精品解析：山东省滕州市第一中学2025-2026学年高一下学期4月数学复盘材料

高一年级数学学科4月复盘材料 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（ ） A. 10 m B. 10m C. 10m D. 10m 5. 平行四边形中，， 点在边上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，且，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 7. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 若满足，，的恰有一解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在方向上的投影向量的坐标为 10. ，是复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是纯虚数 B. 若，则 C. 若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 D. 若，则 11. 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线必过边的中点 C. D. 若，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，且相异三点、、共线，则实数________. 13. 已知四边形是复平面内的平行四边形，点A，B，C对应的复数分别为，1，，则______. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M，N在边BC上，AM为边BC上的中线，AN为的平分线，若，，的面积等于，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足：，，与的夹角为. （1）求； （2）设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． （1）若，，求x，y的值； （2）若，且，求实数的取值范围． 17. 在中，内角的对边分别为，若，且. （1）求角的大小； （2）若，点是的中点，且，求的值； 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）若，，且的面积为，求的长度. 19. 已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，. （1）求的值； （2）求的长； （3）若，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学学科4月复盘材料 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量加减法与数乘的坐标运算求解即可. 【详解】解：因为，，， 所以，， 则， 则， 故选：A. 【点睛】本题考查了向量加减法与数乘的坐标运算，属基础题. 2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】， 复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限． 故选：D 3. 已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出为直角三角形，再结合求出，最后根据投影向量的计算方法计算即可得正确的选项. 【详解】 因为，故为的中点，而为外心， 故为直角三角形，且， 取的中点为，连接，则， 因为，故，故， 而为锐角，故，故，所以， 而向量在向量上的投影向量为， 故选：B. 4. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（ ） A. 10 m B. 10m C. 10m D. 10m 【答案】D 【解析】 【分析】在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，利用正弦定理求得BC，在Rt△ABC中，根据，即可得出答案. 【详解】解：在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°， ∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°， 由正弦定理，得＝， BC＝＝10（m）. 在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BC×tan 60°＝10（m）. 故选：D. 5. 平行四边形中，， 点在边上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，得到，构造函数，利用二次函数的单调性求得函数的值域，即可求得的取值范围. 【详解】由题意，平行四边形中，， 以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系， 则， 设，则，所以， 所以， 设， 可得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及运算，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算求得函数的解析式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6. 若，且，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角A，再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b即可推理作答. 【详解】由，得， 化简得， 所以，由余弦定理得， 因为，所以， 因为， 所以，由正余弦定理角化边得，化简得， 所以，即为等边三角形． 故选：B 7. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为，是夹角为的两个单位向量， 所以， 故， ， ， 故 ， 由于 ，故. 故选：B. 8. 若满足，，的恰有一解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理可得，故， 其中，因在上递增，在上递减， 结合可得或， 故或. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在方向上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过向量的垂直、平行、模长、投影向量的定义和公式，逐一分析选项得出结果. 【详解】选项A：若，则，解得，A正确. 选项B：若，，则，B正确. 选项C：，若，则， 解得，C错误. 选项D：若，，，， 在方向上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 10. ，是复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是纯虚数 B. 若，则 C. 若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据复数的乘方结合复数的相关概念分析判断；对于C：根据共轭复数的概念结合复数的几何意义分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】设，， 对于选项A：若，则，可得或， 当时，，则； 当时，，不符合题意； 综上所述：，， 所以是纯虚数，故A正确； 对于选项B：例如，则，符合题意， 但，故B错误； 对于选项C：若，则，可得，， 可知在复平面内对应的点的坐标为，即， 且在复平面内对应的点的坐标为， 所以，在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确； 对于选项D：若，， 则，，满足， 但、的大小无法比较，故D错误． 故选：AC． 11. 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线必过边的中点 C. D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题设条件，化简得到，可判定A是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到，可判定B不正确；根据，得到，结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D是正确的. 【详解】如图所示，点O为所在平面内一点，且， 可得，即， 即，所以，所以A是正确的； 在中，设为的中点， 由，可得， 所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确； 由，可得且， 所以，所以，可得，所以 所以，所以C正确； 由，可得 因为，且， 可得， 所以，所以D是正确的. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，且相异三点、、共线，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】本题首先可根据向量的运算法则得出、，然后通过题意得出，最后通过向量平行的相关性质即可得出结果. 【详解】，， 因为相异三点、、共线，所以， 则，解得或， 当时，，、重合，舍去， 故， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查通过三点共线求参数，主要考查向量平行的相关性质，若，，，则，求出的值后要注意检验，考查计算能力，是中档题. 13. 已知四边形是复平面内的平行四边形，点A，B，C对应的复数分别为，1，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得，设，由运算求得点的坐标，再求其模长得解. 【详解】根据题意，，设， 由，则，解得， 所以点的坐标为，所以， 所以. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M，N在边BC上，AM为边BC上的中线，AN为的平分线，若，，的面积等于，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量可建立起的关系式，再结合面积即可求得，再利用面积相等即可求角平分线的长. 【详解】因为为边上的中线，， 即，即， 即，. 因为，， ， ， 因为为平分线，，故， 又，所以， 即，解得， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足：，，与的夹角为. （1）求； （2）设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义求解即可； （2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不同向共线，再利用向量积的运算和共线运算即可. 【小问1详解】 因为，，与的夹角为， 所以； 【小问2详解】 因为向量与的夹角为锐角， 所以且与不同向共线. 可得：， 将，，代入上式可得：， 整理得：，可得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 16. 如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． （1）若，，求x，y的值； （2）若，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，由向量的线性运算可得，结合，列方程组求解即得； （2）由题意可得为等边三角形，以为坐标原点建系，设，表示出相关向量，利用向量数量积的坐标公式代入，计算即得. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以，解得. 【小问2详解】 由四边形为菱形，，为等边三角形， 以为坐标原点，以为轴建立如图所示平面直角坐标系， 设，则， 则， 则， 由，可得， 解得， 又，则， 即实数的取值范围为． 17. 在中，内角的对边分别为，若，且. （1）求角的大小； （2）若，点是的中点，且，求的值； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式，结合正弦定理和余弦定理，即可求解； （2）根据，两边平方后，利用数量积公式表示边长的关系，再结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，， 由正弦定理可知， 整理为， 由余弦定理可知， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理可知，，即，① ，即， 即②， 由①②可知，，，解得：，或，， 所以或 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）若，，且的面积为，求的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可求； （2）先求，根据正弦定理可得三边之比，结合面积可求三边，再由余弦定理可求的长度. 【小问1详解】 由及正弦定理， 得， 因为，且， 所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，所以①， 又，所以， 故， 由正弦定理，得②， 由①②可得，，， 因为，所以， 在中，由余弦定理，得， 所以. 19. 已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，. （1）求的值； （2）求的长； （3）若，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为，利用二倍角公式直接求解即可； （2）在中，由余弦定理先求出，再求出，再把分成两个三角形，即和，利用三角形的面积公式列出等式，即可求出； （3）方法一，在中，利用正弦定理先求出，的正弦及余弦值，利用差角的正弦公式求出，在中，由余弦定理求出，再利用求面积即可；方法二，在等腰中，由去求，得到与的比例关系，从而得到与及与的比例关系，即可求出的面积. 【小问1详解】 因为，对角线为钝角的平分线， 所以， 解得或（舍）， 所以； 【小问2详解】 由题意，在中，由余弦定理可得 ， 即， 整理可得，解得或（舍去）， 因为，所以， 又因为， 所以， 所以， 解得； 【小问3详解】 方法一：在中，由正弦定理可得， 即，所以， 因为为钝角，所以， 因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 解得， 因为 ， 所以； 方法二：在中，由， 可得，所以， 所以，所以， 又由于，从而，即， 所以， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $