第21章四边形 期末综合复习优生辅导训练题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以四边形性质判定为核心，通过基础应用、综合证明及动态探究，系统整合多边形、特殊四边形知识，提炼辅助线构造、转化与方程思想，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|单选1-5、填空8-10|正多边形内角和计算、平行四边形中心对称性质|多边形内角和→特殊四边形定义→性质直接应用| |性质判定综合|单选6-7、填空11-13、解答16-18|全等证明、勾股定理、梯形中位线转化|矩形/菱形性质→判定定理→与三角形中位线结合| |动态与折叠探究|解答19-20、填空14|对称性质、动态辅助线构造、方程思想|静态性质→动态变化（点动/折叠）→综合应用与拓展|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第21章四边形》 期末综合复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．小刚设计了下面四种正多边形的瓷砖图案，用同一种瓷砖可以平面密铺的是（     ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 2．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形，其对角线，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则的长是（   ）  A． B． C． D． 4．如图，过对角线的交点，交于，交于，若的周长为18，，则四边形的周长为（   ） A．12 B．13 C．24 D．28 5．如图，在四边形中，，，，分别是，的中点，则的长度为（     ） A． B． C．2 D． 6．如图，在正方形中，为对角线，M为上一点，连接，以为边作等腰直角三角形，且，连接，若，则（     ）． A． B． C． D． 7．如图，正方形的顶点D在直线上，分别过点，作直线l的垂线，垂足分别为，，连接交于点．若平分，，则的面积为（     ） A．16 B．32 C．48 D．64 二、填空题 8．如图，边长相等的正五边形和正六边形按如图方式拼接在一起，则的度数为______． 9．如图，已知平行四边形的面积是，图中分割线均经过对角线、的交点，那么阴影部分的面积为_______． 10．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 11．如图，在菱形中，垂足为E，交于F，E为中点，若则_______ 12．如图，在正方形中，E是边的中点，F是边上的一个动点，连接．若，则的最小值为_____． 13．如图，在平行四边形的外侧，作等腰直角三角形，，且，，．取的中点M，连接．（Ⅰ）的长为__________；（Ⅱ）线段的长为__________． 14．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，则的最小值为_______． 三、解答题 15．按要求解答问题： (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 16．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 17．在四边形中，对角线与交于点，，． (1)如图1，当四边形是矩形时，求证：四边形是菱形． (2)如图2，当四边形是菱形时，求证：四边形是矩形． 18．【知识回顾】 在证明三角形中位线定理时，可以采用如图①的方式思考并作辅助线，将三角形转化为平行四边形，使问题得以解决． 【类比探究】 (1)如图②，在梯形中，，与不平行，，分别是，的中点（此时称是梯形的中位线）．通过作图③所示的辅助线，可将梯形变成三角形，由此得到与，之间的数量关系是_____． 【知识运用】 (2)若梯形的上底为3，下底为7，则中位线长为_____； (3)若梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是_____； (4)如图④，点、、、是直线上的顺次四点，且，分别过点、F、G、H在直线同侧作线段、、、，且，连接、、、．当四边形是平行四边形时，连接，取、的中点O、M，连接． ①利用直尺和圆规补全图形；（不写做法，保留作图痕迹） ②若，求的值． 19．四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． (1)如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； (2)如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 20．【问题情境】 已知在四边形中，E为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． 【问题解决】 (1)如图①，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O．求证：； (3)如图③，若四边形是平行四边形，，点F落在线段上，点P为边上一点，连接，求的值． 参考答案 1．解：①正三角形的每个内角是，能整除，故能进行密铺； ②正方形的每个内角是，能整除，故能进行密铺； ③正五边形每个内角是，不能整除，故不能进行密铺； ④正六边形的每个内角是，能整除，故能进行密铺； 综上，能密铺平面的是①②④． 2．解：∵两张宽度均为的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 过点D作于点E，过点B作于点F，， 根据题意可得， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∴四边形是菱形； ∴， 设， 连接，则， ∴， 根据勾股定理得， ∴， 整理得， 故， 解得， 故． 3．解：在矩形中，，，， 又∵垂直， ∴垂直平分， 连接，如下图： 设， 则， 由勾股定理可得，， 即， 解得， 即． 4．解：∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．解：如图，连接，设的中点为，连接、， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 过点作， 则， 在中， ∴． 6．D 【分析】由正方形的性质、四边形的内角和以及邻补角互补可得，如图：作，即，进而得到四边形是矩形，再证明可得，易证四边形是正方形，则，易得；然后证明可得，即；再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图：作，即， ∵， ∴四边形是矩形， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：． 7．B 【分析】利用正方形的性质，结合、都垂直于直线，证明和全等，得到与、与的等量关系，过点作于点，结合平分角的条件，得到与的关系，利用余角的性质得到，进而得到，则，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ， 如图，过点作于点， 平分， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质、余角的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 8．/84度 【分析】根据题意可得，据此根据等边对等角和正多边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，标注顶点， ∵正五边形的一个内角的度数为， 正六边形的一个内角的度数为， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴． 9． 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，过对称中心的直线将图形分成面积相等的两部分，利用中心对称性质可知阴影部分面积等于平行四边形面积的一半． 【详解】解：设平行四边形的对角线、相交于点． 因为平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．又因为图中分割线均经过点， 所以根据中心对称的性质，阴影部分与空白部分关于点对称，即阴影部分的面积等于空白部分的面积． 所以阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半． 因为平行四边形的面积是， 所以阴影部分的面积为． 10． 6 【分析】根据折叠得到，因为，可得，所以，进一步将线段转化即可求得． 【详解】解：将一张平行四边形纸片折叠，折痕为， ，， ， ， ， ， 周长为 ， 即 ． 11． 2 【分析】根据菱形的性质得出，结合垂直平分得出，从而判定是等边三角形，求出，利用菱形对角线平分对角得出，分别在和中利用与勾股定理求出和的长，利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，为中点， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形， 平分， ， 在中，，， ， 则， 在中，，， 设，则， 则，即， 则有，解得（负值舍掉）， ， ． 12． 【分析】作点E关于的对称点Q，连接，则，可得当点B，F，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点Q，连接，则， ∴， ∴当点B，F，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在正方形中，∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 13． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，进而根据勾股定理即可求解；（2）取的中点N，连接，，证明，进而证明N在上，根据中位线的性质和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：（1）∵平行四边形中，， ∴，， ∵等腰直角三角形，， ∴， 解得或（舍去）； （2）取的中点N，连接，， ∵，，． ∴ ∴ ， 又∵ ∴ ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴； 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴在上， ∴． 14．2 【分析】在上截取点G，使得，作点D关于y轴的对称点，连接，，，根据长方形得到，，，即可证明四边形是平行四边形，因此，根据点D与点关于y轴对称得到，，因此，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：在上截取点G，使得，作点D关于y轴的对称点，连接，，， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点D与点关于y轴对称，且点D在x轴上， ∴点在x轴上，，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． 15．(1)此多边形的边数为8； (2)n的值是8． 【分析】（1）先设此多边形的边数为n，再根据多边形内角和定理得，求出解即可； （2）设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，再根据内角和相邻外角的和为得出方程，求出解，然后用除以一个外角的度数可得边数． 【详解】（1）解：设此多边形的边数为n，则 ， 解得． 所以此多边形的边数为8； （2）解：设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，依题意得， 解得． ， 故n的值是8． 16．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． 17．(1)证明：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． (2)证明：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，矩形的性质，可得，再根据菱形的判定，即可； （2）根据平行四边形的判定和性质，可得是平行四边形，根据菱形的性质，则，再根据矩形的判定，即可． 【详解】（1）略 （2）略 18．(1) (2)5 (3)20 (4)①如图，点O、M即为所求； ②20 【分析】（1）连接并延长，交的延长线于点G，证明 ，得到，，在中，利用三角形的中位线可得，进而可得结论； （2）根据解析（1）得出的结论，代入数值，求解即可； （3）先根据梯形的中位线长为，求出梯形的上底和下底的和，再根据梯形面积公式进行求解即可； （4）①连接交于点O，作的垂直平分线，交于点M，连接即可； ②根据解析（1）得出的梯形中位线性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接并延长，交的延长线于点G．    ， ， 是的中点， ， ， ， ，， 点是的中点，又点是的中点， 是的中位线， ∴， ； （2）解：∵梯形的上底为3，下底为7， ∴中位线长为； （3）解：∵梯形的中位线长为， ∴梯形的上底和下底的和为， ∵梯形的高为， ∴梯形面积是； （4）解：①略； ②∵四边形为平行四边形， ∴，， 即点O为的中点，也是的中点， 根据作图可得：为的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴为的中点， ∵， ∴四边形为梯形，四边形为梯形， ∵点O为的中点，为的中点， ∴为梯形的中位线， ∴， 同理得：， ∴． 19．(1)见解析 (2)是，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形即可得到四边形是正方形； （2）当点在边上时，作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； 当点在的延长线上时，过点分别作于点，于点，同样根据正方形的判定即可得证； （3）结合正方形的性质可证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出结论. 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，点为对角线中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）证明：当点在边上时， 过点作于，于，如图1， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴，． ∴四边形为正方形， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 当点在的延长线上时， 如图，过点分别作于点，于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （3）解：     理由如下： 由（2）可知，矩形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， 20．(1) (2)证明：∵四边形是矩形，垂直平分线段， ， 由折叠的性质可知：，， 取的中点H，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 又 ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）利用正方形性质，以及轴对称性质推出，再结合平行线性质求解，即可解题； （2）根据矩形性质，以及垂直平分线性质推出，由折叠的性质得到，取的中点H，连接，证明是等边三角形，结合等边三角形性质，等腰三角形性质，以及直角三角形性质求解，即可解题； （3）连接，由折叠的性质可知：，推出，为等边三角形，进而证明四边形是菱形，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，推出，再利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质可知：， ， ； （2）略 （3）解：连接， ， 由折叠的性质可知：，， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质可知：， ， ，为等边三角形， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， 在平行四边形中，， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $