专题05 期末真题百练通关（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 聚焦期末压轴突破，以10大题型（选填5类+解答5类）系统整合108道真题，强化代数规律探究与几何动态问题的推理应用，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填小压轴|46题|含多项式规律、公式变形、新定义运算、多结论问题|从整式乘法到公式应用，再到新定义迁移，层层递进| |解答压轴|62题|涵盖乘法公式几何综合、平行线拐点与旋转模型|从静态几何证明到动态角度探究，构建逻辑推理链条|

专题05 期末真题百练通关（108题10大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 多项式乘法中的规律性问题 题型6 乘法公式与几何图形的综合应用 题型2 通过对完全平方公式变形求值 题型7 新定义下的实数运算 题型3 新定义下的实数运算 题型8 不等式的新定义问题 题型4 不等式的新定义问题 题型9 平行线的拐点模型 题型5 多结论问题 题型10 平行线的旋转问题 题型一 多项式乘法中的规律性问题（共6小题） 1．（2026·重庆·模拟预测）对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换．已知两个依次排列的整式为，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此进行下去．下列说法： ①若第2次作差变换新增整式之积不含x的一次项，则的值为； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3，则； ③第2026次作差变换得到的整式串之和为． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：由题意知：初始整式串为，，整式串之和为； 第1次变换得到的整式串是，，，整式串之和为； 第2次变换得到的整式串是，，，，，整式串之和为； 第3次变换得到的整式串是，，，，，，，，，整式串之和为； 以此类推，第n次变换得到的整式串之和为． ①由题意得， ∵不含的一次项， ∴，解得，①正确； ②当时，由题意得，整理得， 则， 因此，②正确； ③∵第n次变换得到的整式串之和为， ∴当时，整式串之和为，③正确． 2．（2026·湖北武汉·二模）已知，，，通过观察我们发现它们各项的系数符合杨辉三角的结构，指数也按一定规律排列，若 ，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据规律得出，对比系数即可得出的值． 【详解】解：根据规律可得： 令， ∴ ∴ 3．（2025·河南周口·三模）观察下列式子：，，，…下列代数式中能表示其中蕴含规律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查规律型：数字的变化，解题的关键是观察题目中的各式子的结果发现其中的规律，运用类比的数学思想得到类似的规律． 观察各算式中的乘数及乘积规律，发现两个乘数的十位数字相同，个位分别为4和6，乘积末两位恒为24，前几位为十位数字与其下一个数的乘积． 【详解】解：两个十位数字相同，个位数字分别为4和6的两位数相乘，设十位数字为，则两乘数分别为和． 计算乘积：， 验证选项A的等式成立，且符合所有例子中的规律． 其他选项展开后均无法匹配该规律， 故选：A． 4．（2025·四川绵阳·三模）南宋杰出的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，摘录了如图所示的三角形数表，被称为杨辉三角，观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关： …… 根据前面各式的规律，则的展开式中的系数是（   ） A．72 B．39 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了规律探究，熟练掌握相关知识是解题的关键． 观察所给展开式的系数和杨辉三角中各数的关系，先写出所求展开式中的系数，根据发现的规律得出每个展开式中的系数，进行相加求解即可． 【详解】依据规律可得到的展开式的系数是杨辉三角第6行的数， 第6行的数分别为， ∴展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 展开式中的系数为， ∴原式展开式中的系数为． 故选：D． 5．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 6．（2026·河南驻马店·二模）“杨辉三角”是我国古代伟大的数学成就，用来解释二项式和的乘方系数规律．如图，杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它上方左、右两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数．根据上面的规律，写出展开式中各项的系数和______． 【答案】 【分析】先根据题意得展开式中各项的系数和为；展开式中各项的系数和为；展开式中各项的系数和为；；展开式中各项的系数和为；当时，代入即可求解． 【详解】解：由展开式中各项的系数和为； 展开式中各项的系数和为； 展开式中各项的系数和为； ； ∴展开式中各项的系数和为； 当时，展开式中各项的系数和为． 题型二 多项式乘法中的规律性问题（共9小题） 7．（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式求值，把两边同时平方，可得：，整理可得：． 【详解】解：， ， 可得：， ， ， 即． 故选：C． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）实数、满足，则的最大值是（    ） A．48 B．50 C．24 D．25 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，运用完全平方公式的非负性进行变形，结合已知等式列出关于的不等式，进而求出的最大值． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， ， 当且仅当时，等号成立， 此时为最大值25． 故选：D． 9．（25-26七年级上·重庆·期末）已知整式，其中n为正整数，为自然数，且．下列说法： ①当时，满足的整式Q共有5个； ②当时，满足条件的所有整式Q的所有项的系数总和为120； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意数时，其值一定为非负数的整式Q共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题综合考查了整式，完全平方公式，正确进行计算是解题关键． 根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】解：①当时，， ，且为自然数， 有，，此时， 有，，，此时， 有，，，此时， 有，，，此时， 有，，，，此时， 有，，，，此时， 共6个，故①错误； ②当时，， 为自然数， 有，，，，的组合， 有3种顺序， 有6种顺序， 有6种顺序， 有3种顺序， 有3种顺序， 所以符合条件的整数总共有个， 每个整式的系数和为， 所以满足条件的所有整式Q的所有项的系数总和为，故②错误； ③需要二次三项式， ， ， 需要三项， ， 可以是，此时不一定为非负数， ，此时不一定为非负数， ，此时一定为非负数， ，此时一定为非负数， ∴当x取任意数时，其值一定为非负数的整式Q共有2个，故③错误； 综上，其中正确的个数是0个， 故选：A． 10．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，将四个长为、宽为的小长方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积为36，中间小正方形的面积为16，则下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是完全平方式的特点及变形．依据题意可得，，再利用完全平方公式计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， ∴，（负值均已舍去）， ∴，， 由得：，即， 由得：，即， ∴关系式中不正确的是D选项． 故选：D． 11．（25-26八年级上·福建福州·期末）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ， ， 则， ， ， 的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则下列关于式子的说法正确的是（   ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值 D．有最大值6 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、完全平方公式、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 仿照小李同学的思路，由 表示 ，代入 ，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【详解】∵ ， ∴ ， 则 ， ∴ ， ， ∴， ∴有最小值3． 故选A． 12．（2026·江苏扬州·二模）甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为____． 【答案】8 【分析】设甲，乙两个正方形的边长分别为a，b，由题意可得，再由图1得，进而得出，接下来解一元二次方程求出b，然后讨论可得答案． 【详解】解：设甲，乙两个正方形的边长分别为a，b，且，则， 由图1，得， ∴， ∴（不符合题意舍去）， 即， ∴， 解得， 当时，； 当时，，不合题意舍去． 综上所述，阴影部分面积是8． 13．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知非零实数满足，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，解题关键是找到相应的公式进行转换．由已知条件和，得出，用立方和公式进行转换，再从中找到相应规律求出的值即可得出答案． 【详解】解：∵由， ∴ ， ∴， ∵， ∵， 代入得， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， 当时 ∴ 故答案为： 14．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是______；如图2，若，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、用完全平方公式变形求值，解决本题的关键是根据阴影的面积列代数式． (1)根据阴影与正方形的位置关系可得：，把代入代数式求值即可； (2)根据阴影与正方形的位置关系可得：，利用完全平方公式变形可以求出，把式子的值代入代数式计算求值． 【详解】解： ， 当时， ； ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：，． 15．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）已知，满足，则______． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由，，，得，，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，当及时，等号成立， ∴，当及时，等号成立， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型三 新定义下的实数运算（共9小题） 16．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文．现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的个小写字母依次对应这个自然数，见以下表格： 现给出一个公式：，将明文字母对应的数字A按以上公式计算得到密文字母对应的数字，比如明文字母为，，所以明文字母对应的密文字母为若密文是，则对应的明文是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值， 先确定密文字母对应的数字，再代入关系式，求出A的值，然后确定明文对应的字母即可． 【详解】解：因为密文字母为d，对应的数字是4， 所以， 解得，其对应的明文字母是g； 因为密文字母为h，对应的数字是8， 所以， 解得，其对应的明文字母是o； 因为密文字母为o，对应的数字是15， 所以， 解得，其对应的明文字母是d， 所以对应的明文是． 故选：B． 17．（25-26八年级上·重庆·期末）已知整式，此时，其中n，为正整数且，若，下列说法： ①若，满足条件的整式M之和为； ②若，满足条件的二次三项式M共有4个； ③若，满足条件的整式M共有8个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】 本题主要考查了整式的定义、系数条件限制下多项式构造等知识点，合理分析给定条件是解题的关键． 当时，满足条件的整式M包括常数项和一次、二次多项式，求和后应为，即可判断①；当时，满足条件的二次三项式M有4个，即可判断②；当时，满足条件的整式M有8个，即可判断③． 【详解】解：由题意可知： N为系数乘积，此时，其中n，为正整数且，且序列非递减， ①若时， 当时，； 当时，； 求和得，故①正确； ②若，二次M∶ ，， 、，共4个，故②正确．   ③若， 当时，，即有1个整式M； 当时，，即有3个整式M； 当时，，即有3个整式M； 当时，，即有1个整式M． 所以整式M共有8个，即③正确． 综上，正确的有3个． 故选A． 18．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）定义新的运算：对于任意的有理数a，b，都有，，如，时，，．下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则的最小值为7． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算的理解和计算、代数式求值、解方程、绝对值最值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据新定义运算法则、代数式求值、解方程、绝对值最值逐项判断即可． 【详解】解：①当时，， ， ∴成立，符合题意； ②化简方程：左边， 右边，则， 解得：，成立，符合题意； ③当时，，， 则可化为，表示数为 b的 点到表示数和3的点的距离之和，最小值为7，且当时取等号，符合题意； 综上三个说法都正确． 故选D． 19．（24-25七年级下·重庆·期末）对于关于x、y的方程（为常数），若c，则称A为递增方程.定义递增方程A的重构变换如下：取中任意两数之和，记为，且，得到新的递增方程，并称为A的1次重构方程；取中任意两数之和，记为，且，得到新的递增方程，并称为A的2次重构方程……若方程组的解为，则记为A的n次重构系数，则下列说法中正确的有（    ） ①方程的1次重构系数； ②已知方程为递增方程，若，则； ③已知m为整数，方程为递增方程，若无论n取何值，均为整数，则 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律，新定义，二元一次方程组的应用，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解n次重构方程以及方程组的解为，则记为A的n次重构系数，再结合每个选项的条件进行详细分析，找到规律，总结，再整理化简式子，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 依题意，1次重构后方程为， 故 把整理得 把代入 解得 解得， 把代入，得 ∴方程组的解为 ∴， 故①正确； ∵方程为递增方程 ∴， 解得 则 1次重构后方程为， 则 则得 整理得， 则 依题意，2次重构后方程为， 则 则得 整理得， 则 依题意，3次重构后方程为， 则 则得 整理得， 依次类推得 n次重构后得 即 则 ∵ ∴ 则且 ∴且 解得 ∵为正整数 则 故②是符合题意的； ③已知m为整数，方程为递增方程， ∴ ∴ 解得 ∵m为整数， ∴ 则 ∵无论n取何值，均为整数 ∴为整数 把代入，得不是整数，故舍去； 把代入，得不是整数，故舍去； 把代入，得是整数， 把代入，得是整数， 故无论n取何值，均为整数，则是错误的， 故选：B． 20．（24-25七年级上·广西梧州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②； ③若是大于且小于的有理数，且，则； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，绝对值和有理数的加减计算，根据新定义即可判断①②；若，且，则，，据此可判断③；根据可得原方程为，解得，但不能得到，据此可判断④． 【详解】解：①，原说法正确； ②，原说法正确； ③若，且，则，，，原说法正确； ④∵， ∴， ∴，而并不一定成立，原说法错误； ∴说法正确的有3个， 故选：B． 21．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义运算“新运算操作”，正确理解“新运算操作”是解题关键． 根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，即可判断说法④． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴，故说法①正确； ∵， ∴，故说法②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误； 可能的“新运算操作”有， ， ， ， ， ， ， ∴所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，说法④错误． 故选：D． 22．（25-26九年级上·重庆江北·期末）一个各数位互不相等，且均不为0的四位自然数，若满足，则称为“量子数”．例如：四位数，，是“量子数”．将的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数，并规定．若是最大的“量子数”，则_____；若是一个“量子数”，（为整数），能被13整除，则满足条件的的最小值是_____． 【答案】 21 6734 【分析】本题考查新定义运算、数的整除及整数的性质，正确理解新的定义是解题的关键． 先根据“量子数”的定义找出最大的“量子数”，再求出，最后代入的定义进行计算即可；再根据“量子数”的定义和的定义得出关于、的表达式，再结合（为整数）和能被13整除的条件，通过分析、的取值来确定满足条件的的最小值． 【详解】解：是最大的“量子数”， 、， 各数位互不相等，且均不为0， 、， ， ， ； 是一个“量子数”， ， ， ， ， ， ， （为整数）， ， 、、、互不相等，且是不为0的自然数， ， 为整数， 或， 当时，，此时不符合要求； 当时，， ， ，能被13整除， 能被13整除， 的值可能为26或39或52或65或78或91或104， ①当时，， 若，则、，不符合要求； ②当时，， 、是不相等的自然数， 不符合要求； ③当时，， 若，则，不符合要求； 若，则，不符合要求； 若，则、、，此时， 且，符合要求； 若，则、，不符合要求； ④当时，， 、是不相等的自然数， 不符合要求； ⑤当时，， ，即， ， 若时，、、，此时， ，符合要求； 若时，、、，不符合要求； ⑥当时，，不符合要求； ⑦当时，， ，即， ， 若时，、、，此时， ，符合要求； 若时，、，不符合要求； 综上所述，满足条件的的最小值为， 故答案为：21；6734． 23．（25-26八年级上·重庆·期末）我们规定：一个四位数，各数位上的数字互不相等且均不为零，若满足，则称这个四位数为“星空数”．例如：四位数3751，因为，所以3751是“星空数”．按照这个规定，最大的“星空数”是_______；一个“星空数”，将M的千位数字与十位数字组成的两位数记为，M的百位数字与个位数字组成的两位数记为．若被5除余2，且（k为整数），则满足条件的M的最大值和最小值的和是________． 【答案】 9867 11968 【分析】首先，根据“星空数”的定义，数字互异且不为零，且千位与十位数字之和等于百位与个位数字之和．为求最大“星空数”，千位取9，百位取8，根据条件得个位比十位大1，且数字互异，因此十位取6，个位取7，得9867．  对于第二部分，由得或4．由除以5余2，可得7或12或17．通过分析可得当时，或9，或8；当时，，，列出所有满足条件的M，其中最大为9834，最小为2134，求和得11968． 本题考查了新定义，整式的加减运算，整除等知识点，解题的关键是熟练掌握知识点并运用． 【详解】解：答题空1： 要使最大，则千位a取最大值9，百位b取最大值8， 由得， 即． ∵数字互异且不为零， ∴c取6，d取7，得，且，满足条件． ∴最大的“星空数”是9867． 故答案为：9867． 答题空2： ∵， ∴由题意得， ，， 由， 得， ∵9是完全平方数， ∴是完全平方数， ∴或4． ∵被5除余2， ∴7或12或17， 当时， ∵， ∴， ∴7或12或17， ∵d为正整数， ∴或9，或8， 若，则，M为2134、6534、7634、8734、9834． 若，则，M为2189、3289、4389、5489、6589、7689． 当时，， 则7或12或17， ∵d为正整数， ∴，， ∴，，M为5148、6248、7348、9548． 所有M中，最大值为9834，最小值为2134，和为． 故答案为：11968． 24．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，则称这个四位数为“幸运三和数”．例如：四位数，，是“幸运三和数”．则最小的“幸运三和数”是___________；对于“幸运三和数”，记，．若为整数，且，则满足条件的的值为___________． 【答案】 1723 2715 【分析】本题考查了新定义数字问题、代数式化简与整数整除性质的综合应用，解题的关键是紧扣“幸运三和数”的定义，结合代数式等式推导数位间的关系，利用整数特征确定各数位数字的取值． ①求最小的“幸运三和数”：遵循四位数从小到大的数位规律，千位取最小非零值，再依次尝试最小的百位数字，结合的定义，找到能使c、d为非零且与a、b互不相等的数字的最小组合，确定四位数； ②求满足条件的：先将展开化简，代入消去，得到a、c的关系式，设利用整数性质确定a、c的唯一值；再将a、c代入定义式得与的关系，结合为整数的整除条件，试值确定b、d，最终得到符合条件的四位数 【详解】解：①要使四位数最小，千位取最小非零整数， 依次尝试百位的最小取值：时，，得，无正整数解； 时，，得，无正整数解； 时，，得，无互不相等的正整数解； 时，，得，无互不相等的正整数解； 时，，得，无互不相等的正整数解； 时，，得，取，，均为非零整数且与a、b互不相等． 故最小的“幸运三和数”为1723． ② 由，得， 由“幸运三和数”定义，得， 代入上式： 设（为正整数，a、c为的整数），则， ， 因为正整数，试值： 时，，符合条件； 时，非整数，舍去． 故且，解得，． 将，代入，得， ， 又为整数， 代入，，， ． 因b、d为的整数，且数字互不相等，试值： 要使为整数，则应为12的倍数, ∵， ∴必须是12的倍数， 又因为的数字 当时，，数字2、7、1、5互不相等，且， 故． 故答案为：1723；2715． 题型四 不等式的新定义问题（共11小题） 25．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”如（，，即8，16均为“美好数”），在不超过525的正整数中，所有的“美好数”之和为（     ） A．17160 B．17170 C．17180 D．17190 【答案】A 【分析】根据“美好数”的定义，设出两个连续奇数，利用平方差公式推导“美好数”的表达式，结合不超过525的条件确定的范围，再进行求和即可． 【详解】解：设两个连续奇数分别为，，为正整数， 由平方差公式得， ，即“美好数”可表示为， 由题意得， 解得， 为正整数， 的最大值为， ∴所有不超过的“美好数”之和为， ． 26．（2026·浙江舟山·二模）定义：对于一个四位数，若满足，则称该四位数为“阶特征数”．例如，满足，则为“阶特征数”．依据以上定义，下列说法中错误的是（     ） A． B．记“阶特征数”的最大值为，最小值为，则 C．若能被整除，则也只能等于 D．个数最多的“阶特征数”是“阶特征数”或“阶特征数” 【答案】D 【分析】根据“阶特征数”的定义，推导得到各数字之间的关系，结合四位数各位数字的取值范围，整除性质和计数原理，逐个验证选项即可得到结果． 【详解】解：∵四位数为“阶特征数”， ∴满足，，，满足，且、、、均为整数， ，即，， A．∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 原说法正确，故此选项不符合题意； B．∵“阶特征数”的最大值为， 此时四位数最大，则、尽可能大，而最大取， ∴， ∵， ∴，， 此时最大取， ∴， ∴； ∵“阶特征数”的最小值为， 此时四位数最小，则、尽可能小，而最小取， ∴， ∵， ∴，， 此时最小取， ∴， ∴； ∵，即， 原说法正确，故此选项不符合题意； C．∵能被整除， ∴是的倍数， ∵，， ∴， ∴是的倍数， ∴是的倍数， ∵是的整数，且， ∴， ∴只能为， 原说法正确，故此选项不符合题意； D．由题意知：（、为整数），则共有种取值， ∵， ∴（、为整数），共有种取值， 当时，则，， 此时有种取值，有种取值，则四位数的个数为：（个）； 当时，则，， 此时有种取值，有种取值，则四位数的个数为：（个）； 当时，则，， 此时有种取值，有种取值，则四位数的个数为：（个）； ∵， ∴个数最多的是阶特征数， 原说法错误，故此选项符合题意． 27．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要考查取整函数，利用不等式即可得出为6的倍数，再计算小于100的正整数中6的倍数的个数． 【详解】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ∴， ∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且， ∴n的值为6，12，18，24，......96，共有16个， 故选：D． 28．（2025·河北保定·二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式的应用，由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，， ，设经过次传输，可以结束程序，由，，可得，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，， ， 设经过次传输，可以结束程序， ∵，， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴的值为，即经过次传输，可以结束程序， 故选：． 29．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）定义：我们把互不相等的三个正整数，3，5放在一起（排列不分顺序），组成一个数串称为特征数串，现操作如下：用一个特征数串三个数中最大的数减去其它两个数之积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若这个新数串仍为特征数串时，就可进行再次操作，否则停止，下列说法： ①特征数串17，3，5经过操作后可以得到新数串1，2，3； ②若特征数串，3，5经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或2； ③若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有6种不同的取值． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查新定义，数字的变化规律，根据其定义进行分析判断是解决该类问题的关键． 根据题中的操作将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，再根据定义进行检验判断新得到有效数串是否为有效数串即可求出结论． 【详解】解：①若特征数串17，3，5， ∵ ∴第一次替换后新数串为2，3，5， ∵ ∴第二次替换后新数串为1，2，3， 故①正确； ②若特征数串，3，5， ∵经过一次操作后得到的新数串为1，2，3， ∴5被替换，即5为最大数， ∴或， ∵x为正整数， ∴或， 故②正确； ③若特征数串，3，5， 分两种情况：（1）当为最大数时，则第一次替换后新特征数串为：、3、5， 经过第二次变换后，新数串为1、2、3， 则可知，第二次操作，5被替换， ∴，解得： 新数串为：、3、或， ∵特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3， ∴当，或， ∴或， 特征数串为16，3，5；或14，3，5； 当，或， ∴或； 特征数串为13，3，5；或17，3，5； （2）当5为最大数时，则第一次替换后新特征数串为：x、3、， ∵经过第二次变换后，新数串为1、2、3， 则可知，第二次操作，x或被替换， 当x最大时，则，解得：， ∴新数串为：，3， 当， 时 ∴（舍去） 当，时， ∴无解； 当最大时，则，解得：， ∴新数串为：，3，x， 当， 时 解得：（舍去）； 当， 时 无解； 综上，若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有4种不同的取值． 故③错误； ∴有①②正确，共2个． 故选：C． 30．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）定义一种新运算： ，下列说法： ①若， 则 ②若， 则该不等式的解集为或； ③代数式 有最小值6； ④若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a的值为0或4．以上结论正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，一元一次方程的解法，一元一次不等式的解法及二元一次方程组的解，理解新定义并且利用分类讨论的思想方法是解题的关键．根据新运算的规定，利用分类讨论的思想方法对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：①若， 当时，得， 解得，不符合题意，舍去； 当时，得， 解得，符合题意， 综上，若，则， 故说法①错误，不符合题意； ②，且， ， ， 解得或， 故说法②正确，符合题意； ③ 可表示为在数轴上表示x的数与到数轴上表示3及的数的距离之和，可得其最小值为6， 故说法③正确，符合题意； ④的解为 当时，原方程组可化为， 将代入得，解得， 当时，原方程组可化为， 将代入得，解得（舍去）， a的值为4． 故说法④错误，不符合题意． 正确的结论有：②③，一共2个． 故选：B 31．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）定义：把互不相等的3个正整数x，2，5（三个数排列不分顺序）组成一个数串称为有效数串．现操作如下：将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若新数串为有效数串时，就可进行再次操作．下列说法： ①若一个有效数串经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或3． ②若一个有效数串经过两次操作后得到新数串为1，2，3，则x有4种不同的取值． ③如果一个有效数串至少经过两次操作后仍是有效数串，若再继续操作下去，则在整个操作过程中一定存在新数串1，2，3． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论，按照题干中给出的信息进行操作，列出相应的方程进行计算即可． 【详解】解：①若新数串为1，2，3则2不是新数串中最大值， ∴5是被替换的数，即存在时或时，故①正确； ②当x为最大值时，则第一次操作后新数串为：，2，5， 经过第二次操作，新数串为1，2，3， 则可知，第二次操作，5被替换， 即5为最大数， ∴或， 解得：， ∴新数串为，，， 当，或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当，或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴当x为最大值时，或或或； 当5为最大值时，则第一次操作后新数串为：，2，x， ∵经过第二次操作后仍然存在2， ∴或， 当时，或， 由得， ∵x为正整数， ∴， 当时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1，1，2，不符合题意； ∴不符合题意； 不等式组无解； 当时，或， 不等式组无解； 由得：， ∵x为正整数， ∴或， 当时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1，1，2，不符合题意； 当时，第一次操作后新数串为3，2，4，进行第二次操作后为2，2，3，不符合题意； 综上分析符合题意的x的值只有4个，故②正确； ③当时，第一次操作后新数串为14，2，5， 进行第二次操作后为4，2，5， 进行第三次操作后为4，2，3， 进行第四次操作后为2，2，3，不符合题意， ∴只能进行三次操作，无法进行第四次操作， ∴当时，在整个操作过程中不存在新数串1，2，3，故③错误； 综上分析可知，正确的个数为2个． 故选：C． 32．（2026·四川成都·二模）对于线段与该线段上的两点，，其中，，给出如下定义：点，，…，，是线段上的个不同的点，这些点与点或点构成的长度不超过的线段的长分别为，，…，，，若这个点满足，则称这个点为线段关于线段的一个基准点族．现将线段的一个端点与线段的一个端点重合，固定线段的位置不动，将线段以每秒个单位长度的速度向线段另一个端点移动．当移动时间为秒时，点，，…，，是线段关于线段的一个基准点族．则当的最大值为时，的取值范围是________． 【答案】或． 【分析】取的中点记为点，则，按照在线段上和在线段上进行分类讨论，根据题意列出关于的不等式，根据的最大值为，即可得的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 取的中点记为点，则， ∵， ∴在线段上，或在线段上， 以点为原点，建立如图所示的数轴， 若在线段上， 根据题意可得，， ∴， ∵的最大值为， ∴， 解得， 若在线段上， 根据题意可得，， ∴， ∵的最大值为， ∴， 解得， ∴当的最大值为时，的取值范围或． 33．（25-26七年级上·北京昌平·期末）新定义运算：※， ① ② ③ （1）若某运算满足：※※※（其中，为任意有理数，为任意非零有理数），则称此运算满足“右分配律”．上述三个运算中，满足“右分配律”的是___________（填写序号）； （2）若为任意有理数时，将，分别代入上述三个运算，则结果一定为非负数的是___________（填写序号）． 【答案】 (1)③ (2)② 【分析】本题主要考查有理数的运算、绝对值、不等式等： （1）①；②当时，，当且时，；③． （2）①；②，分两种情况讨论；③． 【详解】（1）①，不满足“右分配律”． ②当时，，不满足“右分配律”；当且时，，不满足“右分配律”，同理可得，其他的情况，均不满足“右分配律”． ③，满足“右分配律”． 故答案为：③ （2）①，当时，． ②． 当时，． 当时，． ∴为任意有理数时，． ③． 当或，． 故答案为：② 34．（24-25八年级下·重庆·阶段检测）一个四位自然数，各个数位上的数字均不为，若满足千位数字和百位数字的积加上十位数字和个位数字的积，所得的和为，则称四位数为“快乐数”．如，＋，是“快乐数”，最大的“快乐数”是___________；若一个“快乐数”，百位数字与个位数字相等，千位数字与百位数字的和减去十位数字与个位数字的和，所得的差是的整数倍，则满足条件的所有四位自然数的和为___________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解新定义是解题的关键．设四位数为，由新定义得，当时，，或，即可求解；由新定义可设，可得，，结合、、的取值范围，即可求解． 【详解】解：设四位数为， ， 当时， ， 或， 当时， ， ， ，， 或，， 故这个四位数是或， 最大的“快乐数”是； “快乐数”，百位数字与个位数字相等， 可设， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， 千位数字与百位数字的和减去十位数字与个位数字的和，所得的差是的整数倍， ，为整数， ， ， 当时，， ； 当时，， ； 为或， ； 故答案为：，． 35．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于的二元一次方程（其中是常数）叫做方程的“移变方程”．例如：的“移变方程”为．已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为_________． 【答案】且 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，解题关键是理解新定义，并正确求解含参方程． 根据新定义，仿照示例，得到二元一次方程与“移变方程”系数之间的关系，列出不等式组，求出的范围，并注意二元一次方程的系数不为0，即可求解． 【详解】解：根据“移变方程”的定义，知的移变方程为： ， 又也是的移变方程， ∴， 由②得，， 代入①，得， ∵， ∴， 解得， 又是二元一次方程，则： 且， ∴ 解得且， 又， ∴的取值范围为且． 故答案为：且． 题型五 多结论问题（共11小题） 36．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先根据“两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行”解答①；再根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再结合已知条件判断②；根据“两直线平行，同旁内角互补”解答③；延长，根据“两直线平行内错角相等”得，再根据，解答④即可． 【详解】解：∵， ∴，则①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，则②正确； ∵ ∴， 即，则③正确； 延长， ∵， ∴． ∵， ∴，则④不正确． 正确的为①②③． 37．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 38．（24-25七年级下·北京房山·期末）如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，由平行线的判定定理可判断①；过点作，则，由平行线的性质可得，即可判断②；设，，可得，，，即可判断③；过点作，则，可得，，进而得到，即得到，即可判断④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 过点作，则， ∴，， ∴， 即，故②正确； 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵，，，， ∴，， 过点作，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②③④， 故选：． 39．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线 ，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且 ，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；③过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；④过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，，可得，进而可得结论． 【详解】解：①过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；①正确； ②点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ③过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴，即，③正确； ④过点P作，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，④正确． 综上，正确的有4个， 故选：D． 40．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）将一副三角板按如图所示放置，，．则下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有________（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据三角板的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质解答即可． 此题主要考查学生对平行线判定与性质、余角和补角的理解和掌握，解答此题时要明确两种三角板各角的度数． 【详解】解：根据题意，得，，，， 故， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，不平行， 故②正确；③错误； ∵， ∴， ∴， ∴． 故④正确； 故答案为：①②④． 41．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，点F、G分别在、上，点E在、之间，连结、，平分，平分且交的反向延长线于点H，交于点P，，．给出下面四个结论： ①；    ②；    ③；    ④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、利用邻补角求角的度数等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键． 由补角的性质以及角平分线的性质，计算的度数，得出的度数，判断结论①； 由平行的性质得出，结合，可证，判断结论②；分别计算出与的度数，判断结论③；由与平分，结合对顶角相等，找出等量关系，可证，判断结论④． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故结论②正确； ∵，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， 故结论③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 42．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查角平分线的性质、余角、补角和角度的和差关系，根据角平分线的和，利用平角即可判断①，结合补角的定义即可判断②，利用角平分线的性质和平角即可判断③，利用角平分线的性质与角度和差关系即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵平分，， ∴， ∴， ∴与互补，故②正确； ∵，故③不正确； ∵平分，平分， ∴，， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 43．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）将长方形纸片沿折叠，折线交于点E，交于点F，点A、B的落点分别是、、交于G，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，若恰好落在边上，当时，下列四个结论：①；②；③如图所示，当在线段上（不含端点）时，；④若，则，其中正确的结论是__________．（填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的性质，与折叠有关的角的计算，解题的关键是平行线性质的熟练掌握． 由折叠的性质得，进而即可判断①；根据平行线的性质得到，，进而即可判断②；根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，推出，即可得到，进而计算即可判断③；分为两种情况：当在线段上时或当在线段上时；设，则，分情况求解即可判断④． 【详解】解：由折叠的性质得，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵在线段上， ∴， 由折叠的性质得， ， ∴， 由折叠的性质得， ∴，即， 解得， ∵， ∴，故③正确； 设，则， 当在线段上时，，． ， ． 由折叠的性质得，， ， ， 解得， ． 当在线段上时，如图， ∴，． ， ． 由折叠的性质得，， ， ， 解得， ． 综上所述，或，故④错误． 综上所述，①②③正确； 故答案为：①②③． 44．（24-25六年级下·山东淄博·期末）如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论，其中错误的是_______ （填序号）． ①； ②； ③； ④． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查平行线的判定瑟性质，过H作，先根据同位角相等两直线平行得出，再根据平行线的性质以及对顶角相等、三角形内角和以及倍角关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确， 过H作，如图： ， 设，则，， ∴, 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又 ∴，不一定为，故③错误， ，故④错误， 综上所述，错误的结论为③④． 故答案为：③④． 45．（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，点E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论： ①；②平分；③；④． 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的计算等知识点，需熟练掌握．由，得出，于是证得；根据得到，因为，所以，从而得出平分；设，，先根据的余角比大求出的度数，再根据角平分线的定义得出，即，从而求出，即得出的度数，从而判断即可得出正确的结论． 【详解】解：，， ， ，故正确； ， ， ， ， 即平分，故正确； 无法证得， 故错误； 的余角比大， ， ， ， ， 设，， ， 平分， ， 平分， ， 即， ， 解得， 即，故正确； 故答案为：． 46．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是________（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查平行线的拐点模型，过点H作，设，，则，，分别表示出、，即可分析出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴， ∴③错误； ， ∴④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 题型六 乘法公式与几何图形的综合应用（共15小题） 47．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【答案】(1)；； (2) (3)3 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方式的几何背景、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． （1）用两种不同的方式表示大正方形的面积， （2）根据这两个面积相等列出等式即可； （3）根据（2）得结论，可得，再代入已知计算，即可求解． 【详解】（1）解：利用图1，可以得到等式：； 利用图2，可以得到等式：； 利用图3，可以得到等式：； （2）类比（1）可得： （3）， ， 即： ， ， 解得． 48．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式． 图1：________；图2：________；图3：________． (2)通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度    方法二：从“形”的角度 解：，        解：， ，即：，    又， 又        ， ．        ． 即．        即． 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)；； (2)12 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式与图形面积的结合，解题的关键是通过图形的分割、拼接，将代数式与几何图形的面积建立联系，利用“数形结合”的思想进行转化求解； （1）图1：通过面积和列等式，得到完全平方和公式；图2：通过大正方形减去两个矩形，再加上重叠的小正方形，得到完全平方差公式；图3：通过面积相等得到平方差公式； （2）设，，根据完全平方公式及条件求出的值，再根据阴影部分是直角三角形，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设，， 则． 因为， 即， ， 即阴影部分的面积为12． 49．（25-26八年级上·山东日照·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【答案】（1）见解析；（2）①；②3；（3）；（4） 【分析】（1）根据大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和证明完全平方公式； （2）①利用完全平方公式变形计算即可求解； ②设，，求得，，再利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （4）利用（3）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， 大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：； （2）①∵，，， ∴， ∴； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ， 故答案为：； （4）解： ． 【点睛】此题考查了完全平方公式与图形面积，平方差公式与图形面积，完全平方公式的运用，平方差公式的运用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． 50．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）的值为6；（2）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， ， 的值为6； （2）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 51．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____． A．  B．  C． (2)已知，，则______． (3)应用所得的公式计算：． (4)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)B (2)4 (3)1 (4) 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （2）把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解； （3）先将化成，再应用所得的公式，即可计算得到结果； （4）先将9化成，然后应用所得公式即可逐步计算得到结果． 【详解】（1）解：图1中，边长为的正方形的面积为：；边长为的正方形的面积为：， 图1的阴影部分为面积为：， 图2中长方形的长为：，长方形的宽为：， 图2长方形的面积为：， ， 故选：B． （2）解：， ， 又， ， 故答案为：4． （3）解： ． （4）解： ． 52．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则______； (2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地，（），它们面积和为，为（B，A，G在同一直线上），学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再将代入求值即可； （2）设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，由已知条件得，，同理可求，由，可求得，从而可求得，由，再代入相关结论即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：． （2）解：设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，它们面积和为，为（B，A，G在同一直线上）， ∴，， ， ，解得：， ∵， ∴， ②， 联立，解得：， ∴ ． 53．（25-26八年级上·河南商丘·期末）【问题背景】“算两次”是一种重要的数学思想，即用两种不同的方法表示同一个量如图形面积），从而建立等式．如图1，将一个长为、宽为的长方形沿虚线剪成四个相同的小长方形，再按图2拼成一个正方形． (1)观察图2，用两种方法表示阴影部分（中间小正方形）的面积，可得到的等量关系是_____． A．    B． C．    D． (2)已知，求的值． (3)如图3，在六边形中，对角线和相交于点，四边形和四边形都为正方形，若，正方形和正方形面积的和为36，求阴影部分的面积． 【答案】(1)D (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式解决几何问题，解题的关键是掌握完全平方公式． （1）利用几何图形的面积公式进行表示即可； （2）利用完全平方公式进行求解即可； （3）设，，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：阴影部分（中间小正方形）的面积为或， ∴， 故选：D； （2）解：， ； （3）解：设，， 则，两边平方，得， ． ， ， 解得， ． 54．（25-26八年级上·湖北随州·期末）很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，容易机械记忆．为了帮助同学们直观理解公式的几何意义，老师设计了一节“拼图与公式”实验课： 【知识重现】 观察图①，用等式表示图中图形面积的运算： 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积为__________． 【拓展应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则__________． （3）若实数满足，求． 【学习致用】 （4）如图③，两块完全相同的直角三角板与按图示放置，点在同一直线上．连接，已知，且，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）108；（3）15；（4）58 【分析】考查了完全平方公式的几何背景及应用，熟练掌握完全平方公式的变形与几何意义是解题的关键． （1）观察图②，用整体与部分的面积关系推导等式，即大正方形面积减去空白部分面积得到阴影部分面积，或者用各部分阴影小图形面积相加来表示． （2）根据类比探究得出的公式，将与的值代入计算 ． （3）把和看作整体，利用类比探究的公式，结合已知条件计算 ． （4）设出直角三角板的两条直角边，根据线段和与面积和的条件，结合完全平方公式变形求解单块三角板面积 ． 【详解】解：（1）大正方形边长，面积，空白是两个长宽的长方形，两个小正方形的面积分别为，， ∴阴影面积； （2）由，，， ∴； （3）设，，则， ． ， ∴； （4）设，，则 ． ，即 ． ∵， ∴， 解得 ． ∴一块直角三角板面积 ． 55．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常用方法． (1)【观察发现】图1是用边长为、的四个长方形拼成的一个大正方形，图2是用边长为、、的三个正方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的关系式为：图1：___________，图2：_________． (2)【解决问题】如图3，在线段上取一点，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，分别连接、、、，若的面积为3，，求阴影部分的面积的和． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义、代数式的变形与求值，熟练掌握完全平方公式的变形及几何图形面积的转化是解题的关键． （1）通过大正方形面积的两种表示方法推导完全平方公式相关关系式． （2）解题关键在于设元，将几何条件转化为关于a、b的方程，并利用公式整体求出的值，最后代入面积公式求得结果． 【详解】（1）解：利用图形可以推导出的关系式为，图1：； 图2：. 故答案为：， （2）解：设，，则， ， ， ， ， ，， ． 56．（25-26八年级上·河南新乡·期末）某学校有两块空地，如图1、图2． (1)图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪，请用两种方式表示草坪的面积：①_________；②__________． 由此可以验证的公式为③__________． (2)图2是一块多边形空地，该校在这块空地上规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的总面积． 【答案】(1)，， (2)108 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）通过不同图形分割方式得到草坪面积的不同表达式，从而验证完全平方公式； （2）由题意可得：，，得到草区域的面积，根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，两种方式表示草坪的面积：，， 由此可以验证的公式为， 故答案为：，，． （2）解：由题意得：，， ∴， ∴种草区域的面积， ∵，， ∴， 即种草区域面积和为108． 57．（25-26八年级上·山西临汾·期末）【项目化学习】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A，B，C，各型号卡片各多少张？ (2)若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A型卡片9张，再取B型卡片4张，还需C型卡片__________张． (3)用一张A型卡片，一张B型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如题图所示的图形，若阴影部分的面积为32，C型卡片的面积为48，求的值． 【答案】(1)需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张； (2)12 (3)， 【分析】本题考查了整式乘法的几何应用，三角形、正方形、长方形的面积公式，解题的关键是掌握整式乘法的运算法则． （1）计算出拼成的长方形面积即可求解； （2）根据完全平方式的特点，即可求解； （3）由题意可得，根据，求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：拼成的长方形面积为：， 需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张； （2）解：∵A型卡片9张，再取B型卡片4张的面积之和为， ∴添加能与组成一个完全平方式， 即是一个完全平方式，故， ∴要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需C型卡片12张； 故答案为：12； （3）解：∵C型卡片的面积为48， ∴， ， 又阴影部分的面积为32， ∴， 解得：（负值已舍去）， 又， ∴， ∴，． 58．（25-26八年级上·广西玉林·期末）【问题情境】我们通常用作差法比较代数式的大小．例如：已知，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则．反之亦成立．本题中因为所以，． 【数学思考】（1）如图1是边长为的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的长方形，此长方形的面积为；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的正方形，此正方形的面积为． ①用含的代数式分别表示=___________，___________； ②比较大小：___________（填“>”“<”或“=”）． 【拓展探究】（2）已知两个等腰直角三角形（和）的直角边长分别为和（）．将这两个等腰直角三角形按如图4方式放置在一起，连接．如果是线段的中点，连接．请比较与的面积大小． 【答案】（1）① ；②＜ （2） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键． （1）①根据图形，按照长方形及正方形的面积公式进一步计算即可得出相应的与的值；②然后进一步将二者相减并化简，最后根据化简结果的正负性比较大小即可； （2）根据和表示三角形的面积，然后运用作差法解题即可． 【详解】解：（1）①，， ②， ； 故答案为：①，；②； （2）， ， ， ， ， ， ． 59．（25-26六年级上·山东济南·期末）数形结合思想是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．某数学兴趣小组探究图1、图2，分别用两种不同的方法列代数式表示了阴影图形的面积． (1)知识探究 观察图1，方法一：______，方法二：______； 观察图2，方法一：______，方法二：______； (2)尝试应用：观察图3，解决下面的问题：若，，求的值； (3)拓展延伸：若，求的值． 【答案】(1)，；， (2)； (3)． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键． （1）用两种不同的方法表示出阴影图形的面积，即可得出结论； （2）用两种不同的方法表示出阴影图形的面积，得到，再整体代入求解即可； （3）设，，根据题意得到，，再利用（1）得到公式，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解：观察图1，方法一：，方法二：； 观察图2，方法一：，方法二：； 故答案为：，；，； （2）解：观察图3，方法一：，方法二：； ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：设，， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴，即． 60．（25-26八年级上·山东临沂·期末）数学活动：数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． 【知识生成】（1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图2是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1：___________；图2：___________ 【拓展探究】（2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3所示的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式，之间的等量关系． 【解决问题】（3）如图4，已知长方形周长为，分别以和为边作正方形和正方形，已知这两个正方形的面积和为，求长方形的面积． 【知识迁移】（4）若，则___________． 【答案】（1），（2），验证见详解（3）（4） 【分析】本题主要考查了完全平方公式和图形相结合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，并掌握数形结合的数学思想． （1）结合图形的面积即可得出乘法公式； （2）结合图形的面积即可得出，之间的等量关系，然后利用完全平方公式进行验证即可； （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得出，，依据进行求解即可； （4）先得出，再利用完全平方公式进行整理计算即可． 【详解】（1）解：根据图形1得，， 根据图形2得，； 故答案为：，； （2）解：根据图形3得，，验证如下： ， ， ∴； 故答案为：． （3）解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意得， ，， ∴， ∴， ∴长方形的面积为； （4）解：∵，， ∴ ． 61．（25-26八年级上·山西大同·期末）阅读与思考 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为______． [类比探究] 观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． [知识应用] （2）根据图②所得的公式，若，，则______． （3）若x满足，求的值． [拓展应用] （4）如图③，在四边形ABCD中，于点E，，，，若与的面积和为，则与的面积和为______． 【答案】（1）；；（2）5；（3）5；（4）2． 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用． （1）由题意知，； 由题意知，； （2）将，代入，计算求解即可； （3）由题意知，，根据，计算求值即可； （4）由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据，计算求值即可． 【详解】解：（1）由题意知，， 故答案为：； 由题意知，， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：5； （3）解：由题意知，， ∴； （4）∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 题型七 新定义下的实数运算（共8小题） 62．（25-26七年级上·北京·期末）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)10 (2)14 (3)15或或10 【分析】本题考查了整式加减，有理数的混合运算，绝对值的性质，掌握有理数混合运算顺序及合并同类项，绝对值的性质的熟练应用是解题的关键． （1）根据新运算定义，先判断的奇偶性，再列式计算； （2）先判断的奇偶性，再列式计算； （3）先判断的奇偶性，列式计算结果为是偶数，求转化为求，针对a的取值分情况讨论，再结合，确定a的取值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，为偶数， ∴ ． （2）解：∵，为奇数， ∴， ∴， ∵整数a，b，， ∴，， ∴， 整理得， ∴． （3）解：∵一定为偶数， ∴是偶数， 当a为奇数时， ， ①当a为负奇数时得， ∴， 解得舍去； ②当a为正奇数时，得， ∴， 解得； 当a为偶数时， ， ①当a为负偶数时得 ， ∴， 解得， ②当a为正偶数时得 ， ∴， 解得， 综上所述：a的值为15或或10． 63．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个正整数n若能表示成m个正整数的和，且这些正整数的倒数和恰好等于1，则称n为m阶“汇和数”．例如，，且，所以22就是4阶“汇和数”． (1)证明：11是一个3阶“汇和数”； (2)证明：若n是一个k阶“汇和数”，则、分别是阶、阶“汇和数”； (3)请在以下两个问题中任选一个解决： ①请判断：505是“汇和数”并说理； ②证明：若n是一个k阶“汇和数”，则是一个阶“汇和数”． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①是，理由见解析；②证明见解析 【分析】本题考查了新定义“汇和数”和有理数混合运算． 【详解】（1）证明：，且， 是一个3阶“汇和数”； （2）证明：若n是一个k阶“汇和数”， 不妨设，， 则， 且， 故是阶“汇和数”； ， 且， 故是阶“汇和数”； （3）①解：505是“汇和数” 理由：由（1）知11是“汇和数”， 由（2）知是“汇和数”， 是“汇和数”， 由（2）知是“汇和数”， ，，，， 是“汇和数”； ②证明：设，， ， ， 是一个阶“汇和数”． 64．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如果一个四位数满足千位数字与十位数字的和为8，百位数字比个位数字少3，那么称为“勤奋数”．若一个四位“勤奋数”的千位数字与个位数字的3倍的和记作，百位数字与十位数字的和记作，那么为整数时，则称为“勤奋整数”． 例如：2164满足，，故2164是“勤奋数”，且，，即是整数，故2164是“勤奋整数”． (1)判断：1346　　“勤奋数”，3659　　“勤奋数”（填“是”或“不是”）； (2)任意一个四位“勤奋数”与其个位数字的2倍之差能被11整除吗？为什么？ (3)直接写出2164以外的所有“勤奋整数”． 【答案】(1)①不是；②是 (2)能被11整除，理由见解析 (3)满足条件的“勤奋整数”分别为1477、5235、6124、7013、8104 【分析】本题考查了新定义运算，列代数式及整式的加减，有理数的混合运算，关键是理解新定义，正确运用新定义解决问题． （1）根据新定义及其计算方法，即可一一判定； （2）设任意一个四位“勤奋整数”的千位上的数字为a，百位上的数字为b，则十位上的数字为，个位上的数字为，可得，，据此即可证得； （3）根据题意和新定义可得为整数，再枚举即可求解． 【详解】（1）解：中，， 不是“勤奋数”； 中，， 是“勤奋数”； 故答案为：不是，是； （2）证明：设任意一个四位“勤奋数”的千位上的数字为a，百位上的数字为b， 则十位上的数字为，个位上的数字为， ， ，b均为整数， 也为整数， 能被11整除， 任意一个四位“勤奋数”与其个位数字的2倍之差能被11整除； （3）解：由（2）知“勤奋数”， ，， ， 又为整数， 所以当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验无符合题意的值； 当时，，枚举检验无符合题意的值； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验无符合题意的值； 综上，满足条件的“勤奋整数”分别为1477、5235、6124、7013、8104． 65．（25-26七年级上·北京·期末）阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点，把与点相距个单位长度（是正数）的两点所表示的数分别记作和（其中，并把，这两个数叫做“点关于的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是． (1)如果点P表示数1，那么点P关于2的对称数组是___________； (2)如果，那么点P表示的数是___________，a的值是___________； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，，，两点同时从原点出发反向运动，当时，点P、Q之间的距离为___________． 【答案】(1) (2)， (3)或10 【分析】本题考查了新定义运算，一元一次方程的应用；数轴上两点的距离，熟练掌握以上知识点是关键； （1）根据对称数组的定义，即可求解； （2）根据新定义得出，； （3）根据新定义可得，，，，进而由得出，解关于的方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，如果点表示数1，那么点关于2的对称数组是 ， 故答案为：． （2）解：， ，， 故答案为：，． （3）解：，，两点同时从原点出发反向运动， ，，，， ， ， 即 ①当时， ． ． 得； ②当时， 解得：， 综上所述：点、之间的距离是或10． 66．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如我们把记作，读作“2的3次商”．记作，读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 我们知道，有理数的除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化乘方运算呢？例：． (1)仿照上面的算式，请你尝试将下列各式写成乘方（幂）的形式： ①； ②． (2)想一想：将一个非零有理数的次商写成幂的形式等于______； (3)算一算： 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①根据除方的意义求解； ②根据除方的意义求解； （2）根据除方的意义，将的次商用除法表示出来，写成成幂的形式； （3）用（2）中得到的规律代入求解，再计算即可． 【详解】（1）①解： ； ②解： ； （2）解：的次商为， 故答案为：． （3）解： ． 【点睛】本题考查了有理数幂的概念理解，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算，数字类规律探索，新定义下的实数运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 67．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【阅读材料】对于两个正数a，b，其中，如果，那么可将指数c记作，即．例如：，则． 【问题解决】 (1)填空：________；________． (2)小茗同学在研究这种运算时发现一个规律：，并给出了如下证明：设，，则，， ， ， ． 请利用小茗探究的结论，解决下列问题： ①已知两个正方形的边长分别为m，n，若，．求这两个正方形的面积之和． ②如图，把长方形分成4个小长方形．其中，长方形的面积是a，长方形、的面积都是b，长方形的面积是c．若，求的值． 【答案】(1)6；1 (2)①192；②． 【分析】（1）根据所给的新定义运算即可解答； （2）①根据新定义给出的特证求得，，再根据完全平方公式变形，计算即可；②设，，，，则，，根据题意得到，，，计算得到，再根据新定义给出的特证运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6；1； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵两个正方形的边长分别为m，n， ∴这两个正方形的面积之和； ②由题意，设，，，，则，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法法则，完全平方公式，掌握并灵活运用对应法则是解题的关键． 68．（24-25六年级下·上海·期末）现有有序数对和，如果，则称“关联”了，或被“关联”． 例如，，则称“关联”了 (1)下列数对中被“关联”的有______； ①，②，③，④ (2)若同时被和“关联”，请求出p，q； (3)对于均不为0的a、b、c，数对“关联”了、和，且被“关联”，试求数对． 【答案】(1)①④ (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数的运算，二元一次方程组，三元一次方程组等知识点，解题的关键是根据题意正确理解被“关联”关系，并根据关系列出代数式． （1）根据“关联”定义逐项进行判断即可； （2）根据“关联”定义列出二元一次方程组并求解即可； （3）根据“关联”定义列出三元一次方程组，找出的关系，进而可求出的值． 【详解】（1）解：①， ∴被“关联”； ② ∴未被“关联”； ③ ∴未被“关联”； ④ ∴被“关联”； 故答案为：①④； （2）解：根据题意得， 解方程组得； （3）解：根据题意得， 得，即， 将代入①得， 将和代入③得， ， 根据题意可得， ， 整理得， 将代入得，， ∴， 解得， 所以，数对为． 69．（24-25八年级上·江西上饶·期末）设p，q为两个正整数，若p，q最大公约数为1，则p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数表示不超过n且与n互素的正整数的个数，记为，例如不超过5且与5互素的正整数个数，易知． (1)求． (2)判断是否一定成立（m，n均为正整数）． 设p为素数，k为正整数，使用p，k表示． 【答案】(1)20 (2)①不一定，② 【分析】（1）根据题意，，得到偶数中2，4，8，14，奇数中1，7，11，13与15互素，得到；，得到偶数中2，4，8，14，16，20，奇数中1，5，11，13，17，19与21互素，得到；计算即可． （2）举反例说明即可． 设p为素数，当时，发现其中的规律，引申为一般性结论即可． 本题考查了新定义，数字的规律，熟练掌握定义，发现数字中的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴偶数中2，4，8，14，奇数中1，7，11，13与15互素， ∴； ∵， ∴偶数中2，4，8，14，16，20，奇数中1，5，11，13，17，19与21互素， ∴； ∴． （2）解：根据题意，得， 故， 故不一定成立． 解：设p为素数，当时， ； 当时， ； 当时， ； 由此得到规律如下： 当时， ； 故素数为p，指数为k时，． 题型八 不等式的新定义问题（共14小题） 70．（25-26七年级下·全国·期末）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x的系数a互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为____； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数m，n，t，满足条件，并且是关于x，y的二元一次方程的“亲密方程”，求m的值． 【答案】(1) (2)2025 (3)5 【分析】（1）根据题意列出已知方程的亲密方程； （2）根据“亲密方程”的定义建立方程组，解方程组求出x，y的值，再代入方程可得，据此计算即可得； （3）根据“亲密方程”的定义求出方程的“亲密方程”，解方程组求出，然后根据整数m，n，t，满足，得出，解得整数m满足． 【详解】（1）解：根据定义得：的“亲密方程”为； （2）的“亲密方程”方程为， 联立得，解得， ∵， ∴， ∴方程组的解为， ∵恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为2025； （3）∵是关于x，y的二元一次方程的“亲密方程”， ∴，化简得， ∵整数m，n，t，满足， ∴， ∴整数m满足， ∴m的值为5． 71．（25-26七年级上·北京海淀·期末）对数轴上的线段和点，，给出如下定义：如果在线段上分别存在点M，N（点M，N可以重合），使得，则称点，是线段的一组“关联点”．已知点表示的数是3，点表示的数是p． (1)若点B表示的数是1，， ①点，，分别表示数5，，，则在这三个点中，点P与点______是线段AB的一组“关联点”； ②点Q表示的数是q，若点P，Q是线段AB的一组“关联点”，求q的最大值和最小值； (2)若点B表示的数与点P表示的数互为相反数，点Q表示的数为，若线段上任意两点都是线段的一组“关联点”，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)①点；②q的最大值是，最小值是， (2)． 【分析】本题主要考查了新定义问题以及数轴上两点间距离的计算，解题的关键在于理解“关联点”的定义，并根据不同情况进行分类讨论． （1）①根据点P表示的数求出，再根据点Q所表示的数求出的取值范围，由此判断能否成立，即可得出结论； ②根据，得出，再根据数轴的特点和图形求出极端值情况，即可得出答案； （2）根据线段上任意两点都是线段的一组“关联点”，则的长度一定要小于等于的长度，由此列出 【详解】（1）解：已知点表示的数是，点B表示的数是，点表示的数．如图： 设线段上一点对应的数为，，则，当时，；当时，， 所以． ①设线段上点对应的数为，， 若表示数5，则，当时，；当时，，所以，在线段AB上分别存在点M，N使得． 若表示数，则，当时，；当时，，所以，不可能等于，故点与点不是线段的一组“关联点”． 若表示数，则，当时，；当时，，所以，不可能等于，故点与点不是线段的一组“关联点”． 综上所述：点P与点是线段的一组“关联点”． ②设点表示的数为，线段上点对应的数为，，则， 因为点，是线段的一组“关联点”，所以， 当在点右侧时，取最大值，， 当在点左侧时，取最小值，， 综上所述：q的最大值是，最小值是， （2）解：∵点P表示的数是p，点B表示的数与点P表示的数互为相反数， ∴点B表示的数为， ∵点表示的数为， ∵线段上任意两点都是线段的一组“关联点”，则的长度一定要小于等于的长度. ，， ∴， 当时，，解得：，即， 当时，解得：，即， 当时，，解得：，此时没有满足条件解， 综上所述：p的取值范围为. 72．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）我们规定：二元一次方程组的解记为，若存在满足，，则称是的“五好点”． (1)点的“五好点”的坐标为______； (2)若方程组的解记为，点的“五好点”为，且满足，求的取值范围； (3)已知：是的整数部分，是的算术平方根（其中），当时，的“五好点”是，问：可能取得的最大值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)可能取得的最大值是 【分析】（1）根据新定义，由，利用，，得到其“五好点”的坐标即可； （2）解二元一次方程组，得到，得到“五好点”的坐标，代入，得到的范围； （3）根据题意，得到，通过解方程组得到，从而得到结果． 【详解】（1）解：根据“五好点”定义，，， ， “五好点”，，， “五好点”的坐标为， 故答案为：； （2）解： 将，得， 解得， 把代入，得， 点的“五好点”为， ，， 又 ， ； （3）解：， 的整数部分， ，是的算术平方根（其中）， ， 即为， 当时，的“五好点”是， ， 两式相减，得， ， ， 可能取得的最大值是． 【点睛】本题考查了新定义，二元一次方程组的应用，读懂题意，熟练解二元一次方程组是解题的关键． 73．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 【答案】(1)无缘组合 (2) 【分析】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解． （1）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，然后根据“有缘组合”和“无缘组合”的定义判断即可． （2）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据“有缘组合”的定义一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解进而求出a的取值范围． 【详解】（1）解：， 解得： ， 解得：， ∵一元一次方程的解不是一元一次不等式的解， ∴组合是“无缘组合”； （2）解： 解得：， 解不等式， 解得：， ∵关于x的组合是“有缘组合”， ∴在范围内， ∴ 74．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)计算：__________；___________． (2)解方程组：． (3)当整数，满足和时，有序数对恰好有对，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)满足题意的不存在 【分析】本题考查了新定义运算，二元一次方程组，一元一次不等式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据新定义运算将式子化为加减运算，从而计算即可． （2）分和两种情况，再根据新定义运算将式子化为普通的二元一次方程，从而解方程组，判断所得结果是否分别满足和两种情况即可，即可求解． （3）分和两种情况，再根据新定义运算和可分别得到二元一次方程不等式组，解得的结果分情况判断其整数对的个数即可． 【详解】（1）解：∵，当时，， ∴， ∵，当时，， ∴， 故答案为，． （2）①当时，原方程组化为：， 解得：满足，符合题意．             ②当时，原方程组化为：， 解得：，不满足时，舍去． 综上所述：原方程组的解为． （3）①当时，由可得：， 又由知：， ， 解得：有无数整数解，不符合题意．     ②当时，由可得：， 又由知：， ， 解得：，                                整数对有对， 有个整数值，为，，， ，解得，                 ，都是整数，且， 也是整数， ．                                      故当时，符合题意； 但当时，若，则由①可知：， 得，且，整数对 有无数对，故不符合题意． 综上所述：满足题意的不存在． 75．（23-24七年级下·福建泉州·期末）阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 76．（22-23七年级下·四川·期末）定义：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相等，且都不为零，那么称这个两位数为“柠安数”．将一个“柠安数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，新两位数与原两位数的和为，和55与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：①下列两位数：60、58、88、31中，“柠安数”为__________；②计算：__________； (2)如果一个“柠安数”的十位数字为，个位数字是，且，请求出“柠安数”； (3)如果一个“柠安数”满足，求满足条件的的值． 【答案】(1)①58，31；②6 (2)49 (3)71，81，82，91，92，93 【分析】（1）①有“柠安数“的定义可得； ②根据定义计算即可； （2）根据一个“柠安数”m的十位数字为n，个位数字是，则，由于，则，建立方程求n即可求m的值； （3）设x十位数字为a，个位数字为b，根据列出不等式，即可写出满足条件的x的值． 【详解】（1）解：①由“柠安数”的定义：个位数字与十位数字互不相等，且都不为零，可知“柠安数”为：58，31； ②， 故答案为：①58，31；②6； （2）∵任意一个“柠安数”m的十位上的数字是n，个位上的数字是， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）设x的十位上的数字是a，个位上的数字是b， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵a为整数， a可取7，8，9， 当时，， ∴， ∴，， 当时，， ∴， ∴或2，或82， 当时，， ∴， ∴或2或3，或92或93， 综上所述，满足条件的x的值为71，81，82，91，92，93． 【点睛】本题考查了整式的加减，解一元一次方程，解一元一次不等式，理解“柠安数”的定义，并按照定义分析是解题的关键． 77．（25-26七年级下·重庆巴南·期末）定义运算“F”，规定（其中a、b均为常数），例如．已知，． (1)求a、b的值； (2)根据有理数的除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．即：若，则或，若，则或．根据上述规律，求关于x的不等式时，x的取值范围． (3)若关于x的不等式恰有2个整数解，直接写出实数t的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意，将，分别代入中，建立一个关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可求出a，b的值； （2）由（1）可得，，由，可得①或②，解不等式组，即可求出x的取值范围； （3）由，即，分和两种情况，进行讨论，结合不等式有2个整数解，求出实数t的取值范围． 【详解】（1）解：由，得到， ， 解得，． （2）解：由（1）可得，，由， ∴， 即①或②， 解①得，； 解②得，； 综上，或． （3）解：由，即， 当时，即时， 则，解得， ∵不等式有2个整数解， ∴，解得； 当时，即， 则，解得， ∵不等式有2个整数解， ∴，解得； 综上，当或时，不等式恰有2个整数解． 78．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是______（填字母序号）； A．    B．   C．     D． (2)若关于x的不等式被“容纳”，求m的取值范围； (3)若关于x的不等式被“容纳”，若且，，求M的最大值． (4)已知，，，，且k为整数，关于x的不等式，，若存在k，使得P和Q存在“容纳”关系，且Q被P“容纳”，请直接写出k的值． 【答案】(1)C (2) (3) (4)或 【分析】（1）A解集为，存在不满足的解；B解集为，与无包含关系；C解集为，所有解都满足且有解，符合要求；D不等式组无解，不符合前提； （2）先解不等式，得，该不等式被“容纳”，说明的所有解都满足，则可得，进行求解即可； （3）由被容纳，可得且，解得．通过方程组消元得，，代入化简得．因随增大而增大，故时取最大值； （4）由解得，，结合、得，整数为．解得，解得，由被容纳，即的所有解都满足，逐一验证得和符合要求． 【详解】（1）解：A、 解得， ∵解集中存在如这样不满足的数， ∴不能被容纳，故该选项不符合题意； B、 解得， 解集与无容纳关系， ∴不能被容纳，故该选项不符合题意； C、 解得， 解集中所有都满足，且不等式有解， ∴能被容纳，故该选项符合题意； D、， 解得，此不等式组无解． ∵不等式（组）需均有解， ∴不符合要求，故该选项不符合题意； （2）解： 解得， ∵该不等式被容纳，即解集中所有都满足， ∴ 解得； （3）解：∵不等式被容纳， ∴，且， 解得，且， ∴的取值范围为， ∵， ∴ 解得， 将代入中， 得 解得， 将，代入中， 得 ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大为； （4）解：∵， ∴，代入中， 得 解得， ∴， ∵，， ∴且 解得， 又∵为整数， ∴的可能值为， 由题意得，： 解得， ： ∴， ∴当时， 解得， ∴所有实数对恒成立， ∴的所有解都满足，符合要求； 当时， 解得， ∵的解集中存在这样不满足的数，不符合要求； 当时， 解得， ∵的解集中存在这样不满足的数， ∴不符合要求； 当时， 解得， ∴的所有解都满足，符合要求； 综上所述，符合条件的的值为和． 79．（25-26七年级下·全国·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是_____（填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，请求出m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（1）根据“相伴方程”的定义进行判断即可． （2）根据题意，得出关于k的不等式，据此得出关于k的取值范围即可． （3）根据题意，得出关于m的不等式，据此得出关于m的取值范围即可． 【详解】（1）解：由得，； 由得，． 解不等式组得，． 因为，， 所以不等式组的“相伴方程”是②． （2）解：由得，x． 解不等式组得，， 则， 解得． （3）解：由得，； 由得，； 由得，． 因为所给方程都是不等式组的“相伴方程”， 所以， 解得． 80．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)不等式组对于不等式组绝对包含，理由见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 81．（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用． （1）由等式右边运算形式确定，解不等式； （2）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：； （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 82．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式__________的“梦想解”．（填序号） (2)若关于，的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题为新定义问题，考查了解不等式，解一元一次方程，解二元一次方程组，解不等式组等知识﹒ （1）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （2）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出求的取值范围﹒ 【详解】（1）解：解方程得， 解不等式得，故方程的解不是不等式①的梦想解； 解不等式得，故方程的解不是不等式②的梦想解； 解不等式得，故方程的解是不等式③的梦想解﹒ 故答案为：③； （2）解：解二元一次方程组 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒ 83．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， 解得：， ②由题意得：， 则可以化为， 解得：， 恰有2个整数解， 故 解得 （2）∵对任意实数x，y都成立 即对任意实数都成立 即 题型九 平行线的拐点模型（共14小题） 84．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）已知直线，按如图1放置，其中，边，分别与直线，相交于点，，边分别与直线，交于点，． (1)若，求的度数；（用的代数式表示） (2)将图1中的进行适当旋转，如图2，顶点始终在两条平行线之间，连接．当恰好平分时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由： 设，由（1）得． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 即与之间的数量关系为． 【分析】（1）过点作，得出，确定，，结合图形求解即可； （2）设，由（1）得，利用角平分线得出，确定，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）略 85．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）已知，，平分，点为射线上一点，连接． (1)如图，若点为线段上一点，，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由； (2)如图，若点为延长线上一点，上述（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出，，之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，如果，，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为，证明见解析 (3) 【分析】（1）如图，过点作，根据平行线的性质得，根据平行公理的推论得，继而得到，可得结论； （2）（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为．如图，过点作，根据平行线性质得，根据平行公理的推论得，继而得到，即可得证； （3）根据已知得推出，由角平分线的定义得，再根据平行线性质得，继而得到 ，即可得解． 【详解】（1）解：． 理由：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为． 证明：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立， 解得：， ∴的度数为． 86．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，，点、分别在线段、上． (1)如图1，_____°； (2)图1中，若、的平分线相交于点，在直线、之间左侧存在一点，使得，，求的度数； (3)如图2，若直线、之间存在点、，存在正整数，使得，．试探究与之间的数量关系． 【答案】(1)180 (2) (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”可得结论； （2）作．设，，得，得出，，由平行线的性质得，，由可得结论； （3）作，，得出，，推出，，结合，可得，，得，代入相加可得，即． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：如图，作．设，， 则，． 平分、平分， ，， ， ， ， ， ，； 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，作，， ，， ， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， 即， ． 87．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，通过平行线的性质结合即可证明； （2）利用（1）的结论有，再由角平分线的性质得，，求得；过点作，可得，通过平行线的性质结合即可求解； （3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得， 等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ，； ， ； （2）解：由（1）知：，， ， 平分，平分， ，， ； 如图，过点作， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作， ， ， ，， ； 过点作， ， ， ，， ； 平分，平分， ， ； ． 88．（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 89．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）问题情境：如图1，，求的度数，并指出与之间的数量关系． 小明的思路是：过点作，利用平行线的性质可求出的度数，得出与之间的数量关系． (1)问题初探：根据小明的思路，图1中的度数为___________度，与之间的数量关系为___________；（直接写出答案） (2)问题拓展：如图2，，若，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)问题延伸：如图3，，和的平分线相交于点，分别作和的平分线相交于点，再分别作和的平分线相交于点．设，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 【答案】(1)100， (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （2）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （3）由（1）知，得到，由角平分线的定义求得，，由（2）知，同理，根据规律得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：由（1）知， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴，， 由（2）知， 同理， ， ， ，即， ∴． 90．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 90．（25-26七年级上·河南南阳·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）延长交于E，利用平行线的性质即可求证； （2）分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解； （3）分不同的图形进行讨论，并分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：； 理由：如图，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，平行线的传递性等知识，解题关键是分类讨论，作出辅助线求解，本题的难点是画出图形，考查了学生的想象能力与逻辑思维能力． 91．（25-26七年级上·福建泉州·期末）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线的角平分线交于点． 探究（1）初步观察与推理 用量角器测量和的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由． 探究（2）角度倍数关系的计算 若测量得，请结合平行线的性质，求出的度数． 探究（3）动点角度的分析 点为射线上一点，连接．若测，且，求的度数． 【答案】（1）与相等，理由见解析；（2）；（3）或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）可知，根据得，然后根据得，由此解出即可得出的度数； （3）设，则，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段上时，证明， ，根据得，则，再根据平行线的性质得，由此解出即可得出的度数；②当点Q在线段的延长线上时，过点Q作交于R，证明，，则，进而得，由此解出即可得出的度数；综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：与相等，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵点Q为射线上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； ②当点Q在线段的延长线上时， 过点Q作交于R，如图2所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：的度数为或． 92．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）【问题背景】 已知，点P为平面内一点，连接、． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线、之间时，平分，平分，过点作．若，，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在的上方时，若，，和的角平分线交于点，过点作．求的度数；（用含、的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在的上方时，点M、F分别在、的延长线上，点H为和的交点，平分，的反向延长线与的角平分线交于点E，过点E作．试说明． 【答案】（1）；（2）（3）见解析 【分析】本题考查了平行线性质与判定，角平分线的定义，角的和差，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行线的判定可知，利用平行线的性质可证，，再根据角之间的位置关系可得； （2）先推导出，得到，，继而证明，，则，即可解答． （3）先推导出，，得到， 继而推导出，，代入计算即可解答． 【详解】解：（1）如图1， ，， ∴， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ； （2）如下图所示， ，， ∴， ，， 和分别是和的角平分线， ，， ，， ． （3）如图 ，， ，， ，， ，（2小题的结论） 平分，平分， ，， 即． 93．（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知，点分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图③，是下方一点，连接、，平分，延长交于点，若，，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）过点作，可得，再根据平行线的性质解答即可求解； （）过点作，可得，即得，，由（）得，再根据已知得 ，即得到，，再根据角的和差关系即可求解； （）过点作，可得，即得，，又根据角平分线的定义得，根据已知得，即得，进而得到，解之即可求解； 本题考查了平行公理的推理，平行线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图②，过点作， ∵， ∴， ∴，， 由（）知，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图③，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 94．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质即可得证； （2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答； （3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，记交于点H， ∵，， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 95．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究． 已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中的三边与两条平行线分别交于点D，E，F， (1)【特例探究】如图1， ① ； ②若与的平分线相交于点P，则 ； (2)【一般探索】 如图2，， ①若，，求与的关系； ②若，（且n为整数，则与的关系为 ； (3)【拓展应用】 如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果 【答案】(1)①270；②135 (2)①；② (3) 【分析】（1）①利用平行线的性质证明即可； ②证明即可； （2）①利用平行线的性质证明和即可； ②利用平行线的性质证明和即可； （3）利用（2）中的结论计算即可． 【详解】（1）解：①过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ②∵与的角平分线相交于点， ∴，， ∴ 故答案为：①，②； （2）① 过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， 即，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ② 同①可得， ∵，， ∴， ∴，即； （3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推， ∴， ∴由（2）得 ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义，利用平行线的性质证明和是解决本题的关键． 96．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知，直线，点E和点F分别在直线和上． (1)如图1，射线平分交于点G，若，求的度数； (2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义. （1）由平行线的性质求出，由角平分线的定义得，进而可求出的度数； （2）过点H作，由平行线的性质得，，从而，进而可得，由角平分线的定义得，，然后根据可得结论； （3）分当与共线前和当与共线后两种情况求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴ （2），理由如下： 过点H作， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，； ∵， ∴， ∴． ∴ （3）由（1）知，， ∴． 如备用图1，当与共线前， ∵， ∴， ∴， 解得；    如备用图2，当与共线后， ∵， ∴， ∴， 解得；    综上可知，t的值为20或80． 题型十 平行线的旋转问题（共12小题） 97．（25-26七年级下·重庆巴南·期末）如图1，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点，，的角平分线交于点，为线段上一动点（不与，重合），连接交于点． (1)当时，求． (2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系． (3)在（1）的条件下，将三角形绕着点以每秒的速度逆时针旋转（其它点不动），旋转时间为，则在旋转过程中，当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为，，，或 【分析】（1）利用三角形三个角的和为，可得，利用角平分线的定义，可求，再根据平行线的性质和角之间的关系，可求，，，最后根据三角形三个角的和为和邻补角的定义，可得，即可求解； （2）根据平行线的性质，可得，再根据三角形三个角的和为和邻补角的定义，可得，最后等量代换即可求解； （3）分五种情况讨论，根据平行的性质分别求出旋转的角度，再计算即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， 是的角平分线， ， ， ，， ，， ，即， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解：当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，的值为，，，或； 由（1）可知，，，， ， ，， ①如图1，当时，与相交于点， ， ， ， ， ； ②如图2，当时， ， ， ； ③如图3，当时， ， ， ， ； ④如图4，当时， ， ， ， ； ⑤如图5，当时， ， ， ， ； 综上所述：当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，的值为，，，或． 98．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点与点重合，且，若三角板绕着点顺时针方向旋转，直至三角板上的点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1)； (2)平分，理由见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可得；根据平角定义求得，最后根据平行线的性质求得即可； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴； （2）解：平分，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即平分． （3）解：根据题意，分四种情况： ①如图1，当时，, ∵， ∴； ②如图2，当时， ∵，， ∴三点在同一条直线上， ∴， ∵ ∴； ③如图3，当时， ， ， ∵， ∴； ④如图4，当时，则， 又， ∴点在上， ∴． 综上所述，的度数为或或或． 99．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【分析】操作一： （1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； 操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，①当与反向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值；②当与同向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值． 【详解】操作一： （1）解：∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴， 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即． ∴， 解得； （2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，过点作，由平行公理的推论可得． ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵绕点逆时针旋转的角度为，即， ∴，解得． 操作二： 解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，过点作，则． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， 又∵，， ∴， 解得； ②如图，当时，与同向平行，过点作直线，交于点，交于点，则． 同理，． ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，的值为或． 100．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方． (1)观察·思考 直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是__________； (2)操作・思考 将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分； (3)联系拓广 将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，平角的定义求出的度数，内错角相等，两直线平行，得到线段与直线的位置关系即可； （2）求出，的度数，即可得证； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）证明：∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：当在上方时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转角度为， ∴； 当在直线的下方时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角度为， ∴； 综上：或． 101．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知一副直角三角尺先按如图1的方式拼接在一起，其中直角边、斜边都与直线重合，，． (1)在上述所拼图形中，的度数为_____________． (2)在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒． ①在旋转过程中，请求出当时的值； ②在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出所有满足条件的值． 【答案】(1) (2)①的值为或；②或或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，角的和差计算等知识点，解题的关键是正确运用分类讨论的思想． （1）根据平角得到，据此即可求解； （2）①由题意得，，，，，然后分三种情况讨论，根据列方程求解即可； ②分三种情况讨论，利用平行线的性质以及角的和差计算求解的度数即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴； （2）解：①由题意得，， ∴， 由题意得，，，，， ∵， ∴当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）， ∴的值为或； ②当时，如图， ∴， ∴， 解得； 当时，如图： ∴， ∴， 解得； 当时，如图：记交点为点，过点作， ∴， ∴， 解得， 综上：当与三角尺的某一边平行时，满足条件的值为或或． 102．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，直线交于点A，交于点B，点E是线段上一点，C、D分别在射线、上，连接的平分线与的平分线交于点F． (1)当时，__________°： (2)与的数量关系是__________； (3)过点D作，交的延长线于H，将直线绕点A逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点D顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若 ，经过t秒后，直线恰好与的边或边平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为，10，17.5，32.5，40 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、解一元一次方程， （1）过点E作，根据平行线定理得，再根据平行线的性质得，，进而求解即可； （2）过点F作交于点K，根据平行线定理得，由角平分线的性质设，，再根据平行线的性质求得，，，，进而求得，，，进而求解即可； （3）由（1）得，，求得，再由角平分线求得，求得，分三种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：过点E作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：过点F作交于点K， ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转，速度为每秒， ∴， ∵绕点D顺时针旋转，速度为每秒， ∴， 当时，如图，， ∴， 解得， 当旋转到如图所示时，，， 同理得，， 解得， 当，如图所示， ∵，， ∴， 同理得，，即， 解得， 当旋转到如图所示位置时， 同理得，， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为，10，17.5，32.5，40． 103．（25-26七年级上·重庆江北·期末）如图，已知直线，三角形纸板中的点在直线上，点在的下方，线段、与直线交于点、，连接． (1)如图1，若，则的度数为___________； (2)如图2，点是射线上一点（不包括端点），当平分，平分时，猜想与的关系，并说明理由； (3)如图3，若，将绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转得，旋转时间为秒；同时将绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转得，当射线与射线首次重合时，和同时停止转动．在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时的值． 【答案】(1) (2) (3)或90 【分析】（1）过点作，利用平行于同一直线的两条直线互相平行得出，再根据平行线内错角相等的性质，分别求出与的度数，最后将两角相加得到的度数． （2）设、，由得，由此求出，再根据平行线的性质得出，从而根据外角性质推出，最终得出与的关系． （3）先根据初始角度求出，再表示出旋转秒后与的度数，结合角平分线定义得出与的表达式，利用及的平行性质列出角度等式，解方程求出的值． 【详解】（1）解：如图，过点作． ∵， ∴． ∵平行线内错角相等， ∴， ∴． ∴． （2）解：设，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． ∴． （3）解：由（1）得， ∴， 当在直线下方时， ∵，，的角平分线，的角平分线， ∴，， ∴， ∴，解得； 当在直线上方时， ∵，，的角平分线，的角平分线， ∴，， ∴，解得； 综上或90． 【点睛】本题考查平行线性质、角平分线定义、旋转性质及三角形内角和定理，解题用了转化（复杂角转成平行线内错角）、方程（设旋转时间列等式）思想，借助构造辅助线、动态分析角度的技巧，关键是抓平行线与角的关联，通过角等分转化、理清楚旋转中角度变化关系来推理或计算。 104．（25-26七年级上·江苏南通·期末）为美化某市夜景，在两栋垂直于地面的高楼和上，分别安置了可旋转探照灯和（点高于点），现抽象成：如图所示，．灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．设所研究的转动时间为秒． (1)若灯比灯先转动秒，当灯射线第一次经过时，灯射线转过的角度为_____°； (2)若灯比灯先转动秒，当两灯射线在和之间交于点，且时，求灯转动的时间； (3)若两灯同时开始转动，是否存在两灯射线所在直线平行或垂直？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，灯射线转动的时间为、或 (3)当，，，时，两光线垂直；时，两光线平行 【分析】本题主要考查平行线的性质以及解一元一次方程，正确进行计算是解题关键； （1）先算灯B第一次转完的时间，减去提前的秒得到灯的转动时间，再乘以灯的速度得到转过角度； （2）设灯B转动时间为t秒，利用平行线的同位角相等性质，结合角度和差关系列方程求解； （3）平行时利用平行线的内错角相等列方程，垂直时利用角度和为列方程，求解得到t的值． 【详解】（1）解：灯比灯先转动秒，当灯射线第一次经过时，灯射线转过的角度为， 故答案为： （2）设：灯射线转动的时间为 ， ①当时，如图， ，，． ②  当时，如图、， ，， ，，． ③ 当时，如图， ，，（舍）． 综上：当时，灯射线转动的时间为、或． （3）① 当时，两光线不平行； 两光线垂直时，如图， ，，． ②当时，两光线垂直时，如图6、7， ，， ，，． 两光线平行时，如图8， ，，． ③当时，两光线垂直时，如图9， ，， 两光线平行时，如图， ，，（舍） 综上：当，，，时，两光线垂直；时，两光线平行． 105．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）七年级数学小组开展“三角尺中的数学”主题实践活动． 【动手操作】 （1）小勋同学发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，请问用一副三角板可以拼出的角吗？________．（填“能”或“不能”） 【问题探究】 （2）如图（1），把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒． ①当________时，； ②在转动过程中，三角板一直在的内部，当为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，在三角板绕点旋转过程中，若三角板同时以每秒的速度绕点逆时针旋转，且，当时，请直接写出的值，为________． 【答案】（1）不能；（2）①秒或秒；②；（3）秒或秒 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，垂直的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）由三角板的特征可得，一副三角板中，两块三角板的角度分别为和，由均为的倍数，得到用一副三角板可以拼出的角的度数都为的倍数，即可解答； （2）①根据时，，再分在上方和下方两种情况讨论即可；②由，得，解方程即得； （3）分两种情况：当三角板在三角板左侧时，当三角板在三角板右侧时，再结合平行线的性质建立方程求解即可． 【详解】解：（1）一副三角板中，两块三角板的角度分别为和， ∵均为的倍数， ∴用一副三角板可以拼出的角的度数都为的倍数， ∵不是整数倍， ∴用一副三角板不能拼出的角， 故答案为：不能； （2）①∵， ∴， 由题意得， ∵， ∴， 当在上方时，如图（2）， 则，即， 解得； 当在下方时，如图（3）， 则，即， 解得； 综上，当秒或秒时，； 故答案为：秒或秒； ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）如图（4），当三角板在三角板左侧时， ∵，， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴； 如图（5），当三角板在三角板右侧时， ∵，， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴； 综上，当时，的值为秒或秒． 故答案为：秒或秒． 106．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）【问题背景】 如图①，在同一平面内，a、b、c三根木棒钉在一起， 【实践操作】 (1)木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转__________，使得（如图②）； (2)如图③，当木棒时，将一个三角板ABC放在与之间（其中，），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请你求出的度数； (3)现将图①中的木棒a、b同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒和每秒，当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动．在旋转的过程中，存在某一时刻使得，请你直接写出是在第几秒． 【答案】(1) (2) (3)在旋转的过程中，存在某一时刻使得，的值为或. 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，一元一次方程的应用. （1）直接利用平行线的性质求解即可. （2）如图，过作，证明，再进一步求解即可. （3）如图，设旋转的时间为，则最长旋转时间为，情况①：由题意可得：，，可得，，情况②：如图，，，可得，，证明，再进一步可得答案. 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∴木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转，使得. （2）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴. （3）解：情况①：如图，设旋转的时间为，则最长旋转时间为， 由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 情况②：如图，，， 由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 综上：在旋转的过程中，存在某一时刻使得，的值为或. 107．（25-26七年级上·福建泉州·期末）（1）如图1，点O在直线上，作射线，，平分 ①求的度数； ②射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针转动，当射线首次与重合时立即停止转动，设转动的时间为t秒，在整个转动过程中，当时，求t的值； （2）如图2，点O、D在直线上，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针转动；同时射线从射线出发，绕点D以每秒的速度逆时针转动，设转动时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得？若存在，求出所有满足条件t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①，t值为秒或秒；（2）存在，t值为25秒，70秒 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的数量关系，以及平行线的性质，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）①先求出，由角平分线的定义求出即可； ②分2种情况求解：当在内，当在内； （2）分4种情况根据平行线的性质列方程求解：当时，与均在上方；当时，在上方，在下方；当时，均在下方；当时，在下方． 【详解】解：（1）①如图1.1，∵ ∴ ∵平分 ∴ ②当在内，如图1.2，， ∵ ∴，即 ∴（秒） 当在内，如图1.3， ∵ ∴，即 ∴（秒）． 综上所述，t值为秒或秒． （2）存在某时刻，使，理由如下 ∵ ∴ 当与重合时，（秒） 当与重合时，（秒） 当与重合时，（秒） 当恰好转动一周时，（秒） 当时，与均在上方 如图2.1，， ∵， ∴， ∴ ∴（秒），符合题意； 当时，在上方，在下方， 如图2.2，， ∵， ∴， ∴， ∴（秒），不合题意舍去， 当时，均在下方， 如图2.3，， ∵， ∴ 即， ∴（秒），不合题意舍去； 当时，在下方，在上方， 如图2.4，，， ∵， ∴， ∴ 即， ∴（秒），符合题意 综上所述，满足条件的t值为25秒，70秒． 108．（25-26七年级上·重庆·期末）已知，现将绕点O逆时针旋转．      (1)如图1，，当射线平分时，则______； (2)如图2，射线在内部，且满足，将的边从的位置开始旋转（当的边与射线重合时，停止运动），在旋转过程中，当时，请直接写出与的比值，并写出其中一种情况的求解过程； (3)如图3，，，将的边从的位置以每秒的速度开始旋转，旋转时间t秒（），在旋转过程中，射线平分，射线平分，射线平分，直线与直线交于点Q，当时，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)或，过程见详解 (3)或 【分析】本题主要考查角的和差关系、平行线的性质、角平分线的定义及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由可设，则，，设，由题意可分：当射线在的内部时，当射线在的外部时，进而分类进行求解即可； （3）由题意易得，，，，由题意可分：当射线在的内部时，当射线在的外部且射线在内部时，当射线在外部时，当射线在射线下面时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 故答案为； （2）解：由可设，则， ∵， ∴， 设，由题意可分： 当射线在的内部时，如图，    ∴，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴； 当射线在的外部时，如图，    ∴，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴， 由将的边从的位置以每秒的速度开始旋转，旋转时间t秒（），可知：， ∵射线平分，射线平分，射线平分， ∴，，， 由题意可分： 当射线在的内部时，则有，即，如图，    ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当射线在的外部且射线在内部时，即，如图，    ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当射线在外部时，即，如图，    ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； 当射线在射线下面时，即，如图，    ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：当时，或． 1．观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干给出的式子总结规律，将所求式子变形后匹配规律计算，根据题干规律得，变形所求式子后代入公式计算即可． 【详解】解： ； ； ； ……， 由此可得， 当时，， ∴， ∴， ∴ ． 2．如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴ ， ②当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴ ， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ∴， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴ ， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， ∴不可能的值为． 3．已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 【答案】19 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组的解为正整数确定符合条件的整数，最后计算所有满足条件的的和． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ∴， 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 解得， 将代入 得， 方程组的解为正整数，且为整数， ∴是的正因数，的正因数有， 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时 均为正整数； 当 时，，满足条件，此时均为正整数； 所有满足条件的整数的和为，故答案为． 4．如图，已知．点是射线上一点，连接，将沿着翻折得，点的对应点为点，如果，那么_________． 【答案】或 【分析】分点在直线上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 将沿着翻折得，点的对应点为点， ∴， ①当点在直线上方时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②点在直线下方时，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上：或． 5．如图，已知长方形纸片，点，分别在边和上，，分别是边和上的动点，且，现将点，沿向下折叠至点，处，将点，沿向上折叠至点，处，若，则的度数为________． 【答案】54 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，平行线的性质，做出恰当辅助线，利用证明 是解题的关键． 【详解】如图，延长相交于Q点， 由内错角知， 由折叠性质知， ， ， ， ， ， 由折叠性质知， 再由得． 6．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③ (2)2 (3)①，；②不存在，见解析 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解． （1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可； （2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可； （3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可； ②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）解：方程①的解为； 方程②的解为； 方程③的解为； 不等式组的解集为， ∵， ∴不等式组的关联方程是方程③， 故答案为：③； （2）解：解不等式组，得， 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程0， 得； （3）解：①， 解得； ， 解得； ②不存在．理由如下： 解不等式组， 得， 假如方程和都是关于的不等式组的关联方程， 则且． 解得：且 ∴不等式组无解， 不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程． 7．如图，射线上有一点，一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． (1)当射线第一次转至与线段的夹角是时，__________；（用含的代数式表示） (2)当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求的值； (3)如图2．当射线绕点旋转到时，点到达射线上的点处．此时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度一同旋转，旋转一周停止运动．再经过多少秒，与所在直线垂直？请直接写出答案． 【答案】(1) (2)或6 (3)秒或秒或秒 【分析】（1）由题意知，射线第一次转至与线段的夹角是，即旋转角为，旋转时间为4秒，则； （2）由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为6秒，当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点，①当为中点，，即，计算求解即可；②当为中点，，即，计算求解即可；当绕点顺时针旋转时，时间为秒，为中点，，即，计算求解即可； （3）由题意知，分解析中图1，图2和图3三种情况，根据题意表示出对应的角度，建立方程求解即可。 【详解】（1）解：由题意得，旋转的角度为， ∴旋转时间为秒， ∴； （2）解：由题意知，当射线绕点顺时针旋转时，旋转的时间为秒， 当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点， ①当为中点时，则，即， 解得； ②当为中点时，则，即， 解得； ③当绕点顺时针旋转时，旋转的时间为（秒）， 为中点时，则，即， 解得 综上，的值为或6； （3）解：设再经过t秒，与所在直线垂直， 由题意知，分三种情况求解： 情况一：如图1， 由题意得，，， ∴，， ∵与所在直线垂直，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 情况二：如图2， 由题意得，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 解得； 情况三：如图3， 由题意得，，， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∴ 解得； 综上所述，再经过秒或秒或秒，与所在直线垂直． 【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，垂线的定义，几何图形中角度的计算，平行线的性质与判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期末真题百练通关（108题10大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 多项式乘法中的规律性问题 题型6 乘法公式与几何图形的综合应用 题型2 通过对完全平方公式变形求值 题型7 新定义下的实数运算 题型3 新定义下的实数运算 题型8 不等式的新定义问题 题型4 不等式的新定义问题 题型9 平行线的拐点模型 题型5 多结论问题 题型10 平行线的旋转问题 题型一 多项式乘法中的规律性问题（共6小题） 1．（2026·重庆·模拟预测）对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换．已知两个依次排列的整式为，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此进行下去．下列说法： ①若第2次作差变换新增整式之积不含x的一次项，则的值为； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3，则； ③第2026次作差变换得到的整式串之和为． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·湖北武汉·二模）已知，，，通过观察我们发现它们各项的系数符合杨辉三角的结构，指数也按一定规律排列，若 ，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·河南周口·三模）观察下列式子：，，，…下列代数式中能表示其中蕴含规律的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川绵阳·三模）南宋杰出的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，摘录了如图所示的三角形数表，被称为杨辉三角，观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关： …… 根据前面各式的规律，则的展开式中的系数是（   ） A．72 B．39 C． D． 5．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 6．（2026·河南驻马店·二模）“杨辉三角”是我国古代伟大的数学成就，用来解释二项式和的乘方系数规律．如图，杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它上方左、右两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数．根据上面的规律，写出展开式中各项的系数和______． 题型二 多项式乘法中的规律性问题（共9小题） 7．（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）实数、满足，则的最大值是（    ） A．48 B．50 C．24 D．25 9．（25-26七年级上·重庆·期末）已知整式，其中n为正整数，为自然数，且．下列说法： ①当时，满足的整式Q共有5个； ②当时，满足条件的所有整式Q的所有项的系数总和为120； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意数时，其值一定为非负数的整式Q共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，将四个长为、宽为的小长方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积为36，中间小正方形的面积为16，则下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·福建福州·期末）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ， ， 则， ， ， 的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则下列关于式子的说法正确的是（   ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值 D．有最大值6 12．（2026·江苏扬州·二模）甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为____． 13．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知非零实数满足，，则________． 14．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是______；如图2，若，，则的值是______． 15．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）已知，满足，则______． 题型三 新定义下的实数运算（共9小题） 16．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文．现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的个小写字母依次对应这个自然数，见以下表格： 现给出一个公式：，将明文字母对应的数字A按以上公式计算得到密文字母对应的数字，比如明文字母为，，所以明文字母对应的密文字母为若密文是，则对应的明文是（　　） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·重庆·期末）已知整式，此时，其中n，为正整数且，若，下列说法： ①若，满足条件的整式M之和为； ②若，满足条件的二次三项式M共有4个； ③若，满足条件的整式M共有8个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 18．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）定义新的运算：对于任意的有理数a，b，都有，，如，时，，．下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则的最小值为7． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．（24-25七年级下·重庆·期末）对于关于x、y的方程（为常数），若c，则称A为递增方程.定义递增方程A的重构变换如下：取中任意两数之和，记为，且，得到新的递增方程，并称为A的1次重构方程；取中任意两数之和，记为，且，得到新的递增方程，并称为A的2次重构方程……若方程组的解为，则记为A的n次重构系数，则下列说法中正确的有（    ） ①方程的1次重构系数； ②已知方程为递增方程，若，则； ③已知m为整数，方程为递增方程，若无论n取何值，均为整数，则 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 20．（24-25七年级上·广西梧州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②； ③若是大于且小于的有理数，且，则； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 21．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 22．（25-26九年级上·重庆江北·期末）一个各数位互不相等，且均不为0的四位自然数，若满足，则称为“量子数”．例如：四位数，，是“量子数”．将的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数，并规定．若是最大的“量子数”，则_____；若是一个“量子数”，（为整数），能被13整除，则满足条件的的最小值是_____． 23．（25-26八年级上·重庆·期末）我们规定：一个四位数，各数位上的数字互不相等且均不为零，若满足，则称这个四位数为“星空数”．例如：四位数3751，因为，所以3751是“星空数”．按照这个规定，最大的“星空数”是_______；一个“星空数”，将M的千位数字与十位数字组成的两位数记为，M的百位数字与个位数字组成的两位数记为．若被5除余2，且（k为整数），则满足条件的M的最大值和最小值的和是________． 24．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，则称这个四位数为“幸运三和数”．例如：四位数，，是“幸运三和数”．则最小的“幸运三和数”是___________；对于“幸运三和数”，记，．若为整数，且，则满足条件的的值为___________． 题型四 不等式的新定义问题（共11小题） 25．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”如（，，即8，16均为“美好数”），在不超过525的正整数中，所有的“美好数”之和为（     ） A．17160 B．17170 C．17180 D．17190 26．（2026·浙江舟山·二模）定义：对于一个四位数，若满足，则称该四位数为“阶特征数”．例如，满足，则为“阶特征数”．依据以上定义，下列说法中错误的是（     ） A． B．记“阶特征数”的最大值为，最小值为，则 C．若能被整除，则也只能等于 D．个数最多的“阶特征数”是“阶特征数”或“阶特征数” 27．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 28．（2025·河北保定·二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 29．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）定义：我们把互不相等的三个正整数，3，5放在一起（排列不分顺序），组成一个数串称为特征数串，现操作如下：用一个特征数串三个数中最大的数减去其它两个数之积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若这个新数串仍为特征数串时，就可进行再次操作，否则停止，下列说法： ①特征数串17，3，5经过操作后可以得到新数串1，2，3； ②若特征数串，3，5经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或2； ③若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有6种不同的取值． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 30．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）定义一种新运算： ，下列说法： ①若， 则 ②若， 则该不等式的解集为或； ③代数式 有最小值6； ④若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a的值为0或4．以上结论正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）定义：把互不相等的3个正整数x，2，5（三个数排列不分顺序）组成一个数串称为有效数串．现操作如下：将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若新数串为有效数串时，就可进行再次操作．下列说法： ①若一个有效数串经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或3． ②若一个有效数串经过两次操作后得到新数串为1，2，3，则x有4种不同的取值． ③如果一个有效数串至少经过两次操作后仍是有效数串，若再继续操作下去，则在整个操作过程中一定存在新数串1，2，3． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 32．（2026·四川成都·二模）对于线段与该线段上的两点，，其中，，给出如下定义：点，，…，，是线段上的个不同的点，这些点与点或点构成的长度不超过的线段的长分别为，，…，，，若这个点满足，则称这个点为线段关于线段的一个基准点族．现将线段的一个端点与线段的一个端点重合，固定线段的位置不动，将线段以每秒个单位长度的速度向线段另一个端点移动．当移动时间为秒时，点，，…，，是线段关于线段的一个基准点族．则当的最大值为时，的取值范围是________． 33．（25-26七年级上·北京昌平·期末）新定义运算：※， ① ② ③ （1）若某运算满足：※※※（其中，为任意有理数，为任意非零有理数），则称此运算满足“右分配律”．上述三个运算中，满足“右分配律”的是___________（填写序号）； （2）若为任意有理数时，将，分别代入上述三个运算，则结果一定为非负数的是___________（填写序号）． 34．（24-25八年级下·重庆·阶段检测）一个四位自然数，各个数位上的数字均不为，若满足千位数字和百位数字的积加上十位数字和个位数字的积，所得的和为，则称四位数为“快乐数”．如，＋，是“快乐数”，最大的“快乐数”是___________；若一个“快乐数”，百位数字与个位数字相等，千位数字与百位数字的和减去十位数字与个位数字的和，所得的差是的整数倍，则满足条件的所有四位自然数的和为___________． 35．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于的二元一次方程（其中是常数）叫做方程的“移变方程”．例如：的“移变方程”为．已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为_________． 题型五 多结论问题（共11小题） 36．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 37．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 38．（24-25七年级下·北京房山·期末）如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 39．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线 ，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且 ，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 40．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）将一副三角板按如图所示放置，，．则下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有________（填序号） 41．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，点F、G分别在、上，点E在、之间，连结、，平分，平分且交的反向延长线于点H，交于点P，，．给出下面四个结论： ①；    ②；    ③；    ④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 42．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 43．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）将长方形纸片沿折叠，折线交于点E，交于点F，点A、B的落点分别是、、交于G，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，若恰好落在边上，当时，下列四个结论：①；②；③如图所示，当在线段上（不含端点）时，；④若，则，其中正确的结论是__________．（填写序号）． 44．（24-25六年级下·山东淄博·期末）如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论，其中错误的是_______ （填序号）． ①； ②； ③； ④． 45．（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，点E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论： ①；②平分；③；④． 其中正确结论的序号是______． 46．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是________（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 题型六 乘法公式与几何图形的综合应用（共15小题） 47．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 48．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式． 图1：________；图2：________；图3：________． (2)通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度    方法二：从“形”的角度 解：，        解：， ，即：，    又， 又        ， ．        ． 即．        即． 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 49．（25-26八年级上·山东日照·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 50．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 51．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____． A．  B．  C． (2)已知，，则______． (3)应用所得的公式计算：． (4)应用所得的公式计算：． 52．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则______； (2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地，（），它们面积和为，为（B，A，G在同一直线上），学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 53．（25-26八年级上·河南商丘·期末）【问题背景】“算两次”是一种重要的数学思想，即用两种不同的方法表示同一个量如图形面积），从而建立等式．如图1，将一个长为、宽为的长方形沿虚线剪成四个相同的小长方形，再按图2拼成一个正方形． (1)观察图2，用两种方法表示阴影部分（中间小正方形）的面积，可得到的等量关系是_____． A．    B． C．    D． (2)已知，求的值． (3)如图3，在六边形中，对角线和相交于点，四边形和四边形都为正方形，若，正方形和正方形面积的和为36，求阴影部分的面积． 54．（25-26八年级上·湖北随州·期末）很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，容易机械记忆．为了帮助同学们直观理解公式的几何意义，老师设计了一节“拼图与公式”实验课： 【知识重现】 观察图①，用等式表示图中图形面积的运算： 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积为__________． 【拓展应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则__________． （3）若实数满足，求． 【学习致用】 （4）如图③，两块完全相同的直角三角板与按图示放置，点在同一直线上．连接，已知，且，求一块直角三角板的面积． 55．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常用方法． (1)【观察发现】图1是用边长为、的四个长方形拼成的一个大正方形，图2是用边长为、、的三个正方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的关系式为：图1：___________，图2：_________． (2)【解决问题】如图3，在线段上取一点，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，分别连接、、、，若的面积为3，，求阴影部分的面积的和． 56．（25-26八年级上·河南新乡·期末）某学校有两块空地，如图1、图2． (1)图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪，请用两种方式表示草坪的面积：①_________；②__________． 由此可以验证的公式为③__________． (2)图2是一块多边形空地，该校在这块空地上规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的总面积． 57．（25-26八年级上·山西临汾·期末）【项目化学习】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A，B，C，各型号卡片各多少张？ (2)若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A型卡片9张，再取B型卡片4张，还需C型卡片__________张． (3)用一张A型卡片，一张B型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如题图所示的图形，若阴影部分的面积为32，C型卡片的面积为48，求的值． 58．（25-26八年级上·广西玉林·期末）【问题情境】我们通常用作差法比较代数式的大小．例如：已知，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则．反之亦成立．本题中因为所以，． 【数学思考】（1）如图1是边长为的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的长方形，此长方形的面积为；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的正方形，此正方形的面积为． ①用含的代数式分别表示=___________，___________； ②比较大小：___________（填“>”“<”或“=”）． 【拓展探究】（2）已知两个等腰直角三角形（和）的直角边长分别为和（）．将这两个等腰直角三角形按如图4方式放置在一起，连接．如果是线段的中点，连接．请比较与的面积大小． 59．（25-26六年级上·山东济南·期末）数形结合思想是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．某数学兴趣小组探究图1、图2，分别用两种不同的方法列代数式表示了阴影图形的面积． (1)知识探究 观察图1，方法一：______，方法二：______； 观察图2，方法一：______，方法二：______； (2)尝试应用：观察图3，解决下面的问题：若，，求的值； (3)拓展延伸：若，求的值． 60．（25-26八年级上·山东临沂·期末）数学活动：数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． 【知识生成】（1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图2是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1：___________；图2：___________ 【拓展探究】（2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3所示的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式，之间的等量关系． 【解决问题】（3）如图4，已知长方形周长为，分别以和为边作正方形和正方形，已知这两个正方形的面积和为，求长方形的面积． 【知识迁移】（4）若，则___________． 61．（25-26八年级上·山西大同·期末）阅读与思考 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为______． [类比探究] 观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． [知识应用] （2）根据图②所得的公式，若，，则______． （3）若x满足，求的值． [拓展应用] （4）如图③，在四边形ABCD中，于点E，，，，若与的面积和为，则与的面积和为______． 题型七 新定义下的实数运算（共8小题） 62．（25-26七年级上·北京·期末）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 63．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个正整数n若能表示成m个正整数的和，且这些正整数的倒数和恰好等于1，则称n为m阶“汇和数”．例如，，且，所以22就是4阶“汇和数”． (1)证明：11是一个3阶“汇和数”； (2)证明：若n是一个k阶“汇和数”，则、分别是阶、阶“汇和数”； (3)请在以下两个问题中任选一个解决： ①请判断：505是“汇和数”并说理； ②证明：若n是一个k阶“汇和数”，则是一个阶“汇和数”． 64．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如果一个四位数满足千位数字与十位数字的和为8，百位数字比个位数字少3，那么称为“勤奋数”．若一个四位“勤奋数”的千位数字与个位数字的3倍的和记作，百位数字与十位数字的和记作，那么为整数时，则称为“勤奋整数”． 例如：2164满足，，故2164是“勤奋数”，且，，即是整数，故2164是“勤奋整数”． (1)判断：1346　　“勤奋数”，3659　　“勤奋数”（填“是”或“不是”）； (2)任意一个四位“勤奋数”与其个位数字的2倍之差能被11整除吗？为什么？ (3)直接写出2164以外的所有“勤奋整数”． 65．（25-26七年级上·北京·期末）阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点，把与点相距个单位长度（是正数）的两点所表示的数分别记作和（其中，并把，这两个数叫做“点关于的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是． (1)如果点P表示数1，那么点P关于2的对称数组是___________； (2)如果，那么点P表示的数是___________，a的值是___________； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，，，两点同时从原点出发反向运动，当时，点P、Q之间的距离为___________． 66．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如我们把记作，读作“2的3次商”．记作，读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 我们知道，有理数的除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化乘方运算呢？例：． (1)仿照上面的算式，请你尝试将下列各式写成乘方（幂）的形式： ①； ②． (2)想一想：将一个非零有理数的次商写成幂的形式等于______； (3)算一算： 67．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【阅读材料】对于两个正数a，b，其中，如果，那么可将指数c记作，即．例如：，则． 【问题解决】 (1)填空：________；________． (2)小茗同学在研究这种运算时发现一个规律：，并给出了如下证明：设，，则，， ， ， ． 请利用小茗探究的结论，解决下列问题： ①已知两个正方形的边长分别为m，n，若，．求这两个正方形的面积之和． ②如图，把长方形分成4个小长方形．其中，长方形的面积是a，长方形、的面积都是b，长方形的面积是c．若，求的值． 68．（24-25六年级下·上海·期末）现有有序数对和，如果，则称“关联”了，或被“关联”． 例如，，则称“关联”了 (1)下列数对中被“关联”的有______； ①，②，③，④ (2)若同时被和“关联”，请求出p，q； (3)对于均不为0的a、b、c，数对“关联”了、和，且被“关联”，试求数对． 69．（24-25八年级上·江西上饶·期末）设p，q为两个正整数，若p，q最大公约数为1，则p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数表示不超过n且与n互素的正整数的个数，记为，例如不超过5且与5互素的正整数个数，易知． (1)求． (2)判断是否一定成立（m，n均为正整数）． 设p为素数，k为正整数，使用p，k表示． 题型八 不等式的新定义问题（共14小题） 70．（25-26七年级下·全国·期末）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x的系数a互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为____； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数m，n，t，满足条件，并且是关于x，y的二元一次方程的“亲密方程”，求m的值． 71．（25-26七年级上·北京海淀·期末）对数轴上的线段和点，，给出如下定义：如果在线段上分别存在点M，N（点M，N可以重合），使得，则称点，是线段的一组“关联点”．已知点表示的数是3，点表示的数是p． (1)若点B表示的数是1，， ①点，，分别表示数5，，，则在这三个点中，点P与点______是线段AB的一组“关联点”； ②点Q表示的数是q，若点P，Q是线段AB的一组“关联点”，求q的最大值和最小值； (2)若点B表示的数与点P表示的数互为相反数，点Q表示的数为，若线段上任意两点都是线段的一组“关联点”，直接写出p的取值范围． 72．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）我们规定：二元一次方程组的解记为，若存在满足，，则称是的“五好点”． (1)点的“五好点”的坐标为______； (2)若方程组的解记为，点的“五好点”为，且满足，求的取值范围； (3)已知：是的整数部分，是的算术平方根（其中），当时，的“五好点”是，问：可能取得的最大值是多少？ 73．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 74．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)计算：__________；___________． (2)解方程组：． (3)当整数，满足和时，有序数对恰好有对，求的值． 75．（23-24七年级下·福建泉州·期末）阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 76．（22-23七年级下·四川·期末）定义：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相等，且都不为零，那么称这个两位数为“柠安数”．将一个“柠安数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，新两位数与原两位数的和为，和55与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：①下列两位数：60、58、88、31中，“柠安数”为__________；②计算：__________； (2)如果一个“柠安数”的十位数字为，个位数字是，且，请求出“柠安数”； (3)如果一个“柠安数”满足，求满足条件的的值． 77．（25-26七年级下·重庆巴南·期末）定义运算“F”，规定（其中a、b均为常数），例如．已知，． (1)求a、b的值； (2)根据有理数的除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．即：若，则或，若，则或．根据上述规律，求关于x的不等式时，x的取值范围． (3)若关于x的不等式恰有2个整数解，直接写出实数t的取值范围． 78．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是______（填字母序号）； A．    B．   C．     D． (2)若关于x的不等式被“容纳”，求m的取值范围； (3)若关于x的不等式被“容纳”，若且，，求M的最大值． (4)已知，，，，且k为整数，关于x的不等式，，若存在k，使得P和Q存在“容纳”关系，且Q被P“容纳”，请直接写出k的值． 79．（25-26七年级下·全国·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是_____（填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，请求出m的取值范围． 80．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 81．（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 82．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式__________的“梦想解”．（填序号） (2)若关于，的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，求的取值范围． 83．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 题型九 平行线的拐点模型（共14小题） 84．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）已知直线，按如图1放置，其中，边，分别与直线，相交于点，，边分别与直线，交于点，． (1)若，求的度数；（用的代数式表示） (2)将图1中的进行适当旋转，如图2，顶点始终在两条平行线之间，连接．当恰好平分时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 85．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）已知，，平分，点为射线上一点，连接． (1)如图，若点为线段上一点，，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由； (2)如图，若点为延长线上一点，上述（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出，，之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，如果，，求的度数．（用含的式子表示） 86．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，，点、分别在线段、上． (1)如图1，_____°； (2)图1中，若、的平分线相交于点，在直线、之间左侧存在一点，使得，，求的度数； (3)如图2，若直线、之间存在点、，存在正整数，使得，．试探究与之间的数量关系． 87．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 88．（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 89．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）问题情境：如图1，，求的度数，并指出与之间的数量关系． 小明的思路是：过点作，利用平行线的性质可求出的度数，得出与之间的数量关系． (1)问题初探：根据小明的思路，图1中的度数为___________度，与之间的数量关系为___________；（直接写出答案） (2)问题拓展：如图2，，若，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)问题延伸：如图3，，和的平分线相交于点，分别作和的平分线相交于点，再分别作和的平分线相交于点．设，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 90．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 90．（25-26七年级上·河南南阳·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 91．（25-26七年级上·福建泉州·期末）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线的角平分线交于点． 探究（1）初步观察与推理 用量角器测量和的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由． 探究（2）角度倍数关系的计算 若测量得，请结合平行线的性质，求出的度数． 探究（3）动点角度的分析 点为射线上一点，连接．若测，且，求的度数． 92．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）【问题背景】 已知，点P为平面内一点，连接、． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线、之间时，平分，平分，过点作．若，，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在的上方时，若，，和的角平分线交于点，过点作．求的度数；（用含、的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在的上方时，点M、F分别在、的延长线上，点H为和的交点，平分，的反向延长线与的角平分线交于点E，过点E作．试说明． 93．（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知，点分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图③，是下方一点，连接、，平分，延长交于点，若，，直接写出的度数． 94．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 95．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究． 已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中的三边与两条平行线分别交于点D，E，F， (1)【特例探究】如图1， ① ； ②若与的平分线相交于点P，则 ； (2)【一般探索】 如图2，， ①若，，求与的关系； ②若，（且n为整数，则与的关系为 ； (3)【拓展应用】 如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果 96．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知，直线，点E和点F分别在直线和上． (1)如图1，射线平分交于点G，若，求的度数； (2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 题型十 平行线的旋转问题（共12小题） 97．（25-26七年级下·重庆巴南·期末）如图1，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点，，的角平分线交于点，为线段上一动点（不与，重合），连接交于点． (1)当时，求． (2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系． (3)在（1）的条件下，将三角形绕着点以每秒的速度逆时针旋转（其它点不动），旋转时间为，则在旋转过程中，当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，直接写出此时的值． 98．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点与点重合，且，若三角板绕着点顺时针方向旋转，直至三角板上的点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 99．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 100．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方． (1)观察·思考 直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是__________； (2)操作・思考 将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分； (3)联系拓广 将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时的值． 101．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知一副直角三角尺先按如图1的方式拼接在一起，其中直角边、斜边都与直线重合，，． (1)在上述所拼图形中，的度数为_____________． (2)在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒． ①在旋转过程中，请求出当时的值； ②在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出所有满足条件的值． 102．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，直线交于点A，交于点B，点E是线段上一点，C、D分别在射线、上，连接的平分线与的平分线交于点F． (1)当时，__________°： (2)与的数量关系是__________； (3)过点D作，交的延长线于H，将直线绕点A逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点D顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若 ，经过t秒后，直线恰好与的边或边平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 103．（25-26七年级上·重庆江北·期末）如图，已知直线，三角形纸板中的点在直线上，点在的下方，线段、与直线交于点、，连接． (1)如图1，若，则的度数为___________； (2)如图2，点是射线上一点（不包括端点），当平分，平分时，猜想与的关系，并说明理由； (3)如图3，若，将绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转得，旋转时间为秒；同时将绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转得，当射线与射线首次重合时，和同时停止转动．在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时的值． 104．（25-26七年级上·江苏南通·期末）为美化某市夜景，在两栋垂直于地面的高楼和上，分别安置了可旋转探照灯和（点高于点），现抽象成：如图所示，．灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．设所研究的转动时间为秒． (1)若灯比灯先转动秒，当灯射线第一次经过时，灯射线转过的角度为_____°； (2)若灯比灯先转动秒，当两灯射线在和之间交于点，且时，求灯转动的时间； (3)若两灯同时开始转动，是否存在两灯射线所在直线平行或垂直？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 105．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）七年级数学小组开展“三角尺中的数学”主题实践活动． 【动手操作】 （1）小勋同学发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，请问用一副三角板可以拼出的角吗？________．（填“能”或“不能”） 【问题探究】 （2）如图（1），把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒． ①当________时，； ②在转动过程中，三角板一直在的内部，当为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，在三角板绕点旋转过程中，若三角板同时以每秒的速度绕点逆时针旋转，且，当时，请直接写出的值，为________． 106．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）【问题背景】 如图①，在同一平面内，a、b、c三根木棒钉在一起， 【实践操作】 (1)木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转__________，使得（如图②）； (2)如图③，当木棒时，将一个三角板ABC放在与之间（其中，），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请你求出的度数； (3)现将图①中的木棒a、b同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒和每秒，当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动．在旋转的过程中，存在某一时刻使得，请你直接写出是在第几秒． 107．（25-26七年级上·福建泉州·期末）（1）如图1，点O在直线上，作射线，，平分 ①求的度数； ②射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针转动，当射线首次与重合时立即停止转动，设转动的时间为t秒，在整个转动过程中，当时，求t的值； （2）如图2，点O、D在直线上，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针转动；同时射线从射线出发，绕点D以每秒的速度逆时针转动，设转动时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得？若存在，求出所有满足条件t的值，若不存在，请说明理由． 108．（25-26七年级上·重庆·期末）已知，现将绕点O逆时针旋转．      (1)如图1，，当射线平分时，则______； (2)如图2，射线在内部，且满足，将的边从的位置开始旋转（当的边与射线重合时，停止运动），在旋转过程中，当时，请直接写出与的比值，并写出其中一种情况的求解过程； (3)如图3，，，将的边从的位置以每秒的速度开始旋转，旋转时间t秒（），在旋转过程中，射线平分，射线平分，射线平分，直线与直线交于点Q，当时，请直接写出所有满足条件的t的值． 1．观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（     ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 4．如图，已知．点是射线上一点，连接，将沿着翻折得，点的对应点为点，如果，那么_________． 5．如图，已知长方形纸片，点，分别在边和上，，分别是边和上的动点，且，现将点，沿向下折叠至点，处，将点，沿向上折叠至点，处，若，则的度数为________． 6．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 7．如图，射线上有一点，一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． (1)当射线第一次转至与线段的夹角是时，__________；（用含的代数式表示） (2)当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求的值； (3)如图2．当射线绕点旋转到时，点到达射线上的点处．此时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度一同旋转，旋转一周停止运动．再经过多少秒，与所在直线垂直？请直接写出答案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $