精品解析：浙江省杭州学军中学2024-2025学年高二下学期学业水平考试模拟三数学试题

杭州学军中学学业水平考试模拟卷三 一、单选题： 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式解法及对数函数的单调性求解不等式，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解不等式，， 所以． 故选：A． 2. 若，则（     ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可求出复数，结合共轭复数的概念即可得答案. 【详解】，则， 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用差角的正弦公式化简求出，再利用二倍角公式及齐次式法求解. 【详解】由得，， 整理得，即， 所以. 故选：D 4. 设，，为不重合的平面，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ） ①，，则； ②，，，则； ③，，，则；④，，，则． A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行，面面平行，线面垂直和面面垂直的性质与判定分析判断即可. 【详解】①中，，可以相交并垂直于，①错误； ②中，或或、相交（不一定垂直），②错误； ③中，如图，将直线、平移交于点， 设过直线、的平面为，设， 因为，，所以， 因为，、，所以∥，因为，所以， 因为，所以，故③正确； ④中，如图，设， 在平面内任取一点，分别过作，垂足分别为， 因为，，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，故④正确， 故选：D. 5. 已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，，根据题意结合互斥事件以及独立事件可得，结合事件的运算求解即可. 【详解】设A表示“甲独立攻克该难题”，B表示“乙独立攻克该难题”， 则，设， 由题意可得，即， 可得，解得， 所以该难题被攻克的概率． 故选：B． 6. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律可得，再根据投影向量公式可求投影向量. 【详解】设向量的夹角为，因为，可得， 所以在的投影向量为. 故选：B. 7. 在正四棱台中，，，且异面直线与所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱台的特点作出高，利用线面垂直及勾股定理可求得正四棱台上、下底面的边长和高，即可求得体积. 【详解】，为异面直线与所成的角，即， 过作平面的投影，易知在上，过作，垂足为， 因为平面，故，同理， 而，平面， 平面，而平面，， ，，，， ，，，， ，，，， 该正四棱台的体积． 故选：B. 8. 函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数单调性得到，根据得到. 【详解】由于图象单调递减，所以， 又，所以，即，. 故选：D． 9. 已知，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】由，，，，得，于是， 由，，取，满足，显然“，”不成立， 所以“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 10. 我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍：“一般地，如果某物质的半衰期为h，那么经过时间t后，该物质所剩的质量，其中是该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年（每经过1350年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该放射性元素的初始存量为m，经检测现在的存量为.据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：） A. 2452年 B. 2750年 C. 3150年 D. 3856年 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意可知，两边取对数得， 故选：C 11. 如图，在等腰梯形中，．现将沿对角线所在的直线翻折成，记二面角大小为，则（ ）． A. 存在，使得平面 B. 存在，使得 C. 不存在，使得平面平面 D. 存在，使得平面平面 【答案】B 【解析】 【分析】利用反证法可判断A；对B，寻找特殊值，证明此时可判断；对C，举反例，当时，平面平面；对D，利用反证法可证明. 【详解】取AB中点E，连接DE，交AC于F，因为， 所以都是等边三角形，所以，，， 在翻折过程中，，所以. 对于A，假设存在，使得平面，因为平面， 所以，与和成角矛盾，故A错误； 对B，当时，平面平面ABC，因为，所以平面， 又因为平面，所以，所以存在，使得，故B正确； 对C，当时，平面平面ABC，故C错误； 对D，假设存在，使得平面平面，过作于M， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，所以与重合， 即M与E重合，此时， 与为等腰的一个底角矛盾，故D错误. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查二面角的概念问题，解题的关键是正确找到二面角. 12. 已知，，函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别为B，C，D，若是边长为12的等边三角形，则函数的最大值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】在同一坐标系中，作出函数与的图象，设为的中点，由三角函数的对称性， 得到，求得，再由，求得，得到，结合，求得，化简，进而得到答案. 【详解】在同一坐标系中，作出函数与的图象， 如图所示，图象相邻的三个交点分别为， 设为的中点，因为是边长为12的等边三角形， 可得，可得， 由，可得， 因为，可得， 可得，所以，可得，解得， 所以， 可得， 所以的最大值为. 故选：B 二、多选题： 13. 已知对数函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】设，且，将点代入，得，解得，所以．因此． 14. 如图，在长方体中，，，E为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 四面体体积等于 D. 经过AB的平面截该长方体的截面面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，连接，，，通过面面平行即可证得线面平行；B选项，由图可知，与BD不垂直，进而说明线面不垂直；C选项，通过线面平行结合等体积法求得体积；D选项，经过AB的平面截该长方体的截面面积最大时的截面为 【详解】如图，连接，，，易知平面平面，且平面，故有平面，A正确； 易知，为等腰三角形，为底边，故与BD不垂直，即平面不成立，B错误； 由平面知，，C正确； 经过AB的截面为矩形，截面与侧面的交线最长为对角线，故截面面积的最大值为，D正确. 故选：ACD． 15. 在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，的周长为12，面积为6，则（ ） A. 内切圆的半径为1 B. 外接圆的半径为6 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助即可判断A；由三角恒等变换得,再结合面积公式和正弦定理即可判断B；借助周长公式和正弦定理即可判断C；借助正弦倍角公式和正弦定理即可判断D. 【详解】令的内切圆半径为，面积为，所以， 所以，即，故A正确； 因为，所以，， 所以 ， 又 所以 又，所以 令的外接圆半径为，由正弦定理可知，, 所以，所以，故B正确； 因为由选项B知，， 所以，故C错误； 由正弦定理和正弦倍角公式得： , 又由选项B知，所以，故D正确； 故选：ABD 三、填空题： 16. 已知事件与互斥，且，，则______. 【答案】0.5## 【解析】 【分析】运用互斥事件概率加法公式计算即可. 【详解】因为与互斥，所以. 故答案为：0.5. 17. 已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先变形：，再根据基本不等式求最值. 【详解】 当且仅当时取等号 即的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 18. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，二面角为，则三棱锥外接球的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连结，，找到二面角的平面角，根据球心与三角形外心连线垂直于三角形所在平面，再结合勾股定理，即可求出三棱锥外接球的半径. 【详解】 取的中点，连结，，又，，所以，, 所以为二面角的平面角，又二面角为，所以， 因为，，所以，所以， 所以为直角三角形，在平面内过作的垂线，则该直线垂直于平面， 设的外心为，在平面内过作的垂线，设两垂线交于，则为三棱锥外接球的球心， 又，，所以，又， 又在中，，所以， 在中，，所以， 所以三棱锥外接球的半径为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是正确找出球心的位置，通过勾股定理计算出求的半径. 19. 《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为________；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】在正八边形中，各边夹角都是已知的，各边长也是已知的，把目标向量用边长向量表示出来，再根据向量乘法运算律求出结果. 【详解】 如图所示,连接，因为三点共线，且 ，解得， 则， 与夹角为,与夹角为, . 设,可知, , , , , ,当或时, 有最小值,最小值为0. 故答案为: ； 0. 四、解答题： 20. 已知函数，. （1）求的值及的单调递增区间； （2）若在区间上最大值为2，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接计算即可；利用余弦的二倍角公式、两角和的正弦展开式化简可得，再由正弦函数的单调性可得答案； （2）根据的值域和的范围可得答案． 【小问1详解】 ； ． 由， 得． 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 ，， 因为，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 21. 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a值; （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于，可求得 （2）根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解； （3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由图得， 解之可得； 【小问2详解】 根据题意知， ，， 设第百分位数为，所以， ，解之可得， 故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. 【小问3详解】 设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 22. 已知函数，.定义，设，，为常数. （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）定义区间的长度为.若的解集为，问是否存在，使得的全部区间长度之和等于6，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）偶函数 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）代入得，则可判断其奇偶性； （2）对进行分，和讨论即可. 【小问1详解】 当时，. 当时，成立； 当时，成立； 则此时， 因为.且因此为偶函数. 【小问2详解】 ①因为函数的最小值为1，函数的最小值为2， 函数是函数和函数左右平移取小后得到， 所以函数的最小值为1. 若有解，首先应满足. 由于函数的最小值为2，则当时， ，即，解得， 则其解集为， 此时的区间长度为，解得，舍去. ②当，， 化简得 时，恒成立， 则两根 当时，. 当时，的解集为， ，即，解得， 的解集为， 此时 此时的区间长度为，解得舍去)成立. ③当时，由于 恒成立. 此时， 此时的区间长度为， 解得或，全部舍去. 综上，. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是通过作图，找到分界点位置从而对进行合理地分类讨论，如首先分析出必须大于1，然后再找到两个分界点2和3即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学学业水平考试模拟卷三 一、单选题： 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（     ）. A. B. C. D. 3 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，，为不重合的平面，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ） ①，，则； ②，，，则； ③，，，则；④，，，则． A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 5. 已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱台中，，，且异面直线与所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 已知，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍：“一般地，如果某物质的半衰期为h，那么经过时间t后，该物质所剩的质量，其中是该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年（每经过1350年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该放射性元素的初始存量为m，经检测现在的存量为.据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：） A. 2452年 B. 2750年 C. 3150年 D. 3856年 11. 如图，在等腰梯形中，．现将沿对角线所在的直线翻折成，记二面角大小为，则（ ）． A. 存在，使得平面 B. 存在，使得 C. 不存在，使得平面平面 D. 存在，使得平面平面 12. 已知，，函数图象与函数的图象相邻的三个交点分别为B，C，D，若是边长为12的等边三角形，则函数的最大值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 二、多选题： 13. 已知对数函数图象过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在长方体中，，，E为的中点，则下列结论正确的是（ ） A 平面 B. 平面 C. 四面体的体积等于 D. 经过AB的平面截该长方体的截面面积的最大值为 15. 在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，的周长为12，面积为6，则（ ） A. 内切圆的半径为1 B. 外接圆的半径为6 C. D. 三、填空题： 16. 已知事件与互斥，且，，则______. 17. 已知，，且，则的最小值为______. 18. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，二面角为，则三棱锥外接球的半径为________． 19. 《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为________；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为________． 四、解答题： 20. 已知函数，. （1）求的值及的单调递增区间； （2）若在区间上最大值为2，求实数的取值范围. 21. 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值; （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 22. 已知函数，.定义，设，，为常数. （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）定义区间的长度为.若的解集为，问是否存在，使得的全部区间长度之和等于6，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $