第07讲 圆有关的概念（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第07讲 圆的有关概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 圆的相关概念辨析 题型2 利用点与圆的位置关系解题 题型3 确定圆的条件与平面内多点作圆 题型4 三角形的外接圆与外心 题型5 尺规作图与综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆、圆心、半径 弦、直径、弧 半圆、等圆、等弧 点与圆的位置关系 确定圆的条件 外接圆、外心 1.理解圆的动态定义和集合定义，掌握圆心、半径的概念，知道圆指的是“圆周”而非“圆面”。 2.理解弦、直径、弧（优弧、劣弧）、半圆、等圆、等弧等基本概念，能准确区分它们之间的异同。 3.掌握点与圆的位置关系的判断方法，能通过比较点到圆心的距离d与半径r的大小关系判定点的位置。 4.理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，掌握过已知点作圆的基本原理。 5.理解三角形的外接圆及外心的概念，掌握三角形外心的性质（外心到三个顶点的距离相等），并了解不同形状三角形外心的位置特征。 学习重点：掌握圆的有关概念（弦、弧、直径等）；熟练运用d与r的数量关系判断点和圆的位置关系；理解“三点确定一个圆”的原理及三角形外接圆的作法。 学习难点：“弦”与“直径”、“优弧”与“劣弧”的概念辨析；理解等弧成立的前提条件（必须在同圆或等圆中）；理解三角形外心的几何位置与三角形形状（锐角、直角、钝角）的关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆的定义 1.圆的定义 （1）动态定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫作圆。 （2）静态理解：圆心为O，半径为r的圆是平面内 的集合。 （3）相关元素： 圆心：固定的端点O。圆心确定 。 半径：线段OP（不论转到什么位置）。半径确定 。 表示方法：以点O为圆心的圆，记作“ ”，读作“圆O”。 2.圆的性质 （1）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是 图形，对称中心是 ； （2）圆是 图形：任何一条直径 都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条 都是圆的对称轴. 即时即练1早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是____，定长是____． 即时即练2有下列说法：①圆是轴对称图形；②圆有无数条对称轴；③圆的任意一条直径都是圆的对称轴；④圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【易错提醒】 (1)定点为圆心，定长为半径，其中圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；圆是一条封闭曲线，说圆指的是圆周，而不是圆面。 (2)强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面。 (3)圆有无数条对称轴；因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”。 知识点02 与圆有关的概念 名称 定义 注意点 弦 连接圆上 的线段 圆内最长的弦是直径。 直径 经过圆心的弦 直径等于半径的 2 倍（d=2r）。 圆弧（弧） 圆上任意两点间的部分 直径的两个端点把圆分成两条半圆。 劣弧 半圆的弧 用两个端点字母表示（如：）。 优弧 半圆的弧 必须用三个字母表示（如：）。 半圆 圆的任意一条直径的两个端点分成的两条弧 半圆既不是劣弧，也不是优弧。 等圆 半径相等的两个圆能够完全重合，叫作等圆 等圆只与半径有关，与位置无关。 等弧 能够 的圆弧叫作等弧 只有 中，长度相等或圆心角度数相等的弧才是等弧。在半径不等的两个圆中，60∘的弧长度不同，不能叫等弧。 即时即练下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P的直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【易错提醒】 (1)无特殊说明时，弧指的是劣弧。 (2)等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；圆中两平行弦所夹的弧相等。 (3补充概念：圆心到弦的距离叫做弦心距。 知识点03 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 文字语言 符号语言 图示 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点P在圆内⟺ 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点P在圆上⟺ 点在圆外 圆外各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点P在圆外⟺ 即时即练已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（ ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【易错提醒】 (1)符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 (2)利用 d 与 r 的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置关系，也可以确定 d 与 r 的数量关系。 知识点04 过已知点作圆 定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 条件 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直线上的三点作圆 理论依据 经过平面内一个点A作圆时，只要以点A以外任意一点为圆心，以这点到点A的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出 个 经过平面内的两个点A，B作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段AB的 上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作 个 经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段AB，BC的 ，以点O为圆心，以OA（或OB，OC）为半径可作出经过A，B，C三点的圆，这样的圆 个 图形 结论 不在同一条直线上的 确定一个圆 即时即练如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【易错提醒】 (1)“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； (2)“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”。 知识点05 三角形的外接圆 1.三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边 的交点，叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 。 2.三角形外心的性质 ①三角形的外心到三角形各顶点的 ； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3.三角形外心的位置 锐角三角形ABC外接圆的圆心O在它的 （如图1）；直角三角形ABC外接圆的圆心O在 （即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形ABC外接圆的圆心O在它的 （如图3）。 即时即练如图中外接圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 【易错提醒】 注意三角形的外接圆与“圆的内接三角形”之间的关系。 题型1 圆的相关概念辨析 【例1】下列结论不正确的是（ A．圆心也是圆的一部分 B．一个圆中最长的弦是直径 C．圆是轴对称图形 D．等弧所在的圆一定是等圆或同圆 【例2】判断下列说法是否正确，如正确，请说明理由；如错误，请举出反例．（注：本题无论正误都需要画图并说明） (1)圆的任意一条弦的两个端点把圆分成优弧和劣弧； (2)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 【易错提醒】 （1）圆的定义概念混淆：易误认为圆心是圆的一部分，或把 “圆（圆周）” 和 “圆面” 等同。圆特指圆周这条封闭曲线，圆心是定点，不属于圆的一部分；只有圆周上的点才属于圆。 （2）等弧的判定条件理解偏差：易仅凭 “长度相等” 就判定两弧是等弧；等弧的核心是能完全重合，必须满足 “同圆或等圆中，度数与长度均相等”，反过来，等弧一定出自同圆或等圆。 【变式1-1】经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【变式1-2】下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（ ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 题型2 利用点与圆的位置关系解题 【例3】如图，一组同心圆的圆心为，半径分别为，以为坐标原点建立直角坐标系，点要求在小圆外，大圆内，则点可能的坐标为（ ） A． B． C． D． 【例4】一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是（ ） A．或 B． C． D．或 【易错提醒】 （1）点到圆的最值问题漏分类：已知点到圆的最大、最小距离求半径时，极易只考虑 “点在圆内” 或 “点在圆外”其中一种情况，导致漏解；该题型必须分点在圆内、点在圆外两类讨论。 （2）坐标判定两步法：先用勾股定理算出点到圆心的距离d，再与半径r比对：d<r⇔点在圆内，d=r⇔点在圆上，d>r⇔点在圆外；同心圆问题分别对比两个半径，验证是否落在区间范围内。 【变式2-1】已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式2-2】在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 题型3 确定圆的条件与平面内多点作圆 【例5】说法正确的是（ ） A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意一点 B．同一平面内，过两点A，B的圆的圆心在一条直线上 C．过三点A，B，C的圆的圆心有且只有一个 D．过四点A，B，C，D的圆不存在 【例6】已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）核心原则：所有题目围绕核心定理展开 ——不在同一直线上的三个点确定一个圆；凡是涉及 “三点作圆” 的判断，先验证三点是否共线。 （2）四点定圆分类枚举法：按共线程度分四类快速判断，可能的个数为 0、1、3、4，不可能为 2。 【变式3-1】如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3-2】平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　） A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4 题型4 三角形的外接圆与外心 【例7】如图，为锐角三角形ABC的外接圆，有下列结论：①；②若，则；③若，则直线．其中错误的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例8】如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______． 【易错提醒】 （1）外心核心判定法：抓住外心的本质——三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等（OA=OB=OC）；判断外心时直接验证三点距离是否全相等，无需推导垂直平分线。 （2）组合图形外心快速判断：遇到外心搭配正方形、菱形等图形时，先列出所有从O出发的线段长度，统一用外接圆半径r表示，长度相等则共外心，长度不等则不是。 【变式4-1】如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（ ） A．是的外心，不是的外心 B．是的外心，不是的外心 C．是的外心，不是的外心 D．是的外心，不是的外心 【变式4-2】如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为_______． 题型5 尺规作图与综合应用 【例9】如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【例10】按要求作图． (1)作的外接圆；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)是外的一点，以为旋转中心，将按顺时针方向旋转90度，作出经旋转后的图形，（尺规和量角器作图，保留作图痕迹，不写作法） 【易错提醒】 找圆心通用两步法：在圆弧上任选两条弦，分别作出它们的垂直平分线，两条线的交点即为圆心；格点题优先选择水平、竖直方向的弦，中垂线更易快速画出。 【变式5-1】如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（ ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【变式5-2】如图，在 5×5 的正方形网格中，点A，B，C 都在小正方形的顶点上， 一条圆弧经过A ，B ，C 三点． (1)请你确定这条圆弧所在圆的圆心 O；连接，则的度数为 ； (2)设最小正方形的边长为1，求的长（结果保留根号）． A组 基础过关 1．已知的半径为．若点在外，则的长可能是（ ） A． B． C． D． 2．已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定 3．下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列说法正确的是（ ） A．经过三个点一定可以作一个圆 B．圆中优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长 C．圆上任意两点都能将圆分成一条劣弧和一条优弧 D．任意一个三角形有且只有一个外接圆 5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，P是BC的中点，若以点P为圆心，画一个半径为3的圆，则点A，点B和圆P的相互位置关系为( ） A．点A在圆P上，点B在圆P外 B．点A在圆P上，点B在圆P内 C．点A在圆P内，点B在圆P外 D．点A在圆P内，点B在圆P上 B组 综合提升 6．数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，半径为4．若点A在内，则实数b的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 7．如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点B作的垂线交于点C．以、为边作矩形，连接．若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 8．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为__________． 9．如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 10．如图在正方形的网格中，点A、B、C均为格点，请仅用无刻度直尺完成下列作图： (1)在图1中，作一个等腰直角三角形； (2)在图2中，作出的外心O． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 圆的有关概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 圆的相关概念辨析 题型2 利用点与圆的位置关系解题 题型3 确定圆的条件与平面内多点作圆 题型4 三角形的外接圆与外心 题型5 尺规作图与综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆、圆心、半径 弦、直径、弧 半圆、等圆、等弧 点与圆的位置关系 确定圆的条件 外接圆、外心 1.理解圆的动态定义和集合定义，掌握圆心、半径的概念，知道圆指的是“圆周”而非“圆面”。 2.理解弦、直径、弧（优弧、劣弧）、半圆、等圆、等弧等基本概念，能准确区分它们之间的异同。 3.掌握点与圆的位置关系的判断方法，能通过比较点到圆心的距离d与半径r的大小关系判定点的位置。 4.理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，掌握过已知点作圆的基本原理。 5.理解三角形的外接圆及外心的概念，掌握三角形外心的性质（外心到三个顶点的距离相等），并了解不同形状三角形外心的位置特征。 学习重点：掌握圆的有关概念（弦、弧、直径等）；熟练运用d与r的数量关系判断点和圆的位置关系；理解“三点确定一个圆”的原理及三角形外接圆的作法。 学习难点：“弦”与“直径”、“优弧”与“劣弧”的概念辨析；理解等弧成立的前提条件（必须在同圆或等圆中）；理解三角形外心的几何位置与三角形形状（锐角、直角、钝角）的关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆的定义 1.圆的定义 （1）动态定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫作圆。 （2）静态理解：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合。 （3）相关元素： 圆心：固定的端点O。圆心确定圆的位置。 半径：线段OP（不论转到什么位置）。半径确定圆的大小。 表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 2.圆的性质 （1）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； （2）圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 即时即练1早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是____，定长是____． 【答案】 圆心 半径 【分析】根据圆的集合定义直接回答即可． 【详解】解：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是圆心，定长是半径． 故答案为：圆心，半径． 即时即练2有下列说法：①圆是轴对称图形；②圆有无数条对称轴；③圆的任意一条直径都是圆的对称轴；④圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质，掌握圆是轴对称图形，对称轴有无数条，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴是解题的关键． 根据圆的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：① 圆是轴对称图形， 故①说法正确，符合题意； ② 圆的对称轴是经过圆心的直线，且有无数条， 故②说法正确，符合题意； ③直径是线段，而对称轴是直线，所以 直径本身不是对称轴，故③说法错误，不符合题意； ④圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，故④说法正确，符合题意； 故 正确的个数是， 故选：C． 【易错提醒】 (1)定点为圆心，定长为半径，其中圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；圆是一条封闭曲线，说圆指的是圆周，而不是圆面。 (2)强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面。 (3)圆有无数条对称轴；因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”。 知识点02 与圆有关的概念 名称 定义 注意点 弦 连接圆上任意两点的线段 圆内最长的弦是直径。 直径 经过圆心的弦 直径等于半径的 2 倍（d=2r）。 圆弧（弧） 圆上任意两点间的部分 直径的两个端点把圆分成两条半圆。 劣弧 小于半圆的弧 用两个端点字母表示（如：）。 优弧 大于半圆的弧 必须用三个字母表示（如：）。 半圆 圆的任意一条直径的两个端点分成的两条弧 半圆既不是劣弧，也不是优弧。 等圆 半径相等的两个圆能够完全重合，叫作等圆 等圆只与半径有关，与位置无关。 等弧 能够完全重合的圆弧叫作等弧 只有在同圆或等圆中，长度相等或圆心角度数相等的弧才是等弧。在半径不等的两个圆中，60∘的弧长度不同，不能叫等弧。 即时即练下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P的直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的基本概念，包括弦、直径、弧的定义和性质，掌握这些知识是解题的关键． 逐一分析各说法是否正确：①弦是线段而非直线；②直径过圆心，被圆心平分；③过圆内非圆心的点有且只有一条直径，过圆心则有无数条；④弧是圆的一部分． 【详解】解：①：弦是圆上两点间的线段，而非直线，故错误； ②：直径是过圆心的弦，圆心是直径的中点，因此被圆心平分，故正确； ③：若点为圆心，过的直径有无数条；若非圆心，则有且只有一条直径过，故错误； ④：弧是圆上两点间的部分，属于圆的一部分，正确．故选：B． 【易错提醒】 (1)无特殊说明时，弧指的是劣弧。 (2)等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；圆中两平行弦所夹的弧相等。 (3补充概念：圆心到弦的距离叫做弦心距。 知识点03 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 文字语言 符号语言 图示 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点P在圆内⟺d<r 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点P在圆上⟺d=r 点在圆外 圆外各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点P在圆外⟺d>r 即时即练已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（ ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 【易错提醒】 (1)符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 (2)利用 d 与 r 的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置关系，也可以确定 d 与 r 的数量关系。 知识点04 过已知点作圆 定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 条件 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直线上的三点作圆 理论依据 经过平面内一个点A作圆时，只要以点A以外任意一点为圆心，以这点到点A的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点A，B作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段AB，BC的垂直平分线的交点O，以点O为圆心，以OA（或OB，OC）为半径可作出经过A，B，C三点的圆，这样的圆只有一个 图形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 即时即练如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 【易错提醒】 (1)“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； (2)“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”。 知识点05 三角形的外接圆 1.三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 2.三角形外心的性质 ①三角形的外心到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3.三角形外心的位置 锐角三角形ABC外接圆的圆心O在它的内部（如图1）；直角三角形ABC外接圆的圆心O在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形ABC外接圆的圆心O在它的外部（如图3）。 即时即练如图中外接圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点，分别作垂直平分线，交点为外心，再过外心分别向轴，轴的垂线，确定坐标． 【详解】解：外接圆圆心的坐标为．    故选C． 【易错提醒】 注意三角形的外接圆与“圆的内接三角形”之间的关系。 题型1 圆的相关概念辨析 【例1】下列结论不正确的是（ A．圆心也是圆的一部分 B．一个圆中最长的弦是直径 C．圆是轴对称图形 D．等弧所在的圆一定是等圆或同圆 【答案】A 【分析】根据圆的相关概念进行逐一判断即可． 【详解】解：A、圆心不是圆的一部分，圆指圆周，故本选项符合题意； B、一个圆中最长的弦是直径，故本选项不符合题意； C、圆是轴对称图形，过圆心的直线都是对称轴，故本选项不符合题意； D、等弧所在的圆一定是等圆或同圆，故本选项不符合题意； 故选：A． 【例2】判断下列说法是否正确，如正确，请说明理由；如错误，请举出反例．（注：本题无论正误都需要画图并说明） (1)圆的任意一条弦的两个端点把圆分成优弧和劣弧； (2)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 【答案】(1)不正确，反例见解析 (2)不正确，反例见解析 【分析】本题主要考查了圆．熟练掌握弦，直径，弧，垂径定理推论，是解决本题的关键． （1）非直径弦分圆成优弧和劣弧，直径弦分圆两条等弧； （2）平分非直径弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 【详解】（1）答：不正确．直径弦的两个端点把圆分成两条等弧．如图：； （2）答：不正确．平分直径弦的直径不一定垂直于直径弦，并且不一定平分直径弦所对的两条弧． 如图：直径平分弦，但是不垂直，，． 【易错提醒】 （1）圆的定义概念混淆：易误认为圆心是圆的一部分，或把 “圆（圆周）” 和 “圆面” 等同。圆特指圆周这条封闭曲线，圆心是定点，不属于圆的一部分；只有圆周上的点才属于圆。 （2）等弧的判定条件理解偏差：易仅凭 “长度相等” 就判定两弧是等弧；等弧的核心是能完全重合，必须满足 “同圆或等圆中，度数与长度均相等”，反过来，等弧一定出自同圆或等圆。 【变式1-1】经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【答案】 无数 直径 【分析】本题主要考查了弦的概念，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据连接圆上任意两点间的线段是弦，经过圆内一点可以作无数条直线与圆相交，从而形成无数条弦；根据圆中最长的弦是直径即可解答． 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． 【变式1-2】下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（ ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可． 【详解】圆周上的各点是组成圆的要素，故①正确； 以圆心为端点，另一个端点在圆上的线段是圆的半径，故②错误； 同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故③正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故④错误． 故选：C． 题型2 利用点与圆的位置关系解题 【例3】如图，一组同心圆的圆心为，半径分别为，以为坐标原点建立直角坐标系，点要求在小圆外，大圆内，则点可能的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外，点在圆上，点在圆内，由此即可判断． 【详解】解：A、由勾股定理得到，因此在大圆外，故A不符合题意； B、在小圆上，故B不符合题意； C、由勾股定理得到，因此在大圆上，故C不符合题意； D、由勾股定理得到，因此，得到P在小圆外，大圆内，故D符合题意． 故选：D． 【例4】一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是（ ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查圆的基本性质，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，有两种情况：当此点在圆内；当此点在圆外；分别求出半径值即可． 【详解】解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，则： 此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离 有两种情况： 当此点在圆内时，如图所示， 半径； 当此点在圆外时，如图所示， 半径； 故圆的半径为或故选：． 【易错提醒】 （1）点到圆的最值问题漏分类：已知点到圆的最大、最小距离求半径时，极易只考虑 “点在圆内” 或 “点在圆外”其中一种情况，导致漏解；该题型必须分点在圆内、点在圆外两类讨论。 （2）坐标判定两步法：先用勾股定理算出点到圆心的距离d，再与半径r比对：d<r⇔点在圆内，d=r⇔点在圆上，d>r⇔点在圆外；同心圆问题分别对比两个半径，验证是否落在区间范围内。 【变式2-1】已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【变式2-2】在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 题型3 确定圆的条件与平面内多点作圆 【例5】说法正确的是（ ） A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意一点 B．同一平面内，过两点A，B的圆的圆心在一条直线上 C．过三点A，B，C的圆的圆心有且只有一个 D．过四点A，B，C，D的圆不存在 【答案】B【分析】此题考查了确定圆的条件，熟练掌握确定圆的条件是解题的关键． 【详解】解：过一点的圆的圆心可以是平面上除点外的任意点，选项错误； 过两点的圆的圆心在一条直线上，在的垂直平分线上，选项正确； 过不在同一直线上三点的圆的圆心只有一个点，即三角形的外心，选项错误； 过四点的圆存在，比如正方形的外接圆，选项错误． 故选B 【例6】已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 【易错提醒】 （1）核心原则：所有题目围绕核心定理展开 ——不在同一直线上的三个点确定一个圆；凡是涉及 “三点作圆” 的判断，先验证三点是否共线。 （2）四点定圆分类枚举法：按共线程度分四类快速判断，可能的个数为 0、1、3、4，不可能为 2。 【变式3-1】如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【变式3-2】平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　） A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4 【答案】C 【分析】根据四个点在平面上不同的位置确定有四种情况，分别讨论构成圆的个数即可得到答案. 【详解】如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆． 故选：C． 题型4 三角形的外接圆与外心 【例7】如图，为锐角三角形ABC的外接圆，有下列结论：①；②若，则；③若，则直线．其中错误的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆和等腰三角形的性质，熟练掌握相对应的知识点是解答本题的关键． 通过分析每个结论的正确性来判断错误结论的数量即可． 【详解】解：∵为锐角的外接圆， ∴ 当时，，故结论①②正确，不符合题意； 若，则直线，直线不一定垂直于，故结论③错误，符合题意； 故选：B． 【例8】如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，圆的确定，连接，根据网格特点和三角形的外心的性质，得到的中垂线的交点即为圆心，根据点的坐标，确定圆心的坐标即可． 【详解】解：如图，由题意，点即为弧所在圆的圆心，且点恰好是坐标原点， 故弧所在圆的圆心坐标是． 【易错提醒】 （1）外心核心判定法：抓住外心的本质——三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等（OA=OB=OC）；判断外心时直接验证三点距离是否全相等，无需推导垂直平分线。 （2）组合图形外心快速判断：遇到外心搭配正方形、菱形等图形时，先列出所有从O出发的线段长度，统一用外接圆半径r表示，长度相等则共外心，长度不等则不是。 【变式4-1】如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（ ） A．是的外心，不是的外心 B．是的外心，不是的外心 C．是的外心，不是的外心 D．是的外心，不是的外心 【答案】D 【分析】根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可． 【详解】解：连接、、， 为锐角三角形的外心， ， 四边形为正方形， ， ，即不是的外心， ，即是的外心， ，即是的外心， ，即不是的外心， 故选：D． 【变式4-2】如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，，，则点是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据图中阴影部分的面积扇形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，，，则点是外接圆的圆心， 由题意得：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 图中阴影部分的面积扇形的面积的面积的面积 ， 故答案为：． 题型5 尺规作图与综合应用 【例9】如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断． 【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心． 故选：B． 【例10】按要求作图． (1)作的外接圆；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)是外的一点，以为旋转中心，将按顺时针方向旋转90度，作出经旋转后的图形，（尺规和量角器作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，三角形的外接圆与外心，旋转作图． （1）分别作和的垂直平分线交于点，再以为圆心为半径画圆即为的外接圆； （2）分别画出，，按顺时针方向旋转90度后的对应线段，，，再连接三角形即可． 【详解】（1）如图，即为所求： （2）如图，即为所求： 【易错提醒】 找圆心通用两步法：在圆弧上任选两条弦，分别作出它们的垂直平分线，两条线的交点即为圆心；格点题优先选择水平、竖直方向的弦，中垂线更易快速画出。 【变式5-1】如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（ ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方法． 首先利用尺规做出和所在圆的圆心，进而求解即可． 【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心， ∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离 ∴所在圆的圆心到线段的距离更小． 故选：B． 【变式5-2】如图，在 5×5 的正方形网格中，点A，B，C 都在小正方形的顶点上， 一条圆弧经过A ，B ，C 三点． (1)请你确定这条圆弧所在圆的圆心 O；连接，则的度数为 ； (2)设最小正方形的边长为1，求的长（结果保留根号）． 【答案】(1) 图中点O即为所求． (2) 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、勾股定理、圆心的缺点等知识，正确确定圆心是解题的关键． （1）线段、线段的垂直平分线的交点即为圆心O．图中点O即为所求．易知，即可推出； （2）利用弧长公式计算即可解答． 【详解】（1）解：线段、线段的垂直平分线的交点即为圆心O． ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：． （2）解：在中， ∵， ∴的弧长． A组 基础过关 1．已知的半径为．若点在外，则的长可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键：若圆的半径为，当点到圆心的距离时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 按照判断点与圆的位置关系的方法进行判断即可． 【详解】解：点在外， ， 故选：． 2．已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴半径， ∴点P在外． 故选：B． 3．下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆中圆心角、弧、弦之间的关系，需注意“在同圆或等圆中”这一前提条件． 【详解】解：①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故①错误； ②相等的弧所对的弦相等，等弧定义隐含同圆或等圆，故②正确； ③相等的弦所对的弧相等，该说法错误，在同圆或等圆中，一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），这两条弧通常不相等（除非弦为直径），因此相等的弦所对的弧不一定相等，故③错误； ④半径相等的两个半圆，弧长相等且均为半圆，故是等弧，故④正确， ∴正确的有②和④，共2个， 故选：B． 4．下列说法正确的是（ ） A．经过三个点一定可以作一个圆 B．圆中优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长 C．圆上任意两点都能将圆分成一条劣弧和一条优弧 D．任意一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】D 【分析】根据优弧，劣弧的定义，“不在同一条直线上的三点，确定一个圆”，三角形的外接圆的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】∵经过不在同一条直线上的三点，一定可以作一个圆， ∴A错误， ∵在同一个圆中，优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长，不同圆中，无法比较， ∴B错误， ∵当圆上两点的连线是直径时，两条弧都是半圆， ∴C错误， ∵任意一个三角形有且只有一个外接圆， ∴D正确． 故选D． 5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，P是BC的中点，若以点P为圆心，画一个半径为3的圆，则点A，点B和圆P的相互位置关系为( ） A．点A在圆P上，点B在圆P外 B．点A在圆P上，点B在圆P内 C．点A在圆P内，点B在圆P外 D．点A在圆P内，点B在圆P上 【答案】A 【分析】先连接AP，得到BP=CP=4，利用勾股定理求出AP=3，即可判断点与圆的位置关系. 【详解】连接AP， ∵BC＝8，P是BC的中点， ∴BP=CP=4，∠BPA=90， ∴AP= , ∵点P为圆心，半径为3, ∴点A在圆上，点B在圆外. 故选A. B组 综合提升 6．数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，半径为4．若点A在内，则实数b的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系及数轴上两点的距离，根据点与圆的位置关系得出点A到圆心B的距离范围，再结合数轴上两点间的距离公式列出关于b的不等式，进而求解b的取值范围． 【详解】解：∵点A在内， ∴， ∵点A表示实数6，点B表示实数b， ∴， ∴， ∴， 由得， 由得， ∴， 故选：D． 7．如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点B作的垂线交于点C．以、为边作矩形，连接．若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】连接，根据矩形的性质得到，进而求出的半径，再利用勾股定理求出长，利用求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， 、， ， 在中，由勾股定理得：， ． 8．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为__________． 【答案】 【分析】本题考查了由弧确定所在圆的圆心，勾股定理． 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，进而根据勾股定理作答即可． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：    则圆心是， 则圆的半径为. 故答案为：． 9．如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【答案】G 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点． 【详解】解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． 10．如图在正方形的网格中，点A、B、C均为格点，请仅用无刻度直尺完成下列作图： (1)在图1中，作一个等腰直角三角形； (2)在图2中，作出的外心O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理作图即可； （2）取格点M，N，连接，取格点E，F，连接，交于点D，取格点G，连接，交于点O，则点O即为所求作的的外心O． 【详解】（1）解：如图1，三角形即为所求的等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴三角形是等腰直角三角形； （2）解：如图2，点O即为所求的的外心O． ∵四边形是正方形， ∴垂直平分， ∵四边形是矩形， ∴点D是的中点． ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴点O是的外心． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $