第07讲 函数与方程（复习课件）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习课件聚焦“函数与方程”专题，覆盖函数零点、二分法、零点存在定理等核心考点，对接高考评价体系，通过2024-2026年考情分析明确考点分布，归纳求零点、判断区间、参数范围等9类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于真题溯源与题型技巧结合，如2024全国甲卷函数交点题解析，通过零点存在定理、二分法步骤等培养数学思维与模型观念，帮助学生掌握参数范围求解等方法，教师可据此精准教学，提升复习效率与得分率。

函数与方程 第 07 讲 核心考点 2026年 2025年 2024年 函数零点所在区间判断   北京卷T7   零点个数判断     全国Ⅰ卷T7全国Ⅱ卷T9 已知零点分布求参数 全国Ⅰ卷T13 天津卷T8 全国Ⅱ卷T6，天津卷T15 零点有关的综合问题   全国Ⅱ卷T18，北京卷T20     考情分析 函数的零点问题是高考的重点和热点内容，一般以选择题与填空题的形式出现。函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，试题难度较大。. 近三年考情显示，命题偏向含参零点讨论、复合型方程实根问题，强化数形结合与等价转化思想，注重与导数、最值问题深度结合，侧重考查综合分析与探究能力。   复习目标 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在 区间及零点个数 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理 3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解 01 命题透视・考情前瞻 02 思维建模・脉络梳理 知识解构 知识点1 函数的零点 知识点2 二分法 题型破译 题型1 求函数的零点 题型2 判断函数零点所在区间 【方法技巧】零点所在区间的判断方法 题型3 根据零点所在区间求参数取值范围 题型4 求函数零点或方程根的个数 【方法技巧】函数零点个数的判断方法 题型5 根据函数零点的个数求参数 【方法技巧】已知函数零点求参数的方法 题型6 利用零点的分布求参数 题型7 比较零点的大小 题型8 求函数零点的和的问题 题型9 二分法求方程近似解 知识点1 函数的零点 （1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系. （2）函数零点存在定理： 若①函数在区间上的图象是一条___________的曲线；②______________.则函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 必记结论 1．若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 连续不断 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点1 函数的零点 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点1 函数的零点 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2 二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间___________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做________． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 一分为二 二分法 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点2 二分法 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 题型1 求函数的零点 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 解 析 题型1 求函数的零点 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型1 求函数的零点 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型2 判断函数零点所在区间 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型2 判断函数零点所在区间 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型2 判断函数零点所在区间 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2 判断函数零点所在区间 方法技巧 零点所在区间的判断方法 （3）数形结合法,画出相应函数图象,观察与x轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断. （1）解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程; （2）利用函数零点存在定理; 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型2 判断函数零点所在区间 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型2 判断函数零点所在区间 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型2 判断函数零点所在区间 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型3 根据零点所在区间求参数取值范围 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型3 根据零点所在区间求参数取值范围 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型3 根据零点所在区间求参数取值范围 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型3 根据零点所在区间求参数取值范围 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型3 根据零点所在区间求参数取值范围 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型3 根据零点所在区间求参数取值范围 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型4 求函数零点或方程根的个数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型4 求函数零点或方程根的个数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4 求函数零点或方程根的个数 方法技巧 函数零点个数的判断方法 （4）若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有. （1）直接法，令，方程有多少个不同的解则有多少个不同的零点; （2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等; （3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数: 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 求函数零点或方程根的个数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 求函数零点或方程根的个数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 求函数零点或方程根的个数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 求函数零点或方程根的个数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 求函数零点或方程根的个数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 根据函数零点的个数求参数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 根据函数零点的个数求参数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 根据函数零点的个数求参数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5 根据函数零点的个数求参数 方法技巧 已知函数零点求参数的方法 （1）已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. （2）已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 根据函数零点的个数求参数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 根据函数零点的个数求参数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型5 根据函数零点的个数求参数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 根据函数零点的个数求参数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 利用零点的分布求参数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 利用零点的分布求参数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 利用零点的分布求参数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 利用零点的分布求参数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 利用零点的分布求参数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 利用零点的分布求参数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 利用零点的分布求参数 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 比较零点的大小 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 比较零点的大小 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 比较零点的大小 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 比较零点的大小 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 比较零点的大小 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 求函数零点的和的问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 求函数零点的和的问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 求函数零点的和的问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 求函数零点的和的问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 求函数零点的和的问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 求函数零点的和的问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 求函数零点的和的问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 求函数零点的和的问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 二分法求方程近似解 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 二分法求方程近似解 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 二分法求方程近似解 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 二分法求方程近似解 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型9 二分法求方程近似解 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 解 析 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 C．(且) D． A,令,解得,得函数的零点为1和-1,A正确； B,令,解得或,定义域为或, 令,解得或,即函数的零点为和1,B正确； C,的定义域为,令,解得, 即函数的零点为1和-1,C正确； D,当时,,此时函数无零点,当时,,此时函数无零点,故不存在零点. 【自主检测】(1)(多选)下列函数存在零点的是(　　) A． B． , 因为,且函数是连续函数,所以零点在区间内.故选：C (2)(2026.山东泰安.一模)函数的零点所在的大致区间为(   ) A． B． C． D． 【自主检测】( 25-26高三上.陕西西安.期末)用二分法求方程根的近似解时,令,并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据,可得方程的一个近似解为(精确度为)(    ) A． B． C． D． 设函数的零点为, 因为,,则,所以,区间长度为, 取区间中点,,则, 所以,区间长度为, 取区间的中点,,则, 所以,区间长度为, 取区间的中点,则或, 此时区间长度为,故方程的一个近似解为,故选：B B．函数的零点为 C．函数的零点,即函数的图象与轴的交点 D．函数的零点,即函数的图象与轴的交点的横坐标 根据函数零点的定义,可知的零点为．A错误,B正确； 函数的零点,即函数的图象与轴的交点的横坐标,因此D正确,C错误． 故选：B 【例1-1】(多选)下列说法中正确的是(   ) A．函数的零点为 设,令,去分母,得, 整理得,即, ,,即,. 【变式训练1-1】(2026.湖南长沙.模拟预测)已知a是函数的零点,则实数a的值为________． 因为a是函数的零点,所以,所以,则实数a的值为． 【变式训练1-2】(2026.上海徐汇.二模)函数的零点是__________ 令,即,解得,所以函数的零点是0. 【例1-2】函数的零点为______ A． B． C． D． 是上的增函数,,, 因此零点,即.令,得零点. 是上的增函数,,,因此零点,即,综上可得大小关系：. 故选：D 【变式训练1-4.变载体】(2025.全国.模拟预测)我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值,称为该函数的零点.例如：函数的零点为1和.若函数的零点是和,则函数的零点是______. 先将二次函数展开得到. 根据韦达定理,若方程的两根为和,得出,. 已知, 令,解得,. 故答案为：和. 【变式训练1-3.变考法】已知三个函数,,的零点依次为a,b,c,则(    ) 所以函数在上单调递增, 又,,则, 根据零点存在性定理,函数的零点所在区间为. 【例2-1】(2026.天津东丽.二模)函数的零点所在区间为(     ) A． B． C． D． 原方程的根等价于函数的零点,的定义域为,函数在上单调递增,函数在上单调递增,因此在上单调递增,在定义域内最多只有1个零点,,因此时,,无零点,A选项错误； ,因此时,,无零点,B选项错误；,因为,因此,此时且,,根据零点存在定理,存在,使得,即方程的根在区间内,C选项正确； ,结合单调递增,时,故区间内无零点,D选项错误. 【例2-2】(2026.天津.模拟预测)方程的根所在区间为(    ) A． B． C． D． A．1 B．2 C．3 D．4 设,因为和都是上的单调递增函数, 因此是上的单调递增函数,原方程的解就是的唯一零点. 当时,, 当时,, 由,可知单调函数的零点. 故选：B 【变式训练2-1】((25-26高三上.重庆.月考)已知方程的解为,求所在的区间为(   ) A． B． C． D． 设,因为和都是上的单调递增函数, 因此是上的单调递增函数,原方程的解就是的唯一零点. 当时,,当时,, 由,可知单调函数的零点.故选：B 【例2-3】(25-26高三上.浙江杭州.期末)已知单调递增函数的零点在区间内,且,则n的值为(   ) 【详解】令的值即的零点．而,即,, 而,所以,所以函数的零点就是,． 要比较与的大小,等价于比较2与的大小,等价于比较与大小, 显然,,．故选：C 【变式训练2-2】(2026.广东深圳.模拟预测)已知,则的零点所在的区间是(    ) A． B． C． D． A． B． C． D． 函数在定义域上连续,且为增函数, 又,, 故函数的零点在区间内. 故选：B 【变式训练2-4】(函数的一个零点所在区间为(    ) A． B． C． D． 定义域为,, 令得,令得, 所以在上单调递增,在上单调递减, ,, 其中,故,,, 由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为, 其他选项均错误. 故选：C 【变式训练2-3】(24-25高三上.四川宜宾.期末)函数的零点在下列区间内(   ) 【变式训练2-5.变考法】函数的零点在区间内,则_________． 由题意知,函数在上连续,根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增, 又有,, 由函数零点存在性定理可知零点在内,结合题意可得. A． B． C． D． 因为函数在上单调递增,所以函数在上单调递增, 要使函数在上存在零点,则,解得, 则实数的取值范围为.故选：A 【例3-1】已知函数在上存在零点,则实数的取值范围为(    ) 解法1  由题意可知,由可得,所以,解不等式可得． 解法2  因为在上存在,使,所以,即,解得．故选：B 【例3-2】已知函数,在区间内存在,使,则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 由,知在内存在唯一的解.当时,, 则,即,因仅有选项B,C中的值在此范围,故B,C正确.故选：BC 【例3-3】(2026.河北衡水.一模)(多选)若函数()在内存在唯一的,使得,则的取值可能为(   ) A． B．1 C． D．3 【变式训练3-2】命题“在区间上有零点”为真命题,则命题成立的一个必要不充分条件是(   ) A．或 B． C．或 D． 因为在区间上有零点, 所以,即,解得或； 令集合或, 由命题“在区间上有零点”的一个必要不充分条件, 集合A是该条件范围的真子集,根据题目选项A满足. 故选：A. A． B． C． D． 函数在区间上有零点方程在区间上有解, 函数在区间上单调递减,在上单调递增, 则,则. 故选： D． 【变式训练3-1】已知函数在区间上有零点,则k的取值范围是(   ) A．或 B． C． D． 当时,,在上没有零点,不符合题意； 当时,为一次函数, 函数在区间上存在零点的充要条件为, 即,即．解得或． 故选： 【变式训练3-4】(25-26高三上.四川成都.期末)函数的一个零点在区间内,则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 由于在上单调递增,故命题等价于,即, 解得,所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式训练3-3】(25-26高三上.全国.期末)若函数在区间上存在一个零点,则实数的取值范围是(    ) 【变式训练3-5.变考法】函数在有零点,则实数的取值范围为 . 由题有解,即, 令 得, 当时, 单调递减,当时, 单调递增, ,所以,故. 由题意可得,当时,由,得．又是奇函数,所以．因此函数的零点个数为3． 【例4-2】(2025.上海.三模)函数的零点个数为________. 根据的零点个数转化为与的图象的交点个数,   时,函数取最大值, 时函数的值为,又因为,结合图象可知,两函数图象具有个交点. 所以的零点个数为个. 【例4-1】【新思维】设是定义在上的奇函数．当时,,则的零点个数为 ． A．0 B．1 C．2 D．3 因, 当时,即,解得或,均符合题意； 当时,即,解得,符合题意. 故方程根的个数为3. 故选：D 【变式训练4-1.变考法】(2026.河南洛阳.模拟预测)曲线与的交点的个数为(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 在同一直角坐标系中作出函数与的图象,如图所示： 所以曲线与的交点的个数为个. 【例4-3】(2026.内蒙古赤峰.一模)已知函数,则方程根的个数为(   ) 当时, ,故是的一个周期, 又时,,则, 作出函数和的函数图象, 因, , 结合图象可知,和的函数图象交点个数为. 故选：B 【变式训练4-2.变载体】(2025.湖南长沙.三模)已知函数 ,方程 的根的个数为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练4-3】(2026.江苏苏州.模拟预测)函数的零点个数为______. 设,则, 所以在上单调递增, , 所以在上单调递减,则在上单调递增, 因为在上单调递增,所以函数在上单调递增, 因为,,根据零点存在定理,可得函数在上的零点只有1个. 【变式训练4-4】函数的零点个数为 ． , 当时,,则, 当时,,即函数单调递增, 当时,,即函数单调递减, 又,所以函数只有一个零点1, 当时,,则, 故函数在上单调递增,又,,所以由零点存在性定理可知,函数在上有一个零点, 所以函数的零点个数为2. ,,,,, ,； 函数的零点个数等价于函数与直线的交点个数； 作出与的图象如下图所示, 结合图象可知：当时,与在每个区间上有且仅有一个交点,则当时,与共有个交点； 当时,与没有交点,即当时,与没有交点； 当时,与有且仅有一个交点, 即当时,与有且仅有个交点； 当时,,,二者没有交点,即当时,与没有交点； 综上所述：当时,函数的零点个数为个. 【变式训练4-5.变载体】(2026.山西晋中.模拟预测)定义域为的函数满足,当时,,则当时,函数的零点个数为(   ) A． B． C． D． 【变式训练4-6】方程的解的个数为_______________. 方程的解的个数, 即函数和函数的图象的交点个数, 如图所示,数形结合可得,函数和函数的图象的交点个数为2, 故方程的解的个数为2. 由,得到, 所以曲线表示以原点为圆心,为半径的半圆,图象如图, 当直线过点时,,此时与曲线有两个不同的交点, 当直线与曲线相切时,由,解得或(舍), 由图可知,实数的取值范围是, 故选：C. 【例5-1】已知直线和曲线有两个不同的交点,则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 由题当时,,所以, 所以当时,,当时,； 所以在区间上单调递增,在上单调递减, 当时,当时,；当时,； 所以可作出函数的图象,如下图, 若要使函数有个不同的零点,所以的图象与直线有个交点, 即,解得.即实数的取值范围是. 故选：B 【例5-2】已知函数,若函数有个不同的零点,则实数的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【例5-3】【新设问】(25-26高二下.北京朝阳.期中)已知函数；若方程恰有三个根,写出一个满足条件的实数为__________. 解：当时,,令,则, 当时,,所以在上单调递增； 当时,,所以在上单调递减,因此为的极大值点, 此时极大值,亦为最大值,因此,； 当时,,由二次函数开口向上,对称轴, 所以,函数图像如下所示, 要使方程恰有三个根,则函数与函数有三个不同的交点, 由图可知,当时,函数与函数均有三个不同的交点, 即方程恰有三个根,可以取. 【变式训练5-1】已知函数有唯一零点,则__________． 定义域为,,所以函数为偶函数, 又因为函数有唯一零点, 根据零点关于轴对称,得出,所以, 当时,函数有唯一零点,符合题意； 当时,函数有零点,不符合题意舍； 故答案为：2. 【变式训练5-2.变载体】已知函数恰有三个零点,则实数a的取值范围为_____． 函数恰有三个零点,即方程有三个解, 设,则, 令,即,因为,所以解得, 令,即,解得, 所以函数与变化关系如下表： 正 0 负 0 正 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由可知, 当时,,, 所以且,可得函数大致图形如下：所以要满足题意,需. 由题意知,,∴,则, 当且仅当,即时取等号,故的最小值为. 【变式训练5-4.变考法】若函数的零点为1,2,则关于的不等式的解集为(   ) A． B． C． D． 因为函数的零点为1,2,所以,. 所以不等式可化为. 所以所求不等式的解集为.所以选项D正确. 【变式训练5-3.变设问】已知二次函数有且仅有一个零点,则的最小值为__________． (i)当时,,代入方程整理得：, 两根为和,因此,当且时,则有2个不同根；当时,则有1个根； 当时,仅存在根；当时,,故恒有1个根. (ii)当时,,代入方程整理得：,设, 求导得,当时,,得,有1个根,若,, 在单调递增,时,时,故恒有1个根； 当时,,,单调递增；,单调递减, 故在取最大值,令,单调递减且. 当时,,方程有2个根；当时,,方程有1个根； 当时,,方程无实根；综上所述：共3个符合的.故选：D 【变式训练5-5.变考法】(2026.北京朝阳.二模)设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解,则满足条件的实数的个数为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 设, 则由题意可知,即,解得, 故实数的取值范围是. 故选： C． 【例6-1】关于的方程有两根,其中一根小于2,另一根大于3,则实数的取值范围是(    ) A．或 B． C． D． 因为函数与在区间上均为单调递增函数, 所以函数在区间上单调递增, 因为函数在区间上存在零点, 所以,解得. 所以常数的取值范围为 故选：C 【例6-2】若函数在区间上存在零点,则常数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 当时,,对称轴为,所以在上单调递增,函数图象如下： 令,解得或, 即或, 根据图象有2个解, 有1个解,所以此时有3个零点,不符合题意； 当,时,,对称轴为, 所以在上单调递增,在上单调递减,函数图象如下： 令,解得或或, 根据图象有2个解,有3个解, 又至少有7个零点,所以至少有2个解, 即,解得．故选: D． 【例6-3】【新思维】(2026.河北沧州.一模)已知函数,若函数至少有7个零点,则实数的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【变式训练6-1】已知函数,则有零点的充要条件是______. 函数有零点方程有解. 当时,方程有一解； 当时,方程有解, 综上知：有零点的充要条件是. 故答案为：. 因为函数,在区间上单调递增, 所以函数在上单调递增,由函数在区间上有零点, 得即解得. 因此,实数的取值范围是. 故选：B. 【变式训练6-2】(25-26高三上.海南海口.阶段检测)已知函数在区间上有零点,则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 由题意,,, 因为在区间上恰有5个零点,所以由正弦函数性质得, 解得． 【变式训练6-3.变载体】(2026.河南南阳.二模)已知函数,若在区间上恰有5个零点,则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式训练6-4.原创题】已知函数,若正实数 互不相等,且,则的取值范围为______． 的图象如图所示： 不妨设,则且,其中, 故即, 故, 故答案为：. 由,得,则函数与的图象的交点横坐标就是； 由,得,则函数与的图象的交点横坐标就是； 由,得,则函数与的图象的交点横坐标就是． 作出函数图象如图,可知．故选：A 【例7-1】【新角度】(2026.湖南湘西.三模)已知分别为函数的零点,且,则(   ) A． B． C． D． ,,, ,,； 即转化为函数与,与,与图象的交点问题. 分别画出,,,,,的图象,如图所示： 由图可知,与的图象交于两点,与的图象交于两点,与的图象交于两点；同时. 对于A,时,满足,故A正确； 对于B,,不满足,故B错误； 对于C,,满足,故C正确； 对于D,,满足,故D正确. 故选：B 【例7-2】【新思维】(2026.福建福州.三模)已知,则的大小关系不可能为(    ) A． B． C． D． 因为函数、在上均为增函数,故函数在上为增函数, 因为,故, 因为函数、在上均为增函数,故函数在上为增函数, 因为,,故, 由可得,即,故. 故选：B 【变式训练7-1.变考法】(江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题)已知函数,,的零点分别为、、,则、、的大小关系为(    ) A． B． C． D． C．, D．, 因为是函数的一个零点,则是函数与的交点的横坐标,画出函数图象,如图所示, 则当时,在下方,即； 当时,在上方,即, 故选：B 【变式训练7-2.变载体】已知是函数的一个零点,若,则(    ) A．, B．, 的零点即为方程的解,即为的图像与图像的交点横坐标, 的零点即为方程的解,即为的图像与图像的交点横坐标, 的零点即为方程的解,即为的图像与图像的交点横坐标, ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图, 由图可知：. 【变式训练7-3】(2026.河南新乡.三模)已知函数的零点分别为,则的大小顺序为(    ) A． B． C． D． ∵,在定义域上是减函数,∴时,, 又∵, ∴一种情况是、、都为负值, 即所以 另一种情况是,,, 即,所以； 都大于,或都小于是,大于.两种情况综合可得不可能成立, 故选：ABC. 【变式训练7-4】(多选)已知函数,实数、、满足,其中,若实数为方程的一个解,那么下列不等式中,有可能成立的是(    ) A． B． C． D． 由,得, 则所有零点的和等价于函数与的图象所有交点的横坐标之和． 易得与的图象均关于点对称． ,,,结合与的图象, 可知与的图象在内共有2个交点, 则与的图象共有5个交点,且关于点对称, 则这5个交点的横坐标之和为,即所有零点的和为． 故选：B 【例8-1】(25-26高三上.江西赣州.期中)函数的所有零点的和为(   ) A． B． C．3 D．5 【例8-2】【新设问】已知函数,方程有四个不同解,则的取值范围是______． 如图所示： 由方程即有四个不同解, 即的图象与有四个不同的交点,由图可知, 不妨假设,由图可知, 又由图可知, 故,解得：, 又, 结合图象可知,所以, 所以, 设, 任取,且, 则, 因为且,所以且, 所以, 所以在上单调递减, 所以即,即,所以. 由可得,由,, 依题意,如图所示,即函数图象与直线的交点的横坐标. 由图知,因函数是一对反函数,图象关于直线对称,则点也关于直线对称, 由解得,则点关于点对称,故. 故选：B 【变式训练8-1.原创题】已知函数,的零点分别为,则(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 由,得函数关于点对称, 又, 得函数关于直线对称且, 故,故, 所以, 所以,从而函数是周期为4的周期函数. 又当时,,则, 即是的单调递增函数,,, 又方程的根即与的交点横坐标, 而直线的斜率为,, 故的图像与直线在有且只有一个交点, 又,, 结合的周期性和对称性, 在同一坐标系中画出的图像和直线, 如图： 两函数共有个交点,并且关于点对称,故所有根之和为. 故选：D 【变式训练8-2.变考法】已知定义在上的函数满足,,当时,,则方程所有根之和为( ) A． B． C． D． 【变式训练8-3.变载体】(2026.天津红桥.二模)设函数,若有四个不同的零点,从小到大依次为,则的取值范围为______． 当时,,,时,,单调递减,时,,单调递增, 所以在上单调递减,在上单调递增,当时,,, 时,,单调递减,时,,单调递增,所以在上单调递减,在上单调递增, 又,,又因为函数有四个不同的零点,所以函数和有四个不同的交点, 如图所示：由图知,,设为方程的两根,即的两根, 所以,设为方程的两根,即的两根,所以, 所以,令,,所以在上单调递增, 因为,,所以的值域为,即的取值范围为． (2)若对任意的恒成立,求实数的取值范围； (3)已知函数,记方程在区间上的根从小到大依次为,求的值. (1)因为 , 所以, 令,得,故对称中心为,其中. 【变式训练8-4.变 题型】(25-26高三上.上海.期中)已知函数. (1)求的对称中心坐标； (2)由(1)知,,. 则原不等式化为, 当时,所以对任意的恒成立, 设,任取,在此区间上单调递减、单调递增, 故,, 从而. 所以在上单调递减,故. 故,故实数的取值范围为. (3)由(1)知,. 令,当时. 画出的图象如图： 由图可知,其图象与共有个交点, 且,,, 则,,, 故. 因为函数和均为R上单调递增函数, 所以函数是R上单调递增函数, 且,所以函数在上有唯一零点. 取区间的中点,且, 所以零点在区间内且区间长度为. 再取区间的中点,且, 所以零点在区间内且区间长度. 对照选项只有在区间内,故可以是. 故选：C. 【例9-1】已知函数,利用二分法求的零点的近似值,若零点的初值区间为,精确度为, 则可以是(   ) A． B． C． D． 【详解】由表格数据可知,,又因为函数在上连续, 且函数在上单调递增,所以函数在区间上存在一个零点. 又因为,所以方程的近似解(精确度为0.5)可以是区间 上的任意一个数,观察四个选项可知C正确. 【例9-2】设,某同学用二分法求方程的近似解(精确度为0.5),列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据,得到的方程近似解可能是(    ) A． B． C． D． 【详解】由函数,得, 所以,又因为函数的图象在区间上连续, 所以函数的一个零点的初始区间可以为.故选：B 【变式训练9-1】已知函数－,则用二分法求的零点时,其中一个零点的初始区间可以为(    ) A． B． C． D． 函数,, ,函数的零点在内； ,函数的零点在内； ,函数的零点在内.故选：A 【变式训练9-2】(25-26高一上.山东菏泽.阶段检测)已知函数,利用二分法求函数在内的零点的近似值,则使用两次二分法后,零点所在的区间为(    ) A． B． C． D． A． B． C． D． 由题意,,,,,, 则由二分法可得近似解所在的区间为. 【变式训练9-4】已知函数在区间内存在一个零点,用二分法计算这个零点的近似值时,给定精确度为,其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．(精确到) ,且, 函数在区间内存在一个零点,故零点位于, 精确到,故零点的近似值为. 【变式训练9-3】在用二分法求方程在上的近似解时,先构造函数,再依次计算得,,,,,则该近似解所在的区间可以是(    ) A． B． C． D． 由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减,在单调递增, 所以在定义域上单调递减, 显然, 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2.(2026年高考Ⅱ卷真题)若函数有两个零点,则m的取值范围是_________ 由得,令,则函数图像与直线有两个交点,又因为,故函数在上单调递增,在上单调递减,且,又,故. 1．(2025.天津.高考真题)函数的零点所在区间是(    ) 3．(2024.全国甲卷.高考真题)曲线与在上有两个不同的交点,则的取值范围为_____________． 令,即, 令 则,令得, 当时,,单调递减, 当时,,单调递增,, 因为曲线与在上有两个不同的交点, 所以等价于与有两个交点,所以. 函数, 设函数的最小正周期为T, 由可得, 所以,即； 又函数在上存在零点,且当时,, 所以,即； 综上,的最小值为4. 故选：C. 4．(2025.北京.高考真题)设函数,若恒成立,且在上存在零点,则的最小值为(   ) A．8 B．6 C．4 D．3 令,即,可得, 令, 原题意等价于当时,曲线与恰有一个交点, 注意到均为偶函数,可知该交点只能在y轴上, 可得,即,解得, 若,令,可得 因为,则,当且仅当时,等号成立, 可得,当且仅当时,等号成立, 则方程有且仅有一个实根0,即曲线与恰有一个交点, 所以符合题意； 综上所述：. 故选：D. 5．(2024.新课标Ⅱ卷.高考真题)设函数,,当时,曲线与 恰有一个交点,则(    ) A． B． C．1 D．2 由函数零点可知：,,,利用数形结合,构造三个函数它们与的交点横坐标就是对应的三个零点. 由图可知：,故选：B. 1.已知函数,,的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为( ) A． B． C． D． 用二分法只能求“变号零点”,①③中的函数零点不是“变号零点”,故不能用二分法求. 故答案为：①③ 2．下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是________.(填写上所有符合条件的图号) 3．已知函数的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064 函数在哪几个区间内一定有零点？为什么？ 由对应值表可得：,,, 由零点存在定理可知：分别在区间,,内有零点. 由得：,令, 则,,, ,, 在内至少有一个零点,在内至少有一个零点, 在内至少有两个零点,即方程在内至少有两个实数解. 5．设函数,且,求证：函数在内至少有一个零点. ,, , 又,, ,,与中至少有一个为正, 又,或, ∴函数在内至少有一个零点. 4．已知函数,求证：方程在内至少有两个实数解. (2)利用信息技术,画出函数的图象； (3)求函数的零点(精确度为0.1). (1)由题意得：. (2)函数图象如下图所示： (3)由图象可知,函数分别在区间和区间内各有一个零点,取区间的中点,用计算器可算得, ,, 再取的中点,用计算器可算得, ,, 同理可得：,, , 原方程在区间内的近似解可取为, 同理可求得函数在区间内的零点可取为, 函数满足精确度的零点为或. 6．已知函数. (1)求函数的解析式； 由,解得. 所以,实数a的取值范围是. 上述解答正确吗？若不正确,请说明理由,并给出正确的解答. 上述解答不正确,原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题,即没有分类讨论和两种情况； 而时,在区间内的零点可能不是“变号零点”. 正确解答如下：(1)当时,, 令得：,解得：, ∴当时,在内恰有一个零点. (2)当时,,①若,即,则函数的图象与轴交于点, 是内的唯一零点； ②若,即, 则i.,解得：, ii.当,即时,,解得：,, 是内的唯一零点, iii.当时,即时,,解得：,, 是内的唯一零点, 综上可得,的取值范围. 7．有一道题“若函数在区间内恰有一个零点,求实数a的取值范围”,某同学给出了如下解答： $