第八单元 观察物体（三） 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学苏教版五年级上册（新教材）

该小学数学第八单元“观察物体（三）”举一反三讲义以空间转化思想为核心，通过知识梳理模块系统构建知识体系，用框架图呈现观察方向与三视图、立体图形观察与还原等内容，清晰标注核心重难点如“根据三视图还原立体图形”，并通过规律总结和易错点汇总揭示知识内在联系。 讲义亮点在于考点讲练的分层设计，如“根据三视图还原立体图形”典例及变式训练，结合“分层计数法”“三步还原法”等技巧培养空间观念和推理意识。综合训练包含添加小正方体等典型题型，基础学生可通过易错点提醒夯实基础，优秀学生能借助综合题提升探究能力，为教师实施精准教学提供有力支持。

第八单元 观察物体（三） 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、单元核心思想：空间转化思想 2 二、基础概念：观察方向与三视图 2 1. 三个标准观察方向 2 2. 观察的基本规则 2 3. 长方体与正方体的基础观察结论 2 三、观察由小正方体摆成的立体图形 2 1. 数小正方体的总个数 2 2. 绘制三视图的方法 3 3. 单一视图的特点 3 四、根据视图还原立体图形（核心重难点） 3 1. 不同数量视图的还原效果 3 2. 三视图还原立体的标准步骤 3 3. 典型题型：添加 / 移动 / 拿走小正方体 3 五、观察两个物体的组合 3 1. 遮挡规律 3 2. 相对位置判断 4 六、核心规律总结 4 七、常见易错点汇总 4 八、常用解题技巧 4 考点讲练 4 考点一：物体三视图的认识 5 考点二：三视图的画法 6 考点三：通过三视图会摆放立体图 7 考点四：通过三视图还原立体图 8 综合训练 9 知识梳理 一、单元核心思想：空间转化思想 本单元属于 “图形与几何” 范畴，核心是建立立体图形与平面视图之间的转化关系，通过观察、操作、想象，将三维立体物体转化为二维平面图形，也能根据平面视图还原三维立体形状，培养空间观念与几何直观能力，是后续学习几何三视图、立体几何的重要基础。 二、基础概念：观察方向与三视图 1. 三个标准观察方向 小学数学中统一从三个固定方向观察物体，三个方向的视图合称 “三视图”： 前面（正面）：从物体正前方水平观察得到的平面图形 右面（侧面）：从物体正右方水平观察得到的平面图形 上面（俯视图）：从物体正上方向下垂直观察得到的平面图形 2. 观察的基本规则 观察时视线要垂直于被观察的平面，避免斜视造成形状偏差 前面、右面都是相对的，会随着物体摆放方向的改变而对应变化 观察时只关注看到的轮廓和形状，不考虑颜色、材质等非几何属性 3. 长方体与正方体的基础观察结论 从任意一个角度观察长方体，最多只能同时看到 3 个面，相对的面无法同时看到 正方体的 6 个面都是完全相同的正方形，因此从前面、右面、上面观察，看到的形状都是大小相同的正方形 长方体从三个方向观察，看到的通常是长方形（特殊情况有两个相对面是正方形） 三、观察由小正方体摆成的立体图形 1. 数小正方体的总个数 数组合体中小正方体数量时，采用分层计数法，避免遗漏被遮挡的方块： 从上到下一层一层数，记录每层的个数 总个数 = 各层数量相加 易错点：底层被上层遮挡的方块容易漏数，必须按层统计 2. 绘制三视图的方法 确定观察方向，想象自己站在对应位置平视物体 数出该方向上能看到的正方形：有几列、每列最高有几层 按行列对应画出平面图形，被遮挡的线条不用画出 示例：4 个小正方体摆成 L 形，从前面看是 2 列，左列 2 层、右列 1 层。 3. 单一视图的特点 只给出一个方向的视图时，对应的立体图形摆法不唯一，存在多种符合条件的搭建方式。 示例：从前面看是 2 个并排的正方形，可以摆出 2 个、3 个甚至更多小正方体的立体图形。 四、根据视图还原立体图形（核心重难点） 1. 不同数量视图的还原效果 仅 1 个视图：无法确定立体形状，有无数种摆法，只能确定该方向的列数和层数 2 个视图：可以缩小摆法范围，但通常仍存在多种可能，不能完全确定形状 3 个视图（三视图完整）：一般可以唯一确定立体图形的形状 2. 三视图还原立体的标准步骤 先看上面视图：确定底层小正方体的行列布局，即底面有几行几列、哪些位置有方块 再看前面视图：确定每一列的最大层数，给对应位置叠加方块 最后看右面视图：验证每一行的层数是否符合，调整不符合的位置 整体检验：从三个方向分别核对，确保三个视图都完全匹配 3. 典型题型：添加 / 移动 / 拿走小正方体 这是本单元高频考点，核心是保证指定方向的视图形状不变，规律如下： 保证前面形状不变：只能在已有方块的正前方或正后方（同一列）添加、移动方块，不能改变列的数量和每列的高度 保证右面形状不变：只能在已有方块的正左方或正右方（同一行）添加、移动方块，不能改变行的数量和每行的高度 保证上面形状不变：只能在已有方块的正上方堆叠添加，不能改变底层的行列布局 拿走小正方体：只能移除不破坏该视角外轮廓的方块，作为底层支撑、影响轮廓的方块不能拿走 五、观察两个物体的组合 1. 遮挡规律 从同一方向观察两个物体时，位置靠前的物体会遮挡住位置靠后的物体，被挡住的部分在视图中不会显示。 示例：前面摆一个正方体，后面摆一个长方体，从正面看只能看到正方体，长方体被完全遮挡。 2. 相对位置判断 根据不同方向的视图，可以判断两个物体的左右、前后、上下相对位置关系： 从前面看：能区分两个物体的左右关系 从右面看：能区分两个物体的前后关系 从上面看：能同时区分两个物体的前后、左右关系 六、核心规律总结 观察立体图形时，看到的平面图形，是该方向上所有可见方块的外轮廓组合 层数决定视图的高度，列数决定视图的宽度，行数决定前后深度 只改变方块的前后位置，不影响正面视图；只改变方块的左右位置，不影响右面图；只改变方块的上下层数，不影响上面视图 同样数量的小正方体，可以摆出多种不同的立体形状，对应的三视图也可能不同 七、常见易错点汇总 数方块漏数被遮挡的：只数看得见的方块，忘记底层被上层挡住的方块，导致总数算少 混淆观察方向：把左面和右面、前面和后面的视图搞反，左右方向颠倒 误以为一个视图就能确定形状：认为给定正面图就只有一种摆法，忽略多种可能性 添加方块位置错误：保证正面不变时，错误地在左右方向添加，导致列数改变 忽略遮挡关系：观察组合物体时，以为后面的物体能完整看到，忘记遮挡规则 三视图还原顺序错误：不先定底层布局，直接凭感觉堆叠，容易出现偏差 八、常用解题技巧 数方块：分层数、从上到下，“上层有几个，下面对应位置就一定有支撑” 还原立体：牢记 “上面定地基，正面定高度，右面做验证” 的三步法 判断添加位置：想不出来就用橡皮、积木实际摆一摆，或者在脑海中模拟平移块 解决 “最多 / 最少几个方块” 类问题：最多就尽量多叠，最少就尽量共用底层方块 区分左右视图：想象自己站在物体的右边，面朝物体，看到的形状就是右面视图 考点讲练 考点一：物体三视图的认识 【典例精讲】一个几何体，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，下面符合要求的是（    ）。 A． B． C． 【变式训练】下面摆的几何体符合园园的观察的是（    ）。 A． B． C． 【变式训练】桌上摆着一个立体图形，从它的左面看到的形状是，从它的上面看到的形状是，这个立体图形可能是（    ）。 A． B． C． 【变式训练】下面左边的立体图形从右面看到的形状是，如果再添加一个，使它从右面看到的形状不变，那么这个立体图形可能是（    ）。 A． B． C． 考点二：三视图的画法 【典例精讲】想一想，画一画。 【变式训练】分别画出从前面、上面、左面看到的下面物体的形状。 【变式训练】如图，方方用小正方体搭了一个几何体，请你分别画出这个几何体从上面看、从前面看和从左面看到的图形。 【变式训练】在方格纸上分别画出从前面、上面和左面看到的图形。 考点三：通过三视图会摆放立体图 【典例精讲】有一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭一个这样的立体图形至少需要( )个小正方体，最多需要( )个小正方体。 【变式训练】冬冬用正方体摆了4个立体（如图）。（填序号） (1)从前面看到的形状是的图形有( )和( )。 (2)如果在其中一个立体上加上一个相同的正方体，使它从右面看到的形状是，正方体应该加在图形( )上。 【变式训练】用5个同样的小正方体摆一个从上面看是的几何体，共有( )种不同的摆法，如果用6个同样的小正方体摆，共有( )种不同的摆法。 【变式训练】一个几何体从左面看到的图形是，从前面看到的图形是，这个几何体至少由( )个小正方体组成，最多由( )个小正方体组成。（相邻两个小正方体之间面面相接） 考点四：通过三视图还原立体图 【典例精讲】一个用小立方体搭成的立体图形，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是。搭这样的图形，最少要( )个小立方体，最多要( )个小立方体。 【变式训练】一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形至少需要( )个小正方体，最多需要( )个小正方体。 【变式训练】用几个同样的小正方体摆成一个几何体，从前面、左面和上面看到的图形分别如下图所示，这个几何体是由（    ）个小正方体摆成的。请在下面的网格图中画出这个几何体从右面看到的图形。 【变式训练】辰辰用8个同样的小正方体搭成几何体，从上面和前面观察此几何体，看到的图形如下图（图中的序号表示位置号）。那么第7个和第8个小正方体可以放在哪个位置？ 综合训练 1．一个立体图形，从上面看是，从左面看是，要搭成这样的一个立体图形，最少需要（    ）个同样的小正方体。 A．5 B．6 C．7 D．8 2．用4个小正方体搭一个物体，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，从上面看到的图形是，这个物体是下面的（    ）。 A． B． C． D． 3．奇思用一些棱长为1厘米的正方体摆了一个物体，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是，至少需要（    ）个小正方体。 A．6 B．4 C．7 D．5 4．在一张桌子上放着几摞碗，下面三幅图分别是王亮从上面、前面、右面所观察到的图形，根据图形可判断，桌子上可能一共放着（    ）只碗。 A．8 B．10 C．11 D．14 5．如图是由5个小正方体搭成的立体图形，从正面看，画出的平面图形是（    ）。 A． B． C． D． 6．如下图，文文和明明分别用5个相同的小正方体在桌面上搭了一个立体图形，则他俩所搭立体图形露在外面的面相比，（    ）。 A．文文的比较多 B．明明的比较多 C．一样多 D．无法比较 7．下面的几何体去掉一个小正方体后，从右面看到的图形不可能是（    ）。 A． B． C． D． 8．在太空的失重环境中，方块可以在不接触其他方块的情况下悬浮在空中。如果我们在星际航行的过程中，从不同方向看一个由一些方块拼成的物体，观察到的图形如下图所示，该物体最少可以由（    ）个方块拼成？ 从上面看：     从前面看：    从左面看： A．4 B．5 C．6 D．7 9．用同样的小正方体搭成一个立体图形，从正面看，从左面看，从上面看，这个立体图形是用( )个小正方体搭建而成的。 10．一个立体图形从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个立体图形至少由( )个小正方体组成，最多由( )个小正方体组成。 11．一个几何体，从前面看是，从左面看是，搭成这样的几何体，最多用( )个小正方体。 12．用4个相同的正方体搭一个立体图形，上面的一层只有一个正方体；从正面和左面看都是3个正方形，但看到的形状不同。搭出的立体图形是( )。 13．如图两个立体图形都是由棱长为1厘米的正方体搭成。①号物体的表面积可以这样算：（7＋4＋6）×2（算式中7、4和6分别是从正面、上面和侧面观察的），用①号物体表面积的算法，②号物体表面积可以列式为( )。（只要写出算式，不计算结果） 14．如图，若从标有序号的四个小正方体中取走1个，要保证剩下的几何体从左面看到的图形和原来一样，则取走的小正方体不可能是( )号。 15．如图，要使从前面看到的图形是，可直接将图中的( )号小正方体移到( )号小正方体的( )面。 16．一个物体，从前面看到的图形是，从右面看到的图形是，搭成这样的物体至少要用( )个小正方体。 17．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体个数）。 请在小方格里画出来。 18．画出几何体从前面、上面和左面看到的图形。 19．观察下面左面的立体图形，请你在方格纸上画出对应的平面图形。 20．观察下面的几何体，在方格图上涂出从不同方向看到的图形。 21．分别从正面、上面和右面观察下面几何体，把你看到的图形画在方格里。 22．观察下面物体，画出从前面、上面和左面看到的图形。 23．画出分别从前面、上面和左面观察立体时看到的图形。 24．观察下面的几何体，分别画出从它的上面、前面和左面观察到的图形。 25．聪聪靠墙角堆放正方体纸箱，要求堆出的几何体满足有29个面露在外面。下图中有一个是聪聪摆出的几何体。 （1）图（     ）符合堆放要求。 （2）如果每个纸箱的边长为0.8米，用红色颜料给这个符合要求的几何体所有露在外面的面涂色，1千克的颜料刚好可以涂1.6平方米的纸箱表面。如果一共只有10.4千克颜料，够涂吗？如果不够，怎样移动可以使颜料刚好够用？ 26．根据从前面、上面看到的图形（如图所示），在图上用数字标出从上面看到图形各位置所用的小正方体个数。（写出全部可能的情况） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 观察物体（三） 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、单元核心思想：空间转化思想 2 二、基础概念：观察方向与三视图 2 1. 三个标准观察方向 2 2. 观察的基本规则 2 3. 长方体与正方体的基础观察结论 2 三、观察由小正方体摆成的立体图形 2 1. 数小正方体的总个数 2 2. 绘制三视图的方法 3 3. 单一视图的特点 3 四、根据视图还原立体图形（核心重难点） 3 1. 不同数量视图的还原效果 3 2. 三视图还原立体的标准步骤 3 3. 典型题型：添加 / 移动 / 拿走小正方体 3 五、观察两个物体的组合 3 1. 遮挡规律 3 2. 相对位置判断 4 六、核心规律总结 4 七、常见易错点汇总 4 八、常用解题技巧 4 考点讲练 4 考点一：物体三视图的认识 5 考点二：三视图的画法 7 考点三：通过三视图会摆放立体图 10 考点四：通过三视图还原立体图 13 综合训练 15 知识梳理 一、单元核心思想：空间转化思想 本单元属于 “图形与几何” 范畴，核心是建立立体图形与平面视图之间的转化关系，通过观察、操作、想象，将三维立体物体转化为二维平面图形，也能根据平面视图还原三维立体形状，培养空间观念与几何直观能力，是后续学习几何三视图、立体几何的重要基础。 二、基础概念：观察方向与三视图 1. 三个标准观察方向 小学数学中统一从三个固定方向观察物体，三个方向的视图合称 “三视图”： 前面（正面）：从物体正前方水平观察得到的平面图形 右面（侧面）：从物体正右方水平观察得到的平面图形 上面（俯视图）：从物体正上方向下垂直观察得到的平面图形 2. 观察的基本规则 观察时视线要垂直于被观察的平面，避免斜视造成形状偏差 前面、右面都是相对的，会随着物体摆放方向的改变而对应变化 观察时只关注看到的轮廓和形状，不考虑颜色、材质等非几何属性 3. 长方体与正方体的基础观察结论 从任意一个角度观察长方体，最多只能同时看到 3 个面，相对的面无法同时看到 正方体的 6 个面都是完全相同的正方形，因此从前面、右面、上面观察，看到的形状都是大小相同的正方形 长方体从三个方向观察，看到的通常是长方形（特殊情况有两个相对面是正方形） 三、观察由小正方体摆成的立体图形 1. 数小正方体的总个数 数组合体中小正方体数量时，采用分层计数法，避免遗漏被遮挡的方块： 从上到下一层一层数，记录每层的个数 总个数 = 各层数量相加 易错点：底层被上层遮挡的方块容易漏数，必须按层统计 2. 绘制三视图的方法 确定观察方向，想象自己站在对应位置平视物体 数出该方向上能看到的正方形：有几列、每列最高有几层 按行列对应画出平面图形，被遮挡的线条不用画出 示例：4 个小正方体摆成 L 形，从前面看是 2 列，左列 2 层、右列 1 层。 3. 单一视图的特点 只给出一个方向的视图时，对应的立体图形摆法不唯一，存在多种符合条件的搭建方式。 示例：从前面看是 2 个并排的正方形，可以摆出 2 个、3 个甚至更多小正方体的立体图形。 四、根据视图还原立体图形（核心重难点） 1. 不同数量视图的还原效果 仅 1 个视图：无法确定立体形状，有无数种摆法，只能确定该方向的列数和层数 2 个视图：可以缩小摆法范围，但通常仍存在多种可能，不能完全确定形状 3 个视图（三视图完整）：一般可以唯一确定立体图形的形状 2. 三视图还原立体的标准步骤 先看上面视图：确定底层小正方体的行列布局，即底面有几行几列、哪些位置有方块 再看前面视图：确定每一列的最大层数，给对应位置叠加方块 最后看右面视图：验证每一行的层数是否符合，调整不符合的位置 整体检验：从三个方向分别核对，确保三个视图都完全匹配 3. 典型题型：添加 / 移动 / 拿走小正方体 这是本单元高频考点，核心是保证指定方向的视图形状不变，规律如下： 保证前面形状不变：只能在已有方块的正前方或正后方（同一列）添加、移动方块，不能改变列的数量和每列的高度 保证右面形状不变：只能在已有方块的正左方或正右方（同一行）添加、移动方块，不能改变行的数量和每行的高度 保证上面形状不变：只能在已有方块的正上方堆叠添加，不能改变底层的行列布局 拿走小正方体：只能移除不破坏该视角外轮廓的方块，作为底层支撑、影响轮廓的方块不能拿走 五、观察两个物体的组合 1. 遮挡规律 从同一方向观察两个物体时，位置靠前的物体会遮挡住位置靠后的物体，被挡住的部分在视图中不会显示。 示例：前面摆一个正方体，后面摆一个长方体，从正面看只能看到正方体，长方体被完全遮挡。 2. 相对位置判断 根据不同方向的视图，可以判断两个物体的左右、前后、上下相对位置关系： 从前面看：能区分两个物体的左右关系 从右面看：能区分两个物体的前后关系 从上面看：能同时区分两个物体的前后、左右关系 六、核心规律总结 观察立体图形时，看到的平面图形，是该方向上所有可见方块的外轮廓组合 层数决定视图的高度，列数决定视图的宽度，行数决定前后深度 只改变方块的前后位置，不影响正面视图；只改变方块的左右位置，不影响右面图；只改变方块的上下层数，不影响上面视图 同样数量的小正方体，可以摆出多种不同的立体形状，对应的三视图也可能不同 七、常见易错点汇总 数方块漏数被遮挡的：只数看得见的方块，忘记底层被上层挡住的方块，导致总数算少 混淆观察方向：把左面和右面、前面和后面的视图搞反，左右方向颠倒 误以为一个视图就能确定形状：认为给定正面图就只有一种摆法，忽略多种可能性 添加方块位置错误：保证正面不变时，错误地在左右方向添加，导致列数改变 忽略遮挡关系：观察组合物体时，以为后面的物体能完整看到，忘记遮挡规则 三视图还原顺序错误：不先定底层布局，直接凭感觉堆叠，容易出现偏差 八、常用解题技巧 数方块：分层数、从上到下，“上层有几个，下面对应位置就一定有支撑” 还原立体：牢记 “上面定地基，正面定高度，右面做验证” 的三步法 判断添加位置：想不出来就用橡皮、积木实际摆一摆，或者在脑海中模拟平移块 解决 “最多 / 最少几个方块” 类问题：最多就尽量多叠，最少就尽量共用底层方块 区分左右视图：想象自己站在物体的右边，面朝物体，看到的形状就是右面视图 考点讲练 考点一：物体三视图的认识 【典例精讲】一个几何体，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，下面符合要求的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】 从前面看到的图形是，说明有两层四列，从左面看到的图形是，说明有两层两列，逐项分析三个选项几何体从前面、从左面看到的视图即可求解。 【详解】 A．从前面看到的图形是，从左面看是，符合题意； B．从前面看到的图形是，从左面看是，不符合题意； C．从前面看到的图形是，从左面看是，不符合题意。 【变式训练】下面摆的几何体符合园园的观察的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】从不同方向观察几何体，我们需要根据从前面、左面和上面看到的图形形状，来判断哪个选项符合。 【详解】 A.，从前面看，从左面看，从上面看，不符合题意。 B．，从前面看，从左面看，从上面看，不符合题意。 C．，从前面看，从左面看，从上面看，符合题意。 【变式训练】桌上摆着一个立体图形，从它的左面看到的形状是，从它的上面看到的形状是，这个立体图形可能是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】分别从左面和上面观察选项中的图形，与题目中给出的视图比较，找出完全一致的图形即可。 【详解】 A．此图从左面看是，上面看是，不符合题意；     B．此图从左面看是，上面看是，不符合题意；     C．此图从左面看是，上面看是，符合题意。 【变式训练】下面左边的立体图形从右面看到的形状是，如果再添加一个，使它从右面看到的形状不变，那么这个立体图形可能是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】根据题意，在原来的立体图形上再加一个，使从右面看到的形状不变，那么增加的这个小正方体需放在从右面看能遮挡的位置，分析各选项中立体图形从右面看到的形状即可。 【详解】A．图形从右面看有1层2个正方形排成1行，从右面看到的形状不变，正确。 B．图形从右面看，有2层，下层有2个正方形，上层有1个正方形靠右，从右面看到的形状变化，错误。 C．图形从右面看有1层3个正方形排成1行，从右面看到的形状变化，错误。 考点二：三视图的画法 【典例精讲】想一想，画一画。 【答案】见详解 【分析】从前面看，有2层，上层2个小正方形，下层3个小正方形，左右齐。 从左面看，有2层，上层1个小正方形，下层2个小正方形，左齐。 从上面看，有2层，上层3个小正方形，下层1个小正方形，右齐。 【详解】如图： 【变式训练】分别画出从前面、上面、左面看到的下面物体的形状。 【答案】见详解 【分析】先看清立体图形是什么样子，再想象自己站在“前面、上面、左面”这三个位置能看到图形的哪些部分。 【详解】第一步，“从前面看”的形状，就是正对着这个立体图形的时候，眼中看到小正方形排列，观察立体图形，图形上下是两层，下层从左往右数4块小正方形，上层从左往右数是2个小正方形； 第二步，“从上面看”的形状，就是从“头顶”往下看，这时候看到每个小正方体的“顶面”，也是可以看到小正方形是排列成两行，上排从左往右数，是4个小正方形，下排从左往右数是2个小正方形； 第三步是“从左面看”的形状，就是站在立体图形的“左边”，侧着头看过去，看到的是左面部分的“侧面”，最左面是上下两层小正方体叠着，从左面看是看到上面2个小正方形，下面2个小正方形。 【变式训练】如图，方方用小正方体搭了一个几何体，请你分别画出这个几何体从上面看、从前面看和从左面看到的图形。 【答案】见详解 【分析】从上面看，有2层，上层3个小正方形，下层2个小正方形，左齐。 从前面看，有2层，上层2个小正方形，下层3个小正方形，左齐。 从左面看，2层，上层1个小正方形，下层2个小正方形，左齐。 【详解】如图： 【变式训练】在方格纸上分别画出从前面、上面和左面看到的图形。 【答案】见详解 【分析】从前面看两行，下面一行3个，上面一行1个居中放； 从上面看两行，上面一行3个，下面一行一个右对齐； 从左面看两行，下面一行2个，上面一行1个左对齐。 【详解】 考点三：通过三视图会摆放立体图 【典例精讲】有一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭一个这样的立体图形至少需要( )个小正方体，最多需要( )个小正方体。 【答案】 5 7 【分析】从上面看到的形状可得，这个图形底层前排有3个小正方体，后排有1个小正方体，所以底层至少有4个小正方体；从左面看到的图形可得，后排是1层，前排是2层；要使小正方体最少，则上层前排放1个小正方体；要使小正方体最多，上层前排放3个，与底层对齐。 【详解】 最少：4＋1＝5（个），如图：； 最多：4＋3＝7（个），如图：。 【变式训练】冬冬用正方体摆了4个立体（如图）。（填序号） (1)从前面看到的形状是的图形有( )和( )。 (2)如果在其中一个立体上加上一个相同的正方体，使它从右面看到的形状是，正方体应该加在图形( )上。 【答案】(1) ① ④ (2)② 【分析】 （1）①从前面看，可以看到一排2个正方形，即； ②从前面看，可以看到一排1个正方形，即：； ③从前面看，可以看到一排1个正方形，即：； ④从前面看，可以看到一排2个正方形，即； （2）观察：上面一排有1个，下面一排有3个，找出一排有3个，再在上面加上一个即可。 【详解】（1） 从前面看到的形状是的图形有①和④。 （2） ①、③、④从右面看有2个，②从右面看有3个，所以使它从右面看到的形状是，正方体应该加在图形②上。 【变式训练】用5个同样的小正方体摆一个从上面看是的几何体，共有( )种不同的摆法，如果用6个同样的小正方体摆，共有( )种不同的摆法。 【答案】 【分析】①用个同样的小正方体，还剩个小正方体，这个小正方体可以叠在底层个位置中的任意一个上面，有种摆法。 ②用个小正方体时，还剩个小正方体，分两种情况：都叠在同一个位置上（种），分别叠在两个不同的位置上（种），共种摆法。 【详解】 ①一共有个小正方体，用掉个摆在底层后，还剩个小正方体，这个小正方体只能叠在A、B、C、D中任意一个位置的正上方，一共有种不同的摆法。 ②一共有个小正方体，用掉个摆在底层后，还剩个小正方体： 情况一：剩余个小正方体都叠在同一个位置的上方，可以都叠在A的上方，都叠在B的上方，都叠在C的上方，都叠在D的上方，共种摆法。 情况二：剩余个小正方体分别叠在两个不同位置的上方，从A、B、C、D中选个不同的位置，各叠个，所有不重复的组合是：A和B、A和C、A和D、B和C、B和D、C和D共种摆法，把两种情况的摆法加起来： （种） 【变式训练】一个几何体从左面看到的图形是，从前面看到的图形是，这个几何体至少由( )个小正方体组成，最多由( )个小正方体组成。（相邻两个小正方体之间面面相接） 【答案】 6 8 【分析】先根据从左面看到的图形确定几何体前后共2行，每行的高度均为2层；再根据从前面看到的图形确定几何体有3列，从左往右数，第1列高度为2层，第2、3列高度均为1层；据此解答。 【详解】 根据从左面看到的图形是，从前面看到的图形是，这个几何体至少由6个小正方体组成，下图所示： 4＋1＋1＝6（个） 根据从左面看到的图形是，从前面看到的图形是，这个几何体最多由8个小正方体组成，下图所示： 4＋2＋2＝8（个） 考点四：通过三视图还原立体图 【典例精讲】一个用小立方体搭成的立体图形，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是。搭这样的图形，最少要( )个小立方体，最多要( )个小立方体。 【答案】 5 7 【分析】 从上面看到的形状是，说明底层有3个小立方体，前排1个，后排2个，正面看到的形状是说明左侧有3层，右侧有1层，最少的情况：前排（左侧）3层（3个），后排左侧1层（1个），后排右侧1层（1个），共5个。或后排左侧3层（3个），前排1层（1个），后排右侧1层（1个），共5个。 最多情况：前排（左侧）3层（3个），后排左侧3层（3个），后排右侧1层（1个），共7个。 据此得出答案。 【详解】由分析知：搭这样的图形，最少要5个小立方体，最多要7个小立方体。 【变式训练】一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形至少需要( )个小正方体，最多需要( )个小正方体。 【答案】 5 7 【分析】根据从上面看到的形状，这个立体图形的底层有4个小正方体。根据从左面看到的形状，这个立体图形有2层；并且上层的小正方体只能出现在左视图中“凸起”的那一列，对应俯视图中最上面一行的3个位置。底层有4个，上层只需满足“有小正方体”的条件，最少放1个，即总数：4＋1＝5个。底层有4个，上层在允许的3个位置上都放满，最多放3个。即总数：4＋3＝7 个。据此解答。 【详解】最少：4＋1＝5（个） 最多：4＋3＝7（个） 所以搭这样的立体图形至少需要5个小正方体，最多需要7个小正方体。 【变式训练】用几个同样的小正方体摆成一个几何体，从前面、左面和上面看到的图形分别如下图所示，这个几何体是由（    ）个小正方体摆成的。请在下面的网格图中画出这个几何体从右面看到的图形。 【答案】5； 【分析】通过从上面看的图形，确定底层有3个小正方体（前后排成一列）；再结合从前面看的图形，知道几何体只有1列、最高2层，再对照从左面看的图形，能看出前两排是2层、第三排是1层，所以上层只有前两排各1个小正方体，共2个；总数量就是底层3个加上上层2个，一共5个。 从右面看时，几何体的前后排会变成左右列，结合左视图里每一排的高度，后排高1层，中前排高2层，所以从右面看的图形就是左列1个正方形、中列2个正方形、右列2个正方形的组合。 【详解】3＋2＝5（个） 这个几何体是由5个小正方体摆成的，图略。 【变式训练】辰辰用8个同样的小正方体搭成几何体，从上面和前面观察此几何体，看到的图形如下图（图中的序号表示位置号）。那么第7个和第8个小正方体可以放在哪个位置？ 【答案】见详解 【分析】根据从上面和前面看到的图形，下层需要6个小正方体，一共用8个小正方体，则上层需要2个小正方体，再根据从上面和前面看到的图形，求出第7个和第8个小正方体可以放的位置，据此解答。 【详解】8－6＝2（个） 根据从前面看到的图形可知，第7个和第8个小正方体可以放在②和③的位置。 也可以放在⑤和⑥的位置。 还可以放在②和⑥的位置。 放在⑤和③的位置。 综合训练 1．一个立体图形，从上面看是，从左面看是，要搭成这样的一个立体图形，最少需要（    ）个同样的小正方体。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】从上面看可以确定立体图形的底层分布；从左面看可以确定立体图形的列数，及每列上最少分布的小正方形的数量，据此解答。 【详解】从上面看，可看到5个小正方形，这表明立体图形的底层有5个小正方体。 从左面看，可看到两列，左边一列有1个小正方形，右边一列有3个小正方形，结合从上面看到的图形，可知第二层至少有1个小正方体，第三层至少有1个小正方体。 因此，小正方体的总数为：5＋1＋1＝7（个） 2．用4个小正方体搭一个物体，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，从上面看到的图形是，这个物体是下面的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 从前面看，有2层，下层3个小正方形，上层1个小正方形，居右，为；从左面看，2个小正方形排成一列，为；从上面看，3个小正方形排成一排，为； 从前面看，3个小正方形排成一排，为；从左面看，2个小正方形排成一排，为；从上面看，有2层，下层1个小正方形，居右，上层3个小正方形，为； 从前面看，3个小正方形排成一排，为；从左面看，2个小正方形排成一排，为；从上面看，有2层，下层1个小正方形，居左，上层3个小正方形，为； 从前面看，3个小正方形排成一排，为；从左面看，2个小正方形排成一排，为；从上面看，有2层，下层1个小正方形，居中，上层3个小正方形，为。 【详解】 根据分析可知，用4个小正方体搭一个物体，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，从上面看到的图形是，这个物体是。 3．奇思用一些棱长为1厘米的正方体摆了一个物体，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是，至少需要（    ）个小正方体。 A．6 B．4 C．7 D．5 【答案】D 【分析】 根据观察物体的方法，几何体从上面看到的形状是，可知几何体底层有4个小正方体，从正面看到的形状是，可知几何体有2层，上层至少有1个小正方体，据此结合题意分析解答即可。 【详解】由分析可知，几何体底层有4个小正方体，上层至少有1个小正方体。 4＋1＝5（个） 因此至少需要5个小正方体。 4．在一张桌子上放着几摞碗，下面三幅图分别是王亮从上面、前面、右面所观察到的图形，根据图形可判断，桌子上可能一共放着（    ）只碗。 A．8 B．10 C．11 D．14 【答案】C 【分析】从上面看，是4个圆圈，说明桌子上共有4摞碗。将这4摞碗分为前排和后排，每排有2摞，标记为：左前、右前、左后、右后。 从前面看，左边（左前、左后）最高的一摞是4只，右边（右前、右后）最高的一摞也是4只。 从右面看，左边对应的是前排（左前，右前）最高的一摞是4只，右边对应的是后排（左后、右后）最高的一摞是2只。 根据从上面看到的图形可知左前、右前、左后、右后都有碗，又根据后排最高的一摞是2只可知后排的两摞碗（左后、右后）分别为2只和1只，或1只和2只，或都是2只，因此后排可能是3只或4只。 根据后排最高的一摞是2只还可以得到从前面看到的两摞4只碗是左前和右前的，因此左前和右前都是4只。 【详解】桌子上碗的数量：4＋4＋3＝11（只）或4＋4＋4＝12（只） 只有11在选项中。 5．如图是由5个小正方体搭成的立体图形，从正面看，画出的平面图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察立体图形，从正面能看到两层共4个小正方形，下层有3个，上层1个且居中，据此解答。 【详解】 ，从正面看，画出的平面图形是。 6．如下图，文文和明明分别用5个相同的小正方体在桌面上搭了一个立体图形，则他俩所搭立体图形露在外面的面相比，（    ）。 A．文文的比较多 B．明明的比较多 C．一样多 D．无法比较 【答案】B 【分析】用三视图的方法，把正视图和侧视图看到面数的和乘2，因为立体图形底面没有露在外面，所以俯视图看到的面数只计算一次，再把两个立体图形各自看到的所有面数相加，最后比较大小，据此解答。 【详解】文文所搭立体图形露在外面的面： 4×2＋3×2＋4 ＝8＋6＋4 ＝18（个） 明明所搭立体图形露在外面的面： 5×2＋3×2＋3 ＝10＋6＋3 ＝19（个） 18＜19 他俩所搭立体图形露在外面的面相比，明明的比较多。 7．下面的几何体去掉一个小正方体后，从右面看到的图形不可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可以根据选项来排除去掉的是哪个正方体进行选择。 【详解】A．去掉的是这个正方体； B．去掉的是这个正方体； C．去掉的是这两个正方体； D．去掉的是这个正方体。 即从右面看到的图形不可能是。 8．在太空的失重环境中，方块可以在不接触其他方块的情况下悬浮在空中。如果我们在星际航行的过程中，从不同方向看一个由一些方块拼成的物体，观察到的图形如下图所示，该物体最少可以由（    ）个方块拼成？ 从上面看：     从前面看：    从左面看： A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】首先，从上面看是2×2的正方形，说明物体底层至少有4个方块，构成2×2的基础结构。从前面看和左面看都是2×2的正方形，表明物体在高度方向上至少有两层，且从前面看左右两列、从左面看前后两行都至少有一个位置是两层。为使方块数量最少，需让方块尽可能重叠：底层4个方块，上层在底层的对角位置各放1个方块，这样从前面看左右列都有两层，从左面看前后行都有两层，同时满足三个视图的要求。此时方块总数为底层4个加上上层2个，共6个。选项进行逐行分析即可。 ‌ 【详解】A．4‌：仅能满足从上面看的视图，无法实现从前面和左面看都是2×2正方形的要求，因为高度方向只有一层，不符合题意。 B．5‌：若上层只放1个方块，无法同时满足从前面看左右列都有两层、从左面看前后行都有两层的要求，不符合题意。 C．6‌：底层4个方块，上层在对角位置各放1个，能同时满足三个视图的要求，是最少的方块数量，符合题意。 D．7‌：方块数量多于最少需要的6个，不符合“至少”的要求。 9．用同样的小正方体搭成一个立体图形，从正面看，从左面看，从上面看，这个立体图形是用( )个小正方体搭建而成的。 【答案】5 【分析】先根据从上面看的图形确定底层有4个小正方体，再结合从正面看和从左面看的图形，判断出只有后排左侧的小正方体上方还有1个小正方体，最后把两层的数量相加，即可求出小正方体的总数。 【详解】4＋1＝5（个） 这个立体图形是用5个小正方体搭建而成的。 10．一个立体图形从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个立体图形至少由( )个小正方体组成，最多由( )个小正方体组成。 【答案】 5 7 【分析】 如上图，一个立体图形从上面看到的形状是，所以底层有4个小正方体，从左面看到的形状是，说明这个立体图形有两行，靠前一行只有1个小正方体，且只有一层，靠后一行有两层，下层有3个小正方体，上层有可能是1个正方体，也有可能是2个正方体，还有可能是3个正方体，即靠后一行的上层最少有1个小正方体，最多有3个小正方体。 【详解】求最少是几个： 4＋1＝5（个） 求最多是几个： 4＋3＝7（个） 11．一个几何体，从前面看是，从左面看是，搭成这样的几何体，最多用( )个小正方体。 【答案】7 【分析】根据从前面和从左面看到的形状，可知搭成的几何体有2层，底层最多6个小正方体，上层只有1个小正方体，据此分析，可以画一画示意图。 【详解】由分析得出： 一个几何体，从前面看是，从左面看是，搭成这样的几何体，那么底层最多6个小正方体，上层只有1个小正方体，如图 ，最多用7个小正方体。 12．用4个相同的正方体搭一个立体图形，上面的一层只有一个正方体；从正面和左面看都是3个正方形，但看到的形状不同。搭出的立体图形是( )。 【答案】③ 【分析】根据题意，仔细观察三个图，逐个分析： 图①从正面看到有2层，下层有3个正方形，上层有1个正方形居中，一共有4个正方形，不符合条件。 图②从正面看是下层有2个正方形，上层有1个正方形靠左，共3个正方形；从左面看，下层有2个正方形，上层有1个正方形靠左，共3个正方形；形状和正面完全相同，不符合“形状不同”的要求。 图③从正面看下层有2个正方形，上层有1个正方形靠左，共3个正方形；从左面看，下层有2个正方形，上层有1个正方形靠右，共3个正方形，形状和正面不同，完全符合所有条件。 【详解】用4个相同的正方体搭一个立体图形，上面的一层只有一个正方体；从正面和左面看都是3个正方形，但看到的形状不同。搭出的立体图形是③。 13．如图两个立体图形都是由棱长为1厘米的正方体搭成。①号物体的表面积可以这样算：（7＋4＋6）×2（算式中7、4和6分别是从正面、上面和侧面观察的），用①号物体表面积的算法，②号物体表面积可以列式为( )。（只要写出算式，不计算结果） 【答案】（6＋5＋5）×2 【分析】数出②号物体正面、上面、侧面分别是几个小正方形，相加再乘2，即可列出算式。 【详解】②号物体从正面看，可看到6个小正方形；从上面看，可看到5个小正方形；从右面看，可看到5个小正方形。 ②号物体表面积可以列式为（6＋5＋5）×2。 14．如图，若从标有序号的四个小正方体中取走1个，要保证剩下的几何体从左面看到的图形和原来一样，则取走的小正方体不可能是( )号。 【答案】② 【分析】先确定原来的几何体从左面看到的图形，再分别确定取走各个小正方体之后从左面看到的形状，最后找出和原来不一样的序号即可。 【详解】 从左面看到的图形是：； 拿走①之后，从左面看到的图形是：； 拿走②之后，从左面看到的图形是：； 拿走③之后，从左面看到的图形是：； 拿走④之后，从左面看到的图形是：； 若从标有序号的四个小正方体中取走1个，要保证剩下的几何体从左面看到的图形和原来一样，则取走的小正方体不可能是②号。 15．如图，要使从前面看到的图形是，可直接将图中的( )号小正方体移到( )号小正方体的( )面。 【答案】 1 3 左 【分析】要使从前面看到的图形是，则图形的摆放一共是两行，上行1个，下行3个，因此应该如图摆放，据此解答。 【详解】根据分析：要使从前面看到的图形是，可直接将图中的小正方体1移到小正方体3的左面。 16．一个物体，从前面看到的图形是，从右面看到的图形是，搭成这样的物体至少要用( )个小正方体。 【答案】 【分析】从前面看到的是竖着的两个小正方形，说明有两层，一列，从右面看到的是竖着的两个小正方形，说明有两层，一排，所以至少有两个小正方体。 【详解】搭成这样的物体至少要用个小正方体。 17．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体个数）。 请在小方格里画出来。 【答案】 【分析】根据从上面看到的形状，可知底层摆了4个小正方体。从前面看：左列画2个上下排列的正方形，右列画3个上下排列的正方形，整体对齐底部。从左面看：最左边、最右边各画1个正方形，中间列画2个上下排列的正方形，整体对齐底部。 【详解】作图如下： 18．画出几何体从前面、上面和左面看到的图形。 【答案】 【分析】从前面看，一共两行，下面一行有3个小正方体，上面一行有1个小正方体且右对齐。 从上面看，一共有三行，上面一行有3个小正方体，中间和下面一行各有1个小正方体，且右对齐。 从左面看，有两行，下面一行有3个小正方体，上面一行有1个小正方体且左对齐。 【详解】略 19．观察下面左面的立体图形，请你在方格纸上画出对应的平面图形。 【答案】见详解 【分析】根据物体三视图的认识和画法，该物体从前面看有2行，第一行靠左边有2个小正方形，第二行有3个小正方形；从左面看有2行，第一行靠左边有1个小正方形，第二行有3个小正方形；从上面看有3行，第一行有3个小正方形，第二行靠左边有2个小正方形，第三行靠左边有1个小正方形，据此画出该物体三视图即可。 【详解】 20．观察下面的几何体，在方格图上涂出从不同方向看到的图形。 【答案】见详解 【分析】从前面观察到小正方体排成三排，从上至下，第一排1个居左，第二排左中右各1个，第三排与第二排相同。从上面观察到小正方体排成二排，从上至下，第一排左中右各1个，第二排1个居左。从右面观察到小正方体排成三排，从上至下，第一排1个居右，第二排左右各1个，第三排与第二排相同。据此画图。 【详解】 21．分别从正面、上面和右面观察下面几何体，把你看到的图形画在方格里。 【答案】 【分析】从正面看，有4个小正方形，下面一行有3个并排摆放，左边的小正方形的正上方有1个；从上面看，有4个小正方形，下面一行有3个并排摆放，中间的小正方形的正上方有1个；从右面看，有3个小正方形，下面一行有2个并排摆放，左边的小正方形的正上方有1个。 【详解】略 22．观察下面物体，画出从前面、上面和左面看到的图形。 【答案】见详解 【分析】观察图形可知，从前面看有两行，下面一行有3个小正方形，上面一行有1个小正方形左对齐；从上面看有三行，上面一行有3个小正方形，中间一行有1个小正方形左对齐，下面一行有1个小正方形左对齐；从左边看有2行，下面一行有3个小正方形，上面一行有1个小正方形左对齐，由此可画出图形。 【详解】 从前面、上面、左面看到的图形如下： 23．画出分别从前面、上面和左面观察立体时看到的图形。 【答案】见详解 【分析】 从前面看：左列有三个小正方形竖直堆叠，右边有两列且只有两个小正方形。如图所示： 从上面看：有两行，第一行有一个小正方形，第二行有三个小正方形，第一行的小正方形与第二行中间的小正方形对齐。如图所示： 从左面看：左列有三个小正方形竖直堆叠，右列只有一列，且只有一个小正方形。如图所示： 【详解】如图所示： 24．观察下面的几何体，分别画出从它的上面、前面和左面观察到的图形。 【答案】见详解 【分析】观察图形，从上面看有2层，上层有4个小正方形，下层有3个小正方形，居左；从前面看有2层，下层有4个小正方形，上层有2个小正方形，居左；从左面看有2层，下层有2个小正方形，上层有1个小正方形，居左，据此画图即可。 【详解】如图： 25．聪聪靠墙角堆放正方体纸箱，要求堆出的几何体满足有29个面露在外面。下图中有一个是聪聪摆出的几何体。 （1）图（     ）符合堆放要求。 （2）如果每个纸箱的边长为0.8米，用红色颜料给这个符合要求的几何体所有露在外面的面涂色，1千克的颜料刚好可以涂1.6平方米的纸箱表面。如果一共只有10.4千克颜料，够涂吗？如果不够，怎样移动可以使颜料刚好够用？ 【答案】（1）③ （2）不够涂。可以将最右列的两个纸箱移到中间一列下面的两行上（如图）。 【分析】（1）分别得出三个图形的三视图，再将三视图的小正方形的数量相加，满足露出29个面即可。 （2）一共有29个面露出，也就是有29个正方形，先根据正方形的面积＝边长×边长得出每个面的面积，再乘29即可得出需要涂的面积。根据1千克的颜料刚好可以涂1.6平方米的纸箱表面，得出涂的面积里面有多少个1.6，就是需要多少千克的颜料，再和10.4比较即可。 需要的颜料是11.6千克，只有10.4千克，则需要少涂1.2千克，再乘1.6即可得出少涂的平方米数，最后再除以正方形的面积即可得出少涂3个正方形的面即可。可以将最右列的两个纸箱移到中间一列下面的两行上。 【详解】（1）图①外露的正方形有26个； 图②外露的正方形有25个； 图③外露的正方形有29个； 图③符合堆放要求。 （2）0.8×0.8×29＝18.56（平方米） 18.56÷1.6×1 ＝11.6×1 ＝11.6（千克） 11.6＞10.4 11.6－10.4＝1.2（千克） 1.2×1.6÷（0.8×0.8） ＝1.92÷0.64 ＝3（个） 答：不够涂。可以将最右列的两个纸箱移到中间一列下面的两行上（如图）。 26．根据从前面、上面看到的图形（如图所示），在图上用数字标出从上面看到图形各位置所用的小正方体个数。（写出全部可能的情况） 【答案】图见详解 【分析】 各位置标记为，综合考虑从前面和上面看到的图形，②号位置上有2个小正方体，③号和⑤号位置上各有1个小正方体，①号位置和④号位置上至少有1个位置上是2个小正方体，据此解答。 【详解】如图： 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $