股数，不符合题意； C、， 正整数，，不是勾股数，不符合题意； D、， 正整数，，是勾股数，符合题意； 故选：． 根据勾股数的概念判断即可． 本题考查的是勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数． 3.如图，菱形的对角线、相交于点，是的中点，且，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：四边形是菱形， ， 是直角三角形， 点是的中点， ， 故选：． 由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解． 本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 4.下列说法错误的是(    ) A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】B  【解析】解：说法错误的是，因为对角线互相垂直的四边形也可以是一般的四边形． 故选：． 根据矩形、平行四边形、正方形的判定判断． 此题主要考查学生对平行四边形、矩形、正方形的判定的掌握情况． 5.阅读下列材料：若一个任意三角形的三边长分别为，，，记，则这个三角形的面积古希腊的数学家海伦给出了这个公式的证明，这一公式称为海伦公式若在海伦公式中，，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，，，  ，        ，  故选：． 根据题意得出，然后代入，求出结果即可． 本题考查了二次根式的化简，完全平方公式变形求值，解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 6.九章算术勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐向水深、葭长各几何”其大意为：有一个水池，其水面是边长为丈的正方形即丈尺，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为尺即尺如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是(    ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】C  【解析】解：设水深长为尺，则芦苇尺， ， ， 解得：， 则芦苇的长度为尺， 故选：． 找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答． 本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 7.如图，在中，，，，是的平分线若点，分别是和上的动点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，是的平分线，垂直平分， ． 过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ， 故选：． 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出的最小值为是解题的关键． 8.如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，若，，则的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：连接， 是边上的高线，是边上的中线， ， ． ， 于点， ， ． ，， ， ， ， 过作于， 的面积， 的面积， 的面积， 的面积， 的面积为． 故选：． 连接，首先证明，则为等腰三角形，所以；推出，，分别求出的面积，的面积，利用面积和差求得的面积，即可解决问题． 本题考查直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 9.如图，在等边三角形中，点在边上，点在边上，沿折叠，使点落在边上位置若，且则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：是等边三角形，  ，  是折叠而成，  ，，  又，  ，，  ，  ，  在中，，  由勾股定理得，即，  解得，  则，  ，  ，  在中，，  若，且，则，  故选：． 根据折叠可知，，再由三角形的内角和定理即可计算出的度数，在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再在中，利用直角三角形的性质即可求解． 本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理及折叠的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10.下列各曲线中，能表示是的函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数． 故选：． 设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 11.如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，表示需要添加的条件，则下列添加的条件错误的是(    ) A. 有一个角是直角 B. 有一组邻边相等 C. 对角线相等 D. 有一个角是直角 【答案】C  【解析】解：根据菱形、矩形及正方形的判定定理， A、有一个角为直角的平行四边形是矩形，所以此选项正确，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以此选项正确；不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以此选项不正确，符合题意； D、有一个角为直角的菱形是正方形，所以此选项正确，不符合题意； 故选：． 根据菱形、矩形及正方形的判定定理进行求解． 本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握各个的判定定理是解题的关键． 12.如图，正方形中，动点从点出发沿折线做匀速运动，到点停止，设点运动的路程为，的面积为，与之间函数图象如图所示，则下列说法正确的是(    ) A. 正方形的边长为 B. 当时， C. 当时， D. 点运动的路程越大，的面积越大 【答案】C  【解析】解：结合函数图象的两个拐点位置可知正方形的边长为，故A选项错误，不符合题意； 如图，当时，图象经过和， 设直线的解析式为， 由条件可得，解得， 所以当时，，故B选项错误，不符合题意； 当时，图象经过和， 设直线的解析式为， 由条件可得解得 所以直线的解析式为，故C选项正确，符合题意； 根据函数图象可知，点运动的路程越大，的面积是先增大，后不变，最后变小，故D选项错误，不符合题意； 故选：． 结合函数图象的拐点横坐标可知正方形的边长，当和时，只要找到对应图象上的两点坐标，利用待定系数法求出解析式即可判断正误，点运动的路程越大即表示越大，的面积即为的情况，通过图形可知不是一直在增大的． 本题考查的是动点问题的函数图象，根据点在不同位置上时，边上的高的变化情况得到面积的变化情况是解决本题的关键． 13.某中学开展“情浓端午”经典诵读活动，位评委给小红打分后，成绩统计如下： 平均数 众数 中位数 方差 如果去掉一个最高分，再去掉一个最低分，表中的数据不受影响的是(    ) A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C  【解析】解：中位数是将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 去掉一个最高分和一个最低分，表中数据一定不发生变化的是中位数． 故选：． 利用方差、中位数、算术平均数和众数的定义进行判断． 本题考查了方差、算术平均数、中位数和众数，解题的关键是掌握方差、中位数、算术平均数和众数的定义． 14.某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩百分制如表： 项目作品 甲 乙 丙 丁 创新性 实用性  如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B  【解析】解：甲的平均成绩分，  乙的平均成绩分，  丙的平均成绩分，  丁的平均成绩分，  ，  乙的平均成绩最高，  应推荐乙．  故选：． 首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出四项作品的平均成绩各是多少；然后比较大小，判断出谁的平均成绩最高，即可判断出应推荐谁． 此题主要考查了加权平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． 15.一艘轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地，横坐标表示航行的时间，纵坐标表示轮船与甲地的距离，则下列说法错误的是(    ) A. 轮船从甲地到乙地的平均速度为 B. 轮船在乙地停留了 C. 轮船从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度 D. 甲、乙两地相距 【答案】C  【解析】A、轮船从甲地到乙地的平均速度为，此选项不符合题意；  B、轮船在乙地停留了，此选项不符合题意；  C、轮船从乙地到甲地的平均速度为，则轮船从乙地到甲地的平均速度小于去时的速度，此选项符合题意；  D、根据图象可知：甲、乙两地相距，此选项不符合题意；  故选：． 根据函数图象逐项分析即可． 本题考查了函数的图象，解题的关键是看懂图象，获取信息． 16.杨伯家小院子的四棵小树、、、刚好在其梯形院子各边的中点上，若在四边形种上小草，则这块草地的形状是(    ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 【答案】A  【解析】解：连接，． 利用三角形的中位线定理可得，． 这块草地的形状是平行四边形． 故选：． 根据中位线定理可知，四边形的对边平行且相等，所以四边形是平行四边形． 本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 17.均匀地向一个如图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度随时间变化的函数图象大致是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度随时间的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短． 故选A． 由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度随时间变化而分三个阶段． 此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得到用时的不同． 18.如图，在菱形中，点为对角线上一动点，沿路径以的速度运动，同时点从出发沿路径以的速度运动．设运动时间为，的面积为，与的函数图象如图所示．若，则图中的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查了菱形的性质，二次函数图形的性质，根据菱形的性质得到，结合题意，，则，由二次函数图形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 点的运动路径以的速度运动，点的运动路径以的速度运动，设运动时间为， ，， 如图所示，过点作于点， 在中，， ， ， 当时，， 解得，， ， ， ， 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 19.如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为        ． 【答案】  【解析】解：由题意得：， 故A，， 点表示的数为， 点表示的数为， 点的坐标为， 故答案为：． 在中利用勾股定理求出，继而得出的长，结合数轴的知识可得出点表示的数． 此题考查了勾股定理及数轴的知识，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键． 20.如图，在一次测绘活动中，某同学站在点处观测停放于、两处的小船，测得船在点北偏东方向米处，船在点南偏东方向米处，则船与船之间的距离为        米 【答案】  【解析】解：如图，由题意可知，， ， 在直角三角形中，米，米， 由勾股定理得：米， 船与船之间的距离为米， 故答案为：． 证明为直角三角形，由题意可知，，从而得到，然后利用勾股定理即可求出． 本题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 21.如图，将正方形与正方形叠在一起，且这两个正方形的边长之差为，两个正方形相交于点、，连结，，若阴影部分的面积是，，，则正方形的边长为        ． 【答案】  【解析】解：连接，如图所示． 设正方形的边长为，则正方形的边长为，，， 根据题意得：， 即， ， 整理得：， 解得：， 正方形的边长为． 故答案为：． 连接，设正方形的边长为，则正方形的边长为，，，根据阴影部分的面积是，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用、正方形的性质以及三角形的面积，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 22.如图，在中，，，，点是上一点，连接，将沿着折叠，使点落在上的点处，过点作，交的延长线于点，则的长为        ． 【答案】  【解析】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 将沿着折叠，使点落在上的点处， ，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 故答案为：． 首先利用勾股定理求出，由折叠得，，，，设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解． 本题主要考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． 23.读取表格信息，解决问题满足的可以取得的最小整数是        ． 【答案】  【解析】解：先分别求出，，，再根据规律可得，然后代入不等式整理得： ； ； ； ， ． ， ， ， 即， 则， ，， 可以取得最小正整数是． 故答案为：． 先分别求出，，，再根据规律可得，然后代入不等式整理得出，最后根据乘方的运算得出答案即可． 本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握该知识点是关键． 24.如图，秤是我国传统的称重工具，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，秤钩所挂物体的重量斤与秤杆上秤砣到秤纽的水平距离厘米满足一次函数关系如表中为若干次称重时所记录的一些数据： 厘米 斤 当时，对应的的值为        ． 【答案】  【解析】解：设与之间的函数关系式为， 把，代入， ， 解得：， 则与之间的函数关系式为， 当时，． 故答案为：． 设与之间的函数关系式为，把，代入，可得出与之间的函数关系式，再把代入，即可得出答案 本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求出表达式是解题的关键． 25.数据，，，，的方差等于      ． 【答案】  【解析】解：平均数为： ， 方差为： ． 故答案为：． 一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，根据方差计算公式计算方差即可． 本题主要考查了方差的计算，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式， 26.如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是      ． 【答案】  【解析】解：由条件可得， 由图象可知，的解集为； 故答案为：． 求出的值，图象法求出不等式的解集即可． 本题考查一次函数与不等式，熟练掌握该知识点是关键． 三、计算题：本大题共4小题，共37分。 27.计算：； 解方程：． 【答案】    【解析】解：原式 ； 去分母得， 去括号得， 移项得， 解得， 经检验，原方程的解为． 先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； 先把方程两边乘以得到，再解一元一次方程，然后进行检验确定原方程的解． 本题考查了二次根式的加减法，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．也考查了解分式方程． 28.计算题： ； ． 【答案】原式    ；  原式  ．  【解析】原式第一项分母有理化，第二项利用平方差公式化简，计算即可求出值；  原式利用二次根式性质，零指数幂，立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值． 此题考查了平方差公式，实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 29.计算与解不等式组： ； ． 【答案】    【解析】解：原式 解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 先算零指数幂、绝对值、二次根式的乘法，再算加减即可； 先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的最终解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，实数的运算，零指数幂，熟知以上运算法则是解题的关键． 30.根据以下素材，探索完成任务． 如何确定拍照打卡板 素材一 如图是某商场设计的拍照打卡板，图为其平面设计图该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰三角形组成，且点，，，四点共线其中，点到的距离为米，米，米． 素材二 用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰三角形两种图形无缝隙拼接，且甲材料的单价为元平方米，乙材料的单价为元平方米． 问题解决 任务一 推理最高点到地面的距离． 如果长等于，那么最高点到地面的距离等于线段长吗？ 任务二 探究等腰三角形的面积表达式． 假设长度为米，等腰三角形的面积为求关于的函数表达式． 任务三 确定拍照打卡板的大小． 如果制作拍照打卡板的总费用不超过元，请确定长度的最大值． 【答案】最高点到地面的距离等于线段长；   ；   米  【解析】解：过点作，垂足为，如图： 四边形是长方形， ， 在和中， ， ≌， ， 即最高点到地面的距离就是线段长． 过点作，垂足为，的延长线交于点，如图． 由条件可知， ， 由题意可知直线是该打卡板的对称轴， ，， ， 米， ． 点到的距离为米，米， ，， ． 等腰三角形的面积为， 关于的函数表达式为：． 米，米， 长方形的面积为：平方米． 长方形的费用为：元， 等腰三角形的费用为：元． 又制作拍照打卡板的总费用不超过元， ， 解得， 即长度的最大值为米． 过点作，垂足为，证明≌，即可解答； 过点作，垂足为，的延长线交于点，根据轴对称的性质可得，，从而得到米，，再由，即可解答； 分别求出长方形的费用为：元，等腰三角形的费用为：元，根据制作拍照打卡板的总费用不超过元，列出不等式，即可解答． 本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是关键． 四、解答题：本题共17小题，共157分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 31.本小题分 先化简，再求值：，其中． 【答案】；．  【解析】解： ； 当时，原式． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 本题考查了分式的化简求值，分母有理化，在解答此类题目时关键要注意通分及约分的灵活应用． 32.本小题分 学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小萍同学的探究过程，请补充完整： 函数的自变量的取值范围是______； 下表是与的几组对应值． 表中______，______； 如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； 结合画出的函数图象，解决问题： 记所画函数的图象与轴的交点分别为，在的左边，经过点的直线与所画函数的图象的另一个交点为，若的面积为，求，的值． 【答案】全体实数；   ，；    ，．  【解析】函数解析式是整式，故自变量取值为全体实数； 故答案为：全体实数； 当时，；当时，； 故答案为：，； 描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下： ，，． 结合图象可设点的纵坐标为， 则，． 在函数中，当时，， 当时，得， 由条件可得，解得， 即，． 函数表达式为整式，自变量的取值范围为全体实数； 求出函数在自变量取与时的函数值即可； 根据中的列表，在平面直角坐标系中描点并连线即可得函数图象； 由表格知点、的坐标及的长度；结合图象可知，点在第一象限，设点的纵坐标为，由面积求得的值，代入函数中，求得的值，即可求得点的坐标；用待定系数法即可求解． 本题考查了求函数自变量的取值范围，求函数值，待定系数法求一次函数解析式，画函数图象等知识，掌握函数的相关知识是解题的关键． 33.本小题分 海鸭蛋是钦州特产之一，具有较高营养价值某农产品销售公司现进货了千克海鸭蛋，进货成本为元经市场调查，决定采用批发、零售、腌制加工后销售这三种方式出售，其中以零售方式出售需包装成本元千克；腌制加工后销售需加工费元千克加工前后重量变化忽略不计，计划每千克的平均售价如表： 销售方式 批发 零售 腌制加工后销售 售价 元千克批发量超过千克则按元千克出售 元千克 元千克 若经过一段时间，按计划全部售出获得的总利润为元，其中零售千克，且批发量是零售量的倍． 请用含的式子表示：批发的量为______千克；腌制加工的量为______千克． 当批发量超过千克时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 由于受条件限制，最多对千克海鸭蛋进行腌制加工，求该公司按计划全部售完这批海鸭蛋获得的最大利润． 【答案】；；   ，；   该公司按计划全部售完这批鸭蛋获得的最大利润为元．  【解析】零售千克，且批发量是零售量的倍，进货了千克海鸭蛋， 批发的量为千克， 腌制加工的量为：千克， 故答案为：；； 按计划全部售出获得的总利润为元，当批发量超过千克时， 依题意得：， 由， 解得， 自变量的取值范围是； 最多对千克海鸭蛋进行加工， ， ， ， ， ， 随的增大而减小， 当时，最大， 且最大值为：元， 即该公司按计划全部售完这批鸭蛋获得的最大利润为元． 根据批发量是零售量的倍，以及共进货了千克，列出代数式即可； 根据总利润等于总售价减去总成本列出函数关系式，根据批发量超过千克，以及腌制加工的量为非负数，列出不等式组，求出自变量的取值范围即可； 根据一次函数的性质求最值即可． 本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的列出函数关系式和不等式组是解题的关键． 34.本小题分 活动探究：矩形的折叠． 如图，在矩形中，，分别是，的中点，，分别是，上的点，且，将沿着折叠，点的对应点为；将沿折叠，点的对应点为，点，都在矩形内部． 求证：； 判断四边形的形状，并说明理由． 如图，在矩形中，是边上的一个动点，将沿着折叠，点的对应点为，已知，，若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】见解析； 四边形是平行四边形，理由见解析；  或．  【解析】证明：在矩形中，，， 、分别是、的中点， ， 在和中， ， ≌， ， 由折叠的性质可知，，， ； 解：四边形是平行四边形，理由如下： 四边形是矩形，如图，连接， ，， ， 由知． ， 即， ， 由折叠性质可知，， ， 四边形是平行四边形； 解：或；理由如下： 如图，当时，是等腰三角形，根据题意可知， ， 又， 点在上，且为中点， 又， ， ， ， ， ； 如图，当时，是等腰三角形．过点作，垂足为，交于， ， 四边形是矩形， ，， 在和中， ， ≌， ， 又， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 同理易知，四边形是矩形， 设， ，， ， 解得， ； 如图，若，则，， 这样，， 不成立． 综上所述，或． 利用矩形性质证明≌，得到，再结合折叠的性质即可证明； 连接，结合矩形性质证明，进而得到由折叠性质可知，即可证明四边形的形状； 根据以，，为顶点的三角形是等腰三角形，分情况：当时，当时，过点作，垂足为，交于，若，结合勾股定理，矩形性质和判定，分析求解，即可解题． 本题属于四边形综合题，主要考查折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形性质和判定，等腰三角形性质和判定，平行四边形判定，掌握相关知识是解题的关键． 35.本小题分 某校为了解本校学生对端午节习俗的了解程度，对八、九年级开展了关于端午节的知识竞答活动，满分共分从中分别随机抽取了名学生的成绩成绩均为整数，单位：分进行整理分析，成绩如下： 八年级 九年级 根据以上数据，分析得到以下统计量： 平均数分 中位数分 众数分 方差分 八年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： ______， ______， ______． 抽取的九年级学生中，有一位同学测试成绩为分，他的成绩在这个人中处于______填“中上”“中等”或“中下”水平． 根据上表中的统计量，你认为哪个年级的总体成绩较好？说明理由至少从两个角度说明． 【答案】，，；   中下．   九年级的总体成绩较好．  【解析】解：八年级成绩平均数分， 在这些数据中出现的次数最多， 八年级的众数为， 九年级成绩按由小到大排列为：，，，，，，，，，，所以九年级的成绩的中位数为第个数和第六个数的平均数， ， 故答案为：，，； 九年级的成绩的中位数， 他的成绩在这个人中处于中下． 故答案为：中下． 九年级的总体成绩较好，理由如下： 从平均数的角度看，九年级平均数大于八年级， 从方差的角度看，九年级的方差较小，成绩更稳定， 所以九年级的总体成绩较好． 根据众数和中位数的定义即可得出、的值；用八年级总分数除以人数即可得出的值． 比较中位数即可得出此人处于什么水平． 分析数据图即可得出答案． 本题考查了方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键． 36.本小题分 定义：如果梯形的一条对角线的长等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线． 【概念理解】 如图，在梯形中，，，，，，四边形______填“是”或“不是”和等梯形； 如图，在矩形中，，点在上，，若在上存在点使得四边形是和等梯形，求的长； 【探索发现】 如图，四边形是以为和等线的和等梯形，，、交于点，请判别的形状，并说明理由； 【灵活运用】 如图，点在平行四边形的边上，在边上找一点，使得四边形是以为和等线的和等梯形． 要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点，不写作法，保留作图痕迹 【答案】是  当或时，四边形是和等梯形  是等腰三角形，理由如下： 延长使得，，如图， ，， 四边形是平行四边形， ，， 又四边形是以为和等线的和等梯形， ， ， ，即， ， 又， ， ， ， 是等腰三角形  方法一：由得证明过程可知，当延长使得，再在上找点使得为等腰三角形，则，即可求得点；即：在延长线上截取，再以点，点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，连接两点，交于于一点，如图所示，该点即为所求点； 方法二：由的结论可知，在上取点使得时，即，由得，，则，则，则，即可求得点；即：连接，在上截取，连接并延长交于点，如图所示，该点即为所求点  【解析】解：连接，，如图， ，，，，， ，，， ， 四边形是和等梯形， 故答案为：是； 连接，，如图， 四边形是矩形，，，设， ，， 当时，四边形是和等梯形， 即，解得：，即； 当时，四边形是和等梯形， 即，解得：，即：； 综上，当或时，四边形是和等梯形； 是等腰三角形，理由如下： 延长使得，，如图， ，， 四边形是平行四边形， ，， 又四边形是以为和等线的和等梯形， ， ， ，即， ， 又， ， ， ， 是等腰三角形； 方法一：由得证明过程可知，当延长使得，再在上找点使得为等腰三角形，则，即可求得点； 即：在延长线上截取，再以点，点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，连接两点，交于于一点，如图所示，该点即为所求点； 方法二：由的结论可知，在上取点使得时，即，由得，，则，则，则，即可求得点； 即：连接，在上截取，连接并延长交于点，如图所示，该点即为所求点． 连接，，由勾股定理求得，，根据定义即可判断； 连接，，设，可得，，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； 延长使得，，可知四边形是平行四边形，可得，，可知，由题意得，进而可得，可知，可得，即，即可判断是等腰三角形； 方法一：由得证明过程可知，当延长使得，再在上找点使得为等腰三角形，则，即可求得点；方法二：由的结论可知，在上取点使得时，即，由得，，则，则，则，即可求得点； 本题考查勾股定理，平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定，掌握相关性质定理是解决问题的关键，还考查了尺规作图作垂直平分线． 37.本小题分 综合与探究 课本再现： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明： 为了证明该定理，小明同学画出了图形图并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：，分别是的边，的中点； 求证：，且； 知识应用 如图，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点． 求证：四边形是平行四边形． 如图，在四边形中，，，，点是对角线的中点，点是的中点，点是的中点，请你直接写出的周长为______，面积为______． 【答案】证明：延长至，使，连接，如图， 是的中点， ， ， ≌， ，， ， 是的中点，即， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，且；   证明：连接，如图， ，分别是，边的中点， ， ，分别是，边的中点， ， ，， 四边形是平行四边形； ；  【解析】已知：，分别是的边，的中点； 求证：，且； 证明：延长至，使，连接，如图， 是的中点， ， ， ≌， ，， ， 是的中点，即， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，且； 证明：连接，如图， ，分别是，边的中点， ， ，分别是，边的中点， ， ，， 四边形是平行四边形； 解：点是对角线的中点，点是的中点，点是的中点， ， ，，， ，，， ， ， 作于点，如图， 则，， ， ， 的周长为，面积为， 故答案为：；． 延长至，使，连接，如图，先证明≌，再根据全等三角形的性质证明四边形是平行四边形，得到，，进一步即可得到结论； 连接，根据三角形的中位线定理结合平行四边形的判定定理证明即可； 先根据三角形的中位线定理证明，，，进而可得，可得，作于点，如图，再求出，即可解决问题． 本题是四边形综合题，考查了三角形的中位线定理的证明和应用，等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判定等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 38.本小题分 舞台升降机是舞台最常用的装置之一，主要功能是用于场面转换时，上下移动布景和演员，一般由底座、交叉撑、轴、液压器和工作台舞台组成如图，是某种舞台升降机的示意图，其工作台舞台由四根长度相等的交叉撑，，，支撑，上面两根交叉撑，与工作台工作台与舞台紧密贴合相连，下面两根交叉撑，与底座相连，轴分别位于四根交叉撑的中点部位点，和连接点点，当舞台升降机上升或下降时，交叉撑形成的交叉角的度数会随之变化． 四边形的形状为______． 当该舞台升降机的交叉撑长为时交叉撑的宽度忽略不计，若交叉角从减小到，舞台升高了多少米？结果保留根号 【答案】菱形；    【解析】，是，的中点，是，的中点， ， 四边形的形状为菱形． 故答案为：菱形； 连接，作直线分别交，，于点，，． 由得四边形是菱形． ，，平分． ， ． ，， ≌， 同理可得≌． ，． ． ，． ，即， 由题意可得：． ． ． ． 答：舞台升高了． 根据四条边都相等的四边形是菱形判断即可； 连接，作直线分别交，，于点，，证明≌，≌得，，进一步证明，得出的长度即为舞台升高的高度． 本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 39.本小题分 如图，在平行四边形中，，，动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． 当点在线段延长线上时，用含的代数式表示线段的长； 连结，是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出的值． 【答案】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 当点在线段延长线上时，． 存在，的值为，理由如下： 如图，连接、， 与互相平分， 则四边形是平行四边形， ， ， 解得， 当的值为时，与互相平分． 分两种情况：当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，如图， 由对称的性质得， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即， 解得； 当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，如图， 由对称的性质得， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， 解得； 综上所述，的值为或．  【解析】根据平行四边形的性质及勾股定理即可解答． 连接、，根据题意得到四边形是平行四边形，，列式求解即可． 分两种情况：当点关于直线对称的点恰好落在点下方时；当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，根据平行四边形的性质即可解答． 本题考查四边形的综合应用，主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 40.本小题分 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图，可看作直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，，，问题就转为“在上求点，使最小”问题．   素材三 【解答过程】如图，连接，交于点，此时的值最小，将延长至点，使得，连接． ，， 在中，， ， 的最小值是．   任务一 【解决问题】代数式的最小值为    ______     ． 任务二 【知识运用】如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄点到河岸的垂直距离为，村庄点到河岸的垂直距离为，且点，到河岸的垂足之间的水平距离为现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为    ______     ． 任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值． 【答案】任务一：；   任务二：；   任务三：如图，构造，，垂足为，，    设，则，    ，  ，  ，解得，  的值为．  【解析】解：任务一  如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，    ，，，，  ，，  ，  当，，三点共线时，最小，  作，则，，  ，  ，  代数式的最小值为，  故答案为：；  任务二  由题意，为总路程，  ，  要求的最小值，只需求得的最小值．  如图，将点向上平移得到，连接，，则，  ，  当，，三点共线时，此时的最小值为B.  过点作射线垂直河岸，过点向右作水平线，两线交于点    由题意，可得，，  的最小值为，  最短路程为，  故答案为：；  任务三 见答案。 任务一：仿照题干给定的方法进行求解即可；  任务二：将点向上平移得到，连接，，则，，得到当，，三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可；  任务三：构造，，垂足为，，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 本题考查三角形的综合，掌握勾股定理的逆定理、最短路径问题是解题的关键． 41.本小题分 综合与实践． 【问题背景】平面密铺不仅在数学题目中常见，它在实际生活中也有着广泛的应用平面密铺的特点： 拼接后图形之间没有空隙，也不互相重叠覆盖； 围绕同一个顶点的几个内角加起来正好等于． 【应用】如图，在建筑装饰中，常常可以看到用不同形状和颜色的地砖进行拼接，以达到美观和实用的效果为了更多地了解平面密铺，八班的同学们就多边形的平面密铺进行了一系列的研究，并提出了一些问题． 【问题一】 “对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成          个三角形，得到其内角和是          ”，其中体现的数学思想主要是          思想填“转化”、“整体”或者“类比”． 填表： 正多边形的边数 正多边形每个内角的度数                                  【问题二】 给出下列正多边形：正三角形；正五边形；正六边形；正八边形；用上述正多边形中的一种能够铺满地面的有          填序号 用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是          ． A.内角都是整十数度数 B.边数都是的整数倍 C.内角整除 D.内角整除 【问题三】 是否能用若干个边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺？若能，请求出每一个顶点周围的正三角形和正六边形的个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)（n-2）;（n-2）×180°;转化;108°;120°;  (2)①③;C  (3)解：设每一个顶点周围有a个正三角形，b个正六边形， 由题意得：60a+120b=360，即a+2b=6， ∵a,b均为正整数， ∴a=4，b=1或a=2，b=2．   【解析】  解：“对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是转化思想． 故答案为：，，转化． 填表： 正多边形的边数 正多边形每个内角的度数 故答案为：，，．   用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案， 正多边形：正三角形；正五边形；正六边形；正八边形中的一种能够铺满地面的是． 故答案为：． 用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是内角整除， 故选：． 根据平面镶嵌的定义解答即可． 根据平面密铺的特点求解．   根据平面密铺的特点求解． 本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的特点和多边形的内角和公式是解题的关键． 42.本小题分 如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． 证明：四边形是菱形． 若，，求的长． 【答案】证明：由题意可得，  ≌，  ，，  ，  ，  ，  ，  ，  四边形是平行四边形，  又，  四边形是菱形；  矩形中，，，，  ，，  ，  ，  设，则，，  ，  ，  解得，，    ．  【解析】证明：由题意可得，  ≌，  ，，  ，  ，  ，  ，  ，  四边形是平行四边形，  又，  四边形是菱形；  矩形中，，，，  ，，  ，  ，  设，则，，  ，  ，  解得，，    ． 根据题意和翻折的性质，可以得到≌，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；  根据题意和勾股定理，可以求得的长，设，则，，得出，可得出答案． 本题考查翻折变化、菱形的判定和性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答． 43.本小题分 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，，． 求证：四边形是矩形； 若，，求的长． 【答案】平分， ， ， ， ， 平行四边形是菱形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形    【解析】证明：平分， ， ， ， ， 平行四边形是菱形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形； 解：由题意可得： ，，， ，， ，，， 四边形是矩形， ． 根据平行四边形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质即可得到结论； 证明，，四边形是矩形，从而可得答案． 本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记菱形的判定与性质是解本题的关键． 44.本小题分 数学项目小组为解决某超市购物车从楼到楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息 购物车的尺寸如图所示为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图所示，辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为米． 信息 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运辆购物车，直立电梯一次性最多能转运列长度均为米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： 当辆购物车按图的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是______ ； 求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； 若该超市需转运辆购物车，使用电梯总次数为次为节省时间两种电梯都要使用，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 【答案】解：；  令，  解得：，  所以该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量为辆；  设扶手电梯用次，直立电梯用次，其中，为正整数，且，  ，  根据题意：，  即，  解得，  是正整数，且，  ，，  当时，，总转运量：，  当时，，总转运量：，  有两种分配方案：  方案：扶手电梯次，直立电梯次；  方案：扶手电梯次，直立电梯次．  【解析】解：根据题意得：购物车列的长度为  故答案为：；  令，  解得：，  所以该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量为辆；  设扶手电梯用次，直立电梯用次，其中，为正整数，且，  ，  根据题意：，  即，  解得，  是正整数，且，  ，，  当时，，总转运量：，  当时，，总转运量：，  有两种分配方案：  方案：扶手电梯次，直立电梯次；  方案：扶手电梯次，直立电梯次． 根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，据此表示出购物车列的长度即可；  由购物车列的长度，可列方程求得每列购物车的数量，然后再乘以即可解答；  设扶手电梯用次，直立电梯用次，其中，为正整数，且，根据题意：，解不等式即可． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键． 45.本小题分 宽与长的比是约为的矩形叫做黄金矩形现有一张矩形纸片，宽如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开得黄金矩形． 求证：四边形是正方形； 求的长； 如图，点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】折叠矩形纸片，点落在上的点处， ，， 又四边形是矩形， ，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形   四边形是黄金矩形，证明如下： ，四边形是正方形， ， 四边形是矩形， 由可知，， 为的中点， ， ， 如图，连接，由对折可得：，，， 设，则， ， 解得：， ， ． 四边形是黄金矩形  【解析】证明：折叠矩形纸片，点落在上的点处， ，， 又四边形是矩形， ，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； 解：矩形纸片中，宽，矩形是黄金矩形． ， ； 解：四边形是黄金矩形，证明如下： ，四边形是正方形， ， 四边形是矩形， 由可知，， 为的中点， ， ， 如图，连接，由对折可得：，，， 设，则， ， 解得：， ， ． 四边形是黄金矩形． 根据折叠的性质得出，，可得四边形是矩形，由正方形的判定可得出结论； 根据黄金矩形的定义可得的长，则可得出答案； 先证四边形是矩形，然后求解，由对折可得：，设，则，由面积可得，再进一步可得结论． 本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键． 46.本小题分 综合与实践 【问题情境】在书法课上，为了实现图的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列”的问题在学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索． 【操作探索】 操作一：把正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：沿着再一次折叠纸片，使点落在点处，得到折痕，交于点； 操作三：将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕． 【猜想验证】根据以上操作，小华发现点、、三点共线，且 ______ ；线段、、之间的数量关系为：______ ． 小海说：“我发现线段与线段的比值是，即点是线段的三等分点”你认为小海的说法正确吗？请说明理由． 【问题探究】在和的条件下，延长交线段于点，连接交于点，你能发现线段与线段的比值吗？请直接写出答案． 【答案】；；   小海的说法正确，理由如下：   设，，其中，，   四边形是正方形，   ，，   是直角三角形，，   由折叠性质得：，，，   ，   在中，由勾股定理得：，   ，   整理得：，   ，，   ，   ，   即点是线段的三等分点，   小海的说法正确；   ．  【解析】解：如图所示：    四边形是正方形，  ，  由折叠性质得：，，，，，，  ，  、、三点共线，  ，  又，，  ，  ，  即；  故答案为：；  ，，  ，  又、、三点共线，  ，  故答案为：；  小海的说法正确，理由如下：  设，，其中，，  四边形是正方形，  ，，  是直角三角形，，  由折叠性质得：，，，  ，  在中，由勾股定理得：，  ，  整理得：，  ，，  ，  ，  即点是线段的三等分点，  小海的说法正确；  如图所示：    设，，其中，，  四边形是正方形，  ，，  由折叠性质得：，，，，  ，，  ，  又，  是的中位线，  ，  ，  在和中，  ，  ≌，  ，  ，  四边形是矩形，  ，  ，  在中，，  由勾股定理得：，  ，  整理得：，  ，，  ，  ，  由的结论得：，  ． 由折叠性质得，，，，，，根据，得、、三点共线，根据得，由此可得出的度数；  根据，，、、三点共线即可得出线段、、之间的数量关系；  设，，则，由折叠性质得，，，由此得，在中，由勾股定理得，据此即可得出答案；  设，，由折叠性质得，，，，证明是的中位线得，进而得，证明和全等得，再证明四边形是矩形得，则，在中，由勾股定理得，继而得，由的结论得，据此可得出线段与线段的比值． 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活利用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 47.本小题分 实验探究： 实验情景示意图   实验使用装置 一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；、、可以视作三个点 滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 图物体静止在轨道上，其到滑轮的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 求绳子的总长度； 图若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】解：物体到定滑轮的垂直距离是，，  设，则，  在中，由勾股定理得：，  ，  解得：，  ，  绳子长度；  如图，    若物体升高，则此时，  在中，由勾股定理得：，  ，  答：滑块向左滑动的距离为．  【解析】解：物体到定滑轮的垂直距离是，，  设，则，  在中，由勾股定理得：，  ，  解得：，  ，  绳子长度；  如图，    若物体升高，则此时，  在中，由勾股定理得：，  ，  答：滑块向左滑动的距离为． 利用勾股定理运算求解即可；  利用勾股定理运算求解即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八下数学期末终极练习 一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式，化简后能与合并的是(    ) A. B. C. D. 2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中下列各组数中是“勾股数”的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.如图，菱形的对角线、相交于点，是的中点，且，则的长是(    ) A. B. C. D. 4.下列说法错误的是(    ) A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 5.阅读下列材料：若一个任意三角形的三边长分别为，，，记，则这个三角形的面积古希腊的数学家海伦给出了这个公式的证明，这一公式称为海伦公式若在海伦公式中，，，，则(    ) A. B. C. D. 6.九章算术勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐向水深、葭长各几何”其大意为：有一个水池，其水面是边长为丈的正方形即丈尺，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为尺即尺如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是(    ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 7.如图，在中，，，，是的平分线若点，分别是和上的动点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，若，，则的面积是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在等边三角形中，点在边上，点在边上，沿折叠，使点落在边上位置若，且则的长为(    ) A. B. C. D. 10.下列各曲线中，能表示是的函数的是(    ) A. B. C. D. 11.如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，表示需要添加的条件，则下列添加的条件错误的是(    ) A. 有一个角是直角 B. 有一组邻边相等 C. 对角线相等 D. 有一个角是直角 12.如图，正方形中，动点从点出发沿折线做匀速运动，到点停止，设点运动的路程为，的面积为，与之间函数图象如图所示，则下列说法正确的是(    ) A. 正方形的边长为 B. 当时， C. 当时， D. 点运动的路程越大，的面积越大 13.某中学开展“情浓端午”经典诵读活动，位评委给小红打分后，成绩统计如下： 平均数 众数 中位数 方差 如果去掉一个最高分，再去掉一个最低分，表中的数据不受影响的是(    ) A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 14.某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩百分制如表： 项目作品 甲 乙 丙 丁 创新性 实用性  如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 15.一艘轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地，横坐标表示航行的时间，纵坐标表示轮船与甲地的距离，则下列说法错误的是(    ) A. 轮船从甲地到乙地的平均速度为 B. 轮船在乙地停留了 C. 轮船从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度 D. 甲、乙两地相距 16.杨伯家小院子的四棵小树、、、刚好在其梯形院子各边的中点上，若在四边形种上小草，则这块草地的形状是(    ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 17.均匀地向一个如图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度随时间变化的函数图象大致是(    ) A. B. C. D. 18.如图，在菱形中，点为对角线上一动点，沿路径以的速度运动，同时点从出发沿路径以的速度运动．设运动时间为，的面积为，与的函数图象如图所示．若，则图中的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 19.如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为        ． 20.如图，在一次测绘活动中，某同学站在点处观测停放于、两处的小船，测得船在点北偏东方向米处，船在点南偏东方向米处，则船与船之间的距离为        米 21.如图，将正方形与正方形叠在一起，且这两个正方形的边长之差为，两个正方形相交于点、，连结，，若阴影部分的面积是，，，则正方形的边长为        ． 22.如图，在中，，，，点是上一点，连接，将沿着折叠，使点落在上的点处，过点作，交的延长线于点，则的长为        ． 23.读取表格信息，解决问题满足的可以取得的最小整数是        ． 24.如图，秤是我国传统的称重工具，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，秤钩所挂物体的重量斤与秤杆上秤砣到秤纽的水平距离厘米满足一次函数关系如表中为若干次称重时所记录的一些数据： 厘米 斤 当时，对应的的值为        ． 25.数据，，，，的方差等于      ． 26.如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是      ． 三、计算题：本大题共4小题，共37分。 27.计算：； 解方程：． 28.计算题： ； ． 29.计算与解不等式组： ； ． 30.根据以下素材，探索完成任务． 如何确定拍照打卡板 素材一 如图是某商场设计的拍照打卡板，图为其平面设计图该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰三角形组成，且点，，，四点共线其中，点到的距离为米，米，米． 素材二 用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰三角形两种图形无缝隙拼接，且甲材料的单价为元平方米，乙材料的单价为元平方米． 问题解决 任务一 推理最高点到地面的距离． 如果长等于，那么最高点到地面的距离等于线段长吗？ 任务二 探究等腰三角形的面积表达式． 假设长度为米，等腰三角形的面积为求关于的函数表达式． 任务三 确定拍照打卡板的大小． 如果制作拍照打卡板的总费用不超过元，请确定长度的最大值． 四、解答题：本题共17小题，共157分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 31.本小题分 先化简，再求值：，其中． 32.本小题分 学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小萍同学的探究过程，请补充完整： 函数的自变量的取值范围是______； 下表是与的几组对应值． 表中______，______； 如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； 结合画出的函数图象，解决问题： 记所画函数的图象与轴的交点分别为，在的左边，经过点的直线与所画函数的图象的另一个交点为，若的面积为，求，的值． 33.本小题分 海鸭蛋是钦州特产之一，具有较高营养价值某农产品销售公司现进货了千克海鸭蛋，进货成本为元经市场调查，决定采用批发、零售、腌制加工后销售这三种方式出售，其中以零售方式出售需包装成本元千克；腌制加工后销售需加工费元千克加工前后重量变化忽略不计，计划每千克的平均售价如表： 销售方式 批发 零售 腌制加工后销售 售价 元千克批发量超过千克则按元千克出售 元千克 元千克 若经过一段时间，按计划全部售出获得的总利润为元，其中零售千克，且批发量是零售量的倍． 请用含的式子表示：批发的量为______千克；腌制加工的量为______千克． 当批发量超过千克时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 由于受条件限制，最多对千克海鸭蛋进行腌制加工，求该公司按计划全部售完这批海鸭蛋获得的最大利润． 34.本小题分 活动探究：矩形的折叠． 如图，在矩形中，，分别是，的中点，，分别是，上的点，且，将沿着折叠，点的对应点为；将沿折叠，点的对应点为，点，都在矩形内部． 求证：； 判断四边形的形状，并说明理由． 如图，在矩形中，是边上的一个动点，将沿着折叠，点的对应点为，已知，，若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 35.本小题分 某校为了解本校学生对端午节习俗的了解程度，对八、九年级开展了关于端午节的知识竞答活动，满分共分从中分别随机抽取了名学生的成绩成绩均为整数，单位：分进行整理分析，成绩如下： 八年级 九年级 根据以上数据，分析得到以下统计量： 平均数分 中位数分 众数分 方差分 八年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： ______， ______， ______． 抽取的九年级学生中，有一位同学测试成绩为分，他的成绩在这个人中处于______填“中上”“中等”或“中下”水平． 根据上表中的统计量，你认为哪个年级的总体成绩较好？说明理由至少从两个角度说明． 36.本小题分 定义：如果梯形的一条对角线的长等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线． 【概念理解】 如图，在梯形中，，，，，，四边形______填“是”或“不是”和等梯形； 如图，在矩形中，，点在上，，若在上存在点使得四边形是和等梯形，求的长； 【探索发现】 如图，四边形是以为和等线的和等梯形，，、交于点，请判别的形状，并说明理由； 【灵活运用】 如图，点在平行四边形的边上，在边上找一点，使得四边形是以为和等线的和等梯形． 要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点，不写作法，保留作图痕迹 37.本小题分 综合与探究 课本再现： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明： 为了证明该定理，小明同学画出了图形图并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：，分别是的边，的中点； 求证：，且； 知识应用 如图，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点． 求证：四边形是平行四边形． 如图，在四边形中，，，，点是对角线的中点，点是的中点，点是的中点，请你直接写出的周长为______，面积为______． 38.本小题分 舞台升降机是舞台最常用的装置之一，主要功能是用于场面转换时，上下移动布景和演员，一般由底座、交叉撑、轴、液压器和工作台舞台组成如图，是某种舞台升降机的示意图，其工作台舞台由四根长度相等的交叉撑，，，支撑，上面两根交叉撑，与工作台工作台与舞台紧密贴合相连，下面两根交叉撑，与底座相连，轴分别位于四根交叉撑的中点部位点，和连接点点，当舞台升降机上升或下降时，交叉撑形成的交叉角的度数会随之变化． 四边形的形状为______． 当该舞台升降机的交叉撑长为时交叉撑的宽度忽略不计，若交叉角从减小到，舞台升高了多少米？结果保留根号 39.本小题分 如图，在平行四边形中，，，动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． 当点在线段延长线上时，用含的代数式表示线段的长； 连结，是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出的值． 40.本小题分 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图，可看作直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，，，问题就转为“在上求点，使最小”问题．   素材三 【解答过程】如图，连接，交于点，此时的值最小，将延长至点，使得，连接． ，， 在中，， ， 的最小值是．   任务一 【解决问题】代数式的最小值为    ______     ． 任务二 【知识运用】如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄点到河岸的垂直距离为，村庄点到河岸的垂直距离为，且点，到河岸的垂足之间的水平距离为现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为    ______     ． 任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值． 41.本小题分 综合与实践． 【问题背景】平面密铺不仅在数学题目中常见，它在实际生活中也有着广泛的应用平面密铺的特点： 拼接后图形之间没有空隙，也不互相重叠覆盖； 围绕同一个顶点的几个内角加起来正好等于． 【应用】如图，在建筑装饰中，常常可以看到用不同形状和颜色的地砖进行拼接，以达到美观和实用的效果为了更多地了解平面密铺，八班的同学们就多边形的平面密铺进行了一系列的研究，并提出了一些问题． 【问题一】 “对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成          个三角形，得到其内角和是          ”，其中体现的数学思想主要是          思想填“转化”、“整体”或者“类比”． 填表： 正多边形的边数 正多边形每个内角的度数                                  【问题二】 给出下列正多边形：正三角形；正五边形；正六边形；正八边形；用上述正多边形中的一种能够铺满地面的有          填序号 用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是          ． A.内角都是整十数度数 B.边数都是的整数倍 C.内角整除 D.内角整除 【问题三】 是否能用若干个边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺？若能，请求出每一个顶点周围的正三角形和正六边形的个数；若不能，请说明理由． 42.本小题分 如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． 证明：四边形是菱形． 若，，求的长． 43.本小题分 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，，． 求证：四边形是矩形； 若，，求的长． 44.本小题分 数学项目小组为解决某超市购物车从楼到楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息 购物车的尺寸如图所示为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图所示，辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为米． 信息 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运辆购物车，直立电梯一次性最多能转运列长度均为米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： 当辆购物车按图的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是______ ； 求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； 若该超市需转运辆购物车，使用电梯总次数为次为节省时间两种电梯都要使用，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 45.本小题分 宽与长的比是约为的矩形叫做黄金矩形现有一张矩形纸片，宽如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开得黄金矩形． 求证：四边形是正方形； 求的长； 如图，点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 46.本小题分 综合与实践 【问题情境】在书法课上，为了实现图的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列”的问题在学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索． 【操作探索】 操作一：把正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：沿着再一次折叠纸片，使点落在点处，得到折痕，交于点； 操作三：将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕． 【猜想验证】根据以上操作，小华发现点、、三点共线，且 ______ ；线段、、之间的数量关系为：______ ． 小海说：“我发现线段与线段的比值是，即点是线段的三等分点”你认为小海的说法正确吗？请说明理由． 【问题探究】在和的条件下，延长交线段于点，连接交于点，你能发现线段与线段的比值吗？请直接写出答案． 47.本小题分 实验探究： 实验情景示意图   实验使用装置 一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；、、可以视作三个点 滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 图物体静止在轨道上，其到滑轮的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 求绳子的总长度； 图若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $