2025-2026学年北师大版七年级数学下册 期末综合练习题.

**基本信息** 以代数几何统计知识整合为载体，通过真实情境问题与逻辑推理题，发展抽象能力、推理意识和数据观念，覆盖七年级下册核心考点。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|单选1-5、11-12、17-18|科学记数法、整式运算、函数关系|数与式运算→函数建模→实际应用| |几何|单选6-10、14-16、19-20、22、24|平行线性质、三角形全等、轴对称|图形性质→推理证明→动态问题解决| |统计与概率|单选7、13、21|频率估计概率、随机事件|数据收集→频率分析→概率应用|

2025-2026学年七年级下册数学期末综合练习题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．据报道，研究人员发现迄今最远的超陡频谱射电晕，位于星系团的中心，该星系团距离地球约70亿光年，质量约为太阳的1000万亿倍．已知太阳的质量约为千克，则该星系团的质量用科学记数法表示，约为（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】D 【分析】先将1000万亿转化为科学记数法形式，再结合太阳质量计算星系团质量，利用同底数幂乘法法则计算即可得到结果． 【详解】∵ 万亿， 太阳质量约为千克， ∴ 该星系团质量为 千克． 2．已知：，则（     ） A．16 B．25 C．32 D．64 【答案】C 【分析】将所求式子化为底数相同的幂，再结合已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式乘法中的完全平方公式与平方差公式计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算正确； D、，故本选项计算错误． 4．某市出租车的收费标准如表∶ 里程数 收费元 以下(含) 8.00 以上每增加 1.80 则收费y(元)与出租车行驶里程数之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键． 根据3千米以内收费8元，超过3千米，每增加1千米收费1.8元，列出关系式即可． 【详解】解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 5．2025年中国国际服务贸易交易会展示了新型模块化建筑材料，其中正方形模块A类（边长为）、B类（边长为）和长方形模块C类（长宽）可组合成不同规格的墙体．如图，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据题意，大长方形的面积等于长与宽的乘积，同时也等于所有小模块面积之和．通过多项式乘法展开长与宽的积，其中项的系数即为C类卡片的张数． 【详解】解：大长方形的长为，宽为， 大长方形的面积为： ， A类卡片面积为，B类卡片面积为，C类卡片面积为， 需要A类卡片6张，B类卡片3张，C类卡片11张． 6．如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（     ） A．增加 B．减少 C．增加 D．∠1减少 【答案】B 【分析】根据平角定义得出与的关系，根据直角定义得出与 的关系，进而根据变化量进行推导． 【详解】解：点，，在同一条直线上， ． 增加， 减少． ， ． 减少， 增加． 综上所述，减少，增加． 7．在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上 B．从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球 C．抛一枚1元钱的硬币，出现正面朝上的概率 D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数 【答案】B 【分析】根据统计图判断频率，计算四个选项的概率，并与频率值判断即可求出答案． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果的频率之间， 设频率为，则． A、掷一枚质地均匀的骰子出现2点的概率为，不符合题意； B、从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球的概率为，符合题意； C、抛一枚1元钱的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； D、从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数的概率为，不符合题意． 8．如图，在中，，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据轴对称的性质得到，所以，然后结合三角形外角性质求得，再根据等腰三角形的性质求得，即可求得答案． 【详解】解：沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图，在和中，点E，F在BC上，，．添加下列条件仍无法证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先由推出，结合已知，逐一判断各选项添加的条件是否符合全等三角形的判定定理，找出无法证明全等的选项． 【详解】解：∵， ∴，即， A、添加，结合，符合，可证，不符合题意； B、添加，结合，符合，可证，不符合题意； C、添加，结合，符合，可证，不符合题意； D、添加，此时是，无法判定，符合题意． 故选：D． 10．如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意，分类讨论：当时，，；当时，，；由全等三角形性质计算的值是否符合题意，即可求解． 【详解】解：点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后， ∴米，米， ∴（米）， 当时，，， ∴， 解得，， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 解得，， 此时，符合题意； 综上所述，与全等，的值为， 故选：A ． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．计算：___________． 【答案】 【分析】先计算括号内的幂运算，再处理负号得，最后进行立方运算即可． 【详解】解： ． 12．若实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_______． 【答案】 或 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，再分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：根据题意，由非负数的性质得，， 解得：，， ①当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形， ∴周长为； ②当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形， ∴周长为． 13．一个盒中装着大小、外形一模一样的x颗白色弹珠和10颗黑色弹珠，已知从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率是，现保持盒中原来的白色和黑色弹珠数量不变，再往盒中放进10颗同样的白色弹珠，接下来从盒中随机取出一颗弹珠，则取得白色弹珠的概率是_______． 【答案】/0.6 【分析】根据概率公式列出关于原有白色弹珠数量x的方程，求解得到x的值，再利用概率公式计算放入新弹珠后取得白色弹珠的概率． 【详解】解：根据题意得， 解得， 再往盒中放进10颗同样的白色弹珠，从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率为． 14．我们可以用图示所示方法过直线a外的一点P折出直线a的平行线b，①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行，以上判定能作为这种方法依据的有_______． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定，理解判定是关键；由折纸过程即可得过点P的直线均与直线a，b垂直，则由平行线的判定可判定直线a的平行线b． 【详解】解：由题意知，过点P作直线a的垂线c，再过点P作直线c的垂线b，则直线c分别与直线a，直线b垂直，由同位角相等，两直线平行；或内错角相等，两直线平行；或同旁内角互补，两直线平行；均可判定． 故答案为：①②③． 15．图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【答案】/度 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义和已知条件 求出的度数，最后利用角的和差关系求出的度数． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， 平面镜是一条直线， ， ， ， ， 16．如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．先化简，再求值． (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)化简为，值为 (2)化简为，值为 【详解】（1）解：原式 ． 当时，原式． （2）解：原式 ． 当时，原式． 18．若的积中不含与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键． （1）利用条件中积不含与项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）利用第（1）问中的结果，代入求值． 【详解】（1）解：原式 积中不含项与项， ，， 解得：，； （2）解：， 原式 19．如图，已知，，，垂足为A，请在横线上补全求的度数的解题过程或依据． 解：∵（已知）， ∴______（______）， ∵（已知）， ∴______（等量代换）， ∴______（______）， ∴______（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（______）， ∴______（等式的性质）． 【答案】，两直线平行，内错角相等；；，内错角相等，两直线平行；；垂直的定义； 【分析】根据平行线的判定与性质，垂直的定义即可求解，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（等式的性质）， 20．如图，中， 点D在边AB上， 且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若(1)中所作的角平分线交于M，连接，当，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图； （2）解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． 21．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数 29 60 93 122 落在“谢谢参与”区域的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)若继续不停的转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近___________，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是___________；（结果都精确到） (3)某顾客获得一次转动转盘的机会（转盘如图所示），求获得“盲盒”的概率是多少？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据频率和频数的关系求解即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵当转动次数时，落在“谢谢参与”区域的次数， ∴， ∵当转动次数时，落在“谢谢参与”区域的频率为， ∴， （2）解：观察表格中落在“谢谢参与”区域的频率数据：，随着转动次数n的增大，频率数值在附近摆动，并逐渐趋于稳定， ∴当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； （3）解：观察转盘图可知，转盘被平均分成了10等份． 统计各奖项所占的份数： “盲盒”区域有2份． “贴纸”区域有5份． “谢谢参与”区域有3份． ∴获得“盲盒”的概率是． 22．如图，，，，，连接，线段的延长线与交于点F，交于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）根据垂直的定义得到，由角的和差得到，即可得到结论． （2）证明， 结合，再利用三角形的内角和定理可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∴， 在与中， ∵， ∴． （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴． ∴． 23．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片_____张； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）利用图中大正方形的面积写出完全平方公式； （2）号纸片的数量展开后的系数； （3）①由即可求解的值； ②采用换元法，令，则，，由，计算出的值，即的值． 【详解】（1）解：由图中大正方形的面积可得，； （2）解：∵， ∴需要3张号纸片； （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②令，则，， ∵， ∴， ∴，即． 24．如图，，，． (1)求证：； (2)连接，与相交于点． 若，求的长； 若，的周长为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，完全平方公式计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （1）由已知得和都是直角三角形，再依据“”即可判定和全等； （2）①连接交于点，由（1）的结论得，进而可依据“”判定和全等得再根据即可得出的长； ②根据得，则，再根据的周长为得，则，再将代入即可得出的值． 【详解】（1）证明：， ， 和都是直角三角形， 在和中，， ； （2）解：连接交于点，如图所示： 由（1）可知：， ， 在和中， ， ， ， ， ； 解：由可知：， ， ， ， 的周长为， ， ， ， 即， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学期末综合练习题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．据报道，研究人员发现迄今最远的超陡频谱射电晕，位于星系团的中心，该星系团距离地球约70亿光年，质量约为太阳的1000万亿倍．已知太阳的质量约为千克，则该星系团的质量用科学记数法表示，约为（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 2．已知：，则（     ） A．16 B．25 C．32 D．64 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．某市出租车的收费标准如表∶ 里程数 收费元 以下(含) 8.00 以上每增加 1.80 则收费y(元)与出租车行驶里程数之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 5．2025年中国国际服务贸易交易会展示了新型模块化建筑材料，其中正方形模块A类（边长为）、B类（边长为）和长方形模块C类（长宽）可组合成不同规格的墙体．如图，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（     ） A．增加 B．减少 C．增加 D．∠1减少 7．在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上 B．从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球 C．抛一枚1元钱的硬币，出现正面朝上的概率 D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数 8．如图，在中，，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在和中，点E，F在BC上，，．添加下列条件仍无法证明的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．计算：___________． 12．若实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_______． 13．一个盒中装着大小、外形一模一样的x颗白色弹珠和10颗黑色弹珠，已知从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率是，现保持盒中原来的白色和黑色弹珠数量不变，再往盒中放进10颗同样的白色弹珠，接下来从盒中随机取出一颗弹珠，则取得白色弹珠的概率是_______． 14．我们可以用图示所示方法过直线a外的一点P折出直线a的平行线b，①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行，以上判定能作为这种方法依据的有_______． 15．图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 16．如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．先化简，再求值． (1)，其中． (2)，其中． 18．若的积中不含与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 19．如图，已知，，，垂足为A，请在横线上补全求的度数的解题过程或依据． 解：∵（已知）， ∴______（______）， ∵（已知）， ∴______（等量代换）， ∴______（______）， ∴______（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（______）， ∴______（等式的性质）． 20．如图，中， 点D在边AB上， 且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若(1)中所作的角平分线交于M，连接，当，时，求的值． 21．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数 29 60 93 122 落在“谢谢参与”区域的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)若继续不停的转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近___________，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是___________；（结果都精确到） (3)某顾客获得一次转动转盘的机会（转盘如图所示），求获得“盲盒”的概率是多少？ 22．如图，，，，，连接，线段的延长线与交于点F，交于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 23．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片_____张； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 24．如图，，，． (1)求证：； (2)连接，与相交于点． 若，求的长； 若，的周长为，且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $