精品解析：四川省宜宾市长宁县2024年 九年级一诊数学试题

2024年春期教学质量诊断监测（一） 九年级·数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上． 1. 的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握 “数 的相反数是 ” 是解题的关键． 根据相反数的定义，求解即可． 【详解】解：的相反数是2025， 故选：A． 2. 某种球形病毒的直径为43000000米，将数据43000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示形式，正确确定和 的值是解题关键．科学记数法的表示形式为，其中， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时， 是正数；当原数绝对值小于1时， 是负数．由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘除法和积的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列几何体的三视图相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】三视图是主视图、左视图、俯视图，能根据各自的定义去观察即可． 【详解】解：A、长方体的三视图都是矩形，但是矩形形状并不全等，该选项不符合题意； B、正方体的三视图都是正方形，该选项符合题意； C、圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是一个圆，该选项不符合题意； D、圆锥的主视图和左视图为三角形，俯视图为带圆心的圆，该选项不符合题意； 5. 在菱形 中，对角线 与交于点O，则的值可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质，判断 、、能构成直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：菱形 中，对角线 与交于点O， 由 与垂直， 、、能构成直角三角形， A、，则 、、不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； B、，则 、、不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； C、，则 、、不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； D、，则 、、能构成直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 6. 现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是找到等量关系列出方程组．根据一张纸可裁成2张纸或4张纸，可以得出张纸由张纸裁剪而成，张纸由张纸裁剪而成，根据纸100张，得出；再根据纸和纸共计300张，得出即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D 7. 如图， 是 的直径， 是 的弦，于点．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．根据垂径定理求出，再根据圆周角求解即可． 【详解】解： 是 的直径，于点， ， ， ， ， 故选：B 8. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是注意验根．先去分母，解整式方程，再对求出的根进行检验． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得， 当时，， 经检验，是原分式方程的根， 故选：C． 9. 如图，位于第二象限的图案是由图案绕点逆时针旋转得到的，若点，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点M、C关于点A中心对称，根据中心对称的特点，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】由题意知：点M、C关于点A中心对称， 设点M的坐标为(，)， ∴，， 解得： ，， ∴点M的坐标为(，)， 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中点坐标公式是解题的关键． 10. 如图， 是 的直径，半径弦于点 ，连接．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，连接 ，设圆的半径是，由勾股定理得到，求出，得到，由勾股定理求出，即可得到． 【详解】连接 ， 设圆的半径是， ， 弦于点 ， ， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ， ． 故选：B． 11. 如图是一个由三种相似的直角三角形纸片（相似比相同）拼成的矩形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中的纸片的面积分别为，若，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如图，由三种直角三角形相似，设相似比为， ，则，，根据线段的和差关系构建方程，求出的值，证明即可解决问题，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题． 【详解】解：如图，由三种直角三角形相似，设相似比为， ， 则，， ∴， ，， 则有：， 整理得，， ∴或(不合，舍去)， ∴， ， ∴， ∴这个矩形的面积， 故选：． 12. 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点，，都是“方形点”． 下列结论：①直线上存在“方形点”； ②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是； ③若二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是：其中，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】把代入求解，得到“方形点”坐标，即可判定①；把代入抛物线求解，得到“方形点”坐标，再根据两点间距离公式求出“方形点”间的距离即可判定②；先根据二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，求出a、c值，从而得出二次函数解析式，然后根据二次函数的最值求出m的取值范围，即可判定③． 【详解】解：①把代入，得 解得：， ∴直线上存在“方形点” 故①正确； ②把代入抛物线，得 解得：， ， ∴抛物线上的2个“方形点”为和， ∴这2个“方形点”之间的距离是， 故②正确； ③把代入抛物线，得 ， 整理，得， ∵二次函数的图象上有且只有一个“方形点” ∴，解得：， ∴抛物线， ∵当时，二次函数的最小值为，最大值为， ∴，解得：， 故③错误， ∴正确的有①②，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查新定义，一次函数图象性质，二次函数图象性质，二次函数最值，一元二次方程根的判别式．理解新定义和掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上． 13. 为了解某班学生2023年5月27日参加体育锻炼的情况，从该班学生中随机抽取5名同学进行调查．经统计，他们这天的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为65，60，75，60，80．数据65，60，75，60，80的众数为______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义， 根据一组数据中出现次数最多的数为众数即可求解． 【详解】解：数据65，60，75，60，80出现次数最多的为60， ∴众数为60． 故答案为：60． 14. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的知识，灵活运用提公因式法和完全平方公式是解答本题的关键． 先提取公因式x，再利用完全平方公式即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 已知m，n是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键． 16. 若不等式组有三个非负整数解，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的整数解的个数求未知系数问题，涉及一元一次不等式组的解法． 首先确定不等式组非负整数解，然后根据不等式的非负整数解得到一个关于的不等式组，从而求解． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组有三个非负整数解， ∴不等式组三个非负整数解是0，1，2， ∴． 故答案为：． 17. 如图，矩形 中，，，O为 的中点，将 绕着点O旋转得到 ，连接．以为边作等边（点D、E、F按顺时针方向排列），连接 ，则 的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题； 如图，连接，延长 到T，使得，连接， ， ，证明，推出，利用勾股定理求出 ，根据，可得，由此即可解决问题: 【详解】解：如图，连接，延长 到T，使得，连接， ， ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 的最小值为． 故答案为：． 18. 现有是关于的二次函数，则下列描述正确的是________． ①当时，函数图像的顶点坐标为； ②当时，函数图像在轴上截得的线段的长度大于； ③当时，函数图像总过定点； ④若函数图像上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①把代入,然后再化为顶点式即可求解； ②求得与x轴的交点，进而求得的值，即可判断； ③由，可知当时，的值与m无关，然后求出x、y的对应值即可； ④m＜0时，抛物线的对称轴：，抛物线开口向下，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：①当时，， ∴顶点坐标为，故①正确； ②当时，由得：，、 ∴ ∴ ∴， ∴函数图像截x轴所得的线段长度大于，故②正确； ③当时，，当时，y的值与m无关，此时 当；当时，， ∴函数图像总经过两个定点,故③正确； ④当0时，抛物线的对称轴：，抛物线开口向下， 故时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即时，成立，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点的坐标特征、二次函数图像与坐标轴的交点、顶点，明确这些点代表的意义及函数特征是解答本题的关键． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先分别化简乘方，绝对值，零次幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，再运算加减法，即可作答． （2）先通分括号内，再把除法化为乘法，最后化简，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在 中，D为 上一点，E为 的中点，连接并延长至点F，使得，连接 ．求证： ． 【答案】证明：∵E为 的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】先结合线段的中点得，再结合以及对顶角相等，证明，故，再根据内错角相等得出两直线平行，即 ． 【详解】略 21. 2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，某学校组织开展主题为“节约用水，爱护资源”的社会实践活动，甲小组同学在A，B两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份的用水量，分别将两个小区的居民用水量（单位：）分为5组，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息： 信息一： A小区3月份用水量频数分布表 用水量 频数（户数） 4 10 9 4 3 B小区3月份用水量频数分布直方表 信息二：A，B两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下： A小区 B小区 平均数 9.5 9.0 中位数 9.2 信息三：B小区3月份用水量在第三组的数据为： ，，， ， ，，， ， ， 根据以上信息，回答问题： （1） ______； （2）若A小区共有800户居民，B小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数； （3）因任务安排，需要随机在乙小组和丙小组中随机抽取1名同学加入甲小组，已知乙小组2名男生和一名女生，丙小组有2名女生和一名男生，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名同学都是男生的概率． 【答案】（1） （2）130 （3） 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的中位数，用样本估计总体，列表法或画树状图求概率等知识． （1）根据题意将B小区30户居民3月份用水量数据按照从小到大的顺序排列，排在15和16个的是9，9.4，根据中位数的定义即可求出； （2）根据信息一得到小区用水量不低于的居民共有3户，B小区用水量不低于的居民共有2户，用样本的频率即可估计总体的频率，据此即可列式求解； （3）根据题意画出树状图，得到共有9种可能出现的情况，且每种情况出现的可能性相同，其中抽到两名同学都是男生的情况有2种，根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：将B小区30户居民3月份用水量数据按照从小到大的顺序排列，排在15和16个的是9，9.4， 所以． 故答案为：9.2； 【小问2详解】 解：小区用水量不低于的居民共有3户，B小区用水量不低于的居民共有2户， （户）． 答：估计两个小区3月份居民用水量不低于的总户数为130； 【小问3详解】 解：根据题意，画树状图得； 由树状图可知，共有9种可能出现的情况，且每种情况出现的可能性相同，其中抽到两名同学都是男生的情况有2种， ∴抽取的两名同学都是男生的概率为． 22. 某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势，根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面，新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30cm． （1）如图2，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长； （2）如图3，当∠BAC＝12°时，求AD的长．（结果保留根号）（参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20）． 【答案】（1）12cm （2）AD的长为（12+6）cm或（12﹣6）cm 【解析】 【分析】（1）在直角三角形，根据正弦函数值的定义代值求解即可； （2）根据对称性可知 的位置有两种情况，分情况利用正弦函数值的定义代值求解即可． 【小问1详解】 解：∵∠BAC＝24°，CD⊥AB， ∴sin24°＝， ∴CD＝ACsin24°＝30×0.40＝12cm； ∴支撑臂CD的长为12cm； 【小问2详解】 过点C作CE⊥AB于点E，如图所示： 当∠BAC＝12°时， ∴sin12°＝＝， ∴CE＝30×0.20＝6cm， ∵CD＝12， ∴DE＝， ∴AE＝＝12cm， ∴AD的长为（12+6）cm或（12﹣6）cm． 【点睛】本题考查实际背景下的三角函数值求线段长，解决问题的关键是读懂题意，找到直角三角形利用三角函数值的定义求解． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点 的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点是直线 下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数与几何综合； （1）把点代入即可求出，把代入反比例函数解析式求出点 的坐标，再将把和点 的坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）设点的坐标为，分类讨论：①当点在第四象限时，；②当点在第二象限时，；分别建立方程即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：把点代入得， ， 反比例函数的解析式为， 把代入得， 点 的坐标为， 把和点代入得，解得 一次函数的解析式为． 综上所述：反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：设点的坐标为， ， 当点在第四象限时，如图所示： ∵ ∴， 解得：（不合题意舍去）， 当点在第二象限时，如图所示： ∵ ∴， 解得：（不合题意舍去）， 综上所述，点的坐标为或． 24. 如图，直角△ACB，∠ACB=90°，∠A=60°，以AC为直径作⊙O,点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点； （1）求证：点E为CG的中点； （2）过E点作ED⊥AB，D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若CF=2，求BC的长. 【答案】（1）证明：连接OE，∵G为Rt△ABC斜边的中点. ∴AG=CG， 又∵∠A=60° ∴△ACG为等边三角形 ∴∠C=∠AGC=60°. 又∵CO=OE ∴△OCE是等边三角形. ∴∠AGC=∠OEC=60°. ∴OE∥AB ∵O为AC中点， ∴E为CG的中点. （2）证明：由（1）, E为CG的中点,又∵O为AC中点， ∴OE∥AG ∵ED⊥AG， ∴OE⊥ED， ∴DE是⊙O的切线 （3）12. 【解析】 【分析】（1）连接OE，利用直角三角形斜边上的中线性质得到AG=CG，则△ACG为等边三角形，再判断△OCE是等边三角形得到∠AGC=∠OEC=60°，所以OE∥AB，锐角利用O为AC中点得到E为CG的中点；（2）利用（1）中OE∥AG得到OE⊥ED，然后根据切线的判定定理得到结论；（3）作GM∥FD交BC于M，如图，先证明CM=2CF，MC=MG，再利用△MGB为30°角的直角三角形得到BM=2MG=2CM=4CF，然后利用BC=6CF进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）做GM∥FD， ∵E为CG的中点， ∴ ∴CF也是⊙O的切线. ∴ , ∴MC=MG. ∵△MGB为30°角的直角三角形 ∴ ∴BC=6CF ∴BC=6×2=12. 【点睛】本题考查了切线的判定与性质和直角三角形斜边上的中线性质．正确运用性质定理是解题的关键. 25. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于点，B两点，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P在直线下方的抛物线上，且点P在对称轴左侧．过点P作 交于点G，作交抛物线于点H．求的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）如图3，点P在x轴下方的抛物线上，点D为抛物线的顶点，过点D作 轴于点E，连接，交于点F，连接，，探究抛物线上是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大值为，此时点P的坐标为 （3）存在点M的坐标，使，点M的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将点与点代入函数解析式求解即可； （2）求出直线的函数解析式，设出点，表示出点G，与点H的坐标，再表示出，由二次函数的最值即可求解的最大值，再将代入即可得到点P的坐标； （3）分类讨论当在上方时，当在下方时，两种情况，结合角的关系得到，当在上方时，添加辅助线，过点A作 轴交的延长线于点G，过点C作于点K，过点K作轴于点H，过点B作的延长线于点T，求解出直线的函数解析式，联立直线与抛物线求解交点坐标，即为点M的坐标，同理可得当在下方时，点M的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线 与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为，对称轴， 令，即，解得或， ∴点， 设直线的函数解析式为， 将点与点代入函数解析式， ，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点P在直线下方的抛物线上，且点P在对称轴左侧． ∴点，且， ∵ 交于点G， ∴点， ∴， ∵交抛物线于点H． ∴点P与点H关于直线对称， ∴， ∴， ∵ ，函数图象开口向下，且， ∴当时，有最大值，为， ∵当时，点， ∴点， ∴的最大值为，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：存在点M，使，理由如下： ①当在上方时， 过点A作 轴交的延长线于点G，过点C作于点K， 过点K作轴于点H，过点B作的延长线于点T，如图， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点，点， ∵点，点， ∴， ∵ 轴， ∴， ∴ ， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ 轴，即， ∵， ∴， ∵ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ 为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∵的延长线于点T，即， ∴， ∴， ∵轴，即， 在与中， ， ∴， ∴，， 设点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴点， 设直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴设直线的函数解析式为， 联立，解得（舍去）或， ∴点； ②当在下方时，同理可得， 则， 在上取点，满足，过点作的延长线于点， 同理可得， ∴同理可得直线的函数解析式为， 联立，解得（舍去）或， ∴点， 综上，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春期教学质量诊断监测（一） 九年级·数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上． 1. 的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 某种球形病毒的直径为43000000米，将数据43000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列几何体的三视图相同的是（　　） A. B. C. D. 5. 在菱形 中，对角线 与交于点O，则的值可以是（　　） A. B. C. D. 6. 现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是 的直径，是 的弦，于点 ．若，则（　　） A. B. C. D. 8. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，位于第二象限的图案是由图案绕点逆时针旋转得到的，若点，，则点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是 的直径，半径弦 于点，连接．若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图是一个由三种相似的直角三角形纸片（相似比相同）拼成的矩形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中的纸片的面积分别为，若，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　） A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点，，都是“方形点”． 下列结论：①直线上存在“方形点”； ②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是； ③若二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是：其中，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上． 13. 为了解某班学生2023年5月27日参加体育锻炼的情况，从该班学生中随机抽取5名同学进行调查．经统计，他们这天的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为65，60，75，60，80．数据65，60，75，60，80的众数为______． 14. 分解因式：_______． 15. 已知m，n是方程的两个根，则的值为______． 16. 若不等式组有三个非负整数解，则m的取值范围是________． 17. 如图，矩形 中，，，O为的中点，将 绕着点O旋转得到 ，连接．以为边作等边（点D、E、F按顺时针方向排列），连接 ，则 的最小值为______． 18. 现有是关于的二次函数，则下列描述正确的是________． ①当时，函数图像的顶点坐标为； ②当时，函数图像在轴上截得的线段的长度大于； ③当时，函数图像总过定点； ④若函数图像上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算、化简： （1）； （2）． 20. 如图，在中，D为上一点，E为 的中点，连接并延长至点F，使得，连接 ．求证： ． 21. 2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，某学校组织开展主题为“节约用水，爱护资源”的社会实践活动，甲小组同学在A，B两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份的用水量，分别将两个小区的居民用水量（单位：）分为5组，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息： 信息一： A小区3月份用水量频数分布表 用水量 频数（户数） 4 10 9 4 3 B小区3月份用水量频数分布直方表 信息二：A，B两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下： A小区 B小区 平均数 9.5 9.0 中位数 9.2 信息三：B小区3月份用水量在第三组的数据为： ，，， ， ，，， ， ， 根据以上信息，回答问题： （1） ______； （2）若A小区共有800户居民，B小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数； （3）因任务安排，需要随机在乙小组和丙小组中随机抽取1名同学加入甲小组，已知乙小组2名男生和一名女生，丙小组有2名女生和一名男生，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名同学都是男生的概率． 22. 某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势，根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面，新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30cm． （1）如图2，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长； （2）如图3，当∠BAC＝12°时，求AD的长．（结果保留根号）（参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点的坐标． 24. 如图，直角△ACB，∠ACB=90°，∠A=60°，以AC为直径作⊙O,点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点； （1）求证：点E为CG的中点； （2）过E点作ED⊥AB，D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若CF=2，求BC的长. 25. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于点，B两点，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P在直线下方的抛物线上，且点P在对称轴左侧．过点P作 交于点G，作交抛物线于点H．求的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）如图3，点P在x轴下方的抛物线上，点D为抛物线的顶点，过点D作 轴于点E，连接， 交于点F，连接，，探究抛物线上是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $