精品解析：广东肇庆市端州中学2025-2026学年高二第二学期6月月考检测数学试题

广东肇庆市端州中学2025-2026学年高二第二学期6月月考检测数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将答题卡上交． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知，则（ ） A. 64 B. 56 C. 20 D. 6 2. 若随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知x是自变量，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 盒中有4个红球、5个黑球，随机地从中抽取一个球，观察颜色后放回，并加上3个与取出的球同色的球，再第二次从盒中随机地取出一个球，则第二次取出黑球的概率（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值是（    ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 7. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（   ） A. 600 B. 264 C. 207 D. 114 8. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ） A. B. 展开式中的常数项为45 C. 含的项的系数为210 D. 展开式中的有理项有5项 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值； B. 函数有且只有1个零点 C. 在上单调递减； D. 设，则. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+ =______． 13. 展开式中的常数项为________． 14. 已知函数是单调递增函数，则的取值范围是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若的极大值与极小值之和为16，求实数的值. 16. 某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生．该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的． （1）求乙恰好答对两个问题的概率； （2）请从期望和方差两个数字特征的角度考虑选择哪名同学去参赛更合理? 17. 为了即将到来的运动会短跑比赛，体育老师计划从高三（1）班的同学中通过短跑预赛选出适合参加短跑比赛的学生加以训练，短跑预赛的规则是：设置某一个时间，每位同学可以试跑三次，若三次均未成功，则不通过预赛；若有一次试跑成功，则无需再跑，视为通过预赛．已知甲同学每次能试跑成功的概率是，且每次试跑相互独立，互不影响． （1）记甲同学的试跑的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （2）在甲同学通过预赛的条件下，求甲是第三次试跑成功的概率． 18. 某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. （1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； （3）经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）在（1）问的条件下，求的最小值 （3）若有两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东肇庆市端州中学2025-2026学年高二第二学期6月月考检测数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将答题卡上交． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知，则（ ） A. 64 B. 56 C. 20 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以由组合数性质得， 所以. 2. 若随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的性质求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 3. 已知x是自变量，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项，．故A错误； 对于B选项，．故B错误； 对于C选项，．故C正确； 对于D选项，．故D错误. 4. 盒中有4个红球、5个黑球，随机地从中抽取一个球，观察颜色后放回，并加上3个与取出的球同色的球，再第二次从盒中随机地取出一个球，则第二次取出黑球的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用全概率公式进行求解即可. 【详解】设事件表示第一次抽取的是黑球，，， 事件表示第二次抽取的是黑球，因此有， 所以， 故选：C 5. 已知，则的值是（    ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出的值，再通过对进行赋值，结合已知等式求出的值，进而求出的值. 【详解】，故， 令，则， . 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 7. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（   ） A. 600 B. 264 C. 207 D. 114 【答案】D 【解析】 【分析】先将5人分成3组，再求出小李和小赵不同组的情况，然后再排列. 【详解】先将5位同学分成三组有“2人组+2人组+1人组”和“3人组+1人组+1人组”两种情况，共有种方法， 其中小李和小赵同一组的情况有种方法，所以小李和小赵不同组的情况有种； 再将这三组分给DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型，有种排列方式， 所以共有种方法. 8. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设g（x）＝，根据已知条件可得函数在定义域上单调递减，从而将不等式转化为的解集，从而可得出答案. 【详解】解：设＝， 则＝， ∵，∴， ∴，∴y＝g（x）在定义域上单调递减， ∵ ∴＝， 又＝， ∴， ∴， ∴的解集为． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性判断ABC，根据方差的运算性质判断D. 【详解】由随机变量可知服从正态分布，正态密度曲线对称轴为，方差为， 所以，A说法正确； ，B说法正确； ，C说法正确； ，D说法错误； 故选：ABC 10. 已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ） A. B. 展开式中的常数项为45 C. 含的项的系数为210 D. 展开式中的有理项有5项 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项式的展开式的通项公式，结合第3项与第5项的系数之比为，可得.再根据公式逐个选项判断即可. 【详解】二项式的展开式的通项为，由于第3项与第5项的系数之比为，则，故，得. ∴(n＋5)(n－10)＝0，解得n＝10，故A正确； 则，令，解得， 则展开式中的常数项为，故B正确； 令，解得，则含的项的系数为，故C正确； 令，则r为偶数，此时，故6项有理项． 故选：ABC 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值； B. 函数有且只有1个零点 C. 在上单调递减； D. 设，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的定义域为，可知选项C错误，再利用导数求出极小值可判断选项A正确；由求导，可判断该函数在上单调递减且时其函数值为，可判断选项B正确；对求导，分析单调性，求出最小值可判断选项D正确. 【详解】函数的定义域为，可知C错误， 对A，， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，故A正确； 对B，，其定义域为， ， 所以函数在上单调递减，又时其函数值为， 所以函数有且只有1个零点，故B正确； 对D，，其定义域为， ，令，得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也是最小值， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于中档题. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+ =______． 【答案】 【解析】 【详解】点处的切线方程是，则， 切线斜率为，则， ． 13. 展开式中的常数项为________． 【答案】40 【解析】 【分析】先求出的展开式通项为，分析 展开式中的常数项的构成，即可求解. 【详解】的展开式通项为. 要求 展开式中的常数项，只需和， 分别解得：或. 因此所求常数项为． 故答案为：40. 14. 已知函数是单调递增函数，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】确定函数定义域，将单调递增转化为导函数在定义域上非负恒成立，分离参数后利用基本不等式求最值即可得到的取值范围. 【详解】函数 的定义域为， 因为是单调递增函数，故对任意恒成立， 即，分离参数得对任意恒成立， 由基本不等式，当时，，当且仅当即时等号成立， 因此，即的最大值为，故，即的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若的极大值与极小值之和为16，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过求导得到切线斜率，再计算切点处的函数值，最后用点斜式写出切线方程即可； (2)求导找到函数的极值点，求出极大值与极小值，由题意列方程，求解方程即得参数值. 【小问1详解】 当 时，， 所以，则， 又， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，因， 令，得或，列表如下： 3 0 + 0 单调递减 单调递增 单调递减 因此，当时，有极小值，并且极小值为， 当时，有极大值，并且极大值为， 因为的极大值与极小值之和为16， 所以，解得. 16. 某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生．该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的． （1）求乙恰好答对两个问题的概率； （2）请从期望和方差两个数字特征的角度考虑选择哪名同学去参赛更合理? 【答案】（1） （2）选择甲去参赛更合理 【解析】 【分析】（1）结合二项分布定义进行求解即可； （2）根据超几何分布求出“甲回答问题的正确个数”的分布列、数学期望和方差，结合二项分布的定义求出“乙回答问题的正确个数”的数学期望和方差，最后利用数学期望和方差的性质进行判断即可 【小问1详解】 由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则， 则乙恰好答对两个问题的概率为. 【小问2详解】 令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为， 则所有可能的取值为， 则，，， 所以， 由题意，随机变量，所以， 又，， 所以， 可见乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，所以选择甲去参赛更合理． 17. 为了即将到来的运动会短跑比赛，体育老师计划从高三（1）班的同学中通过短跑预赛选出适合参加短跑比赛的学生加以训练，短跑预赛的规则是：设置某一个时间，每位同学可以试跑三次，若三次均未成功，则不通过预赛；若有一次试跑成功，则无需再跑，视为通过预赛．已知甲同学每次能试跑成功的概率是，且每次试跑相互独立，互不影响． （1）记甲同学的试跑的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （2）在甲同学通过预赛的条件下，求甲是第三次试跑成功的概率． 【答案】（1） X 1 2 3 P ， （2） 【解析】 【分析】（1）分析X的所有可能取值，求出相应概率，列出X的分布列并求出数学期望； （2）记“第i次试跑成功”分别为事件，“甲同学通过预赛”为事件B，计算相关概率，并利用条件概率公式计算求解． 【小问1详解】 由题意知X的所有可能取值为1，2，3， ， ， ， X的分布列为： X 1 2 3 P ． 【小问2详解】 记“第i次试跑成功”分别为事件，，“甲同学通过预赛”为事件B， ， ， ， 在甲同学通过预赛的条件下，甲是第三次试跑成功的概率为． 18. 某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. （1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； （3）经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . （3）数学期望为8，方差为7. 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式进行计算； （2）由题可知的可能取值为0，1，2，3，再分别求出对应概率得到分布列并计算期望； （3）由题意得，，利用正态分布得到，再结合二项分布求解． 【小问1详解】 设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量服从超几何分布，且，，，所以； 【小问3详解】 由题意得，， ， ，，， 所以的数学期望为8，方差为7． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）在（1）问的条件下，求的最小值 （3）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）递减区间为，递增区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）利用导数研究函数的单调区间和最小值即可； （3）求导后，分别在、和的情况下，求得单调性和最值，结合零点存在定理可确定符合题意的取值范围. 【小问1详解】 由题设，则， 当时，当时， 所以的递减区间为，递增区间为； 【小问2详解】 由（1）知，； 【小问3详解】 由题意得：； 当时，恒成立， 在上单调递增， 至多有一个零点，不合题意； 当时，令，解得：， 当时，当时， 在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，，则，则至多有一个零点，不合题意； 当时，，则； ， ， 在上有唯一零点； 由（1）知：当时，， 则且时，， 在上有唯一零点； 则时，有两个不同零点； 综上所述：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $