专题06频率估计概率及概率应用(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年浙教版八升九数学暑假预习讲义

专题06频率估计概率及概率应用暑假预习讲义 · 区分频数、频率、概率三个概念，熟记频率计算公式：频率= · 理解频率稳定性定理：大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在一个常数附近，可用这个稳定频率估计事件的概率。 · 理清频率与概率的联系和区别：频率是试验结果，随试验次数改变；概率是固定理论常数，仅当试验次数足够多时，频率近似等于概率。 · 会根据统计表格计算频率，利用稳定频率估算概率，并结合公式频数=试验总数×\概率预测事件发生次数。 · 熟练使用列表法、画树状图求两步及以上等可能随机事件的概率，规范书写解题步骤。 · 掌握游戏公平性判断方法：分别算出双方获胜概率，概率相等则游戏公平，概率不等则不公平；能修改游戏规则使其公平。 · 会处理摸球、转盘、抽奖、掷骰子等生活类概率实际问题，建立随机事件模型求解。 · 能依据概率大小判断随机事件发生可能性大小，解释生活中的随机现象。 · 分清放回、不放回两类摸球试验的样本差异，标记学习疑点；区分两类求概率场景：有限等可能事件用列举法，非等可能 / 无限试验用频率估计概率。 · 建立概率建模思维，能把生活实际问题转化为随机概率问题，带着难点听课突破 预习必备 知识梳理 1.频数，频率，概率基础概念 2.频率与概率的区别与联系 3.频率稳定性定理 4.频率估计概率计算与试用场景 5.等可能事件求概率方法 6.放回试验与不放回试验对比 7.概率典型应用及实际意义 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.频率与概率关系说法正误 2.求某事件的频率 3.由频率估计概率 4.频率估计概率的应用 5.计算随机事件发生平均次数 6.概率在保险业中的应用 7.概率在转盘抽奖中的应用 8.概率在比赛中的应用 9.概率的其他应用 10.游戏的公平性 强化题型 解答题8题 知识点 01 频数、频率、概率基础概念 频数：多次重复试验中，某随机事件实际发生的次数。 频率：事件发生频数与试验总次数的比值。 计算公式：频率= 概率：随机事件本身固有的理论发生可能性大小，是固定常数。 知识点 02 频率与概率的区别和联系 对比项目 频率 概率 属性 试验值，数值会变化 理论值，固定不变 影响因素 随试验总次数改变 不受试验次数影响 取值范围 0频率1 0P(A) 1 内在关系 试验次数越多，频率越接近概率 大量重复试验下，可用稳定频率估算概率 知识点 03 频率稳定性定理 定理内容：大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会稳定在某一个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。 关键结论：试验的总次数越大，用频率估计得到的概率精准度越高。 知识点 04 频率估计概率相关计算与适用场景 1.两个核心公式 1 估算概率：试验次数足够多时，P(A)稳定频率 ② 预估事件发生次数：预估频数=总试验次数估计概率 2.适用场景 ① 试验结果不相等、结果无限，无法使用列表 / 树状图求理论概率； ② 生活统计类试验：产品合格率、种子发芽率、投篮命中率、降雨概率等。 知识点 05 等可能事件求概率通用方法（列表法、树状图法） 适用条件：试验结果有限，每一种结果出现的可能性完全相同，多用于两步及以上随机试验。 标准解题步骤 1 判断试验结果是否为等可能； 2 列表或画树状图，不重不漏列出所有等可能结果； 3 统计符合题意的结果数量、全部结果总数； 4 代入概率公式：P(A)= 知识点 06 放回试验与不放回试验对比 试验类型 核心特点 结果特征 放回试验 每次取样后将物品放回，样本总数量不变 会出现重复组合，总结果数量更多 不放回试验 每次取样后取出物品，样本总数量减少 无重复组合，总结果数量更少 知识点 07 概率典型应用及实际意义 1：判断游戏公平性 判断标准：分别计算游戏双方获胜的概率 1 双方获胜概率相等 → 游戏公平； 2 双方获胜概率不相等 → 游戏不公平。 修改规则方法：不改变试验方式，调整得分规则，使双方「获胜概率 × 对应分值」相等，即可让游戏公平。 2：生活实际概率模型 常见题型背景：摸球、转盘、掷骰子、抽奖、抽签、物品配对问题； 解题思路：将实际情境转化为等可能概率模型，使用列表法或树状图计算概率。 3：概率的实际意义 （1）概率数值大小仅代表事件发生可能性高低，无法确定单次试验结果； （2）P(A)=1：必然事件，一定会发生；P(A)=0：不可能事件，一定不会发生； （3）概率反映大量重复试验下的整体规律，不能用来预判单次随机结果。 知识点08高频易错点 1.不能表述 “频率等于概率”，只能说大量试验后频率近似稳定于概率； 2.放回、不放回试验容易算错总结果数量； 3.判断游戏公平必须完整计算双方概率对比，不能主观判断； 4.仅少量试验时，频率波动大，不能用来估算概率； 5.混淆频数、频率概念，计算时代错公式。 题型1.频率与概率关系说法正误 【典例】下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【跟踪专练1】如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 【跟踪专练2】下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果． 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 … 发芽频率m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 … 发芽频率 0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 … 则下列推断： ①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95； ②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951； 其中合理的是____________（填序号） 【跟踪专练3】明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 题型2.求某事件的频率 【典例】抛掷一枚正方体骰子20次，若点数6出现5次，则出现点数6的频率为______． 【跟踪专练1】林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【跟踪专练2】八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 【跟踪专练3】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 题型3.由频率估计概率 【典例】在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后．任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5附近．那么可以估算出m的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 【跟踪专练1】如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（    ） 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 【跟踪专练2】如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积约为__________． 【跟踪专练3】某景区在正月期间开展游九曲黄河阵活动．如图是九曲黄河阵的示意图、游客在规定时间内完整走完一次，即可获得一件奖品，工作人员将往年参与活动的情况进行了统计，得到下表： 参加活动人次 100 1000 2000 4000 5000 6000 成功次数 12 287 506 664 835 996 成功率 该景区预估元宵节当天参加此项活动的人次为8000，则该景区当天预计发放此活动奖品约（   ） A．960件 B．1360件 C．2000件 D．2320件 题型4.频率估计概率的应用 【典例】在边长为的正方形健康码内随机投点，经过大量实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此估计黑色部分的总面积约为_____________． 【跟踪专练1】某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（    ）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.410 C．0.413 D．0.400 【跟踪专练2】奋进小组的同学们展开摸球试验，在一个不透明的口袋中，放入个红球和若干个白球，这些小球除颜色外其余均相同．搅匀后，随机摸出一个球记录下颜色后放回，再搅匀，重复以上操作．奋进小组的同学将白球出现的频率绘制成如下统计图，则袋中白球的个数为______． 【跟踪专练3】在一个不透明的袋子中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外无其他差别，每次从袋子中随机取出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型5.计算随机事件发生平均次数 【典例】若事件A发生的概率是，大量重复做这种试验，事件A平均每200次发生______次． 【跟踪专练1】在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 【跟踪专练2】一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 【跟踪专练3】在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 题型6.概率在保险业中的应用 【典例】某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【跟踪专练1】某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率； (2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 【跟踪专练2】某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 题型7.概率在转盘抽奖中的应用 【典例】如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 【跟踪专练2】2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【跟踪专练3】某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 题型8.概率在比赛中的应用 【典例】在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【跟踪专练1】某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【跟踪专练2】甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【跟踪专练3】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 题型9.概率的其他应用 【典例】如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小彤帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机投点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为______． 【跟踪专练1】小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 【跟踪专练2】有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【跟踪专练3】的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 题型10.游戏的公平性 【典例】小军和姐姐用抛掷骰子的方法决定谁打扫房间，姐姐规定，掷到素数姐姐打扫，否则小军打扫．你觉得姐姐的规定对小军__________．（填“公平”或“不公平”） 【跟踪专练1】甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 【跟踪专练2】如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 【跟踪专练3】小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（    ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 解答题 1．你同意下列说法吗？请说明理由． (1)“从袋中任意摸出1个球是红球的概率是”，这句话的意思就是从袋中取出1个球肯定是红球，因为概率已经很大了． (2)“从袋中任意摸出1个球是红球的概率是”，这句话的意思就是从袋中一定取不出红球． (3)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，小明说：“我做了50次试验，正面朝上的频率是，所以抛掷该硬币正面朝上的频率在这个常数附近摆动．” 2．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据（结果保留两位小数）： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 (1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； (2)估算袋中白球的个数． 3．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 4．3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由； (2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 5．如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 6．某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． 7．小刚与小亮一起玩一种转盘游戏，图是两个完全相同的转盘，每个转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止． (1)用树状图或者列表法表示所有可能的结果； (2)求两指针指的数字之和等于4的概率； (3)若两指针指的数字都是奇数，则小刚获胜；否则，小亮获胜，游戏公平吗？为什么？ 8．某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位） 请根据上面的图表完成以下问题： (1)________； (2)当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）； (3)小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06频率估计概率及概率应用暑假预习讲义 · 区分频数、频率、概率三个概念，熟记频率计算公式：频率= · 理解频率稳定性定理：大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在一个常数附近，可用这个稳定频率估计事件的概率。 · 理清频率与概率的联系和区别：频率是试验结果，随试验次数改变；概率是固定理论常数，仅当试验次数足够多时，频率近似等于概率。 · 会根据统计表格计算频率，利用稳定频率估算概率，并结合公式频数=试验总数×\概率预测事件发生次数。 · 熟练使用列表法、画树状图求两步及以上等可能随机事件的概率，规范书写解题步骤。 · 掌握游戏公平性判断方法：分别算出双方获胜概率，概率相等则游戏公平，概率不等则不公平；能修改游戏规则使其公平。 · 会处理摸球、转盘、抽奖、掷骰子等生活类概率实际问题，建立随机事件模型求解。 · 能依据概率大小判断随机事件发生可能性大小，解释生活中的随机现象。 · 分清放回、不放回两类摸球试验的样本差异，标记学习疑点；区分两类求概率场景：有限等可能事件用列举法，非等可能 / 无限试验用频率估计概率。 · 建立概率建模思维，能把生活实际问题转化为随机概率问题，带着难点听课突破 预习必备 知识梳理 1.频数，频率，概率基础概念 2.频率与概率的区别与联系 3.频率稳定性定理 4.频率估计概率计算与试用场景 5.等可能事件求概率方法 6.放回试验与不放回试验对比 7.概率典型应用及实际意义 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.频率与概率关系说法正误 2.求某事件的频率 3.由频率估计概率 4.频率估计概率的应用 5.计算随机事件发生平均次数 6.概率在保险业中的应用 7.概率在转盘抽奖中的应用 8.概率在比赛中的应用 9.概率的其他应用 10.游戏的公平性 强化题型 解答题8题 知识点 01 频数、频率、概率基础概念 频数：多次重复试验中，某随机事件实际发生的次数。 频率：事件发生频数与试验总次数的比值。 计算公式：频率= 概率：随机事件本身固有的理论发生可能性大小，是固定常数。 知识点 02 频率与概率的区别和联系 对比项目 频率 概率 属性 试验值，数值会变化 理论值，固定不变 影响因素 随试验总次数改变 不受试验次数影响 取值范围 0频率1 0P(A) 1 内在关系 试验次数越多，频率越接近概率 大量重复试验下，可用稳定频率估算概率 知识点 03 频率稳定性定理 定理内容：大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会稳定在某一个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。 关键结论：试验的总次数越大，用频率估计得到的概率精准度越高。 知识点 04 频率估计概率相关计算与适用场景 1.两个核心公式 1 估算概率：试验次数足够多时，P(A)稳定频率 ② 预估事件发生次数：预估频数=总试验次数估计概率 2.适用场景 ① 试验结果不相等、结果无限，无法使用列表 / 树状图求理论概率； ② 生活统计类试验：产品合格率、种子发芽率、投篮命中率、降雨概率等。 知识点 05 等可能事件求概率通用方法（列表法、树状图法） 适用条件：试验结果有限，每一种结果出现的可能性完全相同，多用于两步及以上随机试验。 标准解题步骤 1 判断试验结果是否为等可能； 2 列表或画树状图，不重不漏列出所有等可能结果； 3 统计符合题意的结果数量、全部结果总数； 4 代入概率公式：P(A)= 知识点 06 放回试验与不放回试验对比 试验类型 核心特点 结果特征 放回试验 每次取样后将物品放回，样本总数量不变 会出现重复组合，总结果数量更多 不放回试验 每次取样后取出物品，样本总数量减少 无重复组合，总结果数量更少 知识点 07 概率典型应用及实际意义 1：判断游戏公平性 判断标准：分别计算游戏双方获胜的概率 1 双方获胜概率相等 → 游戏公平； 2 双方获胜概率不相等 → 游戏不公平。 修改规则方法：不改变试验方式，调整得分规则，使双方「获胜概率 × 对应分值」相等，即可让游戏公平。 2：生活实际概率模型 常见题型背景：摸球、转盘、掷骰子、抽奖、抽签、物品配对问题； 解题思路：将实际情境转化为等可能概率模型，使用列表法或树状图计算概率。 3：概率的实际意义 （1）概率数值大小仅代表事件发生可能性高低，无法确定单次试验结果； （2）P(A)=1：必然事件，一定会发生；P(A)=0：不可能事件，一定不会发生； （3）概率反映大量重复试验下的整体规律，不能用来预判单次随机结果。 知识点08高频易错点 1.不能表述 “频率等于概率”，只能说大量试验后频率近似稳定于概率； 2.放回、不放回试验容易算错总结果数量； 3.判断游戏公平必须完整计算双方概率对比，不能主观判断； 4.仅少量试验时，频率波动大，不能用来估算概率； 5.混淆频数、频率概念，计算时代错公式。 题型1.频率与概率关系说法正误 【典例】下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【答案】③ 【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析． 【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误； ②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误 ③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确； ④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误． 故答案为：③． 【点睛】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念． 【跟踪专练1】如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，计算频率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，频率等于频数除以总数，每次试验频率的值都有可能发生变化，据此可得答案． 【详解】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是： ，但“钉尖向上”的概率不一定是，原说法错误，不符合题意； B、当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率不一定是，原说法错误，不符合题意； C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，原说法正确，符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果． 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 … 发芽频率m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 … 发芽频率 0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 … 则下列推断： ①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95； ②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951； 其中合理的是____________（填序号） 【答案】① 【分析】根据表中信息，当随着小麦种子粒数的增加，小麦的发芽率越来越稳定，可以用频率估计概率． 【详解】解：①随着试验次数的增加，从第500粒开始，此种小麦种子发芽的频率分别是0.952、0.951、0.95、0.95总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95，故正确； ②当试验种子数为500粒时，发芽频数是476，此时小麦种子发芽的频率是0.952，不能说明小麦种子发芽的概率就是0.952，此推断错误； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率不一定是0.951，此推断错误； 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 【跟踪专练3】明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有  1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 题型2.求某事件的频率 【典例】抛掷一枚正方体骰子20次，若点数6出现5次，则出现点数6的频率为______． 【答案】 【分析】本题考查了频率，解题的关键是掌握频率是事件发生次数与总试验次数的比值，计算即可． 【详解】解：出现点数6的次数为5次，总试验次数为20次， 频率． 故答案为：． 【跟踪专练1】林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【答案】B 【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果． 【详解】解：（棵）， 故选：B 【跟踪专练2】八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【详解】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 【跟踪专练3】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【答案】C 【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意． 【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 题型3.由频率估计概率 【典例】在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后．任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5附近．那么可以估算出m的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验后，随机事件发生的频率会稳定在概率附近，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， 根据概率公式可得 ，， 解得 ， 经检验， 是方程的解，且符合题意． 【跟踪专练1】如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（    ） 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 【答案】C 【分析】大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，试验次数越大，频率对概率的估计越准确，计算不同试验的频率后，观察频率的稳定值即可得到结果． 【详解】解：根据表格数据，计算各次试验的投中频率：，，，，，，， ∵试验次数越大，频率越接近真实概率，精确到为， ∴估计这位同学投篮一次投中的概率约是． 【跟踪专练2】如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积约为__________． 【答案】120 【分析】大量反复见详解下，频率的稳定值即为概率值，则点落在椭圆内部的概率为，再根据点落在椭圆内部的概率等于椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值列式求解即可． 【详解】解：经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右， 点落在椭圆内部的概率为， 椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值为， 椭圆的面积为． 【跟踪专练3】某景区在正月期间开展游九曲黄河阵活动．如图是九曲黄河阵的示意图、游客在规定时间内完整走完一次，即可获得一件奖品，工作人员将往年参与活动的情况进行了统计，得到下表： 参加活动人次 100 1000 2000 4000 5000 6000 成功次数 12 287 506 664 835 996 成功率 该景区预估元宵节当天参加此项活动的人次为8000，则该景区当天预计发放此活动奖品约（   ） A．960件 B．1360件 C．2000件 D．2320件 【答案】B 【分析】本题考查了根据频率求概率，根据概率求数量． 先判断出成功率，进而得到概率，根据概率计算即可． 【详解】解：由表格可知，随着参加活动人次的增加，成功率逐渐趋向， 即成功率约为， 可知成功的概率为， 则预计发放此活动奖品约件． 故选：B． 题型4.频率估计概率的应用 【典例】在边长为的正方形健康码内随机投点，经过大量实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此估计黑色部分的总面积约为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了用频率来估计概率，题中黑色部分的面积与正方形的面积比等于概率． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为， ∵点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴黑色部分的总面积约为：． 【跟踪专练1】某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（    ）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.410 C．0.413 D．0.400 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，解题关键是掌握：当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近，可用稳定的频率估计概率. 【详解】解：∵在大量重复试验中，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数可作为概率的估计值. 观察表格可知，随着累计抽测学生数增大，近视学生数与的比值逐渐稳定在. ∴对该区初中生近视概率的估计最合理的是. 【跟踪专练2】奋进小组的同学们展开摸球试验，在一个不透明的口袋中，放入个红球和若干个白球，这些小球除颜色外其余均相同．搅匀后，随机摸出一个球记录下颜色后放回，再搅匀，重复以上操作．奋进小组的同学将白球出现的频率绘制成如下统计图，则袋中白球的个数为______． 【答案】 【分析】本题考查频率与概率的关系，理解“大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近”是解题关键． 根据题意可知白球出现的概率约为，可设白球的个数为个，根据“摸出白球概率=白球个数总球数”列方程求解即可． 【详解】解：设白球个数为个，则总球数为个， 根据题意，大量重复试验后，白球出现的频率稳定在，则摸出白球的概率为， 得方程：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴袋中白球个数为个． 故答案为：． 【跟踪专练3】在一个不透明的袋子中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外无其他差别，每次从袋子中随机取出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，分式方程的应用，根据频率稳定在，可知摸到黑球的概率为，设黑球数为，利用概率公式列方程求解即可． 熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 【详解】解：设袋中黑球有个，则袋中球的总数为个， ∵摸到黑球的频率稳定在，即摸到黑球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴袋中黑球有个． 故选：C． 题型5.计算随机事件发生平均次数 【典例】若事件A发生的概率是，大量重复做这种试验，事件A平均每200次发生______次． 【答案】10 【分析】本题考查了利用概率计算随机事件发生的平均次数．根据概率的意义，事件A平均每200次发生的次数等于试验次数乘以概率，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵事件A发生的概率是， ∴大量重复试验中，平均每200次发生的次数为， 故答案为：10． 【跟踪专练1】在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，在大量重复试验下，事件发生的频率会趋近于某个数附近，这个数即概率． 根据概率的意义，事件发生的可能次数等于概率乘以实验次数，求解即可． 【详解】解：事件发生的概率为，进行1000次独立重复实验， 事件发生的次数约为， 故答案为：． 【跟踪专练2】一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 【答案】4 【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可． 【详解】解：∵产品的抽样合格率为， ∴产品的抽样不合格率为 ∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品 故答案为：4． 【点睛】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提． 【跟踪专练3】在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【详解】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 题型6.概率在保险业中的应用 【典例】某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【答案】 【分析】根据保险公司不亏本的条件，总保险费需不小于失事时的期望赔偿金额，通过建立不等式化简求解每位乘客的最低保险费． 【详解】解：设保险公司应向每位乘客收取x元保险费， 由题意得：， 解得：， 所以保险公司应向每位乘客至少收取元保险费才能保证不亏本． 【跟踪专练1】某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率； (2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 【答案】(1) (2)不低于元 【分析】本题主要考查了概率的应用，频率估计概率： （1）根据频率估计概率解答即可； （2）设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：估计长途客车一次行驶的失事概率． （2）解：设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次， 由题意可得：， 解得：， 答：保险公司应该向每位乘客收取不低于元的保险费． 【跟踪专练2】某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 【答案】(1)10 (2) (3)元 【分析】本题主要考查了频数分布表，求概率，求平均数： （1）用100减去出险次数为0，1，3，4，的频数，即可求出m的值； （2）求出本年度保险费不高于基本保险费的频数，再根据概率公式计算即可； （3）根据平均数的公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：10； （2）解：本年度保险费不高于基本保险费的频数为：， ∴其本年度保险费不高于基本保险费的概率； （3）解：续保人本年度保险费的平均值（元）． 题型7.概率在转盘抽奖中的应用 【典例】如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用能获得购物券的区域数除以区域总数即可得到答案． 【详解】解：， 故她获得购物券的概率是． 【跟踪专练1】如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 【答案】 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 【跟踪专练2】2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【答案】 【详解】解：指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，结果有“骐骐”，“骥骥”，“驰驰”，“骋骋”，共4种等可能的结果，其中指针仍回到“骥骥”所在区域的结果为1种， ∴指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为． 【跟踪专练3】某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 【答案】C 【详解】画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能结果，故A选项不正确； 顾客获得的奖金金额有8种不同的可能，故B选项不正确； 顾客获得4元或6元奖金的等可能结果数均为3，高于其它金额，故顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为，故C选项正确； 顾客获得5元奖金的可能结果数均为2，其概率为，故D选项不正确． 题型8.概率在比赛中的应用 【典例】在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断． 【详解】解：①若两次求助都用在第1题， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1， 因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ②若在第1第2题各用一次求助， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 因此第一题答对的概率为：， 第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ③两次求助都用在第2题， 画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，    共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：. ∵， ∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大， 故选：D． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 【跟踪专练1】某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【答案】 【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快． 根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为． 【跟踪专练2】甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 【跟踪专练3】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 题型9.概率的其他应用 【典例】如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小彤帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机投点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率的应用，掌握概率的含义是解题的关键． 先求出点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在，再用总面积乘以即可求解． 【详解】解：∵经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右， ∴据此估计点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在， ∴该二维码中黑色区域的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练1】小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 【答案】A 【分析】求出抽到每种作业本的概率，再比较大小即可． 【详解】解：∵总共有8个作业本，其中语文3本，数学2本，英语2本，物理1本， ∴， ， ， ， ∵， ∴抽到语文作业本的可能性最大，抽到物理作业本的可能性最小， ∴因此选项A正确，选项B，C，D错误． 【跟踪专练2】有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【答案】甲 【分析】分别计算甲五次内恰好抽中一次的概率与乙五次内恰好抽中一次的概率，比较两者大小即可得到结果． 【详解】解∶甲每次抽中概率为，每次抽不中概率为，根据独立重复试验概率公式得， 甲五次内恰好抽中一次的概率为； 乙五次抽中概率依次为，恰好抽中一次的概率为仅一次抽中其余四次不中的概率和， 乙五次内恰好抽中一次的概率为 ， ∴， 抽五次后抽中一次概率更大的是甲． 【跟踪专练3】的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 【答案】A 【分析】本题考查了概率的应用，固定一个区域，分与其相邻的区域颜色相同或不同找出各染色方案的种数是解题的关键． 给各区域标上字母，先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑，求出各情况下染色方案的种数，再将其相加，即可求出结论． 【详解】解：给各区域标上字母，如图所示． 先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑． 当，，颜色相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，，颜色各不相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）． ∴共有（种）． 故选：A ． 题型10.游戏的公平性 【典例】小军和姐姐用抛掷骰子的方法决定谁打扫房间，姐姐规定，掷到素数姐姐打扫，否则小军打扫．你觉得姐姐的规定对小军__________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】根据概率公式计算双方获胜的概率，比较概率是否相等即可得出结论． 【详解】解：抛掷骰子，共有这种等可能的结果， 其中素数为，共种结果， 因此姐姐打扫的概率为， 不是素数的结果为，共种结果， 因此小军打扫的概率为， 双方概率相等，因此规定对小军公平． 【跟踪专练1】甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 【答案】C 【分析】分别计算甲、乙获得看电影机会的概率，比较概率大小即可求解． 【详解】解：∵袋中共有个除颜色外完全相同的球，其中红球个，黄球个， ∴甲去看电影的概率为 ，乙去看电影的概率为 ， ∵ ， ∴这个游戏规则对双方公平． 【跟踪专练2】如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查的是几何概率，根据图中阴影部分的面积与空白部分的面积相等，可知飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等，所以这个游戏对甲、乙来说公平． 【详解】解：由图可知，靶面上阴影部分的面积与空白部分的面积相等， 飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等， 这个游戏对甲、乙来说公平． 【跟踪专练3】小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（    ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 【答案】D 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及小刚获胜的结果数、小明获胜的结果数、小红获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果， 其中小刚获胜的结果有：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布），共3种，小明获胜的结果有：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3种，小红获胜的结果有：（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀），共3种， ∴小刚获胜的概率为，小明获胜的概率为，小红获胜的概率为． ∴小刚、小红、小明获胜的概率一样大， 故选：D． 解答题 1．你同意下列说法吗？请说明理由． (1)“从袋中任意摸出1个球是红球的概率是”，这句话的意思就是从袋中取出1个球肯定是红球，因为概率已经很大了． (2)“从袋中任意摸出1个球是红球的概率是”，这句话的意思就是从袋中一定取不出红球． (3)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，小明说：“我做了50次试验，正面朝上的频率是，所以抛掷该硬币正面朝上的频率在这个常数附近摆动．” 【答案】(1)不同意，理由见解析 (2)不同意，理由见解析 (3)不同意，理由见解析 【分析】本题考查了概率、用频率估计概率，熟练掌握概率的意义和用频率估计概率是解题的关键．根据概率的意义和用频率估计概率即可判断． 【详解】（1）解：不同意，这句话只能说明从袋中取出1个红球的可能性很大，但它还是一个随机事件； （2）解：不同意，这句话只能说明从袋中取出1个红球的可能性极小，但它还是一个随机事件； （3）解：不同意，小明试验的次数太少了． 2．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据（结果保留两位小数）： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 (1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； (2)估算袋中白球的个数． 【答案】(1)0.25，0.25 (2)3个 【分析】本题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近． （1）由频率等于摸到黑球次数÷摸球的次数即可得到答案；用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （2）利用概率公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：； ∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25，0.25； （2）解：设袋中白球为x个， ， 解得． 答：估计袋中有3个白球． 3．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 【答案】(1)0.962，0.96； (2)0.96； (3)14400只． 【分析】本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． （1）用频数除以总数即可； （2）由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96； （3）用总数量乘以优等品的概率即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.962，0.96； （2）解：从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96． 故答案为：0.96 （3）解：这批公仔中优等品大约有（只）， 答：估计这批公仔中优等品大约有14400只． 4．3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由； (2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 【答案】(1)丙说的对 (2)900 【分析】本题考查的是树状图法求概率的知识，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三人抽中的情况，然后利用概率公式求得他们抽中的概率，即可得出结论； （2）根据甲抽到黑桃的次数试验总次数甲抽到黑桃的概率，即可得出答案 【详解】（1）解：丙说的对，理由如下： 设3张扑克牌为A、B、C，A为黑桃， 画树状图得： 则所有可能出现的结果有：，，，，，共6种． 甲得到奖励的结果有2种，P（甲中签）； 乙得到奖励的结果有2种，P（乙中签）； 丙得到奖励的结果有2种，P（丙中签）． 因此先抽的人与后抽的人得到奖励的概率相同； （2）解：根据题意得（次）， 答：估算甲抽到黑桃大约900次． 5．如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2)正确，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式，熟练地利用概率公式进行计算是解本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）先求出A盘转出的数字大于4的概率和B盘转出数字“4”的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域， 所以（A盘转出数字“2”）， 因为B盘被分成3个面积相等的扇形区域， 所以（盘转出数字“2”）， （2）解：正确，理由如下： 因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域，其中数字大于4的区域有2个， 所以（A盘转出的数字大于4）． 因为盘被分成3个面积相等的扇形区域，其中数字为4的区域有1个， 所以（盘转出数字“4”）， 所以小华的看法正确， 6．某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不是．理由见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算，正确理解题意求出概率是解题的关键． (1) 根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果； (2)用输入一次除以所有可能出现的结果数即可； (3)用概率解释． 【详解】（1）解：这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种， 密码的可能性有：（种）； （2）； （3）不是． 理由：每次尝试解锁是独立的随机事件，且成功概率较小，只有，随机尝试100次仍未成功在概率上是可能的，他可能多次尝试了相同的错误密码，未覆盖到正确的密码． 7．小刚与小亮一起玩一种转盘游戏，图是两个完全相同的转盘，每个转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止． (1)用树状图或者列表法表示所有可能的结果； (2)求两指针指的数字之和等于4的概率； (3)若两指针指的数字都是奇数，则小刚获胜；否则，小亮获胜，游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)共有9种等可能的结果 (2) (3)游戏不公平，理由见解析 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）利用两指针指的数字之和等于4的情况，结合概率公式求解即可求得答案； （3）根据（1）中的树状图，即可求得小刚获胜与小亮获胜的概率，比较概率的大小，即可求得答案． 【详解】（1）解：画树状图得： ∴共有9种等可能的结果； （2）解：两指针指的数字之和等于4的有3种情况， 两指针指的数字之和等于4的概率为：； （3）解：游戏不公平，理由： 两指针指的数字都为奇数的有4种情况， （小刚获胜），（小亮获胜）； （小刚获胜）（小亮获胜）， 游戏不公平． 8．某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位） 请根据上面的图表完成以下问题： (1)________； (2)当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）； (3)小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)方式二， 理由如下： 方式一：25元购物券； 方式二：， 转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：． ， 选择方式二更合算． 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、加权平均数的计算、概率的应用，熟练掌握频率与概率的关系及加权平均数的计算公式是解题的关键． （1）根据频率的计算公式频率落在‘元购物券’区域的次数转动转盘的次数，变形为落在‘元购物券’区域的次数转动转盘的次数频率，代入数据计算即可求出的值． （2）利用频率估计概率，观察表格中频率的变化趋势，当试验次数足够大时，频率稳定在某个数值附近，该数值即为所求概率． （3）先根据圆心角之比求出各购物券对应的概率，再利用加权平均数公式计算出转动转盘获得购物券数额的平均数，最后将平均数与方式一的元比较，判断哪种方式更合算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39， ∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近， ∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4． 故答案为：． （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $