精品解析：2022年四川省德阳市旌阳区孟家初级中学中考数学一模试卷

2022年四川省德阳市旌阳区孟家镇初级中学中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．） 1. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. -7+5=-12 D. 2. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 下列图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. “明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨 B. 数据4，4，5，5，0的中位数和众数都是5 C. 要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用普查的方式 D. 若甲、乙两组数中各有20个数据，平均数，方差，，则说明乙组数据比甲组数据稳定 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组数中，能成为一个三角形三边长的是( ) A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 2，5，8 D. 4，5，11 7. 如图，，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是 ( ) A. 方程2x²-3x-5=0一定有一个根是-1 B. 任何一条直径都是圆的对称轴 C. 可能性是99%的事件在一次试验中一定会发生 D. 将抛物线y= -x²向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到y=-（x-1）²+3的图象 9. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为．则这个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，点是边、的垂直平分线的交点，已知，则（　　） A. B. C. D. 11. 如图，△ABC纸片中，AB＝BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（　　）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE＝∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE＝DF+DE． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 若定义一种新运算：，例如：；．则函数的图象大致是（　　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上） 13. 分解因式：x3y﹣9xy=____． 14. 计算：________． 15. 教师招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按40%面试按60%计算加权平均数作为总成绩．周倩笔试成绩为90分，面试成绩为80分，那么周倩的总成绩为______分． 16. 如图，，∠BAC和∠ACD的角平分线交于点E，F为AC中点，若AE＝5，CE＝10，则FE的长为_____． 17. 弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如图所示，那么弹簧不挂物体时的长度是__________cm． 18. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第2023个图案中有______个涂有阴影的小正方形． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算：（1）； （2）先化简，再求值：，然后从，，0，3中选择一个合适的整数代入求值． 20. 为了有效控制新型冠状病毒的传播，目前，国家正全面推进新冠疫苗的免费接种工作．某社区为了解其辖区内居民的接种情况，随机抽查了部分居民进行问卷调查，把调查结果分为A（准备接种）、B（不接种）、C（已经接种）、D（观望中）四种类别．并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）此次抽查的居民人数为______人； （2）请补全条形统计图，同时求出类别所在扇形的圆心角度数； （3）若该社区共有居民14000人，请你估计该社区已接种新冠疫苗的居民约有多少人？ 21. 如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴于D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当x＞0时，比较kx+b与的大小． 22. 如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若BP＝2cm，求等边△ABC的边长． 23. 某超市有、、三种型号的甲种品牌饮水机和、两种型号的乙种品牌饮水机，某中学准备从甲、乙两种品牌的饮水机中各选购一种型号的饮水机安装到教室 （1）写出所有的选购方案，如果各种选购方案被选中的可能性相同，那么型号饮水机被选中的概率是多少？ （2）如果该学校计划用万元人民币购买甲、乙两种品牌的饮水机共台价格如表格所示，其中甲种品牌饮水机选为型号的，请你算算该中学购买到型号饮水机共多少台？ 品牌 甲 乙 型号 单价元 24. 如图，为矩形的对角线，点在上，连接，是的外接圆与的延长线的一个交点，延长交圆于点，点恰好是的中点，连接，分别交，于点，，连接． （1）求证：． （2）求证：四边形是菱形． （3）若恰好是的中点时，求的值． 25. 如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A为，．直线与抛物线交于M、N两点（M在N左边），交y轴于点H． （1）求抛物线的解析式： （2）如图1，若，过C点作于点D，连接，若此时，求M点的横坐标； （3）如图2，若，连接，过原点O作直线的垂线，垂足为E，以为半径作．求证：与直线相切． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年四川省德阳市旌阳区孟家镇初级中学中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．） 1. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. -7+5=-12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，相反数的性质以及有理数的加法计算，即可做出判断 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、-7+5=-2，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，相反数的性质以及有理数的加法，熟练掌握计算法则和性质是解题关键． 2. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】用a表示出该分式方程的解，再结合该分式方程的解为非负数和分式方程有意义的条件，即得出关于a的不等式，解出a的解集即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． ∵该分式方程的解为非负数，且， ∴，且， ∴，且， ∴，且　． 故选C． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值，分式有意义的条件．能够正确把分式方程转化为整式方程是解题关键． 3. 下列图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意直接根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 4. 下列说法正确的是（ ） A. “明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨 B. 数据4，4，5，5，0的中位数和众数都是5 C. 要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用普查的方式 D. 若甲、乙两组数中各有20个数据，平均数，方差，，则说明乙组数据比甲组数据稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的意义，中位数、众数的定义，全面调查与抽样调查的选择，方差的意义即可判断各选择的正误． 【详解】解：A. “明天降雨的概率是50%”表示明天降雨和不降雨的可能性相同，故本选项错误； B. 数据4，4，5，5，0的中位数是，众数和，故本选项错误； C. 要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用抽样调查的方式，故本选项错误； D. 平均数，， 乙组数据比甲组数据稳定， 故本选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了概率、中位数、众数、方差以及全面调查和抽样调查，熟练掌握概率的意义，中位数、众数的定义，全面调查与抽样调查的选择，方差的意义是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，合并同类项，根据同底数幂的乘法运算可判断A，D，根据幂的乘方运算可判断B，由合并同类项可判断C，从而可得答案． 【详解】解：A．故A不符合题意； B．，运算正确，故B符合题意； C． 不是同类项，不能合并，故C不符合题意； D． 故D不符合题意； 故选：B 6. 下列各组数中，能成为一个三角形三边长的是( ) A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 2，5，8 D. 4，5，11 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边定理可知，判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形. 【详解】A. ∵1+2=3=3，∴不能组成三角形，故A错误； B. ∵3+4=7>5,且3-4=1<5，∴能组成三角形，故B正确； C. ∵2+5=7<8，∴不能组成三角形，故C错误； D. ∵4+5=9<11，∴不能组成三角形，故D错误； 故选B. 【点睛】此题考查三角形三边定理，解题关键在于计算三角形三边关系. 7. 如图，，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，然后根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：如图： ， ， ∵，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键． 8. 下列说法正确的是 ( ) A. 方程2x²-3x-5=0一定有一个根是-1 B. 任何一条直径都是圆的对称轴 C. 可能性是99%的事件在一次试验中一定会发生 D. 将抛物线y= -x²向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到y=-（x-1）²+3的图象 【答案】A 【解析】 【分析】对四个选项逐个进行判断即可. 【详解】把x= -1代入2x²-3x-5=0，左边=2×（-1）²-3×（-1）-5=0，右边=0,∴方程2x²-3x-5=0一定有一个根是-1,故A正确；任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故B错误;可能性是99%的事件在一次试验中发生的可能性大，但不一定会发生，故C错误；将抛物线y=-x²向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到y=-（x+1）²+3的图象，故D错误．故 选A． 【点睛】本题考查了对命题的判断，掌握相关知识是解题的关键. 9. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为．则这个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，扇形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握扇形的面积公式． 先求出底面圆的周长，再利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：底面圆的周长为， 底面圆的周长即为圆锥展开图扇形的弧长， ∴扇形的面积即为圆锥的侧面积为， 故选：B． 10. 如图，在中，点是边、的垂直平分线的交点，已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理解答即可． 【详解】如图： ∵点D为边AB，AC的垂直平分线的交点， ∴DA=DB=DC， ∴∠DAB=∠DBA，∠DAC=∠DCA， ∴∠DBA+∠DCA=∠A， 在△ABC中，∠DBC+∠DCB=180°-（∠DAB+∠DBA+∠DAC+∠DCA）=180°-2∠A， 在△DBC中，∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（180°-2∠A）=2∠A， 即∠BDC=2∠A=100°． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键． 11. 如图，△ABC纸片中，AB＝BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（　　）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE＝∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE＝DF+DE． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质和中位线定理即可依次判断. 【详解】解：①根据折叠知AD＝DF，所以BD＝DF，即一定是等腰三角形．因为∠B不一定等于45°，所以①错误； ②连接AF，交DE于G，根据折叠知DE垂直平分AF，又点D是AB边的中点，在△ABF中，根据三角形的中位线定理，得DG∥BF．进一步得E是AC的中点．由折叠知AE＝EF，则EF＝EC，得∠C＝∠CFE．又∠DFE＝∠A＝∠C，所以∠DFE＝∠CFE，正确； ③在②中已证明正确； ④根据折叠以及中位线定理得右边＝AB，要和左边相等，则需CE＝CF，则△CEF应是等边三角形，显然不一定，错误． 故选B． 【点睛】考查了三角形中位线定理，正确利用折叠所得对应线段之间的关系以及三角形的中位线定理是解题的关键． 12. 若定义一种新运算：，例如：；．则函数的图象大致是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可． 【详解】解：当时，， ∴当时，， 即：， 当时，， 即：， ∴， ∴当时，，函数图像向上，随的增大而增大， ∴， 综上所述，A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，一次函数性质，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上） 13. 分解因式：x3y﹣9xy=____． 【答案】xy(x+3)(x﹣3)． 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】x3y﹣9xy =xy(x2﹣9) =xy(x+3)(x﹣3) 故答案为：xy(x+3)(x﹣3)． 【点睛】此题主要考查了分解因式，根据题目选择适合的方法是解题关键． 14. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，掌握完全平方公式是关键． 15. 教师招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按40%面试按60%计算加权平均数作为总成绩．周倩笔试成绩为90分，面试成绩为80分，那么周倩的总成绩为______分． 【答案】84 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式得90×40%+80×60%，计算即可． 【详解】根据题意,得90×40%+80×60%=84(分)， 故答案为：84． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 16. 如图，，∠BAC和∠ACD的角平分线交于点E，F为AC中点，若AE＝5，CE＝10，则FE的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据，∠BAC和∠ACD的角平分线交于点E，得出∠CAE+∠ACE＝90°，即可得出∠AEC＝90°，再根据勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵∠BAC和∠ACD的角平分线交于点E， ∴∠CAE＝∠BAC，∠ACE＝∠ACD， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠AEC＝90°， 由勾股定理得：， ∵F为AC中点， ∴EF＝AC＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理和直角三角形的性质，根据题意得出∠AEC＝90°，是解题的关键． 17. 弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如图所示，那么弹簧不挂物体时的长度是__________cm． 【答案】10 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关式，然后令x=0求出相应的y的值，即可解答本题． 【详解】解：设弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为y=kx+b， 则，解得：， ∴y=x+10， 当x=0时，y=10， ∴弹簧不挂物体时的长度是10cm， 故答案为：10． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，用待定系数法求一次函数解析式． 18. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第2023个图案中有______个涂有阴影的小正方形． 【答案】8093 【解析】 【分析】观察不难发现，第一个图案是大正方形内涂有阴影的正方形有5个，第二个图案是两个这样的打正方形，但需减去重合的一个涂有阴影的小正方形，依次观察可以写出第个图案的涂有阴影的小正方形的个数，据此可得答案． 【详解】解：由图可得， 第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为， ， 第个图案涂有阴影的小正方形的个数为， 当时，， 即第2023个图案中有8093个涂有阴影的小正方形， 故答案为：8093． 【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察出后一个图案和前一个图案的变化规律是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算：（1）； （2）先化简，再求值：，然后从，，0，3中选择一个合适的整数代入求值． 【答案】（1）5；（2）， 【解析】 【分析】（1）先分别化简各项，再计算乘法，最后计算加减； （2）先通分计算减法，再将分式的分子和分母因式分解，将除法转化为乘法，约分计算，最后将n=0代入求值． 【详解】解：（1） = = =5； （2） = = = ∵n不能取3，-3，-4， ∴当n=0时， 原式=． 【点睛】此题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 为了有效控制新型冠状病毒的传播，目前，国家正全面推进新冠疫苗的免费接种工作．某社区为了解其辖区内居民的接种情况，随机抽查了部分居民进行问卷调查，把调查结果分为A（准备接种）、B（不接种）、C（已经接种）、D（观望中）四种类别．并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）此次抽查的居民人数为______人； （2）请补全条形统计图，同时求出类别所在扇形的圆心角度数； （3）若该社区共有居民14000人，请你估计该社区已接种新冠疫苗的居民约有多少人？ 【答案】（1）200人； （2）补全条形统计图见解析，144°； （3）5600人 【解析】 【分析】（1）根据类别A除以其所占的百分比即可求得此次调查的居民人数 （2）用总人数减去类别A、B、D的人数即可得到类别C的人数，然后补全条形统计图；然后再求出类别C所占的比例，最后再乘以360°即可求得C所在扇形的圆心角． （3）用类别C所占的百分比乘以14000即可． 【小问1详解】 由题意可知: 类别A的人数为60人，占总数的30%，则此次抽查的居民人数为：60÷30%=200人； 故答案为：200 【小问2详解】 类别C的人数为：200-60-16-44=80，补全条形统计图如图： 类别C所占的比例为：=0.4，则类别所在扇形的圆心角度数360°×0.4=144° 【小问3详解】 该社区已接种新冠疫苗的居民约有14000（人） 【点睛】本题主要考查了条形统计、扇形统计图以及运用概率估计整体，正确从条形统计图和扇形统计图从获取有用信息成为解答本题的关键． 21. 如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴于D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当x＞0时，比较kx+b与的大小． 【答案】(1) ,;(2) 当0＜x＜6时，kx+b＜,当x＞6时，kx+b＞ 【解析】 【分析】（1）根据点A和点B的坐标求出一次函数的解析式，再求出C的坐标6，2） ，利用待定系数法求解即可求出解析式 （2）由C（6，2）分析图形可知，当0＜x＜6时，kx+b＜,当x＞6时，kx+b＞ 【详解】（1）S△AOB＝ OA•OB＝3， ∴OA＝2， ∴点A的坐标是（0，﹣2）， ∵B（3，0） ∴ ∴ ∴y＝x﹣2． 当x＝6时，y＝ ×6﹣2＝2，∴C（6，2） ∴m＝2×6＝12． ∴y＝． （2）由C（6，2），观察图象可知： 当0＜x＜6时，kx+b＜,当x＞6时，kx+b＞． 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于求出C的坐标 22. 如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若BP＝2cm，求等边△ABC的边长． 【答案】（1）见解析；（2）等边△ABC的边长为6cm 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形； （2）先根据直角三角形30度的性质可得BM＝4，证明△MPB≌△NMC（AAS），可得CM＝PB＝2，从而得结论． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC， ∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°， ∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN， ∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP， ∴△PMN是等边三角形； （2）解：∵△PMN是等边三角形 ∴PM=MN 在Rt△BPM中，∵∠B＝60°， ∴∠PMB＝30°， ∴BM＝2PB＝4， 在△MPB和△NMC中， ， ∴△MPB≌△NMC（AAS）， ∴CM＝PB＝2， ∴BC＝BM+CM＝4+2＝6（cm）， ∴等边△ABC的边长为6cm． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质等知识；证出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP是本题的关键． 23. 某超市有、、三种型号的甲种品牌饮水机和、两种型号的乙种品牌饮水机，某中学准备从甲、乙两种品牌的饮水机中各选购一种型号的饮水机安装到教室 （1）写出所有的选购方案，如果各种选购方案被选中的可能性相同，那么型号饮水机被选中的概率是多少？ （2）如果该学校计划用万元人民币购买甲、乙两种品牌的饮水机共台价格如表格所示，其中甲种品牌饮水机选为型号的，请你算算该中学购买到型号饮水机共多少台？ 品牌 甲 乙 型号 单价元 【答案】（1）、、、、、； （2）能买到型号饮水机台 【解析】 【分析】（1）所有的选购方案：、、、、、，即可得到型号饮水机被选中的概率； （2）分两种情况讨论：方案、；方案、，设购买型号饮水机台，根据价格分别列出方程，然后解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：所有的选购方案：、、、、、； 型号饮水机被选中）； 【小问2详解】 解：设购买型号饮水机台， 方案、， ，解得，不合题意舍去； 方案、， ，解得． 答：能买到型号饮水机13台． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率的方法，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握先列举出所有可能的结果，然后找出某事件发生的结果，利用概念即可求出概率． 24. 如图，为矩形的对角线，点在上，连接，是的外接圆与的延长线的一个交点，延长交圆于点，点恰好是的中点，连接，分别交，于点，，连接． （1）求证：． （2）求证：四边形是菱形． （3）若恰好是的中点时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质得到是圆的直径，再利用垂径定理即可得到； （2）利用垂径定理得到垂直平分，再利用平行线的判定及矩形的性质得到四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可解答； （3）利用相似三角形的判定得到，，再利用相似三角形的性质得到即可解答． 【小问1详解】 证明：在矩形中，，， ∴，是圆的直径， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵，是圆的直径， ∴垂直平分， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴是菱形． 【小问3详解】 连接，设． ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵恰好是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点，是菱形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂径定理，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A为，．直线与抛物线交于M、N两点（M在N左边），交y轴于点H． （1）求抛物线的解析式： （2）如图1，若，过C点作于点D，连接，若此时，求M点的横坐标； （3）如图2，若，连接，过原点O作直线的垂线，垂足为E，以为半径作．求证：与直线相切． 【答案】（1）抛物线的解析式为： （2）点M的横坐标为 （3） 联立直线l于抛物线得：， ∴， 由根的系数得关系知：， ∵， ∴可设直线得解析式分别为：， 分别令， 整理可求得， 代入到根与系数的关系式中得：， ∴， 如图2，设直线与y轴交点分别为G，H， ∴， ∴， ∵，即垂直平分， ∴， ∴平分， 过点O作于点F， ∵， ∴， ∴与直线相切． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，代入到解析式中，解方程组即可得出结论； （2）如图1，延长交直线l于点P，过点P作轴于点Q，由直角三角形两锐角互余可得，所以，易证，所以，得出P点坐标，进而可得直线l的解析式为：，联立直线与抛物线的解析式即可得出结论； （3）联立直线l与抛物线的解析式得，由根与系数的关系可知，进而可以设直线得解析式分别为：，分别联立两条直线和抛物线的解析式，可求得，设直线与y轴交点分别为G，H，由垂直平分线的性质可得平分，过点O作于点F，由角平分线的性质可知，，由此可得出结论． 【小问1详解】 由题意得，， 代入到解析式中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 如图1，延长交直线l于点P，过点P作轴于点Q， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴直线l的解析式为：， 令， 解得， ∵点M在点N的左边， ∴点M的横坐标为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线与抛物线的交点问题，根与系数的关系及切线的判定定理，根据题意作出正确的辅助线是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $