1.3　矩形的性质与判定第1课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的性质（四个角都是直角、对角线相等）及直角三角形斜边上的中线性质，通过提问矩形定义、对称性及平行四边形特殊性质导入，以旧知（平行四边形）为支架衔接新知，构建知识脉络。 其亮点是用问题链引导推理（如推导矩形四角为直角、证明对角线相等），结合例题（例1利用对角线夹角求长度）和跟踪训练，培养推理能力与几何直观。课堂小结结构化呈现知识递进（平行四边形到矩形性质），助学生构建体系，教师可直接用于教学提升效率。

第一章　1.3　矩形的性质与判定 第1课时　矩形的性质 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学习目标 1.掌握矩形的性质，能利用平行四边形的性质推导出矩形的性质.(重点) 2.能利用矩形的性质进行推理和计算.(难点) 3.在利用矩形的性质解决问题的过程中，体会矩形与平行四边形的关系，提高逻辑推理能力与计算能力，增强符号感. 课堂引入 1.什么是矩形？矩形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？ 2.平行四边形有哪些特殊性质？ 矩形的性质 一、 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB.理由：　　　 　　 ，  AB∥DC，理由：　　 　　　　，  ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. 又∵∠ABC＝90°， ∴∠BCD＝90°. ∴∠ABC＝　　　 ＝　　 ＝∠DAB＝90°.  问题1　如图所示，在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O，请你在下列横线上填写适当的内容： 矩形的对角相等 矩形的对边平行 ∠BCD ∠CDA ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，理由：　　 　　 ，  在△ABC和△DCB中， ∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB. ∴AC＝BD. 矩形的对边相等 知识梳理 矩形的性质：矩形的 个角都是 .矩形的对角线 . 四 直角 相等 例1　(课本P12例1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5，求这个矩形对角线的长. 解　∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)， AC＝BD(矩形的对角线相等)， OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD(矩形的对角线互相平分). ∴OA＝OD. ∵∠AOD＝120°， ∴∠ODA＝∠OAD＝(180°－120°)＝30°. ∴BD＝2AB＝2×2.5＝5. 反思感悟 矩形的每条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形，两条对角线将矩形分成四个等腰三角形.特别地，对角线所夹锐角为60°角的矩形中，两条对角线将矩形分成4个三角形，其中矩形的宽所在的三角形是等边三角形；每条对角线将矩形分成两个含有30°角的直角三角形.因此解决矩形问题常用到直角三角形及等腰(边)三角形的性质. 跟踪训练1　(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是 A.∠ABC＝90° B.AC＝BD C.OA＝OB D.OA＝AB √ 解析　∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OB， 故A，B，C正确，D错误. (2)如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，若BE＝5，AC＝12，则△AEC面积为 A.20 B.30 C.60 D.15 √ 解析　过点E作EF⊥AC于点F.如图所示， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∵AE平分∠BAC， ∴EF＝BE＝5. ∴△AEC的面积＝AC·EF＝×12×5＝30. 二、 直角三角形斜边上的中线 问题2　如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，那么BE可叫作Rt△ABC斜边上的中线，因为AC＝　　 ，BE＝DE＝　 ，所以BE＝　　＝AE＝CE.  BD BD AC 知识梳理 直角三角形 上的中线等于斜边的 . 斜边 一半 例2　如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点. (1)求证：EF⊥AC； 证明　如图，连接AE，CE， ∵∠BCD＝∠BAD＝90°，点E是BD的中点， ∴CE＝BD，AE＝BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)， ∴AE＝CE， 又∵点F是AC的中点， ∴EF⊥AC(等腰三角形三线合一). 例2　如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点. (2)若∠ADC＝45°，请判断EF与AC的数量关系，并说明理由. 解　EF＝AC，理由如下： 由(1)得，AE＝CE＝DE＝BD. ∴∠EAD＝∠ADE，∠ECD＝∠CDE. ∵∠ADC＝45°， ∴∠AEC＝∠AEB＋∠CEB＝2∠ADE＋2∠CDE ＝2(∠ADE＋∠CDE)＝2∠ADC＝90°. ∵点F是AC的中点，∴EF＝AC. 反思感悟 直角三角形斜边上的中线的性质，间接体现了直角三角形边和角之间的关系，在解题中有着广泛的应用，因此在直角三角形中只要出现斜边上的中线或中点的条件时，首先应考虑利用这个定理，特别地，某些情况下，还可以通过作辅助线，构造直角三角形斜边上的中线或中点，为利用该性质提供条件. 解　∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴AE＝AB＝5，AF＝AC＝4， ∵AD是高，E，F分别是AB，AC的中点， ∴DE＝AB＝5，DF＝AC＝4， ∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝18. 跟踪训练2　如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点. (1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长； 跟踪训练2　如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点. (2)EF与AD有怎样的位置关系？请证明你的结论. 解　EF垂直平分AD. 证明：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵E是AB的中点，∴DE＝AE， 同理DF＝AF， ∴E，F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD. 课堂小结 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是 A.OA⊥OB B.∠BAC＝∠ACB C.OA＝OB D.AD＝AB 随堂演练 √ 随堂演练 解析　∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，OA＝AC，OB＝BD，∴OA＝OB一定成立，C正确； 而其他选项不一定正确. 2.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹的锐角的度数为 A.80°　　　　　B.60°　　　　　C.45°　　　　　D.40° √ 随堂演练 解析　如图，∠1＝40°， ∵矩形ABCD的对角线相等且互相平分， ∴OB＝OC， ∴△BOC是等腰三角形， ∴∠OBC＝∠1，则∠AOB＝2∠1＝80°. 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长为 A.2 cm B. cm C.3 cm D.4 cm 随堂演练 √ 随堂演练 解析　由勾股定理得AC＝10 cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD＝AC＝×10＝5(cm)， ∵点E，F分别是AO，AD的中点， ∴EF＝OD＝(cm). 4.已知直角三角形的两条直角边的长分别为5，8，则斜边上的中线长为　　 .  随堂演练 　 解析　根据勾股定理，得斜边的长为 ， 所以斜边上的中线长为. 5.如图，在△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE＝5，AE＝8，则BE＝　　　.  随堂演练 6 解析　∵BE⊥AC， ∴∠BEA＝90°， ∵DE＝5，D为AB中点， ∴AB＝2DE＝10， ∵AE＝8， ∴由勾股定理得BE＝＝6. 谢谢观看 $