第11章 二次根式单元复习 培优讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

该初中数学二次根式单元复习讲义通过分层知识点梳理构建知识体系，以表格对比核心性质公式、成立条件及易错点，结合框架图呈现从概念到运算的知识脉络，突出双重非负性和最简根式等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如二次根式有意义条件培养抽象能力，培优题型如双重非负性求参数题发展推理意识，压轴题型如几何应用提升应用意识。配套易错点总结和方法技巧指导，帮助不同层次学生巩固基础或拓展思维，为教师实施精准分层教学提供支持。

第11章 二次根式 知识点1：二次根式的概念与有意义条件 1.定义：形如的式子叫做二次根式，根号“”，为被开方数。 2.双重非负性： 3.代数式有意义综合条件 单独：； ：且； ：。 知识点2：二次根式两大核心性质 公式 成立条件 含义 易错点 先开方再平方，结果等于被开方数 无不能直接使用 为任意实数 先平方再开方，结果为的绝对值 直接省略绝对值，写成 知识点3：积、商的算术平方根（乘除依据） 1.积：，逆用用于化简； 2.商：，逆用用于化简、分母有理化。 知识点4：最简二次根式 1.满足两个条件： ①被开方数不含分母，分母不含根号； ②被开方数不含能开得尽方的因数/因式。 2.化简步骤：分解因数→开出平方因式→去分母根号→约分整理。 知识点5：同类二次根式 1.定义：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式； 2.加减运算前提：只有同类二次根式可以合并，非同类不能合并。 知识点6：二次根式四则运算 1.乘法： 2.除法： 3.加减法：一化（全部最简）→二找（同类根式）→三合并（系数相加减，根号不变） 4.混合运算：先乘方开方，再乘除，最后加减；整式乘法公式（平方差、完全平方）完全适用。 知识点7：分母有理化 1.概念：化去分母中根号的变形； 2.常用有理化因式： 的有理化因式：； 的有理化因式：（对偶式）。 知识点8：拓展：复合二次根式、实际应用 1.复合二次根式：可配成化简； 2.实际模型：几何周长面积、物理自由落体、刹车测速、海伦三角形面积公式。 【基础必考题型】 【题型1】二次根式识别与求取值范围 1.核心知识点 二次根式定义；双重非负性；分式、根式复合式有意义条件。 2.解题方法技巧 列不等式组：被开方数≥0，分母≠0；多个限制取公共解集。 【例题1】.（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）下列各式中为二次根式的是（     ） A． B． C． D．2025 【变式题1-1】.（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026·广东清远·二模）若二次根式有意义，则正整数m的值可以是________．（写出一个即可） 【变式题1-3】.（2026·湖南长沙·二模）若代数式有意义，则的取值范围是______． 【题型2】利用化简 1.核心知识点 二次根式性质；绝对值化简；三角形三边关系。 2.解题方法技巧 先判断字母正负/边长范围，去掉根号后再去绝对值。 【例题2】.（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）计算____________． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·广东珠海·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【变式题2-2】.（23-24八年级上·上海·期中）计算：． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）实数、在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B． C． D． 【题型3】最简、同类二次根式判断与化简 1.核心知识点 最简二次根式两条标准；同类二次根式判定方法。 2.解题方法技巧 先全部化为最简，再对比被开方数；化简务必开尽所有平方因子。 【例题3】.（2026·上海静安·三模）下列根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（2024·广东清远·一模）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（2026·山西临汾·三模）若二次根式是最简二次根式，则正整数x的值可以为______．（写出一个即可） 【题型4】二次根式乘除基础运算 1.核心知识点 积、商算术平方根公式；系数与根式分开计算。 2.解题方法技巧 系数相乘除，被开方数相乘除，结果化为最简。 【例题4】.（2026·广东佛山·二模）计算：______． 【变式题4-1】.（2026·河北沧州·三模）计算的结果为____________． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·江苏·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【题型5】二次根式加减合并同类根式 1.核心知识点 同类二次根式合并法则；区分可合并、不可合并根式。 2.解题方法技巧 不化简直接合并必错，必须统一最简后再合并系数。 【例题5】.（2026·甘肃武威·中考真题）计算：． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）计算： (1) (2) 【变式题5-2】.（25-26八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·北京西城·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 【培优高频题型】 【题型6】双重非负性求参数 1.核心知识点 ，几个非负数相加为0，则各自为0。 2.解题方法技巧 拆分式子，令每一项等于0，联立方程组求解字母。 【例题6】.（2026·重庆·模拟预测）若三角形的三边长为a、b、c，且满足，则该三角形的面积为________． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B．3 C．1 D．5 【变式题6-3】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）已知与互为相反数，则的平方根是________． 【题型7】条件式整体代入化简求值 1.核心知识点 完全平方变形；整体思想，不单独求未知数。 2.解题方法技巧 已知式平方变形，构造、整体代入。 【例题7】.（25-26八年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·北京·期中） 已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·湖北恩施·期中）已知，． (1)求和的值； (2)求的值； 【变式题7-3】.（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，，则式子的值为_________． 【题型8】分母有理化、裂项求和新考法 1.核心知识点 有理化因式；裂项相消规律；根式分式化简。 2.解题方法技巧 对偶式相乘去根号；长算式先有理化再抵消中间项。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·期末）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫作分母有理化．我们把叫作的有理化因式，叫作的有理化因式，完成下列各题． (1)化简：________； (2)计算：． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________． (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)①分母有理化：_____；②化简“理想二次根式”：_____． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·安徽亳州·期中）阅读下面的材料，解答问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了．例如： ． (1)请你写出分母的有理化因式：______； (2)请仿照上面给出的方法化简． 【题型9】根式大小比较（估算、平方作差法） 1.核心知识点 正数越大算术平方根越大；作差、平方比较法。 2.解题方法技巧 同号可同时平方去掉根号再比较；含常数先估算整数部分。 【例题9】.（2026·陕西西安·三模）比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·北京·期中）按要求解答下列各题： (1)用、、填空： ______，______ ； (2)由（1）中各式猜想与 的大小，并说明理由． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【变式题9-3】.（25-26八年级下·江西新余·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题 (1)观察以上规律，请写出第个等式：_____（n为正整数）． (2)利用上面的规律，计算： (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【压轴素养题型】 【题型10】几何应用（矩形、正方形周长面积） 1.核心知识点 二次根式运算；长方形、正方形周长面积公式。 2.解题方法技巧 边长用根式表示，周长面积列式后化简求值。 【例题10】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．求的度数． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值为__________． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，有一个长方形，长为，宽为．准备在长方形上截下一块长，宽的小长方形（即图中阴影部分）． (1)求长方形的周长； (2)求剩余部分与长方形的面积差． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）阅读材料：用配方法求最值． 已知x，y为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数最小值为 ，已知，则函数的最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 【题型11】复合二次根式配方法化简 1.核心知识点 完全平方逆用；配方模型。 2.解题方法技巧 设，列方程组求解。 【例题11】.（25-26八年级上·河北沧州·阶段检测）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·湖南常德·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 像，，．．．．．这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：； 模型应用1： （1）化简：①②； （2）若，且，，为正整数，求的值； 模型应用2： （3）在中，，，，那么_____．（直接写出结果，并化为最简） 【变式题11-2】.（25-26八年级下·广东珠海·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【变式题11-3】.（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 【题型12】新定义阅读探究（对偶式、自定义运算） 1.核心知识点 材料阅读理解；平方差去根号；分类讨论。 2.解题方法技巧 严格照搬题目定义列式，套用根式性质计算。 【例题12】.（25-26八年级下·安徽池州·期中）定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．已知：，根据“有理式”的定义，试解决以下问题： (1)求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解关于的方程：． 【变式题12-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读下面的材料，然后解答问题： 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方和等于第三边平方的2倍，则这个三角形叫做奇异三角形． 理解： (1)根据奇异三角形的定义，判断：等边三角形一定是奇异三角形吗?_______（填“是”或“不是”）． (2)若奇异三角形的其中两边长分别为1，，则该三角形的第三条边长为________． 探究： (3)在中，，，且，，则这个三角形是否是奇异三角形?请说明理由． 拓展： (4)在中，，，，，且，若是奇异三角形，求． 【变式题12-2】.（2026·山西太原·一模）阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： (1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想 (2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． (3)已知，求的值． 【变式题12-3】.（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）阅读理解： 我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法： 解：， ． 又……①， ， 即……②． 由得：， 即， 在这个方程的两边同时平方得：， 解得：． 将代入原方程检验，可得是原方程的解． 请根据上述材料回答下面的问题： (1)若，则的“对偶式”为_____，__________； (2)解方程：． 易错点 1.混淆与，化简直接省略绝对值。 2.使用时，忽略限制，负数直接拆分根号。 3.判定同类二次根式前不化简，直接对比原式被开方数。 4.分母有理化漏乘分子，或有理化因式符号写错。 5.双重非负性题型只解一个未知数，忽略多个非负数均为0。 6混合运算不先化简，直接强行合并非同类根式。 7.取值范围题只写被开方数≥0，遗漏分母不为0条件。 重点 1.二次根式双重非负性及两大核心性质。 2.最简、同类二次根式识别与化简。 3.二次根式乘除、加减、混合运算（乘法公式简化）。 4.分母有理化、整体代入化简求值。 5.利用非负性求参数基础题型。 6.根式简单几何、生活实际应用。 难点 1.结合数轴、三角形三边分类化简。 2.裂项有理化长算式求和、复合二次根式配方。 3.新定义材料阅读、规律探究压轴题。 4.海伦公式、物理公式等跨学科综合计算。 5.结合方程、不等式的含参二次根式综合题。 【对应练习题】 一、单选题 1．计算的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 2．估计的值应在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】先根据二次根式的乘法法则计算原式，再通过比较被开方数与相邻完全平方数的大小，估算出结果的范围即可． 【详解】解：∵根据二次根式乘法法则，， ∴， 又∵，，且， ∴，即， 因此的值在3和4之间． 3．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解，即可得到答案． 【详解】解：由题意， ， 解得 ． 二、填空题 4．要使分式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【分析】需同时满足二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，据此进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得且． 5．若，，化简____________________． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，结合，的条件去掉绝对值，化简后合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 6．如图1，土楼是中国传统的夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，则圆环的宽度________ ．（，结果化为最简二次根式） 【答案】 【分析】根据圆的面积公式分别求出大圆和小圆的半径，再利用圆环宽度等于大圆半径减去小圆半径进行计算． 【详解】解：设大圆的半径为 ，小圆的半径为， 由题意得 ，， 解得，， ． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可求解； （2）先去括号计算二次根式的乘法和零指数幂，再计算加减即可求解； （3）先计算二次根式的乘除和化简二次根式，再计算加减即可求解； （4）先计算平方差和绝对值，再计算加减即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项化简后，将代入计算即可求出结果． 【详解】解： ； 当时，原式． 9．定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于4的“美好数”，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)2042 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可； （3）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：是关于4的“美好数”， ∴ ∴ 10．阅读下列材料，然后解答问题： 材料：将进行分母有理化，过程如下： 请利用上述方法解答下列问题： (1)化简：___________； (2)计算：___________； (3)化简下列式子：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （１）将分式的分子分母同乘分母的有理化因式，利用平方差公式去掉分母的根号即可； （2）先对两个分式分母有理化，再将两个结果相加即可； （3）先对原式中每一项进行分母有理化，再将所有项相加即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：原式 ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 二次根式 知识点1：二次根式的概念与有意义条件 1.定义：形如的式子叫做二次根式，根号“”，为被开方数。 2.双重非负性： 3.代数式有意义综合条件 单独：； ：且； ：。 知识点2：二次根式两大核心性质 公式 成立条件 含义 易错点 先开方再平方，结果等于被开方数 无不能直接使用 为任意实数 先平方再开方，结果为的绝对值 直接省略绝对值，写成 知识点3：积、商的算术平方根（乘除依据） 1.积：，逆用用于化简； 2.商：，逆用用于化简、分母有理化。 知识点4：最简二次根式 1.满足两个条件： ①被开方数不含分母，分母不含根号； ②被开方数不含能开得尽方的因数/因式。 2.化简步骤：分解因数→开出平方因式→去分母根号→约分整理。 知识点5：同类二次根式 1.定义：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式； 2.加减运算前提：只有同类二次根式可以合并，非同类不能合并。 知识点6：二次根式四则运算 1.乘法： 2.除法： 3.加减法：一化（全部最简）→二找（同类根式）→三合并（系数相加减，根号不变） 4.混合运算：先乘方开方，再乘除，最后加减；整式乘法公式（平方差、完全平方）完全适用。 知识点7：分母有理化 1.概念：化去分母中根号的变形； 2.常用有理化因式： 的有理化因式：； 的有理化因式：（对偶式）。 知识点8：拓展：复合二次根式、实际应用 1.复合二次根式：可配成化简； 2.实际模型：几何周长面积、物理自由落体、刹车测速、海伦三角形面积公式。 【基础必考题型】 【题型1】二次根式识别与求取值范围 1.核心知识点 二次根式定义；双重非负性；分式、根式复合式有意义条件。 2.解题方法技巧 列不等式组：被开方数≥0，分母≠0；多个限制取公共解集。 【例题1】.（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）下列各式中为二次根式的是（     ） A． B． C． D．2025 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、的被开方数，无意义，不是二次根式，故选项不符合题意； B、根指数为3，属于三次根式，故选项不符合题意； C、根指数为2，且被开方数，是二次根式，故选项符合题意； D、2025是整数，不是二次根式，故选项不符合题意； 【变式题1-1】.（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，二次根式需要满足两个条件，根指数为2，且被开方数为非负数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】根据定义，形如的式子叫做二次根式． A．∵被开方数，∴不是二次根式，故不符合题意； B．∵可以取负数，当时，被开方数小于0，∴不一定是二次根式，故不符合题意； C．∵对任意实数，都有，∴，根指数为2，满足二次根式的定义，∴一定是二次根式，故符合题意； D．∵该式子根指数为，属于三次根式，∴不是二次根式，故不符合题意； 【变式题1-2】.（2026·广东清远·二模）若二次根式有意义，则正整数m的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于列出不等式，再结合正整数的定义求解即可． 【详解】解：有意义， 解得， 又为正整数， ∴m的值可以是5． 【变式题1-3】.（2026·湖南长沙·二模）若代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别确定被开方数与分母的取值要求，综合得到的取值范围． 【详解】解：若代数式有意义， 则需满足被开方数非负，且分母不为 即 ， ， ， 即恒成立， 解不等式， 得， 综上，． 【题型2】利用化简 1.核心知识点 二次根式性质；绝对值化简；三角形三边关系。 2.解题方法技巧 先判断字母正负/边长范围，去掉根号后再去绝对值。 【例题2】.（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）计算____________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·广东珠海·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【分析】根据数轴可得，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图得， ∴， 则． 【变式题2-2】.（23-24八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】先将根号内的多项式整理为完全平方式，再利用二次根式的性质化简，根据的大小判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后计算即可得到结果． 【详解】解： ， 根据二次根式的性质化简得：原式 ， ∵， ∴， ， ∴ 原式． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）实数、在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴判断与的符号，再结合二次根式和绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴． 【题型3】最简、同类二次根式判断与化简 1.核心知识点 最简二次根式两条标准；同类二次根式判定方法。 2.解题方法技巧 先全部化为最简，再对比被开方数；化简务必开尽所有平方因子。 【例题3】.（2026·上海静安·三模）下列根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； B．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C．，被开方数含分母，不是最简二次根式； D．的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式，是最简二次根式． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式. 【变式题3-2】.（2024·广东清远·一模）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：最简二次根式需要同时满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A．，被开方数含能开得尽方的因数 ，不是最简二次根式； B．，被开方数含分母， 不是最简二次根式； C．的被开方数 不含分母，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； D．，分母含根号，不是最简二次根式． 【变式题3-3】.（2026·山西临汾·三模）若二次根式是最简二次根式，则正整数x的值可以为______．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义，结合二次根式有意义的条件，可得，且不含能开得尽方的因数，为正整数，选取符合条件的即可． 【详解】解：根据题意，二次根式有意义，则，即． 又是最简二次根式，因此不含能开得尽方的因数，且为正整数． 当时，，是最简二次根式，符合题意． 【题型4】二次根式乘除基础运算 1.核心知识点 积、商算术平方根公式；系数与根式分开计算。 2.解题方法技巧 系数相乘除，被开方数相乘除，结果化为最简。 【例题4】.（2026·广东佛山·二模）计算：______． 【答案】 【详解】解：． 【变式题4-1】.（2026·河北沧州·三模）计算的结果为____________． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除混合运算顺序进行即可． 【详解】解：原式． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果； （2）先计算二次根式的乘除，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·江苏·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （2）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （3）先把带分数化为假分数，把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． （4）先把除法化为乘法，化为最简二次根式，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【题型5】二次根式加减合并同类根式 1.核心知识点 同类二次根式合并法则；区分可合并、不可合并根式。 2.解题方法技巧 不化简直接合并必错，必须统一最简后再合并系数。 【例题5】.（2026·甘肃武威·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 【变式题5-2】.（25-26八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)9 【详解】【小题1】      ； 【小题2】 ； 【小题3】 ． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·北京西城·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 【答案】6 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，得到根指数与被开方数的关系，求出，的值，最后计算即可. 【详解】解：， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴. 【培优高频题型】 【题型6】双重非负性求参数 1.核心知识点 ，几个非负数相加为0，则各自为0。 2.解题方法技巧 拆分式子，令每一项等于0，联立方程组求解字母。 【例题6】.（2026·重庆·模拟预测）若三角形的三边长为a、b、c，且满足，则该三角形的面积为________． 【答案】6 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值，再利用非负数的性质求出的值，最后根据勾股定理的逆定理判断三角形形状，计算三角形面积即可. 【详解】解：由题意，，解得， 将代入原式得， ∴，， 解得，， ， 该三角形是直角三角形，直角边长为和， 面积为. 【变式题6-1】.（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， 又，，且，， ∴，， ，， 解得，， ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B．3 C．1 D．5 【答案】D 【分析】几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，先求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵算术平方根和平方数都是非负数，且， ∴， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得． 【变式题6-3】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）已知与互为相反数，则的平方根是________． 【答案】 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴的平方根是 ． 【题型7】条件式整体代入化简求值 1.核心知识点 完全平方变形；整体思想，不单独求未知数。 2.解题方法技巧 已知式平方变形，构造、整体代入。 【例题7】.（25-26八年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对所求代数式配方变形，再代入已知的的值计算即可． 【详解】解： ， 将代入得， 原式 ． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·北京·期中） 已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）由已知条件可得，再利用完全平方公式变形求解即可； （2）由已知条件可得，再根据异分母分式加减运算、因式分解变形，最后将相关条件代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·湖北恩施·期中）已知，． (1)求和的值； (2)求的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二次根式的加法运算法则进行计算即可； （2）将代数式化为 ，把（1）中结果，利用整体代入法代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解： ． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，，则式子的值为_________． 【答案】 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式变形为 ，再分别计算与的值，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： 已知，， ∴ ， ∴． 【题型8】分母有理化、裂项求和新考法 1.核心知识点 有理化因式；裂项相消规律；根式分式化简。 2.解题方法技巧 对偶式相乘去根号；长算式先有理化再抵消中间项。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·期末）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫作分母有理化．我们把叫作的有理化因式，叫作的有理化因式，完成下列各题． (1)化简：________； (2)计算：． 【答案】(1) (2)2024 【分析】分母有理化的原理是通过平方差公式和同类最简二次根式的平方为有理数，来对分母有理化，根据题目中的计算方式进行计算即可 【详解】（1）解：； （2）解：，， 同理，可得： 原式 ． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________． (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）仿照题干，利用完全平方公式进行化简； （3）分别化简与，求和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ， ∴． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)①分母有理化：_____；②化简“理想二次根式”：_____． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）分子分母同乘以进行分母有理化即可；将变形为求解即可； （2）先代入，然后进行分母有理化和化简“理想二次根式”，再进行加减计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·安徽亳州·期中）阅读下面的材料，解答问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了．例如： ． (1)请你写出分母的有理化因式：______； (2)请仿照上面给出的方法化简． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）根据平方差公式作答即可； （2）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴分母的有理化因式是（答案不唯一）； （2）解：原式． 【题型9】根式大小比较（估算、平方作差法） 1.核心知识点 正数越大算术平方根越大；作差、平方比较法。 2.解题方法技巧 同号可同时平方去掉根号再比较；含常数先估算整数部分。 【例题9】.（2026·陕西西安·三模）比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 【答案】> 【分析】可先计算两个数的平方，通过比较平方的大小判断原数的大小，平方更大的原数更大，据此即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·北京·期中）按要求解答下列各题： (1)用、、填空： ______，______ ； (2)由（1）中各式猜想与 的大小，并说明理由． 【答案】(1)＞，＝． (2)， 理由：当时，， 所以 ， 所以， 所以． 【分析】（1）利用二次根式的性质统一形式比较即可； （2）根据当时，，利用完全平方公式变形整理即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴； （2）略． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的结果即可得到答案； （2）可求出，，根据即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 又 ， ∴． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·江西新余·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题 (1)观察以上规律，请写出第个等式：_____（n为正整数）． (2)利用上面的规律，计算： (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给式子，可得出第个等式为； （2）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题； （3）根据上面的规律可以比较和的大小． 【详解】（1）解：（为正整数）. （2）解： . （3）解：，， 而， . 【压轴素养题型】 【题型10】几何应用（矩形、正方形周长面积） 1.核心知识点 二次根式运算；长方形、正方形周长面积公式。 2.解题方法技巧 边长用根式表示，周长面积列式后化简求值。 【例题10】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．求的度数． 【答案】 【分析】连接，先由勾股定理求解，并确定是等腰直角三角形，再由勾股定理逆定理得到，即可求解的度数． 【详解】解：连接， ∵， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， 是直角三角形，， ． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值为__________． 【答案】27 【分析】设和的两个小正方形的边长为a，b，则，，根据题意可知，，，即，由完全平方公式求得即可． 【详解】解：设和的两个小正方形的边长为a，b，则，， 根据题意可知，，，即， 由得： ， ∴． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，有一个长方形，长为，宽为．准备在长方形上截下一块长，宽的小长方形（即图中阴影部分）． (1)求长方形的周长； (2)求剩余部分与长方形的面积差． 【答案】(1) (2)面积差为 【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）分别计算出长方形和的面积，用长方形的面积减去小长方形的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴长方形ABCD的周长为：． （2）解：由题可得：长方形的面积 长方形的面积为：， ∴剩余部分的面积为：， ， ∴面积差为． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）阅读材料：用配方法求最值． 已知x，y为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数最小值为 ，已知，则函数的最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)； (2)当取到最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）根据题意得出，仿照例题求得分母的最小值，进而求得函数的最大值； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为； ∵， ∴ ∴ 令， ∴ ∴当且仅当， ∵， ∴时，函数取到最小值，最小值为； （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵ ， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时， 故． 【题型11】复合二次根式配方法化简 1.核心知识点 完全平方逆用；配方模型。 2.解题方法技巧 设，列方程组求解。 【例题11】.（25-26八年级上·河北沧州·阶段检测）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 【变式题11-1】.（25-26八年级上·湖南常德·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 像，，．．．．．这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：； 模型应用1： （1）化简：①②； （2）若，且，，为正整数，求的值； 模型应用2： （3）在中，，，，那么_____．（直接写出结果，并化为最简） 【答案】（1）①；②； （2）或； （3）． 【分析】本题考查二次根式的化简、勾股定理、完全平方公式等，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键． （1）①将拆成，构造完全平方式即可求解；②将拆成，构造完全平方式即可求解； （2）将式子两边平方，根据等式的性质，推出，，的方程组，求解即可； （3）根据勾股定理，求得BC边的长度，再根据模型化简即可． 【详解】解：（1）①， ②； （2）∵， ∴， ， ∴，即， ∵，，为正整数， ∴或， ∴或， ∴综上，或； （3）∵中，，， ∴根据勾股定理：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题11-2】.（25-26八年级下·广东珠海·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义问题，完全平方公式，二次根式的性质，解题的关键是理解“横负纵变点”的概念． （1）根据“横负纵变点”的概念，求解即可； （2）将转化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质求解即可； （3）根据完全平方公式以及二次根式的性质求得，再根据“横负纵变点”的概念，求解即可． 【详解】（1）解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； 由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴点M的“横负纵变点”为． 【变式题11-3】.（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2)46或14 【分析】（1）利用平方差公式分母有理化，利用完全平方公式化简，然后合并同类二次根式即可． （2）先推导出，得到 ∴，继而推导出，求出或，再分别代入求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：， ∵ ∴， ∵a，m，n为正整数， ∴， 即， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，a的值为46或14． 【题型12】新定义阅读探究（对偶式、自定义运算） 1.核心知识点 材料阅读理解；平方差去根号；分类讨论。 2.解题方法技巧 严格照搬题目定义列式，套用根式性质计算。 【例题12】.（25-26八年级下·安徽池州·期中）定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．已知：，根据“有理式”的定义，试解决以下问题： (1)求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解关于的方程：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题干中的方法进行解答即可； （2）根据（1）中的结论得到，进行解答即可． 【详解】（1）解： ， ∴． （2）解：由（1）知： 而 两式相加得： 则 两边平方得到，，解得， 经检验，是方程的解， ∵，成立． 【变式题12-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读下面的材料，然后解答问题： 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方和等于第三边平方的2倍，则这个三角形叫做奇异三角形． 理解： (1)根据奇异三角形的定义，判断：等边三角形一定是奇异三角形吗?_______（填“是”或“不是”）． (2)若奇异三角形的其中两边长分别为1，，则该三角形的第三条边长为________． 探究： (3)在中，，，且，，则这个三角形是否是奇异三角形?请说明理由． 拓展： (4)在中，，，，，且，若是奇异三角形，求． 【答案】(1)是 (2)2或 (3)当时，直角三角形是奇异三角形；当时，不是奇异三角形； (4) 【分析】（1）设等边三角形的边长为m，根据题意，得三角形的三边长都是m，计算，再根据定义判断求解即可． （2）设第三边长为x，根据定义，得分类求解，求解即可． （3）设，根据勾股定理，定义分类求解即可； （4）根据题意，；由是奇异三角形，得到，求解即可． 【详解】（1）解：设等边三角形的边长为m，根据题意，得三角形的三边长都是m， 由，符合定义， 故等边三角形是奇异三角形； （2）解：设三角形的第三边长为x， 当， ， 解得，三角形的边长不能为负数，故舍去， 且，满足两边之和大于第三边，三角形存在， 故第三边长为2． 当， 无意义，三角形不存在； 当， 解得，三角形的边长不能为负数，故舍去， 且，因为，所以，， ，故， 故，满足两边之和大于第三边，三角形存在， 故第三边长为， 综上，第三边长为2或． （3）解：设，在中，，，且，， 当时，根据题意，得， 故， 由， 得，此时直角三角形是奇异三角形； 当时，根据题意，得， 故， 故， 由， 得， 同理可得，， 故直角三角形不是奇异三角形． （4）解：，，，，且， ， ； 若， ， ， ， ， ，矛盾； 因为是奇异三角形， ， ， ， ． 【变式题12-2】.（2026·山西太原·一模）阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： (1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想 (2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)B (2)86 (3)17 【分析】（1）根据转化思想解答即可； （2）仿照材料中的例题解答过程解答即可； （3）仿照材料中的例题解答过程解答即可． 【详解】（1）解：材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想； （2）解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ； （3）解：我们从这个式子的结构出发，构造（）的对偶式． ． 【变式题12-3】.（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）阅读理解： 我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法： 解：， ． 又……①， ， 即……②． 由得：， 即， 在这个方程的两边同时平方得：， 解得：． 将代入原方程检验，可得是原方程的解． 请根据上述材料回答下面的问题： (1)若，则的“对偶式”为_____，__________； (2)解方程：． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查平方差公式在二次根式乘法中的应用以及解含根号的方程． （1）根据题目中对偶式的定义直接写出，再利用平方差公式计算的值； （2）先构造已知方程左边的对偶式，利用平方差公式求出两个式子的乘积，结合原方程的值得到对偶式的式子的值，再通过加减消元消去一个根号，转化为只含有一个根号的方程求解，最后检验解的合理性． 【详解】（1）解：根据“对偶式”的定义，， 其“对偶式”； ； 故答案为：，． （2）解：， ∴． 又∵①， ∴②， 得：，即， 两边同时平方得：，解得； 检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解． 易错点 1.混淆与，化简直接省略绝对值。 2.使用时，忽略限制，负数直接拆分根号。 3.判定同类二次根式前不化简，直接对比原式被开方数。 4.分母有理化漏乘分子，或有理化因式符号写错。 5.双重非负性题型只解一个未知数，忽略多个非负数均为0。 6混合运算不先化简，直接强行合并非同类根式。 7.取值范围题只写被开方数≥0，遗漏分母不为0条件。 重点 1.二次根式双重非负性及两大核心性质。 2.最简、同类二次根式识别与化简。 3.二次根式乘除、加减、混合运算（乘法公式简化）。 4.分母有理化、整体代入化简求值。 5.利用非负性求参数基础题型。 6.根式简单几何、生活实际应用。 难点 1.结合数轴、三角形三边分类化简。 2.裂项有理化长算式求和、复合二次根式配方。 3.新定义材料阅读、规律探究压轴题。 4.海伦公式、物理公式等跨学科综合计算。 5.结合方程、不等式的含参二次根式综合题。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $