（旧知清零）专题06 长方体和正方体【能力清单+核心易错点+错题复盘练】（讲义）-2026-2027学年苏教版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年苏教版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 专题06 长方体和正方体【能力清单+核心易错点+错题复盘练】 1、能清晰理解长方体和正方体的意义，区分二者的面、棱、顶点核心特征。 2、能熟练进行棱长总和的计算操作，并理解棱的分组对应的内在联系。 3、能熟练运用表面积、体积的计算公式，用于各类立体图形相关问题的求解。 4、能根据不同情境，灵活选择“公式法、展开图法”适配表面积类问题解题。 5、会检验立体图形计算结果，并选择合适策略（反向验算、单位核对）验证结果。 6、能分辨“无盖容器、切割拼接”的实际问题，并抓住“面的增减变化”这一关键。 7、做题时，能圈出题目中的“棱长”“表面积”“体积”“容积”等关键词。 8、能熟练根据实际场景确定对应面的数量，区分实心立体和空心容器的适用场景。 9、能准确识别“棱长总和、表面积、体积、容积”不同题型，匹配对应解题步骤。 10、能根据已知体积反推缺失的长/宽/高，理清立体图形各维度的对应逻辑。 1、长方体的6个面不一定全是长方形，允许存在2个相对的正方形面。 2、计算棱长总和时，长、宽、高要分别乘4，不能直接把所有棱的长度直接相加。 3、无盖长方体容器的表面积只算5个面，不能默认按完整6个面的公式计算。 4、体积和容积的计算方法相近，但容积要从容器内部测量长宽高，不能用外部尺寸。 5、长方体切割后表面积会增加，每切一次就新增2个对应切面的面积。 6、相邻体积单位的进率是1000，不能把面积单位的进率直接套用到体积换算中。 7、正方体的棱长扩大n倍，体积要扩大到原来的n³倍，不能错记成n倍或n²倍。 8、计算浸没物体体积的排水法时，上升部分水的体积才等于物体体积，不能直接用总体积代替。 9、拼合多个长方体时，总表面积会减少，重合的面的面积要从总和里扣除。 10、表面积相等的两个长方体，体积不一定相等，不能直接判定二者体积大小一致。 一、选择题 1．下面的几何体是用8块棱长为1厘米的小正方体拼成的，现在从中取走小正方体①，取走以后剩下部分几何体与原来相比较，下列说法正确的是（    ）。 A．取走①后，表面积不变 B．取走①后，体积不变 C．取走①后，表面积变大 D．取走①后，表面积变小 【答案】A 【分析】物体的体积是指物体所占空间的大小，判断物体的体积是否发生了变化，看它所占的空间是否有变化；表面积则是指物体露在外面的面，所以判断表面积的变化，要看露在外面的面是否有变化。 【解答】（1）原来的几何体有8个小正方体拼成，取走①后剩下7个，减少了一个小正方体的体积，所占空间减小了，所以体积比原来减小了； （2）原来的小正方体①露在外面的面有3个，1个前面的面、1个上面的面、1个右侧面；取走①后，它的这3个面消失了，但是它左面的小正方体露出1个右侧面、它后面的小正方体露出1个前面的面、它下面的小正方体露出1个上面的面，这3个面刚好补充了取走小正方体①消失的3个面，所以表面积没有变化。 因此：取走①后，体积减小了，表面积没有变化。 A选项说法正确，B、C、D3个选项说法不正确。 2．一个长26cm、宽18.5cm，厚0.6cm的物体，它最有可能是（    ）。 A．午餐盒 B．橡皮 C．数学书 D．新华字典 【答案】C 【分析】根据给出的物体长、宽、厚三个尺寸数值，结合生活中常见物品的实际尺寸逐一对比。 【解答】A．午餐盒的厚度一般在以上，远大于，所以这个物体不可能是午餐盒，该选项错误； B．橡皮一般长约为，宽约为，远小于和，所以这个物体不可能是橡皮，该选项错误； C．数学书的长约为，宽约为，厚约为，与题干数据相符，所以这个物体有可能是数学书，该选项正确； D．新华字典的厚度一般在以上，远大于，所以这个物体不可能是新华字典，该选项错误。 3．如图，小林在一个无盖的长方体玻璃容器中摆了若干个体积为1立方分米的正方体。做这个玻璃容器至少需要玻璃（    ）平方分米。 A．84 B．96 C．102 D．72 【答案】A 【分析】小正方体体积是1立方分米，所以棱长为1分米； 观察这个玻璃容器，长能摆6个正方体，即6分米；宽能摆4个正方体，即4分米；高能摆3个正方体，即3分米； 这是一个无盖的长方体容器，所以求玻璃面积只需要算5个面的面积，所需玻璃的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数值即可。 【解答】6×4＋（6×3＋4×3）×2 ＝6×4＋（18＋12）×2 ＝6×4＋30×2 ＝24＋60 ＝84（平方分米） 即做这个玻璃容器至少需要玻璃84平方分米。 4．商店推出“五一”促销活动，准备将4盒饼干包装成一个礼盒销售。一盒饼干长10厘米，宽7厘米，高4厘米，最节省包装纸的方案是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以分别计算出四个选项中的包装四盒饼干减少的表面积，再比较大小，减少的表面积越大，需要的包装纸越少，也就是最节省。 A．少了4个长是10厘米，宽是7厘米和4个长是7厘米，宽是4厘米的面； B．少了4个长是10厘米，宽是7厘米和4个长是10厘米，宽是4厘米的面； C．少了4个长是10厘米，宽是4厘米和4个长是7厘米，宽是4厘米的面； D．少了6个长是10厘米，宽是7厘米的面。 【解答】A．减少了：10×7×4＋7×4×4 ＝280＋112 ＝392（平方厘米） B．减少了：10×7×4＋10×4×4 ＝280＋160 ＝440（平方厘米） C．减少了：10×4×4＋7×4×4 ＝160＋112 ＝272（平方厘米） D．减少了：10×7×6＝420（平方厘米） 440＞420＞392＞272 故答案为：B 5．如图，把长方体沿虚线切开，表面积增加（    ）。 A．27 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【分析】把长方体沿虚线切开，表面积增加了2个切面，切面的大小与上下面相同，长×宽×2＝增加的表面积，据此列式计算。 【解答】12×3×2 ＝36×2 ＝72（cm2） 表面积增加72cm2。 6．一个无盖的正方体木箱，从外面量，木箱的棱长是40厘米，制作这个木箱的木板厚度是5厘米，这个木箱的容积是（    ）立方厘米。 A．64000 B．27000 C．31500 D．42875 【答案】C 【分析】容积表示所能容纳物体的体积；根据题意可知，木箱内部长方体的长、宽均为（40－5－5）厘米、高是（40－5）厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值即可解答。 【解答】40－5－5＝30（厘米） 40－5＝35（厘米） 30×30×35 ＝900×35 ＝31500（立方厘米） 这个木箱的容积是31500立方厘米。 7．音乐教室里有5张相同的正方体凳子摆在墙角，下列摆法中，与墙接触面最大的是（    ）。 A．B．C．D． 【答案】C 【分析】墙角是两面垂直墙体，正方体只有贴合这两面竖直墙面的面才算接触面，贴地面、正方体互相贴合的面不计入；每个正方体单个面面积相等，接触面数量越多，总接触面积就越大；数出A、B、C、D四种摆法贴合两面墙的正方形面数量，对比大小即可。 【解答】A．有8个与墙接触的面； B．有7个与墙接触的面； C．有9个与墙接触的面； D．有7个与墙接触的面； 所以，与墙接触面最大。 8．一个长6分米，宽4分米，高5分米的长方体盒子，最多能放（    ）个棱长2分米的正方体木块。 A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】D 【分析】分别用长方体盒子的长、宽、高除以正方体木块的棱长，不能整除的用去尾法保留整数，求出沿着长、宽、高可以放的正方体木块的个数，沿长放的个数×沿宽放的个数×沿高放的个数＝能放的正方体木块总个数。 【解答】（6÷2）×（4÷2）×（5÷2） ≈3×2×2 ＝12（个） 最多能放12个棱长2分米的正方体木块。 二、填空题 9．下图是用9个相同的小正方体搭成的几何体，如果要把该几何体继续补搭成一个大正方体，至少还需要（ ）个同样的小正方体。 【答案】18 【分析】要将这个几何体补搭成一个大正方体，大正方体的棱长至少是3，棱长×棱长×棱长＝大正方体需要小正方体的个数，大正方体需要小正方体的个数减去已有小正方体的个数等于至少还需要的小正方体的个数。 【解答】3×3×3－9 ＝27－9 ＝18（个） 10．航天团队在设计卫星零部件时，采用了一个棱长为6分米的正方体合金块，这个正方体合金块的棱长总和是（ ）分米，体积是（ ）立方分米。 【答案】72 216 【分析】正方体的棱长和＝棱长×12，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【解答】6×12＝72（分米） 6×6×6＝216（立方分米） 11．考古学家从一堆铁片废渣中发现一块锈迹斑斑的铁皮（电脑模拟展开图），推测可能是一个长方体首饰盒的残面，这个首饰盒的前面是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】12 96 【分析】从展开图可知，左面和上面相邻的长度是8厘米，所以长方体的宽是8厘米；再由同一个顶点的三条棱长分别是长、宽、高和左面是长为8厘米和宽是2厘米的长方形可知长方体的长是6厘米、高是2厘米。前面由长和高围成，用长乘高算出前面面积；再将长、宽、高代入长方体的体积公式求出体积。 【解答】6×2＝12（平方厘米） 6×2×8＝96（立方厘米） 12．如图，一个长方体上被挖掉一个小正方体，剩下的部分和原长方体的体积、表面积分别发生怎样的变化？（ ）。 【答案】表面积不变，体积减少。 【分析】在长方体顶点处挖去一个小正方体，原来长方体的体积减少了这个小正方体的体积；挖去一个小正方体，减少了小正方体的上面、前面和右面，增加了小正方体的下面、后面和左面，减少和增加的面积相等。 【解答】一个长方体在顶点处被挖掉一个小正方体，表面积不变，体积减少。 13．一个长方体，如果高增加3厘米就变成一个正方体，表面积比原来增加96平方厘米，原来长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】288 【分析】高增加3厘米变成正方体，说明原长方体的长和宽相等，且比高大3厘米。增加的表面积是4个相同的长方形侧面的面积和，每个长方形的高为3厘米，长等于原长方体的长（宽）。先求原长方体的长和宽，再求高，最后计算表面积。 【解答】增加的每个面的面积：96÷4＝24（平方厘米） 原长方体的长（宽）：24÷3＝8（厘米） 原长方体的高：8－3＝5（厘米） 表面积：（8×8＋8×5＋8×5）×2 ＝（64＋40＋40）×2 ＝144×2 ＝288（平方厘米） 14．某地古文献记载：“二月二日，祀土地神，吃撑腰糕。”如图是李师傅做的一块撑腰糕，将其竖切1刀分成两个相同的长方体，，再横切2刀分成6个相同的长方体。切割后的长方体表面积增加（ ）cm2。 【答案】200 【分析】每切1刀增加2个面，面的大小等于刀切方向的截面面积。竖切1刀，截面是宽×高，增加2个这样的面。横切2刀，截面是长×宽，增加4个这样的面。分别算出增加的面积再相加。 【解答】5×10×2＋5×5×（2×2） ＝50×2＋25×4 ＝100＋100 ＝200（平方厘米） 答：切割后的长方体表面积增加200平方厘米。 15．如图，为测量一块石头的体积，小淘在一个可封闭的玻璃容器中装了一些水，水高3厘米，再放入石头后发现无法完全淹没。他灵机一动，把玻璃容器竖直放置，这时水将石头完全淹没。这块石头的体积是________立方厘米。（容器厚度忽略不计） 【答案】500 【分析】石头的体积等于水和石头的总体积减去水的体积。图二水和石头的部体积看成长是10厘米，宽是10厘米，高是11厘米的长方体体积，水的体积则是长是20厘米，宽10厘米，高是3厘米的长方体体积，根据，代入数据计算即可。 【解答】水和石头的总体积：（立方厘米） 水的体积：（立方厘米） 石头的体积：（立方厘米） 16．一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为30厘米，向容器中倒入7升水，再把一个柚子放入水中，当柚子完全淹没在水中时，量得容器内的水深是15厘米。这个柚子的体积是（ ）立方厘米。 【答案】6500 【分析】用排水法求不规则物体的体积：将物体完全浸没入水中，水面上升的那部分水的体积等于物体的体积。 【解答】7升＝7000毫升＝7000立方厘米 柚子体积：30×30×15－7000 ＝900×15－7000 ＝13500－7000 ＝6500（立方厘米） 三、判断题 17．一个普通水杯的容积可能是400毫升。（ ） 【答案】√ 【分析】1毫升大约是十几滴水，根据生活中实物的容积，进行判断即可。 【解答】根据生活实际，一个普通水杯的容积可能是400毫升，原说法正确。 故答案为：√ 18．将4个棱长是2分米的正方体礼盒用包装纸包起来，至少要用72平方分米的包装纸。（ ） 【答案】× 【分析】要使包装纸用得最少，需将4个正方体拼成一个长方体，且重合的面尽可能多。4个正方体拼成长方体有两种主要情况：一是排成一排，二是拼成“田”字形。分别计算两种情况下的表面积，找出最小值与题干数据进行比较即可判断。 【解答】正方体一个面的面积：2×2＝4（平方分米） 将4个正方体拼成“田”字形长方体时，重合的面最多，表面积最小。 此时露在外面的面有： ＝24－8 ＝16（个） 最小表面积：16×4＝64（平方分米） 因为，所以至少要用64平方分米的包装纸不是72平方分米，所以说法错误。 故答案为：× 19．长方体的长、宽各扩大到原来的3倍，高不变，体积就扩大到原来的27倍。（ ） 【答案】× 【分析】假设原来长方体的长为4，宽为2，高为1，根据长方体体积＝长×宽×高，求出原来长方体体积和扩大后的长方体体积，进行比较即可。 【解答】假设原来长方体的长为4，宽为2，高为1 原来长方体体积：4×2×1＝8 扩大后的长方体体积：（4×3）×（2×3）×1 ＝12×6×1 ＝72 72÷8＝9 所以体积扩大到原来的9倍，原说法错误。 故答案为：× 20．下面是思思制作的一个长方体纸盒，这个长方体纸盒前、后两个面的面积和是56cm2。（ ） 【答案】× 【分析】先确定长方体前、后两个面的长和高，用长方形面积公式算出一个面的面积，再乘2得到前后两个面的总面积，最后和题目给出的面积进行比较。 【解答】7×3×2 ＝21×2 ＝42（cm2） 42≠56，所以原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 21．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】226 cm²；142cm³ 【分析】观察图中两个图形可知：组合图形的表面积＝大长方体的表面积＋小长方体4个面的面积（因为小长方体底面长为2cm，宽为2cm的这个面与大长方体的长为5cm，宽为13cm的这个面重合，互相遮挡，不计入表面积；而小长方体的顶面可以看作是大长方体上表面的一部分，补在大长方体上表面即可）。 大长方体表面积公式：S ＝（a×b＋a×h＋b×h）×2（a为5cm，b为13cm，h为2cm）； 小长方体4个面的面积：S ＝（a×h＋b×h）×2（a为2cm，b为2cm，h为3cm）； 大长方体体积公式为：V＝a×b×h（a为5cm，b为13cm，h为2cm）； 小长方体体积公式为：V＝a×b×h（a为2cm，b为2cm，h为3cm）。 把数据代入表面积公式计算后再相加即可得出图形的表面积。把数据代入体积公式计算后再相加即可得出整个图形的体积。 【解答】大长方体表面积： （5×13＋5×2＋13×2）×2 ＝（65＋10＋26）×2 ＝101×2 ＝202（cm²） 小长方体表面积： （2×3＋2×3）×2 ＝（6＋6）×2 ＝12×2 ＝24（cm²） 图形的表面积：202＋24＝226（cm²） 大长方体体积： 5×13×2 ＝65×2 ＝130（cm³） 小长方体体积：2×2×3＝12（cm³） 图形的体积：130＋12＝142（cm³） 图形的表面积是226cm²，图形的体积是142cm³。 22．仔细观察，分别计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】正方体表面积：；体积：； 长方体表面积：；体积： 【分析】将正方体的棱长，长方体的长、宽、高，分别代入正方体、长方体的表面积、体积公式即可求得结果；正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长；长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高。 【解答】 五、作图题 23．下图是一个长方体展开图的三个面。 （1）画出展开图的另外三个面，并标注每个面的名称。 （2）如果每个小方格的边长为1厘米，该长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】（1） （2）52平方厘米 【分析】（1）长方体的展开图的相对面规则是在同一行或同一列的，间隔1个面的2个面是相对面，不在同一行的，位于“Z”字型的两端的2个面是相对面，可以在“右面”的右侧换一个与“后面”的长方形相同的长方形作为“前面”，在“前面”右侧画一个与“右面”相同的长方形作为“左面”，在“右面”的下边画一个与“上面”相同的长方形作为“下面”。（画法不唯一）； （2）“上面”的两条边分别为长和宽，由图可知长有4小格也就是4厘米，宽有2小格也就是2厘米，”右面“的两条边是长和高，由图知高有3小格也就是3厘米，代入公式：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2求解。 【解答】（1）略 （2）根据分析，长方体表面积为： （4×2＋4×3＋2×3）×2 ＝（8＋12＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 答：该长方体的表面积是52平方厘米。 六、解答题 24．钢铁厂需要铸造一个模型（如图：单位/分米），这个模型的表面积是多少平方分米？ 【答案】452平方分米 【分析】如图示，该模型可以看作是一个长12分米、宽8分米、高4分米的长方体和一个棱长为5分米的正方体组成，正方体与长方体接触，表面积各减少了一个边长为5分米正方形面，据此计算正方体的表面积与长方体的表面积的和，再减去2个边长为5分米的正方形的面积。 【解答】 （平方分米） （平方分米） （平方分米） 答：这个模型的表面积是452平方分米。 25．山阳县出土的战国蟠螭纹带盖铜鼎展现了战国时期工匠精湛的铸造工艺与独特的审美追求，已被鉴定为国家三级文物。假如现在需为其定制一个玻璃保护罩（将其看成一个无盖的长方体盒子），暂定玻璃罩长6分米，宽6分米，高5分米。制作该玻璃保护罩至少需要多少平方分米的玻璃？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】156平方分米 【分析】玻璃罩长6分米，宽6分米，高5分米，玻璃保护罩看作一个无盖的长方体，因此只需要计算5个面的面积（1个底面＋4个侧面），即长×宽＋（长×高＋宽×高）×2＝玻璃的面积。 【解答】6×6＋（6×5＋6×5）×2 ＝36＋（30＋30）×2 ＝156（平方分米） 答：制作该玻璃保护罩至少需要156平方分米的玻璃。 26．有一个内部长5分米、宽4分米、高4分米的长方体水缸，水深2.5分米。水缸的侧面高3分米处有个小孔（如下图）。现将一个体积为立方分米的铁块完全浸没在水中，会有多少升水从小孔处溢出？ 【答案】 2升 【分析】先计算水缸内现有水的体积，用到长方体体积公式。 再计算水缸从小孔位置以下的最大容积，即水位最高到3分米时能容纳的总体积，同样用长方体体积公式。 因为铁块完全浸没，所以放入铁块后总体积为现有水的体积加铁块体积，如果这个总体积大于小孔以下的最大容积，那么溢出的水的体积就是两者的差值。 最后将体积单位转换为升。 【解答】 （立方分米） （立方分米） （立方分米） （立方分米） 2立方分米＝2升 答：会有2升水从小孔处溢出。 27．乐乐的科学课需要制作一个无盖的鱼缸。他和爸爸计划用5块玻璃粘合而成（底面一块，侧面四块）。鱼缸设计为长方体，内部尺寸为：长50厘米，宽30厘米，高40厘米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）为确保牢固和不漏水，需要在所有玻璃拼接的接缝处打上玻璃胶。根据要求，需要打玻璃胶的总长度是多少厘米？ 【答案】（1）平方分米 （2）厘米 【分析】（1）鱼缸无盖，所需玻璃面积为底面面积加上四个侧面面积之和； （2）打胶位置为所有玻璃拼接的接缝（无盖，所以上口边缘不打胶），包括底面与侧面的4条底边长度加上侧面之间相邻的4条垂直棱（高）长度之和。 【解答】（1）底面积：50×30＝1500（平方厘米） 前后面积：2×（50×40）＝4000（平方厘米） 左右面积：2×（30×40）＝2400（平方厘米） 总面积：1500＋（4000＋2400） ＝1500＋6400 ＝7900（平方厘米） 换算为平方分米：7900÷100＝79（平方分米） 答：至少需要79平方分米的玻璃。 （2）底面与侧面的4条底边：长＋宽＋长＋宽＝2×（50＋30）＝160（厘米） 侧面之间相邻的4条垂直棱（高）：4×40＝160（厘米） 总长度：160＋160＝320（厘米） 答：需要打胶的总长度为320厘米。 28．有一个长方体玻璃水池，从里面量长60厘米，宽30厘米，玻璃水池中完全浸没一块石头后（水未溢出），玻璃水池中的水深30厘米，把石头拿出来后水面下降了15厘米。 （1）这块石头的体积是多少立方分米？ （2）玻璃水池里的水有多少升？ 【答案】（1）27立方分米 （2）27升 【分析】（1）根据题意，把完全浸没在水中的石头拿出来后水面下降了15厘米，那么水下降部分的体积等于这块石头的体积；水下降部分是一个长60厘米、宽30厘米、高15厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这块石头的体积，并根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位。 （2）根据题意可知，水池中原有水深是（30－15）厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积，并根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位。 【解答】（1）60×30×15 ＝1800×15 ＝27000（立方厘米） 27000立方厘米＝27立方分米 答：这块石头的体积是27立方分米。 （2）60×30×（30－15） ＝60×30×15 ＝1800×15 ＝27000（立方厘米） 27000立方厘米＝27升 答：玻璃水池里的水有27升。 29．一个长方体水槽长15厘米，宽12厘米，深10厘米，现将1.26升的水注入其中，再将一个高为8厘米的长方体铁块慢慢放入水中（如下图），当铁块浸没6厘米时，水槽中的水刚好满了。 （1）图1中水槽中的水面高度是多少厘米？ （2）长方体铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）7厘米 （2）720立方厘米 【分析】（1）观察图可知，先将水的体积转化成立方厘米作单位，水槽底面积＝长×宽＝15×12，水槽里现在水的体积÷水槽的底面积＝水槽里水面高度，据此列式计算； （2）根据题意，先求出水槽的容积，水槽的容积＝长×宽×高，放入铁块前水的体积是1260立方厘米，当铁块浸没6厘米时水刚好满，此时铁块浸没部分的体积为水槽容积减去水的体积，因为铁块浸没部分的高为6厘米，根据长方体体积公式V＝Sh，可得铁块的底面积，最后用铁块的底面积×高＝铁块的体积，据此列式计算。 【解答】（1）1.26升＝1260立方厘米 1260÷（15×12） ＝1260÷180 ＝7（厘米） 答：图1中水槽中的水面高度是7厘米。 （2）15×12×10 ＝180×10 ＝1800（立方厘米） 1800－1260＝540（立方厘米） 540÷6＝90（平方厘米） 90×8＝720（立方厘米） 答：长方体铁块的体积是720立方厘米。 30．尊老爱幼是中华民族的传统美德，在母亲节来临之际，小明把给妈妈准备的礼物放在了一个长30厘米，宽20厘米的，高15厘米的长方体盒子里，然后用一根彩色丝带将盒子捆扎起来（如图所示）。 （1）如果打结处用去25厘米长的彩带，那么一共需要（ ）厘米的彩带。 （2）做这样一个盒子至少需要硬纸板多少平方分米？ （3）这样一个盒子占据多大的空间？ 【答案】（1）185 （2）27平方分米 （3）9立方分米 【分析】（1）从上面看，彩带沿长方向捆一圈是两条长加两条高，沿宽方向捆一圈是两条宽加两条高。合起来就是两条长加两条宽加四条高，再加打结长度。 （2）求长方体的表面积，公式是（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。算出平方厘米后换算成平方分米。 （3）实际上求的就是长方体体积，公式是长×宽×高，算出立方厘米后换算成立方分米。单位换算注意，1平方分米等于100平方厘米，1立方分米等于1000立方厘米。 【解答】（1）2×30＋2×20＋4×15 ＝60＋40＋60 ＝160（厘米） 160＋25＝185（厘米） （2）（30×20＋30×15＋20×15）×2 ＝（600＋450＋300）×2 ＝1350×2 ＝2700（平方厘米） 2700÷100＝27（平方分米） 答：至少需要硬纸板27平方分米。 （3）30×20×15 ＝600×15 ＝9000（立方厘米） 9000÷1000＝9（立方分米） 答：这样一个盒子占据9立方分米的空间。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏教版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 专题06 长方体和正方体【能力清单+核心易错点+错题复盘练】 1、能清晰理解长方体和正方体的意义，区分二者的面、棱、顶点核心特征。 2、能熟练进行棱长总和的计算操作，并理解棱的分组对应的内在联系。 3、能熟练运用表面积、体积的计算公式，用于各类立体图形相关问题的求解。 4、能根据不同情境，灵活选择“公式法、展开图法”适配表面积类问题解题。 5、会检验立体图形计算结果，并选择合适策略（反向验算、单位核对）验证结果。 6、能分辨“无盖容器、切割拼接”的实际问题，并抓住“面的增减变化”这一关键。 7、做题时，能圈出题目中的“棱长”“表面积”“体积”“容积”等关键词。 8、能熟练根据实际场景确定对应面的数量，区分实心立体和空心容器的适用场景。 9、能准确识别“棱长总和、表面积、体积、容积”不同题型，匹配对应解题步骤。 10、能根据已知体积反推缺失的长/宽/高，理清立体图形各维度的对应逻辑。 1、长方体的6个面不一定全是长方形，允许存在2个相对的正方形面。 2、计算棱长总和时，长、宽、高要分别乘4，不能直接把所有棱的长度直接相加。 3、无盖长方体容器的表面积只算5个面，不能默认按完整6个面的公式计算。 4、体积和容积的计算方法相近，但容积要从容器内部测量长宽高，不能用外部尺寸。 5、长方体切割后表面积会增加，每切一次就新增2个对应切面的面积。 6、相邻体积单位的进率是1000，不能把面积单位的进率直接套用到体积换算中。 7、正方体的棱长扩大n倍，体积要扩大到原来的n³倍，不能错记成n倍或n²倍。 8、计算浸没物体体积的排水法时，上升部分水的体积才等于物体体积，不能直接用总体积代替。 9、拼合多个长方体时，总表面积会减少，重合的面的面积要从总和里扣除。 10、表面积相等的两个长方体，体积不一定相等，不能直接判定二者体积大小一致。 一、选择题 1．下面的几何体是用8块棱长为1厘米的小正方体拼成的，现在从中取走小正方体①，取走以后剩下部分几何体与原来相比较，下列说法正确的是（    ）。 A．取走①后，表面积不变 B．取走①后，体积不变 C．取走①后，表面积变大 D．取走①后，表面积变小 2．一个长26cm、宽18.5cm，厚0.6cm的物体，它最有可能是（    ）。 A．午餐盒 B．橡皮 C．数学书 D．新华字典 3．如图，小林在一个无盖的长方体玻璃容器中摆了若干个体积为1立方分米的正方体。做这个玻璃容器至少需要玻璃（    ）平方分米。 A．84 B．96 C．102 D．72 4．商店推出“五一”促销活动，准备将4盒饼干包装成一个礼盒销售。一盒饼干长10厘米，宽7厘米，高4厘米，最节省包装纸的方案是（    ）。 A． B． C． D． 5．如图，把长方体沿虚线切开，表面积增加（    ）。 A．27 B．36 C．48 D．72 6．一个无盖的正方体木箱，从外面量，木箱的棱长是40厘米，制作这个木箱的木板厚度是5厘米，这个木箱的容积是（    ）立方厘米。 A．64000 B．27000 C．31500 D．42875 7．音乐教室里有5张相同的正方体凳子摆在墙角，下列摆法中，与墙接触面最大的是（    ）。 A．B．C．D． 8．一个长6分米，宽4分米，高5分米的长方体盒子，最多能放（    ）个棱长2分米的正方体木块。 A．15 B．14 C．13 D．12 二、填空题 9．下图是用9个相同的小正方体搭成的几何体，如果要把该几何体继续补搭成一个大正方体，至少还需要（ ）个同样的小正方体。 10．航天团队在设计卫星零部件时，采用了一个棱长为6分米的正方体合金块，这个正方体合金块的棱长总和是（ ）分米，体积是（ ）立方分米。 11．考古学家从一堆铁片废渣中发现一块锈迹斑斑的铁皮（电脑模拟展开图），推测可能是一个长方体首饰盒的残面，这个首饰盒的前面是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 12．如图，一个长方体上被挖掉一个小正方体，剩下的部分和原长方体的体积、表面积分别发生怎样的变化？（ ）。 13．一个长方体，如果高增加3厘米就变成一个正方体，表面积比原来增加96平方厘米，原来长方体的表面积是（ ）平方厘米。 14．某地古文献记载：“二月二日，祀土地神，吃撑腰糕。”如图是李师傅做的一块撑腰糕，将其竖切1刀分成两个相同的长方体，，再横切2刀分成6个相同的长方体。切割后的长方体表面积增加（ ）cm2。 15．如图，为测量一块石头的体积，小淘在一个可封闭的玻璃容器中装了一些水，水高3厘米，再放入石头后发现无法完全淹没。他灵机一动，把玻璃容器竖直放置，这时水将石头完全淹没。这块石头的体积是________立方厘米。（容器厚度忽略不计） 16．一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为30厘米，向容器中倒入7升水，再把一个柚子放入水中，当柚子完全淹没在水中时，量得容器内的水深是15厘米。这个柚子的体积是（ ）立方厘米。 三、判断题 17．一个普通水杯的容积可能是400毫升。（ ） 18．将4个棱长是2分米的正方体礼盒用包装纸包起来，至少要用72平方分米的包装纸。（ ） 19．长方体的长、宽各扩大到原来的3倍，高不变，体积就扩大到原来的27倍。（ ） 20．下面是思思制作的一个长方体纸盒，这个长方体纸盒前、后两个面的面积和是56cm2。（ ） 四、计算题 21．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 22．仔细观察，分别计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 五、作图题 23．下图是一个长方体展开图的三个面。 （1）画出展开图的另外三个面，并标注每个面的名称。 （2）如果每个小方格的边长为1厘米，该长方体的表面积是多少平方厘米？ 六、解答题 24．钢铁厂需要铸造一个模型（如图：单位/分米），这个模型的表面积是多少平方分米？ 25．山阳县出土的战国蟠螭纹带盖铜鼎展现了战国时期工匠精湛的铸造工艺与独特的审美追求，已被鉴定为国家三级文物。假如现在需为其定制一个玻璃保护罩（将其看成一个无盖的长方体盒子），暂定玻璃罩长6分米，宽6分米，高5分米。制作该玻璃保护罩至少需要多少平方分米的玻璃？（玻璃厚度忽略不计） 26．有一个内部长5分米、宽4分米、高4分米的长方体水缸，水深2.5分米。水缸的侧面高3分米处有个小孔（如下图）。现将一个体积为立方分米的铁块完全浸没在水中，会有多少升水从小孔处溢出？ 27．乐乐的科学课需要制作一个无盖的鱼缸。他和爸爸计划用5块玻璃粘合而成（底面一块，侧面四块）。鱼缸设计为长方体，内部尺寸为：长50厘米，宽30厘米，高40厘米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）为确保牢固和不漏水，需要在所有玻璃拼接的接缝处打上玻璃胶。根据要求，需要打玻璃胶的总长度是多少厘米？ 28．有一个长方体玻璃水池，从里面量长60厘米，宽30厘米，玻璃水池中完全浸没一块石头后（水未溢出），玻璃水池中的水深30厘米，把石头拿出来后水面下降了15厘米。 （1）这块石头的体积是多少立方分米？ （2）玻璃水池里的水有多少升？ 29．一个长方体水槽长15厘米，宽12厘米，深10厘米，现将1.26升的水注入其中，再将一个高为8厘米的长方体铁块慢慢放入水中（如下图），当铁块浸没6厘米时，水槽中的水刚好满了。 （1）图1中水槽中的水面高度是多少厘米？ （2）长方体铁块的体积是多少立方厘米？ 30．尊老爱幼是中华民族的传统美德，在母亲节来临之际，小明把给妈妈准备的礼物放在了一个长30厘米，宽20厘米的，高15厘米的长方体盒子里，然后用一根彩色丝带将盒子捆扎起来（如图所示）。 （1）如果打结处用去25厘米长的彩带，那么一共需要（ ）厘米的彩带。 （2）做这样一个盒子至少需要硬纸板多少平方分米？ （3）这样一个盒子占据多大的空间？ 学科网（北京）股份有限公司 $