第23章一次函数 期末综合复习压轴题专题提升训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数综合应用，以压轴题形式系统整合函数图像分析、动点几何综合及存在性问题，通过分类讨论、数形结合等方法培养逻辑推理与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数图像应用|1-5题|待定系数法、图像信息提取|一次函数概念→图像性质→实际应用| |动点与几何综合|6-12题|参数表示法、分类讨论|函数表达式→动点坐标→几何图形性质| |存在性问题|13-18题|假设验证法、几何构造|几何判定定理→函数关系建立→方程求解| |综合实践|19-20题|面积转化、模型思想|实际问题→数学抽象→综合应用|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第23章一次函数》 期末综合复习压轴题专题提升训练（附答案） 1．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：    (1)A，B两地之间的距离是______千米，______，巡逻车的速度为____千米／时； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可） 2．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，直线解析式． (1)求点A、B、C的坐标； (2)D为y轴上一点，当线段最短时，求点D的坐标及的面积； (3)P为线段上一点，过P向x轴作垂线交于Q，在y轴上是否存在一点M，使为等腰直角三角形？若存在，求直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由． 3．解决以下问题： (1)借助网格，用无刻度直尺作； (2)如图，直线与x轴、y轴分别交于点C和点B，点A在x轴负半轴，且． ①P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； ②在①的条件下，Q为直线上的一个动点，连接，若，求Q点的坐标． 4．如图，直线与坐标轴分别交于点，经过原点的直线与交于点，与过点且平行于轴的直线交于点，已知点，且．在直线上取点，过点作轴的平行线，与直线交于点，以为边向右作正方形．设点P的横坐标为t． (1)求直线的解析式； (2)当点P在线段上时，用t表示正方形与重叠部分（阴影部分）的面积； (3)设点坐标为，在点的运动过程中，当点在正方形内部时，请直接写出t的取值范围． 5．如图，直线与直线相交于点，直线与与x轴分别交于A、B两点． (1)求b、m的值； (2)结合图像直接写出关于x、y的方程组的解； (3)求两函数图像与x轴所围成的的面积； (4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C、D，若线段的长为4，求出a的值． 6．如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且与轴交于点A．直线，交于点 (1)求直线的解析式； (2)在轴上是否存在一点E，使与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、． (1)求直线的表达式； (2)若的面积为20，求点坐标； (3)在（2）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，过点的直线交轴正半轴于点，且面积为5． (1)求直线的解析式； (2)如图1，设点为线段中点，在轴上点的上方取一点，以为边向右侧作等腰，其中，当点落在直线上时，求点的坐标； (3)如图2，若为线段上一点，直线交轴于点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，直线分别交x轴，y轴于点A，B，过点A的另一条直线与y轴交于点N，点E是线段上的一个动点，点C为射线上一点． (1)求点A，B的坐标． (2)如图1，过点E作轴交直线于点F，设点E的横坐标为m． ①用含有m的式子表示线段的长； ②若的面积为S，求S与m之间的函数关系式； (3)把沿直线翻折得到． ①如图2，当点D在的内部时，连结并延长交于点P．若，求点P的坐标． ②如图3，点M为的中点，连结，当与x轴平行时，请直接写出的长． 10．如图1，在平面直角坐标系中，直线为与轴、轴分别交于点，点关于直线的对称点恰好落在轴正半轴上的点处．    (1)求点的坐标以及直线的解析式； (2)如图2，延长交于点，连接、，判断与的位置关系，并加以说明； (3)在平面直角坐标系中是否存在点在坐标轴上，使是以为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知直线分别与轴，轴交于两点，直线交于点． (1)求两点的坐标； (2)如图，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，使的值最小，求出点坐标． (3)如图，若，过点，交轴于点，此时在轴上存在点，使，请直接写出点的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，，点为直线上一点，横坐标为．点为平面内一动点，当点不在直线上时，以为边向左作正方形． (1)求直线的函数关系式； (2)当线段时，求的值； (3)求正方形的周长（用含的代数式表示）； (4)若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 13．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 14．如图，直线与x轴，y轴及直线分别交于点，B,C． (1)求点B和点C的坐标； (2)M为x轴上点A右侧一动点，以,为邻边作，连接,． ①求的最小值； ②在点M移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由． 15．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足． (1)如图1，求点A的坐标； (2)如图2，过点A作x轴的垂线，垂足为点B．已知点，连接，，请在y轴上找一点P，使的面积与的面积相等，并求出点P的坐标． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 17．新趋势综合与实践：小新和小颖在学习等腰三角形的相关知识后，明白了要把两腰分散到两个三角形中用全等去思考，寻找或构造两腰为斜边的两个直角三角形全等，再由全等三角形的性质得出结论解决问题，这就是数学中重要的学习方法“构造法”． 【初步感知】 (1)如图1，等腰直角三角形中，小新先得出然后得出了三条线段的数量关系，在此过程中，全等的依据是 ，三条线段的数量关系为_____． 【实践解决】 (2)如图2，四边形中，为等腰直角三角形，若，求的面积． 小颖发现，可以构造以为斜边的两个直角三角形，具体如下：作于点M，交的延长线于点N，请你根据提示，求出的面积． 【拓展应用】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标． 18．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点C，交y轴于点B，，． (1)如图1，求A的横坐标； (2)如图2，轴于点D，F是的中点，连接，设C的横坐标为m，若的面积为S，求S与m的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，设交于点K，，于H，轴于点B，与延长线交于点L，连接，与交于点M，P在上，轴，与交于点N，，，求线段的长． 19．在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设运动时间为，若的面积为，求与之间的关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，在上有一点，连接，若，且，求点的坐标． 20．如图，直线交x轴正半轴于A、交y轴正半轴于B，点C在y轴负半轴上，于D，交于E，，的面积为18． (1)求的长； (2)F在线段上时，，连，设纵坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）条件下，以、为两边构平行四边形，连，若，求点坐标． 参考答案 1．（1）解：千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地装货耗时15分钟， ∴， 由题意得，巡逻车的速度为千米/小时； （2）解：设线段所在直线的解析式为 将，代入，得 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为 （3）解：设货车出发x小时两车相距15千米， 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米， 则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米， 则， 解得； ∵， ∴货车装货过程中两车不可能相距15千米， 当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米， 则， 解得； 当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则， 解得； 综上所述，当货车出发小时或小时或小时时，两车相距15千米． 2．(1)，， (2) (3)存在，点M坐标为，， 【分析】（1）当时，，当时，，即可得点A，点B坐标，联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标； （2）点关于轴对称点,进而可得当共线时，线段最短，求出直线的解析式，得到点坐标，再由求解； （3）分三种情况讨论，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：直线的解析式为，与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，， 点，点， 解方程组得， ∴点； （2）解：点，点，点关于轴对称的点为， 则，, 故当共线时，线段最短， 设直线的解析式为， ，解得， ，时，， ， ； （3）解：设点，则点， ， 如图1，当时， ， ， ， 点， 点， 如图2，当时， ， ， ， 点， 点， 如图3，当时，过点作， 为等腰直角三角形， ， ， ， 点， 综上所述：点坐标为，，． 3．(1)图见解析 (2)①；②或． 【分析】（1）以为直角顶点，构造等腰直角三角形即可； （2）①根据，得到，进而求出点坐标即可； ②以为直角顶点，构造等腰直角三角形，进而求出的坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和直线的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图易得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴； ②以为直角顶点，在直线的下方构造等腰直角三角形，如图，过点作轴，作于点，作于点，则，， ∴，， ∴点在射线上，， ∴， 由①知：， ∴， ∴，即， 同①法可得：直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 以为直角顶点，在直线的上方构造等腰直角三角形，如图，作轴，轴， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 综上：或． 4．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点P和点Q的坐标，进而得到的长，求出恰好在上时，t的值，再分两种情况讨论求解即可； （3）当时，点M的横坐标要大于点P的横坐标，且要小于点F的横坐标，点M的纵坐标要大于点Q的纵坐标，且要小于点P的纵坐标，当时，点M的横坐标要大于点P的横坐标，且要小于点F的横坐标，点M的纵坐标要大于点P的纵坐标，且要小于点Q的纵坐标，据此列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵，且点A在x轴的正半轴上， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴； 由正方形的性质可得， ∵轴， ∴轴， 当恰好在上时，则， ∴， 解得； 当时，； 当时，； 综上所述，； （3）解：如图3-1所示，当时， ∵点在正方形内部， ∴点M的横坐标要大于点P的横坐标，且要小于点F的横坐标，点M的纵坐标要大于点Q的纵坐标，且要小于点P的纵坐标， 同理可得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴，即， ∴， 解得； 如图3-2所示，当时， ∵点在正方形内部， ∴点M的横坐标要大于点P的横坐标，且要小于点F的横坐标，点M的纵坐标要大于点P的纵坐标，且要小于点Q的纵坐标， 同理可得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴，即， ∴， 解得； 综上所述，或． 5．(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）由点在直线上， 利用一次函数图像上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线中，即可求出m值； （2）根据（1）可得P点的坐标，再根据二元一次方程组的解是对应一次函数图像交点的坐标； （3）先求出点A、B的坐标，然后根据求解即可； （4）先用a表示出点C、D的纵坐标，结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，然后求解即可解答． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ，即， ∵点在直线上， ，解得：． （2）解：由（1）可知：直线与直线相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． （3）解：令时，，解得， ∴点A的坐标为， 令时，，解得， ∴点B的坐标为， ∴， ∴． （4）解：当时，， ∵， ∴，即，解得：或（不合题意，舍去） ∴． 6．(1)； (2)存在，点E的坐标为或； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）先求出直线的解析式为，再求出点，利用待定系数法即可求解； （2）求出点的坐标，得到，设点，得到，再根据，求解即可； （3）分两种情况：当为平行四边形的边，当为平行四边形的对角线，分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 把点代入，得：， ∴点， 把点代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 如图： 当时，， ∴， ∴点， 当时，， ∴， ∴点， ∴， 设点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 如图： 当为平行四边形的边时，， ∴点的横坐标为或，纵坐标为， ∴点的坐标为或， 当为平行四边形的对角线时，， ∵，， ∴点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点，则点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点， ∴点的坐标为，即， 综上，点的坐标为或或． 7．(1)； (2)点E坐标为 ； (3)Q坐标为或或 【分析】（1）根据一次函数解析式，分别令，可以得两点的坐标，根据两点的坐标，求出与的长度，再根据和点C为的中点来确定C与D的坐标，然后根据待定系数法可以计算出直线的解析式； （2）根据的面积的面积的面积的面积的面积，求解即可； （3）设点，点，分情况讨论∶①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线分别列二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解∶∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 时，， 点， ， ∵点C为的中点， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式：， 将点，点代入直线解析式 得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为； （2）解：设点， ， ， 的面积， ， ， 的面积， 的面积， 的面积， 的面积的面积的面积的面积的面积， ， 解得， ， ∴点E坐标为 ； （3）解：存在以D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴设点，点， ①当四边形以， 为对角线时， ∵点，， ∴， 解得， ， ∴点； ②当四边形以， 为对角线， ∵点，， ， 解得， ， ∴点， ③当四边形以， 为对角线， ， 解得， ， ∴点， 综上，满足条件的点Q坐标为或或． 8．(1) (2) (3)存在点D，且点的坐标为或 或 【分析】（1）先求出点坐标，再求出点，结合点坐标即可求出直线表达式； （2）先求点坐标，添加辅助线，即过作轴，分别过作，，结合图象，设出点坐标，利用三角形全等证明，即可得到对应线段相等，然后求出答案即可； （3）设出点的坐标，表示出直线的表达式，利用，求出直线表达式，利用表达式设点，的坐标，分类讨论平行四边形的不同情况，然后利用中点公式即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则；令，则； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，点代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点为线段中点，，， ∴， 如图1所示，设， 过作轴，分别过作，，如图， 则， 设点的坐标为，则， ∴，，，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，解得， ∴； （3）解：在轴上是存在点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 设， 设直线的表达式为， 将点，点代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，，即， ∴，， ∵， ∴，即， 整理可得， 解得：（舍）或， 当时，直线的解析式为， 设当点，点时，得以点为顶点的四边形为平行四边形， ①如图2，当为对角线时，如图， ∵点，点， ∴线段的中点为，即， 点，点， ∴线段的中点为， ∵平行四边形的对角线交于一点， ∴，解得：， ∴点的坐标为； ②如图3，当为平行四边形的一边且点在点C的右边时，如图， 同理可得线段的中点为， 线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 如图4，当为平行四边形的一边且点在点C的左边时，如图， 可得线段的中点为， 线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上所述，在x轴上存在点D，使得以点为顶点的四边形为平行四边形，且点的坐标为或 或. 9．(1)； (2)①；② (3)①；②5或20 【分析】（1）将，分别代入，即可求解； （2）①用含m的式子表示出点E，F的纵坐标，作差即可；②根据 求解； （3）过点P作轴于点H，设点P的坐标为，由轴对称得，进而证明，推出，即可求解；②令直线交y轴于点N，根据求出点D坐标，有两种情况，一是点D在的内部，二是点D在的外部，分别用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 当时，， 解得， ，； （2）解：①点E的横坐标为m，点E是线段上的一个动点， ， 轴交直线于点F， ， 点E在点F上方， ； ② ， 即； （3）解：①如图，过点P作轴于点H，，交于点G， 点P在直线上， 设点P的坐标为， ，， 把沿直线翻折得到， ， ， ， 又 ， ， 又 ，， ， ， ， ， ， 解得， 点P的坐标为； ②令直线交y轴于点N， 与x轴平行， ， ，，点M为的中点， ， ， 设点， 由折叠得， ， 解得或， 当时，，点D在的内部，如图： 设，则，， 在中，， ， 解得， 即； 当时，，点D在的外部，如图： 同理，设，则，， 在中，， ， 解得， 即； 综上可得，的长为5或20． 10．(1)， (2)，证明见解析 (3)点坐标为 【分析】（1）根据解析式求出点的坐标，根据轴对称以及勾股定理求出相关点的坐标，然后利用待定系数法求解； （2）根据轴对称的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边，证明点的对称点为点，最后利用轴对称的性质证明； （3）根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴； 当时，， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：，理由如下： 根据轴对称的性质可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即点的对称点为点， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图所示，    当时，，∴； 当时，此时，点与点重合，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 综上，点坐标为． 11．(1)， (2) (3)或 【分析】（）根据题意列方程即可得出结论； （）由（）可得，求得，过点作轴于点，易证，则有，进而根据勾股定理可求解；作点关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，则与轴的交点即为点，进而求出的解析式，最后求解即可； （）根据题意得到点的坐标，如图，当点在点的左侧，根据全等三角形的性质得到，当点在点的右侧时，根据三角形的面积即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于两点， 令，得，故， 令，得，故； （2）解：过点作轴于点，作点关于轴的对称点，连接，如图所示： 由轴对称的性质可得垂直平分，则有点到点的距离相等，再由两点之间线段最短可得即为的最小值，此时与轴的交点即为点， 由（）可得，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点与点重合， ∴点，则点， 设解析式为， 将，代入得 ∴解析式为： 解得： ∴点， 设的解析式为， 则有： 解得： ∴解析式为， 令时，则， 解得：， ∴当为最小值时，点的坐标为； （3）解：∵ ∴直线：， ∵， ∴设的解析式为，把代入得， ， 所以直线的解析式为， 当时，即 解得： ∴ 如图，当点在点的左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 当点在点的右侧时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴， 综上所述，点的坐标为或 12．(1) (2)或 (3)当时，周长为；当时，周长为 (4)或或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2），而为平面内一动点，故轴，再由列方程求解即可； （3）先用m的代数式表示出，即可求解周长； （4）先求出线段，再分类讨论，画图求解即可． 【详解】（1）解：设直线 代入点，，则 解得 ∴直线的函数关系式为； （2）解：由题意得，， ∵为平面内一动点， ∴轴， ∴时， 解得或； （3）解：∵由题意得，， ∵为平面内一动点， ∴轴， ∴ ∴正方形的周长 ∴当时，周长为；当时，周长为； （4）解：∵， ∴设线段， 代入，则 ∴线段 当点落在上时， 把代入得， 解得； 随着值的增大，如图，符合题意； 点P与点A重合时，如图，符合题意 ∴， ∴满足正方形相邻两边与线段只有两个交点时，； 当正方形顶点落在线段上时，如图，符合题意， ∴， ∵ ∴，即 将点代入得，， 解得； 随着的增大，如图，符合题意， 当点落在线段上时，如图： ∴， ∵ ∴，即， 将点代入，则 解得， ∴满足正方形相邻两边与线段只有两个交点时，； 当点再次落在线段上时，如图： 此时 ∵ ∴，即 把代入得， 解得， 随着的增大，符合题意，如图： 当经过点时，符合题意，如图： 此时，解得， ∴满足正方形相邻两边与线段只有两个交点时，， 综上：或或． 13．(1) (2)， (3)存在，或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点，割补法求三角形的面积，熟练掌握待定系数法，并运用数形结合是解题的关键． （1）根据题意易得，，从而可求出，由于点是直线与线段的交点，则，根据待定系数法求解即可； （2）根据题意可求得，设，根据割补法求三角形的面积即可求解； （3）根据待定系数法求出的解析式为，从而推得，，为等腰直角三角形，由推得，连接交于点，作关于的对称角，交于点，通过角度计算得此时，为所求，通过计算直线和直线的交点即可求出点的坐标，利用中点公式即可求解． 【详解】（1）解：令得，，解得，则， 令得，，则， ∵， ∴， ∵点是直线与线段的交点， ∴， ∴， 将，代入得， ，解得， 则直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， 令得，，则， ∵，，， ∴， ∴， 设， 当在直线下方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，则， 当时，同理可得（舍去）， 当在直线上方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，即， 当时，同理可得，（舍去）； 综上所述，点的坐标为，； （3）解：存在， 由（2）可知，，， 将其代入得， ，解得， 则的解析式为， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 连接交于点，作关于的对称角，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点，为所求， 设的解析式为 将，代入得， ，解得， 则的解析式为， 则，解得， 即， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, 综上，点的坐标为，． 14．(1)点B的坐标为，点C的坐标为 (2) ；点M移动过程中，能等于，点 【分析】本题考查了一次函数解析式求解、平行四边形的性质、轴对称求最短路径、等腰直角三角形与全等三角形的综合应用，解题的关键是利用平行四边形性质转化线段，通过轴对称构造最短路径，结合等腰直角三角形构造全等三角形求解点的坐标． （1）将点代入一次函数解析式求参数，再联立两直线方程求交点的坐标； （2）①由平行四边形性质将转化为，作点关于轴的对称点，利用两点之间线段最短求的最小值；②构造等腰直角三角形，通过证明，求出点的坐标，再结合直线的方程求解点的坐标，验证存在． 【详解】（1）解：由直线过点，得，解得， 则点的坐标为， 由，解得，则点的坐标为． （2）解：①由（1）得点是线段的中点，即， 由，得，，连接，则四边形是平行四边形， 于是，令点关于轴对称点为，连接，， 因此，当且仅当点，，三点共线时取等号，而，过点作轴于点，则，，， 所以的最小值为． ②在点移动过程中，能等于，理由如下： 当时，过点作交的延长线于点，过点作直线轴，过点，作直线的垂线，垂足分别为，，则为等腰直角三角形，， 由，，得， 则，，设，则， 则点，由，得直线的方程为， 因此，解得，点， 所以在点移动过程中，能等于，点． 15．(1) (2)点P的坐标为或； (3)符合要求的Q点坐标为或或或或． 【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，即可确定点的坐标； （2）设直线的解析式为：，利用待定系数法可得直线的解析式为：，设直线交y轴于点G，可得，求出，即，根据题意设，则有，利用三角形面积公式列方程，据此求解即可； （3）分别以A、C为圆心，长为半径画圆，与x轴依次交于点、、、，的垂直平分线交x轴于点，过点C作轴于点D，以上、、、、即是满足要求的Q点，先利用勾股定理求出，采用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵实数，满足， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为：， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线交y轴于点G，如图， 当时，， ∴， ∵轴，， ∴，即， 根据题意设， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或； （3）解：如图，分别以A、C为圆心，长为半径画圆，与x轴依次交于点、、、，的垂直平分线交x轴于点，过点C作轴于点D，如图， ∴，， ∵，，轴， ∴，，， ∴， ∵轴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵轴， ∴， ∴在中，   ， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，，设点点坐标为，且，即， ∴， 解得， ∴， 综上所述：符合要求的Q点坐标为或或或或． 16．(1)直线的表达式为；直线的表达式为 (2) (3)， 【分析】（1）先求出的坐标，作轴，作轴，求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，作轴，进而求出点的坐标，再利用面积公式进行计算即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 作轴，作轴，则， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为； 同理：， ∴， ∴， ∴， 同法可得直线的表达式为； （2）解：∵的图象分别与轴，轴交于点，， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴， 同（1）法可得：， ∴， ∴的面积； （3）解：连接， 当，则， 同（1）法：，， 直线的解析式为， ∵正方形， ∴，， ∴点为直线与直线的交点， 联立，解得； ∴； 延长至点，使，连接，则， ∴， ∴当点为直线与直线的交点时，也满足题意， ∵，，， ∴， 此时点恰好在上，即点与点重合； ∴， 综上：或. 17．(1)， (2)3 (3)线段长的最大值为，点的坐标为或者 【分析】（1）利用同角的余角相等得到，再证，得到对应的线段相等，等量代换得出答案； （2）根据题目的作图方法，利用同角的余角相等及两直线平行内错角相等得到，证明，最后等量代换求出答案； （3）将将绕点顺时针旋转得到，证，得到，将求最大转化为求最大，且因为是等腰直角三角形，得出为定长，点为定点，所以的运动轨迹是点为圆心，为半径的圆，从而解出答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，且， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：作于点M，交的延长线于点N， ∴， 又∵ 为等腰直角三角形 ∴，即 ， ∵， ∴，则， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形，则， ∵， ∴， ． （3）解：如下图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， 则，即是等腰直角三角形， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴ ∴当最大时，就最大， 在中，， 点为定点，为， ∴点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆，作交轴于点， 过点作垂直于轴， 如图2所示， ， 当点与点重合时，最大，则最大， 此时点在线段的垂直平分线上，即是线段的垂直平分线， 且是等腰直角三角形，， ∴， ∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0）, ∴， ， ， ， ∴点的坐标为或者． 18．(1)10 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质构造勾股定理即可求解； （2）设C的横坐标为m，则可知，再根据中点坐标可知，再根据三角形的面积公式即可求出关系式； （3）延长至点,使得,连接,过点作,过点作, 证明，可得，然后证明，可知,根据点坐标可知的解析式，的解析式，进而可用来表示的坐标，构造方程即可求得的值． 【详解】（1）解：过点作轴， ∵，， ∴， ∴, ∴, ∴ ∴， ∴A的横坐标为：， （2）解：过点作轴， 设C的横坐标为m，则， A的横坐标为：， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴点， ∵F是的中点 ∴， ∴， ∴， ∴S与m的函数关系式为：， （3）解：延长至点,使得,连接, 过点作, 过点作, ∵F是的中点， ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴, ∴， ∵， ∴, ∵,, ∴, ∴, 在和中， ∴， ∴, 由题可知：，,，，， ∴， 设直线解析式为：， 将点代入得：， 解得：， 则直线解析式为： 当时，， 则点， ∴， 当时，， 则点， 则点， 则， ∴， 设直线的解析式为： 将点代入得： 解得：， 则直线的解析式为： 当时， 则点 则， ∵ 解得：或， 当时，点为：，则,,则不成立； 当时，点为： 则． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可计算出，则，利用勾股定理计算出，作差可得，进而得到点的坐标； （2）作于点，由面积法可计算出，因此； （3）延长至点，使得，连接，作于点，作于点，设，通过导角可知，，则．由等腰三角形的性质和勾股定理可得，，，则，进而计算出，由勾股定理可得，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：如图，作于点， ∵， ∴， 由题意可知，， ∴； （3）解：如图，延长至点，使得，连接，作于点，作于点，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴点的坐标为． 20．(1)6 (2) (3) 【分析】（1）先由，坐标轴夹角为直角，推导角的等量关系，结合的条件，证明和全等，得到；再结合的面积公式代入数值求解长度； （2）作于点，交于点，连接，由可推出是的垂直平分线，从而得出，进一步推导出，均为等腰直角三角形，然后用的代数式表示出，的长度，再根据即可求解； （3）延长至点，使，延长交轴于点，由和三角形外角的性质可得，从而得出，所以和的函数解析式中一次项系数相等，通过坐标可求出用的代数式表示出的解析式中的一次项系数，用的代数式表示的坐标，再用待定系数法，可以求出的函数表达式，从而求出点的纵坐标，然后表示出的长度，最后，在Rt中用勾股定理列方程，即可求出，这样的坐标即可求出． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 又， (AAS)， ， 的面积为18， ， ， ； （2）解：作于点，交于点，连接，如下图所示： ， ，即是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 点纵坐标为， ， ， ， 的坐标为， ， ， ， ； （3）解：延长至点，使，连接，延长交轴于点，如下图： ， ， ， 又， ， ， 由(2)知， 设直线的解析式为， ， ， 设直线的解析式为，则， ， 在中，， ， ， 把代入， 得， ， ， ， ， ，， ， ， ， 整理得： ， ， ， ， 或， 在线段上， ， 舍去， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $