期末复习——二次根式常见题型 讲义2024-2025学年苏科版数学八年级下册

期末复习——二次根式常见题型（八大考点） 【考点一 同类二次根式】 ( 典型例题 ) 例1.下列各式中，哪些是同类二次根式？ ，，，， 例2.若最简二次根式与能合并为一个二次根求，求x的值。 ( 巩固练习 ) 1.若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣1 D．1 2．若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（     ） A． B． C． D． 3. 与最简二次根式﹣4是同类二次根式，则a＝　　． 4．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 5．若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求x，y的值． (2)求的平方根． 6．如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且＋＝0，求x、y的值． 7．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【考点二 二次根式的乘除法】 ( 典型例题 ) 例1.计算 例2.化简： （1）； （2）÷× ( 巩固练习 ) 1．计算：． 2．计算：． 【考点三 二次根式的加减法】 ( 典型例题 ) 例1.计算：2 例2.计算： ( 巩固练习 ) 1.计算：(1) ； (2) 2．计算： (1) (2) 【考点四 二次根式中的找规律】 ( 典型例题 ) 例1.将一组数据，，3，，，…，，按下面的方法进行排列：，，3，，； ，，，，； ； 若的位置记为，的位置记为，则这组数中的位置记为（    ） A． B． C． D． 例2.观察下面的式子：S1=1+，S2=1+，S3=1+…Sn=1+ （1）计算：=　   　，=　     　；猜想=　      　（用n的代数式表示）； （2）计算：S=（用n的代数式表示）． ( 巩固练习 ) 1．观察下列各式： 当n＝3时，， 当n＝4时，， 当n＝5时，， 根据以上规律，写出当n＝7时的等式是 ． 2．已知一列数据为，，，，，，，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 3．观察下列各式： …………① …………② …………③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律___________（为正整数）； (2)计算___________； (3)如果，那么___________． 【考点五 与】 ( 典型例题 ) 例1.计算下列各题。 （1）= （2） （3） （4）= （2） （3） 例2 化简 （1）= （2）= （3）= 例3.下列等式正确的是： A. B. C. D. 例4.化简：a+ ( 巩固练习 ) 1．若3﹣a，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3 2．已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 3．若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 5．若，则等于（   ） A． B． C． D． 6.实数在数轴上的位置如图，化简 ． 7．已知﹣1＜a＜0，化简的结果为___． 8．设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 9．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． (1)化简M； (2)当时，求M的值． 10．先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【考点六 化简求值问题】 ( 典型例题 ) 例1.已知x，y满足x+y=－2，xy=，求的值。 例2.求的值。 例3.求的值。 ( 巩固练习 ) 1．已知，，则代数式的值为（ ） A． B． C．3 D． 2．已知x1，则代数式x2﹣2x+1的值为 　　． 3．已知，则代数式的值为 ． 4．若，则 ． 5．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p，那么三角形的面积S．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC面积是　　． 6．（1）计算 （2）计算（）（） 7．已知a=3+，b=3－2，求的值。 8．已知x=，y=，求3的值。 9．已知，求． 10．在解决问题“已知a，求2a2﹣8a+1的值时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴a﹣2， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解答下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若a，求： ①a2﹣a﹣1的值； ②2a2﹣5a2+1的值． 11．请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明的做法是：根据得，∴，．把作为整体代入，得：．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 仿照上述方法解决问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【考点七 比较大小】 ( 典型例题 ) 例1.比较1与2-的大小 例2.设a=3，b=2，c=4，比较a，b，c的大小。 例3. 设a＞b＞c＞d＞0，且x=+，y=+，z=+，比较x，y，z的大小。 ( 巩固练习 ) 1．若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 3．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方． 因为，， 所以，所以． 请利用“平方法”解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)猜想，之间的大小关系，并说明理由； (3)化简：________． 4．（1）用“”、“”、“”填空： ， ， ． （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由． （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少是多少米？ 【考点八 二次根式中的新定义】 ( 典型例题 ) 例1．阅读材料，回答问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式是________；化简：________； (2)化简： (3)拓展应用：已知，，，， 试比较a，b，c的大小，并说明理由． 例2．阅读下面计算过程： 1； ； 2． 求：（1）的值． （2）（n为正整数）的值． （3）的值． ( 巩固练习 ) 1．对于任意的正数m，n定义运算“*”为：，计算的结果为（   ） A． B．2 C． D．20 2．对实数a、b，定义运算a∗b＝，已知3∗m＝36，则m的值为（    ） A．4 B．± C． D．4或± 3．定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点、，称的值为、两点的“直角距离”．若，则，的“直角距离”为 ；若，为直线上任意一点，则，的“直角距离”的最小值为 ． 4．通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一个正数的平方，如：，，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 的算术平方根是． 请根据上面的方法化简下列式子： (1)； (2)． 5．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 6．材料一：若a是正整数，a除以3的余数为1，则称a是“三拖一数”．例如：13是正整数，且，则13是“三拖一数”． 材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数材字为d，规定：． 请根据以上材料，解决下列问题： (1)判断：124，1838是不是“三拖一数”？并说明理由； (2)若四位正整数p是“三拖一数”，p的千位数字的2倍与个位数字的和等于9，百位数字与十位数字的和等于8，是有理数，求所有满足条件的p． 7．我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当，时： ∵ 又∵ ∴ ∴ 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ，此时 ； (2)若（），求y的最小值． 参考答案 【考点一 同类二次根式】 ( 典型例题 ) 例1.下列各式中，哪些是同类二次根式？ ，，，， 【答案】，，是同类二次根式；，是同类二次根式 【解析】 = ∴，，是同类二次根式；，是同类二次根式 例2.若最简二次根式与能合并为一个二次根求，求x的值。 【答案】x=3 【解析】∵两个最简二次根式可以合并 ∴这两个最简二次根式是同类二次根式 ∴x+3=2x 解得：x=3 ( 巩固练习 ) 1.【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解． 【解答】解：由题意，得： 1+2a＝3， 解得a＝1， 故选：D． 【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 2.【答案】B 【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式． 3.【分析】直接利用同类二次根式以及最简二次根式的定义化简得出答案． 【解答】解：∵2与最简二次根式﹣4是同类二次根式， ∴a+1＝3， 解得：a＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了同类二次根式以及最简二次根式的定义，正确把握相关定义是解题关键． 4.【答案】7 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式．根据同类二次根式的定义得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：7． 5.【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是同类二次根式的题目，求一个的平方根，算术平方根，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． （1）首先由二次根式被开方数为2，可知，据此求出的值；再根据同类二次根式的定义可得，将的值代入计算即可解答； （2）先求出，则，故可求5的平方根． 【详解】（1）解：根据同类二次根式的定义，得，解得． 又， 把代入解得． （2）解：， ∴， ∴5的平方根为：． ∴的平方根为． 6.【答案】x＝8，y＝6. 【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】解：由题意，得 3a﹣11＝19﹣2a， 解得　　　a＝6. 　　 所以　　　＋＝0. 因为　　≥0，≥0， 所以　　24－3x＝0，y－6＝0. 解得　    x＝8，y＝6. 【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握运算法则是解题关键. 7.【答案】1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴（a+b）a＝（0+2）0＝1； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键． 【考点二 二次根式的乘除法】 ( 典型例题 ) 例1.计算 【答案】 【解析】原式= = = 例2.化简： （1）； （2）÷× 【答案】（1） （2） 【解析】（1） === = （2）÷× = = = ( 巩固练习 ) 1.【答案】 【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计数法则是解题的关键． 2.【答案】2y2 【分析】根据二次根式有意义的条件和x的取值范围，确定y的取值范围，再根据二次根式的性质和乘除法的法则进行计算即可． 【详解】解：∵x＞0，，有意义， ∴y＞0， ∴原式 ＝ ＝2y2． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义条件，二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式的乘除混合运算的运算法则与运算顺序是解题的关键. 【考点三 二次根式的加减法】 ( 典型例题 ) 例1.计算：2 【答案】 【解析】原式=4 =（4） = 例2.计算： 【答案】（5+） 【解析】原式=5 =（5+） ( 巩固练习 ) 1.【答案】(1)； (2) 【分析】（1）首先化简二次根式，之后进行实数的加减运算即可； （2）首先化简二次根式、计算零次幂，去绝对值，最后进行实数加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【点睛】本题主要考查实数的运算，掌握二次根式的化简、零次幂运算、绝对值的性质是解题的关键． 2.【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的加减法法则，将各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类项可得； （2）根据二次根式的乘法法则、混合运算顺序，去括号，乘除后再加减可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算的运用能力．二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并．乘法法则：．二次根式的混合运算顺序：先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的．掌握二次根式的运算法则是解本题的关键． 【考点四 二次根式中的找规律】 ( 典型例题 ) 例1.【分析】由题意可知，每行5个数，数的被开方的规律是3n，由此可得是第29个数，进而判断是第6行的第4个数． 【详解】解：一组数据的排列变形为 ，，，，； ，，，，； ； 由题意可知，每行5个数， ∵87=3×29， ∴是第29个数， ∵…4， ∴是第6行的第4个数， ∴的位置记为， 故选：A． 例2.【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可； （2）根据（1）的结果进行拆项得出1++1++1+，求出答案即可． 【详解】（1）∵S1=1+ ，∴； ∵S2=1+，∴； ∵S3=1+，∴； ∵Sn=1+，∴； （2）解：S= = = = ( 巩固练习 ) 1.【答案】 【分析】根据题意得出相关规律，然后计算即可． 【详解】解：当n＝3时，， 当n＝4时，， 当n＝5时，， ∴当n＝n时，， ∴当n＝7时，， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次根式的计算及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键． 2.【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质等知识点．由题干中数据总结规律求得，再根据有理化因式计算即可． 【详解】解：第1个数据为， 第2个数据为， 第3个数据为， 第4个数据为， 则第10个数据为， ∴为， ∴与的积为有理数的是， 故选：D． 3.【分析】（1）观察前三个式子特点，找出规律即可解答； （2）利用（1）的规律解答即可； （3）利用（1）的规律解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ，…… ∴． 故答案为：； （2）解：原式= ． 故答案为：； （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， ∴， 经检验得是原方程的解． 故答案为：． 【考点五 与】 ( 典型例题 ) 例1.计算下列各题。 （1）= （2） （3） （4）= （2） （3） 【答案】见解析 【解析】（1）原式=2 （2）原式= （3）原式= （4）原式=0.5 （5）原式=18 （6）原式=－12 例2 化简 （1）= （2）= （3）= 【答案】见解析 【解析】在中，包含隐含条件a≥0 （1）原式=a－b （2）原式=－a+b （3）原式=－a－b 例3.下列等式正确的是： A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A.正确，； B错误，二次根式的结果一定是非负数，3 C错误，，而非 D错误，3 例4.化简：a+ 【答案】 【解析】原式=a+ =a+ 情况一：当a≥2时 原式=a+（a－2）=2a－2 情况二：当a＜2时 原式=a－（a－2）=2 综上得：原式= ( 巩固练习 ) 1.【分析】根据二次根式的性质得出a﹣3≤0，求出即可． 【解答】解：∵3﹣a， ∴a﹣3≤0， 解得：a≤3． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≤0时，a，当a≥0时，a． 2.【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的性质，由题意可得，，再由二次根式的性质和绝对值的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 3.【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值，解题的关键是掌握． 根据二次根式的性质得到，则有，根据绝对值的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：， 而， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4.【答案】D 【分析】根据，有意义可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，有意义， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出是解题的关键． 5.【答案】D 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D． 6.【答案】/ 【分析】本题考查利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴可得：，从而得到，，再利用二次根式的性质进行化简即可，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 解：由数轴可得：， ，， ， 故答案为：． 7.【分析】根据题意得到，，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可. 【详解】解：原式 ∵， ∴， ∴， ， ∴，， 原式 故答案为：． 8.【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，利用二次根式的性质化简，整式加减的应用等知识点，由三角形三边之间的关系得出，是解题的关键． 首先由三角形三边之间的关系得出，，然后化简二次根式，再进行整式的加减运算即可得出答案． 【详解】解：∵a、b、c分别是三角形三边的长， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 9.【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由实数在数轴上对应点的位置确定的符号以及绝对值的大小，进而确定的符号，根据绝对值以及二次根式的化简方法进行计算即可； （2）根据绝对值、算术平方根的非负性求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：由实数在数轴上对应点的位置可知，，且， ， ． （2）解：， ， ∴， ． 10.【答案】(1)小亮 (2)， 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误； （2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下： ， ． ． 小亮的解答过程是错误的． （2）解：， ， ∴ ． 原式． 【考点六 化简求值问题】 ( 典型例题 ) 例1.已知x，y满足x+y=－2，xy=，求的值。 【答案】2 【解析】因为x+y＜0，xy＞0 所以x＜0，y＜0 原式= = = = =2 例2.求的值。 【答案】－2 【解析】原式= =2－ =－2 例3.求的值。 【答案】 【解析】设x= 则=2 因为x＞0 所以x= ( 巩固练习 ) 1.【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先根据已知条件，求出和的值，再把所求代数式分解因式，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 2.【分析】根据完全平方公式将所求式子变形，然后将x的值代入，即可解答本题． 【解答】解：∵x1， ∴x2﹣2x+1 ＝（x﹣1）2 ＝（1﹣1）2 ＝（）2 ＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查二次根式的化简求值、完全平方公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 3.【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故答案为：． 4.【答案】4 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求值，二次根式的加减乘法运算，求解代数式的值，先将代数式变形成，再代入m求值即可． 【详解】解：∵，， ， ． 故答案为：4． 5.【分析】根据a，b，c的值求得p，然后将其代入三角形的面积S求值即可． 【解答】解：由a＝4，b＝5，c＝7，得p8． 所以三角形的面积S4． 故答案是：4． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大． 6.（1）计算 【答案】30－12 【解析】原式= =12－12+18 =30－12 （2）计算（）（） 【答案】－1+2 【解析】原式=[][（] = = =2+2+3－6 =－1+2 7.已知a=3+，b=3－2，求的值。 【答案】4 【解析】 =ab（a－b） =（3+）（3－）[（3+）－（3－）] =（9－8）×4 4 8.已知x=，y=，求3的值。 【答案】28 【解析】3 =3（）－2xy =3（）－6xy－2xy =3－8xy =3－8（）（） =3×12－8 =28 9.【分析】先根据所给的式子进行因式分解求出，然后代入所求式子进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，可以得到所求式子无意义，应该舍去， ∴， ∴， ∴ ∴． 10.【分析】（1）（2）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解； （3）将a分母有理化得a1，移项并平方得到a2﹣2a＝1，变形后代入求值． 【解答】解：（1）； （2）原式（） （1）， ； （3）∵， ∴a﹣1， ∴a2﹣2a+1＝2， ∴a2﹣2a＝1， ① （a2﹣2a）﹣1 ； ②2a2﹣5a2+1 ＝﹣3a2+1 ＝﹣31 ＝﹣3（2+21）+1 ＝﹣9﹣61 ＝﹣8． 【点评】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，变形各式后利用a2﹣2a＝1，是解决本题的关键． 11.【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求出，然后两边平方后求出，求出，再代入求出答案即可； （2）根据求出，再两边平方求出，求出，再变形后代入，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， 两边平方得：， 即， ， ； （2）解：， ， ， 两边平方，得， 即， ， 即， ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减，解题的关键是能够整体代入． 【考点七 比较大小】 ( 典型例题 ) 例1.比较1与2-的大小 【答案】1＞2 【解析】因为1－（2－）= 所以1＞2 例2.设a=3，b=2，c=4，比较a，b，c的大小。 【答案】a＞c＞b 【解析】，，16 因为18＞16＞12 所以a＞c＞b 例3. 设a＞b＞c＞d＞0，且x=+，y=+，z=+，比较x，y，z的大小。 【答案】x＞y＞z 【解析】x－y =+－（+） =（）（） 因为a＞b＞c＞d＞0 所以x－y＞0，所以x＞y y－z =++ =（）（） 因为a＞b＞c＞d＞0 所以y－z＞0，所以y＞z 所以x＞y＞z ( 巩固练习 ) 1.【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 2.【答案】B 【分析】本题主要考查了分母有理数化，先把分母有理数化即可得出答案. 【详解】解：。 ∵， ∴， 故选：B. 3.【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论． （1）根据题干中“平方法”比较实数大小； （2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小； （3）根据题干中“平方法”找出，，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解： ， 当时，即， ， 当时，即， ， 综上，的值为或， 故答案为：或． 4.【答案】（1），，；（2）；（3）40米 【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可； （2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想；比较大小，可以作差，根据完全平方公式进行计算，问题得证； （3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a＋2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：＞，＞，＝． （2）理由如下： 当m≥0，n≥0时， ∵ ∴ ∴ ∴ （3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200， 根据（2）的结论可得：． ∴篱笆至少需要40米． 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证． 【考点八 二次根式中的新定义】 ( 典型例题 ) 例1．【分析】（1）根据题目中的例子分别确定它们有理化因式即可； （2）先对分母进行有理化，然后再合并同类项即可； （3）先分别求出进行分母有理化，然后进行比较，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵ ∴的有理化因式是； ∴． 故答案为；． （2）解： ． （3）解：，理由如下： ∵ ∴． 例2．【分析】（1）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘（），计算后即可得出结论； （2）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘（），计算后即可得出结论； （3）根据（2）的结论即可得出（1）+（）+（2）+…+（10），由此即可算出结论． 【解答】解：（1）； （2）； （3）（1）+（）+（2）+…+（10）＝10﹣1＝9． 【点评】本题考查了分母有理化，根据给定算式找出利用平方差公式寻找有理化因式是解题的关键． ( 巩固练习 ) 1.【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，根据题中的新定义正确列式计算是解题的关键． 根据新定义分别求出和，然后利用平方差公式结合二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2.【答案】C 【分析】分m≤3、m＞3两种情况，根据新定义和3∗m＝36列出方程求解可得． 【详解】解：①若m≤3，则32×m＝36， 解得m＝4＞3（舍）； ②若m＞3，则3m2＝36， 解得m＝±， ∵m＝﹣＜3， ∴m＝， 故选：C． 【点睛】此题主要考查新定义法则运算，正确理解新定义运算法则是解题关键． 3.【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，绝对值的几何意义，二次根式的计算，正确理解题意是解题的关键．根据“直角距离”的定义进行求解即可得出，的“直角距离”；设点Q的坐标为，根据题意得到P，Q的“直角距离”为，据此即可得出，的“直角距离”的最小值． 【详解】解：∵，， ∴，的“直角距离”为 设点Q的坐标为， ∴，的“直角距离”为， ∴当时，， 当时，； 当时，； ∴综上所述，的最小值即为， ∴，的“直角距离”的最小值为， 故答案为：，． 4.【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键． （1）将7分成，利用完全平方公式即可求出结论； （2）由（1）可得，整理得，再将12分成，利用完全平方公式即可求出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5.【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化． （1）根据阅读材料的方法进行求解即可； （2）分母有理化即可得答案； （3）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 故答案为：2； （2）解：原式， 故答案为：； （3）原式 ， ． 6.【答案】(1)124是“三拖一数”，1838不是“三拖一数”，理由见解析． (2)所有满足条件的p的值为1717、4081、4531． 【分析】(1)根据“三拖一数”的定义即可一一判定； (2) 任意四位正整数p，设p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d，则p=1000a+100b+10c+d，根据题意可知：2a+d=9，b+c=8，化简整理可得p=4500+99b+9c-498d+b+cd，若p为“三拖一数”，则b+cd必须为“三拖一数”，可设b+cd=3k+1（且k为整数），则k=，分类讨论可确定d=7、a=1或d=1、a=4，再根据是有理数，则是有理数的完全平方数，列出情况分类讨论即可确定满足条件的p． 【详解】（1）解：124是“三拖一数”，1838不是“三拖一数” 理由如下： 124是“三拖一数” 1838不是“三拖一数” （2）解：任意四位正整数p，设p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d，则p=1000a+100b+10c+d， 根据题意可知：2a+d=9，b+c=8 p是“三拖一数”且能被3整除， 是“三拖一数”， 设（且k为整数）， ， 当时 ，，， 当时 ，，（舍）， 当时 ，，， 因为有理数，则是有理数的完全平方数， ， 当，， ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=； ，时，=（舍）； 当，， ，时，=； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； 综上，所有满足条件的p的值为1717、4081、4531． 【点睛】本题考查了新定义运算，列代数式，二次根式的求值问题，应用了分类讨论的思想，理解题意，逐条件分析是解决本题的关键． 7.【答案】(1)4， (2)y的最小值为 【分析】本题主要考查了二次根式和完全平方公式的应用， 对于（1），根据题意可得，再根据题意求出x的值即可； 对于（2），将原式整理为，再结合已知条件可得，接下来可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知， 即． 当时，， 解得时，的最小值是4； 故答案为：4，； （2）解：∵ ， ∴． ∵， ∴． ∵当，时：， ∴， ∴， 即． 所以y的最小值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$