精品解析：2022年四川省绵阳市高中阶段招生暨初中毕业水平考试数学诊断卷（四）

绵阳市高中阶段学校招生暨初中学业水平考试 数学诊断卷（四） 本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，答题卡共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求） 1. 如果电梯上行6层记为，则电梯下行3层记为（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，其主视图是中心对称图形的几何体有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 实数 ，在数轴上的对应点如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. ﹣6 B. 6 C. 18 D. 30 6. 在一次“我的青春，我的梦”演讲比赛中，五名选手的成绩及部分统计信息如下表，其中被遮住的两个数据依次是（ ） 组员及项目 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均分 得分 91 89 90 92 90 A. 88， B. 88，2 C. 90， D. 90，2 7. 已知抛物线与轴交于点，，且，，则的值是（ ） A. B. C. 4 D. 8. 如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，的垂直平分线交 于点 ， 、为垂足，若，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 从，，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第n个等边三角形的边长等于（　　） A. B. C. D. 12. 如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 的算术平方根是___________． 14. 每年的4月23日是世界读书日，某书店举办“书香阅读”图书展．已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，现《汉语成语大词典》按标价五折出售，《中华上下五千年》按标价六折出售，小明花80元买了这两本书，则《中华上下五千年》的标价是___________元． 15. 观察下列等式： 第1层 第2层 第3层 第4层 … 在上面的数字宝塔中，从上往下数，数字2022在第___________层． 16. 如图，将含的直角三角形放在正方形中，，直角顶点在对角线上，斜边经过的中点O，点M，N分别在边，上，则的度数是___________． 17. 如图，在中，，，，平分交边于点，则的长是___________． 18. 如图，直线与 轴、轴分别交于点、， 为的中点，以 为圆心，长为半径画弧交于点 ，点 为上一动点，则的最小值是___________． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分） 19. 按要求完成下列各题 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中 满足． 20. 网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人注目．消费者在网店购买某种商品后，对其有“好评”“中评”“差评”三种评价，假设这三种评价是等可能的．小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请利用图中所提供的信息解决以下问题： （1）小明一共统计了多少个评价，扇形统计图中“差评”所占的百分比是多少？ （2）请将条形统计图补充完整． （3）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用列表法或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给“好评”的概率． 21. 学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元． （1）求篮球和足球的单价分别为多少元？ （2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？ （3）若学校购买这批篮球和足球的总费用为(元)，在（2）的条件下，求哪种方案能使总费用最小，并求出的最小值． 22. 在中，，，，点，分别在边，上，且，将绕点旋转，得到，点，的对应点分别为点，． （1）如图①，若点落在线段上，且平分，求的长． （2）如图②，当点落在边上，且，求的长． 23. 如图，矩形在平面直角坐标系中，已知，，双曲线与矩形两边，分别交于点D，E，且． （1）求的值． （2）点是线段上的一个动点，连接，，是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在中，，点E在BC边上，过A，C，E三点的交AB边于另一点F，且F是弧AE的中点，AD是的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点． （1）求证：四边形CDMF为平行四边形； （2）当时，求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为，，且．直线轴，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图①，点是轴下方抛物线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． （3）如图②，点是点右侧抛物线上一动点，过点作直线轴，交直线于点，是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳市高中阶段学校招生暨初中学业水平考试 数学诊断卷（四） 本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，答题卡共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求） 1. 如果电梯上行6层记为，则电梯下行3层记为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用正负数可以表示一对具有相反意义的量，已知上行的记法，即可推导出下行的记法． 【详解】解：∵题目规定电梯上行层记为，即上行方向用正数表示， ∴与上行意义相反的下行方向，应用负数表示， 因此电梯下行层记为． 2. 下列几何体中，其主视图是中心对称图形的几何体有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：圆柱体的主视图为长方形，是中心对称图形， 正方体的主视图为正方形，是中心对称图形， 球体的主视图为圆，是中心对称图形， 圆锥体的主视图为等腰三角形，不是中心对称图形， 故其主视图是中心对称图形的几何体有3个． 3. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】A、，此项不符题意； B、，此项不符题意； C、，此项不符题意； D、，此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 4. 实数 ，在数轴上的对应点如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴，确定实数 ，的符号，绝对值的大小，再进行计算判断即可． 【详解】解：，且， ， ， A、B、C都错误； ， D正确． 5. 若，则的值为（ ） A. ﹣6 B. 6 C. 18 D. 30 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴原式= = = = =﹣12+18 =6 故选B． 6. 在一次“我的青春，我的梦”演讲比赛中，五名选手的成绩及部分统计信息如下表，其中被遮住的两个数据依次是（ ） 组员及项目 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均分 得分 91 89 90 92 90 A. 88， B. 88，2 C. 90， D. 90，2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： （分）， 则丙的得分是88分； 方差为． 故选：B． 【点睛】本题考查了方差：一般地设n个数据，的平均数为，则方差． 7. 已知抛物线与轴交于点，，且，，则的值是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的根，根据一元二次方程根与系数的关系求出和，再计算的值； 【详解】解：∵抛物线与轴交于， ∴是一元二次方程的两个根， ∴， 解得：，， ∴． 8. 如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，的垂直平分线交 于点 ， 、为垂足，若，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用正切定义解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 9. 如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过D作DE⊥AB垂足为E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=1，再说明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+，最后根据勾股定理列式求出x，进而求得AB． 【详解】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E ∵AB是直径 ∴∠ACB=90° ∵∠ABC的角平分线BD ∴DE=DC=1 在Rt△DEB和Rt△DCB中 DE=DC、BD=BD ∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL） ∴BE=BC 在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2 AE= 设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+ 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2 则（x+）2=32+x2，解得x= ∴AB=+=2 故填：2． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 10. 从，，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有整数解，确定出五个数中满足条件a的值，进而求出和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为， 由不等式组无解，得到，即，，，1， 分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程的解为整数，且，得到，1， ∴所有满足条件的a的值之和是， 故选C． 11. 如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第n个等边三角形的边长等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合题．根据题目已知条件可推出，，，依此类推，第n个等边三角形的边长等于． 【详解】解：∵直线与x、y轴交于B、C两点， ∴， ∴， ∴． 而为等边三角形，， ∴， ∴． 在中，， 同理得：， 依此类推，第n个等边三角形的边长等于． 故选：A． 12. 如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①根据图像开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a,b,c的正负 ②根据对称轴公式，判断的大小关系 ③根据时，，比较与0的大小； ④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可 ⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论． 【详解】①图像开口朝上，故 ，根据对称轴“左同右异”可知， 图像与y轴交点位于x轴下方，可知c<0 故①正确； ②得 故②错误； ③经过 又由①得c<0 故③正确； ④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等 当时，即 即 经过，即经过 故④正确； ⑤当时,, 当时, 函数有最小值 化简得， 故⑤正确． 综上所述：①③④⑤正确． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 的算术平方根是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先将题目中的式子化简，然后根据算术平方根的计算方法即可解答本题． 【详解】∵，， 故答案为2． 【点睛】本题考查的知识点是算术平方根和开立方，解题关键是先化简再计算． 14. 每年的4月23日是世界读书日，某书店举办“书香阅读”图书展．已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，现《汉语成语大词典》按标价五折出售，《中华上下五千年》按标价六折出售，小明花80元买了这两本书，则《中华上下五千年》的标价是___________元． 【答案】50 【解析】 【分析】设《汉语成语大词典》的标价为元，则《中华上下五千年》的标价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设《汉语成语大词典》的标价为元，则《中华上下五千年》的标价为元， 由题意得， 解得， ∴（元）， 故《中华上下五千年》的标价是元． 15. 观察下列等式： 第1层 第2层 第3层 第4层 … 在上面的数字宝塔中，从上往下数，数字2022在第___________层． 【答案】44 【解析】 【分析】根据题目中每层第一个数字的特点，发现数字变化的特点，从而解答本题． 【详解】解：由题意可得， 第1层第一个数是， 第2层第一个数是， 第3层第一个数是， 第4层第一个数是， …… ∵，即 ∴第44层第一个数是， 第45层第一个数是， ∴在上面的数字宝塔中，从上往下数，数字2022在第44层． 16. 如图，将含的直角三角形放在正方形中，，直角顶点在对角线上，斜边经过的中点O，点M，N分别在边，上，则的度数是___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得到，，然后证明，得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，所以，即可根据三角形的外角性质求得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ． 17. 如图，在中，，，，平分交边于点，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点E，过点D作于点F，过点D作于点G，过点A作于点H，首先利用含30度角直角三角形的性质求出，然后利用勾股定理求出，利用角平分线的性质得到，然后利用等面积法求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点E，过点D作于点F，过点D作于点G，过点A作于点H， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵平分，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 18. 如图，直线与 轴、轴分别交于点、， 为的中点，以 为圆心，长为半径画弧交于点 ，点 为上一动点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】在上取点F，使得，连接，根据一次函数得出，，确定，再由相似三角形的判定和性质得出，，确定，得出，连接交于点，此时三点共线，取得最小值，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：在上取点F，使得，连接，如图所示： ， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵ 为的中点，以 为圆心，长为半径画弧交于点 ，点 为上一动点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接交于点，此时三点共线，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值是． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分） 19. 按要求完成下列各题 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中 满足． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可； （2）先根据分式混合运算法则进行化简，再整体代入求值即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， ， ，代入计算得． 20. 网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人注目．消费者在网店购买某种商品后，对其有“好评”“中评”“差评”三种评价，假设这三种评价是等可能的．小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请利用图中所提供的信息解决以下问题： （1）小明一共统计了多少个评价，扇形统计图中“差评”所占的百分比是多少？ （2）请将条形统计图补充完整． （3）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用列表法或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给“好评”的概率． 【答案】（1）200个； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为已知中评和差评的数量，且好评占总评价数的，所以中评加差评的和占总评价数的，用中评加差评的和除以对应占比即可得到总评价数，再用差评数量除以总评价数得到差评所占百分比． （2）根据总评价数减去中评与差评的和得到好评的数量，即可补全对应条形． （3）先确定每人的评价有3种等可能结果，用列表法或树状图列出两人评价的所有等可能结果，再找出至少有一个给好评的结果数，根据概率公式，求解即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图可得“中评”和“差评”共有 （个）， 它们在扇形统计图中共占． ∴一共统计评价为 （个）， “差评”所占的百分比是． 【小问2详解】 解：“好评”个数为 （个）， 补充条形统计图如图①所示： 【小问3详解】 解：树状图如图②所示， 可得共有9种等可能结果，其中符合条件的有5种， ∴（至少有一个“好评”）． 21. 学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元． （1）求篮球和足球的单价分别为多少元？ （2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？ （3）若学校购买这批篮球和足球的总费用为(元)，在（2）的条件下，求哪种方案能使总费用最小，并求出的最小值． 【答案】（1）一个篮球120元，一个足球90元； （2）11种； （3）购买篮球40，足球60个时，最小值为10200元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是根据已知条件，列出一元一次方程和一元一次不等式组，应用一次函数的性质解决问题． （1）设一个篮球x元，则一个足球元，根据题意列出方程，即可解答； （2）设购买篮球x个，足球个，根据题意，列出不等式组，求出x的取值范围，由x为正整数，即可解答； （3）表示出总费用，利用一次函数的性质，即可确定x的取值，即可确定最小值． 【小问1详解】 解：设一个篮球x元，则一个足球元，由题意得： ， 解得：， （元） ∴一个篮球120元，一个足球90元． 【小问2详解】 设购买篮球x个，足球个， 由题意可得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴， ∴共有11种购买方案． 【小问3详解】 由题意可得 ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，（元）， 所以当时，最小值为元． 22. 在中，，，，点，分别在边，上，且，将绕点旋转，得到，点，的对应点分别为点，． （1）如图①，若点落在线段上，且平分，求的长． （2）如图②，当点落在边上，且，求的长． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）设，，根据勾股定理得，在中，由勾股定理得，进而证明，得，得，由平分得，进而得，得，列关于的方程，解出的值，进而根据求的长； （2）过点作于点，证明，得，证明四边形为矩形，得，进而得，由列关于的方程，解出的值，进而得的值，根据求的长． 【小问1详解】 解：设，，则， 由旋转可得， ， ，，， ， ， ， 又， ， ， ，， 又平分，， ， ， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 由旋转可得，，， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， 又， ， 解得， ，． 23. 如图，矩形在平面直角坐标系中，已知，，双曲线与矩形两边，分别交于点D，E，且． （1）求的值． （2）点是线段上的一个动点，连接，，是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4 （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据四边形是矩形，且，，设，，根据两点间距离公式得到，求出，．而当时，双曲线与，没有交点，舍去，得到； （2）设，则，，证明，得到，据此列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵，， ∴点D的纵坐标为3，点E的横坐标为4， ∵点D，E在双曲线上， ∴设，， ∴， 整理，得， 解得，． ∵，， ∴在矩形中，，． ∵当时，，， ∴，， ∴双曲线与，没有交点， ∴不合题意，舍去， ∴． 【小问2详解】 解：设，则，， ， ， ， ， ∵， ， ，即， 解得，， 经检验，，均是分式方程的解． 存在使得的点，其坐标为或． 24. 如图，在中，，点E在BC边上，过A，C，E三点的交AB边于另一点F，且F是弧AE的中点，AD是的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点． （1）求证：四边形CDMF为平行四边形； （2）当时，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接，，证明，，即可得到结论； （2）证明得，设，那么，，根据勾股定理求出，，再根据正弦的定义求解即可 【详解】解：（1）证明：连接，，则， ，， ∵F是的中点， ， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ， ； ∵， ． 即， 四边形CDMF是平行四边形． （2）由（1）可知：四边形ACDF是矩形， ， 由 ∴， ∵BM//CD ， 设，那么，， 在中，， 在中， 在中，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为，，且．直线轴，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图①，点是轴下方抛物线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． （3）如图②，点是点右侧抛物线上一动点，过点作直线轴，交直线于点，是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）四边形面积的最大值为，此时点的坐标为 （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系得，结合题意求出，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）连接，过点作轴，交于点，求出，则，求出，当的面积取最大值时，四边形的面积最大，设，且，求出直线的解析式为，则点的坐标为，从而可得，再结合，计算即可得出结果； （3）设，则，分以下两种情况讨论：①点在直线下方时；②点在直线上方时，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得，是方程的两根， ， 由， 解得， ，， ， 解得， 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：如图③，连接，过点作轴，交于点， 抛物线的对称轴为直线， ∴由（1）可得， ， 的面积为定值，， 当的面积取最大值时，四边形的面积最大， 设，且， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， 直线的解析式为， 点的坐标为， ， ， ， 当时，面积最大为， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为． 【小问3详解】 解：设，则， 分以下两种情况讨论： ①如图④，点在直线下方时． 当，则， ， 解得（舍去），； 当，则， ， 解得（舍去），（舍去）， ②如图⑤，点在直线上方时． 当，则， ， 解得（舍去），； 当，则， ， 解得（舍去），． 综合①②可得点的坐标为或或． 【点睛】相似三角形的对应边成比例；采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $