精品解析：广东省湛江市寸金培才学校2023−2024学年初三级第六次学情调研数学科试卷

湛江市寸金培才学校2023—2024学年 初三级第六次学情调研数学科 试卷时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：是无限不循环小数，它是无理数； ，0是整数，是分数，它们都不是无理数； 故选：C． 2. 单项式的次数是（ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式次数的定义，计算单项式中所有字母的指数和即可得到答案． 【详解】解：根据定义，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和， ∵单项式中，字母的指数为，字母的指数为， ∴该单项式的次数为． 3. 下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形的判断方法． 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据该定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：根据中心对称图形的定义判断： 选项，该图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形是中心对称图形，符合题意，选项正确． 故选：． 4. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴x+3≥0，即：， 故选A． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键． 5. 如图是抛物线的示意图，则的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 6. 若，则的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，利用同底数幂除法的逆运算将原式变形后代入数值计算即可，将原式进行正确的变形是解题的关键. 【详解】∵， ∴ ， 故选：A. 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式x﹣1＜1，得：x＜2， 解不等式x+2≥1，得：x≥﹣1， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 故选：A． 【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8. 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ） A. 南偏西方向 B. 南偏东方向 C. 北偏西方向 D. 北偏东方向 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向角的定义可得答案． 【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向， ∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向． 故选D． 【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键． 9. 观察下列关于 的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第2024个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题分别找出单项式系数和次数的规律，得到第n个单项式的表达式，代入即可求解． 【详解】解：∵第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， …… ∴第 个单项式为， 当时，系数为，次数为， 因此第个单项式是． 10. 如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接交AC于点D，交于点E，连接．若，，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由勾股定理求出的长，再由垂直平分线的性质得到，再得出的长即可求解，掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. “两直线平行，同旁内角互补”是___命题（真、假） 【答案】真 【解析】 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，属于基础题型．平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：平行线的性质定理中有一条：两直线平行，同旁内角互补， ∴这个是真命题， 故答案为：真． 12. 若分式的值为0，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件，可得且，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为： 13. 某化学小组进行了一系列“带火星的木炭复燃”的实验，如图，向集气瓶中通入某一种气体，现有五种气体，分别是二氧化碳（）、氧气（）、氢气（）、氮气（）、甲烷（），通入的气体能使带火星的木炭复燃的概率是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：通入氧气（）能使带火星的木炭复燃， 所以通入的气体能使带火星的木炭复燃的概率是． 14. 某款“不倒翁”（图）的主视图是图，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，求弧长，根据题意，设圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点，，可以得到的度数，进而可得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可，求出并牢记弧长公式是解题的关键． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接、， ∵，分别与所在圆相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∴优弧对应的圆心角为， ∴优弧的长是：， 故答案为：． 15. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接，过点作，垂足为E， 根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为E， 设正六边形的边长为a，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，点是线段上的一个动点，，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，在的下方作以为底边的等腰三角形，连接，则线段的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据旋转的性质及等腰直角三角形的性质得出是的垂直平分线，即可得出，时，取最小值，利用三角函数求出的值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵将线段绕点按顺时针方向旋转后得到， ∴，， ∵在的下方作以为底边的等腰三角形， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，时，取最小值， ∵， ∴线段的最小值为． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第17题10分，第18，19题各6分，共22分． 17. 计算及化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 把代入得：原式． 18. 列分式方程解决问题： 某公司决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车的进价比每辆B型汽车的进价多5万元，若用3000万元购进A型汽车的数量与用2000万元购进B型汽车的数量相同，求每辆B型汽车的进价是多少万元． 【答案】每辆B型汽车的进价是10万元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每辆B型汽车的进价为x万元，则每辆A型汽车的进价为万元，根据用3000万元购进A型汽车的数量与用2000万元购进B型汽车的数量相同，列分式方程进行计算求解即可． 【详解】解：设每辆B型汽车的进价为x万元，则每辆A型汽车的进价为万元． 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：每辆B型汽车的进价是10万元． 19. 快递业为商品走进千家万户提供了便利，网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分10分）： 甲：； 乙：． ②服务质量得分统计图（满分10分）： （3）配送速度和服务质量得分统计表： 快递公司统计量 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 9 7 乙 7.9 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ，比较大小： （填“”“”或“”）； （2）综合上表中的统计量，从两家公司的服务质量的稳定性考虑，小刘应该选择与 公司合作．（填“甲”或“乙”）． 【答案】（1），， （2）甲 【解析】 【分析】（）根据中位数、众数的定义及方差的意义解答即可； （）根据方差的意义判断即可． 【小问1详解】 解：甲的配送速度得分由低到高排序为：，，，，，，，，，， ∴中位数， ∵乙的配送速度得分中分出现的次数最多， ∴众数， 由折线统计图可知，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于，甲的数据波动更小，数据更稳定， ∴； 【小问2详解】 解：∵甲的数据波动更小，数据更稳定， ∴小刘应该选择与甲公司合作． 四、解答题（二）：本大题共3小题，第20，21题各8分，第22题10分，共26分． 20. 已知抛物线的对称轴为直线 ． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：直线与抛物线总有两个交点． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）证明：由， 得， 即， ，且． ． 直线与抛物线总有两个交点. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点公式即可解答； （2）列方程，根据时，即可证明直线与抛物线总有两个交点． 【小问1详解】 解： 抛物线的对称轴为直线 ． ，则， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 21. 如图，已知点的坐标为，将线段向左平移6个单位长度，再向上平移个单位长度可得到线段． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 （均用含的式子表示）； （2）若点，同时落在反比例函数的图象上，求及的值． 【答案】（1）； （2）的值为4，的值为 【解析】 【分析】（1）根据平移的规律，计算即可； （2）把点，的坐标代入反比例函数中，列出二元一次方程组，求解即可． 【小问1详解】 解：由平移可知，线段上点的横坐标减6，纵坐标加m，即为对应点的坐标， ， 点的对应点，点的对应点； 【小问2详解】 解：点，同时落在反比例函数的图象上， ， 解得， 则的值为4，的值为． 22. 综合与实践 主题：如何制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图①）． 实践操作：在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图②），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖长方体收纳盒（如图③）． 问题解决： （1）若剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为 ； （2）若折成的无盖长方体收纳盒的底面积为时，请通过计算判断能否把家里的一个冰墩墩玩具完全放入该收纳盒里（冰墩墩的高度不能超过收纳盒的高度）．冰墩墩的实物图和尺寸大小如图④． 【答案】（1）520 （2）冰墩墩玩具能完全放入该收纳盒里 【解析】 【分析】（1）分别求出侧面小长方形的长，再根据侧面积公式，计算即可； （2）设剪去的小正方形的边长为，列出一元二次方程，求解，从而求出收纳盒的长、宽和高，最后比较即可． 【小问1详解】 解：（），（）， （）， 则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为520； 【小问2详解】 解：设剪去的小正方形的边长为， 由题意得，， ，（不合题意，舍去）， 即剪去的小正方形的边长为12cm， 此时收纳盒的长为（），宽为（），高为12． ，，， 冰墩墩玩具能完全放入该收纳盒里． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 23. 综合探究 如图，已知为 的内接三角形， ，过点作 交的延长线于点与 交于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）求证：； （3）若，求 的长． 【答案】（1）证明：连接 ，延长交 于点， ， ， ， ，即， 是 的半径， 是圆 的切线． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）通过连接 ，延长交 于点，可证明，根据切线的判定定理即可证明结论． （2）先根据相似的判定定理证明，再根据相似的性质得到． （3）先根据比例关系求出 和，进而得到 ，再通过（2）中的结论即可求得 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 设，则， ，， ， ， ， ，， ，． 设半径，则，由，且， ．解得，即半径． 则， 由（2）得． ，则． 24. 综合应用 如图，四边形中，，，连接，点以每秒2个单位长度从点向终点运动，同时点以每秒5个单位长度从点沿射线运动，点是点关于直线的对称点，连接，当点到达终点时，两点同时停止运动，运动时间记为秒． （1）当时，求的值； （2）连接，当四边形是菱形时，求的长； （3）①填空： ； ②连接，若的面积记为 ，请直接写出 与的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得出，由题意确定，再由平行线分线段成比例建立方程求解即可； （2）连接交于点O，当四边形是菱形时，得出，再由平行线的性质得出，利用三角函数确定，代入求解计算即可得出结果； （3）①延长交于点，根据等角对等边得出，设，则．然后利用勾股定理得出，再由正弦函数求解即可；②先确定当三点共线时，，然后分两种情况分析：当时，当时，结合图形，求面积即可． 【小问1详解】 解：在中，， ． 由题意得， ∴． ∵， ，则， 解得． 【小问2详解】 连接交于点O，当四边形是菱形时， ， ∵，， ∴，， ∴， ． ．即， 解得：， ∴， ． 四边形是菱形 ． 【小问3详解】 ①延长交于点， ∵点是点关于直线的对称点． ， 由（2）得， ，则， 设，则． ∴中， ， 解得，即． ． ． ②当三点共线时，如图所示，作于点， ． ，则． 作于点． 根据题意得：， 由． 则， ． 整理得 解得（不合题意，舍去） （i）当时， ． （ii）当时， 综上所述． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市寸金培才学校2023—2024学年 初三级第六次学情调研数学科 试卷时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 单项式的次数是（ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 4 3. 下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是抛物线的示意图，则的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 15 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ） A. 南偏西方向 B. 南偏东方向 C. 北偏西方向 D. 北偏东方向 9. 观察下列关于 的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第2024个单项式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接交AC于点D，交于点E，连接．若，，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. “两直线平行，同旁内角互补”是___命题（真、假） 12. 若分式的值为0，则______________． 13. 某化学小组进行了一系列“带火星的木炭复燃”的实验，如图，向集气瓶中通入某一种气体，现有五种气体，分别是二氧化碳（）、氧气（）、氢气（）、氮气（）、甲烷（），通入的气体能使带火星的木炭复燃的概率是_________． 14. 某款“不倒翁”（图）的主视图是图，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则的长是_____． 15. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为______． 16. 如图，点是线段上的一个动点，，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，在的下方作以为底边的等腰三角形，连接，则线段的最小值为_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第17题10分，第18，19题各6分，共22分． 17. 计算及化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 列分式方程解决问题： 某公司决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车的进价比每辆B型汽车的进价多5万元，若用3000万元购进A型汽车的数量与用2000万元购进B型汽车的数量相同，求每辆B型汽车的进价是多少万元． 19. 快递业为商品走进千家万户提供了便利，网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分10分）： 甲：； 乙：． ②服务质量得分统计图（满分10分）： （3）配送速度和服务质量得分统计表： 快递公司统计量 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 9 7 乙 7.9 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ，比较大小： （填“”“”或“”）； （2）综合上表中的统计量，从两家公司的服务质量的稳定性考虑，小刘应该选择与 公司合作．（填“甲”或“乙”）． 四、解答题（二）：本大题共3小题，第20，21题各8分，第22题10分，共26分． 20. 已知抛物线的对称轴为直线 ． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：直线与抛物线总有两个交点． 21. 如图，已知点的坐标为，将线段向左平移6个单位长度，再向上平移个单位长度可得到线段． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 （均用含的式子表示）； （2）若点，同时落在反比例函数的图象上，求及的值． 22. 综合与实践 主题：如何制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图①）． 实践操作：在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图②），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖长方体收纳盒（如图③）． 问题解决： （1）若剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为 ； （2）若折成的无盖长方体收纳盒的底面积为时，请通过计算判断能否把家里的一个冰墩墩玩具完全放入该收纳盒里（冰墩墩的高度不能超过收纳盒的高度）．冰墩墩的实物图和尺寸大小如图④． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 23. 综合探究 如图，已知为 的内接三角形， ，过点作 交的延长线于点与 交于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）求证：； （3）若，求 的长． 24. 综合应用 如图，四边形中，，，连接，点以每秒2个单位长度从点向终点运动，同时点以每秒5个单位长度从点沿射线运动，点是点关于直线的对称点，连接，当点到达终点时，两点同时停止运动，运动时间记为秒． （1）当时，求的值； （2）连接，当四边形是菱形时，求的长； （3）①填空： ； ②连接，若的面积记为 ，请直接写出 与的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $