暑假作业08 轴对称常考9类型题（巩固培优）七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以轴对称概念为核心，构建“定义-性质-应用”逻辑链条，通过9类题型系统提炼作图、折叠、最值等解题技巧，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |轴对称识别|4题|定义判断法|从轴对称图形定义出发，结合生活实例强化空间观念| |性质应用|6题|折叠全等转化|运用轴对称性质（对应点连线垂直平分线）解决角度、长度计算| |等腰三角形|7题|“三线合一”与等边对等角|性质定理→技巧总结→多情境角度计算，培养推理能力| |尺规作图|8题|角平分线与中垂线作图|依据SSS全等原理，规范作图步骤，提升数学语言表达| |折叠问题|8题|折叠前后图形全等|利用轴对称性质转化线段、角关系，建立模型意识| |最值问题|10题|对称点转化法|通过作对称点将折线转化为直线，应用“两点之间线段最短”|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 轴对称常考类型题 【知识点1 轴对称】 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫作对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫作对称点 【知识点2 轴对称图形】 如果一个平面图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形,这条直线就是它的对称轴. 【知识点3 对称轴】 1.定义 ：能够使两个图形折叠后完全重合的折痕所在的直线叫作对称轴 2.常见轴对称图形的对称轴的特点 【知识点4 轴对称的性质】 (1)关于某条直线对称的两个图形全等. (2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. (3)两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 【知识点5 利用轴对称的性质画对称轴】 成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。因此，只要找到其任意一对对应点(不重合)，作出所连线段的垂直平分线就可以得到对称轴。 【知识点6 作某图形关于某直线对称的图形的一般步骤】 1.作某点关于某直线对称的点的一般步骤 (1)过已知点作已知直线(对称轴)的垂线，标出垂足； (2)在垂线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段(截点与已知点在已知直线的两侧)，那么截点就是已知点关于该直线对称的点. 【知识点7 平面直角坐标系中的轴对称】 1.关于x轴对称：点(a，b)关于x轴对称的点的坐标为((a,-b)，简记：“横同纵反”. 2.关于y轴对称：点(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)，简记：“纵同横反”. 【知识点8 等腰三角形】 有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫作腰，剩余的一条边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边与腰的夹角叫作底角； 【知识点9 等腰三角形的性质定理】 1.等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角. 2.等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”.❸ 技巧总结： 1.“等边对等角”是证明两角相等的常用方法. 2.已知等腰三角形的一个角时，可利用“等边对等角”和三角形的内角和定理求其余的角. 3.“三线合一”是证明两角相等、两线段相等及两直线垂直的重要依据. 4.等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高也相等，两底角平分线也相等. 5.等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 【知识点10 等腰三角形的对称性】 等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线是对称轴. 这条直线也是底边的垂直平分线 【知识点11 等边三角形及其性质】 1.定义：三条边都相等的三角形叫作等边三角形，又称正三角形. 2.性质：等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于 【知识点12 角的平分线的性质】 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 【知识点13 线段的垂直平分线的性质】 .线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【题型1 轴对称图形的识别】 1．（2026·山西临汾·三模）山西景点图标构建了“华夏古文明·山西好风光”的视觉符号体系．下列是我省四个旅游景区的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级·全国·暑假作业）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山西长治·三模）对称美在生活中应用十分广泛，下列图形中，可以看成轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河北沧州·三模）如图，正方形网格中的八条等长线段形成了一个轴对称图形．将标号①②③④的四条线段随机擦去其中的两条后，剩下的图形仍是轴对称图形的概率为（     ） A． B． C． D． 【题型2 利用轴对称图形的性质求解】 5．（2026·湖北武汉·二模）如图，在中，，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，直线交于点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 7．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 8．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，与关于直线对称，点、的对称点分别为点、，且点、、在一条直线上，其中，，． (1)求的周长； (2)连接，求的面积． 10．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接与分别相交于点E，F，连接． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【题型3 角平分线的性质定理】 11．（2026·陕西西安·一模）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 12．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 13．（2022七年级下·重庆沙坪坝·专题练习）如图，在中，，D是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点B恰好在边上点，使得，则点D到的距离是______ 14．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 【题型4 应用等腰三角形的性质解决问题】 16．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，是的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴． 故选：D 17．（18-19八年级下·云南文山·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 18．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） 19．若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 20．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 21．（25-26八年级上·天津南开·期中）如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为______度． 22．如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【题型5 角平分线与线段垂直平分线的尺规作图问题】 23．（2026·北京昌平·二模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 24．（2026·山东德州·中考真题）如图，为了作出的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点为圆心，任意长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长，射线则为的角平分线．小明说，可以通过判定得到对应角相等来证明射线是的角平分线，他使用的全等判定方法是（     ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．三条边分别相等的两个三角形全等 25．（2026·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧(两弧半径相等)，两弧在的内部相交于点H，作射线交于点G．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级下·福建宁德·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是的角平分线，判断正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 27．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，点在的延长线上． (1)尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)补全图形，取的中点，连接并延长交的角平分线于点． 28．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 29．（2026·河南周口·模拟预测）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小明想自制一个风筝，于是就在图纸上画了一个如图所示的，其中． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的中点；连接并延长到，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求证：． 30．（25-26八年级上·福建南平·阶段检测）如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 31．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【题型6 线段垂直平分线的性质】 32．（21-22八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________． 33．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 34．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 35．（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，．若，则的周长为_____________． 36．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【题型7 轴对称下的光线反射问题】 37．（25-26七年级下·河南开封·期末）【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 38．（2026·河北张家口·二模）如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 39．（25-26七年级下·河北保定·期中）图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 40．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 41．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 42．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 【题型8 利用轴对称图形的性质解决折叠问题】 43．（2026·陕西渭南·模拟预测）数学活动课上，小晨用一张等宽的纸条折叠成如图所示的图案，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 44．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，三角形纸片中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为的周长为7，，则为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 45．（25-26七年级下·河南安阳·期末）如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿 折叠成图3，则图3中的的度数是（   ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，将长方形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，点A落到上方的点处，与边相交于点，点恰好落到上的处．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 47．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，点F、G是边上的两点，分别以线段、为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点、点，若线段、在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 48．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则_______°． 49．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）如图，在长方形中，，现将这一长方形纸片沿折叠，若使平行于，则________． 50．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在四边形纸片中，，将，分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点，点，都落在边上的处，若四边形的面积是，，则_____． 【题型9 用轴对称性质解决最值问题】 51．（25-26七年级上·河北邢台·期末）如图是一个底面为正方形的长方体容器，顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从顶点A处出发沿侧面爬向点B处．现将顶点A，B所在的两个侧面展开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A．B．C． D． 52．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 53．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 54．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 55．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 56．（2026七年级下·山东济南·专题练习）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为______． (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小（保留作图痕迹，不写作法）． 57．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)在直线l上找一点，使的值最小， (3)在直线l上找一点M，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹）． 58．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 59．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点． 则为（     ） A． B． C． D． 60．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，点D在上，，将沿着翻折得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 61．（19-20八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 62．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 63．（2026·浙江丽水·二模）小明与小华合作探究：用直尺和圆规作的平分线． 小明的作法如图：①以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与角的两边分别交于点，．②分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，交内一点．③过点作射线． 小华的作法如图：①以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与角的两边分别交于点，．②分别以，为圆心，小于的同样长度为半径作圆弧，交于点，，交于点，．③…（未完成待续）． (1)根据小明的作法，求证． (2)分析小华的不完整作法，判断小华的作法是否可以作出角平分线；若是可以，完成后续步骤，并给出证明．若是不可以，请说明理由． 64．（2025·浙江金华·三模）尺规作图问题：已知，过点作直线，使得． 如图是小聪同学的作法： ①作的垂直平分线，交于点，交直线于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则． (1)请说明的理由； (2)小聪在作图时发现以A为圆心，长为半径的弧会过点C，若，求的度数． 65．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图是某果树树苗基地的平面示意图，，分别是桃树苗、杏树苗，中间为笔直的小路，为工具室，为笔直的水渠，灌溉沟． (1)在水渠上找一点，使从杏树苗到水渠，然后从水渠到工具室行走的总路程最短，在图中找出点 ，并画出行走路线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； (2)现要在小路上修建一处诱虫处（点），要求诱虫处点到，的距离都相等，请确定点 的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． 66．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 综上：或． 67．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 68．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 69．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）综合与探究 在长方形纸条中，，，． (1)如图1，将纸条沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，交于点．若，则_____； (2)如图2，将长方形纸条沿，同时向中间翻折，点落在点处，点落在点处，若，求的度数； (3)如图3，在图1的基础上将对折，点落在直线上的点处，点落在点处，折痕为，过点作的平行线． 与的位置关系是______； 求和的数量关系． 70．（25-26七年级下·山东济南·期中）《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 (1)如图1，为等边三角形，点在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点．则 ，判定依据为 ， ，并直接写出的度数 ． 【应用模型】 (2)如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； (3)如图3，在Rt中，，，点是外一点，连接，，．当5，时，请直接写出四边形的面积． 71．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 72．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 73．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 试卷第72页，共75页 4 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 轴对称常考类型题 【知识点1 轴对称】 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫作对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫作对称点 【知识点2 轴对称图形】 如果一个平面图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形,这条直线就是它的对称轴. 【知识点3 对称轴】 1.定义 ：能够使两个图形折叠后完全重合的折痕所在的直线叫作对称轴 2.常见轴对称图形的对称轴的特点 【知识点4 轴对称的性质】 (1)关于某条直线对称的两个图形全等. (2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. (3)两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 【知识点5 利用轴对称的性质画对称轴】 成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。因此，只要找到其任意一对对应点(不重合)，作出所连线段的垂直平分线就可以得到对称轴。 【知识点6 作某图形关于某直线对称的图形的一般步骤】 1.作某点关于某直线对称的点的一般步骤 (1)过已知点作已知直线(对称轴)的垂线，标出垂足； (2)在垂线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段(截点与已知点在已知直线的两侧)，那么截点就是已知点关于该直线对称的点. 【知识点7 平面直角坐标系中的轴对称】 1.关于x轴对称：点(a，b)关于x轴对称的点的坐标为((a,-b)，简记：“横同纵反”. 2.关于y轴对称：点(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)，简记：“纵同横反”. 【知识点8 等腰三角形】 有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫作腰，剩余的一条边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边与腰的夹角叫作底角； 【知识点9 等腰三角形的性质定理】 1.等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角. 2.等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”.❸ 技巧总结： 1.“等边对等角”是证明两角相等的常用方法. 2.已知等腰三角形的一个角时，可利用“等边对等角”和三角形的内角和定理求其余的角. 3.“三线合一”是证明两角相等、两线段相等及两直线垂直的重要依据. 4.等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高也相等，两底角平分线也相等. 5.等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 【知识点10 等腰三角形的对称性】 等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线是对称轴. 这条直线也是底边的垂直平分线 【知识点11 等边三角形及其性质】 1.定义：三条边都相等的三角形叫作等边三角形，又称正三角形. 2.性质：等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于 【知识点12 角的平分线的性质】 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 【知识点13 线段的垂直平分线的性质】 .线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【题型1 轴对称图形的识别】 1．（2026·山西临汾·三模）山西景点图标构建了“华夏古文明·山西好风光”的视觉符号体系．下列是我省四个旅游景区的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合． 【详解】解：只有B选项文字上方的图案左右对折后两部分能够互相重合，是轴对称图形． 2．（26-27八年级·全国·暑假作业）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平面内，沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、C、D选项图形无法找到一条直线，使折叠后两旁的部分完全重合，故不是轴对称图形，故A、C、D均不符合题意； B选项图形可以找到直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故B符合题意． 3．（2026·山西长治·三模）对称美在生活中应用十分广泛，下列图形中，可以看成轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此进行解答即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 4．（2026·河北沧州·三模）如图，正方形网格中的八条等长线段形成了一个轴对称图形．将标号①②③④的四条线段随机擦去其中的两条后，剩下的图形仍是轴对称图形的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出共有种等可能结果，根据轴对称图形的定义结合题意分析出剩下的图形仍是轴对称图形的可能数，进而根据概率公式即可求解． 【详解】解：擦去①和②，①和③，②和④，③和④，剩下的图形都是轴对称图形； 擦去②和③，①和④，剩下的图形不是轴对称图形． 共有种等可能结果，其中有4种符合题意， ∴随机擦去其中的两条后，剩下的图形仍是轴对称图形的概率为． 【题型2 利用轴对称图形的性质求解】 5．（2026·湖北武汉·二模）如图，在中，，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据轴对称的性质得到，所以，然后结合三角形外角性质求得，再根据等腰三角形的性质求得，即可求得答案． 【详解】解：沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，直线交于点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【答案】B 【分析】先根据轴对称的性质得出，，再得出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵点A关于直线对称的点E恰好在线段上，，，， ∴，， ， ∴的周长． 7．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质可得，，再根据得出答案． 【详解】解：∵点P关于的对称点是Q， ∴， 同理． ∵， ∴． 8．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得出和关于直线对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：和关于所在的直线成轴对称， 是的对称轴， ， 点，是边上的两点， 和关于直线对称， ， 由图可知，阴影部分的面积． 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，与关于直线对称，点、的对称点分别为点、，且点、、在一条直线上，其中，，． (1)求的周长； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据对称的性质得到，，然后等量代换求解即可； （2）首先根据对称的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴，， ∴的周长； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，， ∴的面积． 10．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接与分别相交于点E，F，连接． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长； （2）根据轴对称的性质可得，，由此即可求得答案． 【详解】（1）解：、分别是点关于、的对称点， ，， △的周长， ； 的周长等于8； （2）解：如图，连接， ∵点M，N分别是点P关于的对称点， ，， ． ． 【题型3 角平分线的性质定理】 11．（2026·陕西西安·一模）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式．过点作于，根据三角形面积公式求出的长，再根据角平分线的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ，， 平分，， ． 12．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、垂线段最短等知识，首先解得，根据题意易得当时，线段的长度取最小值，然后由角平分线的性质定理即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴当时，线段的长度取最小值，如下图， ∵为的角平分线，，， ∴， ∴线段长度的最小值是4． 故选：A． 13．（2022七年级下·重庆沙坪坝·专题练习）如图，在中，，D是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点B恰好在边上点，使得，则点D到的距离是______ 【答案】7.5 【分析】根据翻折的性质得到平分，根据，求出的长，角平分线的性质，结合等积法进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴点到的距离相等， 设点到的距离均为， ∵，， ∴， ∴， ∴；即点D到的距离是7.5． 14．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 【答案】(1)②①③ (2)① (3)的长为 【分析】本题考查角平分线的作图方法，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质．熟悉以上知识点，并灵活运用是解题的关键． （1）根据作角平分线的方法进行判断即可； （2）利用作图符合判定全等三角形的方法，进行判断即可； （3）过点作于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式得到，即，然后解方程即可． 【详解】（1）解：作的平分线的正确顺序为②①③； 故答案为：②①③； （2）解：由作法得，，而为公共边， 所以根据“”可判断，则， 故答案为：①； （3）解：如图，过点作于点， 平分，，， ， ， ， 即，解得：， 的长为3． 【题型4 应用等腰三角形的性质解决问题】 16．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，是的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴． 故选：D 17．（18-19八年级下·云南文山·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 18．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据等边对等角可得的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 19．（20-21八年级上·湖南·期中）若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分的角是顶角和底角时，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和为计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 若的角是底角，则底角为， 此时顶角为，符合三角形内角和定理； 若的角是顶角， ∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， ∴底角为， ∴该等腰三角形的底角为或． 20．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【分析】先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 【详解】解：， ， ． ∵， ∴， 在和中， ， ，． ， ． 21．（25-26八年级上·天津南开·期中）如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为______度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 先根据等腰三角形的性质得到，，再由直角三角形锐角互余求出，再根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 22．如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据角的和差运算得到，结合已知条件即可利用证得结论； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，可知为等腰三角形，然后根据等边对等角、三线合一以及三角形内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵O点为中点， ∴． 【题型5 角平分线与线段垂直平分线的尺规作图问题】 23．（2026·北京昌平·二模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题关键在于根据作图步骤提取出相等的线段（，），进而证明和，最终利用证明，从而得出平分的结论． 【详解】∵由作图可知，， ∴， 在和中， ∵ ∴（）， ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴， ∴， ∴选项正确． 24．（2026·山东德州·中考真题）如图，为了作出的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点为圆心，任意长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长，射线则为的角平分线．小明说，可以通过判定得到对应角相等来证明射线是的角平分线，他使用的全等判定方法是（     ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．三条边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】根据尺规作图的步骤，可以得到，，再加上公共边，利用“边边边”判定定理即可证明三角形全等． 【详解】如图： 由作图步骤可知， 在和中， 使用的全等判定方法是三条边分别相等的两个三角形全等． 25．（2026·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧(两弧半径相等)，两弧在的内部相交于点H，作射线交于点G．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质．由作图可知，结合 ，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知 ． ， ． ， ． 26．（25-26八年级下·福建宁德·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是的角平分线，判断正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】由角平分线的尺规作图可判断图①；垂直平分线的尺规作图可判断图②；由平行线和等边对等角性质可判断图③；由三线合一性质可判断图④． 【详解】解：图①，由作图得，是的平分线，符合题意； 图②，由作图得，是的垂直平分线，不符合题意； 图③，由作图得， ∴ ∴ 由作图得， ∴ ∴ ∴是的平分线，符合题意； 图④，由作图得，，垂直平分 ∴是的平分线，符合题意． 综上所述，判断正确的是①③④． 27．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，点在的延长线上． (1)尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)补全图形，取的中点，连接并延长交的角平分线于点． 【答案】(1)由题意，作图如下； (2)由题意，补全图形如下： 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）作的中垂线，确定点，再根据要求，补全图形即可. 【详解】（1）略 （2）略 28．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图，点即为所求． 【分析】先连接，然后作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点即为所求． 【详解】略 29．（2026·河南周口·模拟预测）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小明想自制一个风筝，于是就在图纸上画了一个如图所示的，其中． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的中点；连接并延长到，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的作图和线段的作图进行解答即可； （2）根据等腰三角形三线合一得到．利用证明即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：．点为的中点． ． 在与中， ． 30．（25-26八年级上·福建南平·阶段检测）如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为5 【分析】本题考查尺规作图（垂直平分线）和线段垂直平分线的性质． （1）如图，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，则直线就是的垂直平分线； （2）连接，设，，则，由题意列出方程，解得，再由的周长是25，即可求解． 【详解】（1）解：边的中垂线，如图1即为所求； （2）解：如图2，，连接， 由作图知，， 设，，则， ∵的周长是25，将的周长分成， ∴， 即， 解得：， ∴，即， 解得：， ∴的长为5． 31．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【答案】(1)38 (2)42 (3)见解析 (4)5 【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C于点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l于点E，再以点E为圆心，为半径画弧交于点，连接交l于点O，点O即为所求． （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 【题型6 线段垂直平分线的性质】 32．（21-22八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，进而求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 33．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解． 【详解】解：连接，的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8 ． 34．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 【答案】/44度 【分析】根据垂直平分线得到，由三角形内角和定理得到，根据折叠可得，由三角形外角的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与点重合， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 35．（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，．若，则的周长为_____________． 【答案】8 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是利用垂直平分线的性质将的周长转化为的长度．根据线段垂直平分线的性质，得到，，再将的周长替换为，而的长度等于的长度，代入已知的数值即可求出的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴； ∵的垂直平分线交于点， ∴； ∴的周长， ∵， ∴的周长为； 故答案为：8． 36．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 故答案为：4． 【题型7 轴对称下的光线反射问题】 37．（25-26七年级下·河南开封·期末）【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用光的反射规律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据光的反射规律可得， ∵， ∴． 38．（2026·河北张家口·二模）如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射原理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：如图，设平面镜所在直线与y轴交于点C，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴， 则， 故， 因为， 故， 故， 根据正方形的性质，得是小正方形的对角线， 所以， 所以是小正方形的对角线， 故， 故, 故反射光线与轴交于点； 39．（25-26七年级下·河北保定·期中）图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【答案】/度 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义和已知条件 求出的度数，最后利用角的和差关系求出的度数． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， 平面镜是一条直线， ， ， ， ， 40．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 41．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：如图所示： 42．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 【答案】(1)3 (2)7，图见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，规律总结，列代数式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据题中的作图方法，在图5中作图即可解答； （2）根据题中的作图方法，在图6中，利用网格作图即可解答； （3）根据题中呈、、时，能看到的蜡烛个数，总结出规律即可解答． 【详解】（1）解：如图，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像，继续作出关于的对称点均为， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见3个完整的蜡烛； 故答案为：3； （2）解：如图，即为所求， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见7个完整的蜡烛； 故答案为：7； （3）解：∵当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角，且为整数时，镜中能看见个完整的蜡烛； 故答案为：． 【题型8 利用轴对称图形的性质解决折叠问题】 43．（2026·陕西渭南·模拟预测）数学活动课上，小晨用一张等宽的纸条折叠成如图所示的图案，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角相等得到，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质作答即可． 【详解】解：如图， 由题意可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴． 44．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，三角形纸片中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为的周长为7，，则为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由折叠可知，再利用的周长求出，然后可得． 【详解】解：由折叠可知， ， 解得， ， 即． 45．（25-26七年级下·河南安阳·期末）如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿 折叠成图3，则图3中的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由长方形的性质可知，由此可得出，再根据折叠的性质求得图2中，由此即可算出图3中度数． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ． 由折叠的性质可知： 图2中，， ∴， ∴图3中，． 46．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，将长方形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，点A落到上方的点处，与边相交于点，点恰好落到上的处．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠可得，即可得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：根据折叠可得， ∴， 又∵四边形是长方形， ∴， ∴． 47．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，点F、G是边上的两点，分别以线段、为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点、点，若线段、在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ， ． 48．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则_______°． 【答案】 【分析】由长方形的性质得到，则，由折叠的性质可知，、、，进而求出，利用三角形内角和为求出，从而求出的度数． 【详解】解：四边形是长方形， 、， ， 由折叠的性质可知，、、， ， ， ， ， ， ． 49．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）如图，在长方形中，，现将这一长方形纸片沿折叠，若使平行于，则________． 【答案】 【分析】利用长方形的性质求出再根据折叠的性质得到，最后利用平行线的性质与等量代换求出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵ ∴ ∵是由沿折叠而得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 50．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在四边形纸片中，，将，分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点，点，都落在边上的处，若四边形的面积是，，则_____． 【答案】 【分析】先根据折叠的性质可得，，由此证明，结合，可得，进而求出． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴，即， ∵四边形的面积是， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴． 【题型9 用轴对称性质解决最值问题】 51．（25-26七年级上·河北邢台·期末）如图是一个底面为正方形的长方体容器，顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从顶点A处出发沿侧面爬向点B处．现将顶点A，B所在的两个侧面展开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．根据长方体的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可． 【详解】解：蚂蚁爬行的最短路线如图所示： 故选：B． 52．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 【答案】C 【分析】本题考查了作轴对称最短路线问题，运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路线的求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∴, ∴, ∵长度不变， ∴此时管道路径最短， ∴最短路径为:, 这正好对应方案的作法． 53．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． 54．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置． 根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为． 【详解】解：连接，由题可知B和E关于AD对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为， ∴则的最小值为5， 故答案为：5． 55．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 56．（2026七年级下·山东济南·专题练习）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为______． (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1) (2)如图，即为所求： (3)如图，点P即为所求： 【分析】（1）根据割补法即可求的面积； （2）根据轴对称的性质即可画出关于直线l的轴对称图形； （3）结合，连接交直线l于点P，根据两点之间线段最短得值最小． 【详解】（1）解：的面积． （2）解：略； （3）解：略； 57．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)在直线l上找一点，使的值最小， (3)在直线l上找一点M，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，最短距离等知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； （1）画出关于直线的对称点，并依次连接即可； （2）连接交于点P，则点P即为所求； （3）延长交于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：画出关于直线的对称点，依次连接得到如下： （2）解：如图，连接交于点P，则点P即为所求： 由对称知，，则最小值为线段的长； （3）解：如图，延长交直线l于点M，则点M即为所求． 此时的最大值为线段的长． 证明：如图， 根据三角形三边关系可知， 即在同一直线时，的最大值为线段的长． 58．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； （2）解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 59．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点． 则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本作图得到平分，所以． 【详解】解：由作法得平分， ． 60．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，点D在上，，将沿着翻折得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等腰三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】， ， ， ， 由折叠的性质得：， ． 61．（19-20八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据等边对等角即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 62．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 连接，，根据轴对称的性质得到，，，求出，根据面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， 点P、关于对称，点P、关于对称，， ，，， ， 的面积， 故答案为：． 63．（2026·浙江丽水·二模）小明与小华合作探究：用直尺和圆规作的平分线． 小明的作法如图：①以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与角的两边分别交于点，．②分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，交内一点．③过点作射线． 小华的作法如图：①以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与角的两边分别交于点，．②分别以，为圆心，小于的同样长度为半径作圆弧，交于点，，交于点，．③…（未完成待续）． (1)根据小明的作法，求证． (2)分析小华的不完整作法，判断小华的作法是否可以作出角平分线；若是可以，完成后续步骤，并给出证明．若是不可以，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接、， 根据小明的作图方式可知，， 在和中， ， ， ， ； (2)可以． 解：小华的作法可以作出角平分线， 后续补充步骤：③连接、，线段与线段相交于点，过点作射线，射线即为的平分线； 设小华第二步作图的半径为，由第一步作图得, ， ，， ，， ，，且， 在和中， ， ， ， ，， ，且， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的角平分线． 【分析】（1）利用全等三角形的判定可得，再根据全等三角形的性质得； （2）通过证明可求得，再根据全等三角形的判定得，利用全等三角形的性质可求出，进而求证即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 64．（2025·浙江金华·三模）尺规作图问题：已知，过点作直线，使得． 如图是小聪同学的作法： ①作的垂直平分线，交于点，交直线于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则． (1)请说明的理由； (2)小聪在作图时发现以A为圆心，长为半径的弧会过点C，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，结合，，证明，进一步可得结论； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角性质得出，根据等腰三角形的性质得出，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）证明：如图， ∵为中垂线， ， ， 由作图可得，， ， ， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 根据题意， ， ． 65．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图是某果树树苗基地的平面示意图，，分别是桃树苗、杏树苗，中间为笔直的小路，为工具室，为笔直的水渠，灌溉沟． (1)在水渠上找一点，使从杏树苗到水渠，然后从水渠到工具室行走的总路程最短，在图中找出点 ，并画出行走路线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； (2)现要在小路上修建一处诱虫处（点），要求诱虫处点到，的距离都相等，请确定点 的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质． （1）根据题意作关于的对称点，连接交于点，连接，则即为所求 （2）根据题意连接，作的垂直平分线，即可求解． 【详解】（1）解：如图点，即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 66．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)或 (3)①；②或 【分析】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动速度和时间列式得出，再结合，进行线段的和差运算，即可作答． （2）先算出长方形的面积为，则或的面积为，结合平分或的面积，列式进行计算可作答． （3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答． ②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可作答． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动， ∴当时，则 ∵ ∴ ∴当时，则 ∴ 故答案为：2 （2）解：∵长方形中， ∴等于的面积， 即， ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∴或 （3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ∴最短时，即最短 此时（垂线段最短），即点与点重合 ∴ ②∵边形的面积是长方形的面积 ∴ ∵ ∴ 当点P在上时    ∴ 解出； 当点P在上时    ∴ 解出； 综上：或． 67．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 【答案】8 【分析】根据对称的性质得出，从而得到，利用等腰直角三角形面积的求得当与边上的高相等时，面积最小． 【详解】解：如图所示，连接，过点作线段的垂线，交的延长线于点． ∵点与点关于对称， 点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是个等腰直角三角形， ， ∴要使面积最小，需要的值最小， 当垂直时，即与重合时，的值最小． ∵，解得； ∴面积的最小值为． 【点睛】本题主要考查了将军饮马的模型，先利用对称的性质将求面积最小转化为求的最小值，最后利用点到直线垂线段最短解出答案． 68．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)90 (2)选择图（2）：；选择图（3） (3)或 【分析】（1）根据折叠可得：，，再根据，即可得出答案； （2）设，，根据图形中角度关系求出，根据求出结果即可； （3）分两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠可得：，， ∵， ∴； （2）解：选图（2），由折叠可知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ ； 选图（3），由折叠可知，， 设，， ∵， ∴， 即， ∴ ； （3）解：如图，当在下方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 如图，当在上方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 综上，或． 69．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）综合与探究 在长方形纸条中，，，． (1)如图1，将纸条沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，交于点．若，则_____； (2)如图2，将长方形纸条沿，同时向中间翻折，点落在点处，点落在点处，若，求的度数； (3)如图3，在图1的基础上将对折，点落在直线上的点处，点落在点处，折痕为，过点作的平行线． 与的位置关系是______； 求和的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）由折叠知，由平行知， 再由平角的定义可求得的度数； （2）由平角的定义可得的度数，结合折叠的性质等量代换，即可得解； （3）由折叠可知，，，再由平行线的性质等量代换即可得解；延长交于点，由平行线的性质可得，，，结合对顶角相等等量代换可得，再结合折叠的性质可得，等量代换即可得解． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ， ， ， ； （2）解：， ， 由折叠可知，，， ； （3）解：，理由如下： 由折叠可知，，， ， ， ， ． ，理由如下： 如图，延长交于点， ，， ， ， ， ． ， ． ， ，， ，， ． 由折叠可知，， ， ， ． 70．（25-26七年级下·山东济南·期中）《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 (1)如图1，为等边三角形，点在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点．则 ，判定依据为 ， ，并直接写出的度数 ． 【应用模型】 (2)如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； (3)如图3，在Rt中，，，点是外一点，连接，，．当5，时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)，SAS，AD， (2)见解析 (3)12.5 【分析】(1) 观察图形可知，结合已知条件可以确定全等的判定方法，然后利用全等三角形的对应角相等，再通过进一步推导可以求出； (2) 首先结合第 (1) 问的图形结构证明 ，然后利用全等的性质和已知条件确定 的度数，进而证明即可； (3) 依据前 2 问的解题经验，构造类似的图形结构，通过作辅助线把四边形的面积进行转化而求解． 【详解】（1）解：如图1，设，交于点． ， 为等边三角形， ，，， ，即 ， ， ，， 又， ； （2）证明： 线段绕点 逆时针旋转 得到， ，， ． 为等边三角形， ，， ，即 ． 在 和 中， ， ． 三点共线，， ， ， ， ，即平分； （3）解：答案12.5．理由： 如图 2，延长到，使 ． ，， 在四边形中， ． ， ． 在 和 中， ． ，， ， ． ，， ． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形（等边三角形）的性质．能够在探究的过程中掌握基本图形的结构并加以应用是解题的关键． 71．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【详解】（1）证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，，； （2）解：如图，即为最短路径； （3）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 72．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 73．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【答案】（1）相等，见解析；（2）见解析；（3）；（4）8 【分析】（1）根据余角的性质，解答即可． （2）根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，解答即可． （3）根据光的反射原理，三角形内角和，三角形外角性质，解答即可． （4）根据光的反射原理，平行线的判定，规律的探索解答即可． 本题考查了余角的性质，平角的定义，平行线的判定，三角形内角和，光的反射定律，熟练掌握平行线的判定，光的反射定律是解题的关键． 【详解】（1）证明：和之间的数量关系是，理由如下： 根据题意，得， 又， ， ． （2）解：根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，画图如下： 则即为所求． （3）解：如图，连接， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （4）解：如图，， ， ， , 根据反射原理，得第一次入射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据反射原理，得第二次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据光的反射原理，得第三次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， 由此得到规律，每次反射时，入射光线与平面镜的夹角依次为， 根据题意，当第八次时，反射光线与平面镜的夹角为， 故 ， 故答案为：8． 试卷第72页，共75页 4 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $