第12章 二次根式单元梳理 讲义 2024-2025学年苏科版八年级数学下册

专题6 二次根式单元梳理 【知识点一】二次根式 1.二次根式的概念： 1）二次根式：形如（a≥0）叫做二次根式 注：①表示的是算术平方根 ②二次根式表示的是一个式子，而平方根表示的是一种运算 ③“”中的“2”可以省略，“”表示三次根式，不可省略 2.二次根式有意义的条件： 1）二次根式（）有意义的条件：被开方数（式）为非负数（a≥0） ∵x2=a ∴ 又∵x2≥0 ∴要有意义，则被开方数a≥0 注：①a仅是一个表示式，可为常数、单项式、多项式等整式 ②不一定无意义。当a≤0时，-a≥0，有意义。关键是看被开方数这个整体是否非负 3.二次根式的性质： 1）性质一：二次根式结果非负性，即≥0（a≥0） 2）性质二：非负数的算术平方根的平方等于它本身（性质三的特殊形式），即； =a 隐含条件：a大于等于0 3）性质三：= 性质三即性质二的一般形式，必须同时符合性质一（非负性） 注：①（）2与的区别 （）2隐含a≥0的条件，结果为a 中a可正可负，结果为 【典型例题】 例题1．若x、y为实数，且，求的值． 例题2.根据下列条件，求字母x的取值范围： 　　(1)； (2). 例题3.先阅读，后解答： （1）由根式的性质计算下列式子得： ①=3，②=，③=，④=5，⑤=0． 由上述计算，请写出的结果（a为任意实数）． （2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果： ①=　 　； ②化简：（x＜2）=　 ． （3）应用： 若+=3，则x的取值范围是　 　． 例题4.已知为三角形的三边， 则= ． 【巩固练习】 一.选择题 1.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( ) . 　A．x＞0 　　　B．x≥0 　　　C．x ≠ 0　　　 D．x≥0且x ≠ 1 2.使式子有意义的未知数x有( )个. 　　A．0　　　 B．1　　　 C．2 　　　D．无数 3.下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. 已知a,b,c在数轴上的位置如右图所示，则代数式 (　 ) . A. B. 　 C. D. 5.已知a、b都是实数，且b，化简•＋1的结果是（　　）. A．2 B．﹣2 C．1 D．3 6.将中的移到根号内，结果是（ ）. A． B. C. D. 7.当x_________时，式子没有意义. 8.若，则____________；若，则____. 9.已知，求的值为____________. 10.若，则化简的结果是__________. 11. 观察下列各式：，，,……请你探究其中规律,并将第　n(n≥1)个等式写出来________________. 12.已知0＜a＜1，化简=______________． 13. 已知，求的值. 14.先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如： ====|1+|=1+ 解决问题： 1 在括号内填上适当的数： ====|　 　|=　 　 2 根据上述思路，试将予以化简． 15. 已知a、b、c满足+|a﹣c+1|=+，求a+b+c的平方根． 16.问题探究： 　　因为，所以， 　　因为，所以 　　请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式： 　　（1）；（2）． 【知识点二】二次根式乘除法 1.乘法法则： （≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 注： (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根： 　　（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 注： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)与都是的算术平方根； (3)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面. 3.二次根式的除法法则： （≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 注： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0； (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 4.商的算术平方根：　 　（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 5.最简二次根式：　 （1）规定最简二次根式： ①被开方数不含能开方得尽方的因数（式子）。 ②分母中不含被开方数。 ③分母中含被开方数转化为整式。 （2）分母含有二次根式化简为最简二次根式步骤： ①分母、分子同乘（分母的二次根式） ②分母去掉二次根式，并观察分子的形式，看能否在开方 ③化简为最简二次根式 例题1.（1） ； （2）. 例题2.计算： (1)·(-)÷(m＞0，n＞0)； (2)-3÷()× (a＞0). 例题3. （x＞0，y＞0） 例题4.观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列得到第10个数据应是　 　（结果化为最简二次根式） 【巩固练习】 1.若（ ）. A．-1 B.1 C .2x-1 D.1-2x 2.已知m=+1，n=，则m和n的大小关系为（　　） A．m=n B．mn=1 C．m=﹣n D．mn=﹣1 3.下列计算正确的是（　　） A．=2 B．（）2=4 C．×= D．÷=3 4.把根号外的因式移到根号内，得（ ）． A． B． C． D． 5.设用含的式子表示，则下列表示正确的是（ ）. A. B. C. D. 6.若,那么的值是（ ）. A．1 B.-1 C. D. 7.计算___________,=_______________. 8. =________. 9.若互为相反数，则x=_____________. 10.已知=___________. 11.已知a=+，b=，则a与b的大小关系是a　 　b． 12.计算：=_______________________. 13.已知=，且x为偶数，求（1+x）的值． 14.若 15.若成立，化简. 16.化简： 17.已知，且x为偶数，求(1+x)的值． 18.若的整数部分是，小数部分是，求的值. 19.阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化． 解：原式==+ 运用以上方法解决问题： （1）将分母有理化； （2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“=”） 　 　 　 　（n≥2，且n为整数） （3）化简：+++…+． 【知识点三】二次根式加减法 1.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 注： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变. 注： (1)根号外面的因式就是这个根式的系数. (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. (3)合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，不是同类二次根式不能合并. 3.二次根式的加减 先将二次根式化简为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行相加减 (1)在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. (2)二次根式加减运算的步骤： ①将每个二次根式都化简成为最简二次根式； ②判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； ③合并同类二次根式. 4.二次根式混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 注： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【典型例题】 例题1. 如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么、的值是( ) . A.＝2，＝1 　B.＝1，＝2 C. ＝1，＝-1 　D. ＝1，＝1 例题2.计算：7a﹣4a2+7a． 例题3.计算：． 例题4.计算：已知求的值. 【巩固练习】 1.下列各式计算正确的是（　　） A．+= B．4﹣3=1 C．2×=6 D．÷=2 2. 与不是同类二次根式的是（ ）. 　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 3.若，则x的值等于（　　） 　A. 4 　　　B. 　　　C. 2　　　 D. 4. 下列各式中运算正确的是（ ）. A. B. C. D. 5.的运算结果是（ ）. A． 0 B. C. D. 6. 等腰三角形两边分别为和，那么这个三角形的周长是（ ）. A. B. C.或 D. 7.若最简二次根式与是同类二次根式，则. 8.与无法合并，这种说法是__________的（填“正确”或“错误”）. 9.设则的值是_________. 10.已知x1=+，x2=﹣，则x12+x22=　 ____　． 11.化简（﹣2）2015•（+2）2016=　　 ． 12.已知x＝，则的值等于____________. 13.化简：﹣a2+3a﹣． 14.若x，y为实数，且y=++．求﹣的值． 15．已知的整数部分为，小数部分为求的值. 【知识点四】复合二次根式化简 1.阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且， ． (1)填上适当的数：______； (2)当时，化简． 2.阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值． 3.阅读下列材料，解决问题： ①∵ ∴ ∴ ②∵ ∴ ∴ …… 由此可知，部分含有双重二次根式的式子可以运用以上方法进行化简． (1)化简：； (2)现有长度分别为，，的三条线段，以这三条线段的长为边能否构成三角形？请说明理由. 4．小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下 ＝ ＝ = (1)结合以上化简过程，请你动手尝试化简． (2)善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若 ，则 ，所以，若 ，且a，m，n为正整数，；求a，m，n的值． 【知识点五】找规律问题 1．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． （3）证明你的猜想． （4）应用运算规律． ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 2．探究过程：观察下列各式及其验证过程. （1）；（2） 验证：（1） ； （2） . (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：=___________； =___________； (2)通过上述探究你能猜测出： =___________（n>0），并验证你的结论． 3．观察下列各式： …………① …………② …………③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律___________（为正整数）； (2)计算___________； (3)如果，那么___________． 参考答案 【知识点一】二次根式 1.二次根式的概念： 1）二次根式：形如（a≥0）叫做二次根式 注：①表示的是算术平方根 ②二次根式表示的是一个式子，而平方根表示的是一种运算 ③“”中的“2”可以省略，“”表示三次根式，不可省略 2.二次根式有意义的条件： 1）二次根式（）有意义的条件：被开方数（式）为非负数（a≥0） ∵x2=a ∴ 又∵x2≥0 ∴要有意义，则被开方数a≥0 注：①a仅是一个表示式，可为常数、单项式、多项式等整式 ②不一定无意义。当a≤0时，-a≥0，有意义。关键是看被开方数这个整体是否非负 3.二次根式的性质： 1）性质一：二次根式结果非负性，即≥0（a≥0） 2）性质二：非负数的算术平方根的平方等于它本身（性质三的特殊形式），即； =a 隐含条件：a大于等于0 3）性质三：= 性质三即性质二的一般形式，必须同时符合性质一（非负性） 注：①（）2与的区别 （）2隐含a≥0的条件，结果为a 中a可正可负，结果为 【典型例题】 1．若x、y为实数，且，求的值． 【答案与解析】∵y=， ∴x2﹣4=0，x+2≠0， 解得：x=2， ∴y=， ∴． 【总结升华】主要考查了二次根式有意义的条件，得出x，y的值是解题关键． 2.根据下列条件，求字母x的取值范围： 　　(1)； (2). 【答案与解析】 解：(1) (2) 3.先阅读，后解答： （1）由根式的性质计算下列式子得： ①=3，②=，③=，④=5，⑤=0． 由上述计算，请写出的结果（a为任意实数）． （2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果： ①=　 　； ②化简：（x＜2）=　 ． （3）应用： 若+=3，则x的取值范围是　 　． 【思路点拨】（1）将a分为正数、0、负数三种情况得出结果； （2）①当a=3，14﹣π＜0时，根据（1）中的结论可知，得其相反数﹣a，即得π﹣3.14； ②先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果； （3）根据（1）式得：+=|x﹣5|+|x﹣8|，然后分三种情况讨论：①当x＜5时，②当5≤x≤8时，③当x＞8时，分别计算，哪一个结果为3，哪一个就是它的取值． 【答案与解析】 解：（1）=|a|=； （2）①=|3.14﹣π|=π﹣3.14， ②（x＜2）， =， =|x﹣2|， ∵x＜2， ∴x﹣2＜0， ∴=2﹣x； 故答案为：①π﹣3.14，②2﹣x； （3）∵+=|x﹣5|+|x﹣8|， ①当x＜5时，x﹣5＜0，x﹣8＜0， 所以原式=5﹣x+8﹣x=13﹣2x． ②当5≤x≤8时，x﹣5≥0，x﹣8≤0． 所以原式=x﹣5+8﹣x=3， ③当x＞8时，x﹣5＞0，x﹣8＞0， 所以原式=x﹣5+x﹣8=2x﹣13． ∵+=3， 所以x的取值范围是5≤x≤8， 故答案为：5≤x≤8． 【总结升华】本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：①（）2=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）；②=|a|=；尤其是第2个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第（3）小题，要分情况进行讨论． 4.已知为三角形的三边， 则= ． 【思路点拨】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边． 【答案】 【解析】为三角形的三边, 即原式== 【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质. 【巩固练习】 一.选择题 1.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( ) . 　A．x＞0 　　　B．x≥0 　　　C．x ≠ 0　　　 D．x≥0且x ≠ 1 2.使式子有意义的未知数x有( )个. 　　A．0　　　 B．1　　　 C．2 　　　D．无数 3.下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. 已知a,b,c在数轴上的位置如右图所示，则代数式 (　 ) . A. B. 　 C. D. 5.已知a、b都是实数，且b，化简•＋1的结果是（　　）. A．2 B．﹣2 C．1 D．3 6.将中的移到根号内，结果是（ ）. A． B. C. D. 7.当x_________时，式子没有意义. 8.若，则____________；若，则____. 9.已知，求的值为____________. 10.若，则化简的结果是__________. 11. 观察下列各式：，，,……请你探究其中规律,并将第　n(n≥1)个等式写出来________________. 12.已知0＜a＜1，化简=______________． 13. 已知，求的值. 14.先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如： ====|1+|=1+ 解决问题： 3 在括号内填上适当的数： ====|　 　|=　 　 4 根据上述思路，试将予以化简． 16. 已知a、b、c满足+|a﹣c+1|=+，求a+b+c的平方根． 16.问题探究： 　　因为，所以， 　　因为，所以 　　请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式： 　　（1）；（2）． 参考答案： 1．【答案】D. 【解析】由二次根式和分式的性质可知：被开方数要大于等于0，分母不等于0，即x≥0，，所以选D. 2．【答案】B. 3．【答案】A. 【解析】解：①是二次根式，②只有x≥0时是二次根式， ③只有x≥0时是二次根式，④不是二次根式，⑤，不是二次根式，故二次根式的个数共有①，一共有1个． 故选：A． 4．【答案】D. 5．【答案】D. 【解析】 ∵与有意义，∴，∴a=2， ∴b＞1，∴1﹣b＜0， ∴原式=•+1=•（b﹣1）+1=2+1=3．故选D． 6．【答案】B. 二、填空题 7.【答案】或x<1. 【解析】因为x-1≥0才有意义，所以x<1时无意义；因为，所以，即无意义时x=10. 8.【答案】m≤0；≥. 9.【答案】. 【解析】 即 ，即原式=. 10.【答案】3 【解析】因为原式==. 11．【答案】 12．【答案】2； 【解析】∵0＜a＜1，∴＜， ∴原式=﹣ =﹣=﹣（）=2． 三、解答题 13.【答案与解析】 解：因为， 所以2x-1≥0,1-2x≥0，即x=，y=， 则. 14.【答案与解析】 解：① = = = =|3+| =3+， 故答案为：3，，3+，，3+； ② = = =|5﹣| =5﹣． 15.【答案与解析】 解：由题意得，b﹣c≥0且c﹣b≥0， 　　∴b≥c且c≥b， 　　∴b=c， 　　∴等式可变为+|a﹣b+1|=0， 　　由非负数的性质得，， 　　解得， 　　∴c=2， 　　a+b+c=1+2+2=5， 　　∴a+b+c的平方根是±． 【知识点二】二次根式乘除法 1.乘法法则： （≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 注： (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根： 　　（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 注： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)与都是的算术平方根； (3)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面. 3.二次根式的除法法则： （≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 注： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0； (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 4.商的算术平方根：　 　（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 5.最简二次根式：　 （1）规定最简二次根式： ①被开方数不含能开方得尽方的因数（式子）。 ②分母中不含被开方数。 ③分母中含被开方数转化为整式。 （2）分母含有二次根式化简为最简二次根式步骤： ①分母、分子同乘（分母的二次根式） ②分母去掉二次根式，并观察分子的形式，看能否在开方 ③化简为最简二次根式 1.（1） ； （2）. 【答案与解析】 解：（1）原式＝ ＝. (2)原式＝. 【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简. 2.计算： (1)·(-)÷(m＞0，n＞0)； (2)-3÷()× (a＞0). 【思路点拨】复杂的二次根式计算，要注意在化简过程中运用幂的乘除运算和因式分解运算. 【答案与解析】 解：(1)原式＝-÷＝-＝＝-； (2)原式＝-2＝-2＝-a. 【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练. 3. （x＞0，y＞0） 【思路点拨】根据二次根式的乘除法把根号外的相乘除，根号里的相乘除再化简即可． 【答案与解析】 解：原式=﹣ =﹣， ∵x＞0，y＞0， ∴原式=﹣=﹣3xy． 【总结升华】本题主要考查了最简二次根式及二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4.观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列得到第10个数据应是　 　（结果化为最简二次根式） 【思路点拨】根据观察，可发现规律：（﹣1）n+1，根据规律，可得答案． 【答案与解析】 解：由规律：（﹣1）n+1，得第10个数据为：（﹣1）11=-=﹣3， 故答案为：﹣3． 【总结升华】本题考查了最简二次根式，观察数据发现规律是解题关键． 【巩固练习】 1.若（ ）. A．-1 B.1 C .2x-1 D.1-2x 2.已知m=+1，n=，则m和n的大小关系为（　　） A．m=n B．mn=1 C．m=﹣n D．mn=﹣1 3.下列计算正确的是（　　） A．=2 B．（）2=4 C．×= D．÷=3 4.把根号外的因式移到根号内，得（ ）． A． B． C． D． 5.设用含的式子表示，则下列表示正确的是（ ）. A. B. C. D. 6.若,那么的值是（ ）. A．1 B.-1 C. D. 7.计算___________,=_______________. 8. =________. 9.若互为相反数，则x=_____________. 10.已知=___________. 11.已知a=+，b=，则a与b的大小关系是a　 　b． 12.计算：=_______________________. 13.已知=，且x为偶数，求（1+x）的值． 14.若 15.若成立，化简. 16.化简： 17.已知，且x为偶数，求(1+x)的值． 18.若的整数部分是，小数部分是，求的值. 19.阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化． 解：原式==+ 运用以上方法解决问题： （1）将分母有理化； （2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“=”） 　 　 　 　（n≥2，且n为整数） （3）化简：+++…+． 参考答案： 1．【答案】 A 【解析】 所以选A. 2．【答案】A 【解析】解：因为n==，m=+1，所以m=n； 又因为mn==4 所以mn≠1，mn≠﹣1，所以选项B、D错误． 故选：A． 3．【答案】C 【解析】解：A、=4，故此选项错误； B、（）2=2，故此选项错误； C、×=，此选项正确， D、÷=，故此选项错误； 故选：C． 4．【答案】C 5．【答案】A 【解析】因为 =. 6．【答案】D 【解析】 . 则， 则=. 7．【答案】 8．【答案】-6 9．【答案】0 【解析】因为互为相反数，所以 则. 10.【答案】1 【解析】= . 11．【答案】=； 【解析】解：∵b===， 又a=+， ∴a=b． 故答案为：=． 12．【答案】 【解析】 =＝. 13.【解析】 解：∵=， ∴6＜x≤9， ∵x为偶数， ∴x=8， 则（1+x） =（1+x） = = =6． 14.【解析】 解：因为， 所以,. 所以 ＝. 15【解析】 解：∵ 成立， ∴. 即. 则 = = =7+ . 16【解析】 解：原式＝ ＝ 17【解析】 解：由题意得，即, ∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x＝8 . ∴原式＝(1+x)＝(1+x)＝(1+x)＝ . ∴当x＝8时，原式的值＝＝6． 18【解析】 解：. 又因为整数部分是，小数部分是， 则＝13，＝. ＝. 19【解析】 解：（1）= = =2﹣； （2）∵=+，=+， 又＜， ∴＜， ∵=+，=+， ∴＜， 故答案为：＜，＜； （3）原式=++…+ =﹣1+﹣+﹣+…+﹣ =﹣1. 【知识点三】二次根式加减法 1.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 注： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变. 注： (1)根号外面的因式就是这个根式的系数. (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. (3)合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，不是同类二次根式不能合并. 3.二次根式的加减 先将二次根式化简为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行相加减 (1)在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. (2)二次根式加减运算的步骤： ①将每个二次根式都化简成为最简二次根式； ②判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； ③合并同类二次根式. 4.二次根式混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 注： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【典型例题】 1. 如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么、的值是( ) . A.＝2，＝1 　B.＝1，＝2 C. ＝1，＝-1 　D. ＝1，＝1 【思路点拨】同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此. 【答案】选D 【解析】根据题意，得 解之，得，故选D. 【总结升华】判断是否是同类二次根式，一定要是最简二次根式，否则就要先化简再判断. 2.计算：7a﹣4a2+7a． 【思路点拨】先进行二次根式的化简，再进行同类二次根式的合并即可． 【答案与解析】 解：原式=14a﹣a+7a =20a． 【总结升华】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简和同类二次根式的合并． 3.计算：． 【思路点拨】二次根式的混合运算最好是先将每个因式化简，再合并. 【答案与解析】解：原式=﹣+2 =4﹣+2 =4+． 【总结升华】先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算． 4.计算：已知求的值. 【答案与解析】 解： ， 又因为所以， ，即， 即原式＝. 【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就会很简便. 【巩固练习】 1.下列各式计算正确的是（　　） A．+= B．4﹣3=1 C．2×=6 D．÷=2 2. 与不是同类二次根式的是（ ）. 　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 3.若，则x的值等于（　　） 　A. 4 　　　B. 　　　C. 2　　　 D. 4. 下列各式中运算正确的是（ ）. A. B. C. D. 5.的运算结果是（ ）. A． 0 B. C. D. 6. 等腰三角形两边分别为和，那么这个三角形的周长是（ ）. A. B. C.或 D. 7.若最简二次根式与是同类二次根式，则. 8.与无法合并，这种说法是__________的（填“正确”或“错误”）. 9.设则的值是_________. 10.已知x1=+，x2=﹣，则x12+x22=　 ____　． 11.化简（﹣2）2015•（+2）2016=　　 ． 12.已知x＝，则的值等于____________. 13.化简：﹣a2+3a﹣． 14.若x，y为实数，且y=++． 求﹣的值． 15．已知的整数部分为，小数部分为求的值. 参考答案： 1．【答案】D 【解析】解：A、原式不能合并，错误； B、原式=，错误； C、原式=6×3=18，错误； D、原式===2，正确， 故选D. 2．【答案】A 3．【答案】C 【解析】先化简再解方程，原式=，即，.故选C． 4．【答案】A 5.【答案】B 【解析】注意运算技巧. 原式=== 6．【答案】B 【解析】注意:分类讨论腰分别是和两种情况,但是当腰为时， ， 所以这种情况不存在，只有腰为一种情况，即. 7.【答案】1；1 【解析】，所以 8.【答案】错误 9.【答案】 10.【答案】10 【解析】∵x1=+，x2=﹣， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2 =（++﹣）2﹣2（+）×（﹣） =12﹣2 =10． 11.【答案】+2． 【解析】解：原式=[（﹣2）（+2）]2015•（+2） =（5﹣4）2015•（+2） =+2． 故答案为+2． 12.【答案】4 【解析】化简x＝，得， ，代入原式=4. 13.【答案与解析】 解：﹣a2+3a﹣ = =﹣7． 14.【答案与解析】 解：由二次根式的有意义，得， 解得x=，故y=， ∴原式=﹣ =﹣ =． 15.【答案与解析】 解：因为的整数部分为，小数部分为 所以，. 原式==,代入后原式=. 【知识点四】复合二次根式化简 1：【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将x写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：，，； （2）， ， ， ， ， ． 2.【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （2）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （3）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴，则． 【点睛】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． 3.【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】（1）根据例题以及二次根式的性质，进行计算即可求解； （2）先化简双重二次根式，然后根据三角形三边关系即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）能，理由如下， ∵ ∴ ∵， ∵ ∴ ∵ ∴ 即 ∴长度分别为，，的三条线段，以这三条线段的长为边能构成三角形 【点睛】本题考查了二次根式的应用，三角形三边关系定理，掌握二次根式的运算法则、完全平方公式以及三角形三边关系定理是解题的关键． 4.【分析】（1）根据阅读材料和完全平方公式以及二次根式的性质解答； （2）先将展开，然后与对边得到、，再根据确定m、n的值，进而求得a的值． 【详解】（1）解： = =． （2）解：∵ ∴， ∵ ∴，，． 【知识点五】找规律问题 1.【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）①；② 【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5； （2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想； （3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题； （4）①②根据（2）中的规律即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案是：； （2）， 故答案是：； （3）证明： 左边， 又右边， 左边右边， 成立； （4）①， 故答案是：； ②， 根据， 得， 解得：，（舍去）， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题． 2.【答案】(1)， (2)，验证过程见解析 【分析】（1）按照题干中两个等式及其验证过程的基本思路，猜想即可； （2）先猜测出结果，再按照原题写出验证过程即可. 【详解】（1）解：按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想，，验证如下： ， ； 故答案为：， （2）通过上述探究你能猜测出， 验证如下： . 故答案为：； 【点睛】此题是二次根式运算的规律性题目，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键. 3.【分析】（1）观察前三个式子特点，找出规律即可解答； （2）利用（1）的规律解答即可； （3）利用（1）的规律解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ，…… ∴． 故答案为：； （2）解：原式= ． 故答案为：； （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， ∴， 经检验得是原方程的解． 故答案为：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$