江苏镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年高二下学期数学期末模拟4

**基本信息** 以统计概率、立体几何、排列组合为核心，融入新能源汽车销量、高考等级转换等真实情境，通过基础题、综合题、探究题梯度设计，考查数学抽象、数据分析、空间观念等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|散点图相关系数、空间向量共面、线性回归|散点图比较相关系数，体现几何直观| |多选题|3/18|二项式系数、随机变量分布、立体几何动态问题|动态线段考查线面角范围，培养空间观念| |填空题|3/15|二项式系数计算、投影向量、排列组合计数|“0”“1”排列结合限制条件，考查逻辑推理| |解答题|5/77|二项式定理证明、线性相关与独立性检验、指数分布应用、立体几何折叠|新能源汽车销量分析（数据意识）、公交车等待时间模型（应用意识）、折叠问题二面角求解（空间观念）|

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学期末模拟4 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是 （ ） A. B. C. D. 2．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则 （ ） A. 1 B. C. D. 3．已知变量线性相关，其一组样本数据，用最小二乘法得到的线性回归方程，现增加一个数据，重新计算得到的回归方程斜率是，时，的估计值是 （ ） A． B． C． D． 4．已知随机事件 （ ） A． B． C． D． 5． 已知，则的值为 （ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 6．一排座位共有7个，现有6位同学来坐，每人只能坐一个位置，其中甲乙两人不能坐在相邻的两个座位上，则不同的坐法有 （ ） A． B． C． D． 7．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为 （ ） A． B． C． D． 8．《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、，B、、C、、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩～，那么D等级的原始分最高大约为 （ ） 附：①若～，，则Y～；②当Y～时，. A. 23 B. 29 C. 36 D. 43 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知，下列选项中正确的有 （ ） A． B．最大 C． D． 10．设随机变量，则 （ ） A． B． C． D．上单调递增 11．如图，在棱长为1的正方体，点在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有 （ ） A．线段长度的最大值是 B．点到平面的距离是定值 C．直线与所成角的最小值是 D． 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．若的值为 . 13．已知空间向量上的投影向量是，则的值为 . 14．将四个“0”和四个“1”按从左到右的顺序排成一排，这列数有 种不同排法；若这列数前个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则这列数有 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列． （1）证明展开式中不存在常数项； （2）求展开式中所有的有理项． 16． “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表： 年份x 2020 2021 2022 2023 2024 销量y（万台） 1.00 1.40 1.70 1.90 2.00 某机构调查了该地区60位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 10 48 女性车主 2 总计 60 （1）求新能源乘用车的销量y关于x年份的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关； （2）请将上述列联表补充完整，并判断是否有的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关． 参考公式： 相关系数；，其中 参考数据：. 备注：若，则可判断y与x线性相关． 临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(列式并用数字作答) （1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球； （2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； （3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球 （4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒. 18．某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定，为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 （1）估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； （2）记乘客等待时间为，随机变量服从指数分布，且取值不超过的概率为， 其中是自然对数的底数. （ⅰ）证明：对于任意的； （ⅱ）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间（单位：分钟），他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元），求小明的交通费用的均值. 19．如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，若二面角的正弦值为，求实数的值. 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学期末模拟4 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是 （ A ） A. B. C. D. 【详解】由图可知，图2和图3正相关，图1和图4是负相关，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于，接近1，所以，故选：A 2．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则 （ C ） A. 1 B. C. D. 【详解】因，所以，可化简为：，即，由于，，，四点共面，则，解得：；故选：C 3．已知变量线性相关，其一组样本数据，用最小二乘法得到的线性回归方程，现增加一个数据，重新计算得到的回归方程斜率是，时，的估计值是 （ B ） A． B． C． D． 4．已知随机事件 （ C ） A． B． C． D． 5． 已知，则的值为 （ A ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 【详解】令，得， 令，得， 令，得，两式相加得， 得，则.故选：A. 6．一排座位共有7个，现有6位同学来坐，每人只能坐一个位置，其中甲乙两人不能坐在相邻的两个座位上，则不同的坐法有 （ B ） A． B． C． D． 7．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为 （ C ） A． B． C． D． 8．《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、，B、、C、、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩～，那么D等级的原始分最高大约为 （ B ） 附：①若～，，则Y～；②当Y～时，. A. 23 B. 29 C. 36 D. 43 【详解】由题意知：～则有，设D等级的原始分最高大约为x，对应的等级分为40 ，而等级分40∴有原始分而，由对称性知∴有，即故选：B 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知，下列选项中正确的有 （ AC ） A． B．最大 C． D． 10．设随机变量，则 （ BD ） A． B． C． D．上单调递增 11．如图，在棱长为1的正方体，点在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有 （ ACD ） A．线段长度的最大值是 B．点到平面的距离是定值 C．直线与所成角的最小值是 D． 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．若的值为 . 13．已知空间向量上的投影向量是，则的值为 . 14．将四个“0”和四个“1”按从左到右的顺序排成一排，这列数有 种不同排法；若这列数前个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则这列数有 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列． （1）证明展开式中不存在常数项； （2）求展开式中所有的有理项． 15．解：（1）易知第2，3，4项的二项式系数依次为， 可得，即， 整理得，解得或（舍）； 所以二项式为，假设第项为常数项，其中， 即可得为常数项，所以， 解得，不合题意； 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项； （2）由（1）可知，二项展开式的通项可得， 其中的有理项需满足，即，且； 当，此时有理项为； 当，此时有理项为； 当，此时有理项为； 当，此时有理项为； 综上可知，展开式中所有的有理项为，，，. 16． “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表： 年份x 2020 2021 2022 2023 2024 销量y（万台） 1.00 1.40 1.70 1.90 2.00 某机构调查了该地区60位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 10 48 女性车主 2 总计 60 （1）求新能源乘用车的销量y关于x年份的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关； （2）请将上述列联表补充完整，并判断是否有的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关． 参考公式： 相关系数；，其中 参考数据：. 备注：若，则可判断y与x线性相关． 临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16．解：（1）由表格知：，， ， 有， 则y与x线性相关 （2）依题意，完善表格如下： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 38 10 48 女性车主 2 10 12 总计 40 20 60 提出假设：购车车主是否购置新能源乘用车与性别无关由列联表数据得： ，因为， 故有的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关． 17．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(列式并用数字作答) （1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球； （2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； （3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球 （4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒. 17．解：（1）； （2）或； （3）或；（4） 或 18．某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定，为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 （1）估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； （2）记乘客等待时间为，随机变量服从指数分布，且取值不超过的概率为， 其中是自然对数的底数. （ⅰ）证明：对于任意的； （ⅱ）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间（单位：分钟），他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元），求小明的交通费用的均值. 18．解：（1）平均时间； （2）（ⅰ）证明：由题意知，， 分别记已经等待分钟和已经等待分钟为事件和事件， 则 ， 所以对于任意的； （ⅱ）由（ⅰ）知， ， , 所以费用的期望是（元.） 19．如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，若二面角的正弦值为，求实数的值. 19．解：（1）在图1中，连接，交于点， ，. 因为，，，，且， 所以，，. 因为，所以. 所以图2中，，，平面，所以平面. 平面.所以. （2）又因为，由，即，所以. 所以两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为为中点，所以. 所以，，. 设平面的法向量为， 则， 取. 设直线与平面所成的角为， 则. （2）因为，所以 所以，即. 则，，，. 设平面的法向量为， 则， 取. 设平面的法向量为， 则, 取. 设二面角为，由得：. 即， 整理得：， 解得：或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $