第02讲 二次函数的图像和性质（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪科版

第02讲 二次函数的图像和性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数的图像和性质 题型8 二次函数图像的平移 题型2 的图像和性质 题型9 二次函数图像的对称 题型3 的图像和性质 题型10 比较二次函数值的大小 题型4 的图像和性质 题型11 由二次函数的图像判断式子符号 题型5 把化成顶点式 题型12 一次函数与二次函数图像综合判断 题型6 的图像和性质 题型13 二次函数中简单最值问题 题型7 待定系数法求二次函数解析式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数的图像 二次函数的性质 二次函数的解析式 二次函数图像的平移 1. 知晓二次函数的图像是抛物线，掌握描点法画函数图像的步骤，认识抛物线顶点、对称轴基础概念； 2. 掌握系数对抛物线开口方向、开口宽窄的影响，牢记对应变化规律； 3. 熟记二次函数顶点坐标、对称轴、函数增减性、最值核心性质； 4. 掌握二次函数上下平移变换规律，理解数形结合数学思想； 5. 能结合图像与解析式解决基础判断、求值、比较函数值大小题型。 学习重点：二次函数图像性质、开口与最值判断、函数增减性、图像上下平移规律。 学习难点：根据自变量范围判断函数增减变化、图像平移本质理解、利用函数性质解决简单实际问题、数形结合解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 的图像和性质 解析式 图像 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 轴（直线） 增减性 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大 最值 时，有最小值 时，有最大值 即时即练关于函数，下列说法正确的是（    ） A．无论取何值， B．其图象的对称轴是 轴 C． 随的增大而减小 D．其图象在第二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 函数为二次函数，形式为，根据的符号，确定抛物线方向，再根据对称轴，分别出函数的增减性，函数经过的象限． 【详解】∵函数是二次函数，且， ∴抛物线开口向下，顶点在原点， 当时，； 当时，， 故A错误； 对称轴为，即轴， 故B正确； ∵中，， ∴当时，随增大而增大； 当时，随增大而减小， 故C错误； ∵当时，，函数的图象上的点在第四象限； 当时，，函数的图象上的点在第三象限， ∴图象不在第二象限， 故D错误， 故选：B． 【易错提醒】/【方法总结】 易错：①忘记时，误判恒大于/小于0；②不分区间直接说增减；③搞混开口向下抛物线所在象限（向下在三四，向上在一二）。 知识点02 的图像和性质 解析式 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 轴（直线） 增减性 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大 最值 时，有最小值 时，有最大值 即时即练已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线 【分析】此题考查的是二次函数的性质、抛物线与轴的交点等知识，掌握二次函数的性质是解决此题的关键． （1）利用描点法画出函数图象； （2）利用配方法将函数解析式化为顶点式，由的符号及配方结果直接确定抛物线的开口方向、顶点坐标与对称轴． 【详解】（1）解：作图如下： ； （2）二次函数的解析式为， 抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线． 【易错提醒】/【方法总结】 易错：①顶点坐标写错：容易写成(0,2)，混淆正负；②对称轴认错：误以为是，对称轴永远是轴；③画图漏点/不对称：④只取正数，不取负数，图像左右不对称；⑤开口方向看反：正数开口向上，负数向下，别记反。 知识点03 的图像和性质 解析式 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 直线 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 时，最小值 时，最大值 即时即练已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小； 综上，只有选项C错误. 【易错提醒】/【方法总结】 易错：①符号踩坑：易把看成 3，实际是−3，顶点、对称轴符号全反；②增减范围判断：只要取值区间完全在对称轴左侧/右侧，增减性就成立；③开口方向：上，下，不要看括号符号判断开口。 知识点04 的图像和性质 解析式 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 直线 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 时，最小值 时，最大值 即时即练对于抛物线，下列判断不正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由解析式得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标是，当时，随的增大而减小，由此逐项判断即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：A、， 抛物线的开口向下，故A正确，不符合题意； B、， 对称轴为直线，故B正确，不符合题意； C、， 抛物线的顶点坐标是，故C不正确，符合题意； D、抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【易错提醒】/【方法总结】 易错：①顶点横坐标符号易错：对应，容易错写成−2；②的符号看错：原式前面有负号，是负数，开口向下；③增减区间判断：只要给定区间完全在对称轴同侧，增减性就成立。 知识点05 的图像和性质 1.用配方法可化成：的形式，其中 解析式 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 直线 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 时，最小值 时，最大值 即时即练已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（   ） 0 1 2 3 1 3 4 3 A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，增减性，对称轴与顶点坐标，熟记二次函数图象与性质并逐一分析各选项是解本题的关键． 【详解】解：∵当和时，， ∴ 抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，函数值相同，即，故A选项正确，不符合题意； ∵ 当时，， ∴ 顶点坐标为，故C选项正确，不符合题意； ∴当时，函数值， ∴ 抛物线开口向下，故D选项正确，不符合题意； ∴当时，随的增大而增大，故B选项错误，符合题意； 故选：B 【易错提醒】/【方法总结】 易错：①增减性记反：开口向下，对称轴左边上升、右边下降，容易搞反增减；②对称点找错：两点y相同，对称轴是两点x的平均数，不要直接取其中一个x；③顶点判断失误：函数值最大的点是顶点，此时开口向下；函数值最小则开口向上。 知识点06 二次函数的平移规律 1.二次函数与的图像之间的平移： 向上平移个单位 （1）当时， 向下平移个单位 （2）当时， 2.二次函数与的图像之间的平移：向右平移个单位 （1）当时， 向左平移个单位 （2）当时， 3.抛物线平移到抛物线的方法： 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到（，）处，具体平移方法如下： 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 即时即练将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 抛物线平移遵循“左加右减”针对x，“上加下减”针对y的原则，进而得解析式． 【详解】解：∵原抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后的新抛物线解析式为． 故选：A． 【易错提醒】/【方法总结】 易错：①左右平移搞反加减：向左是，向右是，容易写成；②上下平移位置写错：上下变化写在括号外面，不能写到括号里；向上加、向下减，容易误写成−3；③混淆平移对象：只对x进行左右加减，不是对整个式子加减。 知识点07 利用待定系数法求二次函数解析式 1.待定系数法求二次函数解析式步骤： ①根据已知条件，设合适的二次函数解析式 给3个普通点 → 设一般式 给顶点坐标/对称轴/最值 → 设顶点式 给抛物线与x轴两个交点 → 设交点式 ②把图像经过的点的坐标代入所设解析式 点在抛物线上，则 满足函数式，代入得到含待定系数的方程。 顶点式/交点式：只需要1个额外点，得到一元一次方程，直接解； 一般式：3个点代入，得到三元一次方程组。 ③解方程（组），求出所有待定系数的值 顶点/交点式：直接解出； 一般式：消元法解三元一次方程组，算出。 ④将求出的系数代回最初设的解析式 ⑤整理化简：根据题意化简成所需形式。 即时即练已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【详解】解：设二次函数的解析式为，把点、、代入得， ，解得， ∴这个二次函数的解析式为． 【易错提醒】/【方法总结】 易错：①代入计算符号出错；②不会利用(0,c)快速求c；③解方程组消元失误；④最后漏代回解析式。 题型1 二次函数的图像和性质 【例1】关于二次函数与，下列说法错误的是（   ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点坐标相同 D．两函数图象关于x轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．通过比较二次函数和的开口方向、对称轴、顶点坐标和对称性，判断各选项正误，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向上，对称轴为直线， 当时，则，即顶点坐标为， ∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 当时，则，即顶点坐标为， ∴二次函数与的开口方向不相同，故A选项符合题意； ∴二次函数与的对称轴相同，顶点坐标相同，两函数图象关于x轴对称，故B、C、D选项不符合题意； 故选：A 【例2】如果抛物线有最高点，那么a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质，抛物线有最高点时，开口向下，二次项系数小于零． 【详解】解：抛物线有最高点，说明抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）分不清增减区间：只看正负，别搞反正负对应的增减； （2）符号出错：代入点计算时正负算错，开口判断跟着错； （3）忽略：就不是二次函数。 【变式1-1】若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 把点坐标代入二次函数解析式可求得的值，则可求得二次函数解析式，再把选项中所给点的坐标代入判断即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ，解得， 二次函数解析式为， 当时，，当或时，， 故点在抛物线上. 故选：B． 【变式1-2】已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，掌握的性质是解题的关键． 由抛物线在轴左侧的部分是下降的，则，然后解不等式即可解答． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴，解得：． 故答案为：． 题型2 的图像和性质 【例3】对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．该函数图象开口向上； B．当时，y随x的增大而减小； C．当时，取得最小值； D．当时，y的取值范围是 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该函数图象开口向下，故A选项错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，取得最大值，故B选项正确，符合题意；C选项错误，不符合题意； ∵， ∴当时，时，取得最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是，故D选项错误，不符合题意； 故选：B 【例4】已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象性质，待定系数法． 设二次函数为，根据二次函数的图象开口向上可以取，然后根据图象经过点即可求解． 【详解】解：设二次函数为， ∵图象经过点，代入得． ∴函数表达式为． ∵图象开口向上， ∴， ∴符合题意的二次函数表达式形如：（其中，为任意实数） 取一组满足条件的值，如 可得一个符合题意的二次函数表达式：， 故答案为（答案不唯一）． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）顶点坐标写错：容易沿用的顶点，忽略顶点为； （2）增减区间判断失误：误以为平移后增减区间改变，实际对称轴不变，增减区间和完全一致； （3）忽略二次函数定义：解题时忘记，时函数退化为一次函数。 【变式2-1】下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．中，，∴y随x的增大而增大，不符合题意； B．中，，∴y随x的增大而减小，符合题意； C．是二次函数，开口向下，对称轴为y轴，时y随x的增大而增大，时y随x的增大而减小，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意； D．是二次函数，开口向上，对称轴为y轴，时y随x的增大而减小，时y随x的增大而增大，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意． 【变式2-2】已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)， (2)开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“与抛物线的形状相同，开口方向相反”，得，再结合“图象上离轴最近的点与轴的距离为3”，得，即可作答． （2）由（1）得，对称轴轴，开口方向向上，顶点坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴， 则抛物线为， ∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上 ∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且 ∴； （2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上， 解析式为 把代入，得 即顶点坐标． 题型3 的图像和性质 【例5】对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（   ） A．开口都向下 B．对称轴相同 C．最大值都是0 D．与y轴交点不相同 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：函数：开口向下，对称轴为：，顶点为：，经过， 函数：开口向下，对称轴为，顶点为：， 故选：B． 【例6】如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 直线不经过第四象限， ， ， 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）对称轴、顶点写错：误写为、顶点，牢记括号内等于0：； （2）增减区间混淆：仍以为分界判断增减，平移后分界点是对称轴，不再是y轴； （3）忽略：时式子变为，不再是二次函数。 【变式3-1】已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴； 故选B． 【变式3-2】已知抛物线（h为常数），当自变量x满足时，与其对应的函数值y的最小值是3，则h的值是______． 【答案】或5 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题时注意抛物线的增减性和分类讨论数学思想的运用． 由解析式可知函数在时取得最小值，时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；根据时，函数的最小值为3可分如下两种情况：①当时，时，y取得最小值3，②当时，当时，y取得最小值3，分别列出关于h的方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，根据二次函数的图象与性质，h的值不可能在1到3之间， ①当时， ∴当时，取得最小值， ∴， ∴或（舍去）， ②当时， ∴当时，取得最小值， ∴， ∴或（舍去）， 综上可得，或5． 故答案为：或5． 题型4 的图像和性质 【例7】对于抛物线，下列说法不正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线可由抛物线平移得到 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线，， ∴抛物线的开口向上，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，故选项A，B正确，不符合题意； ∴当时，随的增大而增大，即当时，随的增大而增大，故选项C正确，不符合题意； 抛物线不能由抛物线平移得到，故选项D错误，符合题意； 故选：D 【例8】二次函数的图象的对称轴为（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，利用顶点式的对称轴为直线即可直接求解． 【详解】解：二次函数的顶点式为，其图象的对称轴为直线， 二次函数的图象的对称轴为：直线， 故答案选：A． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）顶点坐标写反、写错：最易错！切忌写成，记住令括号为0：，顶点一定是； （2）增减区间找错基准：不再以分界，全部以对称轴为左右分界； （3）忽略二次函数前提：，不再是抛物线。 【变式4-1】关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．最大值为4 B．最小值为4 C．最大值为6 D．最小值为6 【答案】C 【分析】根据二次函数，得到，图象开口向下，函数有最大值，根据顶点坐标，即可得出函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数的表达式为， ∴，抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴该二次函数有最大值，最大值为6． 【变式4-2】二次函数的顶点坐标是______，当x ______时，y随x的增大而增大． 【答案】 【详解】解：二次函数解析式为， ∴图象开口向下，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大， 故答案为：①；②． 题型5 把化成顶点式 【例9】将二次函数改写成顶点式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查通过配方法将二次函数化为顶点式． 【详解】解： ， 故选：C． 【例10】抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【分析】将抛物线的一般式通过配方法转化为顶点式，即可得到顶点坐标，也可利用顶点坐标公式求解． 【详解】解： 抛物线顶点坐标为． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）配方提系数出错：只给项提，常数项c不能提，误把c也除以； （2）漏乘外面系数：括号内多减的平方项，移出括号时要乘外面的，极易忘记相乘导致常数项算错； （3）h的符号写错：公式自带负号，经常出现符号相反的低级错误； （4）完全平方配方错误：一次项系数忘记先减半、再平方，直接用原数平方，配方彻底出错； （5）常数项合并混乱：分数通分计算失误，计算出错，导致k值错误； （6）混淆顶点式结构：配方结束后仍写错顶点坐标，牢记式子是，看清括号内符号再定h。 【变式5-1】将二次函数化为的形式，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法整理即可得解． 【详解】解：． 故选：C． 【变式5-2】抛物线的对称轴为直线________． 【答案】1 【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线． 【变式5-3】把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【答案】4 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出，的值，进而可得出结论． 【详解】， ，， ． 题型6 的图像和性质 【例11】若抛物线的顶点不在坐标轴上，且在轴的左侧是下降的，那么下列对其顶点的描述中正确的是（    ） A．其顶点一定不在第一、二象限 B．其顶点一定不在第二、三象限 C．其顶点一定不在第三、四象限 D．其顶点一定不在第一、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向及增减性，可知对称轴在轴右侧，即顶点横坐标是正数，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵当时，随的增大而减小， ∴对称轴， 又∵顶点不在坐标轴上， ∴对称轴，即顶点横坐标是正数， ∴顶点一定不在第二象限或第三象限， 故选：． 【例12】抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是关键．直接根据二次函数的对称轴公式求解即可． 【详解】解：对于抛物线，，， 对称轴为直线． 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）对称轴符号易错：公式自带负号，经常忘记负号导致对称轴算反； （2）增减区间找错：不用y轴分界，必须以对称轴为左右分界，是高频错题点； （3）误判y轴交点：只有x=0时y=c，不要把顶点纵坐标当成c； （4）判别式使用混乱：分不清大小对应的与x轴交点个数。 【变式6-1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据得出抛物线开口向上，与y轴交点为，对称轴为直线，顶点坐标，即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为，     ∴抛物线开口向上，与y轴交点为，对称轴为直线，顶点坐标， ∴只有B选项符合题意． 故选：B． 【变式6-2】抛物线（其中，，），一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，结合开口方向、对称轴位置、与y轴交点，判断抛物线经过的象限．由于开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，且当时，故一定不经过第二象限． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线开口向下． ∵， ∴， ∴对称轴直线， 则对称轴在y轴右侧， 当时，， ∵， ∴，与y轴交于负半轴． 当时，， ∵，；，，， ∴；， ∴恒成立， 即时． ∴抛物线一定不经过第二象限． 故选B． 【变式6-3】若二次函数（为常数）的图象开口向下，则的值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中，当时图象开口向下是解题的关键． 根据二次函数的图象性质，图象开口向下时，其二次项系数小于0，由此建立不等式求出m的取值范围，再在范围内任取一个值即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， ∴可取， 故答案为：（答案不唯一）． 题型7 待定系数法求二次函数解析式 【例13】已知二次函数图象经过点和三点，求二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握求解的方法是解题的关键； 设出交点式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【例14】已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式． (2)判断点是否在该二次函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题考查了的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）把两个已知点的坐标分别代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】（1）解：把和分别代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在该二次函数图象上． 【易错警示】/【技巧归纳】 待定系数法核心思路：设解析式→代点列方程→解方程求参数→写出解析式。根据题目已知条件，选择最合适的解析式形式，简化计算。 【变式7-1】已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴． 【变式7-2】已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上横坐标为的点的坐标． 【答案】(1)； (2)点不在此抛物线上 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解及点与抛物线的位置关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点的坐标代入抛物线解析式，求出的值，即可得到函数解析式． （2）将点的横坐标代入解析式，计算出对应的纵坐标，与点的纵坐标比较，判断是否在抛物线上． （3）将横坐标代入解析式，求出对应的纵坐标，得到点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， ， ， 此抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， ， 点不在此抛物线上； （3）解：当时，， 抛物线上横坐标为的点的坐标为． 题型8 二次函数图像的平移 【例15】在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（  ） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 【答案】D 【分析】先求出变换前后抛物线的顶点坐标，再根据抛物线平移“上加下减，左加右减”的规律，即可判断平移方向和距离． 【详解】解：∵原抛物线， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵变换后抛物线为， ∴变换后抛物线的顶点坐标为， ∵顶点纵坐标不变，横坐标从变为， ∴原抛物线向左平移个单位即可得到变换后的抛物线． 【例16】将抛物线平移到抛物线的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为________． 【答案】5 【分析】本题先将原抛物线整理为顶点式，得到原抛物线顶点坐标，再得到平移后抛物线的顶点坐标，利用两点间距离公式即可求出顶点平移的最短距离． 【详解】解：原抛物线化为顶点式：， 故顶点坐标为， 平移后抛物线的顶点坐标为：， 由两点间距离公式得：， 所以抛物线顶点平移的最短距离为5． 【易错警示】/【技巧归纳】 二次函数平移核心规律：平移只改变图像位置，不改变开口大小、开口方向、形状（值恒定不变），所有平移问题统一遵循口诀：左加右减，上加下减。 【变式8-1】将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移规律，掌握二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 利用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：∵抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律． ∴将抛物线向左平移2个单位长度，得，再向上平移5个单位长度，得． 故选C． 【变式8-2】把抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线．试确定a，h，k的值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移特点，得出，，，然后再求出，，即可． 【详解】解：∵抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线， ∴，，， ∴，，． 题型9 二次函数图像的对称 【例17】在同一坐标系中，图象与的图象关于x轴对称的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知直角坐标系中关于轴对称的点的坐标的关系是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特征求得即可． 【详解】解：函数的图象关于轴对称的函数为，即． 故选：． 【例18】求抛物线关于直线对称后所得抛物线的解析式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，轴对称的性质，先把整理得，则顶点坐标为，结合关于直线对称后所得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴抛物线的顶点坐标为， 则 ∴关于直线对称后所得， 则 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）二次函数对称核心结论：对称不改变抛物线形状、开口大小，即的绝对值不变，仅改变位置或开口方向； （2）考试常考三种对称：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称。 【变式9-1】在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的和的值可以为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，分别得出两个函数的开口方向和对称轴，再结合抛物线与关于直线对称，得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， ∵ ∴函数与x轴的交点坐标为 ∴开口方向向上，对称轴为直线， 抛物线与关于直线对称， 两个抛物线的对称轴相同， 即 ∴ 解得， 观察四个选项，唯有D选项符合题意， 故选：D． 【变式9-2】已知二次函数的图像经过，，三点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该函数的图像沿直线翻折，翻折后的图像所对应的函数表达式为 ． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求表达式、点的轴对称等，熟记二次函数的相关性质是解题关键． （1）根据，两点可得顶点坐标为，设顶点式代入点坐标即可； （2）图像沿直线翻折，不变，顶点坐标变为，代入顶点式即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得图像顶点坐标为， 设二次函数的表达式为． 将代入 得， ∴． （2）解：图像沿直线翻折，不变，顶点坐标由变为， ∴表达式为：或 题型10 比较二次函数值的大小 【例19】抛物线的顶点坐标是，点，在抛物线上，则下列大小比较正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较，的大小 【答案】B 【分析】由解析式可知抛物线开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：由抛物线的顶点坐标是，可知抛物线开口向上，对称轴为直线，最大值， ，在抛物线上， ，， 故点A到对称轴的距离小于点B到对称的距离， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小． 【例20】已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：_____．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．由于二次函数的图象的开口向上，对称轴为直线，然后根据点，离对称轴的远近可判断和的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， 又∵， ∴该函数图象的开口向上， ∵抛物线经过点，，且， ∴点离对称轴的距离比点要远， ∴． 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）二次函数比大小不直接看大小，核心依据：看点到对称轴的距离远近，结合开口方向判断y值大小； （2）通用前提：对称轴 （一般式 ）。 【变式10-1】二次函数（m为常数）若图象经过，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，根据函数解析式可得二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，比较出三个点到对称轴的距离的大小即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数的图象经过，且， ∴， 故选：D． 【变式10-2】已知在函数上有点，点，则关于，的大小判断正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；先根据二次函数的解析式得出对称轴为直线，开口向上，进而根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 又∵二次函数上有点，点，， ， 故选：A． 【变式10-3】已知抛物线上三点，，，则，，满足的大小关系式为______．（用“”连接） 【答案】 【分析】先确定抛物线的对称轴，开口方向，再计算点与对称轴的距离，根据函数的增减性解答即可． 本题考查了抛物线的对称性，增减性，开口，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵的对称轴为直线，开口向上， ∴点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵抛物线上三点，，， 且 ∴， 故答案为：． 题型11 由二次函数的图像判断式子符号 【例21】如图为二次函数的图象，下面四条信息：①；②；③；④，其中正确信息的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定，是基础题．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解： 抛物线开口方向向下， ． 对称轴， ， ∴故④正确； 二次函数，与正半轴相交， ， ．故①正确； ，故． 故②错误； 抛物线与x轴有两个交点，故，则，故③正确； 综上所述，正确的结论是①③④，共3个． 故选：B． 【例22】如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，理解相关知识是解答关键． 根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点，二次函数的性质来逐一进行判定求解． 【详解】解：抛物线开口方向向下， ． ， ， ， ． 抛物线与轴相交于的正半轴， ， ，故错误． 抛物线与轴有两个不重合的交点， 有两个不相等的实数根， ，故正确． 由图象可知，当时，， ． ， ， 即． ， ， ， 即，故正确． 由图象可知：当时，， 则，故正确． 综上所述，正确的有共3个． 故选：B． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）已知抛物线 ，根据图像位置、开口、对称轴、交点，快速判断 及组合式子符号； （2）对称轴为 ； （3）对称轴为 。 【变式11-1】如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条信息①；②；③；④．你认为其中正确信息的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定，是基础题．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解： 抛物线开口方向向下， ． 对称轴， ， ∴故③正确； 二次函数，与正半轴相交， ， ．故①错误； 当时，，即． 故②正确； 当时，，即．故④错误； 综上所述，正确的结论是②③，共2个． 故选：C． 【变式11-2】二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有______． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④． 【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论①正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④正确； 综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④ 题型12 一次函数与二次函数图像综合判断 【例23】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数与一次函数的图象及性质依次进行排除选项即可． 【详解】解：A、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴的右侧，故符合题意； B、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向下，对称轴为直线，即对称轴在y轴的右侧，故不符合题意； C、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向下，对称轴为直线，即对称轴在y轴的左侧，故不符合题意； D、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴的左侧，故不符合题意； 故选A． 【例24】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数经过的象限可得，进而可得二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴左侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）利用二次函数锁定参数范围； （2）匹配一次函数图像； （3）判断交点个数； （4）函数值大小范围判断。 【变式12-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故C选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故D选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误，B选项正确． 故选：B． 【变式12-2】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像的基本性质及判断一次函数图像所经过的象限，熟练掌握二次函数及一次函数的性质是解题关键． 由二次函数的图像可得，根据一次函数图像的性质即可判断出正确答案． 【详解】解：由图象可知，中，当时，， ∴， ∴的图象经过一、二、三象限，与y轴交于正半轴， 故选A． 题型13 二次函数中简单最值问题 【例25】函数的最大值是（  ） A． B． C．0 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式可得对称轴和开口方向，进而得到离对称轴越远，函数值越大，则结合自变量的取值范围可得当时，函数有最大值，据此计算求解即可． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，且， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 故选：D． 【例26】已知二次函数，当时，y的最小值是________． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数的性质，关键是确定二次函数的开口方向与对称轴． 将二次函数化为顶点式，结合自变量的取值范围，根据函数增减性求解最小值． 【详解】解：将二次函数化为顶点式 可得二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而增大 已知自变量取值范围为，该区间在对称轴的右侧，函数在此区间内单调递增 因此当取最小值时，取得最小值． 将代入解析式得： . 故答案为： 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）无定义域限制：二次函数只有一个最值（最大或最小），无双向最值； （2）开口向上：整体有最低点，函数值无限大，只有最小值； （3）开口向下：整体有最高点，函数值无限小，只有最大值。 【变式13-1】二次函数的最小值是，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握若开口向上，则函数在对称轴上取得最小值，若开口向下，则函数在对称轴上取得最大值是解题的关键． 由题知，，二次函数开口向上，又对称轴，接着代入求解即可． 【详解】二次函数， ，二次函数开口向上，对称轴方程为， 所以时，二次函数取得最小值， 则，解得． 故选：B． 【变式13-2】已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】34 【分析】根据已知条件将用含的代数式表示，代入所求式子，转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求解最大值． 【详解】解：， ， 将 代入得 ． 二次项系数， 该二次函数开口向下，当时，取得最大值，最大值为． 【变式13-3】在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为． (1)求抛物线的顶点坐标，并直接写出当满足什么条件时，随的增大而增大． (2)当时，函数的最大值与最小值之和为，求的值． 【答案】(1)顶点坐标为，当时，随的增大而增大. (2)的值为或. 【分析】（1）把二次函数解析式化成顶点式即可求解； （2）结合开口方向以及函数的对称轴再分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵二次函数， 化成顶点式为：， 故抛物线的顶点坐标为：，当时，随的增大而增大； （2）解：由（1）得：抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少； 令，则， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点为：，； ∵， ∴当时，则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴， 解得：或，（此时不符合题意，舍去） 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∴函数的最大值与最小值之和为，不符合题意舍去， 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴ ， 解得：或，（此时不符合题意，舍去，） 综上：或. 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数顶点式的顶点坐标为，直接求出结果即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 2．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，即可比较得到结果． 【详解】解：∵ 二次函数解析式为， ∴，二次函数开口向下，对称轴为直线 ． 分别计算各点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． ∵开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 又， ∴ ． 3．二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，， ∴， 综上，，，，故选项A符合题意． 4．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】首先根据开口方向，对称轴和与y轴的交点位置判断出a，b，c的正负，然后结合图象逐项判断即可． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵二次函数的对称轴在y轴左边 ∴ ∴ ∵二次函数图象与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①错误； ②由图象可得，当时，，故②错误； ③由图象可得，当时，y随x的增大而增大，故③正确； 由二次函数图象的对称性可得，当时，，故④正确； 综上所述：正确的有2个． 5．若二次函数的对称轴为直线，则______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称轴方程，掌握二次函数的对称轴方程是解题关键，将已知的值与对称轴代入公式即可求解的值。 【详解】解：在二次函数中，，已知其对称轴为直线， 根据二次函数的对称轴方程为直线， 可得：即，解得． 故答案为： 6．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ， 故答案为：． 7．在平面直角坐标系中，是抛物线 上任意两点．设抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，则________； （2）若对于，都有，则t的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，运用并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的图象和性质，即可求解； （2）分两种情况讨论，再根据对称性即可解答． 【详解】解：（1）∵，有， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当点M，N均在对称轴的右侧时，， 此时满足，符合题意； 当点M在对称轴的左侧，N在对称轴的右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴点M距离对称轴更近， ∵， ∴，即； 综上所述，t的取值范围为． 故答案为： 8． 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物线解析式． （1）把，代入，解方程组求出b，c的值； （2）由（1）得出抛物线解析式为，设点P坐标为，根据三角形的面积列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得； 二次函数解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， 设点P坐标为， 的面积为6，， ∴， ∴， 即或， 解得：或， ∴或． 9．已知抛物线经过点，且对称轴为轴，求此抛物线对应的二次函数解析式． 【答案】 【分析】该题考查了待定系数法求二次函数解析式，可设抛物线对应的二次函数解析式为代入求解即可． 【详解】解：根据题意，可设抛物线对应的二次函数解析式为， 把代入得， 解得：， 则抛物线解析式为． 10．已知二次函数（a，b为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式． (2)若点是二次函数图象上一点，若点B向上平移k（）个单位长度，向左平移k个单位长度后，仍在的图象上． ①求m关于k的关系式； ②当，时，求二次函数的最大值与最小值的差． 【答案】(1) (2)①；②二次函数的最大值与最小值的差为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解函数解析式，点的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）①点在二次函数图象上，则，点B平移后的点为在二次函数图象上，则，再代入得，，解得； ②当时，，则，故，再由二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（a，b为常数）的图象经过点且对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①∵点在二次函数图象上， ∴， 点B向上平移k（）个单位长度，向左平移k个单位长度后的点为在二次函数图象上， ∴， 将代入得， ， 解得 ∴m关于k的关系式为； ②当时，， ∴， ∴， ∵二次函数开口向上且对称轴为直线， ∴在的范围内： 时，y取得最小值， 或时，y取得最大值， ∴最大值与最小值的差为， ∴当时，二次函数最大值与最小值的差为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 二次函数的图像和性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数的图像和性质 题型8 二次函数图像的平移 题型2 的图像和性质 题型9 二次函数图像的对称 题型3 的图像和性质 题型10 比较二次函数值的大小 题型4 的图像和性质 题型11 由二次函数的图像判断式子符号 题型5 把化成顶点式 题型12 一次函数与二次函数图像综合判断 题型6 的图像和性质 题型13 二次函数中简单最值问题 题型7 待定系数法求二次函数解析式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数的图像 二次函数的性质 二次函数的解析式 二次函数图像的平移 1. 知晓二次函数的图像是抛物线，掌握描点法画函数图像的步骤，认识抛物线顶点、对称轴基础概念； 2. 掌握系数对抛物线开口方向、开口宽窄的影响，牢记对应变化规律； 3. 熟记二次函数顶点坐标、对称轴、函数增减性、最值核心性质； 4. 掌握二次函数上下平移变换规律，理解数形结合数学思想； 5. 能结合图像与解析式解决基础判断、求值、比较函数值大小题型。 学习重点：二次函数图像性质、开口与最值判断、函数增减性、图像上下平移规律。 学习难点：根据自变量范围判断函数增减变化、图像平移本质理解、利用函数性质解决简单实际问题、数形结合解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 的图像和性质 解析式 图像 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 轴（直线） 增减性 时，随的增大而 ； 时，随的增大而 时，随的增大而 ； 时，随的增大而 最值 时，有最小值 时，有最大值 即时即练关于函数，下列说法正确的是（    ） A．无论取何值， B．其图象的对称轴是 轴 C． 随的增大而减小 D．其图象在第二、四象限 【易错提醒】/【方法总结】 易错：①忘记时，误判恒大于/小于0；②不分区间直接说增减；③搞混开口向下抛物线所在象限（向下在三四，向上在一二）。 知识点02 的图像和性质 解析式 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 增减性 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大 最值 时，有最小值 时，有最大值 即时即练已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【易错提醒】/【方法总结】 易错：①顶点坐标写错：容易写成(0,2)，混淆正负；②对称轴认错：误以为是，对称轴永远是轴；③画图漏点/不对称：④只取正数，不取负数，图像左右不对称；⑤开口方向看反：正数开口向上，负数向下，别记反。 知识点03 的图像和性质 解析式 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 直线 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 时，最小值 时，最大值 即时即练已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【易错提醒】/【方法总结】 易错：①符号踩坑：易把看成 3，实际是−3，顶点、对称轴符号全反；②增减范围判断：只要取值区间完全在对称轴左侧/右侧，增减性就成立；③开口方向：上，下，不要看括号符号判断开口。 知识点04 的图像和性质 解析式 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 时，最小值 时，最大值 即时即练对于抛物线，下列判断不正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小 【易错提醒】/【方法总结】 易错：①顶点横坐标符号易错：对应，容易错写成−2；②的符号看错：原式前面有负号，是负数，开口向下；③增减区间判断：只要给定区间完全在对称轴同侧，增减性就成立。 知识点05 的图像和性质 1.用配方法可化成：的形式，其中 解析式 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 直线 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 时，最小值 时，最大值 即时即练已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（   ） 0 1 2 3 1 3 4 3 A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【易错提醒】/【方法总结】 易错：①增减性记反：开口向下，对称轴左边上升、右边下降，容易搞反增减；②对称点找错：两点y相同，对称轴是两点x的平均数，不要直接取其中一个x；③顶点判断失误：函数值最大的点是顶点，此时开口向下；函数值最小则开口向上。 知识点06 二次函数的平移规律 1.二次函数与的图像之间的平移： 向上平移 个单位 （1）当时， 向下平移个单位 （2）当时， 2.二次函数与的图像之间的平移： 向右平移个单位 （1）当时， 向左平移个单位 （2）当时， 3.抛物线平移到抛物线的方法： 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到（，）处，具体平移方法如下： 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 即时即练将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 易错：①左右平移搞反加减：向左是，向右是，容易写成；②上下平移位置写错：上下变化写在括号外面，不能写到括号里；向上加、向下减，容易误写成−3；③混淆平移对象：只对x进行左右加减，不是对整个式子加减。 知识点07 利用待定系数法求二次函数解析式 1.待定系数法求二次函数解析式步骤： ①根据已知条件，设合适的二次函数解析式 给3个普通点 → 设一般式 给顶点坐标/对称轴/最值 → 设顶点式 给抛物线与x轴两个交点 → 设交点式 ②把图像经过的点的坐标代入所设解析式 点在抛物线上，则 满足函数式，代入得到含待定系数的方程。 顶点式/交点式：只需要1个额外点，得到一元一次方程，直接解； 一般式：3个点代入，得到三元一次方程组。 ③解方程（组），求出所有待定系数的值 顶点/交点式：直接解出； 一般式：消元法解三元一次方程组，算出。 ④将求出的系数代回最初设的解析式 ⑤整理化简：根据题意化简成所需形式。 即时即练已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 【易错提醒】/【方法总结】 易错：①代入计算符号出错；②不会利用(0,c)快速求c；③解方程组消元失误；④最后漏代回解析式。 题型1 二次函数的图像和性质 【例1】关于二次函数与，下列说法错误的是（   ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点坐标相同 D．两函数图象关于x轴对称 【例2】如果抛物线有最高点，那么a的取值范围是______． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）分不清增减区间：只看正负，别搞反正负对应的增减； （2）符号出错：代入点计算时正负算错，开口判断跟着错； （3）忽略：就不是二次函数。 【变式1-1】若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 题型2 的图像和性质 【例3】对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．该函数图象开口向上； B．当时，y随x的增大而减小； C．当时，取得最小值； D．当时，y的取值范围是 【例4】已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式________． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）顶点坐标写错：容易沿用的顶点，忽略顶点为； （2）增减区间判断失误：误以为平移后增减区间改变，实际对称轴不变，增减区间和完全一致； （3）忽略二次函数定义：解题时忘记，时函数退化为一次函数。 【变式2-1】下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 题型3 的图像和性质 【例5】对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（   ） A．开口都向下 B．对称轴相同 C．最大值都是0 D．与y轴交点不相同 【例6】如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是______． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）对称轴、顶点写错：误写为、顶点，牢记括号内等于0：； （2）增减区间混淆：仍以为分界判断增减，平移后分界点是对称轴，不再是y轴； （3）忽略：时式子变为，不再是二次函数。 【变式3-1】已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知抛物线（h为常数），当自变量x满足时，与其对应的函数值y的最小值是3，则h的值是______． 题型4 的图像和性质 【例7】对于抛物线，下列说法不正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线可由抛物线平移得到 【例8】二次函数的图象的对称轴为（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）顶点坐标写反、写错：最易错！切忌写成，记住令括号为0：，顶点一定是； （2）增减区间找错基准：不再以分界，全部以对称轴为左右分界； （3）忽略二次函数前提：，不再是抛物线。 【变式4-1】关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．最大值为4 B．最小值为4 C．最大值为6 D．最小值为6 【变式4-2】二次函数的顶点坐标是______，当x ______时，y随x的增大而增大． 题型5 把化成顶点式 【例9】将二次函数改写成顶点式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【例10】抛物线的顶点坐标是__________． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）配方提系数出错：只给项提，常数项c不能提，误把c也除以； （2）漏乘外面系数：括号内多减的平方项，移出括号时要乘外面的，极易忘记相乘导致常数项算错； （3）h的符号写错：公式自带负号，经常出现符号相反的低级错误； （4）完全平方配方错误：一次项系数忘记先减半、再平方，直接用原数平方，配方彻底出错； （5）常数项合并混乱：分数通分计算失误，计算出错，导致k值错误； （6）混淆顶点式结构：配方结束后仍写错顶点坐标，牢记式子是，看清括号内符号再定h。 【变式5-1】将二次函数化为的形式，结果为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】抛物线的对称轴为直线________． 【变式5-3】把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 题型6 的图像和性质 【例11】若抛物线的顶点不在坐标轴上，且在轴的左侧是下降的，那么下列对其顶点的描述中正确的是（    ） A．其顶点一定不在第一、二象限 B．其顶点一定不在第二、三象限 C．其顶点一定不在第三、四象限 D．其顶点一定不在第一、四象限 【例12】抛物线的对称轴是直线______． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）对称轴符号易错：公式自带负号，经常忘记负号导致对称轴算反； （2）增减区间找错：不用y轴分界，必须以对称轴为左右分界，是高频错题点； （3）误判y轴交点：只有x=0时y=c，不要把顶点纵坐标当成c； （4）判别式使用混乱：分不清大小对应的与x轴交点个数。 【变式6-1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】抛物线（其中，，），一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-3】若二次函数（为常数）的图象开口向下，则的值可以是___________．（写出一个即可） 题型7 待定系数法求二次函数解析式 【例13】已知二次函数图象经过点和三点，求二次函数的表达式． 【例14】已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式． (2)判断点是否在该二次函数图象上． 【易错警示】/【技巧归纳】 待定系数法核心思路：设解析式→代点列方程→解方程求参数→写出解析式。根据题目已知条件，选择最合适的解析式形式，简化计算。 【变式7-1】已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 【变式7-2】已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上横坐标为的点的坐标． 题型8 二次函数图像的平移 【例15】在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（  ） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 【例16】将抛物线平移到抛物线的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为________． 【易错警示】/【技巧归纳】 二次函数平移核心规律：平移只改变图像位置，不改变开口大小、开口方向、形状（值恒定不变），所有平移问题统一遵循口诀：左加右减，上加下减。 【变式8-1】将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】把抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线．试确定a，h，k的值． 题型9 二次函数图像的对称 【例17】在同一坐标系中，图象与的图象关于x轴对称的函数为（   ） A． B． C． D． 【例18】求抛物线关于直线对称后所得抛物线的解析式是_______． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）二次函数对称核心结论：对称不改变抛物线形状、开口大小，即的绝对值不变，仅改变位置或开口方向； （2）考试常考三种对称：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称。 【变式9-1】在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的和的值可以为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-2】已知二次函数的图像经过，，三点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该函数的图像沿直线翻折，翻折后的图像所对应的函数表达式为 ． 题型10 比较二次函数值的大小 【例19】抛物线的顶点坐标是，点，在抛物线上，则下列大小比较正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较，的大小 【例20】已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：_____．（填“”，“”或“”） 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）二次函数比大小不直接看大小，核心依据：看点到对称轴的距离远近，结合开口方向判断y值大小； （2）通用前提：对称轴 （一般式 ）。 【变式10-1】二次函数（m为常数）若图象经过，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知在函数上有点，点，则关于，的大小判断正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式10-3】已知抛物线上三点，，，则，，满足的大小关系式为______．（用“”连接） 题型11 由二次函数的图像判断式子符号 【例21】如图为二次函数的图象，下面四条信息：①；②；③；④，其中正确信息的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例22】如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）已知抛物线 ，根据图像位置、开口、对称轴、交点，快速判断 及组合式子符号； （2）对称轴为 ； （3）对称轴为 。 【变式11-1】如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条信息①；②；③；④．你认为其中正确信息的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式11-2】二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有______． 题型12 一次函数与二次函数图像综合判断 【例23】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【例24】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）利用二次函数锁定参数范围； （2）匹配一次函数图像； （3）判断交点个数； （4）函数值大小范围判断。 【变式12-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型13 二次函数中简单最值问题 【例25】函数的最大值是（  ） A． B． C．0 D．5 【例26】已知二次函数，当时，y的最小值是________． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）无定义域限制：二次函数只有一个最值（最大或最小），无双向最值； （2）开口向上：整体有最低点，函数值无限大，只有最小值； （3）开口向下：整体有最高点，函数值无限小，只有最大值。 【变式13-1】二次函数的最小值是，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 【变式13-2】已知实数，满足，则的最大值为________． 【变式13-3】在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为． (1)求抛物线的顶点坐标，并直接写出当满足什么条件时，随的增大而增大． (2)当时，函数的最大值与最小值之和为，求的值． 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．若二次函数的对称轴为直线，则______． 6．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为________． 7．在平面直角坐标系中，是抛物线 上任意两点．设抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，则________； （2）若对于，都有，则t的取值范围为_________． 8． 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 9．已知抛物线经过点，且对称轴为轴，求此抛物线对应的二次函数解析式． 10．已知二次函数（a，b为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式． (2)若点是二次函数图象上一点，若点B向上平移k（）个单位长度，向左平移k个单位长度后，仍在的图象上． ①求m关于k的关系式； ②当，时，求二次函数的最大值与最小值的差． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $