浙江乐清市荆山公学2025-2026学年高二下学期数学学业水平考试模拟卷

**基本信息** 2026年荆山公学高二学业水平模拟卷，涵盖必修一、二及选择性必修一空间向量与立体几何，80分钟题量以“数学文化”知识竞赛（解答题21）等真实情境为载体，融合代数、几何、统计，注重基础巩固与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/36|集合、复数、向量、概率、函数图象、立体几何位置关系|基础概念辨析，如第4题命题否定考查逻辑思维| |多选题|3/18|概率事件独立性、函数性质（周期、对称）|选项分层设计，如13题结合互斥与独立事件考查推理| |填空题|4/12|函数奇偶性、三角恒等变换、向量模长、三棱锥外接球|空间想象与计算结合，19题外接球最小值体现直观想象| |解答题|3/34|解三角形、统计（频率分布直方图、方差）、函数不动点|情境化与综合性，21题“数学文化”竞赛统计分析考查数据观念，22题不动点问题考查创新应用|

2026年6月13日荆山公学高二学业水平考试模拟卷 数 学 考试内容：人教A版必修一+必修二+选择性必修一空间向量与立体几何 考试时间：80分钟 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（本题3分）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知命题∶，，则命题的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（本题3分）从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取3张，则取出的3个数中最大数为5的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）函数的图象大致是（    ） A．  B．  C．  D．   8．（本题3分）在正方体中，棱长为2，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ） A．存在无数条直线与，都平行 B．存在无数个平面与，都垂直 C．存在两条平行直线a，b，，，， D．存在两条异面直线a，b，，，， 10．（本题3分）已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（本题3分）在三棱柱中，点M，E分别是棱的中点，点满足，点为棱上的动点，若平面CDE，则（ ） A． B． C． D． 12．（本题3分）若，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 13．（本题6分）已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立 14．（本题6分）已知函数和，则（    ） A．和的图象的对称轴相同 B．和的值域相同 C．和的最小正周期相同 D．和的零点相同 15．（本题6分）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．函数在上单调递减 C．函数的零点之积为 D．方程最多有3个实数根 三、填空题（共12分） 16．（本题3分）若函数是定义在R上的奇函数，则实数a的值为________． 17．（本题3分）已知，，则的值为______． 18．（本题3分）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 19．（本题3分）已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中 ，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________. 四、解答题（共34分） 20．（本题11分）在中．． (1)求； (2)若，为边的中点，求的长． 21．（本题11分）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数； (3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 22．（本题12分）对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，， (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围： (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C B D B C D B 题号 11 12 13 14 15 答案 A C CD BC AC 1．A 【详解】由，， 所以． 2．B 【详解】由，得. 所以. 3．C 【详解】，，，故选项C正确. 4．C 【详解】命题的否定形式为：，. 5．B 【详解】由题意可得总的选法有，要使选出的3个数中，最大的为5， 则其余2个数只能从1，2，3，4中选取，共有种，故所求概率为. 6．D 【详解】函数是一个减函数，所以当时，函数最小值为， 因此，即，化简可得，即， 因为，所以解得或， 即不等式的解集为. 7．B 【详解】令，其中，则， 所以函数为奇函数，排除D选项， 对任意的恒成立，故函数在上为增函数，排除C选项， 当时，，则，排除A选项. 8．C 【详解】分别作线段，的中点，，连接，，， 在正方体中，，分别为，的中点， 所以 平面，所以与平面所成角为， 因为，，，所以， 所以，所以. 9．D 【详解】A，如图，作长方体，取平面ABCD，平面分别为平面，. 因为，且，且，，则，， 显然可作无数条与平行且不在平面，内的直线，即存在无数条直线与，都平行，但，不平行，错误； B，因为平面与平面，均垂直，且显然可作无数个与平面平行的平面，即存在无数个平面与，都垂直，但，不平行，错误； C，若与相交，可在内取a平行于交线，在内取b也平行于交线， 满足，，，但无法推出，错误； D，异面直线，，，，可在内作出，在内作出， 可得，b是内的相交直线，a，是内的相交直线，且都平行于另一个平面， 根据面面平行判定定理可推出，符合要求. 10．B 【详解】因为函数为偶函数，所以，则， 又因为，所以，则， 所以函数是周期为4的周期函数， 由中，令，得到， 所以，， 故. 11．A 【详解】如图所示，在平面内，作，与交于，连接,则,所以，共面，因为平面CDE，平面平面CDE,由线面平行的性质定理得,所以四边形是平行四边形，所以， 设，，因为，所以，则， 因为E是棱的中点，所以， 因为是梯形的中位线，所以， 所以，所以，所以. 12．C 【详解】由，可得（*）， 因为，， 代入（*）可得． 因为，则，，则得， 即， 设,则得,即． 因为，所以，解得,即． 13．CD 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故错误； 对于B，若，则，故错误； 对于C，若A与B相互独立，则与也相互独立， 所以，故正确； 对于D，，可得， 所以，则A与B相互独立，故正确. 14．BC 【详解】，作出和的图象如图所示，由图可知，A，D错误，B，C正确． 15．AC 【详解】时，令，即，则， 当时，令，即，得或，故有3个零点，A正确， 当时，为开口向下的二次函数，且对称轴为，此时在单调递减，当时，，此时在单调递减，但，因此在上不是单调递减，B错误， 由于有3个零点，分别为或或， 结合，故有3个零点，分别为， 故的零点之积为，C正确， 作出的大致图像如下，当时， 此时有四个交点，故有四个实数根， 由于，故也有四个实数根，D错误. 16．3 【详解】函数是定义在R上的奇函数，则，解得， 此时，，函数是奇函数， 所以实数a的值为3. 17． 【详解】因为，所以，故. 18． 【详解】设，，则，． 因为， 所以．所以． 又． 所以，即．故答案为： 19． 【详解】由题设知，三棱锥的四个顶点是一个长方体的四个顶点，如图． 因三棱锥中三组相对应的棱长分别相等， 长度分别为，，， 故该长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为， 且三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 故外接球的直径长为长方体的体对角线长， 设外接球半径为，则三棱锥的外接球表面积为， 因 ，则，当且仅当时等号成立． 此时，，即时，. 20．(1)。(2) 【详解】（1）由正弦定理及，得． 因为，所以．所以．所以． 因为，所以，即． （2）由余弦定理得． 因为，所以．因为，所以． 在中，由余弦定理得，因为，所以， 在中，由余弦定理得，所以． 21．(1)，90，(2)86，(3)平均数为91，方差为22． 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则，解得， 估计样本中成绩不低于60分的人数为． （2）前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 所以成绩的上四分位数落在内，设其为，则， 解得，即估计样本中成绩的上四分位数为86． （3）样本中成绩在内占成绩在内的比例为， 样本中成绩在内占成绩在内的比例为． 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为， 由分层随机抽样的平均数公式可得， 由分层随机抽样的方差公式可得， 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22． 22．(1)0，1；(2)；(3) 【详解】（1）当时，， 令，则有，所以， 即，解得或， 经检验，和均满足题意；所以函数的不动点为：0，1； （2）由题意可得， 即，在上有两个不同解， 令，则， 则问题转化为在上有两个不同解， 由二次函数根的分布可得， 解得，所以实数的取值范围为； （3）因为在上单调递减，所以， 原不等式可化为，即， 所以，即，所以， 所以在上恒成立；令，则， 则有在上恒成立， 因为在上单调递增，所以； 在上单调递减，所以， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $