第06讲 随机事件的概率（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第06讲 随机事件的概率 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 事件的与概率 题型2 简单的等可能概率计算 题型3 放回与不放回条件下的概率求法 题型4 用列举法判断游戏公平性 题型5 频率与概率关系 题型6 计算某事件的频率并估计概率 题型7 利用频率估计总体数量（标记重捕法） 题型8 概率在转盘抽奖中的应用 题型9 利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型10 概率的综合实际应用（如估算密码概率） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 随机事件 概率、频率 等可能事件、 列举法、列表法、树状图法 游戏公平性 频率估计概率 标记重捕法 概率的应用 1.理解必然事件、不可能事件、随机事件（不确定事件）的概念，能根据生活经验准确区分不同类型的事件。 2.理解概率的意义，掌握简单随机事件概率的计算公式​，能进行基础的概率计算与可能性大小比较。 3.掌握运用列表法或画树状图法枚举随机事件发生的所有等可能结果，能有效解决“放回”与“不放回”两种条件下的概率问题。 4.理解大量重复试验时频率稳定于概率的规律，掌握利用频率估计概率的统计思想与基本方法。 5.能运用概率知识解决生活中的实际问题，如判断游戏规则的公平性、利用标记重捕法估算群体总数、计算中奖率与密码概率等综合应用。 学习重点：理解随机事件的概念及概率的意义；熟练掌握运用列表法或画树状图法求简单随机事件概率的方法；理解频率的稳定性，能通过大量重复试验用频率来估计概率。 学习难点：正确区分“放回”与“不放回”抽样对事件结果总数的影响，并准确画出树状图或列表进行分类讨论；深刻理解频率与概率的区别与联系；能将抽象的概率模型（如标记重捕法、游戏公平性推理）正确应用于实际复杂情境的建模与求解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 随机事件 1.事件的定义及分类 在一定条件下，事件可以分为三大类： 必然事件：在一定条件下一定会发生的事件。 不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件。 不确定事件（随机事件）：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件。 2.事件发生的可能性大小 事件发生的可能性大小通常是由事件发生的条件决定的。 在相同条件下，可以通过比较各事件发生的条件及其对事件发生的影响，来比较事件发生的可能性大小。 3.确定事件所有可能结果的方法（列表法与树状图法） 列表或画树状图是用来确定事件发生的所有可能结果的常用方法，它可以帮助我们分析问题，避免重复和遗漏，既直观具体又条理分明。 （1）列表法： 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目相对较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 （2）树状图法： 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图。 树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 即时即练将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（ ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 【答案】D 【详解】解：∵每次转出的数字都大于或等于1， ∴两次转出的数字和大于1是必然事件； 两次转出的数字和等于6是随机事件； 两次转出的数字差等于0是随机事件； 最大数字为6，最小数字为1，差的绝对值最大为5， 两次转出的数字差等于6是不可能事件，故D选项符合题意． 【易错提醒】 (1)必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”。 (2)列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率。 (3)列表法和树形图法都适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题。 (4)在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。 知识点02 简单随机事件的概率 1.概率的定义 我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率。 符号表示：一般用P表示，事件A发生的概率记为P(A)。 2.概率的取值范围 事件的概率可以用数轴上的点表示： 必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1； 不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0； 随机事件发生的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1。 3.概率的计算公式 如果某随机事件发生的所有可能结果的个数有限，且各种结果发生的可能性相等、互相排斥（结果总数为n），事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为： ​ 4.游戏公平性判断 机会均等：指在同一随机事件中，参与游戏的各方，其获胜（或达到指定目标）的概率相等。 判断标准：比较双方获胜的概率，如果双方获胜的概率相等，则游戏规则公平；否则就不公平。 放回抽样（有放回）：某事件发生后，将其放回原总体，再进行下一次抽取。这种情况下，每一次抽样的条件完全相同，样本总体的总数n始终不变。 不放回抽样（无放回）：某事件发生后，不再放回原总体，直接进行下一次抽取。这种情况下，样本总体的基数随着抽取次数增加而不断减少。 即时即练为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．山药，每名学生随机选择其中一种． (1)小慧选择玉米的概率是_______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解： 由题意可知，共有3种等可能的选择结果，小慧选择玉米的结果只有1种 因此小慧选择玉米的概率为； （2）解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中小慧和小敏选择不同品种粗粮的结果有6种， ∴小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率是． 【易错提醒】 (1)运用概率公式时，必须首先确定所有可能的结果发生的概率都是相等的，且总数有限。若遇到扇形的圆心角不相等的不等可能情况，可以通过“等分”的方式将其转化为等可能情况再进行枚举。 (2)概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小。 知识点03 用频率估计概率 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近。因此，我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 1.频率与概率的区别和联系 区别：频率是多次试验后某事件发生次数与总试验次数的比值，是一个试验值（变量）；概率是事件发生的可能性大小的理论值，是一个常数。 联系：在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近。 2.频率估计概率的应用 在实际生活中，如果随机事件发生的概率无法用理论公式直接计算得出（如小麦种子的发芽率、某地区降水的概率），我们可以通过大量重复试验的方法，用事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 即时即练工厂对某批零件进行质检，结果如表： 抽取的零件数 优等品的频数 优等品的频率 从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为_______（结果精确到）． 【答案】 【详解】解：由表格中的数据可知，随着抽取零件数增大，优等品的频率逐渐稳定在附近，因此任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为． 【易错提醒】 (1)用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确。 (2)当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率。 知识点04 概率的简单应用 1.概率在生活中的应用 概率能够帮助人们对许多事件作出判断和决策，广泛用于生活、生产和科研等领域，例如：计算中奖率、天气预报的概率等。 2.概率估算总体数量的方法（标记重捕法/样本估总体） 若需要估计一个较大群体（如渔场中鱼群的总数），可以通过以下步骤进行估算： (1)先捞出部分个体（如M条），做好标记后放回。 (2)待标记个体与群体完全混合后，再随机捞取一定数量的样本（如n条）。 (3)计算样本中带有标记的个体比例（如m条）。 (4)利用比例关系估计总体数量N： （即样本中标记比例≈总体中标记比例）或者交叉相乘估算：。 即时即练小明和小红玩游戏：将正面分别写有数字，，，的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后放盒子里，小明从中任意抽取一张卡片，小红从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是负数，则小明获胜，为正数则小红获胜． (1)小明抽到的卡片是负数的概率是________； (2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)不公平 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）分别求出和为负数、和为正数的概率，进行比较即可判断． 【详解】（1）解：∵一共有四张卡片，其中写有负数的卡片有两张， ∴小明抽到的卡片是负数的概率是． （2）解：列表如下：           小明 小红 共有种等可能的结果，其中和为负数的有种，和是负数的概率是，其中和为正数的有4种，和是正数的概率是， ∵， ∴这个游戏不公平． 【易错提醒】 (1)样本中标记个体数占样本总数的比例，等同于总体中标记个体数占总体总数的比例。 (2)标记重捕法公式成立的绝对前提是“待标记个体与群体完全混合后”再进行随机捞取。 (3)标记重捕法得出的结果是一个统计学上的近似值（估算值），而不是精确值。因为捞取是随机的，样本比例会有合理波动。 题型1 事件与概率 【例1】古诗“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（ ） A．必然事件 B．确定事件 C．随机事件 D．不可能事件 【答案】C 【分析】必然事件是一定条件下一定发生的事件，不可能事件是一定条件下一定不发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件，确定事件包含必然事件和不可能事件，根据定义求解即可. 【详解】解：∵“小荷才露尖尖角”时，蜻蜓可能立在上头，也可能不立在上头，事件发生具有不确定性， ∴该描述对应的事件是随机事件. 【例2】将4个红球、5个黄球、2个绿球放入一个不透明袋子里，这些球除颜色外都相同，从中一次性摸出8个球，则“摸到红球”这个事件（ ） A．不太可能发生 B．不可能发生 C．很可能发生 D．必然发生 【答案】D 【分析】先计算所有非红球的总数量，再和摸出的球数比较，即可判断该事件的类型． 【详解】解：∵袋子中非红球（黄球绿球）的总数为个， ∴要一次性摸出8个球，最多只能取出7个非红球， ∴摸出的8个球中至少有1个红球． ∴“摸到红球”这个事件必然发生． 【易错提醒】 （1）可能性大小与确定性：“降水概率90%”仅表示下雨的可能性很大，但并不代表“明天一定会下雨”，它依然是随机事件。 （2）等可能性：“射击一次，中靶与脱靶”虽然是两种结果，但发生的条件完全不同（命中需要多种严苛条件共同作用，而脱靶只需要满足极少条件甚至某种“失误”即可触发），结果并非等可能，因此不能直接套用概率公式P(A)=​。同理，一枚图钉落地，针尖朝上和针尖朝下的概率也不相等（取决于物理重心），不能简单认为是P(A)=​。 （3）在多次重复的独立试验中，每次试验发生的概率互不影响。比如买彩票连续不中，抽签顺序靠后，都不会改变“下一次”中奖的概率。概率是理论上的常数，不受过去偶然结果的影响。 【变式1-1】下列说法正确的是( ) A．天气预报说明天降水概率非常大，则明天会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为 C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向下为不可能事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类与概率的基本概念，根据相关定义逐项判断即可． 【详解】解：A． ∵降水概率大仅说明明天下雨的可能性较高，明天下雨属于随机事件，不是必然事件，∴A说法错误，不符合题意； B． ∵每张彩票的中奖概率相互独立，不受其他彩票结果影响，中奖率表示每张彩票的中奖概率均为，∴最后一张中奖的概率仍为，B说法正确，符合题意； C． ∵10次抛掷的结果不能改变事件的性质，抛掷图钉针尖向下仍是随机事件，不是不可能事件，∴C说法错误，不符合题意； D． ∵射击一次中靶和脱靶不是等可能事件，因此中靶的概率不等于，∴D说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，难度适中．本题用男生和女生人数除以学生总数即为所求的概率，然后比较大小即可． 【详解】解：根据班上25名男生，23名女生，全班共有48位学生， 抽到写有男生名字的纸条的概率是：． 抽到写有女生名字的纸条的概率是：． ， ∴． 故选：A． 题型2 简单的等可能概率计算 【例3】一个布袋里放着个红球和个白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．从布袋中任取个球，取出红球的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率公式，用红球个数除以布袋中球的总个数即可求解． 【详解】解：布袋中球的总个数为 ，红球个数为， 从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ． 【例4】如图是两个可以自由转动的转盘，图1被平均分成9份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（转盘指针停在分界线上，则重新转动）；图2被涂上红色和绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（转盘指针停在分界线上，则重新转动）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)“小明转出的数字是5”是 事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)求小明转出的数字小于7的概率； (3)“小明转出的数字是奇数的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同”，这个说法对吗？为什么？ 【答案】(1)随机；(2)； (3)不对，见解析． 【分析】（1）根据随机事件的定义判断即可； （2）直接根据概率公式计算即可； （3）求出两者概率，比较即可． 【详解】（1）解：“小明转出的数字是5”是随机事件； （2）解：小于数字的数有个， ∴小明转出的数字小于7的概率； （3）解：不对，理由如下： 小明转出的数字是奇数的概率是， 小亮转出的颜色是红色的概率是， ∵， ∴这个说法不对． 【易错提醒】 （1）算出概率前，验证“等可能性”：是→用（数份数/面积/角度）；否→不能直接数，必须看比例（如面积、圆心角、数量占比）。 （2）几何类概率的“总面积-空白面积”法：遇到求阴影面积概率的题，先算总，再算空，最后用减法算阴。 【变式2-1】不透明的袋中有除了颜色外其他都相同的一些球，其中红球12个和白球个，经过若干次试验，发现若从袋中任摸出一个球，恰是红球的概率为，则这个袋中白球大约有________个． 【答案】 【分析】根据摸出红球的概率等于红球个数除以球的总个数，列出关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：根据题意可得：， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴这个袋中白球大约有个． 【变式2-2】一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每个小正方形的边长为，则大正方形的边长为，求出大正方形的面积和阴影面积，利用概率公式求出小球停留在阴影区域的概率． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则大正方形的边长为， 大正方形的面积为，空白图形的面积为， 阴影的面积为， 小球停留在阴影区域的概率为． 题型3 放回与不放回条件下的概率求法 【例5】．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是___________． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，通过列举法求出所有可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于5的结果数，由概率公式即可求得结果． 【详解】解：∵随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球， ∴所有可能的结果有，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 一共16种， 其中两次取出的小球标号的和为5的情况有：，，，共4种， 则两次取出的小球标号的和等于5的概率为． 故答案为：． 【例6】在一个不透明的箱子里装有个红色小球和个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里， (1)请问第一次摸到白球的概率是_____： (2)从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱子里；摇匀后，再摸出个小球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率． 【答案】(1)； (2)两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，概率公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）直接利用概率公式即可求解； （）利用列表法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵箱子里装有个红色小球和个白色小球， ∴第一次摸到白球的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： 红 红 红 白 白 红 红红 红红 红红 白红 白红 红 红红 红红 红红 白红 白红 红 红红 红红 红红 白红 白红 白 红白 红白 红白 白白 白白 白 红白 红白 红白 白白 白白 一共有种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有种， ∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 【易错提醒】 （1）“放回”与“不放回” ①放回意味着第一次摸走球后，袋子里的球恢复了原样，第二次摸球的条件未变，总结果数n不变； ②不放回意味着第一次摸走球后，袋子里少了一个球，第二次可摸的球总数要减1。 （2）选择合适方法： ①放回问题→首选列表法：因为放回问题往往出现对称的网格，列表非常清晰，不容易遗漏。 ②不放回问题→首选树状图法：因为不放回问题第二层分支会变少，画树状图能直观体现“降级”的过程，比列表法更不容易出错。 【变式3-1】在一个不透明的袋子中装有2个绿球、3个红球，每个球除颜色外都相同，小明同学从袋中随机摸出1个球（不放回）后，小亮同学再从袋中随机摸出1个球；两人摸到不同颜色球的概率是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，其中两人摸到不同颜色球的结果数有12种， ∴两人摸到不同颜色球的概率是． 【变式3-2】小洛和他的伙伴们设计了一个摸球试验：将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋，每次搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．在老师的帮助下，小洛和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，如图是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数 2000 4000 6000 7000 8000 9000 10000 摸到黑球的次数 478 1027 1460 1728 2017 2234 2509 摸到黑球的频率 0.239 0.257 0.243 0.247 0.252 0.248 0.251 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是_____；(保留两位小数) (2)估算袋中白球的个数； (3)按照（2）的估算结果，若小洛同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 【答案】(1)；(2)个；(3) 【分析】本题考查利用频率估计概率、树状图法求概率，关键在于理解频率稳定值可估计概率，以及掌握概率的计算公式． （1）当试验次数足够多时，摸到黑球的频率会稳定在其概率附近，观察表格中频率的稳定趋势即可估计概率； （2）设白球个数为未知数，根据黑球的概率公式列方程求解，注意检验方程的解； （3）通过树状图法画出无放回摸球的所有等可能结果，再找出“一个黑球一个白球”的结果数，利用概率公式计算概率． 【详解】（1）解：由表格数据可知，随着摸球次数增多，摸到黑球的频率逐渐稳定在左右， ∴估计从袋中摸出一个黑球的概率是； 故答案为：． （2）解：设袋中白球有个， ∵摸出黑球的概率估计为，袋中总球数为个， ∴，解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义； 答：袋中白球的个数为3个． （3）解：设黑球为，三个白球分别为、、，画树状图如下： 由树状图可以看出，共有种等可能的结果，其中摸出一个黑球一个白球的结果有种， ∴(摸出一个黑球一个白球)． 题型4 用列举法判断游戏公平性 【例7】小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（ ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 【答案】D 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及小刚获胜的结果数、小明获胜的结果数、小红获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果， 其中小刚获胜的结果有：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布），共3种，小明获胜的结果有：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3种，小红获胜的结果有：（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀），共3种， ∴小刚获胜的概率为，小明获胜的概率为，小红获胜的概率为． ∴小刚、小红、小明获胜的概率一样大， 故选：D． 【例8】如图，甲、乙分别是4等分、3等分的两个圆转盘，指针固定，转盘转动停止后，指针指向某一数字． (1)直接写出转动甲盘停止后指针指向数字“0”的概率； (2)小华和小明利用这两个转盘做游戏，两人分别同时转动甲、乙两个转盘，停止后，指针各指向一个数字，若两数字之和为正数则小华胜；若两数字之和为负数则小明胜．你认为这个游戏公平吗？请你利用列举法说明理由． 【答案】(1) (2)不公平；理由见解析 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）利用列举法列出所有符合题意的情况数，再分别求出小明和小华获胜的概率，比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知转盘中共有四个数，其中“”只有一种， ∴转动甲盘停止后指针指向数字“0”的概率为； （2）解：不公平，理由如下： 两人分别同时转动甲、乙两个转盘，停止后的情况有，由两个转盘各转出一数字之和的所有可能情况有12种，每种情况出现的可能性相同，其中两个数字之和正数有4个，负数有5个， ∴小华胜的概率为，小明胜的概率为， ∴小华胜和小明胜的概率不一样， ∴不公平． 【易错提醒】 （1）只要是“双方随机独立选择”，就必须把所有的可能性穷举出来。 （2）在判断公平性的逻辑推理时，如果游戏只有“甲胜”和“乙胜”两种情况（无平局），那么P(乙胜)=1−P(甲胜)。无需再费力去数乙胜的结果数。 【变式4-1】小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（ ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 【答案】A 【分析】本题考查列表饭计算概率，游戏公平性判断，掌握概率计算方法是解决问题的关键．先用列表法列出两个转盘转动的所有等可能结果，再分别计算小颖（配成紫色）和小亮（未配成紫色）对应的概率，比较概率大小判断规则是否公平． 【详解】解： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 共有六种等可能性结果，其中能配成紫色的有三种，不能配成紫色的有三种， ∴， ∴规则公平． 故选：A． 【变式4-2】甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为3，4，5的三张扑克牌中随机抽取一张记下数字后放回，再随机抽取一张记下数字．如果所抽的两张牌面数字的积为奇数，那么甲获胜；如果所抽取的两张牌面数字的积为偶数，那么乙获胜． (1)请用画树状图或列表的方法求出甲获胜的概率； (2)这个游戏规则是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了利用列表法或画树状图求概率，解题的关键是掌握列表法和画树状图． （1）利用列表法求概率即可； （2）根据概率的大小比较，判定游戏的公平性即可． 【详解】（1）解：列表如下： 第二次 第二次 第一次 3 4 5 3 4 5 因为抽取的结果共有9种等可能，其中积为奇数的有4种等可能， ； （2）解：这个游戏规则不公平，理由如下： ，， ，所以这个游戏规则不公平． 题型5 频率与概率关系 【例9】在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（ ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 【例10】明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有  1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 【易错提醒】 （1）概率是一个理论值，表示事件发生的可能性大小，它反映的是大量重复试验下的长期平均趋势。 （2）频率（f）：试验出来的结果（一个变化的值）。即使做了一万次实验，它依然可能在 0.49 到 0.51 之间细微波动。 （3）单次或少数几次的试验频率，不能作为估计概率的依据。必须是“大量重复试验”后，频率才能稳定在概率附近。 【变式5-1】某事件发生的概率为，则下列说法不正确的是（ ） A．无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右 B．无数次实验中，该事件平均每次出现次 C．每做次实验，该事件就发生次 D．逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和逐渐接近 【答案】C 【分析】利用概率的意义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右，符合概率意义，故A选项不符合题意； B、无数次实验中，该事件平均每4次出现1次，符合概率意义，故B选项不符合题意； C、每做4次试验，该事件可能发生一次，也可能发生两次，也有可能不发生，故错误，符合题意； D、逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和逐渐接近，符合概率意义，不符合题意，故选C． 【变式5-2】在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小亮做摸球试验，他将盒子内的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复上述过程，对试验结果进行统计后，小玲得到下表中的数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 1500 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 903 摸到白球的频率 0.70 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 则下列结论中正确的是（　　） A．n越大，摸到白球的概率越接近0.7 B．当n=2000时，摸到白球的次数m=1200 C．当n很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近 D．这个盒子中约有28个白球 【答案】C 【分析】根据表中信息可知多次试验的频率稳定值0.6附近，及概率公式解答即可. 【详解】由表中信息可知n越大时摸到白球的概率越接近0.6，故A选项错误， 当n=2000时，摸到白球的次数是随机事件，m不一定是1200，故B选项错误， 当n很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近，故C选项正确， 根据稳定的频率等于概率，盒子中约有400.6=24个白球，故D选项错误， 故选C. 题型6 计算某事件的频率并估计概率 【例11】将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（ ） A．钉尖触地属于随机事件 B．P（钉尖触地）（钉尖朝上） C．因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D．通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 【答案】C 【分析】本题考查随机事件、概率的意义及等可能事件的判断，需依据相关概念逐一分析选项. 【详解】解：∵随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. ∴钉尖触地的结果不确定，属于随机事件，A选项说法正确; ∵抛起图钉后，所有可能结果为钉尖触地和钉尖朝上，二者是对立事件; ∴P（钉尖触地）（钉尖朝上），B选项说法正确; ∵“钉尖触地”和“钉尖朝上”这两种结果发生的可能性不相等，不属于等可能事件, ∴不能得出P（钉尖触地），C选项说法错误; ∵根据频率估计概率的知识，大量重复试验后，频率会逐渐接近概率. ∴D选项说法正确. 故选：C． 【例12】如图1，一个长，宽的矩形内部有一不规则图案（阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机向这个矩形内部随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，整理得到如图2所示的折线统计图，由此可估计该不规则图案的面积大约为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.4，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.4，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.4，于是把0.4作为概率． 设不规则图案的面积为，则有 ， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：A． 【技巧总结】 频率在初始阶段可能起伏较大，但随着试验次数n的增大，它必然逐渐收敛到真实概率的附近。 因此，审题时重点只看试验次数达到几百、几千次后的数据趋势即可。 在解决用试验频率估计概率或反推总体个数/面积的题目时，按以下流程解题： （1）看趋势：先观察折线统计图的后半段、或者频数表中试验次数极大的那一部分，提取出一个稳定的数值（即频率的稳定值，通常四舍五入保留两位小数）。 （2）设方程：将稳定值作为“真实概率”，根据题干设出未知量，依据概率公式建立方程。通用模型： （3）验结果：解出的未知量必须符合实际意义（如球的数量必须是正整数、面积必须大于零），最后规范作答。 【变式6-1】在一个不透明的口袋内装有2个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同． (1)每次从口袋中随机摸出一个球记下颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球记下颜色后放回，重复上述摸球过程，摸球结果的统计数据如下表所示： 摸球的次数 20 50 100 200 500 摸到黑球的次数 8 21 39 78 201 摸到黑球的频率 0.40 0.42 0.39 0.39 0.402 根据上表数据估计：从口袋中随机摸出一个球，摸到黑球的概率为___________．（精确到0.1），袋中白球的个数为___________； (2)根据（1）中估计的白球个数，若从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从口袋中随机摸出一个球记下颜色，求两次摸到的球中至少有一个是黑球的概率． 【答案】(1)；3 (2) 【分析】本题考查频率与概率，概率公式，画树状图或列表法求概率： （1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；利用概率公式列出方程求解即可； （2）列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：观察表格得，从口袋中随机摸出一个球，摸到黑球的概率约为； 设袋中白球的个数为x，根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴估计袋中白球的个数为3； 故答案为：；3； （2）解：将2个黑球，3个白球分别记为黑1，黑2，白1，白2，白3． 列表如下： 第一次 第二次 黑1 黑2 白1 白2 白3 黑1 （黑2，黑1） （白1，黑1） （白2，黑1） （白3，黑1） 黑2 （黑1，黑2） （白1，黑2） （白2，黑2） （白3，黑2） 白1 （黑1，白1） （黑2，白1） （白2，白1） （白3，白1） 白2 （黑1，白2） （黑2，白2） （白1，白2） （白3，白2） 白3 （黑1，白3） （黑2，白3） （白1，白3） （白2，白3） 共有20种结果，这些结果是等可能的 其中摸出的球至少有一个是黑球的结果有14种， 摸出的球至少有一个黑球的概率为． 【变式6-2】小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，他在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下： 掷石子次数石子落在的区域ABC 50次 150次 300次 石子落在圆内（含圆上）的次数m 14 43 93 石子落在阴影内的次数n 19 85 186 （1）随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值． （2）请利用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积． 【答案】（1）；（2）3π． 【分析】（1）根据次数越多，频率越稳定，用300次时石子落在圆内（含圆上）的次数 石子落在阴影内的次数即可得答案.（2）根据石子落在圆内和石子落在阴影内的次数的关系求出圆的面积约占封闭图形ABC面积的比例即可求出封闭图形ABC的大致面积. 【详解】（1）根据统计表，可得石子落在圆内的概率与落在阴影部分的概率之比k==； （2）石子落在圆内和石子落在阴影内的次数关系，随着试验次数的增多，逐渐趋向于为1：2， 所以圆的面积约占封闭图形ABC面积的， 因为S圆=π， 所以封闭图形ABC的面积约为3π． 【点睛】本题考查的是利用频率计算概率在实际生活中的运用，关键是得到阴影与圆的比；用规则图形来估计不规则图形的比是常用的方法． 题型7 利用频率估计总体数量（标记重捕法） 【例13】为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙） 【答案】甲 【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总数即可得到结论． 【详解】解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则 鱼的概率近似，解得x＝2000； 设乙鱼池鱼的总数为y条，则 鱼的概率近似，解得y＝1000； ， 可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池， 故答案为：甲． 【例14】为了估计不透明的袋子里装有多少白球，先从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，那么你估计袋中大约有_____个白球． 【答案】100 【分析】先求出样本中有标记的球出现的频率，再利用用样本估计总体的方法进行计算即可解答． 【详解】解：∵从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记， ∴有标记的球出现的频率为， ∴总体有10÷=100． 故答案为：100． 【易错提醒】 （1）标记重捕法的核心是“样本中的标记比例 ≈ 总体中的标记比例”。 （2）比例公式能够成立的绝对前提是第一次标记的个体放回后，必须与原有群体完全混合均匀。 【变式7-1】承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（ ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【答案】B 【分析】明确标记均匀分布后，标记鱼在总体中的占比等于重捕样本中标记鱼的占比，据此列方程求解即可． 【详解】设池塘里总共有条鱼． ∵标记鱼均匀分布后，总体中标记鱼的占比等于重捕样本中标记鱼的占比， ∴ 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计池塘里有鱼1600条． 【变式7-2】生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群的数量．如在固定区域内用捕虫网捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕虫网捕捉了80只田鼠，其中有16只是被标记的，于是估算该区域田鼠的数量为： （只）． 某研究小组考察了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题： 年龄 A B C D …… 个体数量 92 187 x y …… 注：表中“”表示鱼的年龄年，表示年龄年，表示年龄年，表示年龄为年． (1)年龄为，，的个体数量的平均数为125，年龄在，，，的个体数量的中位数是95，则________，________（其中）． (2)若将年龄为的鱼全部标记后并放回湖泊，充分混合后，捕捉120条鱼，其中被标记鱼有12条，那么该湖泊里一共约有多少条鱼？ (3)现捕获A，B，C，D年龄段的鱼各一条，从中任抓两条，请用列表或画树状图求抓到的是和年龄的鱼的概率． 【答案】(1)， (2)湖泊里一共约有940条鱼 (3) 【分析】本题考查了平均数、中位数、用样本估计总体、用列表或画树状图求概率，解题的关键在于掌握相关概念并熟练运用． （1）本题考查平均数和中位数的概念和计算方法，掌握相关概念即可解题． （2）本题考查用样本估计总体，根据标记鱼的所占比，利用年龄为的个体数量除以所占比即可解题． （3）本题根据题意画出树状图，得到所有情况的种数，找出抓到的是和年龄的鱼的种数，结合概率公式即可求解． 【详解】（1）解：年龄为，，的个体数量的平均数为125， ，解得， 年龄在，，，的个体数量的中位数是95，且， ，解得． 故答案为：，． （2）解：（条）， 答：湖泊里一共约有940条鱼． （3）解：根据题意可画树状图如下： 由图知总共有种可能，其中抓到的是和年龄的鱼的情况有种， 抓到的是和年龄的鱼的概率为． 题型8 概率在转盘抽奖中的应用 【例15】如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（　 　） A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 【答案】A 【详解】解：图1阴影部分为270°，图2阴影部分为240°，图3每份为45°，阴影部分共4份为180°，图4每份为45°阴影部分共5份为225°，所以①②④③， 故选A． 【例16】如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是______． 【答案】/ 【分析】直接利用阴影部分÷总面积=飞镖落在阴影区域的概率，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：阴影部分有4个小扇形，总的有10个小扇形， 故飞镖落在阴影区域的概率是：． 故答案为． 【易错提醒】 （1）非等分转盘的“等量分割法”：如果遇到一个转盘有两个不同圆心角的扇形（如一个是120∘，一个是240∘），为了方便用树状图或列表法枚举，可以将其“割”成大小相等的扇形。 （2）在求解“转盘转动两次后数字之和”、“转两次确定前进几步”等两步转盘概率题时，常选用列表法。 【变式8-1】陕西历史博物馆秦汉馆是国内首个以集中展示秦汉文明缘起、发展和贡献为主题的博物馆．某校组织学生去陕西历史博物馆秦汉馆参观后，校团委开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目：A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．学校制作了如图所示的可自由转动的均匀转盘，将圆形转盘四等分，并分别标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． (1)若该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”，则选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是_________； (2)青青和丽丽是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图，得到共16种等可能的结果，两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的结果有7种，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”， ∴选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是； （2）解：画树状图，如图 共16种等可能的结果，两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的结果有7种， ∴两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率为． 【变式8-2】一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3，…，直到棋子到达终点或超过终点停止． （1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率； （2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率． 【答案】（1）P（指针指向4）＝；（2）P（转动转盘两次能通过游戏）＝． 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可得出答案． 【详解】（1）∵转盘被分成4个大小相等的扇形， ∴P（指针指向4）＝． （2）列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 通过游戏是恰好到达终点即两次指针所指扇形区域数字之和为7， 由表可得共有16种等可能的结果，其中和为7的结果有2种， ∴P（转动转盘两次能通过游戏）＝． 题型9 利用概率计算随机事件发生的平均次数 【例17】事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了概率的意义及概率的简单应用，熟练掌握大量重复试验中事件发生的平均次数等于试验次数乘以事件发生的概率是解题的关键． 根据概率的意义，在大量重复试验中，事件发生的频率趋近于其概率．因此，计算事件平均每次发生的次数，可直接用试验总次数乘以事件的概率． 【详解】解：， 故答案为：． 【例18】3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由； (2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 【答案】(1)丙说的对 (2)900 【分析】本题考查的是树状图法求概率的知识，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三人抽中的情况，然后利用概率公式求得他们抽中的概率，即可得出结论； （2）根据甲抽到黑桃的次数试验总次数甲抽到黑桃的概率，即可得出答案 【详解】（1）解：丙说的对，理由如下： 设3张扑克牌为A、B、C，A为黑桃， 画树状图得： 则所有可能出现的结果有：，，，，，共6种． 甲得到奖励的结果有2种，P（甲中签）； 乙得到奖励的结果有2种，P（乙中签）； 丙得到奖励的结果有2种，P（丙中签）． 因此先抽的人与后抽的人得到奖励的概率相同； （2）解：根据题意得（次）， 答：估算甲抽到黑桃大约900次． 【易错提醒】 在无放回抽签问题（如三人依次抽 3 张牌）中，虽然先抽与后抽的中奖概率相等，但有些学生计算时依然容易把“不放回”当成“放回”去列出错误的概率。无论计算哪一个人的平均中奖次数，都要依据总概率（如）去乘以总试验次数，不能因为顺序不同而私自调整概率基数。 【变式9-1】一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 【答案】4 【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可． 【详解】解：∵产品的抽样合格率为， ∴产品的抽样不合格率为 ∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品 故答案为：4． 【变式9-2】如图，正方形的边长为2，中心为O，从O、A、B、C、D五点中任取两点． （1）求取到的两点间的距离为2的概率； （2）求取到的两点间的距离为的概率； （3）求取到的两点间的距离为的概率． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】试题分析：AB=BC=CD=AD=2,AC=BD=2,OD=OC=OA=OB=,求取到的两点间的距离为2、、2 的概率,也就是求取到这些相等线段的概率，总共有10条线段． 试题解析：解：（1）从O、A、B、C、D五点中任取两点，所有等可能出现的结果有： AB、AC、AD、BC、BD、CD、OA、OB、OC、OD，共有10种， 满足两点间的距离为2的结果有AB、BC、CD、AD这4种， 则P（两点间的距离为2）=． （2）满足两点间的距离为的结果有AC、BD这2种． 则P（两点间的距离为）=． （3）满足两点间的距离为的结果有OA、OB、OC、OD这4种． 则P（两点间的距离为）=． 题型10 概率的综合实际应用（如估算密码概率） 【例19】甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查树状图法与列表法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次传球后，球回到甲、乙、丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．解题的关键是掌握知识点：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图得： ∵共有种等可能的结果，经过次传球后，球回到甲手中的有种情况，回到乙手中的有种情况，回到丙手中的有种情况，回到丁手中的有种情况， ∴经过次传球后，球回到甲手中的概率是， 球回到乙手中的概率是， 球回到丙手中的概率是， 球回到丁手中的概率是， ∵， ∴第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是甲． 故选：A． 【例20】一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（ ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 【答案】B 【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可． 【详解】解：∵取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为； ∵， ∴密码的位数至少需要四位，故选项B正确． 故选：B． 【易错提醒】 （1）密码的位数为n位，并且每一位都是0～9的自然数，如果允许重复，那么全部可能的密码总数是10n，而不是10×n。 （2）像贺卡错位、相邻配对等复杂的限制类计数题，如果总数不大（如4个人），可以不急于套用复杂的容斥公式或排列组合公式，而是直接以某个元素为起点，用画树状图或穷举法逐步推导。 【变式10-1】某寝室有四个同学，每个同学写一张贺卡放在一起，每人抽取一张，要求不能抽取自己写的贺卡，则不同的抽取方案共有______种（用数字作答）． 【答案】9 【分析】本题要根据计数原理求出所抽取的都不是自己所写的贺卡的结果数，第一个人有3种结果，被拿走贺卡的人是第二个人有3种结果，则剩下的两个人只有一种结果，即可求解． 【详解】解：因为甲先去拿一张贺卡，有3种方法， 假设甲拿的是乙写的贺卡， 接下来让乙去拿，乙此时也有3种方法， 则剩下的两个人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去， 这样两人只有一种拿法， 所以总的拿法为种； 故答案为：9． 【变式10-2】某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不是．理由见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算，正确理解题意求出概率是解题的关键． (1) 根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果； (2)用输入一次除以所有可能出现的结果数即可； (3)用概率解释． 【详解】（1）解：这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种， 密码的可能性有：（种）； （2）； （3）不是． 理由：每次尝试解锁是独立的随机事件，且成功概率较小，只有，随机尝试100次仍未成功在概率上是可能的，他可能多次尝试了相同的错误密码，未覆盖到正确的密码． A组 基础过关 1．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．勇士队球星库里在一场比赛中投篮1次，投进篮筐 B．水中捞月 C．开车时，连续三个路口都遇到绿灯 D．任意画一个正多边形，它是轴对称图形 【答案】D 【分析】根据必然事件的定义逐一判断各选项的事件类型即可． 【详解】解：A选项中，投篮1次投进可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意； B选项中，水中捞月一定不会发生，属于不可能事件，不符合题意； C选项中，连续三个路口都遇到绿灯可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意； D选项中，任意正多边形一定是轴对称图形，该事件一定发生，属于必然事件，符合题意． 2．不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（ ） A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大 C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 【答案】B 【分析】本题考查根据频率估计概率，摸到红球的频率为，故概率约为；每次摸球独立且概率不变，因此第101次摸到红球的可能性较大，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 摸球100次，摸到红球90次，且每次摸球后放回搅匀，每次摸球独立， ∴ 摸到红球的频率为，估计概率为， ∴ 第101次摸到红球的概率约为，故摸到红球的可能性较大， 选项A错误，因为总球数未知； 选项B正确； 选项C错误，因为概率不为1； 选项D错误，因为频率不一定精确等于比例， 故选B． 3．一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查一元一次方程的应用，事件的可能性，要使摸到红球和黄球的可能性相等，需使红球与黄球的数量相等。 【详解】设需要再放入x个红球， 放入后，红球有个，黄球有8个， ∵摸到两种球的可能性相等， ∴， 解得 ∴需要放入3个红球， 故选：C 4．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等可能事件概率的计算与电路通路的判断，关键是先确定所有闭合两个开关的等可能情况，再筛选出能使发光的情况，最后利用概率公式计算． 【详解】解：随机闭合开关，，中的两个，所有等可能的情况为：、、，共3种，其中能让灯泡发光的情况只有， ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：A． 5．下列随机事件属于“等可能性事件”的是（ ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 6．盲盒，是指一种商品销售模式，消费者在购买时并不知道具体款式，只有在拆开后才能知晓内容．这种模式通常用于潮流玩具、手办、文具或收藏卡等领域，其核心吸引力在于不确定性带来的惊喜感与收集乐趣．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有的概率开出一种隐藏款玩偶．关于该盲盒的情况，下列说法中正确的是（ ） A．若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 C．若购买个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 D．若购买个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 【答案】C 【详解】解：选项，购买个盲盒可能出现重复款式或开出隐藏款，无法保证集齐种普通款，说法错误； 选项，购买个盲盒也可能出现重复普通款或多次开出隐藏款，无法保证集齐种普通款，说法错误； 选项，共有种不同款式，购买的个盲盒对应个款式结果，至少有个盲盒款式相同，一定会重复出现某款玩偶，说法正确； 选项，开出隐藏款的概率为只代表单次购买开出隐藏款的可能性，购买个盲盒仍有可能都不开出隐藏款，说法错误． 7．有三个事件，事件A：若a，b是实数，则；事件B：打开电视正在播广告；事件C：同时掷两枚质地均匀地标有数字1－6的骰子，向上一面的点数之和是为13，则这三个事件的概率，，的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的概率即可得． 【详解】解：事件是必然事件，则， 事件是随机事件，则， 事件是不可能事件，则， 因此有， 故选：D． 8．某校九年级有300名学生，体育测试中某项目的成绩分布如下：成绩优秀的有90人，良好的有120人，及格的有75人，不及格的有15人．从中任意抽取一名学生，该生成绩及格或良好的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出符合条件“成绩及格或良好”的总人数，再用概率公式计算即可． 【详解】解：∵总学生数为，成绩良好的有人，及格的有人， ∴成绩及格或良好的总人数为 ， ∴任意抽取1名学生，该生成绩及格或良好的概率为 ． 9．某果农种植的砂糖桔优质果和普通果外观无明显区别．为估计果场中优质果的概率，果农随机抽取部分砂糖桔检测，连续抽取300次，其中抽到优质果的次数为240次．下列说法正确的是（ ） A．抽取次数越少，优质果的频率越接近概率 B．此次抽取优质果的频率为 C．从这个果场的砂糖桔中抽中优质果的概率一定是 D．若再抽取100次，抽到优质果的次数一定是80次 【答案】B 【分析】本题主要考查频率与概率的关系，掌握频率的计算方法、频率与概率的区别是解题的关键． 频率是试验中事件发生次数与总试验次数的比值，概率是事件发生的理论可能性，频率随试验次数增多趋近于概率，但二者不能直接等同，且试验结果具有随机性，据此逐项判断即可． 【详解】解：A． 抽取次数越多，优质果的频率越接近概率，故A选项错误，不符合题意； B．此次抽取优质果的频率为，故B选项正确，符合题意； C．频率是概率的估计值，不能确定概率一定为，故C选项错误，不符合题意； D．再抽取100次是随机试验，抽到优质果的次数具有随机性，不一定为80次，故D选项错误，不符合题意． 故选B． 10．桌面上放有六张卡片，卡片上分别写着0，1，2中的一个数字，这些卡片除数字外无其他差别，若随机翻开写着数字“1”的卡片的概率是，写着数字“2”的卡片的概率是，则写着数字“0”的卡片有（ ）张 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先求出数字1和数字2的卡片张数，再用总卡片数减去二者的张数，即可得到数字0的卡片张数． 【详解】解：∵共有6张卡片，随机翻开数字“1”卡片的概率为， ∴数字“1”的卡片张数为； ∵随机翻开数字“2”卡片的概率为， ∴数字“2”的卡片张数为； ∴数字“0”的卡片张数为． B组 综合提升 11．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现 分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了几何概率，勾股定理．根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 故选：D． 12．学校需要从甲、乙、丙、丁、戊五位优秀的班干部中随机选取3人担任某一次升旗仪式的旗手，则同时选中丁、戊的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出从5人中选3人的所有等可能结果数，再求出同时选中丁、戊的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：从5人中选3人的选法为： （甲、乙、丙）、（甲、乙、丁）、（甲、乙、戊）、（甲、丙、丁）、（甲、丙、戊）、（甲、丁、戊）、（乙、丙、丁）、（乙、丙、戊）、（乙、丁、戊）、（丙、丁、戊）， 总共有10种等可能的结果，同时选中丁、戊有3种结果， 则其概率为． 13．某智能仓库共有个储物箱，编号分别为，，，，，管理软件随机分配取货任务，每次分配任务时每个箱子被选中的概率相同，则连续两次分配任务中（每个储物箱可以被重复选择），恰有一次分配到奇数编号储物箱的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图表示出所有可能结果，然后确定恰有一次分配到奇数编号储物箱的结果数，再用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能结果，其中恰有一次分配到奇数编号储物箱的有，，，，，，，，，，，，共种结果， 恰有一次分配到奇数编号储物箱的概率为． 14．下列说法正确的是（ ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 【答案】B 【分析】本题考查概率与频率的基本概念，辨析各选项是否符合概率相关定义即可得出答案． 【详解】解：A选项，∵中奖概率表示每张彩票中奖的可能性为，买张彩票是随机事件，不一定有张中奖， ∴A错误． B选项，∵根据频率的稳定性，掷质地均匀的硬币，当试验次数增大时，正面向上的频率会稳定在概率附近， ∴B正确． C选项，∵概率很小的事件仍有可能发生，不可能事件是一定不发生的事件，概率为，∴C错误． D选项，∵当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，是接近概率，并非等于概率，∴D错误． 15．某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（ ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 【答案】A 【分析】根据题意，先确定所有满足观看次数5次以上的类别，再根据完播率公式计算每个符合条件类别的完播率，然后比较大小后即可解答． 【详解】解：算法要求观看次数达到5次以上才会计算完播率并推荐，四个类别的观看次数分别为18，10，14，18，均大于5，全部符合计算条件． 分别计算各类别完播率如下： 航空航天：； 科学实验：； 电影评论：； 排球技巧：； ∵， ∴航空航天类完播率最高，即平台会重点推荐航空航天类视频． 16．如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（ ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率，折线统计图，画树状图求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．分别求出每项的概率，然后比较即可． 【详解】解：、抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； 、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的概率为，符合题意； 、一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的概率为，不符合题意； 、准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，画树状图如下， 一共有种等可能的结果，两张牌的牌面数字之和等于的结果有种， 所以两张牌的牌面数字之和等于的概率为，不符合题意； 故选：． 17．下列判断错误的是（ ） A．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式 B．一组数据2，5，3，5，6，8的众数和中位数都是5 C．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么甲组队员的身高比较整齐 D．一个不透明的袋子里装有红球、蓝球共20个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个 【答案】C 【分析】根据抽样调查、中位数和众数以及方差的概念，利用频率估计概率的知识逐项分析判断即可． 【详解】解：A.了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，此说法正确，该选项不符合题意； B.将这组数据按从小到大重新排序，即2、3、5、5、6、8，可知众数和中位数都是5，该选项不符合题意； C.根据题意，，则乙组队员的身高比较整齐，该选项符合题意； D.设袋子中有红球x个，根据题意，可得，解得，即袋子中红球的个数可能是5个，该选项不符合题意． 故选：C． 18．体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（ ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意，计算出每一轮比赛队伍的支数，然后求出每一轮抽到轮空概率，结合赢得总决赛的概率，算得答案即可． 【详解】解：∵所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式， ∴第一轮共有17支队伍，第二轮共有9支队伍，第三轮共有5支队伍，第四轮共有3支队伍， ∴第一轮抽中轮空概率为，第二轮抽中轮空概率为，第三轮抽中轮空概率为，第四轮抽中轮空概率为， ∵赢得总决赛概率为， ∴那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为：． 故选：B． 19．桌上放4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（ ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率与游戏、运用画树状图求概率等知识点，用树状图列举出所有情况以及2张牌中有老K的情况数及没有老k的情况数，然后比较即可解答． 【详解】解：设其余3张扑克分别为a,b,c. 共12种情况，含有k的情况有6种，不含k的情况也是6种， ∴两方机会一样． 故选：C． 20．在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可． 【详解】设三行三列的方格棋盘的格子坐标为，其中开始时骰子所处的位置为，则图题（2）所示的位置为，则从到且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为，故选C． C组 挑战突破 21．如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽（）、坎、离、艮（）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（）组成，其中“”表示阳爻，“”表示阴爻． (1)若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是_________________； (2)现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察图形，可得只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，进而根据概率公式，即可求解； （2）记“乾、坤、震、巽”分别为， ，，，根据列表法或画树状图法求解即可． 【详解】（1）解： 共有八个卦象，只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个， ∴从中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是 （2）解：记“乾、坤、震、巽”分别为， ，，． 列表法： 第一卦象第二卦象 树状图： 由表或树状图可得，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 其中满足条件的结果有：，，，，，共6种． 所以所求概率为． 22．某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有________人，表中 的值为________； (2)现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率． 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）根据样本容量等于频数除以所占百分比，扇形统计图的意义求解即可； （2）利用画树状图法或列表法求解即可； 【详解】（1）解：根据题意，得学生一共有 （人）， 故表中 的值为 ． （2）解：解法一：由题可画树状图： 由图可知，共有12种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共2种， （恰好选到课程A和课程B）． 解法二：由题可列表： 第一次 第二次 由表可知，共有12种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共2种， （恰好选到课程A和课程B）． 23．技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧自习教室，引进了“数字人模型”和“助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为0~10的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如下图表： 类别 平均数/分 中位数/分 众数/分 数字人模型 7 助教模型 8 8 请根据上述信息解答下列问题： (1)填空： __________， __________，__________， __________； (2)运营商准备对“助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，有2名男生和1名女生对该模型的评分为6分，现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2名男生的概率． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）利用求平均数的公式求出，利用中位数和众数的定义求出分别求出，，先求出扇形统计图中分所占百分比，用整体1减去其他各部分的百分比即可求解； （2）用树状图列出所有可能性，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴； 一共个数据从小到大排列，第和个数据的平均数是中位数， 由柱状图知第和个数据都是， ∴中位数为， 即； 由扇形统计图可知“助教模型”中分出现次数最多， ∴； ∵扇形统计图中分占百分比为：， ∴， 即； （2）解： 共有六种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况由种， ∴(抽到2名男生)． 24．我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象．小明将关于地域特产的4个IP形象（A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶），制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP形象玩具． (1)若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是 （填序号）； ①必然事件②随机事件③不可能事件 (2)若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率． 【答案】(1)②(2) 【分析】（1）直接根据随机事件的概念可得答案； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是：随机事件； （2）解：树状图如图所示： 由图可以看出一共有12种等可能结果， 其中抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的结果有2种． （抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”）． 答：抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率是． 25．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，， 【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率； （2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率． 【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜． 此时，比赛的所有可能对阵为： ，， ，，共四种． 其中田忌获胜的对阵有 ，，共两种， 故此时田忌获胜的概率为． （2）不是． 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是． 综上所述，田忌获胜的所有对阵是 ，，， ，，． 齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是 ，，， ，，， 共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵， 所以，此时田忌获胜的概率． 【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键． 2 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 随机事件的概率 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 事件的与概率 题型2 简单的等可能概率计算 题型3 放回与不放回条件下的概率求法 题型4 用列举法判断游戏公平性 题型5 频率与概率关系 题型6 计算某事件的频率并估计概率 题型7 利用频率估计总体数量（标记重捕法） 题型8 概率在转盘抽奖中的应用 题型9 利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型10 概率的综合实际应用（如估算密码概率） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 随机事件 概率、频率 等可能事件、 列举法、列表法、树状图法 游戏公平性 频率估计概率 标记重捕法 概率的应用 1.理解必然事件、不可能事件、随机事件（不确定事件）的概念，能根据生活经验准确区分不同类型的事件。 2.理解概率的意义，掌握简单随机事件概率的计算公式​，能进行基础的概率计算与可能性大小比较。 3.掌握运用列表法或画树状图法枚举随机事件发生的所有等可能结果，能有效解决“放回”与“不放回”两种条件下的概率问题。 4.理解大量重复试验时频率稳定于概率的规律，掌握利用频率估计概率的统计思想与基本方法。 5.能运用概率知识解决生活中的实际问题，如判断游戏规则的公平性、利用标记重捕法估算群体总数、计算中奖率与密码概率等综合应用。 学习重点：理解随机事件的概念及概率的意义；熟练掌握运用列表法或画树状图法求简单随机事件概率的方法；理解频率的稳定性，能通过大量重复试验用频率来估计概率。 学习难点：正确区分“放回”与“不放回”抽样对事件结果总数的影响，并准确画出树状图或列表进行分类讨论；深刻理解频率与概率的区别与联系；能将抽象的概率模型（如标记重捕法、游戏公平性推理）正确应用于实际复杂情境的建模与求解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 随机事件 1.事件的定义及分类 在一定条件下，事件可以分为三大类： 必然事件：在一定条件下 的事件。 不可能事件：在一定条件下 的事件。 不确定事件（ ）：在一定条件下 ， 的事件。 2.事件发生的可能性大小 事件发生的可能性大小通常是由事件发生的条件决定的。 在相同条件下，可以通过比较各事件发生的条件及其对事件发生的影响，来比较事件发生的可能性大小。 3.确定事件所有可能结果的方法（列表法与树状图法） 或 是用来确定事件发生的 的常用方法，它可以帮助我们分析问题，避免重复和遗漏，既直观具体又条理分明。 （1）列表法： 当一次试验要涉及 ，并且可能出现的结果数目相对较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 （2）树状图法： 当一次试验要涉及 时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图。 树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 即时即练将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（ ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 【易错提醒】 (1)必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”。 (2)列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率。 (3)列表法和树形图法都适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题。 (4)在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。 知识点02 简单随机事件的概率 1.概率的定义 我们把事件发生的 称为事件发生的概率。 符号表示：一般用P表示，事件A发生的概率记为 。 2.概率的取值范围 事件的概率可以用数轴上的点表示： 必然事件发生的概率为100%，即 ； 不可能事件发生的概率为0，即 ； 随机事件发生的概率介于0与1之间，即 。 3.概率的计算公式 如果某随机事件发生的所有可能结果的个数有限，且各种结果发生的可能性相等、互相排斥（结果总数为n），事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为： ​ 4.游戏公平性判断 机会均等：指在同一随机事件中，参与游戏的各方，其获胜（或达到指定目标）的概率相等。 判断标准：比较双方获胜的概率，如果双方获胜的概率相等，则游戏规则公平；否则就不公平。 放回抽样（有放回）：某事件发生后，将其放回原总体，再进行下一次抽取。这种情况下，每一次抽样的条件完全相同，样本总体的总数n始终不变。 不放回抽样（无放回）：某事件发生后，不再放回原总体，直接进行下一次抽取。这种情况下，样本总体的基数随着抽取次数增加而不断减少。 即时即练为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．山药，每名学生随机选择其中一种． (1)小慧选择玉米的概率是_______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率． 【易错提醒】 (1)运用概率公式时，必须首先确定所有可能的结果发生的概率都是相等的，且总数有限。若遇到扇形的圆心角不相等的不等可能情况，可以通过“等分”的方式将其转化为等可能情况再进行枚举。 (2)概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小。 知识点03 用频率估计概率 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近。因此，我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的 来估计这一事件发生的 。 1.频率与概率的区别和联系 区别：频率是多次试验后某事件发生次数与总试验次数的比值，是一个试验值（变量）；概率是事件发生的可能性大小的理论值，是一个常数。 联系：在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就 在相应的概率附近。 2.频率估计概率的应用 在实际生活中，如果随机事件发生的概率无法用理论公式直接计算得出（如小麦种子的发芽率、某地区降水的概率），我们可以通过大量重复试验的方法，用事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 即时即练工厂对某批零件进行质检，结果如表： 抽取的零件数 优等品的频数 优等品的频率 从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为_______（结果精确到）． 【易错提醒】 (1)用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确。 (2)当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率。 知识点04 概率的简单应用 1.概率在生活中的应用 概率能够帮助人们对许多事件作出判断和决策，广泛用于生活、生产和科研等领域，例如：计算中奖率、天气预报的概率等。 2.概率估算总体数量的方法（标记重捕法/样本估总体） 若需要估计一个较大群体（如渔场中鱼群的总数），可以通过以下步骤进行估算： (1)先捞出部分个体（如M条），做好标记后放回。 (2)待标记个体与群体完全混合后，再随机捞取一定数量的样本（如n条）。 (3)计算样本中带有标记的个体比例（如m条）。 (4)利用比例关系估计总体数量N： （即样本中标记比例≈总体中标记比例）或者交叉相乘估算： 。 即时即练小明和小红玩游戏：将正面分别写有数字，，，的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后放盒子里，小明从中任意抽取一张卡片，小红从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是负数，则小明获胜，为正数则小红获胜． (1)小明抽到的卡片是负数的概率是________； (2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平． 【易错提醒】 (1)样本中标记个体数占样本总数的比例，等同于总体中标记个体数占总体总数的比例。 (2)标记重捕法公式成立的绝对前提是“待标记个体与群体完全混合后”再进行随机捞取。 (3)标记重捕法得出的结果是一个统计学上的近似值（估算值），而不是精确值。因为捞取是随机的，样本比例会有合理波动。 题型1 事件与概率 【例1】古诗“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（ ） A．必然事件 B．确定事件 C．随机事件 D．不可能事件 【例2】将4个红球、5个黄球、2个绿球放入一个不透明袋子里，这些球除颜色外都相同，从中一次性摸出8个球，则“摸到红球”这个事件（ ） A．不太可能发生 B．不可能发生 C．很可能发生 D．必然发生 【易错提醒】 （1）可能性大小与确定性：“降水概率90%”仅表示下雨的可能性很大，但并不代表“明天一定会下雨”，它依然是随机事件。 （2）等可能性：“射击一次，中靶与脱靶”虽然是两种结果，但发生的条件完全不同（命中需要多种严苛条件共同作用，而脱靶只需要满足极少条件甚至某种“失误”即可触发），结果并非等可能，因此不能直接套用概率公式P(A)=​。同理，一枚图钉落地，针尖朝上和针尖朝下的概率也不相等（取决于物理重心），不能简单认为是P(A)=​。 （3）在多次重复的独立试验中，每次试验发生的概率互不影响。比如买彩票连续不中，抽签顺序靠后，都不会改变“下一次”中奖的概率。概率是理论上的常数，不受过去偶然结果的影响。 【变式1-1】下列说法正确的是( ) A．天气预报说明天降水概率非常大，则明天会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为 C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向下为不可能事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 【变式1-2】班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 题型2 简单的等可能概率计算 【例3】一个布袋里放着个红球和个白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．从布袋中任取个球，取出红球的概率是（ ） A． B． C． D． 【例4】如图是两个可以自由转动的转盘，图1被平均分成9份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（转盘指针停在分界线上，则重新转动）；图2被涂上红色和绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（转盘指针停在分界线上，则重新转动）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)“小明转出的数字是5”是 事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)求小明转出的数字小于7的概率； (3)“小明转出的数字是奇数的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同”，这个说法对吗？为什么？ 【易错提醒】 （1）算出概率前，验证“等可能性”：是→用（数份数/面积/角度）；否→不能直接数，必须看比例（如面积、圆心角、数量占比）。 （2）几何类概率的“总面积-空白面积”法：遇到求阴影面积概率的题，先算总，再算空，最后用减法算阴。 【变式2-1】不透明的袋中有除了颜色外其他都相同的一些球，其中红球12个和白球个，经过若干次试验，发现若从袋中任摸出一个球，恰是红球的概率为，则这个袋中白球大约有________个． 【变式2-2】一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（ ） A． B． C． D． 题型3 放回与不放回条件下的概率求法 【例5】．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是___________． 【例6】在一个不透明的箱子里装有个红色小球和个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里， (1)请问第一次摸到白球的概率是_____： (2)从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱子里；摇匀后，再摸出个小球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率． 【易错提醒】 （1）“放回”与“不放回” ①放回意味着第一次摸走球后，袋子里的球恢复了原样，第二次摸球的条件未变，总结果数n不变； ②不放回意味着第一次摸走球后，袋子里少了一个球，第二次可摸的球总数要减1。 （2）选择合适方法： ①放回问题→首选列表法：因为放回问题往往出现对称的网格，列表非常清晰，不容易遗漏。 ②不放回问题→首选树状图法：因为不放回问题第二层分支会变少，画树状图能直观体现“降级”的过程，比列表法更不容易出错。 【变式3-1】在一个不透明的袋子中装有2个绿球、3个红球，每个球除颜色外都相同，小明同学从袋中随机摸出1个球（不放回）后，小亮同学再从袋中随机摸出1个球；两人摸到不同颜色球的概率是多少？ 【变式3-2】小洛和他的伙伴们设计了一个摸球试验：将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋，每次搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．在老师的帮助下，小洛和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，如图是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数 2000 4000 6000 7000 8000 9000 10000 摸到黑球的次数 478 1027 1460 1728 2017 2234 2509 摸到黑球的频率 0.239 0.257 0.243 0.247 0.252 0.248 0.251 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是_____；(保留两位小数) (2)估算袋中白球的个数； (3)按照（2）的估算结果，若小洛同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 题型4 用列举法判断游戏公平性 【例7】小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（ ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 【例8】如图，甲、乙分别是4等分、3等分的两个圆转盘，指针固定，转盘转动停止后，指针指向某一数字． (1)直接写出转动甲盘停止后指针指向数字“0”的概率； (2)小华和小明利用这两个转盘做游戏，两人分别同时转动甲、乙两个转盘，停止后，指针各指向一个数字，若两数字之和为正数则小华胜；若两数字之和为负数则小明胜．你认为这个游戏公平吗？请你利用列举法说明理由． 【易错提醒】 （1）只要是“双方随机独立选择”，就必须把所有的可能性穷举出来。 （2）在判断公平性的逻辑推理时，如果游戏只有“甲胜”和“乙胜”两种情况（无平局），那么P(乙胜)=1−P(甲胜)。无需再费力去数乙胜的结果数。 【变式4-1】小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（ ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 【变式4-2】甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为3，4，5的三张扑克牌中随机抽取一张记下数字后放回，再随机抽取一张记下数字．如果所抽的两张牌面数字的积为奇数，那么甲获胜；如果所抽取的两张牌面数字的积为偶数，那么乙获胜． (1)请用画树状图或列表的方法求出甲获胜的概率； (2)这个游戏规则是否公平？请说明理由． 题型5 频率与概率关系 【例9】在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（ ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【例10】明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【易错提醒】 （1）概率是一个理论值，表示事件发生的可能性大小，它反映的是大量重复试验下的长期平均趋势。 （2）频率（f）：试验出来的结果（一个变化的值）。即使做了一万次实验，它依然可能在 0.49 到 0.51 之间细微波动。 （3）单次或少数几次的试验频率，不能作为估计概率的依据。必须是“大量重复试验”后，频率才能稳定在概率附近。 【变式5-1】某事件发生的概率为，则下列说法不正确的是（ ） A．无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右 B．无数次实验中，该事件平均每次出现次 C．每做次实验，该事件就发生次 D．逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和逐渐接近 【变式5-2】在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小亮做摸球试验，他将盒子内的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复上述过程，对试验结果进行统计后，小玲得到下表中的数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 1500 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 903 摸到白球的频率 0.70 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 则下列结论中正确的是（　　） A．n越大，摸到白球的概率越接近0.7 B．当n=2000时，摸到白球的次数m=1200 C．当n很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近 D．这个盒子中约有28个白球 题型6 计算某事件的频率并估计概率 【例11】将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（ ） A．钉尖触地属于随机事件 B．P（钉尖触地）（钉尖朝上） C．因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D．通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 【例12】如图1，一个长，宽的矩形内部有一不规则图案（阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机向这个矩形内部随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，整理得到如图2所示的折线统计图，由此可估计该不规则图案的面积大约为（ ） A． B． C． D． 【技巧总结】 频率在初始阶段可能起伏较大，但随着试验次数n的增大，它必然逐渐收敛到真实概率的附近。 因此，审题时重点只看试验次数达到几百、几千次后的数据趋势即可。 在解决用试验频率估计概率或反推总体个数/面积的题目时，按以下流程解题： （1）看趋势：先观察折线统计图的后半段、或者频数表中试验次数极大的那一部分，提取出一个稳定的数值（即频率的稳定值，通常四舍五入保留两位小数）。 （2）设方程：将稳定值作为“真实概率”，根据题干设出未知量，依据概率公式建立方程。通用模型： （3）验结果：解出的未知量必须符合实际意义（如球的数量必须是正整数、面积必须大于零），最后规范作答。 【变式6-1】在一个不透明的口袋内装有2个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同． (1)每次从口袋中随机摸出一个球记下颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球记下颜色后放回，重复上述摸球过程，摸球结果的统计数据如下表所示： 摸球的次数 20 50 100 200 500 摸到黑球的次数 8 21 39 78 201 摸到黑球的频率 0.40 0.42 0.39 0.39 0.402 根据上表数据估计：从口袋中随机摸出一个球，摸到黑球的概率为___________．（精确到0.1），袋中白球的个数为___________； (2)根据（1）中估计的白球个数，若从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从口袋中随机摸出一个球记下颜色，求两次摸到的球中至少有一个是黑球的概率． 【变式6-2】小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，他在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下： 掷石子次数石子落在的区域ABC 50次 150次 300次 石子落在圆内（含圆上）的次数m 14 43 93 石子落在阴影内的次数n 19 85 186 （1）随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值． （2）请利用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积． 题型7 利用频率估计总体数量（标记重捕法） 【例13】为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙） 【例14】为了估计不透明的袋子里装有多少白球，先从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，那么你估计袋中大约有_____个白球． 【易错提醒】 （1）标记重捕法的核心是“样本中的标记比例 ≈ 总体中的标记比例”。 （2）比例公式能够成立的绝对前提是第一次标记的个体放回后，必须与原有群体完全混合均匀。 【变式7-1】承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（ ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【变式7-2】生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群的数量．如在固定区域内用捕虫网捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕虫网捕捉了80只田鼠，其中有16只是被标记的，于是估算该区域田鼠的数量为： （只）． 某研究小组考察了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题： 年龄 A B C D …… 个体数量 92 187 x y …… 注：表中“”表示鱼的年龄年，表示年龄年，表示年龄年，表示年龄为年． (1)年龄为，，的个体数量的平均数为125，年龄在，，，的个体数量的中位数是95，则________，________（其中）． (2)若将年龄为的鱼全部标记后并放回湖泊，充分混合后，捕捉120条鱼，其中被标记鱼有12条，那么该湖泊里一共约有多少条鱼？ (3)现捕获A，B，C，D年龄段的鱼各一条，从中任抓两条，请用列表或画树状图求抓到的是和年龄的鱼的概率． 题型8 概率在转盘抽奖中的应用 【例15】如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（　 　） A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 【例16】如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是______． 【易错提醒】 （1）非等分转盘的“等量分割法”：如果遇到一个转盘有两个不同圆心角的扇形（如一个是120∘，一个是240∘），为了方便用树状图或列表法枚举，可以将其“割”成大小相等的扇形。 （2）在求解“转盘转动两次后数字之和”、“转两次确定前进几步”等两步转盘概率题时，常选用列表法。 【变式8-1】陕西历史博物馆秦汉馆是国内首个以集中展示秦汉文明缘起、发展和贡献为主题的博物馆．某校组织学生去陕西历史博物馆秦汉馆参观后，校团委开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目：A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．学校制作了如图所示的可自由转动的均匀转盘，将圆形转盘四等分，并分别标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． (1)若该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”，则选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是_________； (2)青青和丽丽是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率． 【变式8-2】一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3，…，直到棋子到达终点或超过终点停止． （1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率； （2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率． 题型9 利用概率计算随机事件发生的平均次数 【例17】事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 【例18】3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由； (2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 【易错提醒】 在无放回抽签问题（如三人依次抽 3 张牌）中，虽然先抽与后抽的中奖概率相等，但有些学生计算时依然容易把“不放回”当成“放回”去列出错误的概率。无论计算哪一个人的平均中奖次数，都要依据总概率（如）去乘以总试验次数，不能因为顺序不同而私自调整概率基数。 【变式9-1】一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 【变式9-2】如图，正方形的边长为2，中心为O，从O、A、B、C、D五点中任取两点． （1）求取到的两点间的距离为2的概率； （2）求取到的两点间的距离为的概率； （3）求取到的两点间的距离为的概率． 题型10 概率的综合实际应用（如估算密码概率） 【例19】甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【例20】一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（ ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 【易错提醒】 （1）密码的位数为n位，并且每一位都是0～9的自然数，如果允许重复，那么全部可能的密码总数是10n，而不是10×n。 （2）像贺卡错位、相邻配对等复杂的限制类计数题，如果总数不大（如4个人），可以不急于套用复杂的容斥公式或排列组合公式，而是直接以某个元素为起点，用画树状图或穷举法逐步推导。 【变式10-1】某寝室有四个同学，每个同学写一张贺卡放在一起，每人抽取一张，要求不能抽取自己写的贺卡，则不同的抽取方案共有______种（用数字作答）． 【变式10-2】某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． A组 基础过关 1．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．勇士队球星库里在一场比赛中投篮1次，投进篮筐 B．水中捞月 C．开车时，连续三个路口都遇到绿灯 D．任意画一个正多边形，它是轴对称图形 2．不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（ ） A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大 C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 3．一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（ ） A． B． C． D． 5．下列随机事件属于“等可能性事件”的是（ ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 6．盲盒，是指一种商品销售模式，消费者在购买时并不知道具体款式，只有在拆开后才能知晓内容．这种模式通常用于潮流玩具、手办、文具或收藏卡等领域，其核心吸引力在于不确定性带来的惊喜感与收集乐趣．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有的概率开出一种隐藏款玩偶．关于该盲盒的情况，下列说法中正确的是（ ） A．若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 C．若购买个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 D．若购买个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 7．有三个事件，事件A：若a，b是实数，则；事件B：打开电视正在播广告；事件C：同时掷两枚质地均匀地标有数字1－6的骰子，向上一面的点数之和是为13，则这三个事件的概率，，的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 8．某校九年级有300名学生，体育测试中某项目的成绩分布如下：成绩优秀的有90人，良好的有120人，及格的有75人，不及格的有15人．从中任意抽取一名学生，该生成绩及格或良好的概率是（ ） A． B． C． D． 9．某果农种植的砂糖桔优质果和普通果外观无明显区别．为估计果场中优质果的概率，果农随机抽取部分砂糖桔检测，连续抽取300次，其中抽到优质果的次数为240次．下列说法正确的是（ ） A．抽取次数越少，优质果的频率越接近概率 B．此次抽取优质果的频率为 C．从这个果场的砂糖桔中抽中优质果的概率一定是 D．若再抽取100次，抽到优质果的次数一定是80次 10．桌面上放有六张卡片，卡片上分别写着0，1，2中的一个数字，这些卡片除数字外无其他差别，若随机翻开写着数字“1”的卡片的概率是，写着数字“2”的卡片的概率是，则写着数字“0”的卡片有（ ）张 A．4 B．3 C．2 D．1 B组 综合提升 11．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现 分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 12．学校需要从甲、乙、丙、丁、戊五位优秀的班干部中随机选取3人担任某一次升旗仪式的旗手，则同时选中丁、戊的概率为（ ） A． B． C． D． 13．某智能仓库共有个储物箱，编号分别为，，，，，管理软件随机分配取货任务，每次分配任务时每个箱子被选中的概率相同，则连续两次分配任务中（每个储物箱可以被重复选择），恰有一次分配到奇数编号储物箱的概率为（ ） A． B． C． D． 14．下列说法正确的是（ ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 15．某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（ ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 16．如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（ ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 17．下列判断错误的是（ ） A．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式 B．一组数据2，5，3，5，6，8的众数和中位数都是5 C．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么甲组队员的身高比较整齐 D．一个不透明的袋子里装有红球、蓝球共20个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个 18．体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（ ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 19．桌上放4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（ ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 20．在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（ ） A． B． C． D． C组 挑战突破 21．如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽（）、坎、离、艮（）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（）组成，其中“”表示阳爻，“”表示阴爻． (1)若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是_________________； (2)现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率． 22．某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有________人，表中 的值为________； (2)现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率． 23．技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧自习教室，引进了“数字人模型”和“助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为0~10的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如下图表： 类别 平均数/分 中位数/分 众数/分 数字人模型 7 助教模型 8 8 请根据上述信息解答下列问题： (1)填空： __________， __________，__________， __________； (2)运营商准备对“助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，有2名男生和1名女生对该模型的评分为6分，现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2名男生的概率． 24．我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象．小明将关于地域特产的4个IP形象（A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶），制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP形象玩具． (1)若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是 （填序号）； ①必然事件②随机事件③不可能事件 (2)若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率． 25．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $