第01讲 二次函数（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪科版

第01讲 二次函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断是否为二次函数 题型2 二次函数的各项及系数识别 题型3 根据实际情境列二次函数 题型4 由二次函数的定义求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数的定义 二次函数一般形式 二次函数的识别 实际问题列二次函数表达式 1. 理解二次函数的定义，熟记二次函数的一般形式（），分清二次项、一次项、常数项及对应系数。 2. 能准确识别一个函数是否为二次函数，根据定义求解参数中字母的取值。 3. 能分析生活、几何类实际问题中的等量关系，列出对应的二次函数关系式。 学习重点：二次函数的定义与一般形式、二次函数的判定、根据实际情境列二次函数解析式。 学习难点：含参数二次函数中的限制条件应用、几何与实际问题中构建二次函数模型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的概念 1.定义：形如 （为常数，）的函数，为自变量。 2.各项名称： 为二次项， 是二次项系数； 为一次项， 是一次项系数； 为常数项。 3.判定二次函数核心条件：函数整理后为 ，自变量最高次数为 ，二次项系数不为 。 4.自变量取值范围：①纯二次函数解析式： ；②实际情境中的二次函数：自变量取值需满足实际意义。 即时即练下列函数中，是二次函数的是（  ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 二次函数标准：，满足三点：①是整式；② 最高次数2；③二次项系数不为0。 题型1 判断是否为二次函数 【例1】下列各式中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】下列函数中是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）含、不是整式，排除； （2）化简后无则不是二次函数； （3）二次项系数不能为0。 【变式1-1】下列函数属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列函数中，属于y关于x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） 【变式1-4】已知函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次函数的是________（填序号） 题型2 二次函数的各项及系数识别 【例3】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（） A．3，2，5 B．3，，5 C．3，2， D．3，， 【例4】已知二次函数，则一次项系数__________ 【例5】二次函数的一次项是________． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）先将解析式化简整理为二次函数标准形式：； （2）二次项系数： ，对应的系数 ；一次项系数：， 对应的系数 ；常数项：不含未知数的常数。 【变式2-1】二次函数的一次项系数是（   ） A．3 B． C．2 D．5 【变式2-2】二次函数的一次项系数是（   ） A．1 B．5 C．2 D． 【变式2-3】函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-4】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（） A．3，2，5 B．3，，5 C．3，2， D．3，， 【变式2-5】二次函数的常数项为_______． 【变式2-6】把变成一般式，它的常数项为_____． 【变式2-7】函数的一次项系数是______． 【变式2-8】二次函数的二次项系数是____． 题型3 根据实际情境列二次函数 【例6】某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【例7】下列变量间具有二次函数关系的是（   ） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）找变量：确定题目中的自变量、因变量，一般设日常常用的 、； （2）找等量关系：根据面积、利润、距离、增长率等实际公式，列出变量间的等式； （3）整理式子：化简等式，整理成二次函数标准形式 ； （4）限定取值范围：结合实际场景，标注自变量 的合理取值（长度、数量等不能为负、小数受限等）。 【变式3-1】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列变量具有二次函数关系的是（   ） A．圆的周长与半径 B．用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 【变式3-3】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为______________(化为一般式) 【变式3-4】某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ________________． 【变式3-5】设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 题型4 由二次函数的定义求参数 【例8】若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【例9】已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）核心依据：形如（ 为常数，）的函数是二次函数； （2）定次数：自变量最高次数必须等于2； （3）定系数：二次项系数不等于0； （4）列方程/不等式：根据上面两点列式，求出参数的值； （5）检验取舍：舍去使二次项系数为0的参数解。 【变式4-1】若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【变式4-2】若是二次函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】若是关于的二次函数，则的值为（　　） A．0 B．0或3 C．3 D．0或 【变式4-4】已知关于的函数的图象是抛物线，则_____． 1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知是关于的二次函数，则（   ） A．3 B．2 C．3或 D． 4．函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） 5．当___________时，函数是二次函数． 6．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 7．（1）若是二次函数，则________． （2）若函数是二次函数，则m的值为________． 8．已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 9．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 10．已知是二次函数，求a的值． 11．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； (2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 12．已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求的值； (2)若该函数是二次函数，求的值． 13．写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数． (1)圆的面积与它的周长之间的关系式； (2)菱形的两条对角线长的和为26cm，求菱形的面积与一对角线长之间的关系式． 14．将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 15．若（为常数）是二次函数，求的值． 16．2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二次函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断是否为二次函数 题型2 二次函数的各项及系数识别 题型3 根据实际情境列二次函数 题型4 由二次函数的定义求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数的定义 二次函数一般形式 二次函数的识别 实际问题列二次函数表达式 1. 理解二次函数的定义，熟记二次函数的一般形式（），分清二次项、一次项、常数项及对应系数。 2. 能准确识别一个函数是否为二次函数，根据定义求解参数中字母的取值。 3. 能分析生活、几何类实际问题中的等量关系，列出对应的二次函数关系式。 学习重点：二次函数的定义与一般形式、二次函数的判定、根据实际情境列二次函数解析式。 学习难点：含参数二次函数中的限制条件应用、几何与实际问题中构建二次函数模型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的概念 1.定义：形如（为常数，）的函数，为自变量。 2.各项名称：为二次项，是二次项系数；为一次项，是一次项系数；为常数项。 3.判定二次函数核心条件：函数整理后为整式，自变量最高次数为2，二次项系数不为0。 4.自变量取值范围：①纯二次函数解析式：全体实数；②实际情境中的二次函数：自变量取值需满足实际意义。 即时即练下列函数中，是二次函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，检查各选项是否符合该形式，即可作答． 【详解】解： A、，最高次数为1，不是二次函数，不符合； B、，不是二次函数，不符合； C、，满足，符合二次函数定义； D、，含有分式项，不是二次函数，不符合； 故选：C 【易错提醒】/【方法总结】 二次函数标准：，满足三点：①是整式；② 最高次数2；③二次项系数不为0。 题型1 判断是否为二次函数 【例1】下列各式中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，判断一个函数是否为二次函数，关键是看其是否满足二次函数的标准形式：形如（其中），且自变量的最高次数为2，同时分母中不能含有自变量，根号内也不能含有自变量等影响次数的情况； 根据二次函数的定义，形式为的函数是二次函数，选项C符合此定义． 【详解】解：∵二次函数要求的最高次数为2且系数不为0， A中，次数为1，不是二次函数； B中，即，次数为，不是二次函数； D中，次数为1，不是二次函数； C中，项系数为，满足定义， ∴C是二次函数． 故选：C． 【例2】下列函数中是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，解答的关键是熟知二次函数的定义：形如的函数是二次函数．据此直接判断各选项的最高次数和系数即可． 【详解】解：由于二次函数需满足最高次数为2且二次项系数， 选项A：，最高次数为1，不是二次函数，故不符合题意； 选项B：，未指定，因此不一定是二次函数，故不符合题意； 选项C：，，最高次数为2，是二次函数，故符合题意； 选项D：，最高次数为3，不是二次函数，故不符合题意． 故选：C． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）含、不是整式，排除； （2）化简后无则不是二次函数； （3）二次项系数不能为0。 【变式1-1】下列函数属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数， 选项A中a可能为0，选项C化简后为一次函数，选项D是分式函数，均不符合，只有选项B符合定义． 【详解】解：A、，若则不是二次函数，故不一定是二次函数； B、，其中，，，符合定义； C、，是一次函数； D、，是分式函数，不是多项式函数． 故选：B． 【变式1-2】下列函数中，属于y关于x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握形如的函数是二次函数是解决本题的关键． 直接利用二次函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、，若，则不是二次函数，不符合题意； B、，满足，是二次函数，符合题意； C、，是分式函数，不是整式，故不是二次函数，不符合题意； D、 ，是一次函数，故不是二次函数，不符合题意． 故选B． 【变式1-3】函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） 【答案】是 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，解题的关键是掌握二次函数的定义． 通过将函数表达式化为一般形式，判断其是否符合二次函数的定义． 【详解】解：函数可展开为，该形式为，其中，因此是二次函数． 故答案为：是． 【变式1-4】已知函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次函数的是________（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的整式函数是二次函数，据此逐一判断函数类型是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如 （其中 ）的函数是二次函数，逐一判断各函数． 【详解】解：① 是一次函数，不是二次函数； ② 满足 ，是二次函数； ③ 是三次函数，不是二次函数； ④ ，化简后为一次函数，不是二次函数； ⑤ 中 可能为0，不一定是二次函数； ⑥ 含有分式项，不是整式函数，不是二次函数． 故答案为：②． 题型2 二次函数的各项及系数识别 【例3】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（） A．3，2，5 B．3，，5 C．3，2， D．3，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义：形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次函数一般形式，直接读取系数即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：C． 【例4】已知二次函数，则一次项系数__________ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴一次项系数． 故答案为：． 【例5】二次函数的一次项是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，在二次函数（其中a、b、c是常数，且）中，叫做二次项，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的一次项是， 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）先将解析式化简整理为二次函数标准形式：； （2）二次项系数： ，对应的系数 ；一次项系数：， 对应的系数 ；常数项：不含未知数的常数。 【变式2-1】二次函数的一次项系数是（   ） A．3 B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：∵ 二次函数中，，，， ∴ 一次项系数是. 故选：B． 【变式2-2】二次函数的一次项系数是（   ） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数中某项的系数．先找出二次函数中的一次项，根据系数的定义即可解答． 【详解】解：二次函数的一次项为，其系数为5． 故选：B． 【变式2-3】函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 【变式2-4】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（） A．3，2，5 B．3，，5 C．3，2， D．3，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义：形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次函数一般形式，直接读取系数即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：C． 【变式2-5】二次函数的常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】解：二次函数的常数项为， 故答案为：． 【变式2-6】把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为（为常数且）. 根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案. 【详解】解： ， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 【变式2-7】函数的一次项系数是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的基本概念，中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．根据二次函数一般式的定义求解． 【详解】解：二次函数的一次项系数是， 故答案为：． 【变式2-8】二次函数的二次项系数是____． 【答案】 【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系数和常数项． 题型3 根据实际情境列二次函数 【例6】某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 【详解】解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 【例7】下列变量间具有二次函数关系的是（   ） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义（形如，其中），逐一分析各选项变量间的关系式，判断是否为二次函数即可． 【详解】解：A．正方形的周长与边长的关系为，是一次函数，不符合题意； B．正方形的面积与边长的关系为，符合二次函数形式，符合题意； C．三角形的高一定时，面积与底边的关系为（为定值），是一次函数，不符合题意； D．速度一定时，路程与时间的关系为（为定值），是一次函数，不符合题意； 故选：B． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）找变量：确定题目中的自变量、因变量，一般设日常常用的 、； （2）找等量关系：根据面积、利润、距离、增长率等实际公式，列出变量间的等式； （3）整理式子：化简等式，整理成二次函数标准形式 ； （4）限定取值范围：结合实际场景，标注自变量 的合理取值（长度、数量等不能为负、小数受限等）。 【变式3-1】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据长方形的面积公式列出函数关系式即可. 【详解】解：设鸡场的宽为． 由题意可得：， ∴. 故选：B 【变式3-2】下列变量具有二次函数关系的是（   ） A．圆的周长与半径 B．用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 【答案】C 【分析】本题考查了列二次函数关系式，正确列出各选项之间变量之间的关系即可； 【详解】解：A：，故圆的周长与半径具有一次函数关系，不符合题意； B：由题意得：，即；故一边长与它邻边具有一次函数关系，不符合题意； C：由图可知： ，， ∴； 故正三角形的面积与边长具有二次函数关系，符合题意； D：匀速行驶的汽车，路程与时间成正比例函数关系，不符合题意； 故选：C 【变式3-3】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为______________(化为一般式) 【答案】 【分析】本题考查根据题意列二次函数解析式． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故答案为：． 【变式3-4】某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ________________． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数，掌握二次变化的关系式是解决本题的关键．两年后的产值=本年度的产值增长率，把相关数值代入即可． 【详解】解：第一年度的产值为， ∴第二年度的产值为， ∴． 故答案为： 【变式3-5】设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 【答案】(1)、、 (2)关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 【分析】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆柱的体积公式． （1）根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式； （2）根据二次函数的定义进行解答． 【详解】（1）解： 圆柱的底面半径为，底面周长为， ； 又圆柱的高为，底面半径为，圆柱的体积为， ． 设圆柱的高为，底面周长为，圆柱的体积为， ． 综上所述，关于、关于、关于的函数关系式分别是：、、． （2）解：根据二次函数的定义知，关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 题型4 由二次函数的定义求参数 【例8】若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的函数是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0， ∴， 解得． 【例9】已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）核心依据：形如（ 为常数，）的函数是二次函数； （2）定次数：自变量最高次数必须等于2； （3）定系数：二次项系数不等于0； （4）列方程/不等式：根据上面两点列式，求出参数的值； （5）检验取舍：舍去使二次项系数为0的参数解。 【变式4-1】若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．需满足自变量最高次数为2且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数． ∴根据二次函数定义可得： 由，得， 即或 又∵， ∴ ∴． 故选：C 【变式4-2】若是二次函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的一般形式、一元二次方程的解法，即，即未知数的最高次幂是次，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴指数部分，且系数， 解方程 移项得， 因式分解得， ∴或 又∵，即， ∴． 故选：C． 【变式4-3】若是关于的二次函数，则的值为（　　） A．0 B．0或3 C．3 D．0或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的函数是二次函数，据此可得，解之可得答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得，， 故选：D． 【变式4-4】已知关于的函数的图象是抛物线，则_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；根据二次函数的定义，图象为抛物线时，函数必须是二次函数，即x的最高次数为2且二次项系数不为0，然后问题可求解． 【详解】解：由函数图象是抛物线，可知函数为二次函数， 因此x的指数满足，且系数， 解得， 故答案为2． 1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、当时，函数不是二次函数，故不符合题意； B、，等号右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； C、，等号右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； D、是二次函数，故符合题意， 故选：D． 2．已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．将二次函数整理成一般形式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，． 故选：D 3．已知是关于的二次函数，则（   ） A．3 B．2 C．3或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题关键，注意二次项的系数不等于零． 根据二次函数的定义，x的指数必须为2且二次项系数不为0，得到且，据此即可解答． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且， 解得或且， ∴． 故选：A． 4．函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） 【答案】是 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，解题的关键是掌握二次函数的定义． 通过将函数表达式化为一般形式，判断其是否符合二次函数的定义． 【详解】解：函数可展开为，该形式为，其中，因此是二次函数． 故答案为：是． 5．当___________时，函数是二次函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，自变量的最高次数应为，因此令指数，求解的值． 【详解】解：∵函数为二次函数时， ∴的最高次数必须为， 即的指数，解得， 当时，函数化为，满足二次函数定义（最高次项系数不为零）． 故答案为：. 6．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 7．（1）若是二次函数，则________． （2）若函数是二次函数，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意二次项的系数不能为． （1）根据二次函数定义列式解答即可； （2）根据二次函数定义可知未知数最高次数为2，二次次项系数不为0列式即可； 【详解】解：（1）∵是二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． （2）∵是二次函数， ∴， ∴ 故答案为：． 8．已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出长方形的面积．先表示出边长缩短后的长方形的长和宽，计算出边长缩短后的长方形的面积，再计算出原长方形的面积，作差即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：长和宽缩短后的长方形的长为：，宽为， 边长缩短后的长方形的面积为： ， 原长方形的面积为：， 它减少的面积为：， 它减少的面积关于的函数解析式为， 故答案为：． 9．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 10．已知是二次函数，求a的值． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义，解题的核心是紧扣二次函数的两个关键条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不为0． 根据已知可得且，即可求解． 【详解】解：是二次函数， ， 解得或， 又， ． 11．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； (2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义，求一次函数值， 对于（1），根据一次函数的定义可得且，再求出m的值，然后将点B的坐标代入关系式可得n； 对于（2），根据二次函数的定义可得求出解即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴一次函数. ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：∵函数是二次函数， ∴ ∴且． 故答案为：且． 12．已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求的值； (2)若该函数是二次函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义： （1）一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可； （2）一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是一次函数， 且， 解得． （2）解：函数（m是常数）是二次函数， ，且， 解得：，且， ． 13．写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数． (1)圆的面积与它的周长之间的关系式； (2)菱形的两条对角线长的和为26cm，求菱形的面积与一对角线长之间的关系式． 【答案】(1)，二次函数 (2)，二次函数 【分析】此题考查列二次函数解析式．根据题意列出函数解析式，并进行判断即可． （1）根据圆面积和周长之间的关系列出函数解析式并判断即可； （2）根据菱形的面积和对角线长之间的关系列出函数解析式并判断即可． 【详解】（1）解：∵，     ∴圆的面积与它的周长之间的函数关系 ，     所以，是的二次函数． （2）解：菱形的另一条对角线的长是，     ，    所以，是的二次函数． 14．将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 15．若（为常数）是二次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出关于a的不等式组求解即可得出答案． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， 解得：， 则a的值为． 16．2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【答案】(1)万 (2) 【分析】（1）根据增长率的意义列式求近似数即可； （2）根据增长率的意义，列式求解即可； 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $