第11讲 等式与方程（讲义，苏科版江苏专用）数学小升初衔接

第11讲 等式与方程 预习目标 知识回顾 1. 观察实际问题，理解等式、方程的含义，能区分等式与代数式。 2. 学会识别方程的已知数、未知数，掌握一元一次方程的基础特征。 3. 尝试根据简单文字描述列出方程，感受方程表示等量关系的优势。 1. 回顾代数式定义，熟练书写含字母、数字的各类代数式。 2. 梳理用字母表示数量关系的方法，读懂实际情境中的数量语句。 3. 复习有理数运算，能准确计算代数式的值，为列方程打好基础。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考 1】同学们，文具一支笔3元，买若干支一共花15元，若设购买数量为x，你能用式子表示其中的等量关系吗？ 【思考 2】同学们， 已知一个数加上8等于20，如果把这个未知的数记作x，如何写出包含x的相等关系式？ 【思考3】同学们，长方形周长24，长7，宽用x表示，根据周长公式列出两边相等的式子，观察这几道式子有什么共同特征？ 知识点01 方程 方程：含有未知数的等式。 如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 2．下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】①根据方程的定义，方程的解的定义，等式的性质，即可判断． 【详解】解：①含有未知数的等式才是方程，不含未知数的等式不是方程，故①不正确； ②当时，，故②正确； ③设，则，，则，故③不正确； ④根据等式的性质2，0不能作除数，此说法没有把0排除，故④不正确； 综上所述，只有1个正确． 3．在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【答案】 ①②③⑥ ①②⑥ 【分析】根据等式、方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，有等号、有未知数，是等式也是方程； ②：有等号、有未知数，是等式也是方程； ③：有等号、无未知数，只是等式； ④：是小于号，不是等式，也不是方程； ⑤：是大于号，不是等式，也不是方程； ⑥：有等号、有未知数，是等式也是方程． 所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥． 知识点02 等式的性质 等式的性质 1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。即： （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子） 2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。 即：（此处字母可表示数字，也可表示式子） 3）其他性质：①对称性：若a=b，则b=a；②传递性：若a=b，b=c，则a=c。 4．若，则下列等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，根据等式的基本性质变形，结合特殊值法即可判断各选项是否一定成立． 【详解】∵ ， ∴ ， A选项，取，，满足，但，因此A不一定成立； B选项，代入，得，仅当时等式成立，因此B不一定成立； C选项，将等式两边同时乘，得 ，因此选项C一定成立； D选项，代入，得，仅当时，因此D不一定成立． 5．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据等式两边同时加、减同一个数，等式仍然成立以及等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立逐一分析选项找出变形错误的一项． 【详解】A、如果，等式两边都除以，那么，A正确； B、如果，当时，得不出，B错误； C、如果，等式两边都减6，那么，C正确； D、等式两边都乘，得，D正确． 6．在中，用含的代数式表示，可得______． 【答案】（或） 【分析】本题考查等式的性质，利用等式的性质对方程变形即可得到结果，熟练掌握等式的性质是解题的关键. 【详解】解：已知方程 移项得： 等式两边同时除以，得： 题型速练 题型01 判断各式是否是方程 【例】（25-26七年级下·重庆·期中）下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的定义，方程需同时满足两个条件：一是含有未知数，二是等式，据此判断各选项即可． 【详解】∵方程是含有未知数的等式，必须同时满足上述两个条件， 对选项A，是等式，但不含未知数，因此不是方程； 对选项B，含有未知数x，但不是等式，因此不是方程； 对选项C，既含有未知数x，又是等式，符合方程的定义； 对选项D，含有未知数，但不是等式，因此不是方程． 变式1．（25-26七年级下·山西临汾·期中）下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程“含有未知数的等式”这一定义，判断选项是否同时满足“含有未知数”“是等式”两个条件即可求解． 【详解】解：A 、不是等式，不满足条件，故A错误； B、是不等式，不是等式，不满足条件，故B错误； C、是等式，但不含未知数，不满足条件，故C错误； D、既含有未知数，又是等式，满足方程的定义，故D正确． 变式2．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了方程的判断， 根据方程的定义，含有未知数的等式称为方程，据此对各选项进行判断． 【详解】解：①是等式但不含未知数，不是方程； ②是等式且含未知数，是方程； ③不是等式，不是方程； ④是等式且含未知数，是方程， 所以正确的有②④． 故答案为：②④． 变式3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 题型02 等式的性质 【例】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）下列等式变形，错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，据此判断各选项即可． 【详解】解：A若，根据等式性质1，两边同时加1，得，变形正确； B若，根据等式性质2，两边同时乘2，得，变形正确； C若，根据等式性质1，两边同时减1，得，变形正确； D若，当时，与无意义，只有才能得到，变形错误． 变式1．（25-26七年级下·山西临汾·期中）下列方程的变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】本题考查等式的基本性质，利用等式性质逐一判断变形是否正确即可，等式两边同加同减同一个数，同乘或同除以同一个不为0的数，等式仍成立． 【详解】选项A，，等式两边同时减去3，得，变形正确，符合题意； 选项B，，等式两边同时除以7，得，变形错误，不符合题意； 选项C，，等式两边同时乘以2，得，变形错误，不符合题意； 选项D，，等式两边同时加上2，得，即，变形错误，不符合题意． 变式2．（24-25七年级下·北京·期中）已知方程，用含的代数式表示，则_________． 【答案】/ 【详解】解：， 两边同减去，得． 变式3．（25-26七年级下·全国·课后作业）填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质和等式的性质对各等式逐一变形即可求解． 【详解】解：（1）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （2）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （3）已知，根据等式的性质，等式两边同时除以，得； （4）已知，根据等式的性质，等式两边同时乘以，得． 题型03 列方程 【例】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）用方程表示“x比它的多3”正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】表示出x的，再根据题意可知与的差为，据此列方程即可． 【详解】解：∵的可表示为，题意为“比它的多”，即与的差为， ∴可列方程为 ． 变式1．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这个数为x， ∴， 故选：A ． 变式2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）若一个数的倍与的和等于，据此可列方程为：________． 【答案】 【分析】根据题目描述的数量关系，列出一元一次方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为． 变式3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）与的和的倍是，则可用方程表示为______． 【答案】 【详解】解：首先，“与的和”用代数式表示为，再求该和的倍，即给此代数式乘以， 根据题意该结果等于，因此可列方程为． 题型04 方程的解 【例】（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把代入各个方程进行检验，看能否使方程的左右两边相等． 【详解】解：分别将代入四个方程： A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 变式1．（25-26七年级下·海南海口·期中）当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 14 10 6 2 A．0 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】先将所求方程变形，得到对应的值，再结合表格信息找出对应的值即可得到方程的解． 【详解】解：， 方程两边同除以得：， 即， 由表格可知，当时，， ∴的解是． 变式2．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）写出一个解为的一元一次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解使方程左右两边相等的性质是解题的关键．根据一元一次方程的解的定义，构造一个当时等式成立的一元一次方程即可． 【详解】解：设一元一次方程为（），将代入，得， ∴， 取，则， 得到方程， 故答案为：（答案不唯一）． 变式3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 题型05 由方程的解求参数 【例】（25-26七年级下·甘肃天水·阶段检测）已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】方程的解满足方程，将已知解代入原方程，即可计算求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得：化简得， 移项计算得， 因此的值为． 变式1．（25-26七年级下·重庆万州·期中）关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【分析】将代入方程，得到，从而，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入得， 即， ∴ ． 变式2．（2026·江苏常州·一模）若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】将代入方程得到，对所求代数式变形后整体代入即可求值． 【详解】解：是一元一次方程的解， ， ． 变式3．（25-26九年级下·福建福州·期中）已知是方程的一个解，则整式的值为__________． 【答案】 【分析】将代入方程可得，即，再代入整式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴． 基础过关 一、单选题 1．（25-26九年级下·河北衡水·期中）解方程时，若要得到，应在方程两边同时（     ） A．加上3 B．减去3 C．加上 D．减去 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 移项的依据是等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立，据此判断变形过程即可． 【详解】解：由于原方程为， 根据等式的基本性质，等式两边同时减去 则左边得，右边得， 即变形后得到， 因此应在方程两边同时减去． 2．（25-26六年级下·山东烟台·期中）有一个方程的解为，则这个方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将依次代入各选项方程，验证方程左右两边是否相等，相等即为正确答案． 【详解】解：将代入选项A左边 ，右边， ，故A错误； 将代入选项B左边，右边，，故B错误； 将代入选项C左边 ，右边，左边右边，故C正确； 将代入选项D左边 ，右边，，故D错误． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式性质逐项判断即可． 【详解】解：对于A，∵，等式两边需同时加或减同一个数，等式才成立，∴应为，故A错误． 对于B，∵，等式两边同时加得，只有时才有，故B错误． 对于C，∵，当时，无论取何值等式都成立，无法推出，故C错误． 对于D，∵，，等式两边同乘可得，故D正确． 4．（2026·江苏苏州·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意可列出方程为． 二、填空题 5．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）若是关于的方程的解，则的值为___________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程即可求解． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 整理得 ， 移项得， 系数化为得． 6．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）x与6的差的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为______． 【答案】 【分析】根据x与6的差的2倍，即为，x的3倍，即为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：依题意得，． 三、解答题 8．（2025七年级上·北京·专题练习）检验是不是方程的解． 【答案】是 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解决本题的关键是知道方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把分别代入方程左右两边，检验即可． 【详解】解：当时，左边： ， 右边： ， ∴左边右边， ∴是方程的解． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）请利用等式的基本性质，把下列方程化成的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键． （1）方程两边同减3，得出答案即可； （2）先方程两边同加4，然后方程两边同减，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 方程两边同减3得：； （2）解：， 方程两边同加4得：， 方程两边同减得：． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列一元一次方程，熟练掌握方程的列法是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可； （2）根据题意列出方程即可； （3）根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 能力提升 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南南阳·期中）在物理学中，匀速直线运动的物体的运动速度、时间、路程之间有以下关系：将该式去分母得，那么其变形的依据是（    ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分数的基本性质 D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：∵对去分母时，对等式两边同时乘得到，该变形符合等式性质2的内容． ∴变形的依据是等式的性质2． 2．（25-26九年级下·广西玉林·期中）已知是关于的方程的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的解的定义把代入关于的方程，得到关于的方程，解方程求出的值． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得：． 3．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列变形符合等式性质的是 （    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，利用等式性质1和等式性质2，逐一判断各选项的变形是否正确即可． 【详解】解：A：若，两边同时加3，得，本选项变形错误； B：若，两边同时加2，得，本选项变形错误； C：若，两边同时除以，得，本选项变形错误； D：若，两边同时乘以，得，本选项变形正确． 4．（25-26七年级下·四川眉山·期中）解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的解代入求参数即可． 【详解】 解：将代入原方程可得， 解得处的数为． 二、填空题 5．（25-26七年级下·重庆·期中）由“的2倍与3的和等于5”可列方程为_____． 【答案】 【分析】根据题意将文字描述转化为代数式，结合等量关系列出方程即可 【详解】解：x的2倍可表示为，x的2倍与3的和可表示为， 根据和等于5，列方程为 6．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是方程的解，则的值为________ 【答案】5 【分析】根据方程解的含义，将代入方程，求出的值，再计算即可． 【详解】解：是方程的解， 则， 解得， 将代入可得，． 7．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的定义．将方程变形为，再根据表格中x与的对应关系，找到使成立的x值． 【详解】解：由方程，得． 由表可知，当时，，而， 即， 故方程的解为． 故答案为：． 三、解答题 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了等式的性质，解决问题的关键是能正确根据等式的性质进行变形． （1）利用等式的基本性质，等式左右两边同时减去5，再同时除以 （2）利用等式的基本性质，等式左右两边同时减去x，再同时除以2. （3）利用等式的基本性质。等式左右两边同时加上,再同时除以5. 【详解】（1）解：等式两边都减去5，得， 等式两边都除以，得． （2）解：等式两边都减去，得， 等式两边都除以2，得． （3）解：等式两边同时加上，得， 等式两边都除以5，得． 9．（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）根据下列条件，列出关于的方程： (1)与的差等于的倍； (2)的倍比的一半多． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列方程，准确将文字语言转化为数学表达式是解题的关键． （1）分别表示出与的差，的倍，即可列出方程； （2）分别表示出的倍，的一半，即可列出方程． 【详解】（1）解：与的差表示为：，的倍表示为：，故所列方程为：； （2）的倍表示为，的一半表示为，故所列方程为：． 10．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】将代入方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 挑战一刻 一、单选题 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 2．（25-26七年级下·四川乐山·期中）若是方程的解，则值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入方程得到与的关系，再将所求代数式变形后整体代入要求值的代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得 ， ∴等式两边同乘得 ，即， ∴． 3．（25-26七年级下·重庆万州·期中）下列等式变形，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式性质1与等式性质2，逐个判断选项即可． 【详解】解：A．∵，根据等式性质，两边同时加2，可得，变形正确，不符合题意； B．∵，根据等式性质，两边同时乘3，可得，变形正确，不符合题意； C．∵，根据等式性质，两边同时减4，可得，变形正确，不符合题意； D．若，当时，，当时，成立，即，因此变形错误，符合题意． 二、填空题 4．（25-26七年级下·四川乐山·期中）由，得到用表示的式子为_______． 【答案】 【分析】由移项法则变形即可求解． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同乘得． 5．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据浓度定义，浓度等于溶质质量除以溶液质量，设加水质量为m克，溶质为果汁粉，溶液质量为，浓度为，由此列出方程. 【详解】解：根据题意方程为 故答案为：. 6．（24-25七年级上·天津·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为_______（填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：①不是等式，不是方程； ②不含未知数，不是方程； ③是方程； ④是方程； ⑤不是等式，不是方程； 故是方程的为③④． 故答案为：③④ 7．（25-26七年级下·四川宜宾·阶段检测）若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】2019 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 三、解答题 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式： (1)如果，那么__________． (2)如果，那么__________． (3)如果，那么__________． (4)如果，那么__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为的数（或字母），等式仍成立． （1）（2）分别根据等式的性质判断即可； （3）（4）分别根据等式的性质判断即可； 【详解】（1）解：如果，，根据等式性质，在等式两边都减去； 故填：； （2）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都减去； 故填：； （3）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都除以； 故填：； （4）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都乘以； 故填：． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查根据实际问题列方程以及验证方程解的能力． （1）利用长方形周长公式和长与宽的关系列出方程； （2）通过代入数值验证是否为方程的解． 【详解】（1）解：∵长是宽的2倍，宽为， ∴长为， ∵长方形的周长(长+宽)，周长为， ∴方程为； （2）解：当时， 代入方程左边：， ∴左边=右边， ∴是该方程的解． 当时， 代入方程左边：， ∴左边≠右边， ∴不是该方程的解． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第11讲等式与方程 启新温故 预习目标 知识回顾 1. 观察实际问题，理解等式、方程的含义，能区 1.回顾代数式定义，熟练书写含字母、数字的 分等式与代数式。 各类代数式。 2.学会识别方程的已知数、未知数，掌握一元一 2.梳理用字母表示数量关系的方法，读懂实际 次方程的基础特征。 情境中的数量语句。 3.尝试根据简单文字描述列出方程，感受方程表 3.复习有理数运算， 能准确计算代数式的值， 示等量关系的优势。 为列方程打好基础。 新课一点通 新知导图PD 题型03列方程 题型01判断各式是否是方程 等式与方程 题型04方程的解 题型02等式的性质 题型05由方程的解求参数 预习精讲 D ③想一想 【思考1】同学们，文具一支笔3元，买若干支一共花15元，若设购买数量为x,你能用式子表示其中的 1/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 等量关系吗？ 【思考2】同学们，已知一个数加上8等于20，如果把这个未知的数记作x,如何写出包含x的相等关 系式？ 【思考3】同学们，长方形周长24，长7，宽用x表示，根据周长公式列出两边相等的式子，观察这几道 式子有什么共同特征？ 知识点01方程 方程：含有未知数的等式。 如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式：二是含有未知数， 即学即练 1.下面式子中，是方程的是()· A.5-x B.18÷3=6 C.1-2x=0.5 D.4-3x<5 2.下面的说法中，正确的有（)个. ①方程都是等式，所以等式也都是方程 ②x=6是方程1+0.25x=2.5的解. ③如果a+6=b-1,那么a>b. ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立. A.1 B.2 C.3 D.4 3.在①57-x=29,②0.26m=5.2,③15×2.4=36，④x-3.5<21,⑤12>a÷0.4,⑥a=b中，等式有_ ,方程有 (填序号) 知识点02等式的性质 等式的性质 1)等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。即：若a=b,则a±C=b士C(注：此处 字母可表示一个数字，也可表示一个式子) 2)等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=b,则aXc=bxciu (此处字母可表示数字，也可表示式子) 3)其他性质：①对称性：若a=b,则b=a;②传递性：若a=b,b=c,则a=c。 即学即练 4.若m+n=0,则下列等式一定成立的是() A.m=n B.2m+3n=0 C.-3m=3n D.mn=0 5.下列利用等式的基本性质变形，错误的是(). A.如果-2x=-2y,那么x=y B.如果x2=5x,那么x=5 C.如果a=b,那么a-6=b-6 D.如果。2+12+1，那么a=b 6.在x+2y=4中，用含x的代数式表示y,可得。 题型速练 DPD 题型O1判断各式是否是方程 【例】(25-26七年级下重庆期中)下面的式子中，是方程的是() A.3.2+1.8=5 B.x-6 C.2x=1 D.2a+3b 变式1.(25-26七年级下·山西临汾期中)下列式子中，是方程的有() A.3x-y B.x-2≠0 C.4+3=7 D.2x+1=0 变式2.(25-26七年级上陕西延安·阶段检测)下列各式中，是方程的有 (填序号) ①2-5=-3：②3x-5=-2:③y-6:④6-4a=2a+3, 变式3.(25-26七年级上·广西崇左阶段检测)下列各式中是等式，是方程（填序号）. ①5x-3=7;②5+3=8；③12x-6=x;④0+3；⑤2x+3y-z=0;⑥x+3y=5;⑦y=0;⑧x+3>6, 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⑨y≠1；⑩π≈3.14. 题型02等式的性质 【例】(25-26七年级下·黑龙江大庆·期中)下列等式变形，错误的是() A.若x=y,则x+1=y+1 B.若x=y,则2x=2y C.若a+1=b+1,则a=b x_y D.若x=y,则aa 变式1.(25-26七年级下·山西临汾期中)下列方程的变形正确的是() A.由3+x=5”得x=5-3 B血7x4,得=7 4 1 C.由2y=0,得y=2 D.由3=x-2,得x=-2-3 变式2.(24-25七年级下·北京期中)已知方程2x+y=4,用含x的代数式表示y,则y= 变式3.(25-26七年级下·全国课后作业)填空，使所得结果仍是等式： (1)如果x-2=5,那么x=5+ (2)如果3x=10-2x,那么3x+ =10: (3)如果2x=7,那么x=」 C4)如果2=3，那么x1=，一 题型03列方程 4 【例】(25-26七年级下河南鹤壁期中)用方程表示“x比它的5多3”正确的是（) 4 A.5x-x=3 B.x- 4 4 C.5x-3=x D.x-5r=3 变式1.(25-26七年级下河南周口阶段检测)某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x,可列方 程为() 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3x-5=x+9 B.3(x-5)=x+9 C.3x-5=9-x D.3(x-5)=9-x 变式2.(25-26七年级上·黑龙江大庆期末)若一个数x的3倍与5的和等于10，据此可列方程为： 变式3.(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨开学考试)2x与3y的和的3倍是10，则可用方程表示为 题型O4方程的解 【例】(25-26七年级下·山西临汾阶段检测)下列方程中，解为x=-2的方程是（) A.4x=6 B.3x+6=0 C.2x=0 D.5x-10=0 变式1.(25-26七年级下·海南海口·期中)当x取不同值时对应的多项式2mx+3n的值如下表所示，则关 于x的方程6mx+9n-6=0的解是() 0 2 2mx +3n 14 10 6 2 -2 A.0 B.2 C.1 D.-2 变式2.(25-26七年级上·山西吕梁期末)写出一个解为x=-4的一元一次方程： 变式3.(24-25七年级上江苏南京·期末)代数式x+b的值随着x的取值的变化而变化.下表是当x取不 同的值时对应的代数式的值： -3 -2 ax+b -8 -4 0 8 则关于x的方程x=8-b的解是 题型05由方程的解求参数 【例】(25-26七年级下·甘肃天水：阶段检测)已知x=2是关于x的方程2x+m=6的解，则m的值为 () 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.3 C.4 D.5 变式1.(25-26七年级下·重庆万州期中)关于x的方程ax+b+3=0的一个解是x=2,则2026+2a+b () A.2026 B.2025 C.2024 D.2023 变式2.(2026江苏常州·一模)若x=2是一元一次方程ax-b=3的解，则代数式5b-10a+7的值为， 变式3.(25-26九年级下福建福州期中)已知x=1是方程3x-m=x+2n的一个解，则整式m+2n+2026 的值为 基础固本提升 基础过关>> 一、单选题 1.(25-26九年级下·河北衡水期中)解方程2x=5x+3时，若要得到2x-5x=3,应在方程两边同时 () A.加上3 B.减去3 C.加上5x D.减去5x 2.(25-26六年级下山东烟台期中)有一个方程的解为x=5,则这个方程是() 51 A.5x-4=1 B.2x-5=-x 2=-2 x x-1 D.(x-2)2=6 3.(25-26七年级下·福建泉州期中)下列是根据等式的性质进行变形，正确的是() A.若X=y,则x+2=y-2 B.若m-x=n+x,则m=n x_y C.若mx=my,则x=y D.若3=3，则x=y 4.(2026江苏苏州一模)《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人 共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为x 6/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 人，根据题意可列出方程() A.9x+5=8x-3 B.9 C.9x-5=8x+3 D号转 二、填空题 5.(25-26七年级下·黑龙江大庆期中)若x=-1是关于x的方程2x+3a=5的解，则a的值为 6.(25-26七年级下·河南洛阳期中)若x=3是关于x的方程2x-br=6的解，则代数式2026-6a+3b的 值是 7.(25-26七年级下·吉林长春·阶段检测)x与6的差的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为 三、解答题 8.(2025七年级上北京专题练习)检验x=2是不是方程3x-1=2x+1的解. 9.(25-26七年级上·全国课后作业)请利用等式的基本性质，把下列方程化成x=的形式. (1)x+3=8: (2)6x-4=5x+7. 10.(2025七年级上全国专题练习)根据下列条件列出方程： (1)x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差. (2)某数的2比它本身小6.（设这个数为x) (3)一个数的3倍加上5等于这个数的5倍减去11.（设这个数为x) 能力提升 一、单选题 1.(25-26七年级下河南南阳期中)在物理学中，匀速直线运动的物体的运动速度V、时间1、路程5之 7/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同有以下关系：，=将该式去分母得=3那么其变形的依据是(） A.等式的性质1 B.等式的性质2 C.分数的基本性质 D.以上都不对 2.(25-26九年级下广西玉林期中)已知x=3是关于x的方程x+m=7的解，则m的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 3.(25-26七年级下·海南省直辖县级单位期中)下列变形符合等式性质的是() A.如果2x-3=7,那么2x=7-3 B.如果3x-2=1,那么3x=1-2 C.如果-2x=5,那么x=5+2 D.如果3=1，那么x=-3 11 4.(25-26七年级下四川眉山：期中)解方程2x一2x=2誉时，墨水把其中一个数字染成了谦，查阅 J 答案方程的解为x= 3,则誉处的数为() A.2 B.3 C.-3 D.-2 二、填空题 5.(25-26七年级下重庆期中)由“x的2倍与3的和等于5”可列方程为一· 6.(25.26七年级下海南省直辖县级单位期中)已知x=-2是方程4r+a=10的解，则0+8的值为 7.(25-26七年级上·浙江绍兴期末)已知m,n为常数，整式m+2n的值随x的取值不同而不同，下表 是当x取不同值时整式r+2n对应的值，则关于x的方程mx+2n-x=1的解是 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 mx+2n -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 三、解答题 8.(25-26七年级上·全国课后作业)利用等式的基本性质解下列方程： 8/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)5-×=-2 (2)3x=x-8. (3)3x-6=-31-2x 9.(25-26七年级上广东梅州阶段检测)根据下列条件，列出关于x的方程： (1)12与x的差等于x的3倍： (2)x的2倍比x的一半多15. 10.(25-26七年级下河南周口阶段检测)已知关于x的方程 x-3(m-x)=6x-7(m-x) 的解是x=2. 求m的值。 挑战一刻 一、单选题 1.(25-26七年级下·吉林长春期中)已知x=-1是关于x的方程2x-k=1的解，则k的值为() A.2 B.-2 C.3 D.-3 2.(25-26七年级下四川乐山期中)若x=2是方程a-bx=3的解，则-4b+2a+2020值为() A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 3.(25-26七年级下·重庆万州期中)下列等式变形，错误的是（) A.若a=b,则a+2=b+2 B.若a=b,则3a=3b C.若x+4=y+4,则x=y D.若a2=a,则a=1 二、填空题 4.(25-26七年级下四川乐山期中)由5x-y=-2,得到用x表示y的式子为y= 5.(25-26七年级上·上海宝山阶段检测)现有一包15g的果汁粉，用水冲泡成浓度为6%的饮料，需要加 9/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 多少水（浓度=溶质质量÷溶液质量），设需要加m克水，则可以列出方程： 1 6。(24-25七年级上天津阶段检测)在式子①2y+1,②1+7=15-8+1，®5+x=0,④m+2n=3, ⑤a+1≠0中，是方程的为 (填序号)· 7.(25-26七年级下四川宜宾·阶段检测)若x=3是关于x的方程2r-br=6的解，则代数式 2025-6a+3b的值是 三、解答题 8.(25-26七年级上·全国课后作业)用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式： (1)如果x+8=10,那么x=10+ (2)如果4x=3x+7,那么4x- =7 (3)如果-3x=8,那么x= 4)如果x=-2,那么 =-6 9.(25-26七年级上全国课后作业)一张长方形纸片，周长是0cm,长是宽的2倍. (1)设宽为xcm,请列出关于x的方程. (2)说明x=15是该方程的解，而x=20不是它的解. 10/10