专题13.4 三角形章节复习【导图+知识卡片+知识梳理+16个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题】-2026-2027学年人教版数学八年级上册同步讲义

该初中数学三角形章节复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，知识梳理分三角形的概念、与三角形有关的线段、内角与外角三部分，用清晰框架呈现三角形的分类、三边关系、中线、角平分线、高及内角和定理等核心知识点，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于16个题型讲练设计，每个题型含典例精讲与变式训练，如“确定第三边的取值范围”“与角平分线有关的内角和问题”，培养推理能力与几何直观。中考真题演练结合基础夯实、培优拔高分层训练，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

null 专题13.4 三角形（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+16个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题） 【人教版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 3 第一部分 三角形的概念 3 知识点一 三角形的概念 3 知识点二 三角形的分类 3 第二部分 与三角形有关的线段 3 知识点一 三角形的边 3 知识点二 三角形的中线 4 知识点三 三角形的角平分线 4 知识点四 三角形的高 4 第三部分 三角形的内角与外角 5 知识点一 三角形的内角和 5 知识点二 直角三角形的性质及判定 5 知识点三 三角形的外角 5 题型讲练 6 题型一 三角形的个数问题 6 题型二 三角形的分类 7 题型三 确定第三边的取值范围 8 题型四 三角形三边关系的应用 9 题型五 根据三角形中线求长度 10 题型六 根据三角形中线求面积 11 题型七 三角形角平分线的定义 12 题型八 画三角形的高 14 题型九 与三角形的高有关的计算问题 15 题型十 与平行线有关的三角形内角和问题 16 题型十一 与角平分线有关的三角形内角和问题 17 题型十二 三角形折叠中的角度问题 19 题型十三 三角形内角和定理的应用 20 题型十四 直角三角形的两个锐角互余 21 题型十五 锐角互余的三角形是直角三角形 23 题型十六 三角形的外角的定义及性质 24 中考真题演练 24 难度分层训练 30 【基础夯实】 30 【培优拔高】 33 第一部分 三角形的概念 知识点一 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 知识点二 三角形的分类 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 第2部分 与三角形有关的线段 知识点一 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点二 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2）. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点三 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点四 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 第三部分 三角形的内角与外角 知识点一 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点二 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点三 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 题型一 三角形的个数问题 【典例精讲】（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】解：以为公共角的三角形有，，共个， 故选：． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，以点为顶点的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点为顶点的三角形有，，共2个． 故选：B． 题型二 三角形的分类 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 【答案】 【分析】分三种情况，当时，当时，当时，分别找出符合条件的P点的个数，即可解决问题． 本题考查了直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，分三种情况： 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 综上所述，为直角三角形，符合条件的P点的个数为（个）． 故答案为：6． 【变式训练】（25-26八年级上·云南红河·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查绝对值的非负性，三角形的分类，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，得到，进而得到是等边三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 题型三 确定第三边的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级上·云南德宏·期末）已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴， 即． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（   ） A．10 B．8 C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边关系，求出a的取值范围，再从选项中选取符合范围的值． 【详解】解：∵三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ∴， 即， ∵选项中只有6在的范围内， 故选：C． 题型四 三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每组中较短的两边长度相加，和大于最长边即可组成三角形． 【详解】解：A. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，A不符合题意； B. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，B不符合题意； C. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，C不符合题意； D. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒能组成三角形，D符合题意． 【变式训练】（25-26八年级上·河南商丘·期末）若实数满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长为___________． 【答案】20或22 【分析】本题考查了非负数之和为零，三角形三边关系，根据绝对值与偶次幂的非负性求出x、y的值，再分两种情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：， ，， ， 解得，， 当6为腰长，8为底边长时，三角形的三边分别为6、6、8，满足三角形三边关系， 周长， 当8为腰长，6为底边长时，三角形的三边分别为8、8、6，满足三角形三边关系， 周长， 该等腰三角形的周长为20或22． 故答案为：20或22． 题型五 根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，在中,是边上的中线,周长比周长多的周长L为长为，求和的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质及周长的计算，解题的关键是利用中线得出，再结合周长差得到与的关系． 根据三角形中线的定义，，所以和的周长之差也就是与的差，然后列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：由三角形中线可知，， ∴， 即①， ∵的周长L为长为， ∴，即②， ①②得， 解得， ②①得， 解得． 题型六 根据三角形中线求面积 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，是的中线，，分别是的中线，若阴影部分的面积为，则的面积为__________． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵，分别是的中线， ∴，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 题型七 三角形角平分线的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 【变式训练】（25-26八年级上·天津河西·期中）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请填空． (1)____________； (2)____________； (3)若，，则______，则______． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查三角形中线定义、角平分线定义及三角形面积公式，熟记三角形相关定义及面积公式是解决问题的关键． （1）由三角形的中线的定义直接求解即可得到答案； （2）由三角形的角平分线的定义直接求解即可得到答案； （3）由三角形中线的定义得到，再结合三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，是中线， ， 故答案为：，； （2）解：在中，是角平分线， ， 故答案为：，； （3）解：在中，是中线，， ， 在中，是高，，， ，， 故答案为：，． 题型八 画三角形的高 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江台州·期末）作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形高的定义，从三角形的一个顶点出发向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：、作出的是中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、作出的是中边上的高，故本选项正确，符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）对于，用一把直角三角尺，作边上的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形高的定义，熟练掌握三角形高线的定义即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段，叫三角形的高线是解答此题的关键． 根据三角形高的定义求解即可． 【详解】解：三角形高线即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段， 则A、B、C均不是高线，D是高线． 故选：D． 题型九 与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线．根据三角形中线的性质可得，，再由，即可求解． 【详解】解：∵是中线，，， ∴，， ∵是高， ∴，即， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，的面积为14，，．求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，根据三角形中线求三角形的面积．根据，得出，从而求出，根据三角形中线求出，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：阴影部分的面积为． 题型十 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，则的度数是_______． 【答案】39° 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，求出是解题的关键. 【详解】解：， . 在中, , , , =. 故答案为： ． 【变式训练】（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型十一 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，平分平分，求的度数． 【答案】 【分析】利用角平分线的定义，用表示，再利用三角形的内角和定理得结论． 【详解】解：∵平分平分， ∴ ， ∴ ． 【变式训练】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，是角平分线，且，相交于点， ∴， ∴． 题型十二 三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，使A点落在同一平面内的点F处，若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠的性质与平行线的性质，灵活结合折叠的全等性和平行线的角度关系是解题的关键．根据折叠的全等性得到对应角相等，再结合平行线的同位角相等，利用平角的度数关系，进而求出的度数． 【详解】解：， ， 又由折叠而来， ， ， 即， ． 故答案为：． 题型十三 三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ______． 【答案】 【分析】由平角的定义得到，结合，求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）在中，已知，则的度数是_____度． 【答案】70 【分析】根据三角形内角和定理，已知中两个内角的度数，即可计算出第三个内角的度数． 【详解】解：根据三角形内角和定理，三角形的内角和等于，可得在中 ∵ ∴． 题型十四 直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，平分交于点，为线段上的一点，过点作交线段的延长线于点，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和为可以求出，根据角平分线定义可知，根据三角形内角和定理即可求出，再根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， 在中，， ， ， ， ． 【变式训练】（2025八年级上·四川南充·专题练习）如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F，求的度数． 【答案】 【分析】设，根据，可得，，再由角平分线的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十五 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵一个三角形中，两个角的和为， ∴第三个角是， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：，直角． 【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 题型十六 三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质即可得出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 是的角平分线， ， ． 【变式训练】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由三角形的外角的性质可知，． 【真题演练1】（2025·四川泸州·中考真题）在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（   ）的交点处 A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高 D．三条边的垂直平分线 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的定义．根据重心的定义，找到三角形三条中线的交点，即可求解． 【详解】解：依题意，这个塔尖应该放在三角形薄板的三条中线的交点处 故选：B． 【真题演练2】（2025·陕西榆林·中考真题）如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据角平分线的意义求得，再利用三角形内角和定理求得，然后三角形外角的性质求得，根据角平分线的意义求得，再根据三角形外角的性质求得． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵平分， ∴， 在中，是外角， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 【真题演练3】（2025·广西肇庆·中考真题）如图，将等边的三条边向外延长一倍，得到第一个新的，第二次将等边的三边向外延长一倍，得到第二个新的，依此规律继续延长下去，若的面积，则第个新的三角形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，三角形的中线的性质；连接，根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积即可；根据等底等高的三角形的面积相等得到向外扩展了一次得到的的面积，向外扩展了二次得到的的面积，，找出规律即可． 【详解】解：如图，连接，   ， ， ， 用同样的方法得到，，， ； 向外扩展了一次得到的的面积为； 向外扩展了二次得到的，可以看作是向外扩展了一次得到， 的面积为7倍的面积； 向外扩展了二次得到的的面积，， 同理：向外扩展了次得到的的面积为， 第2024个新的三角形的面积为， 故答案为：． 【真题演练4】（2025·安徽滁州·中考真题）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则_________． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则_________． 【答案】 /35度 /45度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，，等量代换可得答案； （2）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，同（1）可得，，再根据，通过等量代换即可求解． 【详解】解： （1） 平分，平分， ，， 是的外角，是的外角， ，， ， ； （2） 平分，是的外角， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）如图①，为轴负半轴上一点，为轴正半轴上一点，，． (1)求的面积； (2)如图②，若，作的平分线交于点，交于点，判断与的大小关系，并证明你的结论； (3)如图③，若，点在轴正半轴上任意运动，的平分线交的延长线于点，在点的运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)的值不变，其值为 【分析】本题考查了直角坐标系，角平分线的定义，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． （1）求出的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解； （2）根据角平分线的定义可得，然后根据等角的余角相等解答； （3）设，，由角平分线的定义和三角形的外角性质可得，，由题意得，推出，进而得到，即可得解． 【详解】（1）解： ，， ， ． （2），证明如下： 为的平分线， ． ， ． 又， ． ，， ． （3）的值不变，其值为． 设，． ∵为的平分线， ，， 由题意得， ， ． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知等腰三角形的一边长为4，周长为13，则它的底边长为（    ） A．4 B．4或5 C．或 D．5 【答案】B 【分析】题目未说明已知边长是腰还是底边，需分类讨论，再验证三边关系得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论：①当为底边长时，腰长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为； ②当为腰长时，底边长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为． ∴底边长为或． 2．（2025八年级上·四川南充·专题练习）已知，，是的三边长，且，满足，则第三边的长可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用非负数的性质求出已知两边的长度，再根据三角形三边关系确定第三边的取值范围即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 解得， 由三角形的三边关系可知， ∴， ∴选B． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，，垂足为，平分，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质及角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．先求出，从而求出，然后根据角平分线的定义求出，再根据三角形的外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）请将图中的三个角、、按照大小关系排列________（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形的外角性质得到，，进而得出结论． 【详解】解：如图， 是的外角， ， 是的外角， ， ， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，将中的边沿着方向平移到，交于点O，连接，． (1)若，，求的大小； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边（不与点A，点C重合），求与周长的和． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）由平移的性质得到，则由平行线的性质可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案； （2）由平移的性质得到，，证明与周长的和，即可得到答案． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得，， 与周长的和 ． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定与性质．根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②不正确； ③在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故正确的结论有①③④． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个等腰三角形底边的长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则周长为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、中线分周长的差、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设腰长，底边，根据中线分周长差为，可得，代入底边长，得到腰长为或，但腰不能构成三角形，据此即可解答． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴． 设腰长，底边． 则一部分周长为，另一部分为． 两部分的差为． 依题意，， ∴或，解得：或． 当时，三边为，由，不满足三角形三边关系，舍去． 当时，三边为，可以构成三角形． ∴周长． 故选B． 3．（25-26八年级·全国·寒假作业）如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是___． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q，根据角平分线的定义证明，再用、表示出，最后由三角形外角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q， ∵平分，平分，平分， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 则与、的数量关系为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理及其推论，正确理解和应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．设交于点H，由，且，，，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，设交于点H， ∵，且， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，，点A，B分别在射线和射线上，平分，交于点C，过点C作于点D，在上找到一点E，使，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)的面积为28 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形的外角的性质，垂线的定义，三角形的面积的计算，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质得到，根据垂线的定义得到，即可得到； （2）首先过C作于点H，于点G，再根据角平分线的性质得到，最终证明出角平分线上一点到角两边的线段相等即可得到平分； （3）首先由（2）知，再根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，过C作于点H，于点G， ∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴平分， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为28． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.4 三角形（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+16个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题） 【人教版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 3 第一部分 三角形的概念 3 知识点一 三角形的概念 3 知识点二 三角形的分类 3 第二部分 与三角形有关的线段 3 知识点一 三角形的边 3 知识点二 三角形的中线 4 知识点三 三角形的角平分线 4 知识点四 三角形的高 4 第三部分 三角形的内角与外角 5 知识点一 三角形的内角和 5 知识点二 直角三角形的性质及判定 5 知识点三 三角形的外角 5 题型讲练 6 题型一 三角形的个数问题 6 题型二 三角形的分类 6 题型三 确定第三边的取值范围 7 题型四 三角形三边关系的应用 7 题型五 根据三角形中线求长度 7 题型六 根据三角形中线求面积 8 题型七 三角形角平分线的定义 9 题型八 画三角形的高 9 题型九 与三角形的高有关的计算问题 10 题型十 与平行线有关的三角形内角和问题 11 题型十一 与角平分线有关的三角形内角和问题 11 题型十二 三角形折叠中的角度问题 12 题型十三 三角形内角和定理的应用 12 题型十四 直角三角形的两个锐角互余 13 题型十五 锐角互余的三角形是直角三角形 13 题型十六 三角形的外角的定义及性质 14 中考真题演练 14 难度分层训练 16 【基础夯实】 16 【培优拔高】 18 第一部分 三角形的概念 知识点一 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 知识点二 三角形的分类 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 第2部分 与三角形有关的线段 知识点一 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点二 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2）. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点三 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点四 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 第三部分 三角形的内角与外角 知识点一 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点二 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点三 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 题型一 三角形的个数问题 【典例精讲】（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，以点为顶点的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 三角形的分类 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 【变式训练】（25-26八年级上·云南红河·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 题型三 确定第三边的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级上·云南德宏·期末）已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（   ） A．10 B．8 C．6 D．2 题型四 三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·河南商丘·期末）若实数满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长为___________． 题型五 根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【变式训练】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，在中,是边上的中线,周长比周长多的周长L为长为，求和的长． 题型六 根据三角形中线求面积 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，是的中线，，分别是的中线，若阴影部分的面积为，则的面积为__________． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 题型七 三角形角平分线的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【变式训练】（25-26八年级上·天津河西·期中）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请填空． (1)____________； (2)____________； (3)若，，则______，则______． 题型八 画三角形的高 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江台州·期末）作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）对于，用一把直角三角尺，作边上的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九 与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，的面积为14，，．求阴影部分的面积． 题型十 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，则的度数是_______． 【变式训练】（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 题型十一 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，平分平分，求的度数． 【变式训练】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型十二 三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，使A点落在同一平面内的点F处，若，则_______． 题型十三 三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ______． 【变式训练】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）在中，已知，则的度数是_____度． 题型十四 直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，平分交于点，为线段上的一点，过点作交线段的延长线于点，求的度数． 【变式训练】（2025八年级上·四川南充·专题练习）如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F，求的度数． 题型十五 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形． 【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 题型十六 三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，，，求和的度数． 【变式训练】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【真题演练1】（2025·四川泸州·中考真题）在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（   ）的交点处 A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高 D．三条边的垂直平分线 【真题演练2】（2025·陕西榆林·中考真题）如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·广西肇庆·中考真题）如图，将等边的三条边向外延长一倍，得到第一个新的，第二次将等边的三边向外延长一倍，得到第二个新的，依此规律继续延长下去，若的面积，则第个新的三角形的面积为___________． 【真题演练4】（2025·安徽滁州·中考真题）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则_________． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则_________． 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）如图①，为轴负半轴上一点，为轴正半轴上一点，，． (1)求的面积； (2)如图②，若，作的平分线交于点，交于点，判断与的大小关系，并证明你的结论； (3)如图③，若，点在轴正半轴上任意运动，的平分线交的延长线于点，在点的运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知等腰三角形的一边长为4，周长为13，则它的底边长为（    ） A．4 B．4或5 C．或 D．5 2．（2025八年级上·四川南充·专题练习）已知，，是的三边长，且，满足，则第三边的长可能是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，，垂足为，平分，则的度数为________． 4．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）请将图中的三个角、、按照大小关系排列________（用“<”连接） 5．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，将中的边沿着方向平移到，交于点O，连接，． (1)若，，求的大小； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边（不与点A，点C重合），求与周长的和． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个等腰三角形底边的长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则周长为（ ） A． B． C．或 D． 3．（25-26八年级·全国·寒假作业）如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是___． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则______． 5．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，，点A，B分别在射线和射线上，平分，交于点C，过点C作于点D，在上找到一点E，使，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，请直接写出的面积． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null