精品解析：浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二下学期学业水平测试数学试题

高二下数学科目学考测试卷 命题：黄黎蓉 审题：张希特 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接根据交集的概念进行运算可求得结果. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意只需解不等式组即可. 【详解】由题意使函数表达式有意义，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 【点睛】本题考查了对数型复合函数的定义域，属于基础题. 3. 设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算，共轭复数概念得出，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 5. 若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件两边平方，利用同角三角函数的基本关系式化简后求得的值. 【详解】由两边平方得，即，解得. 故选B. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于基础题. 6. 若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为5，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出圆台的轴截面，即可求出圆台的高，从而根据公式求出圆台的体积； 【详解】解：圆台的轴截面如图所示： 则圆台的高，所以圆台的体积 故选：C 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，解一元二次不等式即可，利用指数函数单调性即可解. 【详解】设，则不等式可化为， 解得， 所以，解得. 故选：A 8. 将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左加右减原则，即可得到答案； 【详解】函数向右平移个单位长度， ， 故选：A 9. 样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为(　　) A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】依题意得m＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s2＝ (12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2.选D 10. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值对选项惊喜排除，由此确定正确选项. 【详解】由得的定义域为， 因为，所以函数为奇函数，排除A，D；由题易知，图中两条虚线的方程为，则当时，，排除C，所以B选项符合. 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题. 11. 如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用与共线，与共线，求出点的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系， 则，，，，，设， ，，，， 与共线，设，，即， 与共线，设，，即， ，解得，， ， ，， ，， ， . 故选：A. 12. 已知正三角形的三个顶点都在球心为、半径为3的球面上，且三棱锥的高为2，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 如图，设正三角形的边长为，中心为，由题设可知，则，即，又由实际意义可知以为圆心为半径的圆的截面的面积最小，其最小值为，应选答案A． 点睛：解答本题的关键是充分借助题设条件，先正三角形的边长，进而求出该三角形的外接圆的半径，借助球心距、截面圆的半径、球半径之间的关系求出等边三角形的边长，依据实际意义求出截面面积的最小值． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对部分得分，不选、错选得0分） 13. 若，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A 、B、 D分别根据指、对数函数的单调性逐一判断；对于C，取，，化简判断即可. 【详解】解：对于A，因为在上递增，且，所以，故A正确； 对于B，因为是上的增函数，且，故成立，故B错误； 对于C，取，，所以，，所以，故C错误； 对于D ，是上的递减，且，所以，故D正确； 故选：AD． 14. 已知锐角三角形的边长分别是，则的取值可以是（） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】设边长所对的角为，由于三角形为锐角三角形，所有角的余弦值均大于， 若为最大边（即），则角为最大角，需满足，即，解得， 若为最大边（即），则边所对的角为最大角，需满足，即，解得， 综上的取值范围为， A选项不满足，B选项和C选项满足，D选项不满足. 15. 设点A，B的坐标分别为，，P，Q分别是曲线和上的动点，记，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案. 【详解】根据题意，在直线上取点，且满足，过分别作直线的垂线，交曲线于，，交曲线于，在曲线上取点，使，如图所示： ，令，则， ，令，则， 若，则， 若，则即可，此时可以与重合，与重合，满足题意， 但是不成立，且，所以A、B不正确； 对于选项C，若，此时与重合，且与重合，或与重合，且与重合，所以满足，所以C正确； 对于D，当与重合时，满足，但此时在直线上的投影不在处，因而不满足，即，所以D不正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键. 三、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 16. 已知事件与相互独立，，，则______． 【答案】0.88 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式求出，从而利用求出答案. 【详解】因为事件与相互独立， 所以， 所以． 故答案为：0.88 17. 在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由平面向量的数量积得，再结合余弦定理即可求出，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】由题及数量积定义可得， 则由余弦定理得， 整理得， 所以由余弦定理，当且仅当时，等号成立. 18. 设a为实数，若函数有零点，则函数有________个零点． 【答案】2或4 【解析】 【分析】 根据函数的零点定义，结合分类讨论法、换元法进行求解即可. 【详解】设，所以， 因为函数有零点，所以方程有实根， 当时，即，方程有两个相等的实数根， ，当时，， ，因为， 所以方程有两个不相等的实数根，此时函数有两个零点； 当时，即时，方程有两个不相等的实数根， 方程的两根为：，而在时成立， 所以此时函数有四个零点， 故答案为：2或4 四、解答题（本大题共3小题，共37分．第19题12分，第20题12分，第21题13分） 19. 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： （1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率. 【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.98 （4）0.28 【解析】 【分析】设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则根据相互独立事件、互斥事件的概率公式，有 （1）计算P（AB）即可； （2）计算P（）＋P（）即可； （3）根据“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况计算即可； （4）根据“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况计算即可 【小问1详解】 设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件. 则2人都射中目标的概率为P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.8×0.9＝0.72. 【小问2详解】 “2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中（事件发生），另一种是甲未射中、乙射中（事件发生）.根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P（）＋P（）＝P（A）·P（）＋P（）·P（B） ＝0.8×（1－0.9）＋（1－0.8）×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26. 【小问3详解】 “2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为p＝P（AB）＋[P（）＋P（）]＝0.72＋0.26＝0.98. 【小问4详解】 “2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为p＝P（）＋P（）＋P（） ＝P（）·P（）＋P（A）·P（）＋P（）·P（B）＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28. 20. 已知正三棱柱的底面边长为为中点． （1）若，证明：平面； （2）若与交于点与交于点，直线与平面夹角的余弦值为，求三棱柱的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形和等腰三角形性质证明垂直于平面内两条相交直线，. （2）法一：通过几何平行关系，将所求线面角转化为棱与底面夹角，再在三角形中解出侧棱长，进一步求解体积；法二：通过建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦公式列方程求侧棱长，进一步求解体积. 【小问1详解】 连接，，且，连接， 因为在正三棱柱中， 底面边长为2，， 所以侧面都是边长为2的正方形， 所以在正方形中，， 又因为，为中点， 所以为等腰三角形，是底边中线， 所以， 又因为，面，且， 所以面. 【小问2详解】 法一：几何法 连接，由可得：， 记与平面所成角为，由于平面， 是在平面上的投影，则， 根据线面角的定义，， 在中，由且，则， 由勾股定理得：， 所以. 法二．向量法 以为坐标原点，为轴，为轴，过作轴垂直，建立空间直角坐标系， 设，结合图形对称性可知：，， 则，由题可知平面的法向量， 记与平面所成角为， 则， 由题意可知， 即，解得：（取正）， 所以. 21. 设函数，，. （1）当，时，写出函数的单调区间； （2）当时，记函数在上的最大值为，在变化时，求的最小值； （3）若对任意实数，，总存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为，（2）（3） 【解析】 【分析】（1）先根据绝对值定义化简函数解析式，再直接写出单调区间； （2）先根据二次函数性质确定最大值取法，再比较大小确定，最后根据分段函数性质求最小值； （3）根据题意先分类讨论求出最大值，再求最大值的最小值，即得实数的取值范围. 【详解】（1）当，时， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为， （2） 所以 因此 （3）当时， 令，则 当时根据二次函数图象对称性可得当时最大值取最小值 ，因此此时 综上，，从而 【点睛】本题考查函数单调性以及函数最值，考查综合分析求解能力，属难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下数学科目学考测试卷 命题：黄黎蓉 审题：张希特 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 若，则 A. B. C. D. 6. 若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为5，则其体积为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为(　　) A. B. C. D. 2 10. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知正三角形的三个顶点都在球心为、半径为3的球面上，且三棱锥的高为2，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为 A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对部分得分，不选、错选得0分） 13. 若，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知锐角三角形的边长分别是，则的取值可以是（） A. B. C. D. 15. 设点A，B的坐标分别为，，P，Q分别是曲线和上的动点，记，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 16. 已知事件与相互独立，，，则______． 17. 在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的最小值为______． 18. 设a为实数，若函数有零点，则函数有________个零点． 四、解答题（本大题共3小题，共37分．第19题12分，第20题12分，第21题13分） 19. 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： （1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率. 20. 已知正三棱柱的底面边长为为中点． （1）若，证明：平面； （2）若与交于点与交于点，直线与平面夹角的余弦值为，求三棱柱的体积． 21. 设函数，，. （1）当，时，写出函数的单调区间； （2）当时，记函数在上的最大值为，在变化时，求的最小值； （3）若对任意实数，，总存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $