专题04 二次函数9大考点（广东专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 广东各地2026届二模二次函数专题汇编，覆盖9大考点，含选择、填空、解答题，以篮球轨迹、喷泉设计等真实情境和“仰顶函数”等新定义题型，体现基础巩固与综合应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|约3:2:1|含图像性质（如抛物线顶点判断）、实际应用（如投篮最大高度）、几何综合（如与特殊三角形、圆综合）|情境贴近生活（如拱桥问题），新定义题型（如“等和点”），符合广东中考命题趋势|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04二次函数 ☆9大考点概览 考点01二次函数图像与性质 考点02二次函数与系数的关系 考点03二次函数与方程、不等式的关系 考点04二次函数的实际应用 考点05二次函数中的新定义 考点06二次函数与线段长度、图形周长、图形面积、角度的综合 考点07二次函数与特殊三角形的综合 考点08二次函数与四边形的综合 考点09二次函数与圆的综合 考点01 二次函数的图像与性质 1 （2026广东广州二模)对于抛物线’=7(-2- ,下列说法正确的是(）· A.图象与y轴无交点 B.当x>0时，y随x的增大而增大 C.当x=2时，y有最小值-1 D.图象的顶点坐标为2，) 1/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x2-2x+1 2.(2026广东肇庆·二模)已知二次函数 ,下列说法错误的是() 1,0) A.顶点坐标为 B.对称轴为直线x=1 C.函数图像与x轴有2个交点 D.当x<1时，y随x的增大而减小 3。（2026广东广州二模)已知一个二次函数'=r+r+c 的自变量x与函数y的几组对应值如表： -2 -1 0 2 8 -30 -3 -15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是() A.图象的开口向上 B.当x>0时，y的值随的值x增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1 4.（2026广东都关二模)设4(-3，）.B(-2为）.C(2y)是抛物线=--2x+c上的三点，则， y2 y3 ,的大小关系为() A.为>%>乃B.月>为>⅓ C.y>为>为 D.为>h> 5.(2026广东二模)二次函数'=ar-4ar+2a<0)的图象过点 (-1y)B(2,).C6,).若 y2片3< ,则“的取值范围是() 、 1 <a<-4B.-5 5 <-1 2 1 5 D.-3sas-1 6 y=ax2+bx+2 5. (2026广东二模)直线'=x+b 与抛物线 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( 2/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026广东肇庆·二模)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点L,2c)和点(2,2c),则c的值为- 7.(2026广东广州二模)已知 Pm）,(3,m都在抛物线y=ar-br+l上，则b 一（用含a 的代数式表示)· 8.(2026广东·二模)将抛物线 y=x2 向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为() A.y=x2-1 B.y=x2+1 c.y=(x-1) D.y=(x+1)月 9(2026广东东莞二模)将抛物线)=(-3- 向左平移4个单位，抛物线与y抽交于点C(0,c）,在平 移过程中c的值会() A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 10.(2026广东广州二模)已知二次函数y=ar2-2r+2(a>0) 的图象如图所示，图象与轴交点的横 坐标从左到右依次为，x,如果x=m时，y<0,则当=m-2时，函数值（) Ψ 3/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.y=2 B.y<2 C.y>2 D.0<y<2 1 11.(2026:广东江门·二模)已知二次函数y=-x2+2x+c（c为常数)，若当2≤x≤2时，函数有最小 3 值4，则c的值为() 3 B.2 C.4 D.2或2 12。（2026广东二模)如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为4,0)、(0，-2 ，二次函数 y=x+2ax+b (a b 是常数)的图像的顶点在线段AB上，则b的最大值为() 15 31 33 A.-8 B.-16 D.-16 1B.(24-25九年级上江苏无锡期末)已知二次函数'=+mx+ (1,3) 的图象经过点 则代数式mn+l 有() A.最小值-2B.最小值2 C.最大值-2 D.最大值2 14.(2026·广东·二模)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古 希腊几何学家海伦提出的公式如出一徽，即三角形的三边长分别为a,6,G,记D=a++C 2,则其面积 S=p(p-a)(p-b)(p-c) 这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若D=5C=4 ,则此三角形面积的最大 值为() B.4 C.36 D.5 4/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(2026广东清远·二模)篮球运动员在罚球线投篮球的运动轨迹是一条抛物线.设篮球的高度y(米) 与水平距离x米的函数关系式为： y=0.2(x-1.5)+3.2(0≤x≤4) 当x= 米时，篮球达到运动 轨迹的最高点. 16.(2026广东广州二模)如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE、CE,以 CE为边向右侧作正方形CEFG.连接AF,则△AEF面积的最大值为 17.(2026广东河源·二模)己知二次函数满足条件：①图象过原点；②当x<2时，y的值随x值的增大而 增大.请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式： 18.(2026广东·二模)若二次函数图象的顶点坐标为 -2）,且经过点 (2,-3 ,则该二次函数的关系式为 19.(2026广东深圳二模)若二次函数y=ar+r+c 的图象开口向下，顶点在y轴正半轴上，则二次函数 表达式为 一.（写出一个即可） 20.(2026广东广州二模)已知抛物线1=+br+ 的顶点坐标为 8,-2）,与直线%=“ 相交于点 A1,2)和点B. (1)求该抛物线的解析式； (2当5<x<8时，试比较”与”的大小，请直接写出比较的结果。 21.(2026广东佛山二模)已知抛物 y=x2+bx+Cb,C为常数)· (①)若抛物线的对称轴为直线x=2,且抛物线经过点 3,0) ,求该抛物线的表达式： (2)若点 M(b,y)N(2b-3,2) 在抛物线上，当<乃时，求b的取值范围。 5/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026广东中山二模)己知二次函数'=ar+bx-3(“,b为常数，a≠0)的图象经过点 (-1,0) B(3,0) (1)求二次函数的表达式； (2)若n-1≤x≤n时，y的最大值为3-2n,求n的值. 23.(2026广东茂名二模)在平面直角坐标系x0y中，抛物线'=-3mr-4m(m≠0) (1)①证明：抛物线与X轴恒有两个交点： ②求出抛物线与x轴交点的坐标（用含m的式子表示）： P(t,0 (2)过点 作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线y=mx+m 于点N(M,V不重合). ①若m=-l,t=2,求MN的长： ②若当l<t<3,MN的长随t的增大而增大，求m的取值范围. 考点02 二次函数与系数的关系 1.(2026广东广州二模)抛物线'=ar+hr+c(a≠0 的对称轴是直线x=一1，其图象如图所示.下列结 论：①ac<0:②4a+e<2:③若氏，)和：，4)是抛物线上的两点，则当压+lH长+l0时， y<Y2 ,则关于x的方程+br+c-m+2=0 -l,m) ④抛物线的顶点坐标为 有实数根.其中正确结论的 个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 2.(2026广东二模)二次函数'=ar+r+ 的图象如图所示，对称轴是直线=1，下列结论：① 6/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 abc>0 b2>4ac a-b+c>0 a+b+c<m(am+b)+c ;② ;③ ;④ (为实数)，其中结论正确的个数为( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2026广东二模)如图，在平面直角坐标系*0中，0为坐标原点，抛物线 xOy =ax2+bx+c(a≠0) 的对 称轴为x=1,与x轴的一个交点位于(2,0)，(3,0)两点之间.下列结论： 1 ①b2-4ac<0:②abc<0:®a<-3C: ④若，为为方程r+r+c=0的两个根，则+5=2 2书主 其中正确的有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 4.（2026广东惠州二模)=次函数'=ar+br+ 开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，下 列结论正确的是() A.a<0 B.b<0 C.c>0 D.b2-4ac>0 y=ax2+bx+c(a≠0) 5.(2026广东·二模)已知二次函数 的图象如图所示，则() 7/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 2 A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 6。(2025四川德阳二模)如图，二次函数y=+r+C的图象关于直线x=1对称，与x轴交于 (x,0) B(5,0)两点，若2<<1，则下列四个结论：①3<5<4.②3a+2b>0,®>a+c+4c,国 a(m+1)(m-1)<b(1-m) 。正确结论的个数为（) y x=1 B X2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7〈2026厂索二衡)二次高数r+的图家如肉所际，则一次品数=- 的图象一定不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8(2026广东云浮二模)已知抛物线=m+r+c经过-m)6m两点，下列结论：O-4ac>0, ②抛物线在=1处取得最值：③无论m取何值，均满足3如+c=m:④若 x%) 为该抛物线上的点，当 8/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x。<-1 %<m 时， 一定成立.正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点03 二次函数与方程、不等式的关系 1.（2026广东广州二模)抛物线"=a-2aa≠0)与直线'=+0)交于1(，），8(6，)两点. 若5+书>0 y=ax+k ,则直线 一定经过（) A.第一、二象限B.第二、三象限 C.第三、四象限D.第一、四象限 2.(2026广东深圳二模)华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非.”请运用这句话中提到的 数学想起并给合已面的部分图保失断方程2+2一3兰积的情视是（)。 A.有三个实数根，两个正根一个负根 B.有两个实数根，一个正根一个负根 C.有三个实数根，一个正根两个负根 D.有两个实数根，并且两个都是负根 VA 根据函数图象可知图象共有3个交点，即方程有3个根，且一个正根两个负根， 9/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=ax2-4x+2(a≠0) 3.(2026广东清远·二模)若二次函数 的图象与x轴没有交点，则a的取值范围为 () A.a>2 B.a<2 C.a>-2 D.a<-2 4.（2026广东二模)若抛物线)=-2x+m x轴没有交点，则m的值可以是 (写出一个 即可) 5(2026广东广州二模)已知抛物线'=-+2+1与*轴交于 G0),(0)两点，且<.若点 A(m,n) 在该抛物线上，则下列判断正确的是() A.当">0 x<m<x2 时， B.当”<0 m<x 时， C.当k=0时，该抛物线的顶点到达最高处 D.该抛物线与y=-x+1没有交点 6.(2026广东·二模)对于一个函数，如果自变量x取a时，函数值y也等于a,那么我们称a为这个函数 的不动点.如果二次函数'=-2r+4红+ 有两个相异的不动点，出，且<1<，则的取值范围是 () A. c>-1 B.c>-2 Cc>-8 9 D.c>-9 8 (2026广东广州：二模)已知M,),N,)是抛物线y=r+x-42上两个不同的点 (1)当a=1,且抛物线关于y轴对称时， ①若M,N两点都在x轴上，求线段MN的长； 11 ②若直线MN经过平面直角坐标系的原点O,求OM+ON的值： ②当>1且b=口时，若点M,N在抛物线对称轴的左侧，其中<且，均为整数，证明： 10/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -x2+y-2>0 W:y=x2-4x+m W 8.(2026广东·二模)在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴交于点M,抛物线： y=r2-4ax+ma>0)经过点 (1,-1 (1)用含有a的式子表示n: ②老m=之，点P在所上，且点P的纵华标为5.请说明P是香在%上？ W ③直线'=+mk<0)交所于点MN若线段MW的中点P为直线MN与的唯一公共点，求“的值， 交 9.(2026广东东莞·二模)研究函数图象与坐标轴的交点，是分析函数性质、解决函数问题的重要抓手. y=kx+b y=kx+b A 2 B 图1 图2 【初步尝试】 (1)如图，一次函数y=+b的图象分别与x轴、y轴交于点A,B.用直尺和圆规图1和图2中分别作出下 列函数的图象（保留作图痕迹）· ①y=-a+b,②y=2kax-b 【深入研究】 ②四已知二次函数”=m(x-x-m-3) (m为常数，且m≠0). ①求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； ②该二次函数的图象所过的象限随m的取值变化而变化，直接根据的取值范围写出函数图象所经过的象 限（写出所有可能情况）· 考点04 二次函数的实际应用 11/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=ax+bx+c y=kx+b 1.(2026广东广州二模)在平面直角坐标系中，平移抛物线 ,若其顶点在直线 上运动，则称直线y=c+ 为抛物线的：k-b 型亲密线”.已知抛物线： G y=x2-2hx+h2+2h+1 (1)求抛物线G的顶点坐标； (2)当h的值变化时，求抛物线G的“k-b型亲密线”的表达式： G G (3)將抛物线C平移得到抛物线，设抛物线C与y轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为m,当2≤m≤1 时，n有最小值为1，若抛物线9有k-3型亲密线”，求的值。 G 2.(2026广东二模)运动会上，小刘同学投掷的实心球沿如图所示的抛物线，=a(x-4+(a≠0)运 行.实心球抛出时离地面的高度OA为l.6m,实心球离初始位置的水平距离OB为10m,请建立适当的平面 直角坐标系，解决下列问题： 0 B (1)求实心球运行满足的函数关系式（写成顶点式），并写出自变量x的取值范围： (②)求实心球在运行过程中离地面的最大高度 3.(2026广东惠州二模)粤BA正在广东全省21个市火热进行，惠州主场气氛爆棚，全民观赛氛围十分 浓厚，如图是篮球运动员小帅在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为x轴，出手点 竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.篮球运行的路线可看成抛物线，小帅投出的篮球在距原点水平距离 2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米， 求此抛物线的解析式.（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计）· 2.5 4.(2026广东河源·二模)某古镇有一座抛物线形的石拱桥，其示意图如图，桥洞的水面宽度AB为16m, 拱顶（点C)与水面的距离为10m.以水面AB的中点O为原点，AB所在的直线为X轴，过点O且垂直于x 12/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系. VA B (1)求该抛物线的表达式. (2)今年元宵节，古镇居民计划在桥洞两侧对称地悬挂两个灯笼，以增添节日气氛.灯笼悬挂点距离水面 7m.请你计算这两个灯笼悬挂点之间的水平距离。（结果保留根号） 5.(2026广东梅州二模)如图，这是某座抛物线形拱桥的示意图，当桥下水面的宽度AB为20米时，拱高 OC为5米.现在有一艘高度为3.5米的小船需要从桥下通过，为了安全通过，小船在桥下水面的宽度不能 超过多少米？ B 6.(2026广东肇庆·二模)舞狮是中国优秀的传统民间艺术，每逢佳节或隆重庆典，民间常以舞狮来助兴. 如图，舞狮团进行舞狮表演，演员从木桩顶部A处弹跳到另一木桩顶部B处，以O点为坐标原点，OC所 在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，其身体（看成一点）的路线是抛物线 y=-3x2+bx+ 的一部分，已知木桩顶部A处的高度OA为1米，另一木桩顶部B处的高度BC为2.92米， 两个木桩的水平距离OC为1.6米.（不考虑木桩横截面积） y(米) A Ex(来) (1)求该抛物线的表达式： (2)若在木桩BC右侧设置一个与BC高度相同的木桩DE,演员从B处按如图所示方式跳出，跳跃轨迹形状 13/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 不变（即抛物线形状不变，演员跳起的最高点距起跳点水平距离与从A点起跳时一致），要保证演员可落 在新设置的木桩顶部D处，求新设置的木桩DE与BC间的水平距离. 7.8.(2026广东河源二模)综合与实践 主 喷泉设计 题 背 数学兴趣小组要设计一个类似图(1)的环形喷泉，喷头喷出的水柱形状为抛物线，且上面喷头喷出 景 的水柱会落入下面的喷头处 素 如图(2)是喷头A所在纵截面的示意图，建立平面直角坐标系，点A,B在y轴上，通过调节，喷 材 1:y=-x2+2x+8 1 头A喷出的水柱形状为抛物线 素 平台BC的高为5米（即OB=5米），BCx轴，喷头A喷出的水柱落入喷头C处，喷头C喷出的 材 2 水柱所在抛物线的形状与相同， 喷头C喷出的水柱落入喷头E处，平台DE的高为2米（即EF=2米），点F在x轴上，OF=6 素 5383 材 米，喷头B喷出的水柱形状为抛物线y=一x+ 4 2，水最终落入圆柱形接水装置（纵截面为矩 形GHW)中，接水装置高GH=0.5米，底面直径H0=0.4米，HM在x轴上. B F HI x 图(1) 图(2) 问题解决 (1)求点C的坐标. (2)求抛物线的解析式. (3)要使喷头E喷出的水柱恰好从G)的中点处落入接水装置，求接水装置离EF的水平距离FH, 14/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(2026广东惠州二模)综合与实践 【项目主题】柏塘山茶最优销售定价方案探究 【现实情境】柏塘山茶是博罗县国家地理标志保护产品，柏塘镇被誉为“广东十大茶乡”· 为助力乡村振兴，某校综合实践小组走进柏塘镇，探究特级炒青茶的最优销售定价，帮助茶农提升收益， 【信息整理】小组在茶叶交易市场统计了同批次特级炒青茶不同定价下的日销量，数据如下： 表格 销售单价x （元/千 60 65 70 75 80 85 克) 每日销售 量y(千 120 110 100 90 80 70 克) 【市场调研】经了解，该款特级炒青茶每千克的生产成本为40元. 【问题解决】 (I)根据表中信息可知，该款茶叶的每日销售量y(千克)是销售单价x(元/千克)的函数（选填“一 次”“二次”“反比例”)，并求出y关于X的函数解析式： (2)若要使每日销售利润最大，请通过计算说明该茶厂的定价方案，并求出最大日销售利润。 9.(2026广东惠州二模)综合与应用： 央视春晚舞台上，智能武术机器人上演腾空跳跃特技表演，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物 线.以机器人平地起跳点为坐标原点，水平向右为X轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系.机器人最大 腾空高度为2米，此时机器人水平方向也移动了2米.舞台上设有长方体台阶ABCD,截面宽AB=1米， 竖直高为BC=1.5米，请根据上述信息解决下列问题： E A B 图1 图2 (1)求图1中抛物线的函数表达式： (2)若机器人第一次落地后原地起跳，第二次跳跃能越过长方体台阶ABCD,求台阶应放在离点O多远处？ (求OA的取值范围) 15/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，机器人从滑梯EF上起跳，OE=4米，OF=2米，此时 OA=5.5米，起跳点的横坐标记为m,跳跃后刚好落在台阶顶面CD的中点处，求m的值. 10.(2026广东广州·二模)问题背景：小天在整理储物柜时，发现纸杯的不同叠放方式会导致高度与数量 的关系发生变化，他运用学过的函数知识分析其中的变化规律 叠法1：小天以图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度y(m)与纸杯的个数x(个)之间是 次函数关系，相关数据如表 纸杯个数x (个) 纸杯高度y( 9 9.5 10 10.5 cm) 叠法2：“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图3所示：每层都是杯口朝下排成一 行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子.小天发现叠放所需杯子的总数随着第一层 《最底层)杯子的个数m变化而变化，并在平面直角坐标系中描点，》，（2,3)，8,6，(5,15)等，由此 猜想这些点在某一条过原点的抛物线上（图4）： O12345678910m 图1 图2 图3 图4 (I)求n与m之间的函数表达式： (2)小天把杯子按叠法1叠成如图1的一摞，竖着一次性放入内高为31m的柜子里（图2）.求一摞最多能 叠的杯子总数： (3)小天将储物柜里竖着的一摞杯子（总数为a)全部拿出来，刚好能按叠法2进行叠放，用含Q的代数式表 示杯子叠放后的层数。 11.(2026广东深圳：二模)综合与实践 【问题背景】“尖鼻蛙”是“蛙界”跳远之王.对蛙类的立定跳远项目进行比较与测量，可以为研究蛙类 16/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 跳跃极限、“仿蛙机器人”跳跃性能等，提供参考数据 【模型构建】如图1，当“尖鼻蛙”以5°倾斜角起跳（以下简称“起跳”）时，若以地面上的起跳点为坐 标原点，以地面上水平向右的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则其运动路线可以近似地用公式 y=- 表示，其中，。(m/s)是起跳时的速度. ◆y/m ◆y/m -----W E 4o 45 A x/m x/m 图1 图2 【模型应用】 (①)如图1，当“尖鼻蛙”起跳速度%= 0ms时，则其跳远距离OA= m,在这个过程中，“尖鼻 蛙”离地的最大高度是m (②如图1，若“尖异蛙”起跳速度为”，从起跳到落地的过程中： ①求其离地的最大高度是多少？（用含的代数式表示） ②记①中离地的最大高度为h,记OA=1,求证：l=4h (3)如图2，“尖鼻蛙”连续两次起跳，共跳了8m远.在起跳点正上方1.25m处，设有一条平行于地面的 观测线MN,若在两次跳跃过程中，“尖鼻蛙”均没有触碰到MN.设两次离地的最大高度分别为CD, EF」 ①填空：CD+EF=m, ②设其第一次起跳的速度为”(ms),求”的取值范围。 12.(2026广东二模)综合与实践 数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的距离与时间 的关系进行了深入探究.该兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一 步应用，请完成下列任务. 17/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【实验过程】 如图1所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动.从小球运动到O点处开始，用相关仪 器测量并记录小球在水平木板上的运动时间t(单位：S),运动距离y(单位：cm)的数据. Ay/cm 100 小球 60 0 3 斜坡 10 4 水平木板 369121518 s 图1 图2 【收集数据】 记录的相关数据如下： 运动时间 0 6 9 12 15 t/s 运动距离 0 27.75 69.75 84 93.75 y/cm 【建立模型】 根据表格中的数值在图2的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图象发现，我们可以用二次函数近似 的表示y与t的函数关系. 四观察发现y关于t的二次函数图象经过原点，设y与1的函数关系式为y=㎡+b(a≠0)， 请求出该关系 式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)若小球运动到O点处的同时，在其右侧40m处的水平木板上有一辆电动小车，以4Cm/s的速度匀速 向右直线运动，请研究小球能否追上该电动小车，并说明理由， 13.(2026广东深圳二模)【综合与实践】 【情境导入】 周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观.场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试.工程师告诉大 18/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果.广场一侧有一段草坡，坡面 上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，∠ABC=90°，AB=2米，BC=6米，坡面AC上有一棵小树MN (小树粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点C不重合，MN⊥BC),现在斜坡底C处安装一个喷水管CP, 水流呈抛物线状，恰好落在A处.技术人员以B为原点，水平向右为x轴，竖直向上为少轴，记录了喷头开 启后喷水管喷出水流到B的水平距离x(米)与水流的高度y(米)的变化规律如表： 0 2 3 4 19 5 19 2 2 8 2 8 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为 并求出水流的函数解析式. (2)若调试时，水流恰好经过树顶N点， ①为了美观，小树不能太高.请计算在现有水流轨迹下，这棵小树MN的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶A处看，树底M和树顶N的视觉效果对称（即AM=AN)，请求出此时树顶N的 坐标. ③在灯光测试中，需要在MN右侧（靠近C的一侧）再放置一棵与MN等高的小树DE(D在坡面上，树干 垂直BC)，且水流也能刚好经过树顶E.为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底M的横坐标m的 取值范围. A M B 考点05 二次函数中的新定义 1. (2026广东深圳：二模)新定义：对于二次函数A和B,若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是 B的“仰顶函数”，例如：函数'=-2+2是 y=2(x+3)2-1 函数 的“仰顶函数”，若无论取任何实 19/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数，函数少=r+4x+6-n 是函数=x+2mr-4m 的“仰顶函数”，则的取值范围() A.n<-2 B.n≤-2 C.n>2 D.n≥2 2.(2026广东二模)在平面直角坐标系中，对于 P,)和点6， ,若满足+=片+，我们 称点P和点Q互为等和点.下列结论： 1,3) ①若点P坐标为 则点P的等和点在直线’=X-2上 ②若点P坐标为 -3,2 ,则无论“取何值，直线'=-3a+l上有且只有一个点是点P的等和点： ③若点RQ分别在函数y-8 =x-2的图像上，点P和Q互为等和点，则点P的坐标为(2,4)： n,0) ④若点P坐标为 ,则二次函数少=-x-x+1 图像上总存在点P的等和点。 其中正确的为() A.①④ B.②③ C.②④ D.①③ 3. (2026广东深圳二模)定义：如果二次函数 =ar+x+G(a*0)与=a,r+r+ca+0)满足 a+a2=0b=b2G+C2=0 则称它们互为“旋转函数”.已知二次函数'=r+r+c与 y=3x2+6x-2 互为“旋转函数”，则这两个函数的顶点距离为() A.2V26 B.10 C46 D.2V22 4.（2026广东惠州二模)已知二次函数'=-+mr+2 定义新运算：对于任意，称满足等式 3x-b=cx-1的解x为该函数的“特征值”（其中a,b,c为函数的二次项、一次项、常数项系数）， 若该函数的“特征值”的取值范围是1≤x≤3，则m的最小值是」 5。（2026广东深圳二模)在平面直角坐标系中，过点F(0,f)作y轴的垂线与二次函数y=-(-)°+k (h、k为常数)的图象交于点M,N两点（点M在点N的左侧），点P在直线MN上，当点P满足 PM+PN=4时，我们称点P是该二次函数图象的F~4美好点. 20/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)二次函数y= 2的图象如图所示. 9 ①在f的不同取值-2、一2、-1中，使该函数图象有F4美好点的f的值是 P(m,n ②已知 是该函数图象的F~4美好点，猜想的取值范围，并说明理由. (2)若 ”(h为常数)图象的F~4美好点，请直接写出h的值. 6.（2026f东广州二模)我们约定：若抛物线y=a+br+c(a≠0) 与直线一有交点，我们称函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 为“博学函数”，其交点为“博学点”：若抛物线 y=ax2+br+c(a≠0)与直线-a 有交点，我们称函数 y=ax2+bx+c(a≠0)为“慎思函数”，该交点为“慎思点”· y=2x2-x+c (1)若函数 既是“博学函数”，也是“慎思函数”，求C的取值范围； ②泥知函数'=-0)的一个“慎思点”为P直线'=m+m≠0)与抛物线'=-10)的两 个交点分别为 P(x,y),Q(x2,2) 且满足+名=20 6,直线P吧是否经过一个定点，若经过定点，请求 出该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 7(2026广东广州二模)我们约定：若点A为m,m）,点B为 m,m+n) ,我们称点B是点A的“衍生点”； 我们发现：若点A在抛物线C上，点B始终在抛物线C上，那么我们称抛物线C是抛物线C的“派生抛 物线”. 21/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A(3,4) (1)点 的“衍生点”是 一；抛物线 1.y=x2+3x-2 的“派生抛物线”是 (②已知点1（八在抛物线S:y=r+bx+C图象上，点A的“衍生点”为点 (-2,2) 该抛物线的“派生 抛物线”C的顶点为m,）.当0≤c≤4时，求n的取值范围； ()已知点M-4）,N+2,）,P(,)在抛物线'=-(2r+1小x+1 的“派生抛物线”上，当 4<x3<5 时，总 有>为>片，求的取值范围. y=ax+bx+c 8.(2026广东东莞·二模)给出如下定义：对于二次函数 (其中“、b、C为常数，且00 b C b≠0)，我们把一次函数y=2石x+。叫作该二次函数的“随轴函数”，例如：二次函数 y=-,2+3x+4的“随轴函数”为y=3x-8: 2 备用图 ①已知二次函数少)+9x-6,求该二次函数的“随轴函数”的表达式 ②收图，设二次正数=-+c+的图象S交轴于 .A(-1,0 ,交y轴于点9 C(0,3) ,它的“随轴函数” y=kx+d 的图象为，图象C与相交于B,D两点（点D在点B的左侧）. L ①求该二次函数的表达式，并写出B,D两点的坐标； ®直线=川与C,分别交于点E,下，与”轴交于点G.连接B配，CE,C,当0<n<3时，且四边 22/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 75 形CEBF的面积为8，求n的值： =-x2+bx+c(x<3) ③若二次函数 与它的“随轴函数”y=+d(x≥3 组成新函数”，若在函数”图象上 有两点P,Q(P与2不重合)，点P的横坐标为m,点2的横坐标为-m+5.当P,Q之间（包含P,Q 两点的图象)对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，请直接写出m的取值范围. B ② D G(n,0) .E(n,-n2+2n+3F(n,n-3) .EF=-n2+n+6, :S四边形CEr=号EF·OB 2 ·ac(n+n+6)3=75】 8 1 1 n2-n 4 =0,解得= 2, 由题意得： AO B -1≤-m+5≤1 3≤m≤7 4≤m≤6： 5 当m<2,如图： 23/23 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 由题意得： B -1≤m≤1 3≤-m+5≤7 .-1≤m≤1， 综上：4≤m≤6或-1≤m≤1. 9.(2026广东广州二模)定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互 为“伴随函数”.例如，函数y=x2与y=-x关于原点0互为“伴随函数”.举例：求函数y=2+1关 于原点O的“伴随函数”的函数解析式， 解：设函数y=2x+1关于原点O的“件随函数”上的任一点为(x,y), 则该点关于原点的对称点为七-)」 1 将(x-)代入函数y=2+1得： 1 -y= 2+1 1 y=2-1 “函数y=2x+1关于原点0的“件随函数”的函数解析式为y=2-1: (1)函数 =(x-2)2+3 0 的顶点坐标是 它关于原点的“伴随函数”的函数解析式为 ②已知函数)=-X-2x与函数G关于点P(m-3》互为“件随西数”.若当m<x<7时，函数 y=-X-2x与函数G的函数值y都随自变量的增大而减小，求m的取值范围： (3)已知 点4Q,2）,点B6,2),点CB.0),二次函数=m-4r-5aa>0)与函数N关于点C互为“件随 ,点 24/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 函数”，将二次函数'=ar-4ar-5a(a>0) 与函数 的图象组成的图形记为”，若图形”与线段4B拾 有2个公共点，求a的取值范围. y=x2-2hx+c 10.(2026广东深圳二模)在平面直角坐标系中，平移抛物线 的图象，若其顶点P始终 都在直线 y=kx+b k b y=kx+b (， 均为常数)上，则称直线 为抛物线的：k-b 型亲密线”· ①当抛物线满足=伍+时， 0 ①若此时抛物线 的图象恰好经过原点，求顶点P的坐标： 9 ②求该抛物线巴的：k-b 亲密线”的表达式： 92 O (2)将抛物线进行平移，得到抛物线2，设抛物线2与y轴交点的纵坐标为n,项点P的横坐标为m,当 -2≤m≤ 时，有最小值1，若此时抛物线O有：k-3 92」 亲密线”，求的值， C:y=ax2+bx+c(a≠ 11.(2026广东深圳：二模)【定义感知】如图1，对于抛物线 》,以轴上的点 P(m,0) 180° 为中心，将抛物线C绕点P旋转得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线C关于点 P的“共轭抛物线”，点P为“共轭中心”， 共轭抛物线 D O(P) 图-1 图-2 【理解应用】 25/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 已知顶点为D的抛物线C:y= )2+2与轴交于点A,B (1)如图2，当m=0时，求抛物线C关于共轭中心 (0,0 0的共轭抛物线C的表达式： (2)如图3，当m>0时，若抛物线C关于共轭中心 (m,0 的共轭抛物线C恰好经过抛物线C的顶点D,求 m的值： Y C D P\B 0 m 图-3 备用图 ③)【拓展延伸】过点P(m,0) 作x轴垂线，分别交抛物线C和它关于共轭中心 (m,0) 的共轭抛物线9于点 M.N 记MN的长为n,n与m的函数关系图象为C9.当平行于m轴的直线与C9的公共点个数为3个时， 求此时m的值. 12.(2026广东广州二模)在平面直角坐标系中，如果抛物线G与直线相交于 点M()和点N(乃） 那么我们把 -叫做抛物线G在直线上的“水平跨距”· y=x2-1 (1)求抛物线 在直线少x~ 上的“水平跨距”： (2)已知抛物线 Gy=x2-2x+m2+m-1 当m取不同值时，抛物线的顶点始终落在同一条直线： y=x+b 上. ①请用含m的式子表达抛物线G的顶点坐标，并求直线的解析式； G y=x2-2mx+m2+m-1 ②试探究抛物线 在直线少x+ 上的“水平跨距”是否会随m值的变化而变化， 并说明理由. 26/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2026广东江门二模)代数推理 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一 个“减半点”，则称该函数为“减半函数” 1 ()函数y=2x+5是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由： 18 (②)求函数y=图像上的“减半点”； 3)若抛物线G:y=mr+(m+)x+4m图像上存在唯一的“减半点”. ①求抛物线G的解析式： 5 ②将抛物线G向上平移16个单位长度，得到新抛物线H,作直线x=1交抛物线H于点A,作直线x=21+1 交抛物线H于点B,连接AB,若直线AB的“减半点”恰好为线段AB的中点，求的值. 考点06 二次函数与线段长度、图形周长、图形面积、角度的综合 1. (2026广东深圳二模)已知抛物线y=ax2-4ax+3a交x轴于A,B两点，其中点A在点B的左边，直线 y=-ax+3a 与y轴交于点C,其中a>0, (1)点A的坐标为 一，点B的坐标为 (2)过 P,0)作轴的垂线，交抛物线'=r-4ar+30于点M,交直线y=-ax+30于点N. ①若a=1,t=2,求MN的长度： MNMN ②在点P从坐标原点O向点D(3a,0)运动的过程中（点P不与点O、D重合），若OP+BP的值与：无关， 求a的取值范围. 2026广东广州二模)已知，如图，抛物线y=4+6x+C与轴正半轴交于A、B两点，与y 于点C,直线y=r-2经过A、C两点. 27/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 备用图 (1)直接写出抛物线的解析式： 0 (2)P为抛物线上一点，若点P关于直线AC对称点落在y轴上，求P点坐标； 11 (③)现将抛物线平移，保持顶点在直线y=x-4,若平移后的抛物线与直线y=x-2交于M、N两点. ①求证：MW的长度为定值； ②结合(2)的条件，求△QMN的周长的最小值. 3。(2026:广东珠海二模)如图，抛物线'=ar+br+ 与x轴交于点A和原点O,平行于x轴的直线交抛 物线于点B(-210)和点C(5,10 ,交y轴于点D,过点D的直线'=2x+m交x轴于B,P是线段DE上 点（不含D、E)，连接PO并延长，交抛物线于点O,连接PC、CQ 28/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 备用图 备用图 备用图 (1)求直线少=2x+m 抛物线'=ar+br+ 的解析式： (②)是否存在一点P使得OP=O0,如果能请求出P的坐标，如果不能，说明理由： (3)求△PCQ面积的最大值： (4)连接0C, ①当OA平分∠CO0时，求点Q的坐标： 5 ②当an∠C00=2时，直接写出点Q的坐标： 3.(2026广东广州二模)已知抛物线 =-+hr+C(b,C为常数，b≥0). (1)当b=2,则该抛物线的对称轴为直线x=—: A(-1,0) (2)点 和点B为抛物线与'轴两个交点（点A在点B的左侧），点C为抛物线与y轴的交点. ①当BC=AB时，求b的值： 点Db-2)为轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，E为)y轴正半轴上的一点，过点E作抛物 ②若 29/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 线对称轴的垂线，垂足为F,连接BE,DF,当BE+DF 205 h 的最小值为 时，求的值， > 4(2026广东广州二模)如图，直线y=-x+ 5与y轴相交于点C,抛物线y=7+bx+c过点G3,2, 7 且与直线=-x+2交于B,C两点」 G 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)当自变量x满足a-3≤x≤a+2时，对应的抛物线函数值y的最大值为-5，求a的值： (3)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，点P为对称轴上一动点，当△BCD的面积取得最大值时，求 △PDG的周长最小值， 5(2026广东消远二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线'+c+3(a≠0)与”轴交于点 6,0)和点BL,0),与y轴交于点C,经过点A的直线4D与y轴交于点D©os∠AD0=V 2， D B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)点E为直线AD上的一点，过点E作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点F,再过点F作y轴的垂线 与该二次函数的图像相交于另一点G,当2EF=FG时，求点E的横坐标； 30/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)点H是线段OA上一动点，点K是线段AD上一动点，且AH=DK,求DH+OK的最小值. 6(2026广东东莞二模)如图1，抛物线=ar+hc+3与x轴交于 A(-1,0)B(3,0) 两点，与y轴交于点 C,顶点为D,将该抛物线沿直线BC方向平移一定的距离，得到新抛物线”，其顶点为D'.抛物线”与 x轴交于E、F两点（点E在点F左侧）， VA D 图1 图2 (I)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标： (2)如图1，当点E与点B重合时，求△CFD'的面积； 3)连接CE、CF,若CB恰好平分∠ECF,求平移的距离. 7(2026广东清远二模)已知二次函数"=+r+ A,B 的图象交轴于两点，交y轴于点C,点B坐标 为30 对称轴是直线x=1,点P是轴上一动点，PM上x轴，交直线BC于M,交抛物线于点N, 备用图1 备用图2 (1)求二次函数解析式. (2)若点P在线段BO上运动（不与O,B重合），求四边形ABNC面积的最大值，并求此时点P坐标. 31/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)设点D是抛物线上一动点，是否存在点D,使得∠BCD=15°？若存在，请直接写出所有符合条件的点D 坐标：若不存在，请说明理由 &(2026广东江门二校)如图，在平面直角坐标系中，二次面数'=++ehc为常数)的图像与 x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，交y轴于点C,对称轴为直线x=1,AB=4. 图1 图2 (1)求二次函数关系式： (2)连接AC、BC,抛物线上是否存在点P,使∠CBP+∠ACO=∠OCB,若存在，求出点P的坐标，若不 存在，说明理由， (3③)如图2，在x轴上方的抛物线上找一点Q,作射线A0,使∠BA0=2∠AC0,点M是线段A犯上的一动 点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N,连结BM,求BM+MN的最小值. 考点07 二次函数与特殊三角形的综合 1.(2026广东汕头二模)如图1，抛物线’=a(x-2+35 的顶点为C,与x轴的两个交点为A、B 直线V5x+ 经过A、C两点. 图1 图2 备用图 (1)求抛物线和直线AC的解析式： 32/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)如图2，点M在直线AC上方的抛物线上，MD⊥x轴，ME⊥BC,垂足分别为D、E.设点M的横坐标 为m(0<m<2),MD+ME=y,求y与m的函数解析式，并求y的最大值： (3)点P在y轴上，若△ACP为直角三角形，请直接写出点P的坐标。 22026广东二模)已知二次函数')r+m437 3m(m≠0)】 图象的顶点为A,与y轴交于点B,对称 轴与x轴交于点C (①若该函数图象经过点(0，， 求点A的横坐标： (2②)若m<3, P2）和(4)在该函数图象上，证明：为>为， 3)若△ABC是等腰三角形，求m的值. 考点08 二次函数与四边形的综合 1..(24-25九年级下广东梅州开学考试)如图，正方形ABCD的顶点A,C在抛物线 =-x2+4 上，点 D在y轴上.若A,C两点的横坐标分别为，n(m>n>0),则m-n= 2。(2026广东清远二模)如图1，抛物线'=r+r+3与x轴交于1(-10）、CB,0 两点，与y轴交于 点B 33/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 备用图 (1)①求抛物线的表达式. ②对于该抛物线上的两点 P(,),R(西），设≤x≤1+1，当5≥4时，均有≥为，请直接写出1的 取值范围， (2)如图2，连接BC,点D是直线BC上方抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线交直线BC于点E,求 DE+BE 2 的最大值. (3)如图3，点D是抛物线上的一动点，过点D作y轴的平行线交直线BC于点E,过点D,E分别作x轴的 平行线交抛物线的对称轴于点G,F,过点A作BC的平行线交y轴于点H,当四边形DEFG在直线AH, 直线BC之间的部分的面积恰好是四边形DEFG面积的一半时，请求出点D的横坐标. 3.(2026广东中山二模)如图1，己知抛物线'=+x+C与轴交于 (-1.0)B3,0丙点，与y轴 C(0,3) 交于点 顶点为D,连接BC. 图1 图2 备用图 (1)抛物线的解析式为： (2)如图1，点G是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点G作y轴的平行线交直线BC于 34/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点E,作GF⊥BC于点F.当△GEF的周长最大时，求△GEF的面积； (3)如图2，连接BD,点P是线段BD的中点，点是线段BC上一动点，连接DO,将△DPO沿P翻折， 且，线段D'P的中点恰好落在线段B上，将△AOC绕点O逆时针旋转60°得到△AOC',点T为坐标平面内 一点，当以点Q、A、C'、T为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点T的坐标. 4.（(2026广东二模)二次函数y=mr2-2 6 3x+mm>0)的图象交y轴于点A,顶点为P,直线A与x 轴交于点B, (1)当=1时，求顶点P的坐标： ②若点Q(a,b)在三次函数y=6-3x+mm>0的图象上，且6-m>0,试求a的取值范 3 (3)在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD ①求点D的坐标（用含的代数式表示）； ②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数的值. D B 考点9 二次函数与圆的综合 1,（2026广东二模)如图，二次函数'=ar-7ar+6ala>0) 的图象交x轴于A,B两点，交y轴于点 C,⊙P(P在第一象限)恰好经过A、B、C三点，且AB的弦心距为2 AB,则a的值为一 35/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026广东广州二模)直线片=2x+7交y轴于点A,抛物线4=r+r+C交x轴于点B(:,0)和点 C(x2,0）x<x2 (1)求点A的坐标： ②如果b=3,c=6,且抛物线”始终在直线1下方，求“的取值范围： ,且4BCD )过点B作”的平行线.在第一象限内交抛物线”于另外一点D,如果点D的横坐标是+4， 的面积是32，A,B,C,D四点共圆.当1≤x≤4时，探究”有没有最值《最大值或最小值)？如果有， 请求出最值，如果没有，请说明理由. 36/23 专题04 二次函数 9大考点概览 考点01二次函数图像与性质 考点02二次函数与系数的关系 考点03 二次函数与方程、不等式的关系 考点04二次函数的实际应用 考点05 二次函数中的新定义 考点06 二次函数与线段长度、图形周长、图形面积、角度的综合 考点07 二次函数与特殊三角形的综合 考点08 二次函数与四边形的综合 考点09 二次函数与圆的综合 二次函数的图像与性质 考点01 1．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 2．（2026·广东肇庆·二模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 3．（2026·广东广州·二模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 3 5 y 0 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随的值x增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，先利用表中对应值求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由表格可知，二次函数过点，，， ∵当时，， ∴，将，代入解析式得方程组： ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，选项A错误； 由解析式可知图象的对称轴为直线，选项D正确； ∵开口向下， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项B错误； ∵顶点坐标为，抛物线与轴交于和，开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，选项C错误； 4．（2026·广东韶关·二模）设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：， 可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵，，是抛物线上的三点， 且， ∴， 故选：D． 5.（2026·广东·二模）二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，容易求得，结合，分两种情况讨论：当时和当时． 【详解】根据题意可得，二次函数的对称轴为，且开口向下，所以． （Ⅰ）当时，可得 解不等式，得 （不符合题意，舍去）． （Ⅱ）当时，可知且，可得 解不等式组，得 ． 5．（2026·广东·二模）直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次函数图像的特点判断a，b的值，再根据系数判断直线的位置，可得答案． 【详解】∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 所以A错误； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限， 所以B正确； ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 所C错误； ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 所以D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像，一次函数图像与系数的关系，准确的观察图像得出系数的大小是解题的关键． 6．（2026·广东肇庆·二模）若二次函数的图象经过点和点，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据对称轴可知的关系式，进而即可求解 【详解】∵二次函数的图象经过点和点， ∴对称轴为直线， 即， 解得， 将点代入二次函数 得， ． 7．（2026·广东广州·二模）已知点，都在抛物线上，则______（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据点的坐标得出两点关于对称轴对称，然后根据对称轴的公式列出关系式． 【详解】解：∵点P和点Q的纵坐标都是m，且两点都在抛物线上， ∴点P和点Q关于该抛物线的对称轴对称． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． 8．（2026·广东·二模）将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：上加下减，即可得到答案，熟练掌握二次函数的图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：A． 9．（2026·广东东莞·二模）将抛物线向左平移4个单位，抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会（   ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【分析】分别求出原抛物线与y轴的交点，向左平移3个单位后与y轴的交点，向左平移4个单位后与y轴的交点，比较后即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， 将抛物线向左平移3个单位得到，即， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， 将抛物线向左平移4个单位后所得抛物线表达式为，即， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， ∴抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会先减小后增大． 10．（2026·广东广州·二模）已知二次函数的图象如图所示，图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，如果时，＜，则当时，函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据二次函数解析式求出对称轴为直线，并计算出当时．根据抛物线的对称性可知当时．结合图象可知，当时，的取值范围在和之间，从而确定的取值范围．进而得出的取值范围，最后利用二次函数的增减性判断的值与的大小关系． 【详解】解：二次函数解析式为 对称轴为直线 当时， 抛物线关于直线对称 当时， 由图象可知，当时，图象在轴下方，对应的值在和之间 图象与轴交点为，且开口向上 当时， 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而减小 当时的函数值大于当时的函数值，即． 11．（2026·广东江门·二模）已知二次函数（为常数），若当时，函数有最小值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数在给定区间上的最值问题，关键在于掌握二次函数的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系，灵活运用二次函数的性质判断最值点．根据二次函数的解析式，先确定其开口方向与对称轴，再比较区间端点到对称轴的距离，判断出最小值对应的自变量取值，进而求出常数的值． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ， 二次函数图像开口向下，在处取得最大值， ，， 函数在处取得最小值， 即， 解得：． 故选：． 12．（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，二次函数（，是常数）的图像的顶点在线段上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，熟知二次函数的图像和性质是解题的关键； 先用，表示出二次函数图像的顶点坐标，再结合该顶点在线段上即可解决问题； 【详解】解：∵二次函数解析式为（，是常数）， 顶点坐标为， 又，， 直线的函数解析式为， 二次函数图像的顶点在线段上， ，且， 则， 当时，有最大值为； 故选：B 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A．最小值 B．最小值2 C．最大值 D．最大值2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．将点代入二次函数解析式，得出，再代入代数式得到关于的二次函数，再求最值即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， ， ， ， 代数式有最大值2， 故选：D． 14．（2026·广东·二模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表达式中得： ，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值． 【详解】∵p=5，c=4， ∴a+b=2p-c=6 ∴ 由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得： 设，当取得最大值时，S也取得最大值 ∵ ∴当a=3时，取得最大值4 ∴S的最大值为 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题． 15．（2026·广东清远·二模）篮球运动员在罚球线投篮球的运动轨迹是一条抛物线．设篮球的高度（米）与水平距离米的函数关系式为：，当________米时，篮球达到运动轨迹的最高点． 【答案】 【分析】由二次项系数小于0可知抛物线开口向下，顶点为轨迹最高点，求出顶点横坐标即可得到结果． 【详解】解：∵篮球的高度（米）与水平距离米的函数关系式为：， ∴当米时，篮球达到运动轨迹的最高点． 16．（2026·广东广州·二模）如图，正方形的边长为，为边上一动点，连接、，以为边向右侧作正方形．连接，则面积的最大值为________． 【答案】 【分析】过点F作，交的延长线于点N，设，则，设的面积为y，根据题意，得，根据二次函数的性质求解即可； 【详解】解：过点F作，交的延长线于点N， ∵正方形的边长为4， 四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 设的面积为y， 根据题意，得， ∵， ∴y有最大值，且当时，取得最大值，且为， 故面积的最大值为2． 17.（2026·广东河源·二模）已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当时，的值随值的增大而增大．请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先推导出抛物线开口向下，对称轴为直线满足，不妨设，对称轴为，设抛物线的解析式为，进而求出，即可解答． 【详解】解：当时，随的增大而增大， 抛物线开口向下，对称轴为直线满足． 不妨设，对称轴为， 设抛物线的解析式为， 将原点代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 满足上述条件的二次函数的表达式为（答案不唯一）． 18.（2026·广东·二模）若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 【答案】(或) 【详解】解：设该二次函数的关系式为，代入 解得： ∴(或) 19.（2026·广东深圳·二模）若二次函数的图象开口向下，顶点在轴正半轴上，则二次函数表达式为___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是二次函数的性质．根据二次函数的开口向下可知该二次函数的二次项系数小于0，再由顶点位于y轴正半轴上，可知常数项是正数，由此可得出符合条件的二次函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数的开口向下， ∴该二次函数的二次项系数小于0， ∵顶点在y轴的正半轴上， ∴该函数的一次项系数为0，常数项大于0， ∴符合条件的二次函数的解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 20.（2026·广东广州·二模）已知抛物线的顶点坐标为，与直线相交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，试比较与的大小，请直接写出比较的结果． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式即可； （2）作差后，分类比较大小即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴不妨设， ∵抛物线过点， ， 解得， 故抛物线的解析式为； （2）解：∵直线过点， ∴， ， 直线， ， 当时，则， ， ， ； 当时，则， ， ， ； 当时，则， ， ， ． 21.（2026·广东佛山·二模）已知抛物线（，为常数）． (1)若抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点，求该抛物线的表达式； (2)若点、在抛物线上，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，则，据此列方程求解即可； （2）把点、代入，再计算，据此列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的表达式； （2）解：∵点、在抛物线上， ∴，， ∴， ∴当时，，即， ∴或， 解得或． 22.（2026·广东中山·二模）已知二次函数（，为常数，）的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式； (2)若时，的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）将二次函数化为顶点式后，根据开口方向和对称轴，分三种情况讨论，确定最大值的取点，列方程求解后验证得到符合条件的的值. 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴． （2）解：， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ①当时，在对称轴左侧，随增大而减小，最大值在处取得 ， ∴， 解得或， ∵， ∴符合条件； ②当，即时，在对称轴右侧，随增大而增大，最大值在处取得， ∴， 解得或， ∵， ∴符合条件； ③当时，即，则最值在或处取得， 由①②可知，求得的的值均不在内，均舍去； 综上，的值为或. 23.（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点； ②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）． ①若，，求的长； ②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)①证明：∵令，则，即，，， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线与轴恒有两个交点； ②抛物线与轴交点坐标为和 ． (2)①；②或或． 【分析】（1）①将二次函数转换成一元二次方程，利用判别式判断出一元二次方程解的情况即二次函数与轴交点的情况，②再运用公式法求解交点即可； （2）①先根据题意求出二次函数解析式和一次函数解析式，以及点坐标，再根据题意判断出三点共线，即，即可求出，最后根据求解即可；②根据题意判断出三点共线，即，即可求出，再根据求出是关于的二次函数解析，分类讨论（），（），根据二次函数的性质和不等方程的性质分别求解即可． 【详解】（1）①略； ②由①得且， ∴， ∵， ∴解得：，， ∴抛物线与轴交点坐标为和 ； （2）①∵， ∴抛物线解析式为：，直线解析式为：， ∵， ∴， ∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴； ②∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴， 分类讨论： （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， ∵， ∵，， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴ ∴当，的长随的增大而增大，求的取值范围为或或． 二次函数与系数的关系 考点02 1．（2026·广东广州·二模）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程有实数根．其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．首先根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置判断、、的符号及代数式的值，然后利用二次函数的增减性及最值判断其余结论即可． 【详解】 解：①抛物线开口向上， ． 对称轴为直线， ，即． 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①符合题意； ②抛物线与轴的一个交点为，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，， 当时，， ， 即， ，故②符合题意； ③， ， 即点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离． 抛物线开口向上， ，故③不符合题意； ④抛物线的顶点坐标为，且开口向上， 函数的最小值为，即， ， 方程无实数根，故④不符合题意． 综上所述，正确的结论有①②，共个． 2．（2026·广东·二模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】当抛物线开口向上时，，对称轴为，得到，又抛物线与轴负半轴相交，得到，即可判断①；根据抛物线与轴的交点，即可判断②；根据当时，，可判断③；由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，根据抛物线的对称性可判断④． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴有两个不同交点， ∴一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， ∴，故②正确； ③当时， ； 由图像可知，时对应点在轴上方， ∴， ∴，故③正确； ④当时， ； 当时， ； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时的函数值最小， ∴对任意实数，都有，即，故④正确； 综上所述，正确的个数有4个． 【点睛】本题以二次函数图像为核心，结合开口方向、对称轴、坐标轴交点等图像特征，通过判别式、特殊点函数值、最值性质逐一推导结论，全面考查了二次函数的图像与性质，充分体现了“数形结合”与代数推理的解题思想，是二次函数图像判断题的经典范例． 3．（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论： ①；②；③； ④若，为方程的两个根，则； 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由图象函数与轴有两个交点，即；由图象得，，由对称轴得，，，则；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得 ，于是；结合，为方程的两个根，且抛物线的对称轴为，得出，即．本题考查二次函数图象性质，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键． 【详解】解：由图象函数与轴有两个交点， 即； 故①错误的； 由图象函数的开口向下，得，与y轴交于正半轴，， 对称轴，， 则， ∴， 故②正确； 抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时， ∴，得， 故③正确； 由，，知， ∵，为方程的两个根，且抛物线的对称轴为， ∴得出， 即． 故④正确； 故选：C 4．（2026·广东惠州·二模）二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与的关系确定a的正负，对称轴位置与的关系确定b的正负，与轴交点的位置与的关系确定c的正负，逐一判断选项，即可得到正确结论． 【详解】解： 二次函数 开口向上， ，选项A错误； 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴为 ， ， 又， ，选项B错误； 二次函数与轴交于负半轴，且当时，， ，选项C错误； 由， 得， ∴， ∵， ∴，选项D正确． 5．（2026·广东·二模）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 6．（2025·四川德阳·二模）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点和时的函数的取值，即可判断③；根据图象可判断当时，y有最小值，且为，又可求出，结合对于任意实数m，都有，即可得出，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，且， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象关于直线对称， ∴其对称轴为直线，即， ∴， ∴， 由图象可知该抛物线开口向上， ∴， ∴， 故②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 由图象结合题意可知当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故③正确； 由图象可知当时，y有最小值，且为， ∵， 又∵对于任意实数m，都有， ∴，即， ∴， 故④错误． 综上所述，正确的有①③，一共2个． 故选：B． 7.（2026·广东·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 8.（2026·广东云浮·二模）已知抛物线经过两点，下列结论：①②抛物线在处取得最值；③无论m取何值，均满足；④若为该抛物线上的点，当时，一定成立．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由于m的值不确定，无法判断抛物线与x轴有没有交点，可以判断①；根据抛物线经过两点，可以求出抛物线的对称轴为，故可以判断②；把代入可以判断③；根据和时，由函数的性质可以判断④． 【详解】解：当时，抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∵m的值不确定， ∴不一定成立， 故①错误； ∵抛物线过两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，抛物线取得最值， 故②正确； ∵两点均在抛物线上， ∴， 解得， 故无论m取何值，均满足， 故③正确； 当时，抛物线开口向上， ∴在直线1的左侧，y随x的增大而减小， ∴当时，； 当时，抛物线开口向下， ∴在直线的左侧，y随x的增大而增大， 当时，此时， 故④错误． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题的关键是对二次函数性质的掌握和运用． 二次函数与方程、不等式的关系 考点03 1．（2026·广东广州·二模）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（     ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的象限性质，以及二次函数与一次函数的交点问题，联立方程得到一元二次方程，利用根与系数的关系得到a与k同号，再分情况讨论直线经过的象限，即可得到结论． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 联立得， 整理得， 由一元二次方程根与系数的关系得， ∵，∴，即与同号， 当时，，直线经过第一、二、三象限； 当时，，直线经过第二、三、四象限； 综上，直线一定经过第二、三象限． 2．（2026·广东深圳·二模）华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的数学思想并结合已画的部分图像判断方程根的情况是（    ）． A．有三个实数根，两个正根一个负根 B．有两个实数根，一个正根一个负根 C．有三个实数根，一个正根两个负根 D．有两个实数根，并且两个都是负根 【答案】C 【分析】根据题意可知，方程的根的情况是函数与的交点情况，画出函数图象草图即可求解． 【详解】解：依题意，函数与函数的函数图象如图所示， 根据函数图象可知图象共有3个交点，即方程有3个根，且一个正根两个负根． 3．（2026·广东清远·二模）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图象与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式性质，判别式小于0，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， ∴， 解得． 4．（2026·广东·二模）若抛物线 与x轴没有交点，则 m的值可以是_______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】由抛物线与轴没有交点，可知对应一元二次方程无实数根，即根的判别式小于，求出的取值范围，任写一个范围内的值即可． 【详解】解：抛物线与轴没有交点， 方程没有实数根， ， 解得：， 实数的值可以是（答案不唯一）． 5.（2026·广东广州·二模）已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时，该抛物线的顶点到达最高处 D．该抛物线与没有交点 【答案】A 【分析】根据抛物线开口方向，结合与x轴交点性质、顶点坐标特征、联立方程判断交点个数，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵抛物线 的二次项系数 ∴抛物线开口向下，且与轴交于，，， 对选项A：点在抛物线上，当时，，A正确； 对选项B：当时，可得或，B错误； 对选项C：将抛物线配方得 ，顶点纵坐标为， ∵，当时顶点纵坐标最小，该抛物线的顶点没有到达最高处，C错误； 对选项D：联立与， 消去整理得 ， 该方程判别式 ，总有实数根， ∴抛物线与直线总有交点，D错误． 6.（2026·广东·二模）对于一个函数，如果自变量取时，函数值也等于，那么我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，理解并掌握不动点的概念是解题的关键， 由函数的不动点概念得出是方程的两个实数根，由可得且当时，据此列不等式组求解即可. 【详解】解：由题意知是方程的两个实数根且， 整理得:， ∵有两个不相等的实数根且， ∴①， 令，画出该二次函数的草图如下:    ∵， ∴当时，即②， ①②联立解得：． 故选：A． 7.（2026·广东广州·二模）已知是抛物线上两个不同的点． (1)当，且抛物线关于轴对称时， ①若，两点都在轴上，求线段的长； ②若直线经过平面直角坐标系的原点，求的值； (2)当且时，若点，在抛物线对称轴的左侧，其中且，均为整数，证明：． 【答案】(1)①；②的值为． (2)证明：∵且， ∴． ∴对称轴为直线． ∵点，在抛物线对称轴的左侧，其中且，均为整数， ∴， ∴ ． ． 其中， ，即 ． ∵， ∴ ， ． ，即． 【分析】（1）①由，且抛物线关于轴对称，可得，然后令，求出即可求解； ②分在轴上和不在轴上两种情况求解即可； （2）先求出对称轴为直线，由点，在抛物线对称轴的左侧，其中且，均为整数，得出，将变形为分析即可． 【详解】（1）解：①，抛物线关于轴对称， ． ∴． ，两点都在轴上， 当时，． 解得． ∴． ②∵直线经过平面直角坐标系的原点， ∴分情况讨论如下： 若在轴上，则． ． 若不在轴上，设直线为． ∵时，． ，． ∴，异号，不妨设． ∴， ∴（负值舍去）． ∵， ∴ ＝4． 综上，的值为． （2）略． 8.（2026·广东·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，抛物线：经过点． (1)用含有的式子表示； (2)若，点在上，且点的纵坐标为．请说明是否在上？ (3)直线交于点M，N，若线段的中点为直线与的唯一公共点，求的值． 【答案】(1) (2) 解：点不在上，理由如下： 当时，则， 当时，解得， ∴或， 由（1）知：， ∴：， ∴当时，； 当时，； ∴抛物线经过和，点不在抛物线上； (3) 【分析】（1）把点代入中，即可得出结果； （2）先求出点坐标，结合（1）中的结果，把点的横坐标代入进行判断即可； （3）联立直线和，利用根与系数的关系得出，联立直线和，根据线段中点坐标以及交点情况得出，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：经过点， ∴， ∴； （2）略 （3）解：根据题意联立，得， 令方程的两个根为，即点的横坐标分别为， ∴， ∵线段的中点为直线与的唯一公共点， ∴中点的横坐标为， ，得， ∴， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴． 9.（2026·广东东莞·二模）研究函数图象与坐标轴的交点，是分析函数性质、解决函数问题的重要抓手． 【初步尝试】 (1)如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．用直尺和圆规图1和图2中分别作出下列函数的图象（保留作图痕迹）． ①；② 【深入研究】 (2)已知二次函数（m为常数，且）． ①求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； ②该二次函数的图象所过的象限随m的取值变化而变化，直接根据m的取值范围写出函数图象所经过的象限（写出所有可能情况）． 【答案】(1)作图见详解； (2)①见解析；②当时，此时图象经过一、二、四象限；当时，此时图象经过三、四象限；当或时，此时图象经过一、三、四象限；当时，开口向下，此时图象经过一、二、三、四象限 【分析】（1）先求出，，再根据直线和与坐标轴的交点坐标，得出交点到原点的距离与和的关系，尺规作图即可求解； （2）①当时，，根据方程根的情况，即可求证；②根据m的范围，当时，时，或时，时，四种情况分别讨论画出抛物线，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，直线即为所求；如图2，直线即为所求；   一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B， ，， ①一次函数， 其图象分别与x轴、y轴交于点，， 以为圆心，为半径画圆弧，交x轴负半轴上一点，连接这一点与点，即为直线； ②一次函数， 其图象分别与x轴、y轴交于点，， 以为圆心，为半径画圆弧，交y轴正半轴上一点，以为圆心，（作的垂直平分线）为半径画圆弧，交x轴负半轴上一点，连接这两点，即为直线； （2）①证明：， 当时，， ，， 当时，即，方程有两个相等的实数根； 当时，即，方程有两个不相等的实数根； 不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； ②当时，， 抛物线与y轴的交点为， 若抛物线与y轴正半轴相交，则， 设，即是的函数， 当时，，解得或， 抛物线开口向上， 当或时，， 当或时，抛物线与y轴正半轴相交； 当时，经过原点； 当时，抛物线与y轴负半轴相交； 情况一：当时，开口向上，与x轴交点的横坐标，，， 如图，此时图象经过一、二、四象限； 情况二：若抛物线与x轴只有一个交点时，则，解得，那么抛物线开口向下，与x轴交点的横坐标为1， 如图，此时图象经过三、四象限， 情况三：当或时，开口向下，与x轴交点的横坐标，，， 如图，图象经过一、三、四象限， 情况四：当时，开口向下，与x轴交点的横坐标，，， 如图，图象经过一、二、三、四象限， 综上所述：当时，此时图象经过一、二、四象限；当时，此时图象经过三、四象限；当或时，此时图象经过一、三、四象限；当时，开口向下，此时图象经过一、二、三、四象限． 二次函数的实际应用 考点04 1．（2026·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，平移抛物线，若其顶点在直线上运动，则称直线为抛物线的“型亲密线”．已知抛物线：． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当的值变化时，求抛物线的“型亲密线”的表达式； (3)将抛物线平移得到抛物线，设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为，当时，有最小值为，若抛物线有“型亲密线”，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将抛物线化成顶点式即可得其顶点坐标； （2）由（1）中抛物线的顶点坐标为即可得到答案； （3）先根据题意求出抛物线的表达式，进而得出，确定该抛物线开口向上、对称轴为， 结合当时，有最小值为，分对称轴在上、对称轴在左侧和对称轴在右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）知抛物线：的顶点坐标， 当时，，则抛物线的“型亲密线”的表达式为； （3）解：抛物线有“型亲密线”， 抛物线的顶点在直线上， 抛物线顶点的横坐标为， 当时，，即抛物线的顶点坐标为， 抛物线是由抛物线：平移得到， 抛物线的表达式为， 抛物线与轴交点的纵坐标为， 当时，， 是一个二次函数，则抛物线开口向上、对称轴为， 由当时，有最小值为，可分对称轴在上、对称轴在左侧和对称轴在右侧三种情况，具体讨论如下： ①当时，对称轴在上， 即当时，的最小值在对称轴上取得，为， 解得或（不满足，舍去）； ②当时，对称轴在左侧， 即当时，二次函数在范围内，随的增大而增大， 当时，取得最小值，为， 解得（不满足，舍去）； ③当时，对称轴在右侧， 即当时，二次函数在范围内，随的增大而减小， 当时，取得最小值，为， 解得； 综上所述，若抛物线有“型亲密线”，则或． 2．（2026·广东·二模）运动会上，小刘同学投掷的实心球沿如图所示的抛物线 运行．实心球抛出时离地面的高度为，实心球离初始位置的水平距离为，请建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题： (1)求实心球运行满足的函数关系式(写成顶点式)，并写出自变量x的取值范围； (2)求实心球在运行过程中离地面的最大高度． 【答案】(1)实心球运行满足的函数关系式为 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，能够正确求出函数关系式是解题关键； （1）直接用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质直接求解即可． 【详解】（1）解：如图，以为原点，为y轴，为x轴，建立直角坐标系， 由题意：，， 将两点代入得到：， 解得， ∴实心球运行满足的函数关系式为； （2）∵，， ∴当时，取到最大值为， 答：实心球在运行过程中离地面的最大高度为． 3．（2026·广东惠州·二模）粤正在广东全省21个市火热进行，惠州主场气氛爆棚，全民观赛氛围十分浓厚，如图是篮球运动员小帅在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，小帅投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米，求此抛物线的解析式．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计）．          【答案】抛物线解析式为． 【分析】设抛物线解析式为，把代入解析式即可得解． 【详解】解：由题意得抛物线图象的顶点坐标为，且过点， 设抛物线解析式为， 把代入解析式得， 解得． 答：抛物线解析式为． 4.（2026·广东河源·二模）某古镇有一座抛物线形的石拱桥，其示意图如图，桥洞的水面宽度为，拱顶（点）与水面的距离为．以水面的中点为原点，所在的直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式． (2)今年元宵节，古镇居民计划在桥洞两侧对称地悬挂两个灯笼，以增添节日气氛．灯笼悬挂点距离水面．请你计算这两个灯笼悬挂点之间的水平距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设该抛物线的表达式为，将点B的坐标代入即可求出解析式； （2）代入（1）的解析式，求出x的值，由此解答； 【详解】（1）解：根据题意，得，拱顶（点）的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的表达式为． （2）解：把代入，得， 解得或， ∴两个灯笼悬挂点之间的水平距离为． 5.（2026·广东梅州·二模）如图，这是某座抛物线形拱桥的示意图，当桥下水面的宽度为米时，拱高为米．现在有一艘高度为米的小船需要从桥下通过，为了安全通过，小船在桥下水面的宽度不能超过多少米? 【答案】小船在桥下水面的宽度不能超过米． 【分析】以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线顶点，求出抛物线解析式，当小船高米时，令，则，解得，得到水面宽度为米，从而求解． 【详解】解：以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线顶点，设解析式为， 将代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为， 当小船高米时，令，则， ， ∴水面宽度（米）， 答：小船在桥下水面的宽度不能超过米． 6.（2026·广东肇庆·二模）舞狮是中国优秀的传统民间艺术，每逢佳节或隆重庆典，民间常以舞狮来助兴．如图，舞狮团进行舞狮表演，演员从木桩顶部A处弹跳到另一木桩顶部B处，以O点为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，已知木桩顶部A处的高度为1米，另一木桩顶部B处的高度为米，两个木桩的水平距离为米．（不考虑木桩横截面积） (1)求该抛物线的表达式； (2)若在木桩右侧设置一个与高度相同的木桩，演员从B处按如图所示方式跳出，跳跃轨迹形状不变（即抛物线形状不变，演员跳起的最高点距起跳点水平距离与从A点起跳时一致），要保证演员可落在新设置的木桩顶部D处，求新设置的木桩与间的水平距离． 【答案】(1) (2)新设置的木桩与间的水平距离为2米 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）根据平移，先向右平移1.6个单位长度，再向上平移（个）单位长度后得到新的抛物线，将代入即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，， 将A，B两点的坐标代入， 得 解得 ∴该抛物线的表达式为； （2）解：根据题意，演员从B处跳到新设置的木桩顶部D处的轨迹是将（1）中抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移（个）单位长度后的抛物线， ∴新抛物线的表达式为， 令，则， 解得（舍去），， （米）， ∴新设置的木桩与间的水平距离为2米． 7.8．（2026·广东河源·二模）综合与实践 主题 喷泉设计 背景 数学兴趣小组要设计一个类似图（1）的环形喷泉，喷头喷出的水柱形状为抛物线，且上面喷头喷出的水柱会落入下面的喷头处． 素材1 如图（2）是喷头A所在纵截面的示意图，建立平面直角坐标系，点A，B在y轴上，通过调节，喷头A 喷出的水柱形状为抛物线 素材2 平台的高为5米（即米），轴，喷头A喷出的水柱落入喷头C 处，喷头C 喷出的水柱所在抛物线的形状与相同． 素材3 喷头C喷出的水柱落入喷头E处，平台的高为2米（即米），点F在x轴上，米，喷头 E喷出的水柱形状为抛物线，水最终落入圆柱形接水装置（纵截面为矩形）中，接水装置高米，底面直径米，在x轴上．    问题解决 (1)求点C 的坐标． (2)求抛物线的解析式． (3)要使喷头E喷出的水柱恰好从的中点处落入接水装置，求接水装置离的水平距离． 【答案】(1)点C的坐标为 (2) (3)1.8米 【分析】（1）先由轴，确定C 的纵坐标为5，再代入可求出点C的横坐标，即可得出点C的坐标； （2）根据抛物线的形状与相同，可设抛物线的解析式为 ，再代入，求解即可； （3）对于，令，得，解得或 (舍去)，进而可求出． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴点 C 的纵坐标为5； 由题意知抛物线 经过点C， ∴令 解得或 (舍去)， ∴点C的坐标为； （2）解：∵抛物线的形状与相同， ∴可设抛物线的解析式为 ， 由题意知，抛物线经过点 C，E， ∴将，分别代入 ，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：令， 解得或 (舍去).     ∵，，且喷头 E 喷出的水柱恰好从的中点处落入接水装置， ∴（米）． 8.（2026·广东惠州·二模）综合与实践 【项目主题】柏塘山茶最优销售定价方案探究 【现实情境】柏塘山茶是博罗县国家地理标志保护产品，柏塘镇被誉为“广东十大茶乡”． 为助力乡村振兴，某校综合实践小组走进柏塘镇，探究特级炒青茶的最优销售定价，帮助茶农提升收益． 【信息整理】小组在茶叶交易市场统计了同批次特级炒青茶不同定价下的日销量，数据如下： 表格 销售单价x（元/千克） 60 65 70 75 80 85 每日销售量（千克） 120 110 100 90 80 70 【市场调研】经了解，该款特级炒青茶每千克的生产成本为40元． 【问题解决】 (1)根据表中信息可知，该款茶叶的每日销售量（千克）是销售单价（元/千克）的_____函数（选填“一次”“二次”“反比例”），并求出关于的函数解析式； (2)若要使每日销售利润最大，请通过计算说明该茶厂的定价方案，并求出最大日销售利润． 【答案】(1) 一次， (2) 定价为80元/千克时每日销售利润最大，最大日销售利润为3200元 【分析】（1）根据表格中x与y的变化规律判断函数类型，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据总利润等于每千克利润乘以日销售量，得到利润关于x的二次函数，再利用二次函数的性质求最大利润和对应定价即可. 【详解】（1）解：由表格数据可知，销售单价x每增加5元，日销售量y减少10千克，因此y是x的一次函数； 设，将和代入得：，解得； ∴； （2）解：设每日销售利润为元，由题意得，， 整理得， ∴， ， 当时，取得最大值，最大值为； 答：该茶厂应将定价设为80元/千克，此时最大日销售利润为3200元. 9.（2026·广东惠州·二模）综合与应用： 央视春晚舞台上，智能武术机器人上演腾空跳跃特技表演，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线．以机器人平地起跳点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系．机器人最大腾空高度为2米，此时机器人水平方向也移动了2米．舞台上设有长方体台阶，截面宽米，竖直高为米，请根据上述信息解决下列问题：      (1)求图1中抛物线的函数表达式； (2)若机器人第一次落地后原地起跳，第二次跳跃能越过长方体台阶，求台阶应放在离点多远处？（求的取值范围） (3)如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，机器人从滑梯上起跳，米，米，此时米，起跳点的横坐标记为，跳跃后刚好落在台阶顶面的中点处，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出顶点坐标，且抛物线经过原点，使用待定系数法求解析式即可； （2）先求出第二次起跳点的坐标，对比两次起跳点的坐标，通过平移求出第二起跳的解析式，再令，求出对应的的值，从而得到的取值范围； （3）先求出的解析式，从而得到起跳点的坐标，对比（2）的解法求出起跳的抛物线解析式，根据题意得出的中点的坐标，代入求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知，图1中抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将代入，得， ， 解得或， ∴第一次落地点的坐标为，即第二次起跳点的坐标为， 根据题意，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线， ∴第二次跳跃的抛物线等同于第一次跳跃的抛物线向右平移4个单位得到， ∴第二次跳跃的抛物线为， 将代入，得， ， 解得或， 机器人想要越过长方体台阶，则点和点必须在抛物线的内部， ∴，且， ∴． 答：台阶应放在离点O距离米处，即． （3）解：设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴起跳点的坐标为， 对比（1）中的起跳点可知，此次起跳的抛物线可由向右平移个单位，向上平移个单位得到， ∴本次起跳的抛物线解析式为， ∵米，米，米， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴中点的坐标为， 将点代入，得， ， 整理，得， 解得或， ∵起跳点在滑梯上， ∴， ∴． 10.（2026·广东广州·二模）问题背景：小天在整理储物柜时，发现纸杯的不同叠放方式会导致高度与数量的关系发生变化，他运用学过的函数知识分析其中的变化规律． 叠法1：小天以图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度（）与纸杯的个数（个）之间是一次函数关系，相关数据如表． 纸杯个数（个） 1 2 3 4 … 纸杯高度（） 9 9.5 10 10.5 … 叠法2：“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图3所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．小天发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化，并在平面直角坐标系中描点，，，等，由此猜想这些点在某一条过原点的抛物线上（图4）： (1)求与之间的函数表达式； (2)小天把杯子按叠法1叠成如图1的一摞，竖着一次性放入内高为的柜子里（图2）．求一摞最多能叠的杯子总数； (3)小天将储物柜里竖着的一摞杯子（总数为）全部拿出来，刚好能按叠法2进行叠放，用含的代数式表示杯子叠放后的层数． 【答案】(1)； (2)一摞最多能叠的杯子总数为45个； (3)杯子叠放后的层数为. 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出关于的函数关系式，求出时的自变量的值即可； （3）令，求出的值即可. 【详解】（1）解：由题意，设， 把，，代入，得， 解得， ∴； （2）解：设， 把代入，得， 解得， ∴， ∴当时，解得； 答：一摞最多能叠的杯子总数为45个； （3）解：由（1）可知：； ∴当时，解得， ∵， ∴； 答：杯子叠放后的层数为. 11.（2026·广东深圳·二模）综合与实践 【问题背景】“尖鼻蛙”是“蛙界”跳远之王．对蛙类的立定跳远项目进行比较与测量，可以为研究蛙类跳跃极限、“仿蛙机器人”跳跃性能等，提供参考数据． 【模型构建】如图1，当“尖鼻蛙”以倾斜角起跳（以下简称“起跳”）时，若以地面上的起跳点为坐标原点，以地面上水平向右的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则其运动路线可以近似地用公式表示，其中，（m/s）是起跳时的速度． 【模型应用】 (1)如图1，当“尖鼻蛙”起跳速度m/s时，则其跳远距离______m，在这个过程中，“尖鼻蛙”离地的最大高度是______m． (2)如图1，若“尖鼻蛙”起跳速度为，从起跳到落地的过程中： ①求其离地的最大高度是多少？（用含的代数式表示） ②记①中离地的最大高度为h，记，求证：． (3)如图2，“尖鼻蛙”连续两次起跳，共跳了8m远．在起跳点正上方1.25m处，设有一条平行于地面的观测线．若在两次跳跃过程中，“尖鼻蛙”均没有触碰到．设两次离地的最大高度分别为，． ①填空：______m； ②设其第一次起跳的速度为（m/s），求的取值范围． 【答案】(1)1， (2)①；② (3)①2；② 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入可得二次函数解析式，求出二次函数的最大值和交点坐标即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）设第一次跳远距离为，最大高度为，设第二次跳远距离为，最大高度为，根据（2）的解题思路即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 令得，解得，， 则； 对称轴为，当时，， 即“尖鼻蛙”离地的最大高度是； （2）①解法一：根据二次函数最值，知 最大高度为； 解法二：根据二次函数对称轴，知 当时， 最大高度为； ②证明：令，即， 解得，， ， 而，， 故； （3）①设第一次跳远距离为，最大高度为，设第二次跳远距离为，最大高度为， 由（2）可知，，， 由题可知，，则，解得， 即； ②由题意得，两次跳跃的高度和均小于1.25， 由①得，， 故，． 由（2）得，，即，， 解得． 12.（2026·广东·二模）综合与实践 数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的距离与时间的关系进行了深入探究．该兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【实验过程】 如图1所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从小球运动到点处开始，用相关仪器测量并记录小球在水平木板上的运动时间（单位：），运动距离（单位：）的数据． 【收集数据】 记录的相关数据如下： 运动时间 t/s 0 3 6 9 12 15 … 运动距离y/cm 0 27.75 51 69.75 84 93.75 … 【建立模型】 根据表格中的数值在图2的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图象发现，我们可以用二次函数近似的表示y与t的函数关系． (1)观察发现y关于t的二次函数图象经过原点，设y与t的函数关系式为 请求出该关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)若小球运动到 点处的同时，在其右侧 处的水平木板上有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，请研究小球能否追上该电动小车，并说明理由． 【答案】(1) (2)小球不能追上该电动小车，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法，选取表格中两组数据代入，解方程组即可求得的值； （2）分别表示出小球和电动小车的位置坐标，令两者位置相等，判断方程是否有实数解，若无实数解，则说明两者位置不会重合，小球无法撞上小车． 【详解】（1）解：依题意， ，且函数图象过、两点， 代入得： ， 将第一个方程乘以，得：，与第二个方程相减： ， ，解得， 将代入： ， ， ， ， 因此，函数关系式为： （2）解：设经过秒后，小球与电动小车的位置分别为、， 小球的位置：，   电动小车的位置：初始在处，以向右运动，故， 若小球追上小车，则， 即：， 整理得：， 两边乘以4：， 计算判别式： ， 由于方程无实数解，说明小球与电动小车的位置永远不会重合，因此小球不能追上该电动小车． 13.（2026·广东深圳·二模）【综合与实践】 【情境导入】 周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： … 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底和树顶的视觉效果对称（即），请求出此时树顶的坐标． ③在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)①这棵小树的最大可能高度是；②点坐标为；③ 【分析】（1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）①设直线解析式为，将代入可求得的解析式为，设点的横坐标为，则点N的纵坐标为，，用含m的式子表示出，进而根据二次函数的性质可得答案； ②过作于点，连接，设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为，根据得到，解方程即可得到答案； ③可证明四边形是平行四边形，则，即直线与抛物线要有两个不同的交点，求出直线恰好经过点P和直线与抛物线恰好只有一个交点时点N的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，时y的值和时y的值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， 故抛物线解析式为． （2）解：①设直线的解析式为， 将代入 得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的横坐标为， 则点N的纵坐标为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ②如图所示，过作于点，连接， 设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为 ∵， ∴为中点，即 ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点坐标为； ③如图所示，由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即直线与抛物线要有两个不同的交点， ∵直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 在中， 当时，， ∴， 当直线恰好经过点时， 则， 解得， ∴此时设直线的解析式为， 联立 得， 解得或， ∴此时点N的横坐标为； 当直线与抛物线恰好只有一个交点时， 联立 得， 即， ∴， 解得， ∴方程 即为方程， 解得， ∴此时点N的横坐标为； 综上所述，． 二次函数中的新定义 考点05 1．（2026·广东深圳·二模）新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数的“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两个二次函数的顶点坐标，再利用新定义列出不等式，根据题意求出n的取值范围． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为； ∵， ∴顶点坐标为， 根据新定义可知， ∴， ∵无论m取任何实数，不等式恒成立， ∴． 2.（2026·广东·二模）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足，我们称点和点互为等和点．下列结论： ①若点坐标为，则点的等和点在直线上； ②若点坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点的等和点； ③若点分别在函数的图像上，点和互为等和点，则点的坐标为； ④若点坐标为，则二次函数图像上总存在点的等和点． 其中正确的为（   ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，反比例函数、一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，以及性质，根据互为等和点的定义，结合一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质依次判断即可． 【详解】解：①∵，点和点互为等和点 ∴， ∴， ∴点在直线上，故①正确； ②设点P的等和点为， 则， ∴， ∴点P的等和点在直线上， 当时，直线解析式为， 而直线与直线平行， ∴点P的等和点此时一定不在直线上，故②错误； ③设，， ∵点和互为等和点， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或，故③错误； ④设P的等和点坐标为， ∴ ∴点P的等和点在直线上， 由，得， ∴ ， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数图像上总存在点的等和点，故④正确， 故选：A． 3．（2026·广东深圳·二模）定义：如果二次函数与满足，，则称它们互为“旋转函数”．已知二次函数与互为“旋转函数”，则这两个函数的顶点距离为（    ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】先根据“旋转函数”的定义求出未知二次函数的系数，再分别求出两个二次函数的顶点坐标，最后利用两点间距离公式计算顶点距离即可． 【详解】解：∵二次函数与互为“旋转函数”， 根据定义得，，， 解得，，， 即另一个函数为． 对配方得：， ∴该函数顶点坐标为， 对配方得：， ∴该函数顶点坐标为， 根据两点间距离公式，两个顶点的距离为：． 4．（2026·广东惠州·二模）已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式确定二次项、一次项、常数项系数，代入新运算等式求出特征值关于的表达式，再根据特征值的取值范围列出一元一次不等式组，求解得到的取值范围，即可得出的最小值． 【详解】解：二次函数中二次项系数，一次项系数，常数项系数， 将代入等式得：， 整理得， 解得， ∵特征值满足， ∴， ∴， ∴的最小值是． 5．（2026·广东深圳·二模）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图象交于点，两点（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图象的美好点． (1)二次函数的图象如图所示． ①在的不同取值、、中，使该函数图象有美好点的的值是_________； ②已知是该函数图象的美好点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)若是二次函数（为常数）图象的美好点，请直接写出的值． 【答案】(1)①或；②的取值范围为．见解析 (2)或1 【分析】（1）①分别求出M、N的坐标，根据的长度即可进行判断；②由题意可得．由（1）可得当时，恰好等于4，当时，，显然不存在点满足条件．得到．又由得到，即可得到答案； （2）求出，然后分P在线段上、在的左侧、在的右侧三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∴， ∴点在直线上时，； 当时，， ∴， ∴， ∴点在直线上时，，不合题意， 当时，， ∴， ∴， ∴点在直线上时，存在点P使得； 故答案为：或 ②的取值范围为． 理由如下： 由题意可得． 由（1）可得当时，恰好等于4， 当时，，显然不存在点满足条件．所以． 又因为抛物线开口向下，所以． 综上可得的取值范围为． （2）由，得， 当即时，， ∴，，． ①当点在线段上时， ，即，解得． 此时，，点在线段上，符合题意． ②当点在点左侧时， ，解得． 此时，点不在点左侧，不符合题意，舍去． ③当点在点右侧时， ，解得． 此时，点在点右侧，符合题意． 综上所述，或1． 6．（2026·广东广州·二模）我们约定：若抛物线 与直线y=a有交点，我们称函数 为“博学函数”，其交点为“博学点”：若抛物线 与直线y=-a有交点，我们称函数 为“慎思函数”，该交点为“慎思点”． (1)若函数既是“博学函数”，也是“慎思函数”，求c的取值范围； (2)已知函数的一个“慎思点”为P，直线与抛物线的两个交点分别为，且满足，直线是否经过一个定点，若经过定点，请求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)经过定点，定点坐标为 【分析】（1）根据新定义，分别联立方程，利用判别式大于等于0求c的范围，即可得出结果； （2）先求出“慎思点”P的坐标，代入直线方程得到n和t的关系，联立直线和抛物线，利用根的和的条件得到m和t的关系，整理直线方程得到定点即可． 【详解】（1）解：∵，，该函数是“博学函数”， ∴抛物线与 有交点， 令，整理得， ∴，解得， ∵该函数是“慎思函数”， ∴抛物线与有交点， 令，整理得. ，解得， 综上：； （2）解：经过定点； ∵， 由题意，抛物线与直线有交点， 令，解得， ∴“慎思点”； ∵在直线上，代入得， ∴； 联立直线与抛物线得：，整理得， 设方程的两根为，则； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴对任意，当，即时，， ∴直线恒过定点． 7.（2026·广东广州·二模）我们约定：若点为，点为，我们称点是点的“衍生点”；我们发现：若点在抛物线上，点始终在抛物线上，那么我们称抛物线是抛物线的“派生抛物线”． (1)点的“衍生点”是________；抛物线：的“派生抛物线”是________； (2)已知点在抛物线：图象上，点的“衍生点”为点．该抛物线的“派生抛物线”的顶点为．当时，求的取值范围； (3)已知点，，在抛物线的“派生抛物线”上，当时，总有，求t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】（1）根据“衍生点”和“派生抛物线”的定义即可求解； （2）根据点的“衍生点”为点．求得，进而可得，根据“派生抛物线”的定义得的方程为，求得，即进而可得，根据二次函数的性质，即可得出的取值范围； （3）若，开口向下：离对称轴越远函数值越小，应有，与矛盾，舍去；若，符合题意，由题意得到，结合，据此求解即可． 【详解】（1）解：根据“衍生点”定义，点的“衍生点”坐标为：横坐标不变为3， 纵坐标为， 故“衍生点”为；； 原抛物线， 设其上任意点A的坐标为，其“衍生点”B的坐标为，即， “派生抛物线”的解析式为； （2）解：点的“衍生点”为点． ，， ， 点， 代入抛物线：， 得， ， ∴：， 设上点：，“衍生点”为点， 则，， ∴， ：，顶点纵坐标为， 由，， 得， ∴， 当时，的最小值为， 当时，的最大值为， 故的取值范围为． （3）解：原抛物线：， 设在，则， “衍生点”，即，， ， “派生抛物线”：，对称轴为， 和横坐标到对称轴的距离为， ，， 当时，总有，分情况讨论： 若，抛物线开口向上：离对称轴越远函数值越大，符合距离； 等价于到对称轴距离在2和4之间，，， ∴， 对于，即，对所有成立， ∴，解得； 对于，即或，对所有成立， 若，即，解得； 若，即，解得； 结合与，得或． 若，开口向下：离对称轴越远函数值越小，应有，与矛盾，舍去； 综上，t的取值范围为或． 8．（2026·广东东莞·二模）给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“随轴函数”．例如：二次函数的“随轴函数”为． (1)已知二次函数，求该二次函数的“随轴函数”的表达式； (2)如图，设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“随轴函数”的图象为，图象与相交于，两点（点在点的左侧）． ①求该二次函数的表达式，并写出，两点的坐标； ②直线与，分别交于点，，与轴交于点．连接，，，当时，且四边形的面积为，求的值； ③若二次函数与它的“随轴函数”组成新函数，若在函数图象上有两点，（与不重合），点的横坐标为，点的横坐标为．当，之间（包含，两点的图象）对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①，，；②；③或． 【分析】（1）根据“随轴函数”的定义，先确定二次函数中、、，代入公式计算和的值，即可求得“随轴函数”的表达式； （2）①用待定系数法求二次函数解析式，解方程组得到、的值，根据 “随轴函数” 的定义，代入二次函数的、、，得到随轴函数的解析式，将二次函数与随轴函数的解析式联立，解一元二次方程，得到的根对应交点、的横坐标，代入函数解析式可得纵坐标； ②根据直线与二次函数、直线，对、两点进行表示，求、纵坐标的差的绝对值，得到，利用四边形的面积公式列方程，解方程得的值； ③分析新函数是分段函数，先确定二次函数的最值、一次函数的单调性，分析出点、的位置关于对称，分和两种情况讨论，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴，， ∴该二次函数的“随轴函数”为； （2）解：①∵交轴于点，交轴于点， ∴，∴， ∴， ∴该二次函数的“随轴函数”为， 令， 则， 解得，， 则，， ∴，． ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故的值为； ③∵，，∴， ∴点、到直线的距离相等， 当，， 当时，， ∵、之间的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， 而当时，，时，， 当，如图： 由题意得：， ∴； 当，如图： 由题意得：， ∴， 综上：或． 9．（2026·广东广州·二模）定义：若两个函数的图象关于某一点中心对称，则称这两个函数关于点互为“伴随函数”．例如，函数与关于原点互为“伴随函数”．举例：求函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式． 解：设函数关于原点的“伴随函数”上的任一点为， 则该点关于原点的对称点为， 将代入函数得： ， ． 函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式为； (1)函数的顶点坐标是________，它关于原点的“伴随函数”的函数解析式为________； (2)已知函数与函数关于点互为“伴随函数”．若当时，函数与函数的函数值都随自变量的增大而减小，求的取值范围； (3)已知点，点，点，二次函数与函数关于点互为“伴随函数”，将二次函数与函数的图象组成的图形记为，若图形与线段恰有2个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据顶点式的性质，即可得到顶点坐标；将代入原函数，即可得到关于原点的“伴随函数”； （2）分别求出两个二次函数y随x增大而减小的x的范围，根据题目要求列不等式，求解m的范围； （3）求出函数N的解析式，结合线段的位置，分类讨论交点个数，得到a的取值范围． 【详解】（1）解：为顶点式， 顶点坐标为， 设原函数关于原点的“伴随函数”上的任一点为， 则该点关于原点的对称点为， 将代入函数，得， ． （2）解：化为顶点式，得， 开口向下，顶点坐标，时，函数随x增加而减小， 设，点是的点与函数上的对应点的中点， 关于点对应点的坐标为， 代入，得， 化简得， 开口向上，顶点坐标，当时，函数随x增加而减小， ， 解得． （3）解：过点、点的线段，方程为， 设，关于的对称点是， 代入得， ， ，开口向下，顶点，在第一象限，y轴交点，交于y轴负半轴，与x轴交点， 原二次函数整理得， ，开口向上，顶点，在第四象限，y轴交点，交于y轴负半轴，与x轴交点， 与至多一个交点，即在上，无交点或者一个交点，处，取得最大值，最大值为， 分类讨论交点总个数为2的情况： ① 原函数无交点，N有两个交点，如下图 原函数无交点，最大值为，则，得， N在有两个交点，则顶点纵坐标，得， 且处N的函数值，得， 综上，a的取值范围为； ②原函数有一个交点，N有两个交点，且原函数与N函数，与有一个公共交点， 如下图， 即， 解得， ， 舍去， 将代入，解得； ③原函数有一个交点，N函数有一个交点， 在，原函数，得， N函数，得， ； 综上所述，满足条件的a的取值范围是或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，中心对称图形的性质，抛物线上点的坐标的特征，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练应用以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10.（2026·广东深圳·二模）在平面直角坐标系中，平移抛物线的图象，若其顶点始终都在直线（，均为常数）上，则称直线为抛物线的“型亲密线”． (1)当抛物线满足时， ①若此时抛物线的图象恰好经过原点，求顶点的坐标； ②求该抛物线的“型亲密线”的表达式； (2)将抛物线进行平移，得到抛物线，设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为，当时，有最小值1，若此时抛物线有“型亲密线”，求的值． 【答案】(1)①；② (2)的值为或 【分析】（1）①先结合抛物线，，得出，再结合抛物线的图象恰好经过原点，求出，即可作答． ②把整理成顶点式，又因为直线为抛物线的“型亲密线”，故设，则，即可作答． （2）先结合抛物线有“型亲密线”，得出二次函数可表示为，令，则，此时是关于的二次函数，且开口方向向上，对称轴为直线，运用二次函数的性质以及分类讨论思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解： ①∵抛物线的图象恰好经过原点 ∴将代入得：， 解得：， ， ∴其顶点坐标为； ②， 其顶点坐标为， ∵直线为抛物线的“型亲密线” ∴设，则， 该二次函数“型亲密线”为； （2）解：二次函数有“型亲密线” 二次函数平移后的顶点在直线上， ∵设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为， ∴当时，则 则二次函数可表示为 令，则， 此时是关于的二次函数，且开口方向向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， 当时，有最小值1 ①若，即， 当时，为最小值1， 即 解得，不满足，故舍去； ②若，即， 当时，为最小值1， 即 解得； ③若，即， 当时，为最小值1， 即 解得，（不满足，故舍去） 综上，的值为或． 11.（2026·广东深圳·二模）【定义感知】如图1，对于抛物线，以轴上的点为中心，将抛物线绕点旋转得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线关于点的“共轭抛物线”，点为“共轭中心”． 【理解应用】 已知顶点为的抛物线与轴交于点，． (1)如图2，当时，求抛物线关于共轭中心的共轭抛物线的表达式； (2)如图3，当时，若抛物线关于共轭中心的共轭抛物线恰好经过抛物线的顶点，求的值； (3)【拓展延伸】过点作轴垂线，分别交抛物线和它关于共轭中心的共轭抛物线于点，，记的长为，与的函数关系图象为．当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据解析式可得抛物线顶点为．根据“共轭抛物线”的定义可得共轭抛物线的顶点为，开口大小与抛物线相同且方向相反，即可求解； （2）同（1）得出抛物线表达式为：．将点代入，根据，得出 （3）由（2）可知，抛物线，抛物线，分三种情况讨论，①当时，点在的左侧，②当时，点在之间，③当时，点在的右侧，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， 抛物线顶点为． 共轭中心为， 共轭抛物线的顶点为， 开口大小与抛物线相同且方向相反， 抛物线表达式为：； （2）解：抛物线， 抛物线顶点为． 共轭中心为， 共轭抛物线的顶点为， 开口大小与抛物线相同且方向相反， 抛物线表达式为：． 抛物线经过点， 解得：．    （3）解：令得：， ∴， 由（2）可知，抛物线，抛物线， ①当时，点在的左侧， 点在点上方， ． ②当时，点在之间， 点在点上方，． ③当时，点在的右侧， 点在点上方，． 综上，与的函数关系图象如下图所示， ∴当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，， 当或时，， 解得：，， 当时，， 解得： ． 方法二：由定义可知抛物线与共轭抛物线关于点成中心对称， ， 与的函数关系图象如下图所示， 当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，， ， ∴ 解得：． 12.（2026·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，如果抛物线与直线相交于点和点，那么我们把叫做抛物线在直线上的“水平跨距”． (1)求抛物线在直线上的“水平跨距”； (2)已知抛物线：，当取不同值时，抛物线的顶点始终落在同一条直线：上． ①请用含的式子表达抛物线的顶点坐标，并求直线的解析式； ②试探究抛物线：在直线上的“水平跨距”是否会随值的变化而变化，并说明理由． 【答案】(1) (2)①抛物线的顶点坐标为，； ②解：抛物线在直线上的“水平跨距”不会随值的变化而变化，理由如下： 将代入，得， 整理得， 其中，，， 则， 故，， 则“水平跨距”为， 即抛物线在直线上的“水平跨距”不会随值的变化而变化． 【分析】（1）先求出抛物线与直线的交点坐标，结合“水平跨距”的定义，计算即可； （2）①把化为顶点式，求出顶点坐标，将顶点坐标代入，求出的值，即可； ②联立方程，结合一元二次方程的求根公式得出抛物线与直线的交点横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：联立方程组，得， 解得，； 故抛物线与直线的交点坐标为、， 则“水平跨距”为． （2）解：①∵， 故抛物线的顶点坐标为； ∵抛物线的顶点始终在同一条直线：上， 故将代入，得， 解得， 故直线的解析式为． ②略 13.（2026·广东江门·二模）代数推理 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． (1)函数是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由； (2)求函数图像上的“减半点”； (3)若抛物线：图像上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线，作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，若直线的“减半点”恰好为线段的中点，求的值． 【答案】(1) 解：不是“减半函数”，理由如下： 假设是“减半函数”，则其上至少存在一点， 将点代入得：，即， ∴该方程无解，即该函数图像上不存在 “减半点”， ∴函数不是“减半函数”． (2)和 (3)①；． 【分析】（1）假设是“减半函数”，则其上至少存在一点，然后将代入函数得到方程，再根据方程根的情况判断即可； （2）设函数图像上的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程并求解得到b的值，进而确定“减半点”的坐标； （3）①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程，然后分和两种情况，求得m的值并判断是否满足题意，再代入函数解析式即可解答；②先求出抛物线 H的解析式，进而确定A坐标为 ，点B坐标为，则其中点坐标为，再根据“减半点”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设函数图像上的“减半点”的坐标为， 将代入得：，解得：或， 当时，，即“减半点”坐标为； 当时，，即“减半点”坐标为． 综上，函数图像上的“减半点”的坐标为和． （3）解：①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为， 将代入得：， 整理得：， ∵图像上存在唯一的 “减半点”，所以该方程有唯一解． ∴当时，即，不是抛物线，不符合题意； 当时，，解得：，符合题意； ∴抛物线的解析式 代入抛物线方程：，即． ②抛物线 G 向上平移 个单位得到抛物线 H： ​， ∴直线与 H 的交点A坐标为 直线与 H 的交点B坐标为 ，即， ∴线段 AB 的中点坐标为，即， ∵直线的“减半点”恰好为线段的中点， ∴，解得：． 二次函数与线段长度、图形周长、图形面积、角度的综合 考点06 1．（2026·广东深圳·二模）已知抛物线交轴于，两点，其中点在点的左边，直线与轴交于点，其中． (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，求的长度； ②在点从坐标原点向点运动的过程中（点不与点、重合），若的值与无关，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）把代入，求出的的值即为答案． （2）①由题意求得，两点坐标，即可求出的长度；． ②由题意求出，两点坐标，然后得出的结果，根据的取值范围化简结果，当时，化简结果不包含，即与无关，所以，． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点， ∴令，则， ， ， 解得，， 点，坐标分别为，． （2）解：①若，抛物线，直线， 若，点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，点坐标为，交直线于点，点坐标为， 横坐标相同， 轴， ． ②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， 点坐标为，点坐标为， ， ∵，点从坐标原点向点运动， ， ， ， 当时，，与无关，符合题意， 此时，即； 当时，，若与无关，则，不符合题意； 的取值范围是． 2．（2026·广东广州·二模）已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，若点关于直线对称点落在轴上，求点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线，若平移后的抛物线与直线交于、两点． ①求证：的长度为定值； ②结合（2）的条件，求的周长的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①见解析② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线的平移，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题关键． （1）求出A，C点的坐标，再将点坐标代入，即可得解； （2）先求出，再由对称性可知轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）①先求出平移后的抛物线，再利用，得，，最后利用两点间的距离公式求解即可； ②作，连接，先求出的最小值，即的长，最后根据的周长的最小值，即，得解． 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得， ∴，； ∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴将点，坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵点P关于的对称点Q在y轴上， ∴， ∴,即轴， ∴点P的纵坐标为， 令， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：①设平移后的抛物线的顶点为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 令， 整理得， 设，， ∴，， ∴， ∴的长度为； ②如图，作，并令，连接， 由（2）得点关于对称， ∴； 由题可知，，，，则只需要求的最小值即可． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即的最小值，即的长， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 3.（2026·广东珠海·二模）如图，抛物线与x轴交于点A和原点O，平行于x轴的直线交抛物线于点和点，交y轴于点D，过点D的直线交x轴于E，P是线段上一点（不含D、E），连接并延长，交抛物线于点Q，连接、． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)是否存在一点P使得，如果能请求出P的坐标，如果不能，说明理由； (3)求面积的最大值； (4)连接， ①当平分时，求点Q的坐标； ②当时，直接写出点Q的坐标：______． 【答案】(1)， (2)解：不存在，理由如下， 若， ∵三点共线， ∴与关于原点对称， 设， ∴， ∵在抛物线 上， ∴，整理得 。 ∴ ， ∴方程无实根， ∴不存在这样的点，使得； (3)有最大值 (4)①② 【分析】（1）利用待定系数法即可求解直线和抛物线的解析式； （2）先假定，列出一元二次方程，利用根的判别式即可判定结果； （3）先用含的代数式表示出，，结合，作轴，交的延长线于点，作于点，作于点，，用表示出的面积，再利用二次函数的性质即可得解； （4）①先确定点关于角平分线的对称点的坐标，求出直线解析式，再求出直线与抛物线的交点坐标即可；②过点作交的延长线于点，由得出，再利用勾股定理得出，，设点的坐标为，列出方程组得出点的坐标为，求出直线的解析式，最后求出直线与抛物线的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 过原点 ， ∴， ∴解析式简化为 ， ∵ 和 在抛物线上，且两点纵坐标相同， ∴对称轴为 ， ∴， 将 代入 得， 将代入①得，解得， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵平行于轴的直线交轴于，故的纵坐标与相同（为 10）， ∴， ∵直线过， ∴，即， ∴直线解析式为； （2）略． （3）解：设直线解析式为， 由，得， ∴， 由，得， ∴， ∵P是线段上一点（不含D、E），连接并延长，交抛物线于点Q， ∴P在第二象限，在第四象限， ∴，，， ∴， 作轴，交的延长线于点，作于点，作于点， ∵，，，直线解析式为， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值； （4）解：①如图， ∵平分， ∴与 关于轴对称， ∵ ， ∴点关于轴对称的点为， ∴设的解析式为， ∴， 解得， ∴， 由 ， 解得或（舍去）， ∴； ②如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵点在第四象限， ∴点在第四象限， 设点的坐标为，，， ∴，， 由②得， 将①代入③并整理得， 将④代入①得， 解得（正值不符合题意已舍）， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得 ∴直线的解析式为， ∴， 解得或（不符合题意已舍）， ∴． 3.（2026·广东广州·二模）已知抛物线（，为常数，＞）． (1)当，则该抛物线的对称轴为直线________； (2)点和点为抛物线与轴两个交点（点在点的左侧），点为抛物线与轴的交点． ①当时，求的值； ②若点为轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，为轴正半轴上的一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，当的最小值为时，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）直接利用二次函数的对称轴公式计算即可； （2）①利用待定系数法求出，则抛物线解析式为，利用抛物线对称轴得到点坐标，令得到点坐标，利用两点间距离公式求出、，列出等式求解即可； ②将点代入抛物线解析式求出点坐标，根据垂直于对称轴得到，作点关于轴的对称点，则，进而得到，将点向左平移个单位长度得到，求出点坐标，证明四边形是平行四边形，进而得到，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：对于抛物线，，对称轴公式为直线， 当时，代入得， 故该抛物线的对称轴为直线． （2）解：①将点代入抛物线得：， ， 抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为， 点和点B为抛物线与x轴两个交点， ， ， ， 令得：， ， 、， ， ， 解得；或， ， 的值为； ②将点代入抛物线得： ， ， 由①知，抛物线的对称轴为， 垂直于对称轴， ， 作点关于轴的对称点，连接，则， 、， 轴与轴互相垂直， 轴垂直平分， ， 将点向左平移个单位长度得到，连接、，即， 垂直于对称轴、， 垂直于对称轴、， 、， 四边形是平行四边形， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，即， ， 整理得：， 解得：或（舍去）， 的值为． 4.（2026·广东广州·二模）如图，直线与y轴相交于点C，抛物线过点，且与直线交于B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当自变量x满足时，对应的抛物线函数值y的最大值为，求a的值； (3)点D为抛物线上位于直线上方的一点，点P为对称轴上一动点，当的面积取得最大值时，求的周长最小值． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】（1）先求得，再运用待定系数法求解即可； （2）先求得抛物线对称轴为抛物线的对称轴为，再分、、三种情况，分别利用二次函数的性质以及已知条件，列关于a的方程求解即可． （3）先联立抛物线和直线的解析式求得，，如图：设，则，即；进而得到，根据二次函数的性质可得当时，即的面积最大，此时；易得，则要求的周长最小值，需先求得的最小值；如图：连接，点P在对称轴上，进而说明当C、P、G三点共线时，有最小值，即有最小值为，再求得的长，最后求得的周长最小值即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴相交于点C， ∴， 由题意可得：抛物线过点和， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为， ①当，即时，函数在上，y随x的增大而增大， ∴当时，对应的抛物线函数值y最大， ∴ ，解得：或（不合题意舍去）； ②当，即时，当时，抛物线函数值y最大，最大值为，不符合题意； ③当函数在上，y随x的增大而减小， ∴当时，抛物线函数值y最大， ∴ ，解得： （不合题意舍去）或． 综合，a的值为或． （3）解：∵抛物线与直线交于B，C两点． ∴，解得：或， ∴，， 如图：设，则， ∴， ∵， ∴当时，即的面积最大，此时， ∵， ∴， ∴要求的周长最小值，需先求得的最小值， 如图：连接，点P在对称轴上， ∵，， ∴点C和点D关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴当C、P、G三点共线时，有最小值，即有最小值为， ∵，， ∴，即有最小值为， ∴的周长最小值． 5.（2026·广东清远·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点，经过点的直线与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)点E横坐标为或或或 (3)最小值为 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，则可求直线的解析式为，设，则，，然后可得，进而求解即可； （3）过点作轴，，连接，，由题意易得，则有，然后可得当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，进而问题可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和点， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：∵，， ， ，故点的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则， 由过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，可知：点，关于二次函数的对称轴对称，根据抛物线的表达式为可知对称轴为直线， ∴根据二次函数的对称性可知：点的横坐标为，即， ，， ， ∴， 或， 当时，整理得， 解得，， 当时，整理得， 解得，， 点E横坐标为或或或． （3）解：如图，过点作轴，，连接，， ∵轴， ， ，， ∴， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小为的长， 直线的解析式为， ∴， ， ， ， 的最小值为． 6.（2026·广东东莞·二模）如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D．将该抛物线沿直线方向平移一定的距离，得到新抛物线，其顶点为．抛物线与x轴交于E、F两点（点E在点F左侧）． (1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； (2)如图1，当点E与点B重合时，求的面积； (3)连接，若恰好平分，求平移的距离． 【答案】(1)，顶点 (2) (3)平移的距离为． 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再化为顶点式求顶点坐标即可； （2）先求出，得到．用待定系数法求出，可设抛物线向右平移m个单位时，向下平移m个单位，得出新的抛物线解析式为：．过点作于点M，连接，求出，然后根据求解即可； （3）由（2）得：设向右平移m个单位，向下平移m个单位得到：．过B作轴交于点N，．证明得．设，则，，求出，由平移后抛物线与x轴交于点E，F，可得，对比可得，求出m的值即可求解． 【详解】（1）解：过，， ∴， 解得， ∴， ∴顶点为； （2）解：把代入得，， ∴点C为． ∵， ∴， ∴． 设过、， 得， 解得， ∴． 依题意，抛物线沿射线方向平移， ∴设抛物线向右平移m个单位时，向下平移m个单位， 新的抛物线解析式为：． ∵点E与点B重合， ∴过点． 代入得，， 解得（舍去）或． ∴，顶点为． 令，， 解得，， ∴， ∴． 过点作于点M，连接， ∴点M坐标为， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得：设向右平移m个单位，向下平移m个单位得到： ． 过B作轴交于点N， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∴， ∴． ∵平移后抛物线与x轴交于点E，F， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴平移的距离为：． 7.（2026·广东清远·二模）已知二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于，交抛物线于点． (1)求二次函数解析式． (2)若点在线段上运动（不与，重合），求四边形面积的最大值，并求此时点坐标． (3)设点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在点，使得；点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得，，则有，然后得出直线的解析式为，设，且，则，然后根据铅垂法表示出四边形的面积，进而问题可求解； （3）由题意可分当点在轴的上方时，当点在轴的下方时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴是直线， ∴，即， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意可得如图所示： 由（1）可知：二次函数的解析式为， ∴令，则有，解得：，即， 令，则有，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设，且， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为，此时点的坐标为 （3）解：由题意可分：当点在轴的上方时，设直线与轴的交点为，如图所示： 由（2）可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 当点在轴的下方时，设直线与轴的交点为，如图所示： 由题意知：， ∴， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立得：，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：点的坐标为或． 8.（2026·广东江门·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图像与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C，对称轴为直线，． (1)求二次函数关系式： (2)连接、，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (3)如图2，在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连结，求的最小值． 【答案】(1) (2)抛物线上存在点，使，的坐标是或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由对称轴为和得，，再由得，，，将代入得，，故二次函数关系式为； （2）设，根据点的坐标可得，，分两种情况讨论，①当P在直线的下方时，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设C关于的对称点为E，则，验证可得点P与点E重合，得出，②当P在的上方时，作点P关于的对称点，即，即可求解； （3）在上取一点，使得，得出，过点B作轴，垂足为点B，交于点G，则，作B关于的对称点，连接交于点T，根据轴对称性质得当M在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，， ，即， 二次函数解析式为， 抛物线的对称轴为直线，， ， 将代入得， 解得：， 二次函数关系式为； （2）解：在中， 当时，，则， ， 由可知， 又， ， 设，则， ①当P在直线的下方时， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ，， 设C关于的对称点为E，则， ，， ，， 又， 点P与点E重合，． ②当P在的上方时，作点P关于的对称点， ，都是等腰直角三角形，， 在y轴上，， ， 设直线解析式为，，，则 ，解得，， 直线解析式为， 联立， 解得：或， ， 综上所述，抛物线上存在点，使，的坐标是或； （3）解：如图，在上取一点，使得， ， 设，则， 在中，，，， ，即， 解得：， ， ， 过点B作轴，垂足为点B，交于点G， ， ， ， 即， 如图，作B关于的对称点，过点作轴， 垂足为点N，连接交于点T， ， 当M在上时取得最小值，最小值为的长，在中，，， ， ，， ， 又，， ，， 的最小值为． 二次函数与特殊三角形的综合 考点07 1．（2026·广东汕头·二模）如图1，抛物线的顶点为C，与x轴的两个交点为、．直线经过A、C两点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)如图2，点M在直线上方的抛物线上，轴，，垂足分别为D、E．设点M的横坐标为m（）， ，求y与m的函数解析式，并求y的最大值； (3)点P在y轴上，若为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为 (2)； (3)或或或 【分析】（1）根据抛物线解析式得到点C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）可证明是等边三角形，则；延长交于点G，求出；根据题意可得，解直角三角形可得，则可求出；进而得到，则可求出，再利用二次函数的性质求出y的最大值即可； （3）分三种情况：点A为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点，利用两点间的距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为C， ∴点C的坐标为； ∵直线经过点C， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点A的坐标为， 把点A的坐标代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴， 由（1）得，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 如图所示，延长交于点G， ∵轴，， ∴， ∴； ∵点M的横坐标为m， ∴， 在中，， ∴ ； 在中，， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，， ， 当点A为直角顶点时，则由勾股定理得， ∴， 解得， ∴此时点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则由勾股定理得， ∴， 解得， ∴此时点P的坐标为； 当点P为直角顶点时，则由勾股定理得， ∴， 解得或， ∴此时点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 2.（2026·广东·二模）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)点的横坐标为 (2) 证明：∵点和在函数图象上， ∴，， ∵， ， ∴. (3)或 【分析】（1）把代入可得，再进一步求解即可. （2）先求解，，结合，，再进一步计算即可. （3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴， ∴点的横坐标为. （2）略 （3）解：在函数中， 当时，， ∴， ∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点 ∴，， ∴，，， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，∴，，则和重合，舍去， 当时，则， 解得：（舍去），，， 综上：或. 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 二次函数与四边形的综合 考点08 1．．（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解； 【详解】解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1 2．（2026·广东清远·二模）如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B． (1)①求抛物线的表达式． ②对于该抛物线上的两点，，设，当时，均有，请直接写出t的取值范围． (2)如图2，连接，点D是直线上方抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线交直线于点E，求的最大值． (3)如图3，点D是抛物线上的一动点，过点D作y轴的平行线交直线于点E，过点D，E分别作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点G，F．过点A作的平行线交y轴于点H，当四边形在直线，直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，请求出点D的横坐标． 【答案】(1)①；②； (2)4 (3)或或或 【分析】（1）①将、代入求解即可； ②根据抛物线的图象和性质，判断当时，均有时的取值范围，进而得到的取值范围； （2）作交于点F，根据勾股定理得到，根据二次函数的性质求的最小值即可； （3）分三种情况讨论①当与共线时，②当对角线不在上时，如图当在第四象限时，③当在第三象限时，再根据对应的情况和图形计算即可． 【详解】（1）解：①将、代入得： ，解得：， 即； ②由①知抛物线的表达式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线上的两点，，当时，均有， ∴当时，， 根据抛物线的对称性可知，当时，也有， ∵，当时，有， ∴当，且， 解得：时，均有， ∴的取值范围为； （2）解：如图，作交于点F，则 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴（负值舍去），即 设 设直线的函数关系式为，由题意得： ，解得：， 直线的函数关系式为， ∵过点D作y轴的平行线交直线于点E， ∴， ∴，， ∴ ， 可知当时，有最大值4， 即的最大值为4； （3）解：由（2）知直线的函数关系式为， 的对称轴为直线，， ， ， 可设直线的函数关系式为， ，解得：， 直线的函数关系式为， 设点的横坐标为， 点在抛物线上， ，， 点，均在对称轴上， ， 四边形为矩形， ①如图①，当与共线时，满足在直线、之间的部分的面积恰好是矩形面积的一半， 此时， 或， 即或， 解得，； ②如图②，当对角线不在上时，当在第四象限时，令交对称轴于，交于， 根据矩形的对称轴当时，， ，， ， ， 解得或（舍去）， ③当在第三象限时，如图③，令交于、交于， ， 即， 在上， ， ， 解得，舍去）， 综上，值为或或或． 3．（2026·广东中山·二模）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，连接． (1)抛物线的解析式为 ； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点（不与、重合），过点作轴的平行线交直线于点，作于点．当的周长最大时，求的面积； (3)如图2，连接，点是线段的中点，点是线段上一动点，连接，将沿翻折，且线段的中点恰好落在线段上，将绕点逆时针旋转得到，点为坐标平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点T的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点T的坐标为或或 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出直线解析式，根据等腰直角三角形的判定和性质得出，结合平行线的性质得出，，根据等腰直角三角形的判定和性质得出，结合勾股定理得出，求得的周长为，设点，则点，其中，结合二次函数的性质求出当时，有最大值为，求得点的坐标为，点的坐标为时，的周长最大，进而求出的面积； （3）先求出点的坐标，连接、，设与交点为点，根据折叠的性质得出，，， ，根据点P是线段BD的中点得出和点的坐标，结合三角形的外角性质和等边对等角得出，根据平行线的判定和性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，根据平行四边形的判定和性质得出，结合两点间的距离公式求出，设点的坐标为，且，结合两点间的距离公式列出方程，求出点的坐标，结合旋转的性质和锐角三角函数的定义求出点、的坐标，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，结合图形和平行四边形的性质，用平移坐标的方法求出点的坐标，即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， 将代入抛物线，得， 将点，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式． （2）设直线的解析式为， 将、代入，得， 解得， 故直线解析式为， ∵， ∴是等腰直角三角形， 故， ∵轴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则， 即， 故的周长为． 设点，则点，其中， ∴， 故当时，有最大值为． 当时，，， 此时点的坐标为，点的坐标为， 故当点的坐标为，点的坐标为时，的周长最大． 此时， 则的面积为． （3）∵， 故抛物线的顶点的坐标为； 连接、，设与交点为点，如图2： ∵△DPQ沿PQ翻折得， ∴，，，， ∵点P是线段BD的中点，、， ∴，点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段D′P的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， 即． ∵点Q是线段BC上一动点，且直线解析式：， 故设点的坐标为，且， 则， 即， 解得，（舍去）， 故点的坐标为． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， 故点到轴的距离为，到轴的距离为， 点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的坐标为，点的坐标为， 此时点、的横坐标相差，纵坐标相差， 点、的横坐标相差，纵坐标相差， 当四边形为平行四边形时，如图：，， 此时点与点的横坐标相差，纵坐标相差，且点的坐标为， 故点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； 当四边形为平行四边形时，如图：，， 此时点与点的横坐标相差，纵坐标相差，且点的坐标为， 故点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； 当四边形为平行四边形时，如图：，， 此时点与点的横坐标相差，纵坐标相差，且点的坐标为， 故点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； 综上所述，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点T的坐标为或或． 4．（（2026·广东·二模）二次函数的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B． （1）当m=1时，求顶点P的坐标； （2）若点Q（a，b）在二次函数的图象上，且，试求a的取值范围； （3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD． ①求点D的坐标（用含m的代数式表示）； ②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值． 【答案】（1）P（2，）；（2）a的取值范围为：a＜0或a＞4；（3）①D（m，m+3）； ②2，3，4． 【分析】（1）把m=1代入二次函数解析式中，进而求顶点P的坐标即可； （2）把点Q（a，b）代入二次函数解析式中，根据得到关于a的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a的取值范围即可； （3）①过点D作DE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥DE于点F，求出二次函数与y轴的交点A的坐标，得到OA的长，再根据待定系数法求出直线AP的解析式，进而求出与x轴的交点B的坐标，得到OB的长；通过证明△ADF≌△ABO，得到AF=OA=m，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D的坐标； ②因为二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，由①同理可得：C（m+3，3），分当x等于点D的横坐标时与当x等于点C的横坐标两种情况，进行讨论m可能取的整数值即可． 【详解】解：（1）当m=1时，二次函数为， ∴顶点P的坐标为（2，）； （2）∵点Q（a，b）在二次函数的图象上， ∴， 即： ∵， ∴＞0， ∵m＞0， ∴＞0， 解得：a＜0或a＞4， ∴a的取值范围为：a＜0或a＞4； （3）①如下图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥DE于点F， ∵二次函数的解析式为， ∴顶点P（2，）， 当x=0时，y=m， ∴点A（0，m）， ∴OA=m； 设直线AP的解析式为y=kx+b(k≠0)， 把点A（0，m），点P（2，）代入，得： ， 解得：， ∴直线AP的解析式为y=x+m， 当y=0时，x=3， ∴点B（3，0）； ∴OB=3； ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠DAF+∠FAB=90°， 且∠OAB+∠FAB =90°， ∴∠DAF=∠OAB， 在△ADF和△ABO中， ， ∴△ADF≌△ABO（AAS）， ∴AF=OA=m，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3， ∴点D的坐标为：（m，m+3）； ②由①同理可得：C（m+3，3）， ∵二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点， ∴当x=m时，，可得，化简得：． ∵，∴，∴， 显然：m=1，2，3，4是上述不等式的解， 当时，，，此时，， ∴符合条件的正整数m=1，2，3，4； 当x= m+3时，y≥3，可得， ∵，∴，即， 显然：m=1不是上述不等式的解， 当时，，，此时，恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4； 综上：符合条件的整数m的值为2，3，4． 【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键． 二次函数与圆的综合 考点9 1．（2026·广东·二模）如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且的弦心距为，则a的值为_____．    【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理，先由得出，，，即可得，过作于，连接，，，再根据圆的性质得，再由垂径定理得，再由的弦心距为得，进而可得点P的坐标，由勾股定理得，再由列等式方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C， ∴，，， ∴， 如图，过作于，连接，，，    ∵（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点， ∴， ∴， ∵的弦心距为， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：或． 2．（2026·广东广州·二模）直线交轴于点，抛物线交轴于点和点，． (1)求点的坐标； (2)如果，，且抛物线始终在直线下方，求的取值范围； (3)过点作的平行线．在第一象限内交抛物线于另外一点，如果点的横坐标是，且的面积是，，，，四点共圆．当时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有最值，的最大值为，最小值为 【分析】（1）通过直线解析式以及交点横坐标为0，求出点的坐标即可； （2）根据题意，直线和抛物线没有交点，且，列出方程，利用根的判别式列出不等式求解； （3）根据题意可求，进而可知，根据抛物线的对称性可知，点为抛物线顶点，再根据四点共圆，求出坐标，进而即可求出，从而求出解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴； （2）解：∵抛物线始终在直线下方， 当时，抛物线与直线有交点，不成立， 当，抛物线开口向下，且与直线没有交点时，符合要求， ∵，， ∴， 令， 整理得， ∵抛物线与直线没有交点， ∴， 解得； （3）解：∵直线且过点， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵当时，不成立， ∴， 如图所示， 则为等腰三角形，， 根据抛物线的对称性可知，点为抛物线顶点， ∵点，，，四点共圆， 设点为外接圆圆心， 过点作于点， ∴点在上， ∴， 连接， 在中，， 即， 解得半径， ∴设， ∵点， ∴由勾股定理得， 解得（负值已舍）， ∴， ∴， 将代入抛物线得， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴最大值为8，最小值为0． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $