专题10 一次函数期末常考知识点的难点与压轴题（高效培优期末专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数核心考点，以7大题型系统覆盖图象性质、几何变换、实际应用及综合压轴，构建从基础到拔高的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数图象共存|6题|多函数图象符号判断|k、b符号与图象象限的关联推导| |函数值比较|7题|点坐标与函数单调性应用|一次函数增减性与坐标关系| |最值问题|6题|含参数范围与几何最值|函数性质与不等式结合求范围| |几何变换|7题|平移、对称及图形分割|函数图象变换规律与坐标计算| |实际应用|7题|行程、利润等建模问题|从实际情境抽象函数关系| |结论判断|12题|多结论辨析选择|函数性质与几何、代数综合推理| |压轴题|11题|面积与存在性探究|函数与几何图形综合应用|

专题10 一次函数期末常考知识点难点与压轴题 题型01 函数图象的共存问题 题型02 函数图象上的点（函数值的大小比较） 题型03 一次函数中的最值问题 题型04 一次函数的几何变换 题型05 一次函数的实际应用 题型06 多个结论的判断 题型07 一次函数中的压轴题（包含函数与几何中的面积问题，存在性问题） 题型01 函数图象的共存问题 1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝x+k（k≠0，k为常数）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：正比例函数和一次函数的图象分布逐项分析判断如下： 对于直线y＝x+k， ∵1＞0， ∴直线y＝x+k经过第一、三象限，可以排除选项BC； 当k＞0时， ∴直线y＝kx经过第一、三象限，直线y＝x+k与y轴的交点在原点上方，选项A不符合题意； 当k＜0时， ∴直线y＝kx经过第二、四象限，直线y＝x+k与y轴的交点在原点下方，选项D符合题意； 故选：D． 2．正比例函数y＝ax与一次函数y＝ax+2a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵一次函数为y＝ax+2a＝a（x+2）， ∴一次函数过点（﹣2，0）， ∵正比例函数y＝ax与一次函数y＝ax+2a， ∴两函数图象平行， 故选：B． 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝abx（a，b为常数，且ab≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数y＝ax+b图象可知a＜0，b＞0，则ab＜0；由正比例函数y＝abx的图象可知ab＜0，故此选项符合题意； B、由一次函数y＝ax+b图象可知a＜0，b＞0；即ab＜0，由正比例函数y＝abx的图象可知ab＞0，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数y＝ax+b图象可知a＞0，b＞0；即ab＞0，由正比例函数y＝abx的图象可知ab＜0，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数y＝ax+b图象可知a＞0，b＜0；即ab＜0，由正比例函数y＝abx的图象可知ab＞0，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．一次函数y1＝ax+b与y2＝bx﹣a的图象在同一坐标系中可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＞0，即a＜0，两结论矛盾，故不符合题意； B、由y1的图象可知，a＞0，b＜0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＞0，即a＜0，两结论矛盾，故不符合题意； C、由y1的图象可知，a＜0，b＜0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＜0，即a＞0，两结论相矛盾，故不符合题意； D、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，b＞0，﹣a＜0，即a＞0，两结论符合，故符合题意． 故选：D． 5．已知mn≠0，则一次函数y＝﹣2mx+n和y＝﹣2nx+m在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：①当m，n同正时， 一次函数y＝﹣2mx+n的图象经过第一、二、四象限，一次函数y＝﹣2nx+m的图象经过第一、二、四象限； ②当m，n同负时， 一次函数y＝﹣2mx+n的图象经过第一、三、四象限，一次函数y＝﹣2nx+m的图象经过第二、三、四象限； ③当m＞0，n＜0时， 一次函数y＝﹣2mx+n的图象经过第二、三、四象限，一次函数y＝﹣2nx+m的图象经过第一、二、三象限； ④当m＜0，n＞0时， 一次函数y＝﹣2mx+n的图象经过第一、二、三象限，一次函数y＝﹣2nx+m的图象经过第二、三、四象限； 故选项B符合题意． 故选：B． 6．直线y1＝mx+n2+1和y2＝﹣mx﹣n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵y1＝mx+n2+1，n2+1＞0，所以直线一定与y轴正半轴相交， ∴排除A和B； 对于C选项，可知m＜0， ∴﹣m＞0， ∴C选项可能成立； 对于D选项，可知m＞0， ∴﹣m＜0，另一条直线应该是下降的，故不符合题意． 故选：C． 题型02 函数图象上的点（函数值的大小比较） 7．已知点（﹣1，y1）、（4，y2）都在直线y＝﹣2x+b上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：由条件可知一次函数y随x的增大而减小 ∵﹣1＜4， ∴y1＞y2， 故选：C． 8．若点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在一次函数y＝（m2+1）x+b的图象上，则y1与y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法比较大小 【答案】A 【解答】解：∵k＝m2+1＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在一次函数y＝（m2+1）x+b的图象上，且﹣2＜1， ∴y1＜y2． 故选：A． 9．一次函数y＝ax+b（a＜0）图象过（2，0）点，点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数图象上，且x1＞x2，则下列判断正确的是（　　） A．若x2＞0，则y1＜0 B．若x2＞2，则y1＜0 C．若x2＜0，则y1＞0 D．若x2＜2，则y1＜0 【答案】B 【解答】解：∵a＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵点（x1，y1），（x2，y2），（2，0）在一次函数y＝ax+b的图象上，且x1＞x2＞2， ∴y1＜y2＜0， ∴若x2＞2，则y1＜0． 故选：B． 10．若点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2，则k的值可能是（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝3 【答案】A 【解答】解：∵点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2， 即y随x的增大而减小， ∴k﹣1＜0， ∴k＜1， ∴k的值可能是0． 故选：A． 11．若A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝ax﹣x+2图象上不同的两点，且（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则a的取值范围为（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1 【答案】D 【解答】解：∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0， ∴x1﹣x2与y1﹣y2异号， ∴当x1＞x2时，y1＜y2，当x1＜x2时，y1＞y2， ∵若A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝ax﹣x+2图象上不同的两点， ∴y随x增大而减小， ∵y＝ax﹣x+2＝（a﹣1）x+2， ∴a﹣1＜0， 解得a＜1， 故选：D． 12．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且y1＞y2＞y3，则以下判断正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 【答案】D 【解答】解：由﹣2＜0可知一次函数y随x增大而减小， ∴x1＜x2＜x3， 若x1x2＞0，x1＝1，x2＝2，x3＝3，此时满足x1x2＞0成立，但y1＝1，y3＝﹣3，则y1y3＜0；故A选项不符合题意； 对于C选项，取x1＝1，x2＝2，x3＝3，此时满足x2x3＞0，但y1＝1，y3＝﹣3，则y1y3＜0，故C选项不符合题意； 若x1x3＜0，则x1＜0且x3＞0， 计算y1＝﹣2x1+3， ∵x1＜0， ∴﹣2x1＞0， ∴y1＞3＞0， ∴y2可取正数，0，负数，即推不出y1y2＞0，故B选项不符合题意； 若x2x3＜0，则x2＜0且x3＞0（因x2＜x3）． ∴x1＜0， ∴y1＞3＞0， 计算y2＝﹣2x2+3， ∵x2＜0， ∴﹣2x2＞0， ∴y2＞3＞0， ∴y1y2＞0，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 13．在平面直角坐标系xOy中，四个点的坐标分别为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10）．若一次函数y＝kx+5的图象经过上述四个点中的三个点，则3m+n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解答】解：由题知， 因为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10）， 则A、B确定直线的k值为，B、C确定直线的k值为，C、D确定直线的k值为，A、C确定直线的k值为， 所以点A，C，D在一次函数y＝kx+5的图象上， 则k＝﹣3． 将点A坐标代入y＝﹣3x+5得， ﹣3（m﹣1）+5＝n+2， 整理得，3m+n＝6． 故选：D． 题型03 一次函数中的最值问题 14．已知过点（6，3）的直线y＝mx+n（m≠0）不经过第四象限．设S＝m+2n，则（　　） A．S有最大值，最大值为6 B．S有最小值，最小值为6 C．S有最大值，最大值为 D．S有最小值，最小值为 【答案】D 【解答】解：∵直线y＝mx+n（m≠0）不经过第四象限， ∴m＞0，n≥0， ∵点（6，3）在直线y＝mx+n（m≠0）上， ∴6m+n＝3， ∴， ∴， ∵， ∴S随n的增大而增大， ∵n≥0， ∴当n＝0时，有最小值为． 故选：D． 15．已知一次函数y＝﹣5x+2，当1≤x≤4时，y的最大值是（　　） A．2 B．7 C．﹣3 D．﹣18 【答案】C 【解答】解：由k＝﹣5＜0可知：当x＝1时，一次函数y＝﹣5x+2在1≤x≤4有最大值， 即y＝﹣3， 故选：C． 16．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），C（3，），点B在x轴上，且∠ABC＝45°．已知点P（x，y）在△ABC内部或边界上，且m＝﹣x﹣2y+4，n＝﹣2x+y+3．记m的最大值为mmax，n的最小值为nmin，则mmax+nmin＝（　　） A．﹣4 B．2﹣4 C．﹣2﹣8 D．4 【答案】A 【解答】解：过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵C（3，）， ∴OM＝3，CM． ∵∠ABC＝45°， ∴∠BCM＝∠ABC＝45°， ∴BM＝CM， ∴OB， ∴点B的坐标为（）． ∵m＝﹣x﹣2y+4， ∴y， 则当该直线经过点A时，m取得最大值， ∴， 解得m＝3， ∴mmax＝3． ∵n＝﹣2x+y+3， ∴y＝2x+n﹣3， 则当该直线经过点B时，n取得最小值， ∴， 解得n， ∴nmin， ∴mmax+nmin＝3． 故选：A． 17．已知一次函数y＝（k﹣1）x+2k﹣3，其中k为常数，且k≠1．当﹣3≤x≤2时，函数y的最小值为﹣6，则k的值为　6或　 ． 【答案】6或． 【解答】解：∵y＝（k﹣1）x+2k﹣3，当﹣3≤x≤2时，函数y的最小值为﹣6， ∴①当k﹣1＞0，即k＞1时，y随x的增大而增大， ∴当x＝﹣3时，y＝﹣6， ∴﹣3（k﹣1）+2k﹣3＝﹣6， ∴k＝6， ②当k﹣1＜0，即k＜1时，y随x的增大而减小， ∴当x＝2时，y＝﹣6， ∴2（k﹣1）+2k﹣3＝﹣6， ∴k， ∴k的值为6或． 故答案为：6或． 18．当3≤x≤5时，函数y＝ax﹣4a（a≠0，a为常数）有最大值8，则a的值为　±8　 ． 【答案】±8． 【解答】解：y＝ax﹣4a＝a（x﹣4），根据一次项系数a的正负，判断函数的增减性如下： 当a＞0时，函数y随x的增大而增大， ∴a（5﹣4）＝8， 解得a＝8， 当a＜0时，函数y随x的增大而减小， ∴a（3﹣4）＝8， 解得a＝﹣8， 故答案为：±8． 19．若x+y+z＝30，3x+y﹣z＝50，且x，y，z均为非负数，则M＝x+3y+2z的最大值为　70　 ． 【答案】70． 【解答】解：解方程组， 把y、z用含x的代数式表示出来，得：， ∵x，y，z均为非负数， ∴， 解得：10≤x≤20， 则M＝x+3（﹣2x+40）+2（x﹣10）， 即M＝﹣3x+100， ∵﹣3＜0， ∴M随着x的增大而减小， 又∵10≤x≤20， ∴当x＝10时，M有最大值，最大值是M＝﹣3x+100＝﹣3×10+100＝70， 故答案为：70． 题型04 一次函数的几何变换 20．一次函数y＝kx+2（k≠0，k为常数）的图象关于x轴对称后的图象经过点（﹣2，2），则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：由条件可知原函数图象上对应点的坐标为（﹣2，﹣2）， 将（﹣2，﹣2）代入y＝kx+2，得﹣2＝k×（﹣2）+2， 解得k＝2， 故选：B． 21．将一次函数y＝kx﹣2（k为常数，k≠0）的图象向上平移4个单位长度得到的一次函数图象经过点（﹣1，5），则k的值为（　　） A．7 B．﹣7 C．﹣3 D．3 【答案】C 【解答】解：由平移的规律可知，平移后的函数解析式为y＝kx﹣2+4，即y＝kx+2， ∵y＝kx+2过点（﹣1，5）， ∴5＝﹣k+2， ∴k＝﹣3． 故选：C． 22．已知一次函数y1＝kx+b的图象过点P（2，3），并且是由一次函数的图象平移得到的．当y1＞0时x的取值范围是（　　） A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x＞2 D．x＞﹣3 【答案】A 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b是由平移得到的， ∴， 又∵一次函数y1＝kx+b的图象过点P（2，3）， ∴的图象过点P（2，3）， ∴即3＝1+b， 解得b＝2， ∴， 当y1＞0时，， 解得x＞﹣4． 故选：A． 23．如图，将直线y＝4x+3向右平移个单位后得到直线l1，直线l1与直线l2：y＝﹣x+3交于点A，直线l1，l2分别交x轴于点B，C，则△ABC的面积为（　　） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【解答】解：∵将直线y＝4x+3向右平移个单位后得到直线l1， ∴直线l1的解析式为y＝4（x）+3，即y＝4x﹣2． 联立直线l1，l2的解析式组成方程组：， 解得：， ∴点A的坐标为（1，2）； 当y＝0时，4x﹣2＝0， 解得：x， ∴点B的坐标为（，0）； 当y＝0时，﹣x+3＝0， 解得：x＝3， ∴点C的坐标为（3，0）， ∴BC＝3， ∴S△ABC•BC•|yA|2． 故选：A． 24．将正比例函数y＝﹣2x的图象向上平移3个单位长度得到一次函数y＝﹣2x+b的图象，下列结论中错误的是（　　） A．b＝3 B．一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点（1，1） C．对于一次函数y＝﹣2x+b，当x＞0时，y＜3 D．若点A（﹣2，y1），B（3，y2）均在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，则y1＜y2 【答案】D 【解答】解：由题知， 将正比例函数y＝﹣2x的图象向上平移3个单位长度后， 所得到一次函数的解析式为y＝﹣2x+3， 所以b＝3， 故A选项不符合题意； 将x＝1代入y＝﹣2x+3得， y＝1， 所以一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点（1，1）， 故B选项不符合题意； 因为一次函数解析式为y＝﹣2x+3， 所以y随x的增大而减小． 当x＝0时，y＝3， 所以当x＞0时，y＜3， 故C选项不符合题意； 因为一次函数解析式为y＝﹣2x+3， 所以y随x的增大而减小． 因为点A（﹣2，y1），B（3，y2）均在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且﹣2＜3， 所以y1＞y2． 故D选项符合题意． 故选：D． 25．已知一次函数y1＝2x+m与y2＝kx+10的图象关于x轴对称，过点P（t，0）作x轴的垂线，分别交y1，y2于点M，N．当2≤t≤9时，则MN的最大值为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【解答】解：由y1与y2关于x轴对称，得y2＝﹣y1， ∴kx+10＝﹣（2x+m）， 解得k＝﹣2，m＝﹣10， ∴y1＝2x﹣10，y2＝﹣2x+10， 点M（t，2t﹣10），N（T，﹣2t+10）， 则MN＝|（2t﹣10）﹣（﹣2t+10）|＝|4t﹣20|， 当2≤t≤5时，MN＝20﹣4t，随t增大而减小； 当5≤t≤9时，MN＝4t﹣20，随t增大而增大． 当t＝2时，MN＝|4×2﹣20|＝12， 当t＝9时，MN＝|4×9﹣20|＝16． ∴MN的对大值为16． 故选：C． 26．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B（6，2），C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（　　）秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分． A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒 【答案】D 【解答】解：连接AC，BO，交于点D，当y＝2x+1经过点D时，该直线可将平行四边形OABC的面积平分， 由条件可知BD＝OD， ∵B（6，2）， ∴D（3，1）， 设直线DE的解析式为y＝kx+b， ∵直线DE平行于y＝2x+1， ∴k＝2， ∴y＝2x+b， 将点D（3，1）代入y＝2x+b， 解得b＝﹣5， ∴y＝2x﹣5， ∴直线y＝2x+1要向下平移1﹣（﹣5）＝6个单位， ∴时间为6÷1＝6秒， 故选：D． 题型05 一次函数的实际应用 27．周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家1小时20分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程y（km）与小华离家时间x（h）的函数图象．已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3倍，若爸爸比小华早10分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是（　　） A．小华的速度是20km/h B．爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的函数表达式：y＝60x﹣80 C．爸爸在出发25分钟后与小华相遇 D．小华家到植物园的距离是28km 【答案】D 【解答】解：如图， A：小华0.5h走了10km， ∴小华的速度为10÷0.5＝20km/h，不合题意； B：爸爸开车的速度是3×20＝60km/h， 爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的关系为：，不合题意； C：x≥1时，小华离家的路程y与小华离家的时间x之间的关系为：y＝10+20（x﹣1）＝20x﹣10， 由图可知爸爸和小华在点F处相遇， 当20x﹣10＝60x﹣80时， 解得， ， ∴爸爸在出发25分钟后与小华相遇，不合题意； D：设家到植物园的路程为s，则， 解得s＝30km，符合题意． 故选：D． 28．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．乙用6分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米 【答案】C 【解答】解：由图知，10﹣4＝6（分）， ∴乙用6分钟追上甲， ∴A正确，不符合题意； 甲的速度为240÷4＝60（米/分）， 乙追上甲时，二人离终点的距离为3000﹣60×10＝2400（米）， ∴乙追上甲后，再走2400米才到达， ∴B正确，不符合题意； 乙的速度为60×10÷（10﹣4）＝100（米/分）， 乙到达终点所用的时间为3000÷100＝30（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为60×（30+4）＝2040（米）， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为3000﹣2040＝960（米）， ∴D正确，不符合题意； ∵当乙到达终点时甲走的路程为2040米， ∴甲还需要（3000﹣2040）÷60＝16（分）到达终点， ∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了16分钟， ∴C错误，符合题意， 故选：C． 29．哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟60m，哥哥骑自行车每分钟行驶160m，如图是两人之间的距离y（m），与弟弟步行时间x（min）之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有12分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以100米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（　　） A．A点表示哥哥已经到达学校 B．哥哥与弟弟相距的最大距离是500米 C．他们家与学校之间的距离为800米 D．BC的函数表达式为y＝﹣100x+1000 【答案】D 【解答】解：∵哥哥的速度始终大于弟弟的速度， ∴在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小， ∴A点表示哥哥已经到达学校， ∴A正确，不符合题意； 哥哥与弟弟相距的最大距离是（160﹣60）×5＝500（米）， ∴B正确，不符合题意； 他们家与学校之间的距离为160×5＝800（米）， ∴C正确，不符合题意； 设坐标B（t，a）， 根据题意，得， 解得， 设BC的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 将坐标B（10，200）和C（12，0）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴BC的函数表达式为y＝﹣100x+1200， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 30．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）3550． 【解答】解：（1）设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件， 根据题意得：， 解得． 答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件． （2）设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料（100﹣m）件，根据题意得： W＝（100﹣60）m+（70﹣40）（100﹣m） ＝10m+3000 ∵10＞0， ∴W随m的增大而增大， ∵m≤55， ∴当m＝55时，W有最大值10×55+3000＝3550， 此时10﹣m＝10﹣55＝45（件）． 答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元． 31．近年来，人形机器人技术在工业与生活服务领域快速发展，其产品主要分为工业制造型与生活服务型两类．某公司准备采购工业制造型和生活服务型两类机器人．已知购进20台工业制造型机器人和60台生活服务型机器人需支付总费用4800万元；购进30台工业制造型机器人和40台生活服务型机器人需支付总费用4400万元． （1）每台工业制造型、生活服务型机器人的单价为多少万元？ （2）该公司计划购进这两类机器人共200台，且生活服务型机器人进货数量不低于工业制造型机器人的3倍．根据市场定价，工业制造型机器人按进价的倍销售，生活服务型机器人按25%的利润率销售，且两种机器人最后全部售完．设销售总利润为W万元，应如何安排进货数量，才能使W最大？最大利润为多少万元？ 【答案】（1）每台工业制造型机器人单价为72万元，每台生活服务型机器人单价为56万元； （2）购进工业制造型机器人50台，生活服务型机器人150台时，总利润最大，最大利润为3300万元． 【解答】解：（1）由题意，设每台工业制造型机器人单价为x万元，每台生活服务型机器人单价为y万元， ∴， ∴． 答：每台工业制造型机器人单价为72万元，每台生活服务型机器人单价为56万元； （2）由题意，设购进工业制造型机器人m台，则购进生活服务型机器人（200﹣m） 台， ∵生活服务型机器人进货数量不低于工业制造型机器人的3倍， ∴200﹣m≥3m． ∴m≤50． ∵台数非负， ∴0≤m≤50，且m为整数． ∵售价为进价的倍， ∴7272＝24（万元）． ∴W＝24m+14（200﹣m）＝10m+2800，即W＝10m+2800是一次函数， ∵10＞0， ∴W随m的增大而增大． ∴当m取最大值50时，W最大，最大利润：W＝10×50+2800＝3300（万元）． 答：购进工业制造型机器人50台，生活服务型机器人150台时，总利润最大，最大利润为3300万元． 32．【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 15 40 增加的电量y（%） 0 20 30 80 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式． 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1）y＝2t，es+100； （2）25分钟． 【解答】解：（1）设y关于t的函数表达式为y＝k1t（k1为常数，且k1≠0）， 将t＝10，y＝20代入y＝k1t， 得10k1＝20， 解得k1＝2， ∴y关于t的函数表达式为y＝2t． 设e关于s的函数表达式为e＝k2s+b（k2、b为常数，且k2≠0）， 将s＝160，e＝60和s＝200，e＝50分别代入e＝k2s+b， 得， 解得， ∴e关于s的函数表达式为es+100． （2）当s＝300时，e300+100＝25， ∴行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为25， 充电t分钟后，增加的电量为y＝2t， ∴充电t分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为（25+2t）， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为（560﹣300）+100＝35， ∴行驶完剩余的路程消耗的电量为100﹣35＝65， ∴25+2t﹣10＝65， ∴t＝25． 答：电动汽车在服务区充电25分钟． 33．在河道A，B两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从A码头匀速行驶到B码头，同时货轮从B码头出发，运送一批物资匀速行驶到A码头，两船距B码头的距离y（km）与行驶时间x（min）之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题： （1）A，B两个码头之间的距离是 　80　 km； （2）已知货轮距B码头的距离与行驶时间的图象表达式为，求客轮距B码头的距离y2（km）与时间x（min）之间的函数表达式； （3）求出点P的坐标，并指出点P的横坐标与纵坐标所表示的实际意义． 【答案】（1）80； （2）客轮距B码头的距离y2（km）与时间x（min）之间的函数表达式为y2＝﹣2x+80； （3）点P的坐标为（32，16），它的实际意义是：两船同时出发经32分钟相遇，此时距B码头16千米． 【解答】解：（1）根据图象得可知： A、B两个码头之间的距离是80千米， 故答案为：80； （2）设y2＝kx+b（k≠0）， 把（0，80），（40，0）代入得： ， 解得， ∴客轮距B码头的距离y2（km）与时间x（min）之间的函数表达式为y2＝﹣2x+80； （3）联立方程组得：， 解得， ∴点P的坐标为（32，16）， 它的实际意义是：两船同时出发经32分钟相遇，此时距B码头16千米． 34．实验室有两个小型水箱，初始状态下，甲水箱为空，乙水箱已有20升水．实验开始后，甲水箱开启注水模式，以a升/秒的速度匀速注水；同时乙水箱开启放水模式，匀速向外排水．8秒时，甲、乙水箱分别达到实验预设的水量阈值，暂停注水和放水操作，保持水量稳定；24秒时，乙水箱切换为注水模式，以升/秒的速度匀速向水箱内注水；30秒时，甲、乙两个水箱的水量恰好相同，均为b升．之后，甲、乙水箱同时开启排水模式，以相同的速度匀速排水，直至水箱排空．甲、乙水箱的水量y（单位：升）与实验时间x（单位：秒）间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题． （1）a＝　3　 ，b＝　24　 ； （2）求线段MN所在直线的函数表达式； （3）甲、乙两个水箱在实验进行到多少秒时，它们的水量差为2升？ 【答案】（1）3，24； （2）线段MN所在直线的函数表达式为y20； （3）甲、乙两个水箱在实验进行到秒或秒或28.5秒时，它们的水量差为2升． 【解答】解：（1）根据题意得：b（30﹣24）+16＝24； a3， 故答案为：3，24； （2）线段MN所在直线的函数表达式为y＝kx+m， 把M（0，20），N（8，16）代入解析式得： ， 解得， ∴线段MN所在直线的函数表达式为y20； （3）当0≤x≤8时，|x+20﹣3x|＝2， 解得x或x； 当24＜x＜30时，24﹣[16（x﹣24）]＝2， 解得x＝28.5， 综上所述，当x或或28.5时，甲、乙两个水箱的水量差为2升， 即甲、乙两个水箱在实验进行到秒或秒或28.5秒时，它们的水量差为2升． 题型06 多个结论的判断 35．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数y＝k1x+b1的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②方程k1x+b1＝k2x+b2的解为x＝2；③k1＞k2；④b1＞b2．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【解答】解：根据图示，一次函数y＝k1x+b1的图象经过第一、二、三象限， ∴k1＜0，b1＞0， ∴一次函数y＝k1x+b1的图象中，y的值随着x值的增大而减小，故①正确，符合题意； ∵两直线交点坐标为（2，1）， ∴方程k1x+b1＝k2x+b2的解为x＝2，故②正确，符合题意； 一次函数y＝k2x+b2的图象经过第一、三、四象限， ∴k2＞0，b2＜0， ∴k1〈k2，b1〉b2，故③错误，不符合题意；④正确，符合题意； 故选：B． 36．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限； ③； ④d＜a+b+c． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：由图象可得：对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①正确； 由于a＜0，d＜0，所以函数y＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，故②正确； ∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3， ∴3a+b＝3c+d ∴3a﹣3c＝d﹣b， ∴a﹣c（d﹣b），故③正确； 当x＝1时，y1＝a+b， 当x＝﹣1时，y2＝﹣c+d， 由图象可知y1＞y2， ∴a+b＞﹣c+d ∴d＜a+b+c，故④正确； 故选：D． 37．在平面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标是（a，a﹣4），另一点A的坐标为（3，0），则以下结论： ①点P在直线y＝x﹣4上； ②若设△OPA的面积为S，当时，； ③OP2的最小值为8； ④若点P在第四象限，过P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，长方形OEPF的周长始终为8． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：由题知， 因为点P坐标为（a，a﹣4）， 则点P在直线y＝x﹣4上， 所以①正确； 当a时，点P坐标为（）． 因为点A坐标为（3，0）， 所以S， 所以②正确； 如图所示， 当OP垂直于直线y＝x﹣4时，OP取得最小值． 因为M（0，﹣4），N（4，0）， 所以MN， 所以OP， 所以OP2的最小值为（）2＝8， 所以③正确； 当点P在第四象限时， 点P到x轴的距离可表示为﹣a+4，点P到y轴的距离可表示为a， 则长方形OEPF的周长为2（﹣a+4+a）＝8， 所以④正确． 故选：D． 38．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示．小辰根据图象得到如下结论： ①一次函数y＝mx+n，y的值随着x值的增大而增大； ②当x＝0时，ax+b＝﹣1； ③方程组的解为； ④方程mx+n＝0的解为x＝2． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵由图象可知一一次函数y＝mx+n，y的值随着x值的增大而减小； 故①错误； ∵由图象可知：一次函数y＝ax+b与y轴的交点为（0，﹣2）， ∴当x＝0时，ax+b＝﹣2， 故②错误； ∵由图象可知：一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象相交点（﹣3，2）， ∴方程组的解为， 故③正确； ∵由图象可知：一次函数y＝mx+n（a＜m＜0）与x轴的交点为（2，0）， ∴方程mx+n＝0的解为x＝2， 故④正确； ∴正确的有2个； 故选：B． 39．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①ab＜0；②若M（x1，y1），N（x2，y2）是直线y1＝ax+b上不重合的两点，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；③3a+b＝3c+d；④a+b＞c+d；⑤当m＞3时，am+b＞cm+d中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：①由图象得：a＜0，b＞0， ∴ab＜0， 故①正确； ②由条件可知y1＝ax2+b，y2＝ax2+b， x1≠x2， ∴y1﹣y2＝ax1+b﹣（ax2+b） ＝ax1﹣ax2 ＝a（x1﹣x2）， ∴（x1﹣x2）（y1﹣y2） ＝a， ∵a＜0， ∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0， 故②不正确； ③当x＝3时， y1＝3a+b， y2＝3c+d， 由图象得：当x＝3时，y1＝y2， ∴3a+b＝3c+d， 故③正确； ④当x＝1时， y1＝a+b， y2＝c+d， 由图象得：当x＝1时，y1＞y2， ∴a+b＞c+d， 故④正确； ⑤当x＝m时， y1＝am+b， y2＝cm+d， 由图象得：当m＞3时，y1＜y2， ∴am+b＜cm+d， 故⑤错误； 故正确有①③④共3个． 故选：C． 40．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，正确的个数为（　　） ①乙的速度为5米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米； ③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89； ④乙到达终点时，甲距离终点还有68米． A．①③ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【解答】解：①∵乙用80秒跑完400米， ∴乙的速度为米/秒； 故①正确； ②∵乙出发时，甲先走12米，用3秒钟， ∴甲的速度为米/秒， ∴乙追上甲所用时间为t秒， 5t﹣4t＝12， ∴t＝12秒， ∴12×5＝60米， ∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米； 故②不正确； ③甲乙两人之间的距离超过32米设时间为t秒， ∴5（t﹣12）﹣4（t﹣12）≥32， ∴t≥44， 当乙到达终点停止运动后， 4t+12＜400﹣32， ∴t＜89， 甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89； 故③正确； ④乙到达终点时， 甲距终点距离为：400﹣4×（3+80）＝400﹣332＝68米， 即甲距离终点还有68米． 故④正确； 正确的个数为①③④． 故选：B． 41．A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发1h；②甲行驶的速度为40km/h；③3h时，甲、乙两人相距45km；④0.75h或1.15h时，乙比甲多行驶10km．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：根据（1，0）可得，时间过了1h甲的路程为0km，即乙比甲提前出发1h， 故①正确； 甲（3﹣1）＝2h个小时行驶了80km， 故甲的速度为， 故②正确； 设甲的解析式为S＝kt+b， 根据题意，得， 解得， 所以S＝40t﹣40， 设乙的解析式为S＝pt， 根据题意，得， 解得， 故乙的解析式为， 当t＝3时，S甲＝40t﹣40＝80，， 故S甲﹣S乙＝40， 3h时，甲、乙两人相距40km， 故③错误； 当甲运动前，乙比甲多行驶10km时，根据题意，得， 解得t＝0.75h； 当甲运动后，乙比甲多行驶10km时，根据题意，得， 解得t＝1.125h； 故0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km． 故④错误， 故选：B． 42．A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论：①乙比甲提前出发1h；②甲行驶的速度为40km/h；③当t＝3时，甲、乙两人相距50km；④在0≤t≤3内，当甲、乙两人相距10km时，乙行驶了或．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：根据（1，0）可得，时间过了1h甲的路程为0km， 即乙比甲提前出发山h， 故①正确，符合题意； 根据图象知甲2h个小时行驶了80km， 则甲的速度为， 故②正确，符合题意； 设甲的解析式为s甲＝kt+b，代入（1，0）、（3，80）， 得， 解得， 则s甲＝40t﹣40， 设乙的解析式为s乙＝pt，代入（1.5，20）， 得， 解得， 则s乙t， 当t＝3时，s甲＝80，s乙t＝40， 则s甲﹣s乙＝40， 则3h时，甲、乙两人相距40km， 故③错误，不符合题意； 当甲运动前，乙比甲多行驶10km时， 根据题意得10t， 解得th； 当甲运动后，乙比甲多行驶10km时， 根据题意得t＝40t﹣40+10， 解得th； 当甲运动后，甲比乙多行驶10km时， 根据题意得t＝40t﹣40﹣10， 解得th； 综上，h或h或h时，甲、乙两人相距10km， 故④错误，不符合题意； 故正确的个数为2个， 故选：B． 43．泗洪稻田湿地马拉松赛事的成功举办掀起了跑马拉松的热潮，如图是甲、乙两位马拉松爱好者在一次10公里的训练中两人分别跑的路程y（公里）与时间x（分钟）的函数关系图象，他们同时出发，乙在75分钟的时候到达终点，并在终点等候甲，在甲跑完过程中，①甲前半程的速度是公里/分；②乙在冲刺阶段的速度公里/分；③在前半程乙一直领先于甲；④甲与乙刚好相距0.1公里的次数是4次．以上说法正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：甲前半程的速度是5÷30（公里/分）， ∴①正确，符合题意； 乙在冲刺阶段的速度是（10﹣9）÷（75﹣70）（公里/分）， ∴②正确，符合题意； 在前半程甲一直领先于乙， ∴③不正确，不符合题意； 当0≤x≤30时，y甲x； 当30＜x≤100时，甲的速度为（10﹣5）÷（100﹣30）（公里/分）， ∴当30＜x≤100时，y甲＝5（x﹣30）x； 综上，y甲． 当0≤x≤70时，乙的速度为9÷70（公里/分）， ∴当0≤x≤70时，y乙x； 当70＜x≤75时，y乙＝9（x﹣70）x﹣5； 综上，y乙． 当0≤x≤30时，当甲和乙相距0.1公里时，得xx＝0.1， 解得x； 当30＜x≤70时，当甲和乙相距0.1公里时，得|xx|＝0.1， 解得x或； 当70＜x≤75时，当甲和乙相距0.1公里时，得x﹣5﹣（x）＝0.1， 解得x（舍去）； 当75＜x≤100时，当甲和乙相距0.1公里时，得10﹣（x）＝0.1， 解得x． ∴甲与乙刚好相距0.1公里的次数是4次，分别在分或分或分或分， ∴④正确，符合题意． 综上，说法正确有4个，分别是①②④． 故选：C． 44．如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论： ①AB＝10； ②∠OBC＝∠DBC； ③直线BC的解析式为y＝﹣2x+6； ④点D的坐标为． 正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：∵直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B， ∴点A（8，0），点B（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6， ∴AB10，故①正确； ∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处， ∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，∠OBC＝∠DBC，故②正确； ∴AD＝AB﹣BD＝4， ∵AC2＝AD2+CD2， ∴（8﹣OC）2＝16+OC2， ∴OC＝3， ∴点C（3，0）， 设直线BC解析式为：y＝kx+6， ∴0＝3k+6， ∴k＝﹣2， ∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故③正确； 如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵CD＝OC＝3， ∴CA＝5， ∵S△ACDAC×DHCD×AD， ∴DH， ∴当y时，x+6， ∴x， ∴点D（，），故④正确； 故选：D． 45．我们约定：当x1，y1，x2，y2满足，且x1+y1≠0时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，判断下列说法正确的序号是　①②③　 ． ①点（x1，y1）与点（﹣y1，﹣x1）且x1≠﹣y1是一对“对偶点”； ②函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”； ③函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”； ④函数y＝x2的图象上至少存在两对“对偶点”． 【答案】①②③． 【解答】解：根据新定义及一次函数性质逐项分析判断如下： 对于①：由定义，得x1+y2＝0且x2+y1＝0，因此y2＝﹣x1，x2＝﹣y1，即点（x1，y1）与点（﹣y1，﹣x1）满足“对偶点”条件；当x1≠﹣y1时，x1+y1≠0，故①正确，符合题意； 对于②：设函数上一点为，则“对偶点”为，代入验证满足x1+y2＝a+（﹣a）＝0且，且当时成立，由于k为非零常数，存在无数个a满足条件，故②正确，符合题意； 对于③：设函数y＝﹣2x+1上两点（x1，﹣2x1+1）和（x2，﹣2x2+1），由“对偶点”条件得方程组x1﹣2x2+1＝0和x2﹣2x1+1＝0，解得x1＝1，x2＝1，对应点（1，﹣1），但x1+y1＝0，不满足条件，故无对偶点，③正确，符合题意； 对于④：设函数y＝x2上两点和，由“对偶点”条件得和，解得x1＝0或x1＝﹣1；若x1＝0，则x2＝0，点（0，0）不满足x1+y1≠0；若x1＝﹣1，则x2＝﹣1，点（﹣1，1）不满足x1+y1≠0，故无对偶点，④错误，不符合题意； 故答案为：①②③． 46．①一次函数y＝2x﹣3与y＝﹣2x﹣3的图象关于x轴对称； ②坐标分别为（1，1）、（2，0）、（6，﹣4）的三点在同一直线上； ③一次函数y＝ax﹣a+1中a＜0，若﹣1≤x≤2时该函数值最大为2，则； ④点A（x1，y1）、B（x2，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，若，则k＞0． 以上4个结论中，正确的是　②③　 （填序号）． 【答案】②③． 【解答】解：①联立， 解得：，即一次函数y＝2x﹣3与y＝﹣2x﹣3的交点在y轴上， ∴一次函数y＝2x﹣3与y＝﹣2x﹣3的图象与x轴对称没有公共交点， ∴一次函数y＝2x﹣3与y＝﹣2x﹣3的图象不关于x轴对称，故①错误； ②设过点（1，1）、（2，0）的直线的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得：， ∴过点（1，1）、（2，0）的直线的解析式为y＝﹣x+2， 将（6，﹣4）代入y＝﹣x+2，则﹣4＝﹣1×6+2 ∴坐标分别为（1，1）、（2，0）、（6，﹣4）的三点在同一直线上，故②正确； ③∵一次函数y＝ax﹣a+1中a＜0， ∴一次函数y＝ax﹣a+1中，y随x的增大而减小， 当x＝﹣1时，ymax＝﹣a﹣a+1＝1﹣2a， 当x＝2时，ymin＝2a﹣a+1＝a+1， ∵﹣1≤x≤2时该函数值最大为2，则1﹣2a＝2， ∴，故③正确； ④∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上， 即y1＝kx1+b，y2＝kx2+b， ∵，即， ∴k＜0，故④错误； 故答案为：②③． 题型07 一次函数中的压轴题（包含函数与几何中的面积问题，存在性问题） 47．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象如图所示，点A1，A2，A3⋯在x轴上，点B1，B2，B3⋯在函数图象上，若分别以OB1，A1B2，A2B3⋯为边构建正方形，则A9的坐标为（　　） A．（514，0） B．（510，0） C．（1026，0） D．（1022，0） 【答案】D 【解答】解：由直线l：y＝x+2得B1（0，2）， ∵分别以OB1，A1B2，A2B3⋯为边构建正方形， ∴OB1＝OA1＝2， ∴A1的横坐标为2，2＝22﹣2， 当x＝2时，y＝2+2＝4， ∴B2（2，4）， ∴A1A2＝A1B2＝4， ∴A2的横坐标为4+2＝6，6＝23﹣2， 当x＝6时，y＝6+2＝8， ∴B3（6，8）， ∴A2A3＝A2B3＝8， ∴A3的横坐标为8+4+2＝14，14＝24﹣2， ⋯， ∴An的横坐标为2n+1﹣2， ∴A9的横坐标为29+1﹣2＝1022， ∴A9的坐标为（1022，0）， 故选：D． 48．如图，点A（﹣2，3），点B（3，4），点C（1，﹣1），直线l：y＝kx+4k交x轴于P点，若直线l和△ABC的边有公共点，则k的取值范围为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解答】解：∵y＝kx+4k＝k（x+4）， ∴直线y＝kx+4k一定经过点P（﹣4，0）， 由图可知，直线l绕定点P旋转时，与△ABC边相交的临界位置是过A、C， 当直线经过点A（﹣2，3）时，3＝﹣2k+4k，解得k； 当直线经过点C（1，﹣1）时，﹣1＝k+4k，解得k； 由图可知，当直线l和△ABC的边有公共点时k的取值范围为：k， 故选：C． 49．如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点B（﹣7，5）在直线l：y＝kx﹣2上，直线l分别交x轴，y轴于点E，F，将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上，则m的值为　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：由条件可知5＝﹣7k﹣2， 解得k＝﹣1， ∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣2； 如图，过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥y于点N，则OM＝7，BM＝5． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝90°， ∴∠OAD+∠BAM＝90°， 又∵∠OAD+∠ADO＝90°， ∴∠BAM＝∠ADO， 在△AOD和△BMA中， ， ∴△AOD≌△BMA（AAS）， ∴OA＝BM＝5，OD＝AM， ∴AM＝OM﹣OA＝7﹣5＝2，则OD＝2， 同理，证明△AOD≌△DNC（AAS）， ∴OD＝NC＝2，AO＝DN＝5， ∴NO＝7， ∴点C的坐标为（﹣2，7）． 将正方形沿y轴向下平移m个单位后，点C的对应点坐标为（﹣2，7﹣m）， ∴7﹣m＝﹣（﹣2）﹣2， 解得m＝7； 故答案为：7． 50．如图，已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y的一次函数称为“勾股一次函数”，若点P（1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是5，则c的值是 　5　 ． 【答案】5 【解答】解：∵点P（1，）在“勾股一次函数”y的图象上， ∴，即a+b， 又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是5， ∴ab＝5，即ab＝10， 又∵a2+b2＝c2， ∴（a+b）2﹣2ab＝c2， 即∴（）2﹣2×10＝c2， 解得c＝5， 故答案为：5． 51．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣x的图象的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“近点”．例如求y＝﹣2x﹣3的“近点”，联立，得方程组，解得，则y＝﹣2x﹣3的“近点”为（﹣3，3）． （1）由定义可知，一次函数y＝2x﹣3的“近点”为　（1，﹣1）　 ； （2）一次函数y＝px+q的“近点”为（2，q﹣1），求p，q的值； （3）已知直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝kx+3上没有“近点”，若P点为直线y＝﹣kx+3上一点，且点P在第一象限，若求点P的坐标． 【答案】（1）（1，﹣1）； （2），q＝﹣1； （3）P（1，4）． 【解答】解：（1）由定义可知联立， 解得， 故一次函数y＝2x﹣3的“近点”为（1，﹣1）； 故答案为：（1，﹣1）； （2）根据定义可得，点（2，q﹣1）在y＝﹣x上， ∴q﹣1＝﹣2， 解得q＝﹣1， ∴q﹣1＝2p+q， ∴， （3）∵直线y＝kx+3上没有“近点”， ∴直线y＝kx+3与y＝﹣x平行， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x+3， 令x＝0，则y＝3， 令y＝0，则x＝3， ∴A（3，0），B（0，3）， ∴OA＝3，OB＝3， ∴， ∴， 依题意，P点为直线y＝x+3上一点， 如图，设直线 y＝x+3与 x轴交于 C（﹣3，0），则AC＝6， 由条件可知S△ABP＝S△APC﹣S△ABC， ∵， ∴S△APC＝12， ∵， ∴点P的纵坐标为4， ∵P点为直线y＝x+3上一点， 将y＝4代入y＝x+3得4＝x+3， 解得x＝1， ∴P（1，4）． 52．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1：与x轴交于点A；直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点B（0，4），与直线l1交于点． （1）点A的坐标为　（﹣4，0）　 ； （2）求直线l2的表达式； （3）直线BC上是否存在动点P，使得△PAD的面积等于△ACD面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（﹣4，0）； （2）y＝﹣x+4； （3）或． 【解答】解：（1）令y＝0，则， 解得x＝﹣4， ∴点A的坐标为（﹣4，0）． 故答案为：（﹣4，0）． （2）设直线l2的表达式为y＝kx+b， 由题意可得： ， 解得， ∴直线l2的表达式为y＝﹣x+4； （3）设点P（x，﹣x+4）， 当点P在射线DB上时，即点P1在处， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴； 当点P在射线DC上时，即点P2在处， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，存在动点P，使得△PAD的面积等于△ACD面积的倍，点P的坐标为或． 53．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（0，2），B（﹣3，4）． （1）求这个一次函数表达式； （2）过点C（0，c）作与x轴平行的直线，与一次函数y＝kx+b的图象交于点D． ①当线段CD≥2时，求c的取值范围； ②若c＝﹣2，点F是BD上一点，直线CF恰好平分△BCD的面积，求直线CF的函数表达式． 【答案】（1）yx+2； （2）①c或c.②直线CF的函数解析式为y＝2x﹣2． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（0，2），B（﹣3，4）， ∴，解得， ∴这个一次函数表达式为yx+2； （2）过点C（0，c）作与x轴平行的直线，与一次函数y＝kx+b的图象交于点D， 把y＝c代入yx+2得，cx+2， ∴x＝3c， ①当线段CD≥2时，则|3c|≥2， 解得c或c． ②c＝﹣2时，把y＝﹣2代入yx+2得，x+2＝﹣2， 解得x＝6， ∴D（6，﹣2）， ∵点F是BD上一点，直线CF恰好平分△BCD的面积， ∴F是BD的中点， ∴F（，1）， 设直线CF的函数解析式为y＝ax﹣2， 代入F的坐标得，1a﹣2，解得a＝2， ∴直线CF的函数解析式为y＝2x﹣2． 54．在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比它的横坐标大1，则称该点为“优加点”． （1）点A（2，2），B（﹣4，﹣5），这三个点中，是优加点的是　点C ； （2）已知点P（m﹣2，m2+m），是否存在这样的实数m，使得点P是“优加点”，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由； （3）如图，已知直线y＝﹣x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，在△AOB的内部（不包含边界）存在“优加点”，请求出满足条件的“优加点”横坐标的取值范围． 【答案】（1）点C； （2）不存在，理由如下： ∵若点P（m﹣2，m2+m）是“优加点”， ∴m﹣2+1＝m2+m， 整理得：m2＝﹣1， ∵m2≥0与m2＝﹣1相矛盾， ∴不存在实数m使得点P（m﹣2，m2+m）是“优加点”； （3）0＜t＜2． 【解答】解：（1）设点的坐标为（x，y），根据题意可知“优加点”在直线y＝x+1上， 当x＝2时，y＝2+1＝3≠2，即A（2，2）不是优加点，故不符合题意； 当x＝﹣4时，y＝﹣4+1＝﹣3≠﹣5，即B（﹣4，﹣5）不是优加点，故不符合题意； 当时，，即是优加点，故符合题意； 故答案为：点C． （2）∵若点P（m﹣2，m2+m）是“优加点”， ∴m﹣2+1＝m2+m， 整理得：m2＝﹣1， ∵m2≥0与m2＝﹣1相矛盾， ∴不存在实数m使得点P（m﹣2，m2+m）是“优加点”； （3）设点的坐标为（x，y）， 由条件可知“优加点”在直线y＝x+1上， 设直线y＝x+1与y轴交于点C，与直线y＝﹣x+5交于点D， ∴令y＝x+1中的x＝0，则y＝1，则点C（0，1）， ∵将y＝x+1和y＝﹣x+5联立， ∴x+1＝﹣x+5，解得x＝2，将x＝2代入y＝x+1，解得y＝3， ∴D（2，3）， 如图，画出C点和D点，连接CD， ∵在△AOB的内部（不包含边界）存在“优加点”， ∴由图象可知满足条件的“优加点”横坐标的取值范围为0＜x＜2． 55．已知射线l1的表达式为y＝﹣4x+k（x≤k），射线l2的表达式为． （1）当射线l1经过点（1，﹣2）时，射线l1，l2的图象如图所示． ①求射线l2的表达式； ②作平行于x轴的一条直线交射线l1于点A，交射线l2于点B，当AB＝4时，求△OAB的面积； （2）若射线l1的最低点为M，射线l2的最低点为N．当k＜0时，射线l2交y轴于点P，判断△PMN的形状，并说明理由． 【答案】（1）①；②； （2）直角三角形，理由见解答． 【解答】解：（1）①由条件可知﹣2＝﹣4×1+k，解得k＝2， ∴； ②设平行于x轴的直线上的点的纵坐标为m， 对于射线l1：令y＝m，则m＝﹣4x+2， 解得， ∴点； 令y＝m，则， 解得x＝2m+4， ∴点B（2m+4，m）； ∵AB＝4，且B在A的右侧， ∴，解得； △OAB的面积为； （2）△PMN是直角三角形，理由如下： 对于射线l1：y＝﹣4x+k（x≤k）， ∵﹣4＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝k时，y取得最小值，此时y＝﹣4k+k＝﹣3k，即M（k，﹣3k）； 对于射线， 由条件可知y随x的增大而增大， ∴当x＝k时，y取得最小值，此时，即； 射线l2交y轴于点P，令x＝0，则，即P（0，﹣k）； 则PM2＝（k﹣0）2+（﹣3k﹣（﹣k））2＝k2+（﹣2k）2＝5k2， ， ； ∵， ∴根据勾股定理的逆定理，△PMN是直角三角形． 56．一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）． （1）若一次函数y1＝ax+b还经过（2，3）点，求y1的表达式； （2）若有另一个一次函数y2＝bx+a． ①点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n＝2； ②设函数y＝y1﹣y2，当﹣1≤x≤3时，函数y有最大值8，求a的值． 【答案】（1）y1＝3x﹣3； （2）①证明见解答； ②a＝2或a＝﹣2． 【解答】解：（1）∵一次函数y1＝ax+b恒过定点（1，0），且经过点（2，3）， ∴， 解得， ∴y1的表达式；y1＝3x﹣3； （2）①证明：∵点A（m，p）在y1＝ax+b的图象上， ∴p＝am+b； ∵点B（n，p）在y2＝bx+a的图象上， ∴p＝bn+a； ∴am+b＝bn+a， 又∵y1＝ax+b恒过（1，0）， ∴a+b＝0，即b＝﹣a， ∴am﹣a＝﹣an+a， ∴a（m+n）＝2a， ∵a≠0， ∴m+n＝2； ②∵y＝y1﹣y2＝（ax+b）﹣（bx+a）＝（a﹣b）x+（b﹣a），b＝﹣a， ∴y＝[a﹣（﹣a）]x+（﹣a﹣a）＝2ax﹣2a＝2a（x﹣1）， 分两种情况讨论： 当a＜0时，2a＜0， ∴y＝2a（x﹣1）在﹣1≤x≤3上随x的增大而减小， ∴当x＝﹣1时，y取得最大值， 最大值为2a×（﹣1﹣1）＝8，即﹣4a＝8，解得a＝﹣2； 当a＞0时，2a＞0， ∴y＝2a（x﹣1）在﹣1≤x≤3上随x的增大而增大， ∴当x＝3时，y取得最大值， 最大值为2a×（3﹣1）＝8，即4a＝8，解得a＝2； 综上，当﹣1≤x≤3时，函数y有最大值8，则a的值为2或﹣2． 57．直线y＝kx+b经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，C点的坐标为（0，﹣1）． （1）求k和b的值； （2）点E为线段AB上一点，点F为直线AC上一点，EF＝3． ①如图1，若EF∥BC，求E点坐标； ②如图2，若EF∥AO，请直接写出E点坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得，解得； （2）设直线AC的解析式为y＝mx﹣1， 把A（﹣2，0）代入得﹣2m﹣1＝0，解得m， ∴直线AC为yx﹣1， ①若EF∥BC，则E（x，2x+4）， ∵EF＝3， ∴F（x，2x+1）， 把F的坐标代入yx﹣1得2x+1x﹣1， 解得x， ∴E（，）； ②若EF∥AO，则E（x，2x+4）， ∵EF＝3． ∴F（x﹣3，2x+4）， 把F点的坐标代入yx﹣1得2x+4（x﹣3）﹣1， 解得x， ∴E（，）． 58．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣4，0），B（0，2），C（1，0）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）判断△ABC是否为直角三角形，请说明理由； （3）若点M在直线AB上，点N在直线BC上，若MN∥x轴，且MN＝7，求点M的坐标． 【答案】（1）yx+2； （2）△ABC为直角三角形．理由如下见解答． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣4，0），B（0，2）分别代入得， 解得k，b＝2， ∴直线AB的解析式为yx+2； （2）△ABC为直角三角形． 理由如下： ∵A（﹣4，0），B（0，2），C（1，0）． ∴AB2，BC，AC＝1+4＝5， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°； （3）设直线BC的解析式为y＝px+q， 把B（0，2），C（1，0）分别代入得， 解得p＝﹣2，q＝2， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+2， 设M（t，t+2）， ∵MN∥x轴， ∴N点的纵坐标为t+2， ∴t+2＝﹣2x+2， 解得xt， ∴N（t，t+2）， ∵MN＝7， ∴|t﹣（t）|＝7， 解得t或， ∴点M的坐标为（，）或（，）． 59．某校“优学社团”的学生参照学习函数的过程与方法，对y1＝|x|和y2＝[x]两个函数进行了探究．同学们通过查阅资料了解到：y1＝|x|称为“绝对值函数”，其中|x|表示x的绝对值；y2＝[x]称为“取整函数”，其中[x]表示不超过x的最大整数．如：[1.9]＝1，[﹣2.1]＝﹣3． （1）使用“描点法”作出y1＝|x|和y2＝[x]的图象； ①列表：下表列出了几组y与x的对应值，则表中的m＝　1.5　 ，n＝　1　 ； x … ﹣2.5 ﹣2 ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y1 … 2.5 2 m 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y2 … ﹣3 ﹣2 ﹣2 ﹣1 ﹣1 0 0 1 n 2 2 … ②描点、连线．在同一平面直角坐标系中，分别画出y1＝|x|和y2＝[x]的图象． （2）已知点A（﹣3，1）； ①点B为函数y1＝|x|图象上一点，连接AB，AO，若△ABO的面积为3，求点B的坐标； ②在函数y2＝[x]的图象上是否存在一点C，使得△ACO的面积为3？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由． （3）若关于x的方程k|x|＝[x]有两个解，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）①1.5，1；②； （2）①或B（﹣3，3）；②不存在，理由见解答； （3）k≤﹣2或 【解答】解：（1）①∵当x＝﹣1.5时，y1＝|1.5|＝1.5，当x＝1.5时，y2＝[1.5]＝1， ∴m＝1.5，n＝1， 故答案为：1.5，1． ②描点、连线．在同一平面直角坐标系中，分别画出y1＝|x|和y2＝[x]的图象如图所示： （2）①如图，过点B作BH⊥x轴，过点A作AP⊥x轴， 设B（m，|m|）， 当m＞0时，B（m，m）， ∴S△AOB＝S梯形APHB﹣S△AOP﹣S△BOH＝3， ， 解得， ∴， 当m＜0时，B（m，﹣m）， 同理可求：B（﹣3，3）， 综上：或B（﹣3，3）； ②不存在， 设yOA＝kx， ∵过点A（﹣3，1）， ∴． 若△ACO的面积为3， ∴点C在过点（0，±2）且平行于OA的直线上， 即点C在或上， 由图象可得l1、l2与y2＝[x]没有交点，所以不存在； （3）如图， 当k＞0时，y＝k|x|， 过点（2，1）时，2k＝1，解得， 过点（3，2）时，2＝3k，解得：， ∴当方程k|x|＝[x]有两个解时，， 当k＜0时， 过点（﹣1，﹣2）时，﹣2＝k×|﹣1|， 解得：k＝﹣2， ∴当方程k|x|＝[x]有两个解时，k≤﹣2， 综上所述，k≤﹣2或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一次函数期末常考知识点难点与压轴题 题型01 函数图象的共存问题 题型02 函数图象上的点（函数值的大小比较） 题型03 一次函数中的最值问题 题型04 一次函数的几何变换 题型05 一次函数的实际应用 题型06 多个结论的判断 题型07 一次函数中的压轴题（包含函数与几何中的面积问题，存在性问题） 题型01 函数图象的共存问题 1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝x+k（k≠0，k为常数）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．正比例函数y＝ax与一次函数y＝ax+2a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝abx（a，b为常数，且ab≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．一次函数y1＝ax+b与y2＝bx﹣a的图象在同一坐标系中可能是（　　） A． B． C． D． 5．已知mn≠0，则一次函数y＝﹣2mx+n和y＝﹣2nx+m在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．直线y1＝mx+n2+1和y2＝﹣mx﹣n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型02 函数图象上的点（函数值的大小比较） 7．已知点（﹣1，y1）、（4，y2）都在直线y＝﹣2x+b上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法确定 8．若点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在一次函数y＝（m2+1）x+b的图象上，则y1与y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法比较大小 9．一次函数y＝ax+b（a＜0）图象过（2，0）点，点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数图象上，且x1＞x2，则下列判断正确的是（　　） A．若x2＞0，则y1＜0 B．若x2＞2，则y1＜0 C．若x2＜0，则y1＞0 D．若x2＜2，则y1＜0 10．若点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2，则k的值可能是（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝3 11．若A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝ax﹣x+2图象上不同的两点，且（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则a的取值范围为（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1 12．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且y1＞y2＞y3，则以下判断正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 13．在平面直角坐标系xOy中，四个点的坐标分别为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10）．若一次函数y＝kx+5的图象经过上述四个点中的三个点，则3m+n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 题型03 一次函数中的最值问题 14．已知过点（6，3）的直线y＝mx+n（m≠0）不经过第四象限．设S＝m+2n，则（　　） A．S有最大值，最大值为6 B．S有最小值，最小值为6 C．S有最大值，最大值为 D．S有最小值，最小值为 15．已知一次函数y＝﹣5x+2，当1≤x≤4时，y的最大值是（　　） A．2 B．7 C．﹣3 D．﹣18 16．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），C（3，），点B在x轴上，且∠ABC＝45°．已知点P（x，y）在△ABC内部或边界上，且m＝﹣x﹣2y+4，n＝﹣2x+y+3．记m的最大值为mmax，n的最小值为nmin，则mmax+nmin＝（　　） A．﹣4 B．2﹣4 C．﹣2﹣8 D．4 17．已知一次函数y＝（k﹣1）x+2k﹣3，其中k为常数，且k≠1．当﹣3≤x≤2时，函数y的最小值为﹣6，则k的值为　 　 ． 18．当3≤x≤5时，函数y＝ax﹣4a（a≠0，a为常数）有最大值8，则a的值为　 　 ． 19．若x+y+z＝30，3x+y﹣z＝50，且x，y，z均为非负数，则M＝x+3y+2z的最大值为　 　 ． 题型04 一次函数的几何变换 20．一次函数y＝kx+2（k≠0，k为常数）的图象关于x轴对称后的图象经过点（﹣2，2），则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 21．将一次函数y＝kx﹣2（k为常数，k≠0）的图象向上平移4个单位长度得到的一次函数图象经过点（﹣1，5），则k的值为（　　） A．7 B．﹣7 C．﹣3 D．3 22．已知一次函数y1＝kx+b的图象过点P（2，3），并且是由一次函数的图象平移得到的．当y1＞0时x的取值范围是（　　） A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x＞2 D．x＞﹣3 23．如图，将直线y＝4x+3向右平移个单位后得到直线l1，直线l1与直线l2：y＝﹣x+3交于点A，直线l1，l2分别交x轴于点B，C，则△ABC的面积为（　　） A． B．5 C． D．7 24．将正比例函数y＝﹣2x的图象向上平移3个单位长度得到一次函数y＝﹣2x+b的图象，下列结论中错误的是（　　） A．b＝3 B．一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点（1，1） C．对于一次函数y＝﹣2x+b，当x＞0时，y＜3 D．若点A（﹣2，y1），B（3，y2）均在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，则y1＜y2 25．已知一次函数y1＝2x+m与y2＝kx+10的图象关于x轴对称，过点P（t，0）作x轴的垂线，分别交y1，y2于点M，N．当2≤t≤9时，则MN的最大值为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 26．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B（6，2），C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（　　）秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分． A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒 题型05 一次函数的实际应用 27．周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家1小时20分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程y（km）与小华离家时间x（h）的函数图象．已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3倍，若爸爸比小华早10分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是（　　） A．小华的速度是20km/h B．爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的函数表达式：y＝60x﹣80 C．爸爸在出发25分钟后与小华相遇 D．小华家到植物园的距离是28km 28．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．乙用6分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米 29．哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟60m，哥哥骑自行车每分钟行驶160m，如图是两人之间的距离y（m），与弟弟步行时间x（min）之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有12分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以100米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（　　） A．A点表示哥哥已经到达学校 B．哥哥与弟弟相距的最大距离是500米 C．他们家与学校之间的距离为800米 D．BC的函数表达式为y＝﹣100x+1000 30．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 31．近年来，人形机器人技术在工业与生活服务领域快速发展，其产品主要分为工业制造型与生活服务型两类．某公司准备采购工业制造型和生活服务型两类机器人．已知购进20台工业制造型机器人和60台生活服务型机器人需支付总费用4800万元；购进30台工业制造型机器人和40台生活服务型机器人需支付总费用4400万元． （1）每台工业制造型、生活服务型机器人的单价为多少万元？ （2）该公司计划购进这两类机器人共200台，且生活服务型机器人进货数量不低于工业制造型机器人的3倍．根据市场定价，工业制造型机器人按进价的倍销售，生活服务型机器人按25%的利润率销售，且两种机器人最后全部售完．设销售总利润为W万元，应如何安排进货数量，才能使W最大？最大利润为多少万元？ 32．【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 15 40 增加的电量y（%） 0 20 30 80 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式． 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 33．在河道A，B两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从A码头匀速行驶到B码头，同时货轮从B码头出发，运送一批物资匀速行驶到A码头，两船距B码头的距离y（km）与行驶时间x（min）之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题： （1）A，B两个码头之间的距离是 　 　 km； （2）已知货轮距B码头的距离与行驶时间的图象表达式为，求客轮距B码头的距离y2（km）与时间x（min）之间的函数表达式； （3）求出点P的坐标，并指出点P的横坐标与纵坐标所表示的实际意义． 34．实验室有两个小型水箱，初始状态下，甲水箱为空，乙水箱已有20升水．实验开始后，甲水箱开启注水模式，以a升/秒的速度匀速注水；同时乙水箱开启放水模式，匀速向外排水．8秒时，甲、乙水箱分别达到实验预设的水量阈值，暂停注水和放水操作，保持水量稳定；24秒时，乙水箱切换为注水模式，以升/秒的速度匀速向水箱内注水；30秒时，甲、乙两个水箱的水量恰好相同，均为b升．之后，甲、乙水箱同时开启排水模式，以相同的速度匀速排水，直至水箱排空．甲、乙水箱的水量y（单位：升）与实验时间x（单位：秒）间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）求线段MN所在直线的函数表达式； （3）甲、乙两个水箱在实验进行到多少秒时，它们的水量差为2升？ 题型06 多个结论的判断 35．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数y＝k1x+b1的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②方程k1x+b1＝k2x+b2的解为x＝2；③k1＞k2；④b1＞b2．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 36．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限； ③； ④d＜a+b+c． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．在平面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标是（a，a﹣4），另一点A的坐标为（3，0），则以下结论： ①点P在直线y＝x﹣4上； ②若设△OPA的面积为S，当时，； ③OP2的最小值为8； ④若点P在第四象限，过P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，长方形OEPF的周长始终为8． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示．小辰根据图象得到如下结论： ①一次函数y＝mx+n，y的值随着x值的增大而增大； ②当x＝0时，ax+b＝﹣1； ③方程组的解为； ④方程mx+n＝0的解为x＝2． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 39．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①ab＜0；②若M（x1，y1），N（x2，y2）是直线y1＝ax+b上不重合的两点，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；③3a+b＝3c+d；④a+b＞c+d；⑤当m＞3时，am+b＞cm+d中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 40．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，正确的个数为（　　） ①乙的速度为5米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米； ③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89； ④乙到达终点时，甲距离终点还有68米． A．①③ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 41．A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发1h；②甲行驶的速度为40km/h；③3h时，甲、乙两人相距45km；④0.75h或1.15h时，乙比甲多行驶10km．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论：①乙比甲提前出发1h；②甲行驶的速度为40km/h；③当t＝3时，甲、乙两人相距50km；④在0≤t≤3内，当甲、乙两人相距10km时，乙行驶了或．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．泗洪稻田湿地马拉松赛事的成功举办掀起了跑马拉松的热潮，如图是甲、乙两位马拉松爱好者在一次10公里的训练中两人分别跑的路程y（公里）与时间x（分钟）的函数关系图象，他们同时出发，乙在75分钟的时候到达终点，并在终点等候甲，在甲跑完过程中，①甲前半程的速度是公里/分；②乙在冲刺阶段的速度公里/分；③在前半程乙一直领先于甲；④甲与乙刚好相距0.1公里的次数是4次．以上说法正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论： ①AB＝10； ②∠OBC＝∠DBC； ③直线BC的解析式为y＝﹣2x+6； ④点D的坐标为． 正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 45．我们约定：当x1，y1，x2，y2满足，且x1+y1≠0时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，判断下列说法正确的序号是　 　 ． ①点（x1，y1）与点（﹣y1，﹣x1）且x1≠﹣y1是一对“对偶点”； ②函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”； ③函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”； ④函数y＝x2的图象上至少存在两对“对偶点”． 46．①一次函数y＝2x﹣3与y＝﹣2x﹣3的图象关于x轴对称； ②坐标分别为（1，1）、（2，0）、（6，﹣4）的三点在同一直线上； ③一次函数y＝ax﹣a+1中a＜0，若﹣1≤x≤2时该函数值最大为2，则； ④点A（x1，y1）、B（x2，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，若，则k＞0． 以上4个结论中，正确的是　 　 （填序号）． 题型07 一次函数中的压轴题（包含函数与几何中的面积问题，存在性问题） 47．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象如图所示，点A1，A2，A3⋯在x轴上，点B1，B2，B3⋯在函数图象上，若分别以OB1，A1B2，A2B3⋯为边构建正方形，则A9的坐标为（　　） A．（514，0） B．（510，0） C．（1026，0） D．（1022，0） 48．如图，点A（﹣2，3），点B（3，4），点C（1，﹣1），直线l：y＝kx+4k交x轴于P点，若直线l和△ABC的边有公共点，则k的取值范围为（　　） A． B．或 C． D．或 49．如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点B（﹣7，5）在直线l：y＝kx﹣2上，直线l分别交x轴，y轴于点E，F，将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上，则m的值为　 　 ． 50．如图，已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y的一次函数称为“勾股一次函数”，若点P（1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是5，则c的值是 　 　 ． 51．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣x的图象的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“近点”．例如求y＝﹣2x﹣3的“近点”，联立，得方程组，解得，则y＝﹣2x﹣3的“近点”为（﹣3，3）． （1）由定义可知，一次函数y＝2x﹣3的“近点”为　 　 ； （2）一次函数y＝px+q的“近点”为（2，q﹣1），求p，q的值； （3）已知直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝kx+3上没有“近点”，若P点为直线y＝﹣kx+3上一点，且点P在第一象限，若求点P的坐标． 52．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1：与x轴交于点A；直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点B（0，4），与直线l1交于点． （1）点A的坐标为　 　 ； （2）求直线l2的表达式； （3）直线BC上是否存在动点P，使得△PAD的面积等于△ACD面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 53．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（0，2），B（﹣3，4）． （1）求这个一次函数表达式； （2）过点C（0，c）作与x轴平行的直线，与一次函数y＝kx+b的图象交于点D． ①当线段CD≥2时，求c的取值范围； ②若c＝﹣2，点F是BD上一点，直线CF恰好平分△BCD的面积，求直线CF的函数表达式． 54．在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比它的横坐标大1，则称该点为“优加点”． （1）点A（2，2），B（﹣4，﹣5），这三个点中，是优加点的是　 　 ； （2）已知点P（m﹣2，m2+m），是否存在这样的实数m，使得点P是“优加点”，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由； （3）如图，已知直线y＝﹣x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，在△AOB的内部（不包含边界）存在“优加点”，请求出满足条件的“优加点”横坐标的取值范围． 55．已知射线l1的表达式为y＝﹣4x+k（x≤k），射线l2的表达式为． （1）当射线l1经过点（1，﹣2）时，射线l1，l2的图象如图所示． ①求射线l2的表达式； ②作平行于x轴的一条直线交射线l1于点A，交射线l2于点B，当AB＝4时，求△OAB的面积； （2）若射线l1的最低点为M，射线l2的最低点为N．当k＜0时，射线l2交y轴于点P，判断△PMN的形状，并说明理由． 56．一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）． （1）若一次函数y1＝ax+b还经过（2，3）点，求y1的表达式； （2）若有另一个一次函数y2＝bx+a． ①点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n＝2； ②设函数y＝y1﹣y2，当﹣1≤x≤3时，函数y有最大值8，求a的值． 57．直线y＝kx+b经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，C点的坐标为（0，﹣1）． （1）求k和b的值； （2）点E为线段AB上一点，点F为直线AC上一点，EF＝3． ①如图1，若EF∥BC，求E点坐标； ②如图2，若EF∥AO，请直接写出E点坐标． 58．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣4，0），B（0，2），C（1，0）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）判断△ABC是否为直角三角形，请说明理由； （3）若点M在直线AB上，点N在直线BC上，若MN∥x轴，且MN＝7，求点M的坐标． 59．某校“优学社团”的学生参照学习函数的过程与方法，对y1＝|x|和y2＝[x]两个函数进行了探究．同学们通过查阅资料了解到：y1＝|x|称为“绝对值函数”，其中|x|表示x的绝对值；y2＝[x]称为“取整函数”，其中[x]表示不超过x的最大整数．如：[1.9]＝1，[﹣2.1]＝﹣3． （1）使用“描点法”作出y1＝|x|和y2＝[x]的图象； ①列表：下表列出了几组y与x的对应值，则表中的m＝　 　 ，n＝　 　 ； x … ﹣2.5 ﹣2 ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y1 … 2.5 2 m 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y2 … ﹣3 ﹣2 ﹣2 ﹣1 ﹣1 0 0 1 n 2 2 … ②描点、连线．在同一平面直角坐标系中，分别画出y1＝|x|和y2＝[x]的图象． （2）已知点A（﹣3，1）； ①点B为函数y1＝|x|图象上一点，连接AB，AO，若△ABO的面积为3，求点B的坐标； ②在函数y2＝[x]的图象上是否存在一点C，使得△ACO的面积为3？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由． （3）若关于x的方程k|x|＝[x]有两个解，直接写出k的取值范围． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $