山东省新泰市第一中学2025-2026学年高一下学期第二次大单元考试数学试题

**基本信息** 以“天宫课堂”分层抽样、“防电信诈骗”竞赛数据分析、篮球决赛概率模型为情境，通过解三角形、立体几何与统计概率的综合题设计，考查数学眼光（空间观念）、数学思维（逻辑推理）、数学语言（数据意识），形成基础巩固到创新应用的能力梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|统计（百分位数、分层抽样）、复数、向量投影|第2题结合分层抽样考查数据收集，体现应用意识| |多选题|3/18|解三角形、空间线面关系|第10题辨析空间位置关系，培养空间观念| |填空题|3/15|向量运算、外心性质|第13题以外心为背景，考查几何直观| |解答题|5/77|解三角形（15、16题）、统计（17题）、立体几何（18题）、概率（19题）|17题“防电信诈骗”竞赛成绩分析，融合平均数与方差计算，发展数据观念；19题篮球决赛概率模型，培养逻辑推理与模型意识|

新泰一中2025级高一下学期第二次大单元考试 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（     ） A．7 B．9 C．11 D．12 2．实验中学为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从 高一、高二、高三学生中选取80人进行调查.已知该校高一年级学生有300人，高二年级学生有400人，高三年级学生有500人，则抽取的学生中，高一年级有（   ） A．20人 B．24人 C．32人 D．18人 3．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．在任意四边形中，，分别是，的中点． 若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知正六边形，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．已知G为的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若， ，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 8．如图，在正三棱柱中，，直线与平面所 成角的正切值为，则正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足下列条件的三角形有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 10．设、是空间中的两条直线，、是空间中的两个平面，下列说法错误的是（　　） A．若，，则 B．若，，则与相交 C．若，，，则 D．若，，，则与没有公共点 11．已知正方体的棱长为1，， 其中，，且，则下列选项正确的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成的角为 C．的轨迹长度为 D．取最小值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．如图在平行四边形中，，，是边的中 点，是上靠近的三等分点，若，则 ． 13．已知P是的外心，且，则cos2A= ． 14．设是一个随机试验中的两个事件，且， 则 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．） 15．（本小题满分13分） 在锐角中，内角的对边分别是，，． （1）求角A；（2）若的面积为，求的周长． 16．（本小题满分15分） 在中，内角的对边分别是，若，． （1）求的面积；（2）若D是AB的中点，求CD的最小值． 17．（本小题满分15分） 某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；求样本平均数； （2）已知落在区间的样本平均成绩是57，标准差是7，落在区间的样本平均成绩为66，标准差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 18．（本小题满分17分） 如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC． （1）若AC⊥BC，证明：BC⊥PC； （2）若AB=AC=BC=PA=，求点A到平面PBC的距离． 19．（本小题满分17分） 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场． （1）已知． （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率． （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军．假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰一中2025级高一下学期第二次大单元考试 数学试题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A A B B B B B A ACD ABC AC 12．2 13． 14． 7．【详解】由G为的重心，得，则， 整理得，而，因此， 而共线，则，于是， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 8．【详解】在正三棱柱中，取的中点，连接，如图， 则，由平面，平面，得， 又，平面，因此平面， 所以是直线与平面所成的角， 则，由，得，而， 则，，因此正三棱柱的外接球球心到平面的 距离，而的外接圆半径， 所以正三棱柱的外接球的半径，所以．故选：D 11．【详解】因为，其中，，且， 所以在线段上，在正方体中，， 又因为平面,平面，所以平面， 同理可得平面，又因为，平面,， 所以平面平面，又因为平面，所以平面， 故A正确；因为，所以异面直线与所成的角为， 易知是边长为的等边三角形，所以， 即异面直线与所成的角为，故B错误； 由A可知的轨迹为线段，其长度为，故C正确； 将矩形与正三角形展开在同一平面内，如图所示： 当为与的交点时，取最小值， 此时在中，，，, 由余弦定理可得 ， 即取最小值为，故D错误． 12．因为， 则 因为，所以． 又，所以，化简得， 解得（负值舍去），即． 13．因为P是的外心，所以．cos2A=cos∠BPC． ∵，∴，两边同时平方：， 解得：cos2A=． 14．因为，因为互斥，所以 ，解得， 所以． 15．【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）因为，所以， 因为是锐角三角形，所以， 所以，则，因为为锐角，所以．…………………………………6分 （不写角的范围或者锐角的-2分） （2）因为的面积为，所以，即，…………………………………9分 由余弦定理得，即， 所以，即，………………………………………………12分 故的周长为．…………………………………………………………………………………13分 16．【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）由余弦定理知，，得，………………………………2分 又因为，可得， 则，整理得，……………………………………………………………4分 故；………………………………………………………………………6分 （2）在中，，两边同时平方： …………………………………10分 ，………………………………………………………………………………12分 当且仅当，即时取等号，………………………………………………………14分 此时取得最小值为．…………………………………………………………………………………15分 17．【详解】（1）由题意，………………………………2分 所以前4组频率之和， 前5组频率之和，………………………………………………3分 所以样本成绩的第80百分位数在区间内，且为，………………………………5分 样本平均数为；………………………7分 （2）由题可得落在区间的样本个数为， 样本平均成绩是，方差是，………………………………………………………………………8分 落在区间的样本个数为， 样本平均成绩是，方差是，………………………………………………………………………9分 所以两组样本成绩合并后的平均数为，……………………………………………11分 两组样本成绩合并后的方差为 ．…………………………15分 18．（1）∵平面，平面，∴，……………………………………………3分 又∵，，平面，∴平面；………………………………6分 又∵PC平面，∴BC⊥PC；……………………………………………………………………………8分 （2）∵PA⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PA⊥AB，……………………………………………………10分 ∴PB=，……………………………………………………………………………………………………11分 同理：C=，…………………………………………………………………………………………………12分 ∴是等腰三角形，．…………………………………………………………………………14分 ∵，即：，解得：．……………………………………………17分 19．【答案】(1)（i）；（ii）；(2)“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠 【详解】（1）（i）设甲队通过加时赛获得冠军为事件， 则事件包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜， 所以． 因为，所以；…………………………………………………………………………5分 （ii）设甲队获得冠军为事件， 则事件包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜， 则． 因为，所以．…………………………………………………………………10分 （2）在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件， 则事件包含甲队胜，甲队平且加时赛胜， 则， 因为，所以，此时，符合题意， ， 因为，，，所以， 即“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠．…………………………………17分 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $