第23章一次函数 期末综合复习优生辅导训练题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以一次函数为核心，通过概念辨析、图像变换、几何综合及实际建模，系统整合函数与方程、不等式关系，提炼待定系数法、数形结合等解题方法，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念性质|3题（如第3题方程组与函数关系）|函数与方程关系转化|从解析式到图像性质，构建概念体系| |图像变换|4题（如第1题平移、第2题对称）|坐标变换规则|平移/对称规律→图像特征→参数求解| |几何综合|5题（如第5题面积平分、第10题折叠）|分类讨论+勾股定理|函数图像与几何图形性质融合| |实际建模|8题（如第6题行程、第15题利润）|建模分析+数据处理|实际问题→函数模型→求解决策|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第23章一次函数》 期末综合复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 3．如果关于x，y的二元一次方程组无解，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知一次函数的图象经过不同的两点和，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 5．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的体重之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板后电压表显示的读数为2伏，则此人的体重是（   ） 提示：（1）导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； （2）串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．50 B．55 C．60 D．65 二、填空题 8．直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解为__________． 9．一次函数的图象过点(2，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是4，则的值是_____． 10．如图，直线与轴、轴分别交于点，，是轴上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上，则点的坐标为______． 11．如图，已知一次函数图象与坐标轴交于M，N两点．点P是x轴上一点，其横坐标为，若△MNP的面积为S，则S与a的函数关系式为______． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，，是轴上任意一点． （1）当，时，点的坐标是___________． （2）当的值最大时，点的坐标是____________． 13．为响应学校“低碳环保，绿色出行”的倡议，小明选择骑自行车上学，小亮则选择步行上学．一个春日的早晨，两人各自从家中同时出发，沿同一条笔直的道路同向匀速前进，如图，直线，分别表示小明、小亮到小明家的距离s（单位：km）与出发时间t（单位：）之间的关系．根据图象信息，当两人第一次相遇时，出发的时间是_______． 14．一条公路上依次有，，三地，甲车从地出发，沿公路经地到地，乙车从地出发，沿公路驶向地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的距离（单位：）与两车行驶时间（单位：h）之间的函数关系如图所示．两车出发___________h时，乙车距地的路程是甲车距地路程的3倍． 三、解答题 15．今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购买45个肉粽和50个蛋黄粽需要240元，购买50个肉粽和45个蛋黄粽需要235元． (1)求肉粽和蛋黄粽每个的单价； (2)超市将肉粽的售价定为4元，蛋黄粽的售价定为5.5元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种粽子共500个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 16．无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续上升，乙无人机继续匀速上升，当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞升的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1)联合表演前，甲无人机的速度为_____，乙无人机的速度为_____，联合表演时长为_____； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)请直接写出两架无人机表演训练时，它们的高度差为8米的时间． 17．直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 18．在平面直角坐标系中，直线：经过点和点，直线：与交于点，且与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点的横坐标为，连接，点为平面内一点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，过点作直线交直线于点，若直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，求点的坐标． 19．如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． (1)①用含b的代数式表示线段的长度：________；________； ②直接写出b的值________； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； (3)设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 20．【知识回顾】本册第二章教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．    【解决问题】 (1)如图1，观察图象，不等式的解集是 ． (2)如图2，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点B和点C结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围 ． 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴、轴分别交于点C、D，与直线交于点M，点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q．点B、点O恰好关于点D对称． ①如果线段的长为，求点P的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请直接写出所有符合条件的整点P的坐标． 参考答案 1．D 【分析】利用“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，再代入条件解不等式即可． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移2个单位，得到一次函数， ∵平移后，， ∴， 解得． 2．B 【分析】利用点关于x轴对称的坐标特征，求出系数、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点坐标为，直线与关于x轴对称， ∴将原直线的替换为即可得到对称直线的方程，即，整理得， ∴，， ∴． 3．B 【分析】根据二元一次方程组和一次函数的关系可得，求出的值，进一步即可确定直线不经过的象限． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组无解， ∴直线与直线平行， ∴，解得， ∴， ∴经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数的图象等，根据一次函数与二元一次方程组的关系求出的值是解题的关键． 4．A 【分析】利用待定系数法求得，根据题意得到，求得，据此求解即可判断． 【详解】解：∵一次函数的图象经过不同的两点和， ∴，且， ∴得， ∵， ∴， ∴随的增大而增大，观察四个选项，选项A符合题意． 5．D 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用．先求出，再根据的面积被y轴平分，得出点P与点A的横坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解得， 则， 作点A关于y轴的对称点，则 ∵的面积被y轴平分， ∴点P的横坐标为，如图，Q为与y轴的交点，则Q为的中点， ∵点P在直线上， ∴点P的坐标为． 故选：D． 6．C 【分析】根据图象获得信息后，利用待定系数法，路程，速度，时间的关系等处理信息解答即可． 本题考查了一次函数的图象，待定系数法，根据解析式计算，熟练掌握一次函数的性质，待定系数法是解题的关键． 【详解】解：根据可得，时间过了甲的路程为0，即乙比甲提前出发， 故①正确； 甲个小时行驶了， 故甲的速度为， 故②正确； 设甲的解析式为， 根据题意，得， 解得， 所以， 设乙的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故乙的解析式为， 当时，，， 故， 时，甲、乙两人相距， 故③错误； 当甲运动前，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得； 当甲运动后，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得； 故或时，乙比甲多行驶． 故④正确， 故选：C． 7．C 【分析】先利用待定系数法求出与踏板上人的体重之间的函数关系式为，再结合题意求出的电阻，在中，当时，，求解即可． 【详解】解：将，代入可得：， 解得：， ∴与踏板上人的体重之间的函数关系式为， 由题意可得：电流为， 两端的电压为：， 故的电阻为（欧）， 在中，当时，， 解得：， 故此人的体重是． 8． 【分析】先将点的横坐标代入已知直线解析式，求出交点的坐标，再根据两直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴交点的坐标为， ∵直线与直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 9． 4或 【分析】先求出一次函数与轴的交点，再根据三角形面积公式列出关于的方程，求解即可得到结果. 【详解】解：当时，，即一次函数图象与轴交点为， 已知一次函数图象过点，即与轴交点为， 根据三角形面积公式得：， 化简得， 解得或 10．或 【分析】 本题考查一次函数与几何综合、勾股定理的折叠问题、等腰三角形的性质和判定等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键．设沿直线将折叠，点正好落在轴上的点，则有，而的长度根据已知可以求出，所以点的坐标由此求出又由于折叠得到，在直角中根据勾股定理可以求出，从而求出的坐标． 【详解】解：∵与轴、轴分别交于点，， ∴令，则，解得；令，则， ∴，， ∴，， ∴， 设沿直线将折叠，点正好落在轴上的点处，点的坐标为，则 ∴，． 当点在直线的左侧时，如图1， ∴， ∴点的坐标为． ∵， ∴， 解得， ∴． 当点在直线的右侧时，如图2， ∴， ∴点的坐标为． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：或． 11． 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．先求出一次函数与坐标轴的交点，，再根据三角形面积公式表示出与的函数关系式即可． 【详解】解：一次函数与坐标轴交于两点， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 点是轴上一点，横坐标为， ， ， ． 12． 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质与判定． （1）过点作轴于点，证明得出，即可求解； （2）根据题意得出在的延长线上时，的值最大，待定系数法求得直线的解析式，令，得出的坐标，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作轴于点， ∵点，， ∴ ∵ ∴，， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． （2）如图，连接并延长交轴于点， 根据两点之间线段最短可得：， ∴当在的延长线上时，的值最大 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时， ∴当的值最大时，点的坐标是 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了一次函数的解析式，根据图像列一元一次方程求解；分别求出小亮和小明的路程解析式，再令二者相同，即可求出两人第一次相遇时出发的时间． 【详解】解：设直线的解析式为： ，将点代入， ， 解得.   ∴直线的解析式为. 设直线的解析式为 ，将点 ， 代入，得   ， 解得 ∴直线的解析式为 ， 令 ， 解得， ∴当两人第一次相遇时，出发的时间是 h． 14．或 【分析】先求出，，两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可． 【详解】解：由图可知，甲车行驶的路程为， ∴甲车行驶的速度是， ，两地之间的距离为． 乙车行驶的速度为， ，两地之间的距离为， ，两地之间的距离为． 设两车出发时，乙车距地的路程是甲车距地路程的3倍． 分两种情况： ①甲、乙相遇前，，解得； ②甲、乙相遇后，，解得． 综上所述，两车出发或时，乙车距地的路程是甲车距地路程的3倍． 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出，，两两之间的距离是解题的关键． 15．(1)肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元 (2)购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元 【分析】（1）设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元，列二元一次方程组即可解答； （2）设购进肉粽m个，则购进蛋黄粽个，总利润为w，根据题意列不等式求得的取值范围，再用表示，根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元， 根据题意得，， 解得， 答：肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元； （2）解：设购进肉粽m个，则购进蛋黄粽个，总利润为w， 根据题意得，， 解得， 由题意得， ，w随m的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大值为， 答：购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元． 16．(1)4米/秒，2米/秒，30秒 (2) (3)2秒或10秒或14秒 【分析】（1）根据图象，得到甲无人机6秒飞升了24米，乙无人机6秒飞升了12米，根据速度的定义计算即可；设的解析式为，把代入解析式，确定解析式，再计算时，时间，计算即为联合表演时长； （2）设的解析式为，把代入解析式，确定m的值，根据甲无人机是匀速飞升的，得到，不妨设线段所在直线的函数解析式为，根据（1）得，代入求解即可； （3）利用分类思想，分情况求解即可． 【详解】（1）解：根据图象，得到甲无人机6秒飞升了24米，乙无人机6秒飞升了12米， 故甲无人机的速度为：（米/秒）；乙无人机的速度为：（米/秒）； 设的解析式为，把代入解析式，得， 解得， 故解析式为， 当时，， 解得， 故联合表演时长为：（秒）； （2）解：设的解析式为，把代入解析式， 得， 解得， 故的解析式为 因为甲无人机是匀速飞升的， 故，不妨设线段所在直线的函数解析式为， 根据（1）得，代入解析式，得， 解得， 故线段所在直线的函数解析式为； （3）解：根据题意，当时，得， 整理，得， 解得（秒）； 设，根据题意，得，解得， 故甲无人机表演时间为（秒）， 当甲无人机在表演，乙无人机飞升8米时，也是符合要求的，此时乙无人机飞升的距离为 米， 因为的解析式为， 故， 解得（秒）； 当甲无人机表演完毕，继续飞升，根据题意，得， 解得（秒）； 故（秒）； 表演完毕以相同的速度返回，此时两架无人机没有距离差； 综上所述，两架无人机表演训练时，它们的高度差为8米的时间为2秒或10秒或14秒． 17．(1)， (2) (3) 【分析】（1）将点代入，即可求出的值，将点代入，即可求出的值； （2）由直线的图象在直线图象上时，的取值范围即为不等式的解集，结合图象及交点坐标即可解答； （3）先求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得，进而得到，此时，有最小值，最小值为的长，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，则，解得； 将点代入，则，解得； （2）解：根据图象，得当时，直线的图象在直线图象上方， 则不等式的解集为； （3）解：由（1）知， 将代入，则， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ∴， ∴， 此时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 18．(1) (2)或 或． (3)或 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得，设．再分、、为对角线三种情况，分别利用平行四边形的性质求解即可； （3）如图：过点A作直线，使得，易得，过D作交于点E，易得，则直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点E的坐标就是点P的坐标．再利用平行线的性质、等角对等边可得，设点，然后利用两点间距离列方程求得a的值，可确定点E的坐标，即可确定点P的坐标；先说明可得，如图：在直线上取一点F，使得，即，连接并延长至G，易得直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点F坐标就是点P的坐标， 设点，然后利用两点间距离列方程求得b的值，可确定点F的坐标，即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将点和点代入解析式，得： ，解得： ， ∴直线的解析式为． （2）解：当时，，即． 将 代入得： ，解得． ∴直线的解析式为． 令，得，解得，即． 已知，设． 根据平行四边形的性质，分三种情况讨论： ① 如图：当为对角线时，中点为，则中点也为． ，解得，即． ② 当为对角线时，中点为，则中点也为． ，解得，即． ③ 当为对角线时，中点为，则中点也为． ，解得，即． 综上，点E的坐标为或 或． （3）解：如图：过点A作直线，使得，过D作交于点E， ∴， ∴， ∴直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点E的坐标就是点P的坐标． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∵， ∴，解得：， ∴，即． 如图：∵， ∴，， ∴， ∴， 如图：在直线上取一点F，使得，即，连接并延长至G， ， ∴， ∴直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点F坐标就是点P的坐标． 设点，则， ∵，， ∴，解得：， ∴，即． 综上，点的坐标或． 19．(1)①，；②2 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）①先求出直线与轴交点，即可得到；②根据，可得点，将代入解析式，即可求解； （2）由（1）知一次函数的解析式为，，，根据的面积与四边形的面积之比为，可得，，设点的横坐标为，则，即可求解； （3）分两种情况：若以为对角线，得到菱形；若以为对角线，得到菱形讨论，结合图形，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①四边形是矩形， 轴，轴， 一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足， 当时，， ， ②点的坐标为， ，点的横坐标为， ， 点， 将点代入得：， 解得：； （2）解：如图： 由（1）知：一次函数的解析式为：，，， 的面积与四边形的面积之比为， ， ， ， 设点的横坐标为，则， 即， 解得：， 将代入，得：， ； （3）如图所示，若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，和关于轴对称， ， 点和的纵坐标均是， 将代入得：， 解得：， 点， ， ， 点； 如图所示，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，延长交轴于点，由轴得，轴， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ，，， ，即 解得：（不能构成菱形，舍去）或， 将代入得：， 点， 菱形， ， 点， 综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或． 20．(1) (2) (3)①点坐标为或；②，，， 【分析】（1）观察两条直线可知从交点向右直线在上方，解答即可； （2）先求出两条直线的交点，可知从交点向右直线在上方，且在x以下，即可求出答案； （3）先求出直线的关系式，再设点，则点，可得，当求出解即可；分别求出和时的解，再根据在交点的两边都有符合题意的部分得出当或时，，然后求出整数解即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 所以不等式的解集是； （2）解：当时，， 解得， ∴当时，； 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， 即点， ∴当时，， ∴当时，， ∴当时，， 即自变量的取值范围是； （3）解：当时，， ∴点． ∵点B，点O恰好关于点D对称， ∴点． ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线：． 设点，则点， ∴． ①∵， ∴， 解得或，则或， ∴点P的坐标为或； ②时，解得或； 时，解得或， 则当或时，， 所以或，则， 整点P的坐标是，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $