第12讲 一元一次方程及其解法（讲义，苏科版江苏专用）数学小升初衔接

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第12讲一元一次方程及其解法 启新温故 预习目标 知识回顾 1. 掌握一元一次方程定义，能准确判断一元一次 1.回顾等式、方程概念，分清代数式与方程的 方程。 区别。 2.初步理解等式基本性质，会利用性质进行简单2.复习等式两条基本性质，能借助性质完成等 变形。 式变换。 3.尝试自主预习移项步骤， 能简单求解基础一元 3.巩固整式加减运算，熟练合并同类项、去括 一次方程。 号计算。 新课一点通 新知导图 DDD 题型01判断是否是一元一次方程 题型05解一元一次方程 题型02由一元一次方程的定义求参数 元 次方程 题型06绝对值方程 题型03判断是否是一元一次方程的解 题型07一元一次方程中的新定义型问 题型04由一元一次方程的解求参数 题 预习精讲 ③想一想 【思考1】同学们，已知一支笔3元，买若干支共花15元，若设购买数量为x,你能写出含x的等量关系 式吗？ 【思考2】同学们，观察刚才列出的式子，它和之前学的代数式有什么不同？这类式子叫什么？ 1/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【思考3】同学们，若式子中只含有一个未知数，且未知数次数为1，这样的方程有什么特点？该如何求 解？ 知识点01一元一次方程 一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都 是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。 如何判断一元一次方程：①整式方程：②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1. 即学即练 1.下列是一元一次方程的是() 1 A.2x2-x=0 B.2=2 C.x-2y=1 D.-3 2.已知m-3)2-7-3=5 关于x的一元一次方程，则m的值为() A.3 B.4 C.-3 D.3或4 3.已知等式m-3列r-+5= 是关于x一元一次方程，则m三 知识点02方程的解与解方程 方程的解与解方程 1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值 解方程：求方程的解的过程 即学即练 4.己知x=2是一元一次方程ar-4=8的解，则a-2b的值为( A.4 B.-4 C.8 D.-8 5.若x+2与x-8互为相反数，则x= 6.解方程： (1)2x+5=3x-1. 2/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22(-4)=306x+5) 2x-1_2x-3=1 (3)3 4 题型速练 DDD 题型01判断是否是一元一次方程 【例】(25-26七年级下·吉林·期中)下列方程是一元一次方程的是() A.x-1=2 B.1+3=4 C.x2+1=2 D.x-2y=1 变式1.(25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中)下列方程属于一元一次方程的是() A.1-=2y B.x2-4x+1=0 c.2x-1=2 D. 1 +x=3 2 2 变式2.(25-26七年级下·河南周口·阶段检测)下列各式中，属于一元一次方程的是() A.x+2y=3B.x2-1=0 C.2x-5=0 D.-2 变式3.(25-26七年级下·河南周口阶段检测)下列各式中，属于一元一次方程的是() A.x+2y=5B.x2-3x=2 c.+1=3x 2+1=2 D. 题型02由一元一次方程的定义求参数 【例】（25.26六年级下山东威海期中)已知方程k-2r+5=3 是关于x的一元一次方程，则k的值 是() A.2 B.-2 C.2,-2 D.1,-2 变式1.(25-26七年级下黑龙江大庆期中)已知2x-5=0是关于x的一元一次方程，则n= 变式2.(25-26六年级下山东泰安阶段检测)关于x的方程2x-2=0是一元一次方程，则m= 3/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3。（25-26六年级下山东淄博期中)已知方程(m-3列2+2026= 是关于x的一元一次方程，则业 的值为 题型O3判断是否是一元一次方程的解 【例】(25-26六年级上·上海普陀阶段检测)x=3是下列哪个方程的解() 1 A.5x-8=2 B.3x+7=6 C.2x+6=6 D.4.4x+6=20.6 变式1.(24-25七年级下·吉林长春期中)已知关于x的一元一次方程2x-2+m=7的解为x=1,则a+m 的值为() A.9 B.8 C.5 D.4 变式2.(25-26七年级上·山东潍坊期末)已知整式mx+3n的值随x的取值变化而变化，下表给出了x取 不同值时，整式mx+3n对应的数值，则关于x的方程mr=4-3n的解是() -1 0 1 3 mx+3n 8 4 0 -4 -8 -12 A.x=-1 B.x=1 C.x=-2 D.x=2 变式3.(25-26七年级上·福建莆田·期末)整式x+b的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时 所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程-x-b=2的解为一 -2 0 ax+b -6 -2 2 题型O4由一元一次方程的解求参数 【例】(2026贵州黔南一模)已知x=-3是关于x的方程2x+a=0的解，则a的值是() A.3 B.6 C.-3 D.-6 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1.(25-26七年级下·河南鹤壁·期中)若x=2是关于x的一元一次方程x-b=3的解，则4a-2b-1 的值为 变式2.(25-26七年级下·山西临汾阶段检测)若关于x的一元一次方程ax-3b=1的解是x=2,则 3b-2a+2=— 变式3.(25-26七年级下·江苏南京·开学考试)关于x的方程 2(x-a)=x-1 的解为4如+b,则关于x的方 程2(2r-b)-1984=-2bx+4a+4 的解为术= 题型05解一元一次方程 4x-3=2(x-1) 【例】(25-26七年级下·吉林长春·期中)解方程： 变式1.(25-26七年级下·吉林长春期中)解方程 0①3(x-2)=x-(2x-1) @2-142 3 变式2.(25-26六年级下山东淄博期中)解下列方程： )61-50x-2)=2(2x+3) ®分2-2 5· 变式3.(25-26七年级下河南周口阶段检测)解下列一元一次方程： (1)4x-7=2x+5: 2x+1x-1=2 (2)36 题型O6绝对值方程 【例】(2026吉林长春·一模)方程2-x卡1的解是() 5/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=3或x=1 变式1.(25-26七年级下河南南阳期中)方程2x+=1的解是() A.x=2 1 2 .= 1 3 D.x=2或x=-2 变式2.(2026·重庆·一模)若实数4，b同时满足 a-3bl=3d-3b= ,则ab的值为一 变式3。(25-26九年级下重庆巴南期中)若实数，y同时满足”-内=1，小-2x=7 ,则的值为 题型O7一元一次方程中的新定义型问题 【例】(25-26七年级上山东德州期未)定义“的运算规则：0b=ab+20.若6)+(3)=14 则 的值为() A.-1 B.-2 C.1 D.2 变式1.（25-26七年级上江苏南京期末)定义一种新运算：※b=2a-3动.若（x+3列※(2x-)= ,则根 据定义的运算求出x的值为 变式2.(25-26七年级上·黑龙江牡丹江期末)定义一种新运算：a△b=ab-2a.例如， 2△3=2×3-2×2=2 (-8)△14= (1)计算： (2)根据上述定义解方程： (5x+2)△(-3)=40 变式3.(25-26七年级上湖南岳阳·期末)【阅读材料】定义：关于x的一元一次方程r=b,若它的解 。满足x=b-a·则称该方程是“差解方程”，例如：3x=4.5的解为x=4.5-3=1.5,则方程3x=4.5就 是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 6/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【定义理解】 (1)判断：方程2x=4差解方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程4x=m是“差解方程”，求m的值： 【知识应用】 (3)若关于的一元一次方程4r=b+a是“差解方程”，求3(6+a)的值； 基础固本提升 基础过关PDD 一、单选题 1.(25:26七年级下重庆期中)解方程2x-)=4 ,去括号正确的是() A.2x-1=4 B.2x+2=4 C.2x-2=4 D.2x+1=4 2.(25-26七年级下·四川眉山期中)下列方程是一元一次方程的是（) A.x2+1=0 B.x +1=x-1 c.言-5=x D.x-2y=3 3.(25-26七年级下·福建泉州期中)下列方程中，解为x=-2的方程是() A.-2x+1=-3B.3x-6=0 c. 1 D.2x-1=0 4.(25-26六年级下山东威海期中)对于任意非零有理数a,b定义运算如下：a⊕b=ab+a,若 x田2=5⊕x,则x的值是() A.-2 B.2 D.5 二、填空题 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5。（25-26七年级下福建泉州期中)已知等式(m-3)-+5= 是关于x一元一次方程，则m= 6.(25-26六年级下山东烟台期中)若x=2是关于x的一元一次方程ax-5=1的解，则a的值为 7.（25-26七年级下重庆壁山期中)若关于x的一元一次方程(x+1)+h=2x+c+2 的解为x=1,则关于 ay+b=2y+c y= 的一元一次方程 的解为 三、解答题 8.(25-26七年级下·重庆万州期中)解方程： (1)2x-3=5x-9. x-3 (2)6 -1-3-2x 4· x x-1 9。(2026河北沧州模拟预测)在解方程0,3045时，两位同学提出了如下两种解法。 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 利用等式的性质， 10x5x-5 得32 =5 xx-11 得342’ x-1 (1)对于嘉嘉的解法，他是将0.4的分子、分母同时扩大为原来的 倍；对于淇淇的解法，他是将 等式两边同时乘以 或同时除以 (2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程. 10.(25-26七年级下·四川眉山期中)定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程 为“互逆方程”. 例如：方程2x=4和3x+6=0为“互逆方程”. 8112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)方程2x-4=x+1与-2x=10(填“是”或“不是”)“互逆方程”： (2)若关于x的方程3x+3=0与6x-C=0为“互逆方程”，求c的值： (3)若关于x的方程2x+3m-2=0和3r-5m+4=0为“互逆方程”，求m的值. 能力提升卜DD 一、单选题 1.(25-26七年级下·重庆·期中)下列方程是一元一次方程的是() A.x+2y=0B.2x-1=5 C.x2=4 1-2 D. 2.（25-26七年级下甘肃天水期中)已知关于x的一元一次方程2026x+3=2x+b的解为x=-3,那么关 于y的一元一次方程2026y+)+3=20+1)+b的解为y=(） A.1 B.-1 C.-3 D.-4 3.(25-26七年级下·全国期末)下列方程变形正确的是() A.方程3m=6,系数化为1，得m=-2 B.方程2m-1=5m-3,移项，得2m-5m=-3+1 C.方程5-4(m-1)=3 去括号，得5-4m-4=3 是m+1-1=m-3 D.方程2 3,去分母，得2(m+1)-1=3(m-3) 二、填空题 4.(25-26七年级下四川眉山期中)若2a+3=5,则a=」 5.(25-26七年级下·福建泉州阶段检测)整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时 对应的整式的值：则关于x的方程mx+n=5的解为 9112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 mx+n a b 6.(25-26七年级下河南平顶山期中)将2阶行列式cd定义为cd 则x=一 m= 4b 7.(2026重庆二模)若b<0,且a,则关于x的一元一次方程(m-2)x+5=6的解是一， 三、解答题 8,（24-25七年级上安微合肥开学考试)对于数a、6定义新运算：口®b-”力， 2,那么3⑧(x⑧7)=x, 求x的值. 9.(25-26七年级下·吉林长春·期中)解下列一元一次方程： (1)4x+1=9+2x; 3-xx+4 (2)2=3. 10.(25-26六年级下·山东东营·阶段检测)新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个 方程为“友好方程”，如：方程2x=6与3x+9=0为“友好方程”. (1)若关于x的方程3x+m=0与方程2x-6=4是“友好方程”，求m的值； ②若关于x的方程2x+3=2b与方程2x-)=4是 4是“友好方程”，求a+b的值： (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n,求的值. 挑战一刻 DDD 10112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(25-26七年级下河南周口期中)下列各式中，属于一元一次方程的是（) A.2x-3 B.x2-1=0 C.3x-5=1 D.x+y=2 2.(2026安散宜城一损)若x=2是关于x的方程21 4的解，则m的值为() A.1 B.-1 C.3 D.-3 3.(25-26七年级下海南海口·期中)下列方程的变形中，正确的是（) A.由4x=2,得x=2 B.由1-x=3,得x=3-1 1 C.由4-5x=2x,得-5x+2x=4 D.由3x=-3,得x=9 4.（25-26七年级下河南洛阳期中)若关于×的方程m-2列+3=0 是一元一次方程，则m的值为 () A.2 B.0 C.2或0 D.1 二、填空题 5.25-26七年级下福建泉州期中)己知关于x的方程5x-2a=12的解是x=2,则a=— 6.(25-26六年级下山东烟台期中)定义新运算.(a,6)cd)=c-,其中“，力，9，d为有理数， 如： (1,2)(3,4)=1×3-2×4=-5 如果2x3)(B-x)3 则x的值为 7.(25-26七年级下·重庆万州期中)根据如图所示的程序计算方程中y的值，若输入x的值是8，则输出 y的值是-3，若输入x的值是-8，则输出y的值是 x≥3 -x+b y= 2 输入x 输出y 3 y=-2x+6 11112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 8.(25-26七年级下·四川乐山阶段检测)解一元一次方程： (1)6x-8=4x: 2)3y-1-1=4-2y 2)2 3· 9.(2526七年级下重庆期)己知代数式4=4x+7,B=32x-m),解答下列问恩： (1)若m=3,则x为何值时，代数式A与B相等？ ②若关于x的方程3x-1)-的解使得4：B两个代数武的值互为相反数，求m的值。 1 10.(25-26六年级下·山东威海·期中)阅读下面的内容，并完成相应任务. 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 3 “成双方程”.例如：方程2x-1=2的解为x=2,方程2x-1=0的解为 1 x22 3.1 因为+22，所以这两个方程互为“成双方程”· 任务： x-2(x-1)=x-2 (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程 互为“成双方程”. 1 (2)若关于x的方程2025x-1=0和2023” ,x+3=2x+m互为“成双方程”，求的值. 12112 第12讲 一元一次方程及其解法 预习目标 知识回顾 1. 掌握一元一次方程定义，能准确判断一元一次方程。 2. 初步理解等式基本性质，会利用性质进行简单变形。 3. 尝试自主预习移项步骤，能简单求解基础一元一次方程。 1. 回顾等式、方程概念，分清代数式与方程的区别。 2. 复习等式两条基本性质，能借助性质完成等式变换。 3. 巩固整式加减运算，熟练合并同类项、去括号计算。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考 1】同学们，已知一支笔3元，买若干支共花15元，若设购买数量为x，你能写出含x的等量关系式吗？ 【思考 2】同学们， 观察刚才列出的式子，它和之前学的代数式有什么不同？这类式子叫什么？ 【思考3】同学们，若式子中只含有一个未知数，且未知数次数为1，这样的方程有什么特点？该如何求解？ 知识点01 一元一次方程 一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。 如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1. 1．下列是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为，且等号两边都是整式的方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 选项A、中，未知数的最高次数为，不符合一元一次方程定义，∴ A错误； ∵ 选项B、的分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义，∴ B错误； ∵ 选项C、中含有和两个未知数，不符合定义，∴ C错误； ∵ 选项D、，只含有一个未知数，未知数次数为，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，∴ D正确． 2．已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，列出条件求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， ∴的值为4． 3．已知等式是关于x一元一次方程，则_________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1，一次项系数不为0的方程叫做一元一次方程，其一般形式为（a，b是常数且），据此列出关于m的关系式，即可求解得到m的值． 【详解】解：根据题意，由一元一次方程的定义得 且， 由可得或， 解得或， 结合即， 可得， 故答案为：1． 知识点02 方程的解与解方程 方程的解与解方程 1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值 解方程：求方程的解的过程 4．已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 将代入方程得到，再提取公因式2即可求解 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 5．若与互为相反数，则________． 【答案】3 【详解】解：与互为相反数， ， 解得． 6．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先移项，再合并同类项，系数化为即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为即可． （3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 系数化为得：． 题型速练 题型01 判断是否是一元一次方程 【例】（25-26七年级下·吉林·期中）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元一次方程的定义逐一判断选项即可，一元一次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式． 【详解】解：选项A的方程，只含1个未知数，的次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程定义. 选项B中不含未知数，不是一元一次方程. 选项C中的未知数次数为2，不符合定义. 选项D中含有两个未知数，不符合定义． 变式1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列方程属于一元一次方程的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元一次方程的定义判断，一元一次方程需满足三个条件，只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，方程 含有2个未知数，不符合一元一次方程的定义； 选项B，方程中未知数最高次数为2，不符合一元一次方程的定义； 选项C，整理原方程 ，两边同乘2得 ，整理得，满足一元一次方程的所有条件，符合一元一次方程的定义； 选项D，方程 中是分式，方程不是整式方程，不符合一元一次方程的定义． 变式2．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，对各选项逐一判断即可． 【详解】A、含有和两个未知数，不属于一元一次方程； B、未知数的最高次数为，不属于一元一次方程； C、只含一个未知数，未知数次数为，且为整式方程，符合一元一次方程的定义； D、是分式，分母中含有未知数，不是整式方程，不属于一元一次方程． 变式3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程”，逐一判断各选项即可求解． 【详解】解： A选项含有两个未知数，不符合一元一次方程定义； B选项中未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程定义； C选项只含一个未知数，未知数最高次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程定义； D选项分母中含有未知数，不是整式方程，不符合一元一次方程定义． 题型02 由一元一次方程的定义求参数 【例】（25-26六年级下·山东威海·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值是（   ） A．2 B． C．2 , D．1, 【答案】B 【分析】根据一元一次方程定义，结合只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，建立式子求解，即可解题． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， 且， 解得且， ． 变式1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）已知是关于x的一元一次方程，则___________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程中未知数的最高次数为，列出关于的方程求解即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知，方程中未知数的次数为， 因此可得 移项计算得． 变式2．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）关于x的方程是一元一次方程，则_______ ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，确定未知数的次数为，由此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得． 变式3．（25-26六年级下·山东淄博·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列出关于m的等式和不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ， ∴． 题型03 判断是否是一元一次方程的解 【例】（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意； C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可求出a的值，再把代入原方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，一元一次方程的解，根据等式的性质得到，再由表格中的数据，即可得到答案． 【详解】解：∵， 故， 由表格可知当时，， ∴关于的方程的解为． 故答案为：A． 变式3．（25-26七年级上·福建莆田·期末）整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，将一元一次方程化为，根据图表即可得解． 【详解】解：∵， ， 由表可知：， 故答案为：． 题型04 由一元一次方程的解求参数 【例】（2026·贵州黔南·一模）已知是关于x的方程的解，则a的值是（  ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴将代入方程，得， 整理得， 移项得． 变式1．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若是关于x的一元一次方程的解，则的值为______． 【答案】5 【分析】把代入原方程求出的值，根据可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴． 变式2．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）若关于x的一元一次方程的解是，则______． 【答案】1 【分析】将代入得即，继而解答． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， ∴， ∴． 变式3．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为__________． 【答案】 【分析】将代入原方程，可得出，方程可整理得，再整体代入，解之即可得出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ， 方程可整理得：， 即， 解得：， 关于x的方程的解为． 题型05 解一元一次方程 【例】（25-26七年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【答案】 【分析】去括号，移项，合并同类项，将含项的系数化为1即可求解． 【详解】解： 去括号，得： 移项，得： 合并，得： 系数化，得：． 变式1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）解方程 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得 （2）解： 解得． 变式2．（25-26六年级下·山东淄博·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ； (2) ． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 变式3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 两边同乘6，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型06 绝对值方程 【例】（2026·吉林长春·一模）方程的解是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质，若 ，则或，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可； 【详解】解：∵ ∴ 或 当时，移项得 当时，移项得 ∴ 方程的解为或． 变式1．（25-26七年级下·河南南阳·期中）方程的解是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用绝对值的性质将原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴方程两边同乘，得 ， ∴或， 解，得； 解，得． ∴原方程的解为或． 变式2．（2026·重庆·一模）若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】 【分析】先理解题意，结合，得出，又因为，故，则，再进行分类讨论，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当时，则，整理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 当时， ∵， ∴ 则，此为矛盾，此种情况不成立，舍去． ∴的值为． 变式3．（25-26九年级下·重庆巴南·期中）若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】由，可知，得出，把代入得：，即，然后分两种情况求出x的值，再求出y的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴可化为， 把代入得：，即， 当时，，则即：，解得与不符，舍去； 当时，，则即：，解得，符合， 当时，则， ∴． 题型07 一元一次方程中的新定义型问题 【例】（25-26七年级上·山东德州·期末）定义“*”的运算规则∶．若，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，解题的关键是正确理解新定义和解一元一次方程的步骤． 根据新定义得到方程，再解一元一次方程即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 解得， 故选：C． 变式1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）定义一种新运算：．若，则根据定义的运算求出的值为______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据新定义，列出一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得； 故答案为：2． 变式2．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）定义一种新运算：．例如，． (1)计算：________； (2)根据上述定义解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）由新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）由新定义得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原方程可化为 ， ， ， ， 解得． 变式3．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】定义：关于的一元一次方程，若它的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程_____差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【知识应用】 （3）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【答案】（1）是；（2）；（3）16 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的方程，整理即可得出． 【详解】解：方程的解为，而，符合“差解方程”的定义， ∴方程是差解方程 故答案为：是； （2）由题意可知， 由一元一次方程可知 所以， 解得 ； （3）因为方程是“差解方程”，所以， 解方程， 得 所以 所以， 即． 基础过关 一、单选题 1．（25-26七年级下·重庆·期中）解方程，去括号正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原方程为，去括号得． 2．（25-26七年级下·四川眉山·期中）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的方程是一元一次方程”逐一判断选项即可. 【详解】解： 选项A，未知数的次数为2，不是一元一次方程，选项A不符合题意； 选项B，方程含分式，不是整式方程，不是一元一次方程，选项B不符合题意； 选项C，方程只含有1个未知数，未知数最高次数为1，且等号两边都是整式，是一元一次方程，选项C符合题意； 选项D，方程含有两个未知数，不是一元一次方程，选项D不符合题意． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项B：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项C：，两边同乘3得，移项得，系数化为1得，符合要求； 选项D：，移项得，系数化为1得，不符合要求． 4．（25-26六年级下·山东威海·期中）对于任意非零有理数a，b定义运算如下： ．若，则x的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的运算规则，分别化简等式左右两侧，再解一元一次方程即可得到的值． 【详解】定义运算 ，且满足 ， 分别化简等式左右两边： 左边：， 右边：， 可得方程 ， 解得． 二、填空题 5．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知等式是关于x一元一次方程，则_________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1，一次项系数不为0的方程叫做一元一次方程，其一般形式为（a，b是常数且），据此列出关于m的关系式，即可求解得到m的值． 【详解】解：根据题意，由一元一次方程的定义得 且， 由可得或， 解得或， 结合即， 可得， 故答案为：1． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）若是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 【答案】3 【分析】把代入，得出，解一元一次方程即可求出a的值． 【详解】解：把代入得：， 则， ∴． 7．（25-26七年级下·重庆璧山·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【分析】把方程变形为，根据方程的解为，可得即可求解. 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴的解为， ∴一元一次方程的解为． 三、解答题 8．（25-26七年级下·重庆万州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 9．（2026·河北沧州·模拟预测）在解方程时，两位同学提出了如下两种解法． 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， …… (1)对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________； (2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程． 【答案】(1) ；； (2) 【分析】（1）根据分数的基本性质和等式的基本性质，分析两人的变形过程即可得到对应结果． （2）解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 变形为，是将分子分母同时扩大为原来的倍． 原方程变形为，是将等式两边同时乘或，也可同时除以得到， 因此对应结果为，或，． （2）解：选择嘉嘉的解法进行计算 原方程变形得： 两边同乘6去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 若选择淇淇的解法，过程如下： 原方程变形得： 两边同乘12去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得：． 10．（25-26七年级下·四川眉山·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)方程与 （填“是”或“不是”）“互逆方程”； (2)若关于x的方程与为“互逆方程”，求c的值； (3)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求出方程的解，然后根据定义进行判断； （2）求出方程的解，然后根据定义得出方程的解，即可求出参数； （3）分别表示出两个方程的解，然后根据定义列出方程求解． 【详解】（1）解：方程与是“互逆方程”，理由如下： 解方程得，； 解方程得，； ∵和互为相反数， ∴方程与是“互逆方程”； （2）解：， 解得：； ∵两个方程为“互逆方程”， ∴的解为，代入方程可得， ∴； （3）解：， 解得； ， 解得； ∵两个方程为“互逆方程”， ∴， 解得． 能力提升 一、单选题 1．（25-26七年级下·重庆·期中）下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程需满足三个条件：只含1个未知数，未知数次数为1，等号两边都是整式，即可求解． 【详解】选项A中含有两个未知数，不符合定义，A错误； 选项B中只含一个未知数，未知数次数为1，且等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，B正确； 选项C中未知数的次数为2，不符合定义，C错误； 选项D中分母含有未知数，不是整式方程，不符合定义，D错误． 2．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设， 则方程化为， 此方程与已知方程同解， 已知解为， 故， 即， 解得． 3．（25-26七年级下·全国·期末）下列方程变形正确的是（     ） A．方程，系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得 D．方程，去分母，得 【答案】B 【分析】根据等式的基本性质以及解一元一次方程逐项判断即可． 【详解】解∶A．方程，系数化为1，得，即A选项错误； B．方程，移项，得，即B选项正确； C．方程，去括号，得，即C选项错误； D．方程，去分母，得，即D选项错误． 二、填空题 4．（25-26七年级下·四川眉山·期中）若，则_________ ． 【答案】 【详解】解： ． 5．（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：则关于x的方程的解为___________． x 0 1 5 3 1 【答案】 【分析】先求得m，n的值，再解一元一次方程解答即可； 【详解】解：根据题意，得当，；当，； 故， 故方程变形为， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 6．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）将2阶行列式定义为，若，则______． 【答案】3 【分析】根据题中给出的2阶行列式定义列出方程，再利用整式乘法法则化简方程，解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：根据2阶行列式的定义得： ， ， 化简得：． 7．（2026·重庆·二模）若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】先根据，判断异号，求出的值，再将代入给定的一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 异号， 分两种情况讨论， 当时， ， 当时， ， 综上可得， 将代入原方程得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为得，． 三、解答题 8．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）对于数、定义新运算：，那么，求的值． 【答案】 【分析】根据新定义，列出方程，解方程即可． 【详解】解：由定义可知，， ∴原方程可化为： 故， 整理，得， 解得，． 9．（25-26七年级下·吉林长春·期中）解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 10．（25-26六年级下·山东东营·阶段检测）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出第一个方程的解，再根据“友好方程”的定义进而即可求出m的值； （2）将两个方程的解表示出来，再根据“友好方程”的定义求解即可； （3）根据“友好方程”的定义分情况讨论两个解差的两种不同情况即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， 方程的解为， 把代入，得， 解得； （2）解：， ， 解得， ， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， ， ， ； （3）解：两个方程是“友好方程”，其中一个解为， 另一个解为， 由题意得，两个解的差为， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴的值为或． 挑战一刻 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次方程需满足只含有一个未知数，未知数的次数为1，等号两边都是整式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．不是等式，不属于方程，故A不符合题意； B．中未知数的次数为2，不满足一元一次方程的要求，故B不符合题意； C．只含有1个未知数，未知数的次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，故 C符合题意； D．含有两个未知数，不满足一元一次方程的要求，故D不符合题意． 2．（2026·安徽宣城·二模）若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】将代入求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得：． 3．（25-26七年级下·海南海口·期中）下列方程的变形中，正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【详解】解：A、由，得，原式变形错误，不符合题意； B、由，得，原式变形错误，不符合题意； C、由，得，原式变形错误，不符合题意； D、由，得，变形正确，符合题意． 4．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若关于的方程是一元一次方程，则的值为（    ） A．2 B．0 C．2或0 D．1 【答案】B 【分析】根据一元一次方程需满足只含有一个未知数，未知数的次数为，且一次项系数不为求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， ，， ，， ，或， ． 二、填空题 5．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程的解是，则_____． 【答案】 【分析】将代入求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， 解得：． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）定义新运算：，其中，，，为有理数，如：．如果，则的值为______________． 【答案】 【分析】根据新运算：，得到，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， 解得． 7．（25-26七年级下·重庆万州·期中）根据如图所示的程序计算方程中y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是，若输入x的值是，则输出y的值是______． 【答案】18 【分析】将代入中求出，再将代入中即可求解． 【详解】解：当时，则， 解得， 当时，则 ∴输出y的值是18． 三、解答题 8．（25-26七年级下·四川乐山·阶段检测）解一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 9．（25-26七年级下·重庆·期中）已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)的值为8时，这两个代数式的值相等 (2)的值为9 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解； （2）先解出关于x的方程，再根据关于x的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解这个方程，得．             答：的值为8时，这两个代数式的值相等． （2）解：解方程，得．             由代数式和的值互为相反数，得：．    将代入上式中，得 ．         解这个方程，得．             答：的值为9． 10．（25-26六年级下·山东威海·期中）阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】求已知方程的解，再根据“成双方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2， ∴另一个方程的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解方程得， ∵两个方程互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程得， 解得． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $