第19章二次根式 期末综合复习优生辅导训练题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为逻辑主线，融合规律探究与实际问题，系统覆盖二次根式核心素养，突出运算能力与推理意识培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2（单选1/填空8）|有意义条件分析、同类二次根式判断|从定义到性质，构建概念认知框架| |运算应用|5（单选2/填空12/解答15）|分母有理化、公式法化简|性质推导→运算法则→综合计算| |规律探究|2（解答17/19）|完全平方逆用、归纳推理|特殊到一般，培养创新意识| |综合实践|3（单选7/解答18/20）|几何建模、代数变形|知识迁移，体现应用意识|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第19章二次根式》 期末综合复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．使分式有意义的的取值范围在数轴上应表示为（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 5．若，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．0 D．1 6．当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 7．口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是___________（填序号）． 9．若，化简______． 10．化简：_____． 11．若（其中，为有理数），______． 12．计算： （1）___________． （2）________________． 13．已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为_____． 14．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，提出了利用三角形三边长求面积的“秦九韶公式”，即：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知的三边长为2，3，，利用公式可求得的面积是________． 三、解答题 15．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 16．阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 17．东东在学习完二次根式后，发现一些含二次根式的式子可以写成另一个式子的完全平方，如式子，东东继续探究：设（其中，，，均为正整数），即有，则可得，东东就找到了把写成一个完全平方式的方法．根据以上信息完成下列问题： (1)若，，，均为正整数，，请用含，的式子分别表示，； (2)若（其中，，均为正整数），求所有满足条件的数； (3)化简：________．（将结果直接填写在答题卡上） 18．如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 19．【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 20．【阅读理解】 爱思考的小铭在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，即， ∴，∴， ∴， ∴． 请你根据小铭的分析过程，解决下列问题： (1)计算：______； (2)计算：； (3)若，求的值． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件以及解集的数轴表示，根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组，然后解不等式组求出解集，根据数轴的解集表示方法判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 解得：， 在数轴上表示如下： 故选：． 2．B 【分析】本题考查二次根式的除法运算及二次根式有意义的条件，需根据二次根式除法法则（，）及相关性质逐一判断各选项，即可解题． 【详解】解：A选项：，故A错误，不符合题意； B选项：，故B正确，符合题意； C选项：，故C错误，不符合题意； D选项：二次根式中被开方数不能为负数，与无意义，推导过程错误，故D错误，不符合题意； 故选：B． 3．C 【分析】利用算术平方根的非负性求出x、y值，估算的取值范围求得m值，进而可求解． 【详解】解：x，y满足等式，，， ∴，， 解得，， ∵m是的小数部分，， ∴， ∴． 4．B 【分析】先求出a，b的所有可能取值，再根据条件筛选出符合要求的取值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去， ∵时，和都满足， 当时，， 当时，， ∴的值为2或10． 5．A 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入等式求出的值，最后根据二次根式的性质计算所求代数式的值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义要求被开方数为非负数， ∴，解得， 把代入原等式，得， 解得， 根据二次根式的性质，当时，， ∵， ∴． 6．D 【分析】先对进行分母有理化，确定的具体值与正负性．然后对代数式中的二次根式里的多项式和分母的多项式分别进行因式分解，再根据的正负性去掉二次根式的符号，再对化简后的代数式进行约分，最后代入的值计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 7．B 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，因为已知两个正方形的面积，所以可利用正方形面积公式求出两个正方形的边长，再确定大长方形的长和宽，最后利用长方形面积公式求总面积． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴； ∵正方形面积为， ∴． ∴， ∴ ． 故选：B ． 8．②⑤ 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键． 判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，被开方数相同才能合并；化简 =，被开方数为，再逐一化简各选项，比较被开方数即可． 【详解】解：=，被开方数为； ①=，被开方数为，可合并； ②=，被开方数为，不可合并； ③==，被开方数为，可合并； ④，被开方数为，可合并； ⑤=，被开方数为，不可合并． 故答案为：②⑤． 9． 【分析】本题考查化简二次根式．先判断，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键． 先根据有意义求出x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 11． 【分析】先对等式左边的分式进行分母有理化，整理等式后分离有理数部分与无理数部分，根据对应系数相等得到关系，计算得出的值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 12． 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是准确化简． （1）（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①，②． 13．60 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由长方形的长为，面积为，得长方形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 【详解】解：∵长方形的长为，面积为， ∴长方形的宽为， ∵，，， ∴， ∴正方形的最大边长为长方形的宽， ∴正方形的最大面积为． 故答案为：60． 14．/ 【详解】解：的三边长为2，3，，三角形的面积为， 的面积 ． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算．解题时先利用二次根式的乘除运算法则计算各项，再将所有二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果，部分计算可利用乘法公式简化运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 16．， 【分析】利用平方差公式可得，进而得到，再结合解方程组即可． 【详解】解：由题意得： ． ∵， ∴， 由①，   ②， ①+②得：， 解得：， 综上，，． 17．(1)， (2)所有满足条件的有,,； (3) 【分析】（1）依照例题求解即可； （2）由（1）的结论知，求得，根据，均为正整数，分情况讨论即可求解； （3）利用完全平方公式求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； （2）解：∵， 由（1）的结论知， ∴， ∵，均为正整数， ∴的正整数解有，，或，或，； 当，时，，此时； 当，时，，此时； 当，时，，此时； 综上，所有满足条件的有,,； （3）解：， ∵， ∴． 18．(1) (2)铺完整个通道，购买地砖需要花费元 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式的性质与化简、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键； 依据题意得，矩形绿地 的周长 ，即可得解； 依据题意，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，矩形绿地的周长 ； （2）解：由题意，购买地砖需要花费 元， 答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元； 19． 【观察·发现】④；⑤；⑥ 【归纳·猜想】 【应用·运算】①，验证见解析；② 【分析】本题考查了实数的规律题． [观察·发现]由题干中的已知等式即可得出答案； [归纳•猜想]由已知等式总结规律即可； [应用•运算]①由所得规律即可求得答案，然后将原式计算并验证即可； ②由所得规律求得m，n的值后代入原式计算即可． 【详解】解：[观察·发现]由已知等式可得④，⑤，⑥， 故答案为：④；⑤；⑥； [归纳·猜想]如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为， 故答案为：； [应用·运算]①由所得规律可得，验证如下： ， 故答案为：； ②若， 则，， 解得：，， 则， 故答案为：． 20．(1) (2)9 (3)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键； （1）仿照题的方法化简即可； （2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可； （3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）原式 ． （3）∵， ∴， ∴．即． ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $