第13讲 用一元一次方程解决问题（讲义，苏科版江苏专用）数学小升初衔接

第13讲 用一元一次方程解决问题 预习目标 知识回顾 1. 读懂实际问题，找出题目中的等量关系，学会设未知数。 2. 掌握列一元一次方程解应用题的基本步骤，尝试简单列式。 3. 能检验方程解是否符合题意，体会方程解决实际问题的便捷。 1. 熟记一元一次方程定义，熟练运用等式性质解方程。 2. 复习各类基础数量关系，理清和差、倍数等文字关系。 3. 巩固整式运算、移项、去括号，保证解方程计算准确。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考 1】同学们，苹果每斤5元，买若干斤花费30元，只用算术法如何列式计算购买斤数？ 【思考 2】同学们， 如果设购买斤数为x，你能找出题目里相等的数量关系，写出方程吗？ 【思考3】同学们，对比算术解法和方程解法，哪种更容易理清复杂数量关系？ 知识点01 一元一次方程的应用 列方程解应用题的步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 1．市中区某小学今年六年级毕业学生450人，比去年多了，该小学去年毕业学生多少人？设去年毕业学生人，下面方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等量关系“去年毕业的学生今年毕业的学生”即可列方程． 【详解】解：设去年毕业学生人，列方程为：． 2．张叔叔运送了250件瓷器，规定完整运一个到目的地可以得到运送费20元，损坏一个赔偿100元，运完这批瓷器，张叔叔共得到运费4160元，张叔叔在运输过程中，完整运送了( )件瓷器，损坏了( )件瓷器． 【答案】 243 7 【分析】设损坏了x件瓷器，则完整运送了件瓷器，根据一共得到运费4160元建立方程求解即可． 【详解】解：设损坏了x件瓷器，则完整运送了件瓷器， 由题意得，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以张叔叔在运输过程中，完整运送了243件瓷器，损坏了7件瓷器． 3．某超市推出民生优惠活动，苹果原价每千克10元，香蕉原价每千克7元，活动期间，苹果按原价的8折销售，香蕉按原价的9折销售．七年级（1）班同学集体采购，购买苹果和香蕉共18千克，付款133.8元，购买苹果多少千克？ 【答案】购买苹果千克 【分析】设购买苹果千克，则购买香蕉千克，根据苹果和香蕉的采购单价、对应的折扣，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设购买苹果千克，则购买香蕉千克， 根据题意得：， 整理得：， ， 解得， 故购买苹果千克． 题型速练 题型01 配套问题 【例】（2026·四川成都·一模）某工厂承接甲、乙两种零件加工任务，已知加工1个甲种零件需耗材5元，加工1个乙种零件需耗材3元．若该工厂共加工甲、乙两种零件40个，且购买耗材总费用为170元，设加工甲种零件x个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据“总耗材费用=甲零件总耗材费用+乙零件总耗材费用”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设加工甲种零件个，甲乙两种零件共加工个， ∴加工乙种零件的个数为个． ∵加工个甲种零件需耗材元，加工个乙种零件需耗材元，总耗材费用为元， ∴甲零件总耗材为，乙零件总耗材为 ， 可得方程：． 变式1．（25-26七年级上·河南周口·期末）某车间有10名工人，平均每人每天可制作10个大花瓶或20个小饰品，已知1个大花瓶与2个小饰品配成一套，则要安排____________名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设安排x名工人制作大花瓶，则制作小饰品的工人数为名，根据配套关系，小饰品数量应是大花瓶数量的2倍，列出方程求解． 【详解】解：设安排名工人制作大花瓶，则制作小饰品的工人数为名， 由题意得， 解得， 故答案为：5． 变式2．（25-26六年级下·山东烟台·期中）某车间有10名工人，每人每天可以生产螺栓9个或螺母12个，设名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，要求每天生产的螺栓和螺母按刚好配套，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据题意设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，再根据螺栓与螺母配套的数量关系列方程即可． 【详解】解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 由题意得：． 变式3．（2026·吉林长春·模拟预测）小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．现有14张白板纸，为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套，请问需要用几张白板纸做盒身？ 【答案】需要用张白纸做盒身 【分析】设用x张白板纸做盒身，则张做盒盖，每张白板纸做2个盒身，则盒身总数量为个；每张白板纸做3个盒盖，则盒盖总数量为个，利用“一个盒身需要配两个盒盖”列出方程求解即可． 【详解】解：设用x张白板纸做盒身，则张做盒盖， 根据题意得：， 解得：， 答：需要用张白板纸做盒身． 题型02 工程问题 【例】（2026·河北石家庄·二模）现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用工作效率=工作总量工作时间，将水池总量看作单位“1”，求出甲、乙的进水效率，再根据合作效率列方程求解． 【详解】解：将注满水池的总工作量看作单位1， 甲进水管1小时注满水池，因此甲的进水效率为1； 乙进水管b小时注满水池，因此乙的进水效率为； 甲、乙两管同时打开，小时注满水池，根据“工作效率工作时间=工作总量”，可得方程： ， 对式子化简求解： ， ． 变式1．（25-26七年级下·重庆·期中）2026年沙坪坝半程马拉松暨第二届校友半程马拉松激情开跑，赛前志愿者们对参赛物资进行打包，其中一处打包点，物资如果由一个人完成打包需16小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，可完成这项工作的．假设每个人的工作效率相同，设先安排人工作，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将总工作量看作1，先得到单人工作效率，再分别计算两部分工作量，根据工作量之和等于总工作量列方程即可． 【详解】解：∵1人完成全部工作需要16小时， ∴1人1小时的工作效率为. 设先安排人工作， 则人先做1小时的工作量为 ， 增加1人后，人做2小时的工作量为 ， ∵两次工作量之和为总工作量的， ∴可得方程 ． 变式2．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． 【答案】3 【分析】本题为工程问题，将总工作量设为单位，根据各部分工作量之和等于总工作量，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两队合作了天．根据题意，甲一共工作天，乙一共工作天，总工作量为，列方程得： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得 答：在这个过程中，甲、乙两队合作了天． 变式3．（2026·安徽·模拟预测）为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作．若小辰单独完成全部标注，需要6小时；若小泽单独完成，需要3小时．工作时，小辰先单独做了一段时间，之后去协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完．从开始到完成全部任务，一共用了4小时．求小辰参与标注的时间是多少小时？ 【答案】2小时 【分析】设小辰参与标注的时间是x小时，依题意，列出一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：设小辰参与标注的时间是x小时，依题意，得 ， 解得， 答：小辰参与标注的时间是2小时． 题型03 销售盈亏问题 【例】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）某商店把一件商品按进价提高后标价，再打八折销售，售价为240元．设这件商品的进价为x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题关键是理清进价、标价、售价之间的关系，理解打折的含义，根据题意逐步表示出售价即可列出方程． 【详解】解：∵设这件商品的进价为元，商品按进价提高后标价， ∴标价为元， ∵再打八折销售，售价为元， ∴打八折后的售价为， 因此可列方程为． 变式1．（2026·山东临沂·二模）如图为贝可咖啡店的菜单，店家今日准备了120杯咖啡和100个三明治贩卖．若今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，则售出早餐组合的收入的范围是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】设卖出份早餐组合，则单独卖出咖啡杯，单独卖出三明治个，根据今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，列出方程求出的值，即可解答． 【详解】解：设卖出份早餐组合，则单独卖出咖啡杯，单独卖出三明治个， 根据题意，得， 解得， 则早餐组合的收入为（元）， 故售出早餐组合的收入的范围是． 变式2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）为响应环保倡议，某班级收集废旧饮料瓶并售卖，所得资金用于购买售价为3元/卷的环保垃圾袋．若除去运费20元后，剩余的钱恰好能买40卷环保垃圾袋，则资金总额为________元． 【答案】 【分析】本题先找出等量关系，资金总额减去运费等于购买卷环保垃圾袋的总费用，设未知数列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设资金总额为元. 根据题意列方程得 整理得 解得 ． 变式3．（2026·安徽合肥·二模）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满4杯按折销售．小明第一次买了A，B饮料各1杯；第二次买了3杯A饮料和4杯B饮料，A饮料x元/杯，B饮料y元/杯． (1)填表： A饮料 B饮料 实际支付金额（元） 第一次 1 1 ______ 第二次 3 4 ______ (2)如果两次放在一起购买，小明能少支付3元，求B饮料原价是多少？ 【答案】(1)， (2)B饮料原价是12元/杯 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一起买的支付金额，再列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 第一次实际支付金额为元， 第二次实际支付金额为元； （2）解：如果一起买，两次共购买了4杯A饮料，5杯B饮料， ∴实际支付金额为， ∴， 解得． 答：B饮料原价是12元/杯． 题型04 比赛积分问题 【例】（2026·贵州贵阳·一模）贵州榕江足球超级联赛简称“贵州村超”．在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队共踢了10场比赛，负了4场，共得了12分，那么这个足球队胜了（     ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 【答案】B 【分析】根据比赛总场数得到胜场和平场的总场数，再结合得分规则列方程求解即可． 【详解】解：∵ 球队共比赛10场，负了4场 ∴ 胜场和平场的总场数为 场 设该球队胜了场，则平了场 根据得分规则和总得分列方程得 化简得 解得 ∴ 该球队胜了3场． 变式1．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）足球比赛的计分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一个队共打了场比赛，负了场，得分，设该队共平场，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据总场次和负场数求出胜场数，再根据“胜场得分+平场得分=总得分”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设该队共平了场， ∵该队共进行场比赛，负了场， ∴该队胜的场次为 ， ∵胜一场得分，平一场得分，总得分是分， ∴胜场总得分是，平场总得分是， 根据总得分列方程得：． 变式2．（2026·陕西渭南·一模）第31个全国中小学生安全教育日的活动主题是：同守护  共成长．某校开展中小学生安全教育日知识竞赛活动，该竞赛一共有50道题目，安安每道题都做了且没有空题，已知他答对的题数比答错题数的5倍还多2题，则安安答对了______道题． 【答案】 42 【分析】设安安答错了道题，则答对了道题，根据总题数为50道建立等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设安安答错了道题，则答对了道题， 根据题意，得， 解得， 则答对题数为（题）． 变式3．（25-26七年级下·重庆南川·期中）某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； (3)不可能，见解析 【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1题的得分总分全答对的题数，再由乙同学的成绩就可以得出答错1题的得分； （2）设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分76分”建立方程求出其解即可； （3）假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分80分”建立方程求出其解即可判断． 【详解】（1）解：由题意，可得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分； （2）解：设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题， 由题意，得， 解得， ， 答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； （3）解：不可能．理由如下： 假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题， 由题意，得， 解得， ∵为整数，而不是整数， ∴参赛者小明说他得80分，是不可能的． 题型05 行程问题 【例】（2026·辽宁大连·一模）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）中有这样一个问题，“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设快马天可以追上慢马，根据快马追上慢马时，快马走的总路程等于慢马走的总路程列方程即可． 【详解】解：设快马天可以追上慢马， 由题意得，． 变式1．（2026·广东珠海·二模）为了提高身体素质，小健与小康相约跑步，小健每秒跑2.4米，小康每秒跑2.6米，两人在环形跑道上从同一处同时反向出发，当他们第一次相遇时小健比小康少跑16米，则环形跑道的周长为_____米． 【答案】400 【分析】先根据小健比小康少跑16米的路程差求出相遇时间，再利用反向出发第一次相遇时，两人路程和等于环形跑道周长计算周长. 【详解】解：设出发到第一次相遇的时间为秒. 根据题意列方程得 合并同类项，得 系数化为，得 反向出发第一次相遇时，两人路程和等于环形跑道周长，因此周长为： ， ∴环形跑道的周长为米. 变式2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）一辆汽车以每小时40千米的速度从甲地开往乙地，行了全程的后，又往前开了1小时，这时未行路程与已行路程的比是，甲、乙两地相距_____千米． 【答案】200 【分析】设出未知数，分别表示出已行路程与未行路程，再根据比例求解即可． 【详解】设全程为千米， 已行路程：，未行路程：， 由， 可得，解得， 故甲、乙两地相距200千米． 变式3．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出． (1)若相向而行，出发后多少小时相遇？ (2)若相背而行，多少小时后，两车相距800千米 【答案】(1)若相向而行，出发后3小时相遇． (2)若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 【分析】（1）设出发后x小时相遇，根据题意易得，然后进行求解即可； （2）设y小时后两车相距800千米，根据题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设出发后x小时相遇，根据题意得： ． 解得：； 答：若相向而行，出发后3小时相遇． （2）解：设y小时后两车相距800千米，根据题意得： ． 解得： 答：若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 题型06 梯度计费问题 【例】（25-26七年级上·全国·课后作业）某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设他家这个月共用天然气，先计算出用天然气的费用是150元，可知他家这个月用天然气超过，超过的部分所需费用为元，根据题意列出方程，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设他家这个月共用天然气， （元），且， 他家这个月用天然气超过， 根据题意得：， 解得， 答：他家这个月共用天然气， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解决本题的关键是正确地用代数式表示用天然气超过部分所需的费用． 变式1．（25-26八年级上·河南郑州·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准：某户去年一年的电费是1834元，则该户去年一年的用电量是（   ） 计费档 户年用电量 单价/[元/] 第一档 第二档 第三档 A．2800 B．3400 C．4400 D．5200 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，可推出该户去年一年的用电量在第二档，设该户去年一年的用电量是，分别表示出第一档和第二档的费用，二者的和为1834元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴该户去年一年的用电量在第二档， 设该户去年一年的用电量是， 由题意得，， 解得， ∴该户去年一年的用电量是， 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·天津·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； 【答案】 65 30 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，一元一次方程，能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程是解题的关键． （1）根据表格列式计算水费即可； （2）设用水量为立方米，通过比较水费判断用水量超过25立方米，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：（元）， 应缴纳水费65元． 故答案为：65； （2）当用水量为25立方米时，水费为元； ∵， ∴小红家3月份用水量超过25立方米， 设小红家3月份用水量为立方米，则水费为，即， 解得，即用水量为30立方米． 故答案为：． 变式3．（2026·河南安阳·二模）为了倡导节约用水，某市对居民用水实行阶梯水价，具体标准如下： 每户每月用水量不超过20吨的部分，按每吨元收费； 超过20吨但不超过30吨的部分，按每吨元收费； 超过30吨的部分，按每吨元收费． (1)小李家3月份用水28吨，应缴水费多少元？ (2)小李家4月份缴水费87元，求他家4月份用水多少吨？ 【答案】(1)78元 (2)吨 【分析】（1）因为已知用水量为28吨，先判断其处于哪个阶梯区间，再分别计算各区间内水量对应的费用，求和即可得到总水费． （2）先求出每月用水量不超过20吨时的最高水费，每月用水量不超过30吨时的最高水费 ，推出小李家用水量超过30吨．设用水量为x吨，根据阶梯计费规则列方程求解． 【详解】（1）解：（元）． 答：小李家3月份用水28吨，应缴水费78元． （2）解：当每月用水量不超过20吨，最高水费为（元）， 当每月用水量不超过30吨，最高水费 为（元）， ∵小李家4月份缴水费87元，， ∴小李家用水量超过30吨， 设小李家用水量为x吨， 则， 解得． 答：4月份用水吨． 题型07 方案选择问题 【例】（25-26七年级上·河北沧州·期末）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列方程并求解的方法是解题的关键． 先分别用含的代数式表示出两种购书方案的费用，再根据两种方案费用相等这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程求出的值． 【详解】解：设购买本图书时两种方案费用相等， ∵方案①的费用为元， 方案②的费用为元，即元， 又∵两种方案费用相等， ∴， 移项得， 即， 解得， 故选：A． 变式1．（25-26七年级上·山西晋中·期末）某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（    ） 团购优惠方案 ①全体打折 ②全场打九折，可以送10个道具 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，关键是分别表示出两种优惠方案的费用，再根据费用相等建立等式． 【详解】解：方案①：全体打折，每个道具原价元，人共需个道具，因此费用为； 方案②：全场打九折(即原价的倍)，且赠送个道具，因此只需购买个道具，费用为． 因为两种方案费用一样，所以可得方程：． 故选：C． 变式2．（25-26七年级上·全国·课后作业）学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有28人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空12个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有________辆汽车，共有________人春游． 【答案】 8 388 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的相等关系； 设有辆汽车，根据人数不变，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设有辆汽车，根据“若每辆汽车坐人，则有人没有座位”，可知学生总数为人， 根据“若每辆汽车坐人，则只有一辆车空个座位无人坐，其余车辆全部坐满”，可知学生总数为人， 因学生总数不变，可列方程：， 解得：， 学生总数为人， 故答案为：． 变式3．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 题型08 数字问题 【例】（2026·内蒙古通辽·二模）将整数1至2026按一定规律排列如下表所示： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（    ） A．2022 B．2024 C．2019 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查数字规律探究，解题核心是根据数表排列规律，设出方框中三个数的表达式，再结合数表限制条件分析和的可能取值． 【详解】解：设连续的三个数为，，， 则， 方框中三个数的和为3的倍数， B，D选项不符合题意， 不能为每一行第一个数和最后一个数， 除以7余数不能为0或1， ， ， C选项不符合题意． ， ， A选项符合题意． 变式1．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，在其中填入一些数，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等”列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 变式2．（25-26七年级下·重庆·自主招生）已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 【答案】33 【详解】解：设连续三个奇数按从小到大顺序为, 则由题意得， 解得， 故最大奇数为． 变式2．（25-26七年级下·全国·期末）小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能；13，21，23，25，33 【分析】（）设十字形框架中间的数为，再根据上下的数相差，左右的数相差，就可以求出个数之和； （）设十字形框架中间的数为，根据这五个数的和等于列方程，求出的值，即可判断． 【详解】（1）解：设十字形框架中间的数为，则另外个数分别为：，，，， ∴十字形框架中的五个数的和为； （2）解：能，理由： 设十字形框架中间的数为，则 ， 解得， 所以这五个数的和能等于115， 这五个数为13，21，23，25，33． 题型09 古代问题 【例】（2026·贵州贵阳·一模）《九章算术》“盈不足”章中有这样一个问题：“今有共买缣（jiān），人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、缣价各几何？”意思是：几个人打算合伙买缣（一种丝织品），如果每人出8钱，会多出3钱；如果每人出7钱，会少4钱．问合伙人数和缣的总价各是多少？设有x人合伙买缣，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等量关系是缣的总价不变，分别用表示出两种出钱方式下缣的总价，再令二者相等即可得到方程． 【详解】解：设有人合伙买缣， ∵每人出钱，多出钱， ∴缣的总价为 ． ∵每人出钱，还差钱， ∴缣的总价为 ． ∵总价相等， ∴可列方程 ． 变式1．（2026·河北廊坊·二模）汉代某里甲组织的里民共同出资购买耕牛以备春耕．商议出资数额时出现了两种情况：若每名里民出500钱，则筹得的钱数比买牛所需的钱数多400钱（盈四百）；若每名里民出400钱，则筹得的钱数比买牛所需的钱数少600钱（不足六百）．设参与买牛的里民共有人，则下列说法正确的是（     ） A．依题意可列方程，解得参与买牛的里民共有10人 B．依题意可列方程，解得参与买牛的里民共有10人 C．依题意可列方程，解得牛价为5400钱 D．依题意可列方程，解得牛价为4600钱 【答案】A 【分析】利用牛价不变作为等量关系，列方程求解即可，根据结果判断选项正误． 【详解】解：设参与买牛的里民共有人， 第一种情况：每人出500钱，总钱数比牛价多400，可得牛价为， 第二种情况：每人出400钱，总钱数比牛价少600，可得牛价为， ∴列方程得， 解得， 牛的价格为（钱）， 即只有A选项符合题意． 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）《九章算术》中有这样一道题，大意为：甲从长安出发，日到齐国，乙从齐国出发，日到长安，现乙先出发日，甲才从长安出发．则甲与乙相遇时，甲所走的天数为_________日． 【答案】 【分析】设甲与乙相遇时，甲所走的天数为日，则乙所走的天数为日，将总路程看作单位1，得到甲，乙的日行进速度，再列出方程并求解即可． 【详解】解：设甲与乙相遇时，甲所走的天数为日，则乙所走的天数为日， 根据题意可列方程：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， ∴甲与乙相遇时，甲所走的天数为日． 变式3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 【答案】8个 【详解】解：设有x个牧童， 依题意得：， 解得． 经检验，符合题意． 答：共有8个牧童． 基础过关 一、单选题 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的进价为（    ） A．240元 B．270元 C．250元 D．230元 【答案】C 【分析】抓住商品进价不变的特点，根据两种打折出售的盈亏情况建立方程，先求出原售价，再计算进价即可． 【详解】解：设该商品的原售价为元， ∵商品进价固定，按原售价七五折出售亏损25元，可得进价为元，按原售价九折出售盈利20元，可得进价为元， ∴列方程得：， 解得， 将代入，得进价为： （元）， 因此该商品的进价为250元． 2．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）学校组织八年级学生开展植树活动，若每人植树棵，还剩棵；若每人植树棵，还差棵，设参与植树的学生有人，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抓住树的总棵数不变，根据两种植树情况分别表示出总棵数，即可列出方程． 【详解】解：设参与植树的学生有人， 由题意得：． 3．（2026·辽宁丹东·二模）中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗，渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设来了x位客人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求出三种碗的数量，根据总碗数为65只列出方程即可． 【详解】解：∵设来了位客人， 又∵客人每两位合用一只饭碗， 饭碗总数为只； ∵每三位合用一只汤碗， 汤碗总数为只； ∵每四位合用一只肉碗， 肉碗总数为只； ∵总碗数是65只，即三种碗的数量和为65， 可列方程 ． 二、填空题 4．（2026·山西吕梁·二模）某款智能语音机器人的进价为320元，商店按进价提高后标价，为让利于顾客，销售时在标价的基础上给予一定的折扣优惠，若要使每台机器人的利润率为，则商店应按标价的________折销售． 【答案】八五 【分析】理清进价、标价、售价、利润率、折扣之间的等量关系，设未知数后根据等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设商店应按标价的折销售 根据题意，可得标价为 元 要使每台机器人的利润率为，则实际售价应为 元 根据售价与标价、折扣的关系列方程得 解得 即商店应按标价的八五折销售． 5．（2026八年级下·陕西西安·学业考试）2026年发布的中央一号文件主题是“锚定农业农村现代化，扎实推进乡村全面振兴”．桃源村积极响应政策，计划在“生态养殖”和“乡村民宿”两个项目上共投资210万元，其中“生态养殖”的投资金额比“乡村民宿”的投资金额多20万元，则该村的“乡村民宿”投资金额是_____万元． 【答案】95 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，先设出“乡村民宿”的投资金额为未知数，再根据总投资额的等量关系列出一元一次方程，求解即可得到结果; 【详解】解：设该村的“乡村民宿”投资金额是万元，则“生态养殖”的投资金额为万元， 根据题意列方程得： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 6．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一个水分子模型教具需要一个氧原子模型和两个氢原子模型组装配套，某工厂现有20名工人，每人每小时平均生产60个氧原子模型或80个氢原子模型．若使每小时生产出的氧原子模型和氢原子模型组装配套，则生产氧原子模型的工人有________名． 【答案】 【分析】根据配套要求确定氢原子模型与氧原子模型的数量关系，设未知数列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设生产氧原子模型的工人有名，则生产氢原子模型的工人有名． 根据组装配套要求，氢原子模型总数为氧原子模型总数的倍， 列方程得， 解得． 7．（2026九年级下·贵州毕节·学业考试）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有共买物，人出八钱，盈三钱；人出七钱，不足四钱，问：人数、物价各几何？其大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱，问有多少人？设有x人，根据题意，列出方程是________． 【答案】 【分析】分别用含的代数式表示出两种情况下的物价，根据物价不变即可列出方程． 【详解】解：设有人， 每人出8钱时，总出钱数为，多出3钱，因此物价为， 每人出7钱时，总出钱数为，缺少4钱，因此物价为， 因为物价固定不变，因此可得方程． 三、解答题 8．（25-26六年级下·山东烟台·期中）用方程的方法求解下面的问题： 已知两地相距420千米，一辆慢车从A地出发，每小时行驶60千米；一辆快车从B地出发，每小时行驶90千米． (1)若两车同时出发，相向而行，经过多长时间两车相遇？ (2)若两车同时出发，反向而行，经过多长时间两车相距560千米？ (3)若慢车出发1小时后快车从B地出发，两车同向而行，快车在慢车后面，那么快车追上慢车用了多长时间？ 【答案】(1)经过2.8小时两车相遇 (2)经过小时两车相距560千米 (3)快车追上慢车用了16小时 【分析】（1）设经过小时两车相遇， 由题意得，解方程即可得出答案． （2）设经过小时两车相距560千米，由题意得，解方程即可得出答案． （3）设快车追上慢车用了小时，由题意得，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设经过小时两车相遇，由题意得， 解得， 因此，经过2.8小时两车相遇； （2）解：设经过小时两车相距560千米， 由题意得， 解得， 因此，经过小时两车相距560千米； （3）解：设快车追上慢车用了小时， 由题意得， 解得， 因此，快车追上慢车用了16小时． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． (1)每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． (2)若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【答案】(1)180，120 (2)甲商场费用为元，乙商场费用为元 (3)到甲商场购买比较合算 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的等量关系列一元一次方程求解； （2）根据甲、乙商场各自的优惠方案，分别计算总费用，整理得到含的代数式； （3）将代入两个代数式求值，比较大小即可判断哪家更合算． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格是元，则每套队服的价格是元， 根据题意得， 解得， 则， 答：每套队服180元，每个篮球120元； （2）解：到甲商场购买，购买120套队服赠送 个篮球， 总费用为： 元； 到乙商场购买，队服超过80套，篮球打八折， 总费用为： 元； （3）解：将代入两个代数式， 甲商场费用： (元)， 乙商场费用： (元)， ， 到甲商场购买比较合算． 10．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）列方程（组）不等式（组）解应用题： 近年来，北京市大力推进新能源汽车充电基础设施建设．年，北京市发布了新修订的《电动汽车充电基础设施规划设计标准》．根据该标准，行政办公、学校、医院等公共建筑，直接建设充电设施的停车位比例应不低于总车位数的． 某三甲医院积极响应政策，计划与充电站经营企业合作，将地下停车场部分车位改建成充电车位．该医院地下停车场共有个停车位．根据医院规划，建设慢充桩与快充桩的数量比为． 充电桩的收费标准涉及电费和服务费两部分，实行“价费分离”政策．电费按一般工商业电价（约元/度）执行，由充电站经营企业代收代缴，不计入收入，服务费则由充电站经营企业按充电量向用户收取，作为主要收入来源．参考北京市场行情，两种充电桩的运营数据如下： 充电桩类型 单桩日均充电量（度） 收费标准（元/度） 慢充桩（） 快充桩（） 医院希望充电站每天的服务费收入恰好达到元，那么应当建设慢充桩和快充桩各多少台？ 【答案】应当建设慢充桩150台，快充桩50台 【分析】设建设快充桩x台，则建设慢充桩台，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设建设快充桩x台，则建设慢充桩台，根据题意可得： ， 解得：， ， 总充电车位为，占总车位的，符合题意， 答：应当建设慢充桩150台，快充桩50台． 能力提升 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·二模）《孙子算经》记载经典盈亏问题：若干农户均分粮食，若每人分6斗，剩余4斗；若每人分8斗，还差6斗．设一共有名农户，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题核心是抓住粮食总量不变，分别根据两种分粮情况表示出粮食总量，令二者相等即可得到符合题意的方程. 【详解】解：设一共有名农户，粮食总量固定不变. ∵每人分斗，剩余斗， ∴粮食总量为 ； ∵每人分斗，还差斗，说明现有粮食总量比少斗， ∴粮食总量为 ； ∵粮食总量相等， ∴得方程 . 2．（2026·湖北随州·一模）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（   ） A． B．4 C． D．1 【答案】C 【分析】根据三阶幻方每行、每列、每条对角线上三个数字之和相等的性质，先求出幻方的和，再依次计算出、的值，最后求的值． 【详解】解：∵三阶幻方中，对角线上三个数的和为， ∴每行、每列、每条对角线上三个数字之和均为． ∵第二行的和为：第二行第一个数， ∴第二行第一个数为：． ∵第一列的和为：第一行第一个数， ∴第一行第一个数为：． ∵第一行的和为：， ∴． ∵第三列的和为：， ∴． ∴． 3．（25-26六年级下·山东淄博·期中）如图，这是标准400米跑道，它由两条弯道（左侧，右侧）和两条直道，组成，每条弯道的长是115.6米，每条直道的长是84.4米．小斌站在C处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步．小斌每秒跑4米，小强每秒跑6米．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（    ） A．弯道上 B．直道上 C．弯道上 D．直道上 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程相关的行程问题．设t秒后，小强第一次追上小斌．根据题意列方程，解方程求得小强第一次追上小斌所用的时间，随后算出小斌的路程，再根据直道，弯道的路程，算出当小强第一次追上小斌时，他们所处的位置． 【详解】解：设t秒后，小强第一次追上小斌． 由题意得，， ∴， ∴小斌跑过的路程为：（米）， ∵小斌是从C点出发，逆时针出发， ∴第一段是弯道， 小斌跑完弯道后，还剩下的路程为：（米）， 接下来是直道，长度为84.4米， ∵， ∴小斌第一次被小强追上是在直道上． 二、填空题 4．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）一次校友聚会有50人参加，在参加聚会的同学中，每个男生认识的女生人数各不相同，而且恰好构成一串连续的自然数，最多的全认识，最少的也认识15个女生，那么这个聚会有______个男生参加． 【答案】 【分析】设男生有人，则女生人数为，个男生认识女生的人数构成从开始的连续自然数，最多的认识人数等于女生总人数，且最大连续自然数为，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个聚会有个男生，则女生人数为个， 根据题意列方程得， 解得， 则这个聚会有个男生参加． 5．（2026·陕西宝鸡·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“假田”租赁的问题．具体如下：今有田亩租赁，出租第一年亩收钱；第二年亩收钱；第三年亩收钱．三年共收得地租钱．问租赁田多少亩？若设租赁田亩，则可列方程为________． 【答案】 【分析】用含的代数式分别表示出第一年、第二年、第三年的地租，结合三年总地租为钱，即可列出方程 【详解】解：设租赁田亩，第一年亩收钱，可得亩的第一年地租为钱，第二年亩收钱，可得亩的第二年地租为钱，第三年亩收钱，可得亩的第三年地租为钱， 根据三年共收得地租钱，可得：． 6．（2026·福建泉州·二模）节约用水已成为每位公民的自觉行动．某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为元/；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按元/计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分按元/计算．已知小明家上月用水并没有超过，缴纳水费元．问的值为_____． 【答案】 【分析】先根据题目条件判断小明家水费符合第一、第二档的分段计价规则，再根据“总水费第一档水费第二档水费”的等量关系列出关于的一元一次方程，最后解方程得到的值． 【详解】解：∵小明家上月用水未超过， ∴水费仅涉及第一档和第二档计价： 第一档用水量为， 第二档用水量为， 结合总水费列一元一次方程：， 整理得：， 解得． 7．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）蓝天车队承包了某标段的材料运输任务，原计划用一批装载量为3吨的A型货车运输，恰好能一次性运完，实际运输时，更换为装载量比A型货车少1吨的B型货车，且车辆数量比原计划增加了2辆，恰好也能一次性运完，则这批材料的总重量为________吨． 【答案】12 【分析】设原计划用A型货车x辆，依题意列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解∶设原计划用A型货车x辆，依题意，得 解得 （吨）． 三、解答题 8．（2026·安徽合肥·三模）先锋水果店以25元/的价格批发一批优质车厘子进行销售，两周售完．第一周销售量为200，每天的售价相同．第二周的销售量比第一周增加了，每千克的售价比第一周降低了3元，第一周和第二周的销售总额相同，求先锋水果店销售完这批车厘子所获得的利润． 【答案】2700元 【分析】设第一周的售价为x元/，由题意列出一元一次方程并求解，进而确定第二周售价，然后计算销售完这批车厘子的总利润即可． 【详解】解：设第一周的售价为x元/，由题意得 ，解得， 第一周的售价为33元/，第二周售价为30元/， 则（元）， 答：销售完这批车厘子共获利润2700元． 9．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，用长度相等的木棍按一定规律拼成图案，其中第1个图案用了12根木棍拼成1个正六边形和2个正方形，第2个图案用了20根木棍拼成2个正六边形和3个正方形……    (1)第5个图案中用了44根木棍拼成了__________个正六边形和__________个正方形； (2)第个图案中用的木棍根数为__________（用含的代数式表示）； (3)如果现有木棍324根，求拼成的图案中正六边形的个数和正方形的个数． 【答案】(1)5；6 (2) (3)40个正六边形和41个正方形 【分析】根据图形，找到规律即可解答． 【详解】（1）解：第5个图案中用了44根木棍拼成了5个正六边形和6个正方形； （2）解：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， ……， 第个图案用了根木棍； （3）解：根据题意，得 ， 解得， 第40个图案中有40个正六边形和41个正方形． 10．（2026·湖南长沙·二模）为进一步提升城市形象，驱动消费，长沙某地准备开展音乐节活动．长沙文旅计划组织140名志愿者参与服务．志愿者分为引导组和物资组，其中引导组6人一组，物资组8人一组，总组数比引导组多10组． (1)求引导组和物资组各有多少人？ (2)本次活动需租用A、B两种型号车辆一次性接送，它们的载客量和租金如下表所示：若租用同一种型号车辆，使每位志愿者都有座位，应怎样租用才合算？ A型车辆 B型车辆 载客量（人/辆） 20 15 租金（元/辆） 200 150 【答案】(1)引导组60人，物资组80人 (2)租用7辆A型车 【分析】（1）设引导组有人，根据“引导组6人一组，物资组8人一组，总组数比引导组多10组”，列一元一次方程求解即可； （2）分别求出租用两种型号车辆的费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设引导组有人，物资组有人， 由题意得：， 解得：， 则（人）， 答：引导组60人，物资组80人 （2）解：若租用A型车辆，则需要租用（辆），费用为（元）， 若租用B型车辆，（辆），即需要租用辆，费用为（元）， 因为， 所以租用7辆A型车合算． 挑战一刻 一、单选题 1．（25-26六年级下·山东烟台·期中）某款衬衫的进价为100元，标价为125元，商场准备打折销售，但要保持利润率为，则这款衬衫应（    ） A．打九五折 B．打九折 C．打八五折 D．打八折 【答案】B 【分析】设这款衬衫应打折，根据利润售价进价进价利润率，售价标价折扣，建立方程求解即可． 【详解】解：设这款衬衫应打折， 由题意可得， 整理得， 解得， 因此这款衬衫应打九折． 2．（25-26六年级下·山东威海·期中）将直径为的圆钢截取一段长的部分，铸造出6个直径为的相同长度的圆柱形零件，则每个零件的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据铸造前后钢材总体积不变的原理，结合圆柱体积公式列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设每个圆柱形零件的长度为， 原圆钢直径为，故原圆钢半径为，长度为， 零件直径为，故单个零件半径为， ∵铸造前后钢材总体积不变，圆柱体积公式为 ， ∴原圆钢体积等于个零件的总体积，可得方程： ， 解得：， 即每个零件的长度为． 3．（25-26七年级下·山东淄博·期中）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面或者400条桌腿，现有12立方米的木材，设有x立方米木材制作桌面，问怎样用料才能制作尽可能多的桌子，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设有x立方米木材制作桌面，则有立方米木材制作桌腿， ∴制作的桌面有个，制作的桌腿有个， 根据一张桌子要用1个桌面和4条桌腿可得桌腿数量是桌面数量的4倍， ∴可列方程为． 4．（2026·山东聊城·模拟预测）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，书中有这样一题：以绳测井若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，求绳长、井深各几何？如图，如果设井深为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据绳子的长度不变，即可得出关于的一元一次方程，即可得解． 【详解】解：将绳三折测之，绳多四尺，即是，将绳四折测之，绳多一尺，即是，根据绳子的长度不变列方程， 故A选项符合题意． 二、填空题 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）某商场为庆祝开业，所有商品都进行打折销售，该商场某柜台将单价标为150元的衣服按7折出售仍可获得利润，该衣服每件的进价是_________元． 【答案】 【分析】设该衣服每件的进价是元，根据单价标为150元的衣服按7折出售仍可获得利润列一元一次方程求解即可． 【详解】解∶设该衣服每件的进价是元， 根据题意可得， 整理得， 解得， 答：该衣服每件的进价是元． 6．（2026·陕西·模拟预测）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一，奠定了中国古代数学的部分基础，其中记载了一道题，大意为：“今有墙高尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长尺．问经过多少日两蔓相逢？”其中尺寸．若设经过日两蔓相逢，根据题意，的值为___________． 【答案】 【分析】先统一长度单位，再根据两蔓生长的总长度等于墙高列出方程，求解即可． 【详解】解：寸尺， 设经过日两蔓相逢， 根据题意可得， 解得． 7．（25-26九年级下·北京·阶段检测）某新能源电池厂有55台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 20 丙类 8 70 20 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产________个电池； （2）若55台专用设备都在工作，则一天最多可生产________个电池． 【答案】 200 500 【分析】（1）设甲类设备台生产正极片，剩余生产负极片，根据正极片与负极片的配套关系列式，取整数验证得到最多生产电池数； （2）先三类设备的正极片与负极片的效率比，确定乙类和丙类设备在生产正极片上具有比较优势，故可安排乙、丙类设备全部生产正极片，再用甲类设备进行调节以实现零件数量匹配，即设台甲类设备生产正极片，其余生产负极片，通过列方程求解可得最大生产数量． 【详解】解：（1）甲类设备共台，设台生产正极片，则台生产负极片， 可得正极片数量为，负极片数量为 . 根据每片正极片搭配片负极片，得 解得， 当时，正极片数量为，负极片数量为 ， 可组装电池个，剩余负极片片． 当时，正极片数量为，负极片数量为 ， 仅可组装电池个，剩余正极片片． 因此只由甲类设备工作，一天最多生产个电池； （2）计算三类设备的正极片与负极片的效率比， 甲类：，乙类：，丙类： ， 根据效率比可知，乙类和丙类设备生产正极片的相对效率更高，故可安排乙类和丙类设备全部生产正极片，再用甲类设备进行调节以实现零件数量匹配， 设甲类有台生产正极片，则台生产负极片， 正极片总数量为： ， 负极片总数量为： ， 根据配套关系得： ，解得． 代入得正极片总数量为 ，负极片总数量为 ， 刚好满足 ，可组装个电池． 故55台专用设备都在工作，则一天最多可生产个电池． 三、解答题 8．（2026·陕西西安·模拟预测）某中学手工社团有名同学，平均每人每天可制作个书签套盒或张装饰贴纸，已知个书签套盒与张装饰贴纸配成一套，为使每天制作的手工产品刚好配套．社团应该分配制作书签套盒和装饰贴纸的同学各多少名？ 【答案】分配5名同学制作书签套盒，25名同学制作装饰贴纸。 【分析】设出制作书签套盒的同学人数，据此表示出制作装饰贴纸的同学人数，根据配套要求得到两种产品的数量关系，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设社团应该分配名同学制作书签套盒，则分配名同学制作装饰贴纸， 根据题意，每天制作的书签套盒总数量为个，每天制作的装饰贴纸总数量为 张， 由1个书签套盒与4张装饰贴纸配成一套，可得等式： ， 解得， 制作装饰贴纸的同学人数为（名）， 答：社团应该分配5名同学制作书签套盒，25名同学制作装饰贴纸． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据题意列出方程（不必求解）： (1)某班到离校的国家森林公园春游．先坐车，速度为，下车后以的速度步行到达目的地，共花了．问：他们步行了多少时间？ (2)某车间接到一批小家电组装任务，原计划每天组装36台，预计若干天完成．在组装了任务的三分之一后，调整工序，改进操作技术，工效提高了1倍，结果提前2天完成任务．求这次组装小家电的总台数． 【答案】(1)设步行时间为，所列方程为 (2)设组装小家电的总台数为台，所列方程为 【分析】（1）设步行时间为，根据“坐车路程+步行路程=总路程”列出方程； （2）设组装小家电的总台数为台，根据“原计划完成总任务所需的天数-实际完成总任务所需的天数=提前的天数（2天）”列出方程． 【详解】（1）略 （2）略 10．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 【答案】(1)选用汽车运输比较好 (2)550千米 【分析】（1）分别求出两种运输方式所需的费用，比较大小即可； （2）根据两种运输方式所需的费用相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：汽车：（元） 火车：（元） 因为6120元元，所以选汽车． （2）解：设运输路程为千米，由题意得， 解得 即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 用一元一次方程解决问题 预习目标 知识回顾 1. 读懂实际问题，找出题目中的等量关系，学会设未知数。 2. 掌握列一元一次方程解应用题的基本步骤，尝试简单列式。 3. 能检验方程解是否符合题意，体会方程解决实际问题的便捷。 1. 熟记一元一次方程定义，熟练运用等式性质解方程。 2. 复习各类基础数量关系，理清和差、倍数等文字关系。 3. 巩固整式运算、移项、去括号，保证解方程计算准确。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考 1】同学们，苹果每斤5元，买若干斤花费30元，只用算术法如何列式计算购买斤数？ 【思考 2】同学们， 如果设购买斤数为x，你能找出题目里相等的数量关系，写出方程吗？ 【思考3】同学们，对比算术解法和方程解法，哪种更容易理清复杂数量关系？ 知识点01 一元一次方程的应用 列方程解应用题的步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 1．市中区某小学今年六年级毕业学生450人，比去年多了，该小学去年毕业学生多少人？设去年毕业学生人，下面方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．张叔叔运送了250件瓷器，规定完整运一个到目的地可以得到运送费20元，损坏一个赔偿100元，运完这批瓷器，张叔叔共得到运费4160元，张叔叔在运输过程中，完整运送了( )件瓷器，损坏了( )件瓷器． 3．某超市推出民生优惠活动，苹果原价每千克10元，香蕉原价每千克7元，活动期间，苹果按原价的8折销售，香蕉按原价的9折销售．七年级（1）班同学集体采购，购买苹果和香蕉共18千克，付款133.8元，购买苹果多少千克？ 题型速练 题型01 配套问题 【例】（2026·四川成都·一模）某工厂承接甲、乙两种零件加工任务，已知加工1个甲种零件需耗材5元，加工1个乙种零件需耗材3元．若该工厂共加工甲、乙两种零件40个，且购买耗材总费用为170元，设加工甲种零件x个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级上·河南周口·期末）某车间有10名工人，平均每人每天可制作10个大花瓶或20个小饰品，已知1个大花瓶与2个小饰品配成一套，则要安排____________名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 变式2．（25-26六年级下·山东烟台·期中）某车间有10名工人，每人每天可以生产螺栓9个或螺母12个，设名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，要求每天生产的螺栓和螺母按刚好配套，则可列方程为________． 变式3．（2026·吉林长春·模拟预测）小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．现有14张白板纸，为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套，请问需要用几张白板纸做盒身？ 题型02 工程问题 【例】（2026·河北石家庄·二模）现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·重庆·期中）2026年沙坪坝半程马拉松暨第二届校友半程马拉松激情开跑，赛前志愿者们对参赛物资进行打包，其中一处打包点，物资如果由一个人完成打包需16小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，可完成这项工作的．假设每个人的工作效率相同，设先安排人工作，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 变式2．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． 变式3．（2026·安徽·模拟预测）为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作．若小辰单独完成全部标注，需要6小时；若小泽单独完成，需要3小时．工作时，小辰先单独做了一段时间，之后去协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完．从开始到完成全部任务，一共用了4小时．求小辰参与标注的时间是多少小时？ 题型03 销售盈亏问题 【例】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）某商店把一件商品按进价提高后标价，再打八折销售，售价为240元．设这件商品的进价为x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 变式1．（2026·山东临沂·二模）如图为贝可咖啡店的菜单，店家今日准备了120杯咖啡和100个三明治贩卖．若今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，则售出早餐组合的收入的范围是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 变式2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）为响应环保倡议，某班级收集废旧饮料瓶并售卖，所得资金用于购买售价为3元/卷的环保垃圾袋．若除去运费20元后，剩余的钱恰好能买40卷环保垃圾袋，则资金总额为________元． 变式3．（2026·安徽合肥·二模）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满4杯按折销售．小明第一次买了A，B饮料各1杯；第二次买了3杯A饮料和4杯B饮料，A饮料x元/杯，B饮料y元/杯． (1)填表： A饮料 B饮料 实际支付金额（元） 第一次 1 1 ______ 第二次 3 4 ______ (2)如果两次放在一起购买，小明能少支付3元，求B饮料原价是多少？ 题型04 比赛积分问题 【例】（2026·贵州贵阳·一模）贵州榕江足球超级联赛简称“贵州村超”．在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队共踢了10场比赛，负了4场，共得了12分，那么这个足球队胜了（     ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 变式1．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）足球比赛的计分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一个队共打了场比赛，负了场，得分，设该队共平场，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·陕西渭南·一模）第31个全国中小学生安全教育日的活动主题是：同守护  共成长．某校开展中小学生安全教育日知识竞赛活动，该竞赛一共有50道题目，安安每道题都做了且没有空题，已知他答对的题数比答错题数的5倍还多2题，则安安答对了______道题． 变式3．（25-26七年级下·重庆南川·期中）某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 题型05 行程问题 【例】（2026·辽宁大连·一模）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）中有这样一个问题，“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 变式1．（2026·广东珠海·二模）为了提高身体素质，小健与小康相约跑步，小健每秒跑2.4米，小康每秒跑2.6米，两人在环形跑道上从同一处同时反向出发，当他们第一次相遇时小健比小康少跑16米，则环形跑道的周长为_____米． 变式2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）一辆汽车以每小时40千米的速度从甲地开往乙地，行了全程的后，又往前开了1小时，这时未行路程与已行路程的比是，甲、乙两地相距_____千米． 变式3．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出． (1)若相向而行，出发后多少小时相遇？ (2)若相背而行，多少小时后，两车相距800千米 题型06 梯度计费问题 【例】（25-26七年级上·全国·课后作业）某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级上·河南郑州·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准：某户去年一年的电费是1834元，则该户去年一年的用电量是（   ） 计费档 户年用电量 单价/[元/] 第一档 第二档 第三档 A．2800 B．3400 C．4400 D．5200 变式2．（25-26七年级上·天津·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； 变式3．（2026·河南安阳·二模）为了倡导节约用水，某市对居民用水实行阶梯水价，具体标准如下： 每户每月用水量不超过20吨的部分，按每吨元收费； 超过20吨但不超过30吨的部分，按每吨元收费； 超过30吨的部分，按每吨元收费． (1)小李家3月份用水28吨，应缴水费多少元？ (2)小李家4月份缴水费87元，求他家4月份用水多少吨？ 题型07 方案选择问题 【例】（25-26七年级上·河北沧州·期末）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 变式1．（25-26七年级上·山西晋中·期末）某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（    ） 团购优惠方案 ①全体打折 ②全场打九折，可以送10个道具 A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·全国·课后作业）学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有28人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空12个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有________辆汽车，共有________人春游． 变式3．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 题型08 数字问题 【例】（2026·内蒙古通辽·二模）将整数1至2026按一定规律排列如下表所示： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（    ） A．2022 B．2024 C．2019 D．2026 变式1．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，在其中填入一些数，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·重庆·自主招生）已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 变式2．（25-26七年级下·全国·期末）小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 题型09 古代问题 【例】（2026·贵州贵阳·一模）《九章算术》“盈不足”章中有这样一个问题：“今有共买缣（jiān），人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、缣价各几何？”意思是：几个人打算合伙买缣（一种丝织品），如果每人出8钱，会多出3钱；如果每人出7钱，会少4钱．问合伙人数和缣的总价各是多少？设有x人合伙买缣，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 变式1．（2026·河北廊坊·二模）汉代某里甲组织的里民共同出资购买耕牛以备春耕．商议出资数额时出现了两种情况：若每名里民出500钱，则筹得的钱数比买牛所需的钱数多400钱（盈四百）；若每名里民出400钱，则筹得的钱数比买牛所需的钱数少600钱（不足六百）．设参与买牛的里民共有人，则下列说法正确的是（     ） A．依题意可列方程，解得参与买牛的里民共有10人 B．依题意可列方程，解得参与买牛的里民共有10人 C．依题意可列方程，解得牛价为5400钱 D．依题意可列方程，解得牛价为4600钱 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）《九章算术》中有这样一道题，大意为：甲从长安出发，日到齐国，乙从齐国出发，日到长安，现乙先出发日，甲才从长安出发．则甲与乙相遇时，甲所走的天数为_________日． 变式3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 基础过关 一、单选题 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的进价为（    ） A．240元 B．270元 C．250元 D．230元 2．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）学校组织八年级学生开展植树活动，若每人植树棵，还剩棵；若每人植树棵，还差棵，设参与植树的学生有人，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁丹东·二模）中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗，渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设来了x位客人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·山西吕梁·二模）某款智能语音机器人的进价为320元，商店按进价提高后标价，为让利于顾客，销售时在标价的基础上给予一定的折扣优惠，若要使每台机器人的利润率为，则商店应按标价的________折销售． 5．（2026八年级下·陕西西安·学业考试）2026年发布的中央一号文件主题是“锚定农业农村现代化，扎实推进乡村全面振兴”．桃源村积极响应政策，计划在“生态养殖”和“乡村民宿”两个项目上共投资210万元，其中“生态养殖”的投资金额比“乡村民宿”的投资金额多20万元，则该村的“乡村民宿”投资金额是_____万元． 6．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一个水分子模型教具需要一个氧原子模型和两个氢原子模型组装配套，某工厂现有20名工人，每人每小时平均生产60个氧原子模型或80个氢原子模型．若使每小时生产出的氧原子模型和氢原子模型组装配套，则生产氧原子模型的工人有________名． 7．（2026九年级下·贵州毕节·学业考试）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有共买物，人出八钱，盈三钱；人出七钱，不足四钱，问：人数、物价各几何？其大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱，问有多少人？设有x人，根据题意，列出方程是________． 三、解答题 8．（25-26六年级下·山东烟台·期中）用方程的方法求解下面的问题： 已知两地相距420千米，一辆慢车从A地出发，每小时行驶60千米；一辆快车从B地出发，每小时行驶90千米． (1)若两车同时出发，相向而行，经过多长时间两车相遇？ (2)若两车同时出发，反向而行，经过多长时间两车相距560千米？ (3)若慢车出发1小时后快车从B地出发，两车同向而行，快车在慢车后面，那么快车追上慢车用了多长时间？ 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． (1)每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． (2)若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 10．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）列方程（组）不等式（组）解应用题： 近年来，北京市大力推进新能源汽车充电基础设施建设．年，北京市发布了新修订的《电动汽车充电基础设施规划设计标准》．根据该标准，行政办公、学校、医院等公共建筑，直接建设充电设施的停车位比例应不低于总车位数的． 某三甲医院积极响应政策，计划与充电站经营企业合作，将地下停车场部分车位改建成充电车位．该医院地下停车场共有个停车位．根据医院规划，建设慢充桩与快充桩的数量比为． 充电桩的收费标准涉及电费和服务费两部分，实行“价费分离”政策．电费按一般工商业电价（约元/度）执行，由充电站经营企业代收代缴，不计入收入，服务费则由充电站经营企业按充电量向用户收取，作为主要收入来源．参考北京市场行情，两种充电桩的运营数据如下： 充电桩类型 单桩日均充电量（度） 收费标准（元/度） 慢充桩（） 快充桩（） 医院希望充电站每天的服务费收入恰好达到元，那么应当建设慢充桩和快充桩各多少台？ 能力提升 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·二模）《孙子算经》记载经典盈亏问题：若干农户均分粮食，若每人分6斗，剩余4斗；若每人分8斗，还差6斗．设一共有名农户，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北随州·一模）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（   ） A． B．4 C． D．1 3．（25-26六年级下·山东淄博·期中）如图，这是标准400米跑道，它由两条弯道（左侧，右侧）和两条直道，组成，每条弯道的长是115.6米，每条直道的长是84.4米．小斌站在C处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步．小斌每秒跑4米，小强每秒跑6米．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（    ） A．弯道上 B．直道上 C．弯道上 D．直道上 二、填空题 4．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）一次校友聚会有50人参加，在参加聚会的同学中，每个男生认识的女生人数各不相同，而且恰好构成一串连续的自然数，最多的全认识，最少的也认识15个女生，那么这个聚会有______个男生参加． 5．（2026·陕西宝鸡·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“假田”租赁的问题．具体如下：今有田亩租赁，出租第一年亩收钱；第二年亩收钱；第三年亩收钱．三年共收得地租钱．问租赁田多少亩？若设租赁田亩，则可列方程为________． 6．（2026·福建泉州·二模）节约用水已成为每位公民的自觉行动．某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为元/；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按元/计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分按元/计算．已知小明家上月用水并没有超过，缴纳水费元．问的值为_____． 7．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）蓝天车队承包了某标段的材料运输任务，原计划用一批装载量为3吨的A型货车运输，恰好能一次性运完，实际运输时，更换为装载量比A型货车少1吨的B型货车，且车辆数量比原计划增加了2辆，恰好也能一次性运完，则这批材料的总重量为________吨． 三、解答题 8．（2026·安徽合肥·三模）先锋水果店以25元/的价格批发一批优质车厘子进行销售，两周售完．第一周销售量为200，每天的售价相同．第二周的销售量比第一周增加了，每千克的售价比第一周降低了3元，第一周和第二周的销售总额相同，求先锋水果店销售完这批车厘子所获得的利润． 9．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，用长度相等的木棍按一定规律拼成图案，其中第1个图案用了12根木棍拼成1个正六边形和2个正方形，第2个图案用了20根木棍拼成2个正六边形和3个正方形……    (1)第5个图案中用了44根木棍拼成了__________个正六边形和__________个正方形； (2)第个图案中用的木棍根数为__________（用含的代数式表示）； (3)如果现有木棍324根，求拼成的图案中正六边形的个数和正方形的个数． 10．（2026·湖南长沙·二模）为进一步提升城市形象，驱动消费，长沙某地准备开展音乐节活动．长沙文旅计划组织140名志愿者参与服务．志愿者分为引导组和物资组，其中引导组6人一组，物资组8人一组，总组数比引导组多10组． (1)求引导组和物资组各有多少人？ (2)本次活动需租用A、B两种型号车辆一次性接送，它们的载客量和租金如下表所示：若租用同一种型号车辆，使每位志愿者都有座位，应怎样租用才合算？ A型车辆 B型车辆 载客量（人/辆） 20 15 租金（元/辆） 200 150 挑战一刻 一、单选题 1．（25-26六年级下·山东烟台·期中）某款衬衫的进价为100元，标价为125元，商场准备打折销售，但要保持利润率为，则这款衬衫应（    ） A．打九五折 B．打九折 C．打八五折 D．打八折 2．（25-26六年级下·山东威海·期中）将直径为的圆钢截取一段长的部分，铸造出6个直径为的相同长度的圆柱形零件，则每个零件的长度为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东淄博·期中）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面或者400条桌腿，现有12立方米的木材，设有x立方米木材制作桌面，问怎样用料才能制作尽可能多的桌子，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东聊城·模拟预测）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，书中有这样一题：以绳测井若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，求绳长、井深各几何？如图，如果设井深为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）某商场为庆祝开业，所有商品都进行打折销售，该商场某柜台将单价标为150元的衣服按7折出售仍可获得利润，该衣服每件的进价是_________元． 6．（2026·陕西·模拟预测）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一，奠定了中国古代数学的部分基础，其中记载了一道题，大意为：“今有墙高尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长尺．问经过多少日两蔓相逢？”其中尺寸．若设经过日两蔓相逢，根据题意，的值为___________． 7．（25-26九年级下·北京·阶段检测）某新能源电池厂有55台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 20 丙类 8 70 20 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产________个电池； （2）若55台专用设备都在工作，则一天最多可生产________个电池． 三、解答题 8．（2026·陕西西安·模拟预测）某中学手工社团有名同学，平均每人每天可制作个书签套盒或张装饰贴纸，已知个书签套盒与张装饰贴纸配成一套，为使每天制作的手工产品刚好配套．社团应该分配制作书签套盒和装饰贴纸的同学各多少名？ 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据题意列出方程（不必求解）： (1)某班到离校的国家森林公园春游．先坐车，速度为，下车后以的速度步行到达目的地，共花了．问：他们步行了多少时间？ (2)某车间接到一批小家电组装任务，原计划每天组装36台，预计若干天完成．在组装了任务的三分之一后，调整工序，改进操作技术，工效提高了1倍，结果提前2天完成任务．求这次组装小家电的总台数． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $