第23章一次函数 期末综合复习压轴题专题提升训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数与几何综合，以20道压轴题构建"概念-推理-建模"三阶训练体系，强化动态问题与存在性探究的解题策略。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数基础|3题|待定系数法、交点坐标求法|从解析式到图像性质，建立数与形的对应关系| |几何综合|8题|全等构造、对称变换、面积割补法|以函数为背景整合三角形、四边形性质，培养空间观念| |动态探究|9题|分类讨论、参数思想、临界分析|通过动点运动构建函数模型，发展推理意识与创新思维|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第23章一次函数》 期末综合复习压轴题专题提升训练（附答案） 1．已知直线分别交轴，轴于点，点，其中，，直线交直线于点，分别交轴，轴于点，点． (1)如图，当时． ①求点的坐标； ②点是直线上一点，若的面积等于面积的2倍，求点的坐标． (2)若直线与的夹角等于，求的值． 2．如图，正方形的边、在坐标轴上，点B的坐标为．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接，过点P作的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．与y轴交于点E，连接．设点P运动的时间为． (1)的度数为 ，点D的坐标为 (用t表示)． (2)在P，Q的运动过程中，直线的解析式发生变化吗?如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出直线的解析式． (3)探索的周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用、分别表示点、的坐标； (2)若四边形的面积是，且，试求点的坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点． (1)【问题初探】 点的坐标是________，点的坐标是________． 若是直线上一点，求直线的函数表达式． (2)【应用探究】 在直线上是否存在一点（不与点重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)【拓展延伸】 是轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点落在轴上，请直接写出点的坐标． 5．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，与x轴交于点，点P是直线上的一个动点，且不与点O重合，连接． (1)求直线l的表达式： (2)若的面积为，求点P的坐标； (3)探究是否存在点P，使得?若存在，请求出此时点P的纵坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，直线（）与坐标轴分别交于点A，B，过点A、B作直线，以为边在y轴的右侧作正方形． (1)求k的值及点C的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由； (3)如图，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，，； ①如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点D是线段的中点，另一动点H在直线上，且，请求出点H的坐标． 8．平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，且满足； (1)矩形的顶点B的坐标是（ ， ） (2)若是中点，沿折叠矩形使点落在处，折痕为，连接并延长交于，求直线的解析式． (3)将（2）中直线向左平移一个单位交轴于，为第二象限内的一个动点，且，求的最大值． 9．杆秤是中国人发明的人类最早的衡器．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为．根据杠杆原理，可得：．已知．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)随着的变化而变化，求出关于的函数表达式． (2)在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离． (3)在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不变． ①在下列选项中，能使称重范围变大的有___________（填写所有正确的选项） A．提纽的位置向左移        B．提纽的位置向右移 C．秤砣的质量变小        D．秤砣的质量变大 ②若将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为___________． ③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，则生锈秤砣的质量为___________． 10．【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 11．已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P是线段上的动点，点C是x轴上的动点，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，连接，若是以为斜边的等腰直角三角形，求直线的解析式； (3)如图2，作轴于点M，以为边向右作正方形，边交直线于点Q．若，，求点P的坐标． 12．定义：我们把形如（）的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”． (1)如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数”的图象； (2)写出一次函数与“相反函数”（）之间的性质（至少两条）； (3)在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标． 13．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线与直线相交于点C． (1)求点A，C的坐标． (2)现有一动点P沿折线以2个单位长度/秒的速度运动，运动时间为t秒． ①当为等腰三角形时，求出所有满足条件的t的值． ②如图2，已知x轴正半轴上有一动点Q，当点P在线段上运动时，连接，．作关于直线的对称图形，作关于直线的对称图形，射线交x轴于点M．当时，是否存在t的值，使恰好是直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 14．学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积有两种不同的表示方式”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法． （1）【学有所用】如图1，在等腰中，，其一腰上的高为，是底边上的任意一点，到腰、的距离、分别为、，小明发现，通过连接，将的面积转化为和的面积之和，建立等量关系，便可证明，请你结合图形来证明：； （2）【尝试提升】如图2，在中，，是边上一点，使，过上一点，作，垂足为点，作，垂足为点，已知，，求的长． （3）【拓展迁移】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是2，请直接写出符合题意的点坐标______． 15．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴的正半轴上，且，为直线与直线的交点，点在线段上，．         (1)如图1，求点的坐标； (2)若为线段上一动点（不与、重合），的横坐标为，过作轴交轴于点，四边形的面积为，当时，求出点的坐标； (3)如图2，点为关于轴的对称点，点为关于轴的对称点，连接，若为直线上一动点，为轴上一动点，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 16．如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，且分别交x轴于A、C两点． (1)求a，b的值及点A，C的坐标； (2)在直线上找一点D，使得是的面积的2倍，求出点D的坐标； (3)y轴上有一动点P，直线上有一动点M，点N在平面上，若四边形是正方形，求出点N的坐标． 17．在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角的平分线于点．    (1)如图1，当点是的中点时，求证：； (2)点在轴正半轴上运动，点在轴上．若四边形为菱形，求直线的解析式． (3)连，点是的中点，当点在轴正半轴上运动时，点随之而运动，点到的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，直线与轴交于点，与轴交于点，，．    (1)求直线的解析式； (2)连接，点为直线上一动点，若有，请求出点坐标， (3)点为直线上一动点，点为轴上一动点，请问在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中．直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴的夹角为，过点作直线，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)点在直线上，当时，求点坐标； (3)在（2）的条件下，设点的横坐标为，点在直线上，点为点关于轴的对称点，点在轴上，当取最大值时，求的最小值． 20．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，的面积等于． (1)求点的坐标______； (2)动点从点出发，以每秒2个单位的速度在线段上运动，移动时间为秒，过点作轴出线交边于点，若的面积为，求与的关系式______；并直接写出当时，的值______； (3)在（2）的条件下，点在直线上且，延长线交轴于点，与交于点，连，当时， ①______； ②求点坐标______； ③时间值______； ④过点作交于点，求的长______． 参考答案 1．（1）解：①设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，直线，即， 联立，解得：， ∴． ②∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点，则， 如图：当点P在点C的左侧时，， ∴，解得：， ∴； 如图：当点P在点C的右侧时，， ∴，解得：， ∴； 综上，点P的坐标为或． （2）解：联立，解得：， ∴， 如图：过B作于D， ∵直线与的夹角等于， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 设，， ∴，， ， ∴， 解得：或． 2．(1)， (2)不变， (3)不变，值为8 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的性质与判定、求一次函数解析式等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）证明，得到为等腰直角三角形，据此求解即可； （2）由（1）可知，结合题意可知，然后运用待定系数法即可解答； （3）如图，将绕点按顺时针方向旋转，得到，再证可得，然后运用正方形的周长公式即可解答． 【详解】（1）解：由题可得：， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴, ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； ∵, ∴点D的坐标为， 故答案为：，． （2）解：直线的解析式不变，且解析式为； ∵， ∴设直线直线的解析式为，则有，解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：的周长不随时间的变化而变化． 如图，将绕点按顺时针方向旋转，得到， ∴ ， ∴． ∵， ∴点H在的延长线， ∵， ∴． ∴． ∴的周长 ． 3．(1)， (2) (3)或或 【分析】（）把代入函数解析式求出的值可得点的坐标． （）联立函数解析式，求出方程组的解可求出点的坐标，再求出点坐标，进而由可得，再根据列出方程求出的值即可求解． （）过点作直线平行于轴，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，过点分别作的平行线交于点，分三种情况，利用平行四边形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∴． （2）解：把代入，得， ∴， ∵把代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴． （3）解：存在．理由如下： 由（2）得：直线的表达式为，的表达式为， 如图，过点作直线平行于轴，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，过点分别作的平行线交于点， ①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即； ②∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即； ③∵， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为， 由，解得， ∴； 综上，存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数几何的应用，求一次函数解析式，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识，清晰的分类讨论是解题的关键． 4．(1) ； (2)存在， (3)或 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理，用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）令，求B点坐标，令，求A点坐标； 先求出m的值，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出，设点D的坐标为，根据的面积等于的面积，列出方程，即可求解； （3）设，当B点的对称点在x轴负半轴上时，在中，，可求；当B点的对称点在x轴正半轴上时，在中，，可求． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点， 令，则；令，则， ∴，， 故答案为：，； ∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是． （2）解：存在点D，使的面积等于的面积；理由如下： 由（1）得：点A的坐标是．点B的坐标是， ∴， 设， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得（舍）或， ∴； （3）解：设， 如图1，当B点的对称点在x轴负半轴上时， 由折叠可知，， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴； 如图2，当B点的对称点在x轴正半轴上时， 由折叠可知，，， ∴， 在中，， 解得， ∴， 综上，或． 5．(1)； (2)； (3)当时，此时M点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定， 对于（1），由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； 对于（2），由面积公式求出S与t之间的函数关系式； 对于（3），当时，可得并得到M点坐标． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为； （2）解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 综上， ； （3）解：M点的坐标为或； 理由如下： ∵， ∴只需，则， 即， 此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为； M在x轴的负半轴，则M点的坐标为， 综上，当时，此时M点的坐标为或． 6．(1) (2)点P的坐标为或 (3)存在；点P的纵坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）求出直线与的交点，可判定这两直线垂直，再设，由面积关系求得，再由建立方程即可求解； （3）在上取点D，使，连接，过点D作于点E，则，由，则，由（2）知，得，通过计算知，利用面积关系得，从而求得；设，则，从而得，解方程求得a，从而求解． 【详解】（1）解：把，分别代入中，得， 解得：， ∴直线l的表达式为： （2）解：设直线l与直线交于点C，如图， 联立与，即， 解得：， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，而， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或； （3）解：存在点P，使得； 如图，在上取点D，使，连接，过点D作于点E， ∵由（2）知，又， ∴， ∴， ∵， ∴， 即平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 设，则， ∴， 解方程得或， 则或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，求两直线的交点，勾股定理，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质是解题的关键． 7．(1)， (2)存在，或； (3)①是，；②或 【分析】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称的性质等等，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． （1）先求出，得到，，再由正方形的性质可得，解之即可得到答案； （2）设直线与直线交于点G，根据正方形的性质得到，进而根据勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，设直线的解析式为，将代入可得，设，根据两点间的距离公式可得，设，同理可得，即可求出点P的坐标； （3）①过点作轴，通过证明，得到，即可求解；②连接，可得点H与点重合，作点关于直线的对称点，可得，求得直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图，设直线与直线交于点G， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将代入可得，即， ∴， 设， 则， 即， 解得：（负值舍去）， ∴， 设， 则， ∴ 即 ， 解得：或， 即或； （3）解：①过点作轴，如下图： 由题意可得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 由题意可得：，即， ∴E在定直线上； ②连接，由题意可得为等腰直角三角形， ∴ ∵四边形为正方形， ∴ ∴， ∴当点与点重合时满足题意， ∵点是线段的中点， ∴， 由①可得，， 设直线解析式为，将、代入可得 ，解得， ∴直线解析式为， 设交于M， 在中，当时，，即点 作点关于直线的对称点，则 ∴， ∴点为直线与的交点， 同理可得直线解析式为 联立，解得 此时； 综上，点坐标为或 8．(1)6，8 (2) (3) 【分析】（1）将整理得出，根据平方和算术平方根的非负性可得：，，求解即可得到a、b的值，即可求出B点坐标； （2）连接，根据折叠的性质得出，证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，得出，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）根据平移得出直线的表达式为，求出点M的坐标为，以为直角边构造等腰，，，过点M作交的延长线于点J，连接，，取的中点R，连接，．证明，得出，求出，，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：将整理得： ， ∴，， 解得：，， ∴B点坐标为：； （2）解：连接，如图所示， ∵D是中点， ∴， ∵沿折叠矩形使O点落在E处，折痕为， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：． （3）解：直线向左平移一个单位后的表达式为：， 把代入得：， ∴点M的坐标为， ∴， 根据解析（2）可知：点F的坐标为， 如图，以为直角边构造等腰，，，过点M作交的延长线于点J，连接，，取的中点R，连接，． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点J的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数的平移、三角形全等的判定和性质，两点间距离公式，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 9．(1) (2)零刻度所对应的点与点之间的距离为. (3)①AD；②，③ 【分析】本题考查的是一次函数的应用，方程的应用，理解难度大. （1）根据公式代入已知数量可得答案. （2）由零刻度时，，可得. （3）①结合与逐一分析即可；②由，，，，，可得，再进一步解方程即可；③求解当一个物体的质量为，可得，设生锈的秤砣的质量为，结合，进一步建立方程可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴. （2）解：∵零刻度时，， ∴， ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为. （3）解：①∵，提纽的位置向左移， ∴变小，则最大， ∵， ∴最大，故A符合题意， 同理可得：提纽的位置向右移，减小，故B不符合题意， ∵，秤砣的质量变小， ∴变小，故C不符合题意； ∵，秤砣的质量变大， ∴变大，故D符合题意. 故答案为：AD ②∵，，，，， ∴， ∴， 解得：， ∴将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为. ③∵当一个物体的质量为， ∴， ∵，设生锈的秤砣的质量为， ∴， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． 10．（1）；（2）①直线为，②不变，；（3）或 【分析】（1）根据，过点作交于点，过点作交于点，得出，证明，即可证出． （2）①当时，则直线为直线，先求出，，则，过点E作于，如图所示：证明，得出，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为． ②根据当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动，得出，过点作于，证明，得出，再根据，即可求解； （3）根据点C的位置分两种情况：①如图，过作轴交于点，过作轴于点，先求出点的坐标是，点的坐标是，得出，根据，得出，则，证明，则，求出，待定系数法求出直线的解析式为，再令，即可求出； ②如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点，根据，得出，证出，证明，则，设，则，得出，根据点在直线的图象上，代入求解即可． 【详解】解：（1）． 证明：，过点作交于点，过点作交于点， ， ， 在和中 ， ， ∴． （2）①当时，则直线为直线， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 过点E作于，如图所示：     ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把与代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． ②当变化时，的面积是定值，， 理由如下： ∵当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 变化时，的面积是定值，； （3）①如图，过作轴交于点，过作轴于点， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得：， 则； ②如图， 如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴． 综上，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、一次函数解析式求解、坐标与图形、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 11．(1)， (2) (3)， 【分析】（1）由题意可得：当时，，当时，，可得，． （2）如图，过作于，设，证明，可得，求解，再进一步求解即可． （3）情况①：点C在点M左侧，如图，设，在线段上，证明，可得，求解，进一步可得答案；情况②：点C在点M右侧，如图，同理可得： ，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴当时，，当时，， ∴，． （2）解：如图，过作于，设， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴，， 设直线为：， ∴，解得：， ∴直线为． （3）解：如图，设，在线段上， ∴， 当点C在点M的左侧时，如图所示： ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 如图，当点C在点M右侧时，如图所示： 同理可得：，，， ， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，一次函数的应用，等腰三角形的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键． 12．(1)见解析； (2)见解析； (3)的角平分线与对边的交点坐标为或或． 【分析】（1）依据题意，设一次函数的解析式为，从而，即可求得一次函数的解析式为，故可得该一次函数的“相反函数”为的解析式，从而可以作图； （2）依据题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质，进而判断得解； （3）依据题意，根据图形先可得平分的角平分线与对边的交点坐标为，再求出当平分时，的坐标，最后由对称性可得另外一点，进而得解． 【详解】（1）解：由题意，设一次函数的解析式为， ， ． 一次函数的解析式为． 该一次函数的“相反函数”为． 作图如下． ； （2）解：由题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质： ①两个函数的图象关于轴对称； ②两个函数的图象都过点．（答案不唯一） （3）解：由题意，作图如下． 由题意，是等腰三角形． 平分． 此时角平分线与对边的交点坐标为． 当平分时，作于， 又， ． ． ． ． 设， ． 又在中，， ． ． ． 直线为：． 又为， ． 过的角平分线与对边交点坐标为． 又根据对称性， 过的角平分线与对边交点坐标为． 综上，的角平分线与对边的交点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，“相反函数”的定义．解题时要熟练掌握并能读懂题意是关键． 13．(1)； (2)①或6或或12；②或 【分析】（1）利用函数关系式，求出点A、C的坐标即可； （2）①根据两点间距离公式求出，，，分四种情况进行讨论：当点P运动到点C时，当点P在上运动，时，当点P在上运动，时，当点P在上运动，时，分别画出图形，求出结果即可； ②根据折叠说明，分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴； 联立， 解得：， ∴． （2）解：把代入得：， ∴， ∴， ， ； ①当点P运动到点C时，如图所示： 此时，为等腰三角形， ∴； 当点P在上运动，时，如图所示： 此时为等腰三角形， ∴； 当点P在上运动，时，过点O作于点D，如图所示： 此时为等腰三角形， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴ ∴； 当点P在上运动，时，如图所示： 此时为等腰三角形， ； 综上分析可知，或6或或12． ②当时，如图所示： 设交y轴于点N，交y轴于点E， 根据折叠可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∵，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴轴， ∵，点P在y轴上， ∴此时点在y轴上， ∵关于直线的对称图形， ∴此时轴， ∴， ∴； 根据折叠可知：， ∵， ∴； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，折叠的性质，求两条直线的交点坐标，勾股定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，两点间距离公式，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，并注意进行分类讨论． 14．（1）见解析；（2）6；（3）或 【分析】（1）连接，根据，结合三角形面积公式和即可证明； （2）根据勾股定理可求出，再根据，，，结合（1）所得结论即得出； （3）根据函数解析式可求得，，，从而可得，即为等腰三角形．再根据上的一点M到的距离是，则可分类讨论：当点M在边上时，当点M在延长线上时，分别作出图形，求出结果即可． 【详解】（1）证明：连接，由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴在中，， 又∵，，， ∴结合（1）可知； （3）解：对于，令，得：；令，得：， ∴，． 对于，令，得：，则， ∵在中，，， ∴，即为等腰三角形． ∵上的一点M到的距离是，则点M在边上或在延长线上， 当点M在边上时，过点作于点G，作于点H，如图， 由（1）知：， 由题可知：，则， 将，代入，得：， 解得：， ∴； 当点M在延长线上时，过点作于点P，轴于点E，轴于点F，如图， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的纵坐标为， 把代入得，解得：， ∴； 综上分析可知，点M的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查等积法，勾股定理，一次函数的应用，三角形全等的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 15．(1) (2) (3)存在；或或 【分析】（1）由待定系数法求出直线的解析式，再联立方程组，可求点坐标； （2）由待定系数法求出直线的解析式，过点作轴交于，令梯形的面积为，则，即可求点坐标； （3）由待定系数法求出直线的解析式，设，分所求情况讨论：①当为平行四边形的对角线时，；②当为平行四边形的对角线时，；③当为平行四边形的对角线时，． 【详解】（1）设直线的解析式为 解得： 联立方程组 解得 （2）设的解析式为 解得： 为线段上一动点 轴 过点作轴交于 令梯形的面积为 或（舍） （3）存在以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下 点为关于轴的对称点，点为关于轴的对称点 设直线的解析式为 解得 设 ①当为平行四边形的对角线时 解得 ②当为平行四边形的对角线时 解得 ③当为平行四边形的对角线时 解得 综上所述：点坐标为或或 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． 16．(1)，，， (2)或 (3)或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、正方形的存在性问题等； （1）把分别代入与即可求出a，b的值，分别令与即可得到点A，C的坐标； （2）过作交于，则，再求出的面积，根据是的面积的2倍列方程求解即可； （3）过作于，过作于，当四边形是正方形时，可证得设，，根据全等求出坐标，再根据平移求出点N的坐标． 【详解】（1）把代入可得，解得， ∴， 令，解得， ∴， 把代入可得，解得， ∴， 令，解得， ∴； （2）过作交于， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的面积的2倍， ∴， ∴，解得或， ∴或； （3）根据题意设，， 当在第一象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得 ∴，， ∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 ∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； 当在第四象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得 ∴，， ∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到 ∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到； 当在第二象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得不合题意； 综上所述，或． 17．(1)见解析 (2) (3)是定值， 【分析】（1）如图1中，取的中点，连接．只要证明即可； （2）如图2中，作交作于，则，由四边形是正方形，可证，四边形是平行四边形，当点在边上时，点在上，，推出四边形不可能是菱形，推出点在点的右侧，如图3中，利用全等三角形的性质求出，可得当坐标，致力于待定系数法即可解决问题； （3）只要证明点到的距离为定值且等于平行线之间的距离即可． 【详解】（1）证明：如图1中，取的中点，连接．   为正方形的外角平分线， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2中，作交作于，由四边形是正方形，可证，    ∴， 由（1）可知， ∴， ∴四边形是平行四边形，当点在边上时，点在上，， ∴四边形不可能是菱形， ∴点在点的右侧， 如图3中，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有， 解得， ∴直线的解析式为． （3）解：如图4或5，连接．      ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵垂直平分， ∴点在直线上， ∵， ∴， ∴点到的距离为定值且等于平行线之间的距离， ∴点到的距离． 【点睛】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题． 18．(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求直线的解析式； （2）利用割补思想， 问题转化为的面积，分两种情况讨论，点Q在延长线上和点Q在延长线上； （3）利用分类讨论的思想，然后将正方形的存在性问题转化为构造“一线三等角”的全等，利用全等三角形的性质，得出对应边相等，建立等量关系． 【详解】（1）解：（1）当时，， ． 当时，，， ．     ， ， ． ， ， ． 设直线的解析式为， 则，解得：， ； （2）解：设 ， ∵， ∴，而 ①点Q在延长线上时，则， ∴，Q在x轴上方， 解得：， ∴， 解得：， ∴ ； ②点Q在延长线上时，则， ∴，Q在x轴下方， 解得：， ∴， 解得：， ∴ ， 综上所述，点Q的坐标为或． （3）存在，理由：设点，    ①当时， 如图，作于点，作于点． ． ∵正方形， ． ，， ， ， ． ， 解得或， 或． 当时，同理，， ∴，， ∴, ∴ 当时，同理可求 ②当时，如图过点作，作于点，作于点．    同理可证：， ，． 设 ，， 解得：或0或（舍） 或． 当时，同理：， ∴, ∴， 当，同理可求． 综上所述，点K的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，数形结合以及分类讨论是解决本题的关键． 19．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意，求出、，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）根据题意，分两种情况，作出图形，由平行线间的两个三角形同底等高得到，再由含的直角三角形性质及勾股定理求出相关线段长即可得到答案； （3）根据题意，作出图形，由三角形三边关系分析动点运动情况，得到当在同一直线，且时，取到最小值，最小值为，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ，即， ， ∴在中，，则，即， ∴设直线解析式为：， 将点代入上式得，解得， ； （2）解：如图，过点作的平行线交于点，过点作轴垂线，垂足为点， 由平行线的性质可知，当时，两个三角形边上的高， 在中，，则， ，由勾股定理可得， ， ， ， ， 在中，，则， ，则由勾股定理可得， ， ； 当点在第三象限时，如图所示： 同理可得，， ， ； 综上所述，或； （3）解：根据题意，点在上，连接，如图所示： 在中，， 当点为延长线上与交点时，达到最大，如图所示： 此时， 、， 设直线解析式为：， 将点代入上式得，解得， ； 点，则 当在同一直线，且时，取到最小值，最小值为，如图所示： 在中，，则 ． 【点睛】本题考查直线综合，涉及待定系数法确定函数表达式、含的直角三角形性质、勾股定理、三角形三边关系、动点最值问题-点到直线距离等知识，熟练掌握直线图象与性质、直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键． 20．(1)； (2)，； (3)①；②；③；④（或） 【分析】（1）根据三角形面积直接求出底边长即可得到答案； （2）求出的解析式，表示出点坐标，根据面积加减列式即可得到答案； （3）①证明，结合，，从而可得答案；②如图，过作，交的延长线于，过作于，证明，，可得，可得答案；③求解，，，可得，，可得答案，④由，可得直线为，求解，，再利用等面积法可得答案； 【详解】（1）解：∵，的面积等于， ∴， ∴， ∴点的坐标为：； （2）解：由题意可得， ，，， 设直线解析式为：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得：， 故答案为：，； （3）解：①∵由，的坐标可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ； ②如图，过作，交的延长线于，过作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ④∵，， ∴， 同理可得直线为， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， 解得：． 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